ALGEBRE LINEAIRE

Mathématiques
2022-2023
cbna
Lycée Lesage
Vannes
MP
Maryna Viazovska – Empilements de sphères (conjecture
de Kepler) en dimensions 8 et 24 – Médaille Fields 2022
François SAUVAGEOT

1
Structures mères
CHAPITRE
Véritable génie des mathématiques, né en 1903 et mort en 1987, Andrei
Kolmogorov a traversé le vingtième siècle en y laissant des contribu-
tions mathématiques considérables. On retrouve son nom aux fondements
de la théorie des probabilités, des systèmes dynamiques, de la théorie de
l’information. En particulier il a montré en 1941 que les propriétés statis-
tiques des mouvements de fluides « turbulents » (ronds de fumée, torrents
de montagne etc.) obéissent à des lois universelles, de type autosimilaire :
le « spectre de Kolmogorov », observé expérimentalement dans beaucoup
d’écoulements turbulents, indique ainsi la loi selon laquelle l’énergie d’un
fluide est transmise vers des échelles de plus en plus petites. Cette loi, dite
du K41 (pour « Kolmogorov 1941 »), est aux fondements de l’étude de
la turbulence hydrodynamique qui est très étudiée aujourd’hui, car encore
largement incomprise.
Andrei Kolmogorov fut un mathématicien exceptionnel, également
passionné d’histoire et de littérature, féru d’exploits sportifs, et engagé jus-
qu’à la fin de sa vie dans la pédagogie des sciences. Il fut également très
proche du pouvoir soviétique, tout comme son ami Pavel Aleksandrov,
dénonçant notamment son patron de thèse Nikolai Luzin dans un procès
Stalinien. Ce dernier ne fut réhabilité qu’en 2012.

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L’objectif de ce chapitre est de revoir quelques éléments du programme de MPSI et
de préciser le vocabulaire mathématique. Il ne s’agit nullement de refaire le cours de
première année, mais simplement de s’assurer que nous allons parler la même langue !
On introduira au passage quelques éléments nouveaux, utiles notamment en théorie
des probabilités.
— Rudiments de logique : quantificateurs, implication, contraposition, équiva-
lence. Modes de raisonnement : par récurrence (faible et forte), par contra-
position, par l’absurde, par analyse-synthèse.
— Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble P(E)des parties de E. Opé-
rations sur les parties : intersection, réunion, différence, complémentaire.
Produit (cartésien) de deux ensembles.
— Application, graphe d’une application, familles d’éléments.
— Fonction indicatrice. Restriction et prolongement, image directe et réci-
proque. Composition.
— Applications injectives, surjectives, bijectives. Application réciproque d’une
bijection. Composée de deux injections, de deux surjections, de deux bijec-
tions. Réciproque de la composée.
— Loi de composition interne, associativité, commutativité, élément neutre,
inversibilité, distributivité. Partie stable.
— Groupes, anneaux, corps. Calcul dans un anneau.
— Relation binaire, relation d’équivalence, classe d’équivalence, relation
d’ordre, ordre total, ordre partiel.
— Cardinal d’un ensemble fini, listes et combinaisons.
— Ensemble dénombrable, ensemble fini ou dénombrable, produit cartésien fini
d’ensembles dénombrables, réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis
ou dénombrables. Exemples de N2,Z,Qet R.
— Tribu, événements. Espace probabilisable, probabilité, espace probabilisé.
Continuité croissante, continuité décroissante, sous-additivité. Événements
négligeables, événements presque sûrs. Réunion finie ou dénombrable d’évé-
nements négligeables
— Probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, formule des
probabilités totales, formules de Bayes. Couple d’événements indépen-
dants. Famille quelconque d’événements mutuellement indépendants.
— Variables aléatoires discrètes. Loi PXde la variable aléatoire X. Notations
(X⩾x),(X⩽x),(X < x),(X > x)pour une variable aléatoire réelle X.
— Loi géométrique G(p). Interprétation comme rang du premier succès. Ca-
ractérisation comme loi sans mémoire : P(X > n+k|X > n) = P(X > k).
— Loi de Poisson P(λ). Approximation de la loi binomiale par la loi de
Poisson. Événements rares.
Programme
François Sauvageot - Lycée Lesage - Vannes - cbna - 2022-2023

CHAPITRE 1. STRUCTURES MÈRES 3
Introduction
Jean Piaget
La méthode axiomatique permet, lorsqu’on a affaire à des êtres ma-
thématiques complexes, d’en dissocier les propriétés et de les regrouper
autour d’un petit nombre de notions, c’est-à-dire [...] de les classer suivant
les structures auxquelles elles appartiennent[...] ; pour définir une struc-
ture, on se donne une ou plusieurs relations, où interviennent ces éléments
[...] ; on postule ensuite que la ou les relations données satisfont à certaines
conditions (qu’on énumère) et qui sont les axiomes de la structure envisa-
gée. Faire la théorie axiomatique d’une structure donnée, c’est déduire les
conséquences logiques des axiomes de la structure, en s’interdisant toute
autre hypothèse sur les éléments considérés (en particulier, toute hypothèse
sur leur « nature » propre).
– N. Bourbaki
C’est le groupe de mathématiciens publiant sous le pseudonyme de N. Bourbaki
qui a développé pour la première fois la théorie des structures de manière explicite et
rigoureuse dans ses Éléments de mathématique à partir des années 1930.
La notion de structure dérive de la méthode axiomatique adoptée par Bourbaki.
Cette axiomatique permet de mettre au jour une unité profonde entre diverses branches
des mathématiques, considérées comme distinctes dans la classification traditionnelle
des disciplines mathématiques (arithmétique, algèbre, analyse, géométrie) :
Nous croyons que l’évolution interne de la science mathématique a, malgré les ap-
parences, resserré plus que jamais l’unité de ses diverses parties, et y a créé une sorte
de noyau central plus cohérent qu’il n’a jamais été. L’essentiel de cette évolution a
consisté en une systématisation des relations existant entre les diverses théories ma-
thématiques, et se résume en une tendance qui est généralement connue sous le nom
de « méthode axiomatique ».
Bourbaki observe : « Dans cette nouvelle conception, les structures mathématiques
deviennent, à proprement parler, les seuls « objets » de la mathématique. » et distingue
principalement trois types de « structures-mères » : la structure algébrique, dont les
relations sont des lois de composition, la structure d’ordre, et la structure topologique.
Ce terme est à l’origine de ce que l’on a appelé le structuralisme mathématique.
Cette façon de penser a intéressé notamment les psychanalystes (Jacques Lacan), les
anthropologues (Claude Levi-Strauss), les psychologues (Jean Piaget). Le structu-
ralisme est né avec le cercle (linguistique) de Prague, en se fondant sur des travaux de
linguistique (notamment de Ferdinand de Saussure).
Attention ! Ce principe d’exposition est en fait artificiel. Bourbaki avoue trois
inconvénients de cette théorie des structures : « elle est à la fois schématique, idéalisée
et figée. » Schématique, car dans le détail il existe « d’inattendus retours en arrière »,
comme l’intervention des nombres réels pour fonder la topologie. Idéalisée, car « dans
certaines théories (par exemple en théorie des nombres), il subsiste de très nombreux
résultats isolés qu’on ne sait jusqu’ici classer ni relier de façon satisfaisante à des
structures connues » et figée, car les structures ne sont pas « immuables », et peuvent
se prêter à des inventions ou reformulations futures.
François Sauvageot - Lycée Lesage - Vannes - cbna - 2022-2023

4 1.1. LOGIQUE
Logique
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En sus de la théorie des ensembles, on a besoin de structurer le raisonnement. Ainsi
on a besoin de la notion d’assertion (proposition, prédicat) et de connecteur logique.
On a les connecteurs logiques :
1. ¬Aest vrai si (et seulement si) Aest faux.
2. A∧Best vrai si Aet Bsont vrais.
3. A∨Best faux si Aet Bsont faux.
4. A⇒Best vrai si Aest faux ou si Best vrai.
5. A⇔Bsi Aet Bsont simultanément vrais ou faux.
Notation
Une tautologie est un énoncé qui est vrai quelque soient les valeurs de vérité des
assertions considérées. Autrement dit une tautologie est une simple reformulation.
Les tautologies les plus importantes, pour le raisonnement, sont :
1. A≡ ¬¬A(principe du tiers exclus ou double négation).
2. ¬(A⇒B)≡(A∧ ¬B).
3. (A⇒B)≡(¬B⇒ ¬A)(contraposition).
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Enfin on a les quantificateurs : ∀et ∃. Quand un prédicat Adépend d’une variable
x, l’assertion ∀x A(x)signifie que Aest vraie pour toutes les valeurs de x. Par contre
l’assertion ∃x A(x)signifie qu’il existe un xpour lequel A(x)est vrai. La difficulté est
parfois de rendre effective cette affirmation d’existence : peut-on réellement trouver le
xdont on parle ? On y reviendra lors de l’axiome du choix. On prendra garde que,
dans une assertion quantifiée, la variable quantifiée est muette. Par exemple, en fait,
dans l’assertion ∀x A(x),la variable xn’existe pas !
Les tautologies mettant en jeu des quantificateurs qui sont les plus utiles
sont :
1. ¬(∃x A(x)) ≡ ∀x¬A(x).
2. ¬(∀x A(x)) ≡ ∃x¬A(x).
3. ¬(∀x(P(x)⇒Q(x))) ≡ ∃x(P(x)∧ ¬Q(x)).
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Théorie des ensembles
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En mathématiques, une structure désigne une théorie « plus forte » que la théo-
rie des ensembles, c’est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et
règles. C’est donc une théorie « fondée » sur la théorie des ensembles, mais contenant
également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent
également de définir de nouvelles structures qu’elle inclut.
La théorie des ensembles utilise notamment les symboles =et ∈. Le premier signifie
que deux objets sont identiques (a=b) et le second qu’un objet appartient à un
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