TD5 -L1

Licence de mathématiques L1
Analyse 1
Université de Nîmes
Année 2023-2024
TD 5. Fonctions réelles
Exercice 1. Montrer que, pour tout x>0, on a ln (1 + x)>x−x2
2.
Indication.
Étudier succinctement les variations de la fonction ϕ:x7→ ln (1 + x)−x−x2
2sur R+.
Exercice 2.
On considère la fonction f:x7→ x−2 ln (3ex+ 3).
1. Déterminer le domaine de définition Dde fpuis étudier ses variations sur ce domaine. On dressera le tableau de
variations complet (limites aux bornes du domaine de définition comprises).
Indications.
Pour calculer lim
x→+∞f(x), commencez par factoriser (3ex+ 3) par ex, puis utilisez les propriétés de ln.
N’hésitez pas à utiliser votre calculatrice ou le logiciel GeoGebra pour visualiser le graphe de la fonction et ainsi
contrôler vos réponses.
2. Montrer que fest une fonction paire (i.e., pour tout x∈R,f(−x) = f(x)). Comment aurait-on pu utiliser cette
propriété à la question 1 ? Tracer le graphe de fdans le plan muni d’un repère orthonormé.
3. (a) En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, déterminer f(]−∞,0]) . On rédigera avec soin sa réponse.
(b) Déterminer (s’ils existent) sup
x∈R
f(x)et inf
x∈Rf(x). Préciser dans chaque cas s’il s’agit du maximum ou du
minimum de fsur R.
Exercice 3.
Déterminer le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité des fonctions suivantes. On calculera dans chaque
cas la fonction dérivée.
(i) f(x) = 1
ex−1; (ii) g(x) = qln(x) + 1 x; (iii) h(x) = qx−2 1+x.
Indications.
(ii) Pour le domaine de définition, on pourra étudier succinctement les variations de la fonction auxiliaire
ϕ:x7→ ln x+1
x.
(iii) Penser que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. Étudier la dérivabilité au(x) point(s) problématique(s)
en revenant à la définition du nombre dérivé en un point.
Exercice 4.
Calculer les limites suivantes :
(i) lim
x→+∞
x3+2x2−3
2x+1 ; (ii) lim
x→0
x(1−cos x)
tan2(2x); (iii) lim
x→0+sin (3x) ln x; (iv) lim
x→0
(1−ex) sin x
x2+x3;
(v) lim
x→+∞√x−ln(x2); (vi) lim x→+∞
√x2+ 2x−1−x; (vii) lim
x→1
x3−1
x2−1;
(viii) lim
x→+∞x1
x; (ix) lim
x→+∞1 + 2
xx; (x) lim
x→(π
2)−
(tan x)cos x.
Indications.
Pour lever une indétermination du type « ∞−∞ » ou « ∞
∞» : on factorise par les termes prépondérants et on utilise les
croissances comparées.
Avec des racines carrées : on peut aussi penser à l’expression conjuguée.
Pour lever une indétermination du type « 0
0» : on peut essayer de mettre en évidence des limites usuelles (celles qui
viennent des dérivées en 0des fonctions usuelles).
Pour (vii) : se ramener à une limite en 0en posant X=x−1.
Pour (viii),(ix) et (x) : commencer toujours par écrire l’expression à l’aide de la définition axdéf =exln(a)(pour a > 0).
Pour le (x) : après avoir écrit la définition, penser que tan x=sin(x)
cos(x)et utiliser les propriétés de ln.
1

Exercice 5.
Donner la valeur des expressions suivantes : arctan (0) ;arctan (−1) ;arctan √3;tan (arctan (9)) ;arctan tan 2π
3.
Exercice 6.
1. Préciser le domaine de définition et de dérivabilité de la fonction f:x7→ arctan (x) + arctan 1
xpuis calculer sa
dérivée.
2. En déduire que, pour tout x∈R∗, on a
arctan (x) + arctan 1
x!=
π
2si x > 0 ;
−π
2si x < 0.
Indication . Soient fet gdeux fonctions dérivables sur un même intervalle Ide R.
Si f0=g0sur I, alors il existe une constante Ctelle que, pour tout x∈I,f(x) = g(x) + C.
Exercice 7.
Soit fla fonction définie sur D=R\ {1}par x7→ f(x) = arctan 1+x
1−x.
1. Calculer les limites de faux bornes de son domaine de définition.
2. Justifier la dérivabilité de fsur Det calculer sa dérivée.
3. En reconnaissant la dérivée d’une fonction usuelle, simplifier l’expression de f.
Compléments
Exercice 8. Soient Aet Bdeux parties de Ret soient f:A−→ Bet g:B−→ Rdeux applications.
1. Montrer que :
(a) Si fet gsont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors g◦fest croissante sur A.
(b) Si l’une des fonctions f, g est croissante et l’autre décroissante, alors g◦fest décroissante sur A.
(c) Si fest bijective et monotone, alors elle est strictement monotone et son application réciproque f−1est
également strictement monotone, de même sens de monotonie que f.
2. Application.
Sans aucun calcul, donner le sens de variation des fonctions f:x7→ e√xsur R+et g:x7→ e1
xsur R∗
+.
Exercice 9.
1. On considère les fonctions réelles f:x7→ 3
xet g:x7→ 2−x 2+x.
Déterminer le domaine de définition et l’expression des fonctions composées g◦fet f◦g.
2. Même question avec f:x7→ x2−1et g:x7→ √x−1.
Exercice 10. Soit f:R−→ Rune application et soient aet `deux nombres réels.
Montrer que :
lim
x→af(x) = `⇐⇒ (∀ε > 0,∃η > 0,∀x∈R,|x−a|6η=⇒ |f(x)−`|6ε).
2

Exercice 11. TVI et racines d’un polynôme de degré 3
1. Montrer que si a6= 0, alors le polynôme P(x) = ax3+bx2+cx +dadmet au moins une racine réelle.
2. Montrer que cette racine est unique lorsque a6= 0 et que 4b2−12ac 60.
Indication .Penser au TVI cas strictement monotone.
Exercice 12.
On considère la fonction g:x7→ x
ln (x).
1. Déterminer le domaine de définition Dde gpuis étudier ses variations sur ce domaine. On dressera le tableau de
variations complet (limites aux bornes du domaine de définition comprises).
2. On rapporte le plan à un repère orthonormé R= (O;~ı,~).
Après avoir précisé les éventuelles asymptotes verticales ou horizontales, tracer la courbe représentative de g.
3. (a) Déterminer g(]0,1[) et g(]1,+∞[). On rédigera avec soin sa réponse.
(b) Pour I= ]0,1[, puis I= ]1,+∞[, déterminer (s’ils existent) sup
x∈I
g(x)et inf
x∈Ig(x). Préciser dans chaque cas s’il
s’agit du maximum ou du minimum de gsur I.
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