polycopié mécanique des fluides

M´ ecanique des fluides
De la physique des fluides ` a l’´ equation de Bernoulli

Table des mati`eres
1 Dessine moi une particule fluide 2
1.1 Une bref aper¸cu de la physique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Laparticulefluide.............................. 4
1.3 Les grandeurs locales et globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Bilandelasection ............................. 7
2 Point de vu Lagrangien et Eulerien 8
2.1 Introduction................................. 8
2.2 De la variation lagrangienne `a la quantification Eulerienne . . . . . . . 8
2.3 Bilandelasection ............................. 13
3 La dynamique de l’´ecoulement 14
3.1 Hypoth`esedebases............................. 14
3.2 La conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Dynamiquedufluide ............................ 18
3.3.1 La variation de quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.2 Le bilan des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.3 Lescontraintes ........................... 21
3.3.4 Bilan de la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Conditions limites et vorticit´e 30
4.1 Les conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5´ Equation de Bernoulli 32
5.1 Introduction................................. 32
5.1.1 Reformulation de l’´equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 32
5.2 L’´equation de Bernoulli pour les ´ecoulements stationnaires . . . . . . . 33
5.3 L’´equation de Bernoulli pour les ´ecoulements irrotationnels . . . . . . . 34
5.4 fin ...................................... 35
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Chapitre 1
Dessine moi une particule fluide
1.1 Une bref aper¸cu de la physique des fluides
Sous l’appellation ”milieu fluide”, sont regroup´es plusieurs ´etats de la mati`ere,
dont les principaux sont : les liquides, les gaz et les plasma (n´eon ionis´e, surface
du soleil). Afin de mieux d´efinir ces milieux fluides, on les oppose aux solides. Dans
ces derniers, les atomes respectent une structure fixe et ordonn´ee. Leur mobilit´e se
r´esume g´en´eralement `a des oscillations inf´erieures `a la distance inter-atomique autour
de leur position dans la maille, dont les vibrations du r´eseau sont `a l’origine du trans-
fert thermique. La propri´et´e qui est en d´ecoule, essentielle pour le m´ecanicien, est
la conservation des distances entre les diff´erents points d’un objet solide. La dyna-
mique de cet objet, trait´ee par la m´ecanique du solide, se r´eduit alors `a la dynamique
d’un seul point, pouvant ˆetre le centre de masse ; la dynamique des autres points se
d´eduisant du pr´ec´edent grˆace aux lois de composition des vitesses. Or pour les fluides,
cette propri´et´es disparait et toute la m´ecanique doit ˆetre refond´ee. Aussi, ´emerge aux
18-19i`eme si`ecles une nouvelle disciple, la m´ecanique des milieux continus, qui d´ecrit la
dynamique des corps d´eformables.
Revenons `a nos fluides, dont les particules (atomes, mol´ecules) ont une grande
mobilit´e. Ces particules peuvent se d´eplacer sur plusieurs distances inter-particulaires,
avec une diff´erence notable de comportement entre les liquides et les gaz. Ces fluides
n’ont donc pas de structure fixe et ordonn´ee. Le milieu peut alors se d´eformer sous
l’effet des forces externes (gravit´e, frottement) ou internes (pression, contrainte vis-
queuse). La m´ecanique des milieux continus, dont la m´ecanique des fluides constitue un
sous-ensemble, a pour objectif de relier ces forces exprim´ees sous la forme de champs
continus, aux d´eformations du corps. Pour la m´ecanique des fluides, on s’int´eressera
plus sp´ecifiquement aux ´ecoulements, qu’on caract´erisera par des champs de vitesse.
Les liquides sont caract´eris´es par des interactions `a distance attractives entre par-
ticules, dont les amplitudes, bien que moins fortes que dans un solide, sont non-
n´egligeables. Les distances inter-atomiques ´etant plus faibles, les liquides ont ainsi
une densit´e volumique g´en´eralement plus grande que les gaz. Ces forces induisent la
pr´esence d’une enthalpie de vaporisation lors du passage du liquide au gaz r´esultant
du surplus d’´energie n´ecessaire pour ”briser” ces interactions. Autre propri´et´e due
aux interactions, les liquides non-miscibles (type eau-huile) ou les liquides au contact
d’un gaz (eau-air) ont une interface distincte s´eparant les deux fluides. Les particules
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`a l’interface subissent une dissym´etrie dans les forces attractives des deux fluides. Ce
ph´enom`ene est associ´e `a une ´energie concentr´ee dans l’´epaisseur de l’interface, qui est `a
l’origine des ph´enom`enes capillaires. Ainsi, un accroissement infinit´esimal de la surface
dSimplique un accroissement de l’enthalpie dH=σdSavec σla tension superficielle
de surface. Autre fait remarquable, leur viscosit´e diminue avec la temp´erature, alors
qu’un comportement inverse est observ´e pour les gaz. L’explication provient encore
une fois des interactions qui produisent un entrainement des particules entre-elles.
Lorsque la temp´erature augmente, ces interactions sont ´ecrant´ees par l’agitation ther-
mique, diminuant ainsi l’efficacit´e de cet entrainement et donc de la viscosit´e pour les
liquides.
Pour les gaz, les particules sont faiblement influenc´ees par les interactions `a dis-
tance. Dans un grand nombre d’applications, le mod`ele du gaz parfait, qui ne prend
pas en compte ces interactions, est suffisant pour d´ecrire la relation entre les grandeurs
intensives du gaz (pression et temp´erature) et celles extensives (nombre de moles et
volume). Les gaz peuvent donc ˆetre facilement comprim´es, impliquant une variation de
la densit´e molaire ou massique au sein du fluide, alors que la compression d’un liquide
n´ecessite de tr`es fortes pressions. Si ces interactions deviennent non-n´egligeables, du
fait d’une densit´e ou de pression ´elev´ees, le mod`ele du gaz parfait est corrig´e par
celui de Van Der Waals. L’agitation particulaire de nature entropique est `a l’ori-
gine de la forte dispersion des gaz. Pourquoi entropique ? Car l’augmentation de la
temp´erature s’accompagne d’une augmentation de l’agitation microscopique, en ac-
cord avec la th´eorie cin´etique des gaz. La quantit´e de mouvement se transmet dans
le fluide de mani`ere balistique sans collision, ou pour les gaz plus denses, par une
dynamique collisionnelle. Dans un gaz, la viscosit´e, qui caract´erise l’efficacit´e de la
diffusion de la quantit´e de mouvement, est une fonction croissante de la temp´erature.
Il en est de mˆeme pour la plupart des ph´enom`enes de diffusion dans les gaz. Ainsi,
les gaz se m´elangent g´en´eralement bien ensemble, car l’agitation combin´ee aux faibles
interactions augmentent le libre parcours moyen des particules. Fort heureusement,
car sans cette propri´et´e, nous ne pourrions respirer sans nous ´etouffer dans le CO2 que
nous rejetons.
Les plasmas appartiennent aussi `a la cat´egorie des milieux fluides. Bien que pr´esent
le plus souvent sous forme artificielle dans notre quotidien (n´eon, d´echarge ´electrique),
cet ´etat repr´esente 99% de la mati`ere existante et connue dans l’univers. Le plasma
est analogue `a un gaz, `a la diff´erence pr`es que l’agitation particulaire est telle que
la neutralit´e ´electronique de la particule n’est plus respect´ee. Les ´electrons sont ainsi
libres, et le fluide devient alors un conducteur d’´electricit´e.
Dans le cadre de ce cours, nous ne consid´ererons que les gaz et les liquides, qui
ne se distingueront que par leur propri´et´es physiques (viscosit´e et densit´e massique).
Nous ne consid´ererons que les fluides dont la masse volumique ne varient pas : ce sont
les ´ecoulements incompressibles.
Bien entendu, il existe des ´etats jouant les troubles faits en ´etant `a la fronti`ere
des ´etats fluides et solides. L’´etat vitreux (verre, gel...) a un comportement m´ecanique
analogue `a un solide, alors qu’il s’´ecoule sur des ´echelles de temps long `a l’instar d’un
liquide. De mˆeme, tous les liquides dont la viscosit´e est tr`es grande (bitume, lave,
glacier) ont un comportement solide ou liquide, selon l’´echelle de temps d’observation.
Les milieux granulaires, comme le sable, ont aussi des propri´et´es `a mi-chemin entre
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les solides et les fluides. Au sein mˆeme de la famille des fluides, certains mat´eriaux
partagent les propri´et´es de certains ´etats (liquide, gaz, plasma). L’´etat supercritique
sur le diagramme de transition des fluides est un ´etat interm´ediaire entre le liquide
et le gaz. Les m´etaux liquides (mercure, m´etal fondu..etc) se comportent comme des
liquides, mais peuvent aussi conduire des courants `a l’instar des plasma grˆace `a leur
nature m´etallique.
1.2 La particule fluide
Maintenant que nous avons identifi´e l’objet de notre ´etude, se pose la question du
passage du microscopique au macroscopique. En m´ecanique du point, il est possible
de r´eduire un solide ayant une extension 3D `a un simple point, le centre de masse
de dimension nulle. Ce passage du complexe (un grand nombre d’atomes) au simple
(un seul point repr´esentant le solide) est possible car, pour rappel, un objet solide est
caract´eris´e par des distances constantes entre tous les points du solide. Le mouvement
de chaque particule, dont sa distance au centre de masse est connue, se d´eduit alors
de la dynamique du centre de masse.
Or cette propri´et´e disparait pour les fluides, du fait de l’absence de structure or-
donn´ee et fixe. Aussi, notre objectif vise `a r´eduire la complexit´e du milieu pour d´ecrire
sa dynamique. Sans cette simplification, il est inenvisageable de d´ecrire le mouve-
ment du fluide. Pour s’en convaincre, nous consid´ererons un volume d’eau de 1L, dont
la masse molaire est de 18 g/mol. Nous avons donc n= 1000/18 = 55.5mol soit
N= 3.3∧1025 particules ; le chantier semble compliqu´e. Par ailleurs, la complexit´e
des interactions augmente factoriellement. La premi`ere particule a N−1 interactions
possibles avec ses cong´en`eres. Passons `a la seconde. Ayant d´ej`a compt´e celle qu’elle a
avec la premi`ere, nous avons N−2 interactions possibles avec les autres particules.
Ainsi de suite, ce qui, par le jeu des permutations, donne un nombre de configurations
(N−1)!. Fin de chantier. La prochaine fois que vous vous verserez un verre, je vous
conseille de r´efl´echir `a la complexit´e en (N−1)! avec N≃1025 de cet ´ecoulement (la
limite de N! pour Ngrand est de l’ordre de N!∼NN+1
2), qui est de (1025)1025 .
Il faut donc r´eduire localement la complexit´e microscopique, `a l’instar de la m´eca-
nique du point, `a un objet englobant plusieurs particules. Le but est de r´eduire les
propri´et´es physiques locales du fluide (masse, viscosit´e..etc) et cin´ematique (vitesse,
´energie cin´etique) `a un objet physique homog`ene, tout en restant tr`es petit `a l’´echelle
macroscopique afin de l’assimiler `a un point pour un observateur humain. La dimen-
sion de ce nouvel objet physique est respectivement grande ou petite, si on l’observe du
point de vu de la particule ou de l’observateur humain. Cet objet se nomme la parti-
cule fluide et est la brique ´el´ementaire sur laquelle repose les concepts de la m´ecanique
des fluides. Cette particule est construite artificiellement `a partir d’un point localis´e
par la position ⃗x (on suppose la pr´esence d’un rep`ere Galil´een) autour duquel, dans un
volume de contrˆole V, on d´efinit les propri´et´es moyennes comme la masse volumique
ou la vitesse moyenne des particules. En notant mpet ⃗vp, la masse et la vitesse d’une
particule, la masse volumique ρ(⃗x) et la vitesse ⃗u(⃗x) de la particule fluide sont d´efinies
par la moyenne des masses et des vitesses des particules dans le volume de contrˆole
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