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Solutions des exercices : Équations et
Inéquations du second degré - 2nd
Exercice 1
a) x2+ 2x= (x+ 2)2− 1 ; b) x2+ 6x= (x+ 3)2− 9
c) x2−x=x−1
2
2−1
4; d) x2− 4x= (x− 2)2− 4
e) x2+ 3x=x+3
2
2−9
4; f) x2−1
2x=x−1
4
2−1
16
Exercice 2
a) (x+ 1)2+ 2 b) (x− 2)2+ 4
c) x−1
2
2−81
4 d) 2 (x+ 1)2−9
2
e) 4x+1
4
2−13
16 f) −x+1
4
2−49
16
g) − (x− 2)2−49
16 h) −3[(x+ 1)2− 6]
Exercice 3
a) S= 0 ; − 5
2 b) S= 0 ; 49
2
c) L'équation équivaut à : (x+ 5)2− 4(x+ 5) = 0, soit à :
(x+ 5)[(x+ 5) − 4] = 0 , S= { − 5 ; − 1}
d) L'équation équivaut à : (x+ 5)(x− 5) + 3(x+ 5) = 0, soit à :
(x+ 5)[(x− 5) + 3] = 0 , S= { − 5 ; 2}
e) S= − 9
2; 9
2
f) L'équation équivaut à : [(x− 9) − 7][(x− 9) + 7] = 0,
soit à : (x− 16)(x− 2) = 0 , S= {16 ; 2}
g) L'équation équivaut à : [(3x− 7) − 2(x+ 1)][(3x− 7) + 2(x+ 1)] = 0,
( )
( ) ( )
( ) [ ]
[
( )
] [
( )
]
[ ]
{ } { }
{ }

soit à : (x− 9)(5x− 6) = 0 , S= 9 ; 6
5
Exercice 4
a) S= {6} b) S= − 3
2
c) S= −1 ; 7
2 d) S= {3 ; 2}
e) S= −1 ; 4
3 f) S=1 3; 3
g) S= {−8 ; 2} h) S=
i) S= {−1 ; 4} j) S= {15 ; 7}
k) S= − 17
5; 2 l) S=3 2; 1
m) S= {5 ; 1} n) S= {−1 ; 3}
o) S=
9 − √41
2;
9 + √41
2 p) S= {2 ; − 1}
q) S= −2√2 ; √2 r) S=√3
s) S= −1 − √2 ; 1 − √2 t) S=√5
2
u) Δ = 1 ; S= 2 − √2 ; 1 − √2
v) Après développement du premier membre, l'équation se réduit à :
3x2+ 10x+ 3 = 0 , S= − 1
3; − 3
Exercice 5
1) On a Δ = b2− 4ac = (2b′)2− 4ac = 4(b′ 2 −ac) = 4Δ ′. Donc Δ et Δ′ ont même signe, de sorte que :
− si Δ′< 0, alors Δ < 0 et (E) n'a pas de solution réelle.
− si Δ′= 0, alors Δ = 0 et (E) a une solution double x0= − b
2a= − 2b′ 2a= − b′ a
− si Δ′> 0, alors Δ > 0 et (E) a deux solutions :
{ }
{ }
{ }
{ } { }
{ } { }
{ }
{ } { }
{ }
{ }
{ }
{ }
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x′=
−b−√Δ
2a=
−2b′−√4Δ ′
2a=
−2b′− 2√Δ′
2a=
−b′−√Δ′
a
et
x″=
−b+√Δ
2a=
−2b′+√4Δ ′
2a=
−2b′+ 2√Δ′
2a=
−b′+√Δ′
a
2) a) Δ′= 1 , S= {−7 ; − 5} b) Δ′= − 1 , S=
c) Δ′= 2 , S= 5 − √2 ; 5 + √2 d) Δ′= 0 , S=3
2
e) Δ′= 25 , S=√3 − 5 ; √3 + 5 f) Δ′=7
9, S=
−2 − 2√7
9;
−2 + 2√7
9
Exercice 6
1) L'équation est du second degré si et seulement si le coefficient de x2, c'est-à-dire (m− 1), est non nul. Donc E= R {1}.
2) a) Δ = 12m− 6. L'équation n'a pas de solution si et seulement si Δ < 0, c'est-à-dire si et seulement si : m<1
2
b) L'équation a une solution double si et seulement si Δ = 0 m=1
2.
c) L'équation a deux solutions distinctes si et seulement si Δ > 0 m>1
2.
S=
−m−√3m− 2
m− 1 ;
−m+√3m− 2
m− 1
3) Nous présentons les résultats sous la forme d'un tableau. On a les ensembles de solutions suivants dans les cas où
m E (deux solutions) :
a) S= {m+ 1 ; m} b) S= {−1 ; 2m+ 3}
c) S= 1 ; 2 − 3m
m d) S=
−1 − √m
m+ 1 ;
−1 + √m
m+ 1
e) S=2m+ 1
m; 1 m
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
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Equation EΔ Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
(2 solutions) (1 solution) (pas de
solution)
a) R 1 Pour tout mJamais Jamais
b) R (m+ 2)2m≠ − 2 m= − 2 Jamais
c) R {0} (2m− 1)2m≠1
2m=1 2Jamais
d)m≠ − 1 m(m+ 1)2m> 0 m= 0 ou m< 0
m= − 1
e)m≠ 0 m4m≠ 0 m= 0 Jamais
Exercice 7
1) Pour les équations avec valeurs absolues, il convient de faire un tableau :
a)
x−∞ 0 +∞
x2− 2 | x| − 3 x2+ 2x− 3 | x2− 2x− 3
Equation x2+ 2x− 3 = 0 | x2− 2x− 3 = 0
Solutions 1 et − 3 | −1 et 3
On conclut que : S= { − 3 ; 3}
b)
x−∞ 5/4 +∞
| 4x− 5 | −4x+ 5 | 4x− 5
Equation x2− 3x− 15 = − 4x+ 5 | x2− 3x− 15 = 4x− 5
x2+x− 20 = 0 | x2− 7x− 10 = 0
Solutions 4 et − 5 |
7 − √89
2 et
7 + √89
2
On conclut que : S= −5 ;
7 + √89
2
c)
x−∞ 5/4 +∞
|x− 1 | −x+ 1 | x− 1
|x+ 1 | −x− 4 | x+ 4
Equation 2x( − x+ 1) − x− 4 = 0 | 2x(x− 1) + x+ 4 = 0
− 2x2+x− 4 = 0 | 2x2−x+ 4 = 0
Solutions aucune | aucune
On conclut que : S= .
2) Pour les équations fractionnaires, il faut d'abord chercher le domaine de définition de l'équation.
a) L'équation est définie si et seulement si x+ 2 ≠ 0 et x2−x− 6 ≠ 0 c'est-à-dire x≠ − 2 et x≠ 3.
Elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
{ }
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x2− 3x− 5
(x− 2)(x− 3) =5 − 2x x− 3
ou encore, après une nouvelle réduction au même dénominateur :
x2− 4x− 15
(x+ 2)(x− 3) = 0
Le trinôme 3x2− 4x− 15 a pour racines −5
3 et 3. Or 3 ne peut pas convenir car n'appartenant pas au domaine de définition
de l'équation.
On en conclut que : S= − 5
3
b) L'équation est définie si et seulement si x≠ 1 et x≠ 0.
D= R {0 ; 1}.
Pour x D, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
5x− 3
x(x− 1) =3x2− 1
x2−x
soit à :
3x2− 5x+ 2
x2−x= 0
Le trinôme 3x2− 5x+ 2 a pour racines 2
3 et 1. Or 1 ne peut pas convenir d'après les conditions posées au début.
On en conclut que : S=2
3
c) L'équation est définie si et seulement si x≠ 3 et x≠ 0.
D= R {0 ; 3}.
Pour x D, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
x2+x− 3
x2(x− 3) =9 x2(x− 3)
soit à :
x2+x− 12
x2(x− 3) = 0
Le trinôme x2+x− 12 a pour racines 3 et -4.
On en conclut que : S= {−4} car 3D
d) L'équation est définie si et seulement si x≠ 1 , x≠ 2 , ≠ 3 et x≠26
11 .
{ }
{ }
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