chap5 limites

Année 2005-2006 1èreS
Chap V : Limites et asymptotes
I. Limites en l’infini
1) Limite infinie à l’infini
Définition 1 : Soit fune fonction définie au moins sur un intervalle du type [a; +∞[:
On dit que fa pour limite +∞en +∞et on note lim
x→+∞
f(x) = +∞si f(x)est aussi
grand que l’on veut dès que xest assez grand ( Lorsqu’on dit grand, on sous-entend
positif ).
faire le lien avec tableau de variations
Exemple : lim
x→+∞
x= +∞;lim
x→+∞
x2= +∞;lim
x→+∞
x3= +∞;lim
x→+∞
√x= +∞
On définit de même lim
x→+∞
f(x) = −∞ par f(x)est aussi grand dans les négatifs que l’on veut dès
que xest assez grand.
On définit encore de manière analogue lim
x→−∞
f(x) = +∞,lim
x→−∞
f(x) = −∞ (attention toutefois à
l’ensemble de définition).
Exemple : lim
x→−∞
x=−∞;lim
x→−∞
x2= +∞;lim
x→−∞
x3=−∞
2) Limite finie à l’infini
Définition 2 : Soit fune fonction définie au moins sur un intervalle du type [a; +∞[:
On dit que fa pour limite 0en +∞et on note lim
x→+∞
f(x) = 0 si f(x)est aussi
petit que l’on veut dès que xest assez grand ( Lorsqu’on dit petit, on sous-entend
proche de zéro ).
On définira de même : lim
x→−∞
f(x) = 0.
Exemple : lim
x→+∞
1
x= 0;lim
x→+∞
1
x2= 0;lim
x→+∞
1
x3= 0;lim
x→+∞
1
√x= 0
Exemple : lim
x→−∞
1
x= 0;lim
x→−∞
1
x2= 0;lim
x→−∞
1
x3= 0
Page 1/5

Année 2005-2006 1èreS
On peut à présent définir une limite quelconque en l’infini :
Définition 3 : Soit fune fonction définie au moins sur un intervalle du type [a; +∞[:
Avoir lim
x→+∞
f(x) = lest équivalent à avoir lim
x→+∞[f(x)−l] = 0
Remarque : lim
x→+∞
f(x) = l⇔f(x) = l+ε(x)avec lim
x→+∞
ε(x) = 0.
−→ démonstration
Remarque : Une fonction n’a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsque xtend vers
+∞:
fdéfinie sur Rpar f(x) = cos(x)n’a de limite ni en −∞ ni en +∞.
II. Limite en un point a
1) Limite en 0
Définition 4 : Soit fune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en 0:
Si f(x)est aussi grand (positif) que l’on veut dès que xest assez proche de 0, on
dit que fa pour limite +∞en 0et on note lim
x→0f(x) = +∞.
(On définit de même lim
x→0f(x) = −∞.)
Exemple : lim
x→0
1
x2= +∞lim
x→0
1
√x= +∞.
Remarque : Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de 0, on notera
alors :
lim
x→0
x > 0
1
x= +∞et lim
x→0
x < 0
1
x=−∞ ou encore lim
x→0
x > 0
1
x3= +∞et lim
x→0
x < 0
1
x3=−∞
On note également parfois : lim
x→0+
1
x3= +∞.
Définition 5 : Soit fune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en 0:
Si f(x)est aussi petit que l’on veut (proche de 0) dès que xest assez proche de 0,
on dit que fa pour limite 0en 0et on note lim
x→0f(x) = 0.
Exemple : lim
x→0x= 0;lim x→0x2= 0;lim x→0x3= 0;lim x→0√x= 0
Définition 6 : Soit fune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en 0:
On dit que fa pour limite len 0lorsque la fonction x7→ f(x)−la pour limite 0
en 0.
Remarque : On peut traduire mathématiquement cette définition par
lim
x→0f(x) = l⇔lim x→0f(x)−l= 0
Page 2/5

Année 2005-2006 1èreS
2) Limites en a∈R
Définition 7 : Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert en a, on dit que fa une limite
en asi la fonction h7→ f(a+h)a une limite en 0et alors :
lim
x→af(x) = lim
h→0f(a+h)
Exemple : On a lim
x→11 + 1
(x−1)2= lim
h→01 + 1
h2= +∞.
Remarque : lim
x→af(x) = l⇔f(x) = l+ε(x)avec lim x→aε(x) = 0.
Remarque : Si a∈Dfet si lim
x→af(x)existe, alors lim x→af(x) = f(a).
Exemple : Si a > 0,lim
x→a√x=√a.
Si Pest un polynôme, lim
x→aP(x) = P(a).
Si Rest une fraction rationnelle définie en a,lim
x→aR(x) = R(a).
III. Opérations sur les limites
Dans toute cettte partie les limites des fonctions fet gsont (( aux mêmes points )) à savoir +∞,
−∞ ou a∈R.
1) Somme
On a le tableau récapitulatif suivant :
lim f(x) = l l l +∞ −∞ +∞
lim g(x) = l′+∞ −∞ +∞ −∞ −∞
lim f(x) + g(x)=l+l′+∞ −∞ +∞ −∞ F.I
2) Produit
On a le tableau récapitulatif suivant :
lim f(x) = l l > 0l < 0l > 0l < 0 +∞ −∞ +∞0
lim g(x) = l′+∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ou −∞
lim f(x)×g(x)=ll′+∞ −∞ −∞ +∞+∞+∞ −∞ F.I
Page 3/5

Année 2005-2006 1èreS
3) Quotient
On a le tableau récapitulatif suivant :
lim f(x) = +∞ −∞ ±∞ l < 0ou −∞ l > 0ou +∞0
lim g(x) = l′>0l′<0l′>0l′<0±∞ 0+0−0+0−0
lim f(x)
g(x)=+∞ −∞ −∞ +∞F.I +∞ −∞ −∞ +∞F.I
Remarque : •0+(resp. 0+) indique que la limite est nulle et que la fonction reste positive (resp.
négative).
•Il y a quatre formes indéterminées : +∞ − ∞;0× ∞;∞
∞;0 0
Remarque : Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n’importe quelle
limite.
Exemple : On cherche lim
x→+∞x3−3x2+ 4x+ 1.
Si on voit ce polynôme comme une somme de monômes on obtient une F.I. du type
+∞ − ∞ mais on peut toujours écrire x3−3x2+ 4x+ 1 = x31−3
x+4 x2+1 x3
avec lim
x→+∞
x3= +∞et lim
x→+∞1−3
x+4 x2+1 x3= 1 −0 + 0 + 0 = 1 par somme
des limites. On a donc, par produit des limites, lim
x→+∞x3−3x2+ 4x+ 1= +∞vu
comme (( 1×+∞)).
−→ A faire en TD : cas des polynômes et des fractions rationnelles.
IV. Interprétation graphique et asymptotes
1) Asymptote horizontale
Si lim
x→+∞
f(x) = l,
pour Met Ples points d’abscisses x, lorsque xprend des valeurs de plus en plus grandes, la distance
P M tend vers 0:
On dit alors que la droite Dd’équation y=lest asymptote horizontale à la courbe Cfau voisinage
de +∞.
Interprétation graphique pour lim
x→−∞
f(x) = l
0
1
2
3
012345678
x
y
x
lD
Cf
•
•
P
M
Remarque : On peut définir de même l’asymptote d’équation y=len −∞ si lim
x→−∞
f(x) = l
Page 4/5

Année 2005-2006 1èreS
2) Asymptote verticale
Si lim
x→af(x) = ±∞,
on dit que la droite Dd’équation x=aest asymptote verticale à la courbe Cf.
Pet Msont ici les deux points de même ordonnée et la distance P M tend vers zéro lorsque cette
ordonnée de Pet Mtend vers +∞.
Interprétation graphique pour lim
x→af(x) = −∞
0
1
2
3
4
0123
x
y
a
D
Cf
••
P M
3) Asymptote oblique
Définition 8 : Soit fune fonction définie sur un intervalle du type [α; +∞[, s’il existe deux réels a
et btels que lim
x→+∞[f(x)−(ax +b)] = 0 on dira que la droite Dd’équation y=ax+b
est asymptote oblique àCfau voisinage de +∞.
Remarque : •La méthode de détermination est H.P.
•On a nécessairement lim
x→+∞
f(x) = +∞
Interprétation graphique, avec Pet
Mles deux points d’abscisses x, pour
lim
x→+∞[f(x)−(ax +b)] = 0
0
1
2
3
4
012345678
x
y
x
D
Cf•
•
P
M
On peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de −∞ si lim
x→−∞ [f(x)−(ax +b)] = 0.
Page 5/5