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Solutions des exercices : Équations et
Inéquations du second degré - 2nd
Exercice 1
a) x 2 + 2x = (x + 2) 2 − 1 ;
( )
1
2
c) x 2 − x = x −
2
( )
e) x 2 + 3x = x +
3
2
1
;
4
−
2
b) x 2 + 6x = (x + 3) 2 − 9
−
d) x 2 − 4x = (x − 2) 2 − 4
9
;
4
f) x 2 −
( )
1
1
x= x−
2
4
2
−
1
16
Exercice 2
a) (x + 1) 2 + 2
( )
c) x −
e) 4
1
2
2
−
b) (x − 2) 2 + 4
[
81
4
d) 2 (x + 1) 2 −
[( ) ]
x+
1
4
2
−
[
g) − (x − 2) 2 −
13
16
49
16
]
f) −
9
2
]
[( ) ]
x+
1
4
2
−
49
16
h) − 3[(x + 1) 2 − 6]
Exercice 3
a) S =
{
0; −
5
2
}
b) S =
{ }
0;
49
2
c) L'équation équivaut à : (x + 5) 2 − 4(x + 5) = 0, soit à :
(x + 5)[(x + 5) − 4] = 0 ,
S = { − 5 ; − 1}
d) L'équation équivaut à : (x + 5)(x − 5) + 3(x + 5) = 0, soit à :
(x + 5)[(x − 5) + 3] = 0 ,
e) S =
{
−
9
2
;
9
2
S = { − 5 ; 2}
}
f) L'équation équivaut à : [(x − 9) − 7][(x − 9) + 7] = 0,
soit à : (x − 16)(x − 2) = 0 ,
S = {16 ; 2}
g) L'équation équivaut à : [(3x − 7) − 2(x + 1)][(3x − 7) + 2(x + 1)] = 0,
soit à : (x − 9)(5x − 6) = 0 ,
S=
{ }
9;
6
5
Exercice 4
a) S = {6}
b) S =
{ }
−
3
2
c) S =
{ }
d) S = {3 ; 2}
e) S =
{
f) S =
−1 ;
7
2
−1 ;
4
3
}
g) S = {− 8 ; 2}
h) S =
i) S = {− 1 ; 4}
k) S =
{
−
}
m) S = {5 ; 1}
∅
l) S =
{ }
3
; 1
2
n) S = {− 1 ; 3}
o) S =
{
q) S =
{− 2√2 ; √2 }
s) S =
{ − 1 − √2 ; 1 − √2 }
9 − √41
u) Δ = 1 ; S =
1
; 3
3
j) S = {15 ; 7}
17
; 2
5
2
{ }
;
9 + √41
2
}
r) S =
p) S = {2 ; − 1}
{ √3 }
t) S =
{ }
√5
2
{ 2 − √2 ; 1 − √2 }
v) Après développement du premier membre, l'équation se réduit à :
3x 2 + 10x + 3 = 0 ,
S=
{
−
1
; −3
3
}
Exercice 5
1) On a Δ = b 2 − 4ac = (2b ′ ) 2 − 4ac = 4(b ′ 2 − ac) = 4Δ ′ . Donc Δ et Δ ′ ont même signe, de sorte que :
− si Δ ′ < 0, alors Δ < 0 et (E) n'a pas de solution réelle.
− si Δ ′ = 0, alors Δ = 0 et (E) a une solution double x 0 = −
b
2b ′
b′
= −
= −
2a
2a
a
− si Δ ′ > 0, alors Δ > 0 et (E) a deux solutions :
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′
x =
− b − √Δ
2a
− 2b ′ −
=
√4Δ ′
2a
√
− 2b ′ − 2 Δ ′
=
2a
−b ′ −
=
√Δ ′
a
et
x″ =
2) a) Δ ′ = 1 , S = {− 7 ; − 5}
c) Δ ′ = 2 , S =
2a
− 2b ′ +
=
f) Δ ′ =
√
− 2b ′ + 2 Δ ′
=
−b ′ +
=
2a
√Δ ′
a
∅
{}
3
2
d) Δ ′ = 0 , S =
{√3 − 5 ; √3 + 5 }
√4Δ ′
2a
b) Δ ′ = − 1 , S =
{5 − √2 ; 5 + √2}
e) Δ ′ = 25 , S =
− b + √Δ
7
, S=
9
{
− 2 − 2√ 7
9
;
− 2 + 2√7
9
}
Exercice 6
1) L'équation est du second degré si et seulement si le coefficient de x 2, c'est-à-dire (m − 1), est non nul. Donc E = R ∖ {1}.
2) a) Δ = 12m − 6. L'équation n'a pas de solution si et seulement si Δ < 0, c'est-à-dire si et seulement si : m <
b) L'équation a une solution double si et seulement si Δ = 0
⇔
m=
c) L'équation a deux solutions distinctes si et seulement si Δ > 0
S=
{
− m − √3m − 2
m−1
;
⇔
1
2
1
.
2
m>
1
.
2
− m + √3m − 2
m−1
}
3) Nous présentons les résultats sous la forme d'un tableau. On a les ensembles de solutions suivants dans les cas où
m ∈ E (deux solutions) :
a) S = {m + 1 ; m}
c) S =
{
e) S =
{
1;
2 − 3m
m
b) S = {− 1 ; 2m + 3}
}
2m + 1 1
;
m
m
d) S =
{
− 1 − √m
m+1
;
− 1 + √m
m+1
}
}
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Equation
E
Δ
Δ>0
(2 solutions)
Δ=0
(1 solution)
Δ<0
(pas de
a)
R
1
Pour tout m
Jamais
solution)
Jamais
b)
R
(m + 2) 2
m≠ −2
m= −2
Jamais
1
m=
2
Jamais
m = 0 ou
m<0
c)
R ∖ {0}
(2m − 1) 2
1
m≠
2
d)
m≠ −1
m(m + 1) 2
m>0
m= −1
e)
m≠0
m
4
m≠0
m=0
Jamais
Exercice 7
1) Pour les équations avec valeurs absolues, il convient de faire un tableau :
a)
x
−∞
2
0
2
+∞
2
x − 2|x| − 3
x + 2x − 3
|
x − 2x − 3
Equation
Solutions
x 2 + 2x − 3 = 0
1 et − 3
|
|
x 2 − 2x − 3 = 0
− 1 et 3
On conclut que : S = { − 3 ; 3}
b)
x
| 4x − 5 |
−∞
− 4x + 5
2
Equation
x − 3x − 15 = − 4x + 5
{
7 + √89
2
4x − 5
2
x − 3x − 15 = 4x − 5
|
4 et − 5
|
−x + 1
5/4
|
x−1
−x − 4
2x( − x + 1) − x − 4 = 0
|
|
x+4
2x(x − 1) + x + 4 = 0
− 2x 2 + x − 4 = 0
|
Solutions
−5 ;
|
+∞
2
⇔
On conclut que : S =
5/4
|
x + x − 20 = 0
⇔
x 2 − 7x − 10 = 0
7 − √89
2
et
7 + √89
2
}
c)
x
|x − 1|
−∞
|x + 1|
Equation
⇔
Solutions
On conclut que : S =
∅
aucune
|
+∞
⇔
2x 2 − x + 4 = 0
aucune
.
2) Pour les équations fractionnaires, il faut d'abord chercher le domaine de définition de l'équation.
a) L'équation est définie si et seulement si x + 2 ≠ 0 et x 2 − x − 6 ≠ 0 c'est-à-dire x ≠ − 2 et x ≠ 3.
Elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
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x 2 − 3x − 5
5 − 2x
=
(x − 2)(x − 3)
x−3
ou encore, après une nouvelle réduction au même dénominateur :
x 2 − 4x − 15
=0
(x + 2)(x − 3)
Le trinôme 3x 2 − 4x − 15 a pour racines −
5
et 3. Or 3 ne peut pas convenir car n'appartenant pas au domaine de définition
3
de l'équation.
On en conclut que : S =
{ }
−
5
3
b) L'équation est définie si et seulement si x ≠ 1 et x ≠ 0.
D = R ∖ {0 ; 1}.
Pour x
∈
D, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
5x − 3
3x 2 − 1
= 2
x(x − 1)
x −x
soit à :
3x 2 − 5x + 2
x2 − x
Le trinôme 3x 2 − 5x + 2 a pour racines
On en conclut que : S =
2
3
=0
et 1. Or 1 ne peut pas convenir d'après les conditions posées au début.
{}
2
3
c) L'équation est définie si et seulement si x ≠ 3 et x ≠ 0.
D = R ∖ {0 ; 3}.
Pour x
∈
D, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
x2 + x − 3
x 2(x
− 3)
=
9
x 2(x
− 3)
soit à :
x 2 + x − 12
x 2(x − 3)
=0
Le trinôme x 2 + x − 12 a pour racines 3 et -4.
On en conclut que : S = {− 4} car 3
∉
D
d) L'équation est définie si et seulement si x ≠ 1 , x ≠ 2 , ≠ 3 et x ≠
26
11
.
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D=R∖
Pour x
{
1; 2; 3;
∈
}
26
.
11
D, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
3x 2 − 12x + 11
33
=
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
11x − 26
soit à :
− 12x 2 + 70x − 88
=0
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(11x − 26)
Le trinôme − 12x 2 + 70x − 88 a pour racines 4 et
On en conclut que : S =
11
.
6
{ }
11
6
4;
3) a) On pose X = x 2. L'équation devient X 2 − 11X + 18 = 0.
Son discriminant est Δ = 11 2 − 4 × 18 = 49. Ses racines sont 2 et 9.
Donc, on a X = x 2 = 9 ou bien X = x 2 = 2. , S = {√2 ; − √2 ; 3 ; − 3}
b) S =
{
√6
e) S =
{
√7
3
7
√6
; −
3
}
c) S =
√7 √2
; −
7
;
2
; −
∅
√2
2
}
d) S =
f) S =
{ √2 ;
{
√3
3
− √2
; −
}
√3
3
}
2x + 1
. L'équation devient X 2 + 2X − 3 = 0. Ses racines sont 1 et − 3.
x−3
g) On pose X =
Donc, on a : X =
2x + 1
2x + 1
= 1 ou bien
= −3
x−3
x−3
⇔
2x + 1 = x − 3 ou bien 2x + 1 = − 3(x − 3)
⇔
2x − x = − 3 − 1 ou bien 2x + 1 = − 3x + 9
⇔
x = − 4 ou bien 2x + 3x = 9 − 1
⇔
x = − 4 ou bien 5x = 8
⇔
x = − 4 ou bien x =
8
5
Ainsi,
S=
{
−4 ;
8
5
}
L'équation devient X 2 − 5X − 6 = 0. Ses racines sont 6 et -1.
h) On pose X =
√x.
Donc, on a X =
√x = 6 car un carré n'est jamais négatif.
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S = {36}
Exercice 8
Les nombres x et y, s'ils existent, sont les solutions de l'équation du second degré :
X 2 − SX + P = 0
On a les résultats suivants :
a) x = 15 et y = 11 ou bien x = 11 et y = 15
b) x = y = − 23
c) x = 1 − √2 et y = 1 + √2 ou bien x = 1 + √2 et y = 1 − √2
d) x et y n'existent pas
e) x =
2
et y =
7
f) x = −
3
ou bien x =
5
3
5
et y =
2
7
5
4
4
5
et y = −
ou bien x = −
et y = −
9
9
9
9
g) x = 101 et y = 99 ou bien x = 99 et y = 101
Exercice 9
En désignant par S la somme des racines (x ′ + x ″ ) et par P leur produit (x ′ x ″ ), on a :
⋅
E1 =
⋅
E2 =
x ′2 + x ″2
x ′ 2x ′ 2
x ′3 + x ″3
=
=
(x ′ + x ″ ) 2 − 2x ′ x ″
(x ′ x ″ ) 2
=
S(S 2 − 2P − P)
P3
P2
(x ′ + x ″ )(x ′ 2 − x ′ x ″ + x ″ 2)
(x ′ x ′ ) 3
(x ′ x ″ ) 3
Soit, d'après le calcul précédent :
E2 =
S 2 − 2P
=
d'après une formule d'identité remarquable relative à la somme de 2 cubes.
S(S 2 − 3P)
P3
(x ′ 2 + x ″ 2) + 4(x ′ + x ″ ) + 6
E3 =
⋅
E 4 = x ′ 3 + x ″ 3 − 9(x ′ 2 + x ″ 2) + 27(x ′ + x ″ ) − 54, soit d'après les calculs précédents :
(x ′ + 1)(x ″ + 1)
=
S 2 − 2P + 4S + 6
P+S+1
⋅
E 4 = S(S 2 − 3P) − 9(S 2 − 2P) + 27S − 54 = S 3 − 9S 2 − 3PS + 18P + 27S − 54.
Exercice 10
a) Si m = − 1, l'équation est du premier degré et s'écrit : 2x − 4 = 0. Elle a une solution positive x = 2.
Si m ≠ − 1, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S
m−3
2m
(somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : Δ ′ = 2m + 3 , P =
, S=
. L'étude
m+1
m+1
simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
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m
Δ
−∞
−
P
S
−3/2
|
+
−1
||
+
0
|
+
3
|
+
+∞
|
|
+
+
||
||
−
−
|
|
−
+
|
|
+
+
On a alors la discussion suivante :
3
: l'équation n'a pas de solution.
2
⋅
Si m < −
⋅
Si −
⋅
Si − 1 < m < 0 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
⋅
Si 0 < m < 3 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
⋅
Si m > 3 : l'équation a 2 racines positives.
3
< m < − 1 : l'équation a 2 racines positives.
2
Cas particuliers :
3
, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est positive.
2
⋅
Si m = −
⋅
Si m = 0, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule).
⋅
Si m = 3, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car P s'annule tandis que S reste positif).
b) Si m = 3, l'équation n'a aucune solution. (On obtient 1=0 !) Si m ≠ 3, l'équation est du second degré, et les quantités Δ
(discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs
m−2
respectives : Δ ′ = − m + 3 , P =
, S = 2. L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les
m−3
résultats suivants :
m
Δ
P
S
−∞
2
+
+
+
|
|
|
3
+
−
+
|
|
|
+∞
−
On a alors la discussion suivante :
⋅
Si m < 2 : l'équation a 2 racines positives.
⋅
Si 2 < m < 3 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
⋅
Si m > 3 : l'équation n'a pas de solution.
Cas particulier :
⋅
Si m = 2, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car P s'annule tandis que S reste positif).
c) Si m = 6, l'équation est du premier degré et s'écrit : 15x + 10 = 0. Elle a une solution négative x = −
2
.
3
Si m ≠ 6, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S
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(somme
des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :
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m+4
2m + 3
, S= −
.
m−6
m−6
L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
Δ ′ = 20m + 105 , P =
m
Δ
P
−∞
−
− 21 / 4
|
|
|
S
+
+
−4
|
|
−
|
+
−
−3/2
|
|
−
|
+
−
6
|
|
+∞
+
+
+
|
−
On a alors la discussion suivante :
21
⋅
Si m < −
⋅
Si −
⋅
Si − 4 < m < −
⋅
Si −
⋅
Si m > 6 : l'équation a 2 racines négatives.
4
: l'équation n'a pas de solution.
21
< m < − 4 : l'équation a 2 racines négatives.
4
3
: l'équation a 2 racines de signes contraires.
2
3
< m < 6 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
2
Cas particuliers :
21
, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est négative.
4
⋅
Si m = −
⋅
Si m = − 4, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car P s'annule tandis que S reste négatif).
⋅
Si m = −
3
, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule).
2
d) Si m = 2, l'équation est du premier degré et s'écrit : 1=0, donc elle n'admet aucune solution.
Si m = − 2, l'équation est du premier degré et s'écrit : 8x + 1 = 0. Elle a une solution négative.
Si m ≠ 2 et m ≠ − 2, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles
existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :
Δ ′ = 8 − 4m , P =
1
2
m −4
résultats suivants :
, S=
1
. L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les
m+2
m
Δ
P
S
−∞
+
+
−2
||
||
+
−
2
||
||
−
||
+
||
+∞
−
On a alors la discussion suivante :
⋅
Si m < − 2 : l'équation a 2 racines négatives
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⋅
Si − 2 < m < 2 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
⋅
Si m > 2 : l'équation n'a pas de solution.
Exercice 11
1) Une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 a 2 solutions de signes contraires si et seulement si :
{
a
ET
P
≠
0
<
0
a) a = 1, donc a ≠ 0.
P<0
⇔
⇔
b) On doit avoir m ≠ 5 et
7
< 0, soit m
2m − 5
c) On doit avoir m ≠ 5 et
− 4m + 1
<0
m−5
⇔
m
∈
∈
m−3<0
m ∈ ]3 ; + ∞[
] [
] [
−∞ ;
5
.
2
1
; 5 .
4
2) Une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 a 2 solutions positives si et seulement si :
{
a
≠
0
Δ
P
S
>
>
>
0
0
0
a) On obtient le système :
{
m
4m + 13
≠
>
3
0
m+1
m−3
>
0
1 − 2m
m−3
>
0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à une impossibilité.
On en conclut qu'il n'existe pas de valeur de m pour laquelle l'équation admette 2 solutions positives.
b) On obtient le système :
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{
m
9m + 40
≠
>
1
0
m+4
m−1
>
0
−m − 6
m−3
>
0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m
∈
]
−
40
9
; −4
[
∪
]1 ; 3[
3) Une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 a 2 solutions négatives si et seulement si :
{
a
Δ
≠
>
0
0
P
S
>
>
0
0
a) On obtient le système :
{
m
4m + 13
≠
>
3
0
m+1
m−3
>
0
1 − 2m
m−3
<
0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m
{
∈
]
−
m
4m + 40
≠
>
1
0
m+4
m−1
>
0
−m − 6
m−3
<
0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m
∈
13
; −1
4
[
∪
]3 ; + ∞[
]3 ; + ∞[
Exercice 12
a) Si m = − 3, l'équation est du premier degré et s'écrit : − 6x − 8 = 0.
Elle a une solution négative x = −
4
.
3
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Si m ≠ − 3, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S
m−5
− 2m
(somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : Δ ′ = 2m + 15, P =
,S=
.
m+3
m+3
L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
m
−∞
Δ
P
S
−
−
15
2
|
|
|
−3
+
+
−
||
||
||
0
+
−
+
|
|
|
5
+
−
−
|
|
|
+∞
+
+
−
On a alors la discussion suivante :
· Si m < −
· Si −
15
: l'équation n'a pas de solution.
2
15
< m < − 3 : l'équation a 2 racines négatives.
2
· Si − 3 < m < 5 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
· Si m > 5 : l'équation a 2 racines négatives.
Cas particuliers :
· Si m = −
15
2
, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est négative.
· Si m = 0, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule).
· Si m = 5, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car P s'annule tandis que S reste négatif).
2) D'abord, Δ doit être positif, donc on doit avoir m > −
15
.
2
La condition donnée est équivalente à :
2x ′ x ″ − 2(x ′ + x ″ ) = 5, soit à :
{
m
>
−
2P − 2S
=
5
15
2
⇔
⇔
{
m
>
6m − 10
=
15
2
5m + 15
−
m = 25
3) On élimine m entre P et S.
· P=
m−5
m+3
⇒
mP + 3P = m − 5
⇒
m(P − 1) = − 3P − 5.
On vérifie aisément que P ≠ 1, d'où : m =
· S=
− 2m
m+3
⇒
mS + 3S = − 2m
⇒
− 3P − 5
P−1
m(S + 2) = − 3S.
On vérifie aisément que P ≠ 1, d'où : m =
− 3S
S+2
L'égalité des 2 expressions de m donne :
− 3P − 5
P−1
=
− 3S
S+2
⇔
− 3PS − 6P − 5S − 10 = − 3PS + 3S
Soit :
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− 6P − 8S − 10 = 0
4) L'équation est X 2(X ′ + X ″ )X + X ′ X ″ = 0
X2 +
⇔
⇔
3P + 4S + 5 = 0
⇔
3x ′ x ″ + 4(x ′ + x ″ ) − 5
2m
m−5
X+
= 0, ce qui peut encore s'écrire :
m+3
m+3
(m + 3)X 2 + 2mX + m − 5 = 0
Exercice 13
Soit l'équation : x 2 − 2(m + 1)x + m 2 + 2 = 0.
1) L'équation a des racines (distinctes ou confondues) si et seulement si :
Δ′ ≥ 0
⇔
(m + 1) 2 − (m 2 + 2) ≥ 0
⇔
2m − 1 ≥ 0
⇔
1
.
2
m≥
2) Soit x ′ et x ″ les racines.
On a les 3 égalités :
{
x′ + x″
=
2(m + 1)
x′
=
2x ″
x ′x ″
=
m2 + 2
Les 2 premières donnent :
x ′ = 4(m + 1) 3 et x ″ = 2(m + 1) 3.
On reporte ensuite ces valeurs dans la troisième pour déterminer m.
On obtient l'équation suivante :
8(m + 1) 2
= m2 + 2
9
⇔
m = 8 − 3√6 ou m = 8 + 3√6.
(
On vérifie que chacune de ces valeurs est supérieure ou égale à
)
1
.
2
Exercice 14
1) A est un trinôme dont les racines sont
3
et − 4.
2
Son tableau de signes est :
x
−∞
−
3
2
|
+
7
|
−4
A = (2x − 3)(x + 4)
+
|
+∞
+
De même pour B , C , D , E , F et G, on obtient les tableaux suivants :
x
B = (x + 1)(7 − x)
x
C=
x2
−∞
−
−∞
− 11x
−1
|
1
+
|
+∞
−
10
−
|
+∞
+
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x
−∞
3
2
−2
D = − 3x 2 + 4x
−
x
|
+
|
−∞
−
−∞
+∞
2
F = 2x − x + 1
x
−
+∞
E = − 3x 2 + x − 2
x
+∞
+
2
3
−∞
G = − 9x 2 + 12x
−
+∞
|
−
2) On étudie simultanément les signes du numérateur et du dénominateur dans un tableau.
On obtient les résultats suivants :
3x − 1
2−x
−
+
1
3
|
|
H
−
|
x
x
−∞
−∞
3x 2 + 4x − 21
2
− 2x + 9x + 5
I
−7
2
+
+
|
|
+
−
+
|
−
−
1
2
3
5
+∞
+
|
−
|
−
|
+
|
+
−
−
|
|
−
+
|
|
+
−
|
|
+
+
|
|
−
−
− 5x + 3
+
|
+
1
2
|
2
+
+
|
|
−
−
|
|
x
+∞
−∞
2x + 5x − 3
J
−3
+
3
5
|
−
+
+
|
|
+
−
+∞
\begin{array}{|c|lcccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{3}&&\dfrac{7}{2}&&+\infty\\
\hline
&|&+&|&+&\\ \hline 6x^{2}-23x+7&&+&|&+&|&-&|&+&\\ \hline K&&+&|&-&|&-&|&+&\\ \hline \end{array}
3x^{2}+5x-2&&+&|&-
Exercice 15
Inéquations du second degré
1) inéquations du second degré
a) S=\dfrac{2}{3}
b) S=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[
c) S=]-\infty\ ;\ -1]\cup\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[
d) S=\emptyset
e) L’équation équivaut, après transposition à :
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-5x^{2}-2x+2>0.
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S=\left[-\dfrac{1-\sqrt{11}}{5}\ ;\ \dfrac{-1+\sqrt{11}}{5}\right]
f) S=\mathbb{R}
2) inéquations dont la résolution se ramène à celle d’ inéquations du second degré
L’équation équivaut, après factorisation par (2x-3) à : (2x-3)(-x^{2}+x-4)\leq 0.
a) S=\left[\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[
b) S=\left]-2\ ;\ \dfrac{2}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[
(Faire un tableau de signes)
c) S=\left[-5\ ;\ \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\right]
d) Après factorisation, l’équation devient :
-(x^{2}+2x)(x^{2}+8x+4)<0.
S=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{-4-\sqrt{31}}{5}\right[\cup\left]\dfrac{4+\sqrt{31}}{5}\ ;\ 5-2\sqrt{5}\right[\cup]5+\sqrt{5}\ ;\ +\infty[
e) Après factorisation, l’équation devient :
(x^{2}-10x+5)(5x^{2}+8x-3)\geq 0.
S=]-\infty\ ;\ -4-2\sqrt{3}[\cup]-2\ ;\ -4+2\sqrt{5}[\cup]0\ ;\ +\infty[
3) cas où l'inconnue apparaît au dénominateur
a) L'équation est définie si et seulement si
x\neq 1 et x\neq 5.
Après réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
-\dfrac{5x^{2}+52x-63}{2(x-1)(x-5)}<0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]-\infty\ ;\ 1[\cup\left]\dfrac{7}{5}\ ;\ 5\right[\cup]9\ ;\ +\infty[
b) L'équation est définie si et seulement si
x^{2}-x-6\neq 0,
c'est-à-dire si et seulement si x\neq-2 et x\neq 3.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
\dfrac{2(x^{2}-6)}{(x+2)(x-3)}>0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{6}[\cup]-2\ ;\ \sqrt{6}[\cup]3\ ; +\infty[
c) L'équation est définie si et seulement si 2x^{2}-x-1\neq 0,
c'est-à-dire si et seulement si x\neq 1 et x\neq-\dfrac{1}{2}.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
-\dfrac{(x^{2}+4x-6)}{2x^{2}-x-1}>0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=\left]-2-\sqrt{10}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right[\cup]1\ ;\ -2+\sqrt{10}[
d) L’équation est définie si et seulement si x\neq 3 et x\neq-2.
Loadingtransposition
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Après
et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
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\dfrac{5(2-x)(7x+11)}{4(x+2)(x-3)}\geq 0
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=\left]-2\ ;\ -\dfrac{11}{7}\right]\cup[2\ ;\ 3[
e) L'équation est définie si et seulement si x\neq 1 et x\neq 3.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
\dfrac{x^{2}-4x+9}{(x-1)(x-3)}\leq 0
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]1\ ;\ 3[
f) L’équation est définie si et seulement si x\neq 0\;,\ x\neq\dfrac{3}{2} et x\neq\dfrac{7}{6}.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
\dfrac{6x^{2}-15x+10}{(x-1)(2x-3)(6x-7)}\leq 0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]-\infty\ ;\ 1[\cup\left]\dfrac{7}{6}\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[ et x\neq\dfrac{7}{6}.
g) Le tableau de signes de l'expression G=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x} est :
G=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x} est :
\begin{array}{|c|lcccccccccr|} \hline x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{2}&&1&&\dfrac{5}{3}&&+ \infty\\ \hline x-1&&-&|&-&|&&|&+&|&+&\\ \hline 3x^{2}+x-10&&+&|&-&|&-&|&-&|&+&\\ \hline \text{Numérateur}&&-&|&+&|&+&|&-&|&+&\\ \hline 12x&&+&|&+&|&-&|&-&|&-&\\ \hline G&&-&|&+&|&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}
S=\left[-2\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup\left[1\ ;\ \dfrac{5}{3}\right]
Exercice 16
a) x^{2}+x-20=(x+4)(x-5) ;
2x^{2}+7x+3=(x+3)(2x+1)
Désignons par (1) l'inéquation x^{2}+x-20<0 et par (2) l'inéquation 2x^{2}+7x+3\geq 0
\begin{array}{|c|lcccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-4&&-3&&-\dfrac{1}{2}&&5&&+\infty\\
vérifiée}&&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&\\
\hline
vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&\\ \hline \end{array}
\hline
(1)\text{
(2)\text{
est
est
Les réels solutions sont ceux pour lesquels (1) et (2) sont simultanément vérifiées.
On en déduit que :
S=]-4\ ;\ -3]\cup\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\right[
b) Le système proposé est équivalent à :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
(2)\end{array}\right.
x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}&>&0\quad
(1)\\\dfrac{x+11}{x-4}&\leq&0\quad
(1) a pour ensemble de solutions
S_{I}=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup[3\ ;\ +\infty[.
(2) a pour ensemble de solutions
S_{II}=[-11\ ;\ 4[.
(Faire un tableau de signes).
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S=S_{I}\cap S_{II}.
On trouve, après avoir fait un tableau analogue au a) que :
S=\left]-11\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup[3\ ;\ 4[.
c) Le système proposé est équivalent, en prenant les racines carrées des 3 membres à :
\sqrt{2}<|2x-3|<\dfrac{5}{2}, soit à \left(\sqrt{2}<2x-3<\dfrac{5}{2}\right)
ou bien \left(-\dfrac{5}{2}<2x-3<-\sqrt{2}\right)
S=\left]\dfrac{3-\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{11}{4}\right[\cup\left]\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{11}{4}\right[
d) L'inéquation proposée est équivalente au système :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x+1}&<&\dfrac{1}{(x-1)(x-3 )}\quad (1)\\ \dfrac{1}{(x-1)(x-3 )}&<&\dfrac{1}{x+3}\quad(2)
\end{array}\right.
L'inéquation (1) est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :
\dfrac{x^{2}-5x+2}{(x+1)(x-1)(x-3)}<0.
Son ensemble de solutions est
S_{1}=]-\infty\ ;\ -1[\cup\left]\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\ ;\ 1\right[\cup\left]3\ ;\ \dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\right[.
L'inéquation (2) est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :
\dfrac{-x(x-5)}{(x-1)(x+1)(x-3)}<0.
Son ensemble de solutions est
S_{2}=]-3\ ;\ 0[\cup]1\ ;\ 3[\cup]5\ ;\ +\infty[.
Faisons un tableau de signes pour voir là ou les deux inéquations sont simultanément vérifiées.
\begin{array}{|c|lcccccccccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-1&&0&&\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}&&1&&3&&\dfrac{5+\sqrt{17}}
{2}&&
5&&+\infty\\
\hline
(1)\text{
est
vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&\\
\hline
(2)\text{
est
vérifiée}&&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&\\
\hline \end{array}
On conclut de cette étude que
S=S_{1}\cap S_{2}=]-3\ ;\ -1]
e) On fait un tableau pour voir là ou les trois inéquations sont simultanément vérifiées.
2x^{2}+5x-3>0\Leftrightarrow x\in]-\infty\ ;\ -3[\cup\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[ ;
-x^{2}-3x+4\geq 0\Leftrightarrow x\in[-1\ ;\ 4]
x^{2}-2x+1>0\Leftrightarrow x\neq 1
\begin{array}{|c|lcccccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-3&&-1&&\dfrac{1}{2}&&1&&4&&+\infty\\
\hline
(1)\text{
vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&\\
\hline
(2)\text{
vérifiée}&&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&\\ \hline \end{array}
est
est
S=\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right[\cup[1\ ;\ 4]
Exercice 17
1) a) En remplaçant x par 0, on aurait, si 0 était solution de (E), 0^{4}+10\times 0^{3}+26 \times 0^{2}+10 \times 0+1=0, soit
1=0, ce qui est impossible.
b) On peut donc, si x est une solution de (E), diviser les deux membres par x^{2} (puisque x\neq 0), ce qui donne (E').
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2) a) X^{2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2\times
{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2,
x\times\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\dfrac{1}
d’où X^{2}-2=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}.
b) (E’) est équivalente à : \left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)+10\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+26=0,
soit à : (X^{2} -2)+10X+26=0 ou finalement à : X^{2}+10X+24=0.
3) (E'') a pour solutions X_{1}=-4 et X_{2}=-6.
Les solutions de (E) sont donc les réels x tels que :
x+\dfrac{1}{x}=-4\quad (1)\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{x}=-6\quad (2).
L’équation (1) équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
x^{2}+4x+1=0, qui a pour solutions
x_{1}=-2-\sqrt{3}\quad\text{et}\quad x′_{1}=-2- \sqrt{3}.
L'équation (2) équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
x^{2}+6x+1=0, qui a pour solutions
x_{2}=-3-2\sqrt{2}\quad\text{et}\quad x′_{2}=-3+2\sqrt{2}.
L'ensemble des solutions de (E) est donc :
S=\{-2-\sqrt{3}\ ;\ -2+\sqrt{3}\ ;\ -3+2\sqrt{2}\ ;\ -3-2\sqrt{2}\}
4) L’équation réduite correspondante est : 2X^{2}-9X+4=0.
Elle a pour racines \dfrac{1}{2} et 4.
En posant à nouveau X=x+\dfrac{1}{x'}, on trouve :
S={2-\sqrt{3}\ ;\ 2+\sqrt{3}}.
Exercice 18
1) Soit n le plus petit des deux entiers.
L'autre est (n+1).
On a donc l'équation : n^{2}+(n+1)^{2}=2813\quad\text{soit}\quad 2n^{2}+2n-2812=0
dont la résolution conduit à n=-36 (impossible, car n est un entier naturel) ou n=37.
Les entiers sont donc 37 et 38.
2) Soient \ell et L les dimensions de ce rectangle.
Les données se traduisent par : 2(\ell+L)=140 et \ell^{2}+L^{2}=50^{2} (utiliser le théorème de Pythagore), soit par le
système
\left\lbrace\begin{array}{rcl} \ell+L&=&70\\ \ell^{2}+L^{2}&=&2500 \end{array}\right.
Posons
S=\ell+L\quad\text{et}\quad P=\ell\cdot L.
On a alors S=70 et S^{2}-2P=2500, soit S=70 et P=1200.
\ell et L, s'ils existent, sont solutions de l'équation X^{2}-70X+1200=0.
On trouve : L=40 et \ell=30.
3) Soit x la longueur de ce champ.
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L'aire est exprimée par \mathcal{A}=x(100-x) et nous voulons rendre cette expression (qui est un trinôme incomplet)
maximale.
Écrivons - la sous forme canonique.
\mathcal{A}=-x^{2}+100x=-( x^{2}-100x)=-(x-50)^{2}+ 2500.
Ainsi l'aire est toujours inférieure ou égale à 2500 et elle est maximale lorsqu'elle vaut 2500.
On a alors x=25.
Le rectangle est alors un carré.
4) Soit n le nombre de personnes au départ.
La part de chaque personne devait être \dfrac{720\ 000}{n}.
S'il y a 5 personnes des moins, le nombre de personnes participant au partage est alors n-5 et la part de chacun devient :
\dfrac{720\ 000}{n-5}.
L'hypothèse de l'énoncé est que cette dernière part surpasse la précédente de 2000F\ , soit \dfrac{720\ 000}{n5}=\dfrac{720\ 000}{n}+2000, équation qui, après réduction au même dénominateur, transposition des termes dans le
second membre et factorisation, s'écrit :
\dfrac{2000(n+40)(n-45)}{n(5-n)}=0 et a donc pour solutions n=-40 ou n=45.
Il est clair que seule la valeur n=45 convient pour notre problème, car n doit être un entier naturel.
On en conclut que : 45 personnes ont participé au partage.
5) Soit v la vitesse moyenne à l'aller, exprimée en km/h.
La vitesse moyenne au retour est évidemment v-5 et il suffit de déterminer v pour répondre à la question posée.
Or, on a la formule générale : \text{vitesse moyenne}=\dfrac{\text{Distance parcourue}}{\text{Temps}}
d’où \text{Temps}=\dfrac{\text{Distance parcourue}}{\text{vitesse}}.
Par conséquent les temps mis pour effectuer les trajets à l'aller et au retour sont respectivement \dfrac{75}{v} et \dfrac{75}{v5}.
L'hypothèse est que le temps total de l'aller et du retour est 5.5 h.
On doit donc avoir : \dfrac{75}{v}+\dfrac{75}{v-5}=5.5 équation dont la résolution, après réduction au même dénominateur et
factorisation, se traduit par : \dfrac{(v-30)(25-11v)}{v(v-5)}=0.
Cette dernière équation a pour solutions v=30 et v=\dfrac{25}{11}, mais il est clair que seul v=30 convient, car v doit être
supérieur ou égal à 5 (pour que la vitesse au retour soit positive).
En résumé, les vitesses à l'aller et au retour sont respectivement 30km/h et 25km/h.
6) Déterminons d'abord les longueurs AB et AC en fonction de a.
Le triangle étant rectangle en A, on a d'après le théorème de PYTHAGORE, AB^{2} +AC^{2}=BC^{2}.
Ceci, joint à l'hypothèse AB+AC=\dfrac{5a}{4} et au fait que BC=a montrent que ces longueurs sont solutions du système :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&a^{2}\\ x+y &=&\dfrac{5a}{4} \end{array}\right.
Pour résoudre ce système, on remarque, d'après l'identité (x+y )^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy, et que en remplaçant x^{2}+y^{2}
par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde équation, on voit qu'il est équivalent à :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x+y&=&\dfrac{5a}{4}\\\\
xy&=&\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{5a}{4}\right)^{2}a^{2}\right]=\dfrac{9a^{2}}{32} \end{array}\right.
On a là un système somme-produit, et pour le résoudre, on pose l'équation du second degré :
X^{2}-SX+P=0, soit : X^{2}-\dfrac{5a}{4}x+\dfrac{ 9a^{2}}{32}=0.
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La résolution de cette équation est aisée et mène aux solutions :
X^{1} =\dfrac{5-\sqrt{7}}{8a} et X^{2}=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8a}.
On a donc
En remplaçant x^{2}+y^{2} par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde
AB=\dfrac{5-\sqrt{7}}{8}a et AC=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8}a
OU BIEN AB=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8}a et AC=\dfrac{5-\sqrt{7}}{8}a.
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Commentaires
Merci vous j'ai beaucoup
Permalien Soumis par Khady Tabar (non vérifié) le ven, 04/10/2020 - 19:52
Merci vous j'ai beaucoup appris
répondre
Se
Permalien Soumis par Anonyme (non vérifié) le mer, 05/06/2020 - 14:19
Se
répondre
Je voudrais la correction sur
Permalien Soumis par Ablaye diouf (non vérifié) le mar, 03/23/2021 - 15:15
Je voudrais la correction sur mon email svp
répondre
Pour maitriser la
Permalien Soumis par DEMBELE Soumeila (non vérifié) le lun, 03/29/2021 - 19:08
Pour maitriser la mathématiques
répondre
Correction exercice 20 svp
Permalien Soumis par Anonyme (non vérifié) le mar, 04/19/2022 - 15:12
Correction exercice 20 svp
répondre
Je voulais la correction de
Permalien Soumis par Ndeya (non vérifié) le lun, 05/09/2022 - 23:17
Je voulais la correction de tout les exercices
répondre
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