GEGM Chapitre 1 Force de Coulomb - Champ et potentiel Electricité

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Chapitre 1
Force Coulomb, champ et potentiel
électrostatiques
L’électrostatique est l’étude des phénomènes d’interactions (attraction ou répulsion) entre les charges
électriques immobiles.
1.1 La charge électrique
1.1.1 Charge élémentaire
Les propriétés électriques de la matière trouvent leur origine au niveau atomique, elles sont dues aux
protons qui ont une charge électrique positive et aux électrons qui ont une charge électrique négative.
L’étude des systèmes atomiques (atomes et leurs noyaux) montre que protons et électrons possèdent
exactement, en valeur absolue, la même charge électrique edite charge élémentaire. Dans le système
M.K.S.A. 1:
e“1,6 10´19coulomb (1.1)
Tout processus d’électrification doit être compris comme le transfert d’un certain nombre de ces
charges élémentaires. Dans la plus part des cas, ce sont les électrons qui sont échangés, les protons étant
trop solidement liés au noyau. Plus généralement, un corps déficitaire en électrons sera considéré comme
chargé positivement alors qu’un corps en surplus d’électrons sera considéré comme chargé négativement.
1.1.2 Quantification et conservation de la charge
Une charge électrique ne peut pas prendre n’importe quelle valeur. En effet toute charge électrique
est un multiple entier de la charge élémentaire e, on dit que la charge électrique est quantifiée :
q“n¨e n est un entier (1.2)
L’ensemble des expériences d’électromagnétisme indique que la charge totale d’un système isolé
reste constante au cours du temps. Ce principe de conservation de la charge est un des fondements
de la physique au même titre que les principes de conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement
ou du moment cinétique.
1. Le système international d’unités, basé sur le mètre, le kilogramme, la seconde et l’ampère.
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1.1.3 Charge ponctuelle
Une charge est dite ponctuelle si elle occupe un volume dont les dimensions sont très inférieures aux
distances à considérer dans le problème.
1.1.4 Distribution discrète de charges
On est en présence d’une distribution discrète de charges ( charges électriques ponctuelles) lorsque les
dimensions de l’élément chargé sont infiniment petites par rapport aux distances qui les séparent 2.
1.1.5 Distribution continue de charges
Dans un échantillon de matière même très petit il existe un grand nombre de charges élémentaires.
Prenons l’exemple d’un fil de cuivre de 1mm2de section et de 1mm de longueur. Cet élément possède
un nombre d’électrons libres égal au nombre d’atomes de cuivre qu’on peut évaluer 3à8,4¨1019 (84
milliard) électrons. On conçoit dès lors que pour des expériences macroscopiques le nombre de charges
est tellement grand que l’on peut les considérer réparties d’une manière continue (l’aspect discontinue ne
se voit pas). On distingue :
La distribution volumique de charges Pour caractériser les systèmes macroscopiques chargés en
volume, on introduit une nouvelle grandeur : la densité volumique de charges qui est par définition la
charge électrique portée par unité de volume du système. Si on considère un volume élémentaire dτ 4
centré sur un point Mquelconque du système, et si ce volume porte la charge dq, la densité volumique
de charge en ce point Mest alors :
ρpMq “ dq
dτ pC{m3q(1.3)
Si le volume total du système est τ, alors la charge totale portée par ce dernier est :
q“¡
τ
ρ dτ (1.4)
La distribution surfacique de charges Cette distribution est associée aux corps chargés en surface
ou lorsque l’une des trois dimensions du volume chargé est négligeable devant les deux autres 5. Dans
pareil cas, on définit la densité surfacique de charges en tout point Mde la surface chargée par
σpMq “ dq
dS pC{m2q(1.5)
où dS est une surface élémentaire centrée en Met portant la charge dq. Si la surface totale du système
est S, alors la charge totale portée par la surface chargée est :
q“ij
S
σ dS (1.6)
2. A l’échelle atomique, deux noyaux d’atomes voisins sont séparés par du vide. La dimension du noyau est de l’ordre
de 10´15m, alors que la distance entre deux atomes les plus proches est d’environs 10´10 m.
3.
Ne“natomes “m
MN“µ¨τ MN«8,9¨10´3¨10´9 63,5¨10´36,02 ¨1023 “8,4¨1019
où µ“8,9¨10´3Kg{m3,M“63,5¨10´3Kg,τ“10´9m3,N“6,02 ¨1023 U.S.I représentent respectivement la masse
volumique du cuivre, la masse molaire du cuivre, le volume de l’échantillon et le nombre d’Avogadro.
4. Il va de soi que, plus dτ sera petit devant les dimensions du système, meilleure sera la précision. En revanche, il
faut que dτ reste grand devant les dimensions microscopiques afin de ne pas laisser transparaître l’aspect discret de la
répartition de la matière. Ce niveau d’ordre de grandeur, intermédiaire entre le microscopique et le macroscopique est
appelé mésoscopique.
5. Dans ce cas, on assimile le volume chargé à une surface. Si par exemple la hauteur hdu volume chargé est une quantité
infiniment petite, on obtient dq “ρ dτ “ρ hdS “σ dS, soit ρ h “σ
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La distribution linéique de charges Cette distribution est associée à une répartition de charges sur
un fil de très petite section. Elle est caractérisée par une densité linéique de charges λdéfinie en tout
point Mdu fil chargée Cpar :
λpMq “ dq
d` pC{m2q(1.7)
où d` est un élément de longueur centrée en Met contenant la charge électrique dq. La charge
électrique totale qportée par le fil chargé Cest :
q“żC λ d` (1.8)
1.2 Loi de Coulomb
A l’échelle microscopique, les forces électriques sont omniprésentes, tous les constituants élémentaires
de la matière, à l’exception des neutrons, étant électriquement chargés. Toutefois à l’échelle macrosco-
pique, ces forces sont en général de moyenne nulle, les corps étant à cette échelle, dans la plupart des cas,
électriquement neutres. Pour que l’on puisse observer des forces électriques macroscopiques, elles doivent
s’exercer entre des corps ayant rompu leur neutralité de charges.
1.2.1 Force électrostatique entre deux charges ponctuelles
C’est en 1775 que Coulomb 6proposa sa loi qui permet d’exprimer la force électrostatique qui s’exerce
entre deux charges ponctuelles q1et q2immobiles et distantes de r. Les faits expérimentaux ont montré
que cette force est :
— répulsive ou attractive selon que les charges en interaction sont de même signe ou de signe opposé 7..
— radiale, c’est-à-dire portée par la droite joignant les deux charges en interaction.
— proportionnelle au produit des charges.
— inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
M1
M2
q1
q 2
q1q2 < 0
u12
u2 1
F12
F2 1
r
Figure 1.1 – Force électrostatique entre deux charges ponctuelles
La force de Coulomb qu’exerce dans le vide la charge ponctuelle q1placée en M1sur la charge ponctuelle
q2placée en M2est :
ÝÑ
F12 “1
4π0
q1q2
r2ÝÑ
u12 (1.9)
ÝÑ
u12 désigne le vecteur unitaire porté par la droite joignant q1et q2et orienté de q1vers q2,rla distance
séparant les deux charges et la constante 0désigne la permitivité diélectrique du vide. Dans le système
international d’unités : le coefficient de proportionnalité vaut :
1
4π0
“8,987 ¨109m3¨kg ¨A´2¨s´4(1.10)
6. Après avoir jeté les bases de la théorie de la résistance des matériaux p1773q, étudié le frottement solide p1779q, puis
décrit les lois de la torsionp1784q,Charles Augustin COULOMB p1736 ´1806qmet au point une balance de torsion
très sensible qui lui permet de décrire l’interaction entre particules chargées statiques. La loi qu’il énonce en 1785, et qui
porte son nom, a depuis été vérifiée avec une précision croissante.
7. Contrairement au champ gravitationnel, où seule une force d’attraction a été mise en évidence.
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Le principe de l’action et de la réaction impose que la force ÝÑ F2Ñ1exercée par la charge q2sur la
charge q1soit égale et opposée à ÝÑ F1Ñ2:
ÝÑ
F21 “ ´ÝÑ F12 “1
4π0
q2q1
r2ÝÑ
u21 (1.11)
De l’expression (1.9), on constate que les forces électriques sont analogues aux forces de gravitation 8,
toutefois leur intensité est beaucoup plus importante. En effet, comparons par exemple les modules des
deux forces, électrostatique et gravitationnelle, entre l’électron et le proton d’un atome d’hydrogène
éloignés d’une distance r0:
Fe“1
4π0
e2
r2
0
Fg“Gmemp
r2
0
Fe
Fg
“e2
4π0Gmemp
»1042
où Gest la constante de gravitation : G“6,67¨10´11 m3kg´1s´2me“9.1110´31kg mp“1.6710´27kg
Un autre exemple : la force électrique exercée entre deux charges de 1Cespacées de 1mest égale à
environ 1010 N, soit le poids sur la Terre d’une masse d’un million de tonnes. Cette différence d’intensité
nous permettra très souvent de négliger les forces gravitationnelles entre charges devant les
forces électriques. En revanche ces forces électriques sont beaucoup moins importantes que les forces
nucléaires (interaction forte) existant à l’intérieur du noyau, ce qui explique la cohésion nucléaire en dépit
de la répulsion coulombienne entre protons.
1.2.2 Cas d’une distribution discrète de charges
La force résultante qu’exerce une distribution discrète de ncharges qiplacées en des points Pisur
une charge ponctuelle qplacée en un point Mest égale à la simple somme vectorielle de toutes les
contributions associées aux différentes paires pqi, qq.Ceci constitue le principe de superposition 9.
Pour une telle distribution, chacune des charges q1, q2, . . . , qnexerce sur la charge qune force ÝÑ Fitelle
que :
ÝÑ
Fi“1
4π0
qiq
r2
i
ÝÑ
ui(1.13)
q1
qn
qqi < 0
q
q 2
r1r2
u1
F1
u2
F2
un
rn
Fn
P1
Pn
P2
Figure 1.2 – La force électrostatique dans le cas d’une distribution discrète de charges
D’après le principe de superposition, la résultante des forces appliquées sur la charge qest alors :
ÝÑ
F“
n
ÿ
i“1
ÝÑ
Fi(1.14)
“q
4π0
n
ÿ
i“1
qi
r2
i
ÝÑ
ui
avec rila distance séparant la paire de charges pq, qiqet ÝÑ uile vecteur unitaire dirigé Pivers M.
8. Il suffit de faire la transposition suivante :
1
4π0
ØG(1.12)
charge Ømasse
9. Cette propriété de superposition des effets électrostatiques est un fait d’expérience. Comme tout principe, il n ’est pas
démontré.
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1.3 Champ électrostatique
Nous avons établi les expressions de la force entre charges électriques statiques. Nous allons montrer
que cette même force peut également s’exprimer à partir d’une grandeur vectorielle associée à chaque point
de l’espace : le champ électrique. Comme nous le verrons, les propriétés générales du champ électrique
offrent certains avantages et son usage permet entre autre de simplifier bon nombre de calculs.
1.3.1 Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Considérons une charge test qplacée en un point quelconque Ode l’espace. Approchons d’un point
Msitué à une distance rde Odivers charges q1, q2, . . . , qn. La force électrostatique qu’exerce la charge q
sur chacune des charges placées en Mpermet de vérifier la relation suivante :
ÝÑ
Fqq1
q1
“
ÝÑ
Fqq2
q2
“. . . “
ÝÑ
Fqqn
qn
“1
4π0
q
r2ÝÑ
uravec ÝÑ ur“
ÝÑ
r
r(1.15)
Ce rapport, à valeur vectorielle, reste constant et ne dépend que de la charge test qet de la distance r
séparant cette charge du point M, c’est le champ électrostatique. Ce champ caractérise l’influence de la
charge qsur l’espace qui l’entoure.
On définit le champ électrostatique créé par une charge qen tout point Mde l’espace situé à une
distance rde qpar :
ÝÑ
EqpMq “ 1
4π0
q
r2ÝÑ
ur(1.16)
L’unité du champ électrostatique est le Volt/mètre (symbole : V{m).
ÝÑ
urdésigne le vecteur unitaire porté par la droite joignant la charge qet le point Met orienté de q
vers M.
Si qą0,ÝÑ EpMqet ÝÑ ursont de même sens, on dit que le champ électrostatique fuit la charge positive.
Si q < 0, ÝÑ EpMqet ÝÑ ursont de sens contraires, on dit que le champ électrostatique est dirigé vers la
charge négative.
O
M
qur
E(M)
r
q > 0
O
M
qur
E(M)
r
q < 0
Figure 1.3 – Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Comme pour l’attraction gravitationnelle 10 , on peut donc mettre la loi de Coulomb sous une forme
plus intéressante : ÝÑ
FqqM“qM
ÝÑ
EqpMq(1.17)
Cette équation permet de définir clairement ce qui dépend uniquement de la particule qui subit la
force 11 (la charge qM), de ce qui ne dépend que d’une source extérieure 12 (le vecteur champ électrostatique
ÝÑ
Eqq.
Le champ électrostatique créé par une charge n’est pas défini en son point source car p1{r2Ñ 8q.
Cette difficulté doit être attribuée à la limite du concept de charge ponctuelle qu’il faut reconsidérer
lorsqu’on veut étudier les interactions à très faible distance.
10. ÝÑ FMÑm“ ´GM m
r2ÝÑ
u“ ´ÝÑ G¨m
11. pour l’attraction gravitationnelle c’est la masse m
12. pour l’attraction gravitationnelle c’est le champ gravitationnel ÝÑ G
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