GEGM Chapitre 1 Force de Coulomb - Champ et potentiel Electricité

Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
Chapitre 1
Force Coulomb, champ et potentiel
électrostatiques
L’électrostatique est l’étude des phénomènes d’interactions (attraction ou répulsion) entre les charges
électriques immobiles.
1.1
1.1.1
La charge électrique
Charge élémentaire
Les propriétés électriques de la matière trouvent leur origine au niveau atomique, elles sont dues aux
protons qui ont une charge électrique positive et aux électrons qui ont une charge électrique négative.
L’étude des systèmes atomiques (atomes et leurs noyaux) montre que protons et électrons possèdent
exactement, en valeur absolue, la même charge électrique e dite charge élémentaire. Dans le système
M.K.S.A. 1 :
e “ 1, 6 10´19 coulomb
(1.1)
Tout processus d’électrification doit être compris comme le transfert d’un certain nombre de ces
charges élémentaires. Dans la plus part des cas, ce sont les électrons qui sont échangés, les protons étant
trop solidement liés au noyau. Plus généralement, un corps déficitaire en électrons sera considéré comme
chargé positivement alors qu’un corps en surplus d’électrons sera considéré comme chargé négativement.
1.1.2
Quantification et conservation de la charge
Une charge électrique ne peut pas prendre n’importe quelle valeur. En effet toute charge électrique
est un multiple entier de la charge élémentaire e, on dit que la charge électrique est quantifiée :
q “n¨e
n est un entier
(1.2)
L’ensemble des expériences d’électromagnétisme indique que la charge totale d’un système isolé
reste constante au cours du temps. Ce principe de conservation de la charge est un des fondements
de la physique au même titre que les principes de conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement
ou du moment cinétique.
1. Le système international d’unités, basé sur le mètre, le kilogramme, la seconde et l’ampère.
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
7
1.1.3
Charge ponctuelle
Une charge est dite ponctuelle si elle occupe un volume dont les dimensions sont très inférieures aux
distances à considérer dans le problème.
1.1.4
Distribution discrète de charges
On est en présence d’une distribution discrète de charges ( charges électriques ponctuelles) lorsque les
dimensions de l’élément chargé sont infiniment petites par rapport aux distances qui les séparent 2 .
1.1.5
Distribution continue de charges
Dans un échantillon de matière même très petit il existe un grand nombre de charges élémentaires.
Prenons l’exemple d’un fil de cuivre de 1mm2 de section et de 1mm de longueur. Cet élément possède
un nombre d’électrons libres égal au nombre d’atomes de cuivre qu’on peut évaluer 3 à 8, 4 ¨ 1019 (84
milliard) électrons. On conçoit dès lors que pour des expériences macroscopiques le nombre de charges
est tellement grand que l’on peut les considérer réparties d’une manière continue (l’aspect discontinue ne
se voit pas). On distingue :
La distribution volumique de charges Pour caractériser les systèmes macroscopiques chargés en
volume, on introduit une nouvelle grandeur : la densité volumique de charges qui est par définition la
charge électrique portée par unité de volume du système. Si on considère un volume élémentaire dτ 4
centré sur un point M quelconque du système, et si ce volume porte la charge dq, la densité volumique
de charge en ce point M est alors :
ρpM q “
dq
dτ
pC{m3 q
(1.3)
Si le volume total du système est τ , alors la charge totale portée par ce dernier est :
¡
q“
ρ dτ
(1.4)
τ
La distribution surfacique de charges Cette distribution est associée aux corps chargés en surface
ou lorsque l’une des trois dimensions du volume chargé est négligeable devant les deux autres 5 . Dans
pareil cas, on définit la densité surfacique de charges en tout point M de la surface chargée par
σpM q “
dq
dS
pC{m2 q
(1.5)
où dS est une surface élémentaire centrée en M et portant la charge dq. Si la surface totale du système
est S, alors la charge totale portée par la surface chargée est :
ij
q“
σ dS
(1.6)
S
2. A l’échelle atomique, deux noyaux d’atomes voisins sont séparés par du vide. La dimension du noyau est de l’ordre
de 10´15 m, alors que la distance entre deux atomes les plus proches est d’environs 10´10 m.
3.
Ne “ natomes “
m
µ¨τ
8, 9 ¨ 10´3 ¨ 10´9
N “
N «
6, 02 ¨ 1023 “ 8, 4 ¨ 1019
M
M
63, 5 ¨ 10´3
où µ “ 8, 9 ¨ 10´3 Kg{m3 , M “ 63, 5 ¨ 10´3 Kg, τ “ 10´9 m3 , N “ 6, 02 ¨ 1023 U.S.I représentent respectivement la masse
volumique du cuivre, la masse molaire du cuivre, le volume de l’échantillon et le nombre d’Avogadro.
4. Il va de soi que, plus dτ sera petit devant les dimensions du système, meilleure sera la précision. En revanche, il
faut que dτ reste grand devant les dimensions microscopiques afin de ne pas laisser transparaître l’aspect discret de la
répartition de la matière. Ce niveau d’ordre de grandeur, intermédiaire entre le microscopique et le macroscopique est
appelé mésoscopique.
5. Dans ce cas, on assimile le volume chargé à une surface. Si par exemple la hauteur h du volume chargé est une quantité
infiniment petite, on obtient dq “ ρ dτ “ ρ hdS “ σ dS, soit ρ h “ σ
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
8
La distribution linéique de charges Cette distribution est associée à une répartition de charges sur
un fil de très petite section. Elle est caractérisée par une densité linéique de charges λ définie en tout
point M du fil chargée C par :
λpM q “
dq
d`
(1.7)
pC{m2q
où d` est un élément de longueur centrée en M et contenant la charge électrique dq. La charge
électrique totale q portée par le fil chargé C est :
ż
q “ λ d`
(1.8)
C
1.2
Loi de Coulomb
A l’échelle microscopique, les forces électriques sont omniprésentes, tous les constituants élémentaires
de la matière, à l’exception des neutrons, étant électriquement chargés. Toutefois à l’échelle macroscopique, ces forces sont en général de moyenne nulle, les corps étant à cette échelle, dans la plupart des cas,
électriquement neutres. Pour que l’on puisse observer des forces électriques macroscopiques, elles doivent
s’exercer entre des corps ayant rompu leur neutralité de charges.
1.2.1
Force électrostatique entre deux charges ponctuelles
C’est en 1775 que Coulomb 6 proposa sa loi qui permet d’exprimer la force électrostatique qui s’exerce
entre deux charges ponctuelles q1 et q2 immobiles et distantes de r. Les faits expérimentaux ont montré
que cette force est :
— répulsive ou attractive selon que les charges en interaction sont de même signe ou de signe opposé 7 ..
— radiale, c’est-à-dire portée par la droite joignant les deux charges en interaction.
— proportionnelle au produit des charges.
— inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
M2
q2
F12
u2 1
F2 1
M1
q1
q1 q2 < 0
u12
r
Figure 1.1 – Force électrostatique entre deux charges ponctuelles
La force de Coulomb qu’exerce dans le vide la charge ponctuelle q1 placée en M1 sur la charge ponctuelle
q2 placée en M2 est :
1 q1 q2 Ñ
Ñ
Ý
Ý
F 12 “
u 12
(1.9)
4π0 r2
Ñ
Ý
u 12 désigne le vecteur unitaire porté par la droite joignant q1 et q2 et orienté de q1 vers q2 , r la distance
séparant les deux charges et la constante 0 désigne la permitivité diélectrique du vide. Dans le système
international d’unités : le coefficient de proportionnalité vaut :
1
“ 8, 987 ¨ 109 m3 ¨ kg ¨ A´2 ¨ s´4
4π0
(1.10)
6. Après avoir jeté les bases de la théorie de la résistance des matériaux p1773q, étudié le frottement solide p1779q, puis
décrit les lois de la torsionp1784q, Charles Augustin COULOMB p1736 ´ 1806q met au point une balance de torsion
très sensible qui lui permet de décrire l’interaction entre particules chargées statiques. La loi qu’il énonce en 1785, et qui
porte son nom, a depuis été vérifiée avec une précision croissante.
7. Contrairement au champ gravitationnel, où seule une force d’attraction a été mise en évidence.
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
9
Ñ
Ý
Le principe de l’action et de la réaction impose que la force F 2Ñ1 exercée par la charge q2 sur la
Ñ
Ý
charge q1 soit égale et opposée à F 1Ñ2 :
Ñ
Ý
Ñ
Ý
F 21 “ ´ F 12 “
1 q2 q1 Ñ
Ý
u 21
4π0 r2
(1.11)
De l’expression (1.9), on constate que les forces électriques sont analogues aux forces de gravitation 8 ,
toutefois leur intensité est beaucoup plus importante. En effet, comparons par exemple les modules des
deux forces, électrostatique et gravitationnelle, entre l’électron et le proton d’un atome d’hydrogène
éloignés d’une distance r0 :
Fe “
1 e2
4π0 r02
Fg “ G
Fe
e2
“
» 1042
Fg
4π0 Gme mp
me mp
r02
où G est la constante de gravitation : G “ 6, 67¨10´11 m3 kg ´1 s´2 me “ 9.1110´31 kg mp “ 1.6710´27 kg
Un autre exemple : la force électrique exercée entre deux charges de 1 C espacées de 1 m est égale à
environ 1010 N , soit le poids sur la Terre d’une masse d’un million de tonnes. Cette différence d’intensité
nous permettra très souvent de négliger les forces gravitationnelles entre charges devant les
forces électriques. En revanche ces forces électriques sont beaucoup moins importantes que les forces
nucléaires (interaction forte) existant à l’intérieur du noyau, ce qui explique la cohésion nucléaire en dépit
de la répulsion coulombienne entre protons.
1.2.2
Cas d’une distribution discrète de charges
La force résultante qu’exerce une distribution discrète de n charges qi placées en des points Pi sur
une charge ponctuelle q placée en un point M est égale à la simple somme vectorielle de toutes les
contributions associées aux différentes paires pqi , qq. Ceci constitue le principe de superposition 9 .
Ñ
Ý
Pour une telle distribution, chacune des charges q1 , q2 , . . . , qn exerce sur la charge q une force F i telle
que :
1 qi q Ñ
Ñ
Ý
Ý
Fi “
ui
(1.13)
4π0 ri2
q
Fn
F1
F2
qqi < 0
r1
u1
rn
r2
Pn
u2
P2 q 2
P1 q1
un
qn
Figure 1.2 – La force électrostatique dans le cas d’une distribution discrète de charges
D’après le principe de superposition, la résultante des forces appliquées sur la charge q est alors :
Ñ
Ý
F
“
n
ÿ
Ñ
Ý
Fi
(1.14)
i“1
“
n
q ÿ qi Ñ
Ý
ui
4π0 i“1 ri2
Ý
avec ri la distance séparant la paire de charges pq, qi q et Ñ
u i le vecteur unitaire dirigé Pi vers M .
8. Il suffit de faire la transposition suivante :
1
4π0
charge
Ø
G
Ø
masse
(1.12)
9. Cette propriété de superposition des effets électrostatiques est un fait d’expérience. Comme tout principe, il n ’est pas
démontré.
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
10
1.3
Champ électrostatique
Nous avons établi les expressions de la force entre charges électriques statiques. Nous allons montrer
que cette même force peut également s’exprimer à partir d’une grandeur vectorielle associée à chaque point
de l’espace : le champ électrique. Comme nous le verrons, les propriétés générales du champ électrique
offrent certains avantages et son usage permet entre autre de simplifier bon nombre de calculs.
1.3.1
Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Considérons une charge test q placée en un point quelconque O de l’espace. Approchons d’un point
M situé à une distance r de O divers charges q1 , q2 , . . . , qn . La force électrostatique qu’exerce la charge q
sur chacune des charges placées en M permet de vérifier la relation suivante :
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Ñ
Ý
F qq2
F qq1
F qqn
1 qÑ
Ý
“
“ ... “
“
ur
q1
q2
qn
4π0 r2
Ñ
Ý
r
Ñ
Ý
ur “
r
avec
(1.15)
Ce rapport, à valeur vectorielle, reste constant et ne dépend que de la charge test q et de la distance r
séparant cette charge du point M , c’est le champ électrostatique. Ce champ caractérise l’influence de la
charge q sur l’espace qui l’entoure.
On définit le champ électrostatique créé par une charge q en tout point M de l’espace situé à une
distance r de q par :
1 qÑ
Ñ
Ý
Ý
ur
(1.16)
E q pM q “
4π0 r2
L’unité du champ électrostatique est le Volt/mètre (symbole : V {m).
Ñ
Ý
u r désigne le vecteur unitaire porté par la droite joignant la charge q et le point M et orienté de q
vers M .
Ñ
Ý
Ý
Si q ą 0, E pM q et Ñ
u r sont de même sens, on dit que le champ électrostatique fuit la charge positive.
Ñ
Ý
Ý
Si q < 0, E pM q et Ñ
u r sont de sens contraires, on dit que le champ électrostatique est dirigé vers la
charge négative.
E(M)
O
q
M
M
E(M)
O
q<0
ur
r
q
q>0
ur
r
Figure 1.3 – Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Comme pour l’attraction gravitationnelle 10 , on peut donc mettre la loi de Coulomb sous une forme
plus intéressante :
Ñ
Ý
Ñ
Ý
F qqM “ qM E q pM q
(1.17)
Cette équation permet de définir clairement ce qui dépend uniquement de la particule qui subit la
force 11 (la charge qM ), de ce qui ne dépend que d’une source extérieure 12 (le vecteur champ électrostatique
Ñ
Ý
E q q.
Le champ électrostatique créé par une charge n’est pas défini en son point source car p1{r2 Ñ 8q.
Cette difficulté doit être attribuée à la limite du concept de charge ponctuelle qu’il faut reconsidérer
lorsqu’on veut étudier les interactions à très faible distance.
Ý
Ñ
Ý
Ñ
Ñ
10. F M Ñm “ ´G Mr2m Ý
u “ ´G ¨m
11. pour l’attraction gravitationnelle c’est la masse m
Ý
Ñ
12. pour l’attraction gravitationnelle c’est le champ gravitationnel G
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
11
1.3.2
Champ électrostatique créé par une distribution de charges ponctuelles
M
En
E1
E2
qi < 0
r1
u1
q1 P
1
rn
r2
un
qn P n
u2
q2 P 2
Ñ
Ý
Le champ électrostatique E pM q créé en un point M par une distribution discrète de n charges
Ý
Ñ
statiques pqi , Pi q est la somme des champs électrostatiques Ei créés par chacune des charges qi au point
M . C’est encore le principe de superposition qui s’applique :
Ñ
Ý
E pM q
“
n
ÿ
Ñ
Ý
Ei
(1.18)
i“1
n
ÿ
“
n
1 qi Ñ
1 ÿ qi Ñ
Ý
Ý
ui “
ui
2
4π0 ri
4π0 i“1 ri2
i“1
Ý
avec ri la distance séparant la charge qi du point M et Ñ
u i le vecteur unitaire dirigé de Pi vers M .
1.3.3
Champ électrostatique créé par une distribution continue de charges
En généralisant la formule (1.18), on obtient facilement les expressions du champ électrostatique créé
Ñ
Ý
par une distribution continue de charges statiques. C’est ainsi que le champ électrostatique E pM q créé
au point M par une distribution volumique de charges de densité ρ, contenue dans un volume τ , est la
ÝÑ
somme de tous les champs élémentaires dEpM q créés par des charges élémentaires dq “ ρ dτ centrées
Ñ
Ý
autour du point P . Le champ électrostatique E pM q est donné par l’expression :
¡
¡
¡
dq Ñ
1
ρ dτ Ñ
1
ÝÑ
Ñ
Ý
Ý
Ý
E pM q “
u “
u
(1.19)
dEpM q “
4π0
r2
4π0
r2
τ
τ
τ
(τ )
M
ρ>0
dE(M)
r
dq
dτ
u
P
Pour une distribution surfacique de charges répartie sur une surface S et de densité σ :
ij
ij
ij
1
dq Ñ
1
σ dS Ñ
ÝÑ
Ñ
Ý
Ý
Ý
E pM q “
dEpM q “
u
“
u
2
4π0
r
4π0
r2
S
S
(1.20)
S
Pour une distribution linéique de charges répartie sur une courbe C et de densité λ :
ż
ż
ż
q
dq 1 Ñ
1
λ dl Ñ
ÝÑ
Ñ
Ý
Ý
Ý
E pM q “ dEpM q “
u
“
u
2
2
4π
r
4π
0
0
C
C
C r
(1.21)
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
12
1.3.4
Lignes de champ électrostatique :
La nature profondément géométrique du champ électrostatique (puisque dépend des coordonnées de
l’espace) nous permet d’envisager sa cartographie. Dans l’espace, on représente le champ électrostatique
par des lignes de champ qui sont par définition des courbes tangentes en tout point au vecteur champ
électrostatique(voir paragraphe ??), ces courbes s’obtiennent à partir de l’équation ci-après :
Ñ
Ý
ÝÝÑ Ñ
Ý
E ^ dOM “ 0
(1.22)
Les expressions analytiques des équations différentielles des lignes de champ électrostatique dans les
trois systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindriques et sphériques) sont alors :
— En coordonnées cartésiennes
dx
dy
dz
“
“
Ex px, y, zq
Ey px, y, zq
Ez px, y, zq
(1.23)
— En coordonnées cylindriques
rdθ
dz
dr
“
“
Er pr, θ, zq
Eθ pr, θ, zq
Ez pr, θ, zq
(1.24)
— En coordonnées sphériques
dr
rdθ
r sin θ dϕ
“
“
Er pr, θ, ϕq
Eθ pr, θ, ϕq
Eϕ pr, θ, ϕq
(1.25)
Les lignes de champ électrostatique ne se coupent nulle parts 13 . Elles partent des charges positives
(ou de l’infini) et aboutissent aux charges négatives (ou à l’infini).
1.3.5
Propriétés de symétries du champ électrostatique
Le calcul du champ à partir des intégrales est souvent assez pénible, il convient alors d’utiliser les symétries des distributions, quand elles existent, pour le simplifier. Certaines simplifications (indépendances
du champ par rapport à certaines coordonnées, annulation de composantes de champ, . . . ) peuvent alors
être effectuées sans calcul, à l’aide de considérations de symétries ; d’où l’intérêt d’étudier les propriétés
de symétrie et d’antisymétrie du champ électrostatique.
Principe de Curie
Le principe de symétrie de Pierre Curie 14 affirme que lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétries et les invariances des causes doivent se retrouver
dans les effets produits.
Ici, les causes sont représentées par la distribution de charges et les effets par le champ électrostatique et aussi le potentiel électrostatique.
Notons que les éléments de symétrie agissent sur les directions des grandeurs vectorielles, tandis que
les invariances agissent sur les variables dont dépendent ces grandeurs.
Cas d’un plan symétrie électrostatique
Considérons une distribution de charges ayant un plan de symétrie électrostatique pΠq. Des charges
élémentaires identiques (égales) et symétriques par rapport à pΠq créent en un point M quelconque du plan
pΠq des champs électrostatiques élémentaires symétriques par rapport à pΠq. Le champ électrostatique
élémentaire résultant est donc contenu dans le plan de symétrie électrostatique pΠq.
Ý
Ñ
13. Un croisement des lignes de champ signifierait qu’il existe deux orientations possibles du champ électrostatique E
pour un même point, ce qui est impossible. Cette règle montre que les lignes de champ ne doivent commencer ou s’arrêter
que sur des points singuliers pour lequel le champ n’est pas défini (les points correspondant aux charges elles mêmes) ou
Ý
Ñ Ý
Ñ
sur des points tels que E “ 0
14. Pierre Curie (15 mai 1859 à Paris - 19 avril 1906 à Paris) est un physicien autodidacte français. Il est principalement
connu pour ses travaux en radioactivité et en piézoélectricité. Lui et son épouse, Marie Curie, pionniers de l’étude des
radiations, reçurent le prix Nobel de physique en 1903, avec Henri Becquerel.
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
13
Le système étant géométriquement symétrique par rapport à pΠq, le raisonnement précédent permet
par superposition de prévoir que le champ électrostatique total en un point M de pΠq est contenu dans
ce plan, donc :
Le champ électrostatique en un point d’un plan de symétrie électrostatique de la distribution de charges est contenu dans ce plan
Π
dτ1
dτ2
+
+
M
dE2
dE1
dE1 + dE2
Figure 1.4 – Distribution présentant un plan de symétrie électrostatique
Cas d’un plan d’antisymétrie électrostatique
Envisageons maintenant le cas d’une distribution de charges possédant un plan d’antisymétrie électrostatique pΠq˚ . Des charges élémentaires opposé et symétriques par rapport au plan pΠq˚ créent en un
point M du plan pΠq˚ des champs électrostatiques élémentaires symétriques par rapport à la normale en
M au plan pΠq˚ . Le champ électrostatique élémentaire résultant est donc perpendiculaire au plan pΠq˚ .
Le système étant géométriquement symétrique par rapport à pΠq˚ , le raisonnement précédent permet
par superposition de prévoir que le champ électrostatique total en un point M de pΠq˚ est perpendiculaire
à ce plan, donc :
Le champ électrostatique en un point d’un plan d’antisymétrie électrostatique de la distribution de charges est perpendiculaire à ce plan. Ce plan est par conséquent une surface
équipotentielle.
Π∗
dτ2
dτ1
+
dE2
dE1 + dE2
M
dE1
Figure 1.5 – Distribution présentant un plan d’antisymétrie électrostatique
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
14
Invariances électrostatiques par translation/rotation
Invariance par translation Si une distribution de charges est invariante dans toute translation par
rapport à un axe Oz, alors le champ électrostatique créé par cette distribution ne dépendra pas de z.
Invariance par rotation Si une distribution de charges est invariante dans toute rotation θ par rapport
à un axe Oz, alors le champ électrostatique créé par cette distribution ne dépendra pas de θ.
1.4
Potentiel électrostatique
Nous avons vu qu’il est possible de décrire les effets d’une distribution quelconque de charges à l’aide
du champ électrostatique. Cette possibilité est très utile mais parfois difficile par le fait que le champ
électrostatique est un champ vectoriel. Le potentiel électrostatique quant à lui n’est pas vectoriel mais
scalaire. Il permet, tout aussi comme le champ électrostatique, de décrire les effets d’une distribution de
charges en tout point de l’espace.
1.4.1
Potentiel créé par une charge ponctuelle
Considérons une charge ponctuelle q maintenue immobile au point O. Le champ électrostatique créé
par cette charge en M est exprimé par :
Ñ
Ý
E pM q “
1 qÑ
Ý
ur
4π0 r2
(1.26)
Ñ
Ý
ÝÝÑ
La circulation élémentaire dΓ du champ électrostatique E sur un parcours élémentaire dOM est définie
par :
Ñ
Ý ÝÝÑ
E ¨ dOM
1 q Ý
ÝÑ
Ñr ¨ dÝ
“
u
OM
4π0 r2
q dr
“
4π0 r2
ˆ
˙
1 q
“ ´d
` cte
4π0 r
dΓ “
(1.27)
(1.28)
Ñ
Ý
La circulation élémentaire du champ électrostatique E est donc une différentielle totale d’un champ sca-
A
(C)
E(M)
M dr
dOM
B
r
O
q >0
ur
laire que nous désignons par V . Ce champ ne dépend que de la charge q (qui crée le champ électrostatique)
et de la distance r séparant celle-ci du point M . L’expression (1.28) s’écrit alors :
Ñ
Ý ÝÝÑ
E ¨ dOM “ ´dV
(1.29)
Ce résultat suggère qu’en présence d’une charge q, nous pouvons caractériser chaque points M de l’espace
par une grandeur scalaire V pM q, c’est le potentiel électrostatique.
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
15
On défini le potentiel électrostatique créé par une charge q en un point M situé à une distance r de
q par :
1 q
` Cte
(1.30)
V pM q “
4π0 r
E(M)
V(M)
M
r
O
q<0
ur
Dans le système international d’unités, le potentiel électrostatique est exprimé en volt 15 pV q.
On note que le potentiel électrostatique n’est défini qu’à une constante additive près 16 . Pour fixer
cette constante, il suffit de se donner, de façon arbitraire, la valeur du potentiel en un point. Ainsi, si
l’on pose que le potentiel créé par la charge ponctuelle q est nul à l’infini , l’expression (1.30) du
potentiel devient :
1 q
(1.31)
V pM q “
4π0 r
La circulation du champ électrostatique entre les deux points A et B du parcours pCq est égale à la
différence de potentiel entre ces deux points :
żB
żB
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Γp E q “
dΓp E q “
´dV “ V pAq ´ V pBq
(1.32)
A
A
On constate que la circulation du champ électrostatique sur un parcours quelconque est indépendante
du chemin suivi, elle ne dépend que des positions initiale et finale du parcours 17 . On dit que le champ
électrostatique est à circulation conservative. Le champ électrostatique est donc un champ de
gradient (cf. Propriétés de l’opérateur gradient : paragraphe ??).
1.4.2
Relation entre champ et potentiel électrostatiques
Le potentiel électrostatique étant un champ scalaire, on peut donc définir son gradient par :
ÝÝÑ
ÝÝÑ
dV “ gradV pM q ¨ dOM
or on sait (équation 1.29) que
Ñ
Ý
ÝÝÑ
E pM q ¨ dOM “ ´dV
Ces deux relations permettent d’écrire :
ÝÝÑ
Ñ
Ý
E pM q “ ´gradV pM q
(1.33)
Ñ
Ý
On dit que le champ électrostatique E dérive du potentiel électrostatique V . Cette propriété importante, valable en tout point de l’espace, permet d’affirmer qu’entre deux points A et B d’un parcours
quelconque, la circulation du champ électrostatique ne dépend que de la différence du potentiel électrostatique entre ces deux points 18 .
15. Le volt est une unité de mesure de potentiel, de différence de potentiel, ou de tension, et de force électromotrice. Il
doit son nom au patronyme du physicien italien Alessandro Volta (1745-1825).
16. Il est indispensable de déterminer cette constante pour définir complètement le potentiel électrostatique, toutefois, il
convient de garder à l’esprit que seule une différence de potentiel à un sens physique.
17. Sur un parcours fermé, cette circulation est nulle :
¿
Ý
Ñ
ÝÝÑ
E pM qdOM “ 0
C
18.
żB
A
Ý
Ñ
ÝÝÑ
E pM q dOM “ ´
żB
A
ÝÝÑ
ÝÝÑ
grad V pM q dOM “ ´
żB
dV pM q “ V pAq ´ V pBq
A
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
16
1.4.3
Potentiel électrostatique créé par une distribution discrète de charges
Considérons un ensemble de n charges ponctuelles qi distribuées dans une région de l’espace. En vertu
du principe de superposition, le champ électrostatique résultant en un point M, placé à une distance ri
Ý
Ñ
de qi , est la somme vectorielle des champs Ei pM q créés en M par chacune des charges qi , soit :
Ñ
Ý
E pM q
n
ÿ
Ý
Ñ
Ei pM q
“
(1.34)
i“1
Ý
Ñ
Le champ électrostatique Ei pM q, créé par la charge ponctuelle qi au point M , est relié au potentiel
électrostatique Vi pM q par :
ÝÝÑ
Ý
Ñ
Ei pM q “ ´grad Vi pM q
Finalement, compte tenu de la linéarité de l’opérateur gradient, le champ électrostatique en M s’écrit, :
n
ÿ ÝÝÑ
Ñ
Ý
E pM q “ ´
grad Vi pM q
“
n
ÝÝÑ ÿ
´grad
Vi pM q
i“1
(1.35)
i“1
“
ÝÝÑ
´grad V pM q
Le potentiel électrostatique V pM q créé par la distribution est la somme des potentiels électrostatiques
créés par chacune des charges de la distribution.
V pM q “
n
ÿ
Vi pM q “
i“1
1.4.4
n
ÿ
1 qi
4π0 ri
i“1
(1.36)
Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges
Comme nous l’avons fait pour la force et le champ électrostatiques, nous pouvons généraliser aisément
l’expression précédente au cas des distributions continues de charges. Ainsi, le potentiel électrostatique
créé par une distribution volumique continue de charges, de densité volumique de charge ρ, s’obtient par
intégration, sur tous le volume chargé, du potentiel élémentaire créé par la charge élémentaire dq “ ρ ¨ dτ
au point M :
¡
¡
¡
1
1
dq
ρ dτ
V pM q “
dV pM q “
“
(1.37)
4π0
r
4π0
r
τ
τ
τ
Pour une distribution surfacique avec la densité surfacique de charges σ, le potentiel est :
ij
ij
ij
1
dq
1
σ dS
V pM q “
dV pM q “
“
4π0
r
4π0
r
S
S
S
Pour une distribution linéique de charges avec la densité linéique λ, le potentiel est :
ż
ż
ż
1
dq
1
λ dl
V pM q “ dV pM q “
“
4π
r
4π
0
0
C
C
C r
1.4.5
(1.38)
(1.39)
Continuité du potentiel
Nous admettons que le potentiel électrostatique créé par une distribution discrète de charges est
défini et continu en tout point de l’espace sauf aux points où sont localisées les charges ponctuelles de la
distribution.
Le caractère non défini du potentiel électrostatique aux points où sont localisées les charges ponctuelles
est lié au modèle ponctuel de ces charges.
Pour les distributions continues de charges, cet aspect n’apparaît plus et le potentiel est défini et
continu en tout point de l’espace.
1.4.6
Surfaces équipotentielles
Les surfaces équipotentielles ou surfaces de niveaux sont constituées par l’ensemble des points correspondant à la même valeur du potentiel 19 .
19. La relation (1.33) implique, d’après les propriétés de l’opérateur gradient, que :
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34
Ce document a été téléchargé gratuitement sur : www.marolet.ma
17
Figure 1.6 – Courbes équipotentielles : deux charges opposées (gauche) et deux charges identiques
(droite)
1.4.7
Symétrie et potentiel électrostatique
D’après le principe de Curie, le potentiel électrostatique présente, comme le champ électrostatique,
les symétries de la distribution de charges qui l’a créé. On peut donc en déduire les règles de symétrie
suivantes :
Cas d’un plan de symétrie électrostatique
Si une distribution de charges admet un plan de symétrie électrostatique Π, le potentiel a la même
valeur en un point M et en son symétrique M 1 par rapport au plan Π.
Cas d’un plan d’antisymétrie électrostatique
Si une distribution de charges admet un plan d’antisymétrie électrostatique Π˚ , le potentiel prend des
valeurs opposées en tout point M et en son symétrique M 1 par rapport à ce plan.
Invariances électrostatiques par translation/rotation
Invariance par translation
Si une distribution de charges est invariante dans toute translation par rapport à un axe Oz, alors le
potentiel électrostatique créé par cette distribution ne dépendra pas de z.
Invariance par rotation
Si une distribution de charges est invariante dans toute rotation α par rapport à un axe ∆, alors le
potentiel électrostatique créé par cette distribution ne dépendra pas de α.
— Les lignes de champ électrostatique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles en leurs points d’intersections.
— Le signe (-) implique que les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants.
Compilé le 2020/07/12 à 19:45:34