Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences Semlalia
Département de Physique
Année Universitaire 2015-2016
(Le 6/01/2016)
Contrôle de Mécanique II
SMP – S3 (durée : 2h)
Mouvement d’un disque dans un cerceau
On considère un système (Σ) constitué d’un disque (D) et d’un cerceau (C). Le disque (D) est
homogène de masse m, de rayon a et de centre A (voir figure). Le cerceau (C) est homogène de masse
m de rayon 3a et de centre C. Le disque est en mouvement à l’intérieur du cerceau. On désigne par J le
point de contact de (D) avec (C). Le cerceau est en translation
()
)= 0
le long de l’axe Oxo (I
est le point de contact de (C) avec Oxo). Les deux solides sont en mouvement dans le plan vertical
xoOyo. La position du centre A de (D) est repérée par l’angle . L’angle θ indique la position d’un axe
(AB) lié au disque par rapport à la direction . La réaction de l’axe Oxo sur (C) en I est
=1 +
2 et celle du cerceau sur le disque en J est
= + . L’accélération de la pesanteur est
=. Au point H, on applique une force
=1 + 2 pour assurer la translation du cercle.
La position de I est repérée par OI = x. Le moment d’inertie du cerceau par rapport à l’axe 0 est
0= 92 et celui du disque par rapport à l’axe 0 est 0=2/2.
Pour les questions 1) et 2), on utilisera
,,
comme base de projection.
1- Soit G le centre de masse du système (Σ). Déterminer l’expression de
. En déduire la vitesse
(
) et l’accélération (
).
2- Calculer (()
)et (
). En déduire (
).
C
A
I
J
B
θ
ψ
H
O
y
o
x
o
Par la suite, on utilisera (
, ,
) comme base de projection.
3- Calculer la vitesse de glissement de (C) sur Oxo, (()
)
4- Calculer (()
) et montrer que la vitesse de glissement de (D) sur (C),(() ()
)=
+ où et sont deux constantes à déterminer.
5- Calculer les moments cinétiques (, ()
) et (, ()
).
6- Calculer les moments dynamiques (, ()
)et (, ()
).
7- Calculer l’énergie cinétique(()
).
8- Calculer la puissance des forces appliquées à (Σ), (
()/0), sans utiliser le théorème de
l’énergie cinétique.
9- Appliquer le théorème du centre de masse à (Σ) et déduire deux équations du mouvement (faire la
projection dans la base ,,
).
10- On suppose que la vitesse angulaire est constante. Montrer que = 0 en appliquant un théorème
adéquat (indiquer le théorème utilisé).
11- On maintient = et on suppose que le contact en I est sans frottement. Montrer que
2 = 0 (indiquer le théorème utilisé).
12- En plus des deux conditions précédentes (= et contact en I sans frottement), on choisit 1 de
façon à avoir = et l’angle constant.
a) Calculer 1 et 2 en fonction de m et g.
b) Calculer (
) en fonction de g (dans la base ,,
). En déduire la valeur
numérique de tg et l’expression de N en fonction de m et g.
Mécanique II – Corrigé du contrôle
Mouvement d’un disque dans un cerceau
Remarque : Une erreur de signe sera sanctionnée une seule fois ; la sanction dépendra de la
complexité de l’expression concernée.
1) 2
=
+
⇒
=
+
2=+ 3+
=(+sin )+(3cos ) (0.5)
(
)= +cos +sin (0.75)
(
)= +cos 2sin +sin +2cos (0.75)
2)
=+ 3⇒ (
)=(0.75)
=+ 3+ 2⇒ (
)=+ 2
(
)= + 2cos + 2sin (0.75)
2(
)=(
)+(
)⇒(
)=
(
)+
(
)
2
(
)=+=+cos +sin (0.5)
3) (
)=(()
)(
)
=0
==(sin +cos )(0.75)
4) (()
)=(
)+
(
)
=+ 2+
(()
)=++ 2=sin +cos +(+ 2)(0.75)
(
)=(()
)(
)=++ 2
(()
)=+ 2
(
)=+ 2=+ donc α = a et β = 2a.(0.5)
5) (C) est immobile dans le repère barycentrique , , ,
donc (,
)=(,)
(
)= 0
(0.5)
(,
)=(,)
(
)=0
=2
2
(0.5)
6) (,
)=
(,
)
= 0
(0.5)
(, D
)=
(,D
)
=2
2
(0.5)
7) (
)=(
)+(D
)
(
)=1
2(
)2=1
22(0.75)
(D
)=1
2(
)2+1
2
(
)(,
)=1
22+ 2+cos +
2
42(0.75)
(
)=2+ 2+cos +2
42(0.5)
8) (
)=(
) + (
)
(
)=(
)
=0
+(
)+
(
)+
(
)(0.75)
(
)=
(
)
(
)=
(
)(0.75)
Si l’étudiant regroupe tous ces termes dans l’expression :
(
)=(
)+(
)+
(
)+
(
)+
(
)
il mérite la totalité de la note précédente.
(
)=2sin +(1+1)++ 2(1.0)
9) En appliquant le théorème du centre de masse au système Σ on a :
2(
)=
+
+ 2
2 +cos 2sin =1+1 (1)
2sin +2cos =2+22 (2)(0.5)+(0.5)
10) =, donc = 0.
En appliquant le théorème de moment cinétique à (D) seul on aura :
(, D
)=2
2
= 0
=
+
=
⇒ T = 0.(0.5)
11) Le contact en I est sans frottement, donc R1 = 0.(1.0)
En Appliquant le théorème du moment cinétique à (C) seul en C on aura :
(,
)= 0
=
=0
+
+
=0
+
=0
(1.0)
=32
= 0⇒F2 = 0.(0.5)
12) a) L’équation (1) devient : 2 = 2=1(0.5)
L’équation (2) donne : 2= 2(0.5)
b)(
)=⇒ (
)==(0.5)
En appliquant le théorème du centre de masse à (D) seul on aura :
(
)=
+==sin +(cos )
=cos (3)
=sin (4)En divisant (4) par (3) on obtient =1(1.0)
(3) et (4)⇒(cos )2+ (sin )2= 2()2⇒2= 2()2⇒=2(1.0)
1
/
4
100%