Licence de mathématiques L1
Analyse 1
Université de Nîmes
Année 2023-2024
TD 5. Fonctions réelles
2
Exercice 1. Montrer que, pour tout x > 0, on a ln (1 + x) > x − x2 .
Indication.
Étudier succinctement les variations de la fonction ϕ : x 7→ ln (1 + x) − x −
x2
2
sur R+ .
Exercice 2.
On considère la fonction f : x 7→ x − 2 ln (3ex + 3).
1. Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier ses variations sur ce domaine. On dressera le tableau de
variations complet (limites aux bornes du domaine de définition comprises).
Indications.
Pour calculer lim f (x), commencez par factoriser (3ex + 3) par ex , puis utilisez les propriétés de ln.
x→+∞
N’hésitez pas à utiliser votre calculatrice ou le logiciel GeoGebra pour visualiser le graphe de la fonction et ainsi
contrôler vos réponses.
2. Montrer que f est une fonction paire (i.e., pour tout x ∈ R, f (−x) = f (x)). Comment aurait-on pu utiliser cette
propriété à la question 1 ? Tracer le graphe de f dans le plan muni d’un repère orthonormé.
3. (a) En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, déterminer f (]−∞, 0]) . On rédigera avec soin sa réponse.
(b) Déterminer (s’ils existent) sup f (x) et inf f (x). Préciser dans chaque cas s’il s’agit du maximum ou du
x∈R
x∈R
minimum de f sur R.
Exercice 3.
Déterminer le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité des fonctions suivantes. On calculera dans chaque
cas la fonction dérivée.
q
q
2
.
(i) f (x) = ex1−1 ; (ii) g(x) = ln(x) + x1 ; (iii) h(x) = x − 1+x
Indications.
(ii) Pour le domaine de définition, on pourra étudier succinctement les variations de la fonction auxiliaire
ϕ : x 7→ ln x + x1 .
(iii) Penser que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. Étudier la dérivabilité au(x) point(s) problématique(s)
en revenant à la définition du nombre dérivé en un point.
Exercice 4.
Calculer les limites suivantes :
(i)
(v)
lim
x→+∞
lim
x3 +2x2 −3
2x+1
√
x→+∞
(viii)
x(1−cos x)
2
x→0 tan (2x)
(ii) lim
x − ln(x2 ) ; (vi)
1
lim x x
x→+∞
;
;
(ix)
lim
√
;
(iii) lim sin (3x) ln x ;
(iv) lim
x→0
x→0+
(1−ex ) sin x
x2 +x3
;
3
x2 + 2x − 1 − x ;
x→+∞
x
lim 1 + x2
x→+∞
;
(x)
(vii) lim
x→1
cos x
lim (tan x)
−
x −1
;
x2 − 1
.
x→( π
2)
Indications.
∞
Pour lever une indétermination du type « ∞ − ∞ » ou « ∞
» : on factorise par les termes prépondérants et on utilise les
croissances comparées.
Avec des racines carrées : on peut aussi penser à l’expression conjuguée.
Pour lever une indétermination du type « 00 » : on peut essayer de mettre en évidence des limites usuelles (celles qui
viennent des dérivées en 0 des fonctions usuelles).
Pour (vii) : se ramener à une limite en 0 en posant X = x − 1.
déf
Pour (viii), (ix) et (x) : commencer toujours par écrire l’expression à l’aide de la définition ax = ex ln(a) (pour a > 0).
sin(x)
et utiliser les propriétés de ln.
Pour le (x) : après avoir écrit la définition, penser que tan x = cos(x)
1
Exercice 5.
√ Donner la valeur des expressions suivantes : arctan (0) ; arctan (−1) ; arctan 3 ; tan (arctan (9)) ; arctan tan
2π
3
.
Exercice 6.
1
x
1. Préciser le domaine de définition et de dérivabilité de la fonction f : x 7→ arctan (x) + arctan
dérivée.
puis calculer sa
2. En déduire que, pour tout x ∈ R∗ , on a
1
x
arctan (x) + arctan
!
π
= 2
− π
2
si x > 0 ;
si x < 0.
Indication. Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I de R.
Si f 0 = g 0 sur I, alors il existe une constante C telle que, pour tout x ∈ I, f (x) = g (x) + C.
Exercice 7.
1+x
.
Soit f la fonction définie sur D = R \ {1} par x 7→ f (x) = arctan 1−x
1. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
2. Justifier la dérivabilité de f sur D et calculer sa dérivée.
3. En reconnaissant la dérivée d’une fonction usuelle, simplifier l’expression de f .
Compléments
Exercice 8. Soient A et B deux parties de R et soient f : A −→ B et g : B −→ R deux applications.
1. Montrer que :
(a) Si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors g ◦ f est croissante sur A.
(b) Si l’une des fonctions f, g est croissante et l’autre décroissante, alors g ◦ f est décroissante sur A.
(c) Si f est bijective et monotone, alors elle est strictement monotone et son application réciproque f −1 est
également strictement monotone, de même sens de monotonie que f .
2. Application.
Sans aucun calcul, donner le sens de variation des fonctions f : x 7→ e
√
x
1
sur R+ et g : x 7→ e x sur R∗+ .
Exercice 9.
1. On considère les fonctions réelles f : x 7→
3
x
et g : x 7→
2−x
2+x .
Déterminer le domaine de définition et l’expression des fonctions composées g ◦ f et f ◦ g.
√
2. Même question avec f : x 7→ x2 − 1 et g : x 7→ x − 1.
Exercice 10. Soit f : R −→ R une application et soient a et ` deux nombres réels.
Montrer que :
lim f (x) = ` ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ R, |x − a| 6 η =⇒ |f (x) − `| 6 ε) .
x→a
2
Exercice 11. TVI et racines d’un polynôme de degré 3
1. Montrer que si a 6= 0, alors le polynôme P (x) = ax3 + bx2 + cx + d admet au moins une racine réelle.
2. Montrer que cette racine est unique lorsque a 6= 0 et que 4b2 − 12ac 6 0.
Indication. Penser au TVI cas strictement monotone.
Exercice 12.
On considère la fonction g : x 7→
x
.
ln (x)
1. Déterminer le domaine de définition D de g puis étudier ses variations sur ce domaine. On dressera le tableau de
variations complet (limites aux bornes du domaine de définition comprises).
2. On rapporte le plan à un repère orthonormé R = (O;~ı, ~).
Après avoir précisé les éventuelles asymptotes verticales ou horizontales, tracer la courbe représentative de g.
3. (a) Déterminer g (]0, 1[) et g (]1, +∞[). On rédigera avec soin sa réponse.
(b) Pour I = ]0, 1[, puis I = ]1, +∞[, déterminer (s’ils existent) sup g (x) et inf g (x). Préciser dans chaque cas s’il
x∈I
s’agit du maximum ou du minimum de g sur I.
3
x∈I