Mouvements Périodiques I-Définition, exemples et grandeurs caractéristiques d’un mouvement périodique 1) Définition : Un mouvement est dit périodique s’il se répète identique à lui-même à des intervalles de temps successifs de même durée T. 2) Exemples : Battements de cœur ; va-et-vient des essuie-glaces d’une automobile ; rotation de la terre sur elle-même mouvement d’un pendule élastique ; mouvement d’un stroboscope. 3) Grandeurs caractéristiques d’un mouvement périodique : Un mouvement périodique est caractérisé par : - Sa période T : La plus petite durée au bout de laquelle un phénomène périodique se reproduit identique à lui-même. - Sa fréquence N : Le nombre de périodes pendant une seconde. C’est l’inverse de la 1 période : 𝑁 = T - Sa pulsation W : Vitesse angulaire : 𝑊 = 2π T T s’exprime en seconde (s) ; N en Hertz (Hz) et w en rad.s-1 II- Etude expérimentale du mouvement d’un stroboscope : 1) Définition d’un stroboscope : Un stroboscope est un appareil qui émet des éclairs très brefs à des intervalles de temps réguliers. 2) Expérience de stroboscopie : Le phénomène étudié est celui d’un disque D animé d’un mouvement de rotation uniforme de période T (fréquence N) et portant un secteur blanc sur un fond noir. Disque immobile Disque en mouvement rapide parait gris foncé Le secteur blanc n’est visible qu’à l’instant où l’éclair est émis. Le secteur blanc fait un tour en un temps T. Notons Te la période des éclairs du stroboscope (intervalles de temps entre deux éclairs) et Ne la fréquence des éclairs par seconde (nombres éclairs par seconde). a) Première observation : Immobilité apparente du disque avec un secteur unique. - On suppose : Te=T Entre deux éclairs le secteur blanc fait exactement un tour. Le secteur blanc est donc vu à chaque fois dans la même position, il parait immobile. C’est l’immobilité apparente. - On suppose Te= kT Entre deux éclairs le secteur blanc fait k tours complets (pendant la durée kT). Il est alors éclairé dans la même position. Il y a donc immobilité apparente du disque avec un secteur unique. 1 K N Pour Te= kT soit Ne = N ou Ne=KN donc Ne = K La plus grande valeur de la fréquence Ne du stroboscope qui donne l’immobilité apparente à un aspect est obtenue lorsque k est minimal soit k=1 Un stroboscope étalonné permet de mesurer la fréquence d’un mouvement vibratoire : elle est égale à la fréquence des éclairs la plus élevée permettant d’obtenir l’immobilité apparente. b) Deuxième observation : Immobilité apparente du disque avec plusieurs secteurs. - On suppose T= 2Te Pendant que le disque fait un tour, le stroboscope émet deux éclairs. Comme chaque éclair surprend le secteur blanc, ce dernier sera vu deux fois pendant un tour. On a l’illusion de voir 2 secteurs blancs immobiles équidistants. - 𝑇 On suppose T=3Te ou Te= 3 Entre deux éclairs consécutifs, le disque fait un tiers de tour. A cause de la persistance des images rétiniennes, l’œil voit trois secteurs immobiles pour un tour du disque. Généralisation T= kTe ou Ne=kN Le stroboscope émet k éclairs pendant que le secteur blanc fait un tour comme chaque éclair surprend le secteur, ce sera vu K fois pendant un tour. On a tendance à voir k secteurs blancs apparemment immobiles et équidistants. c) Troisième observation : Mouvement apparent ralenti On suppose Te légèrement supérieure à T soit Te=T+ε Sens réel Mouvement apparent 1 2 D’un éclair à l’autre on observe le passage du secteur blanc de la position 1 à la position 2. Le secteur semble tourner lentement (au ralenti) dans le même sens que celui du mouvement réel à la fréquence apparente Na Comme est Te légèrement supérieure à T, alors entre deux éclairs, pendant la durée T e, le disque fait un peu plus d’un tour soit un tour et une fraction de tour. Le secteur blanc tourne donc de 2π+α pendant la durée Te. Si W est la vitesse de rotation du disque et 2π+α l’angle balayé alors on a : 2π+α =WTe =˃ α= WTe-2π (1). Pour un profane, le disque a tourné d’un angle α pendant la durée T e. Si Wa est la vitesse angulaire apparente de rotation du secteur blanc alors : α= WaTe (2) 2π 2𝜋 En égalant (1) et (2) on a : WTe-2π= WaTe or Wa = Ta et W= 𝑇 Il vient donc 1 𝑇 1 1 2𝜋 𝑇 2𝜋 𝑇𝑒 𝑇𝑒 𝑇 − 2𝜋 = 𝑇𝑎 𝑇𝑒 <=> 2π( 𝑇 − 1)=2π(𝑇𝑎) 1 1 𝑇𝑒 𝑇 𝑇𝑒 1 1 − 1=𝑇𝑎 <=> Te(𝑇-𝑇𝑎)=1 1 − 𝑇𝑎=𝑇𝑒 ou 𝑇-𝑇𝑒=𝑇𝑎 soit N-Ne=Na - On suppose Te légèrement inferieure à T (Te= T-ε) On observe un mouvement apparent ralenti dans le sens contraire de celui du mouvement réel à la fréquence apparente Na= Ne-N. Exercices Exercice1 Un dis que blanc portant un secteur noir est fixé sur l’arbre d’un moteur dont on veut déterminer la vitesse angulaire de rotation. Le moteur étant en rotation uniforme, on éclaire le disque avec une lumière stroboscopique. Le secteur noir semble mobile lorsque la fréquence des éclairs est Ne=60 Hz. 1) Déterminer les valeurs possibles de la fréquence et de la vitesse angulaire de rotation du disque. 2) Lorsqu’on augmente progressivement la valeur de la fréquence des éclairs on observe à nouveau l’immobilité apparente pour Ne= 120 Hz puis on ne l’observe plus. En déduire la valeur de la vitesse angulaire du disque. 3) Qu’observe-t-on sur le disque pour les valeurs suivantes de la fréquence des éclairs : Ne= 240 Hz, Ne= 360 Hz, Ne= 118 Hz. Exercice2 : Un disque D, entrainé par un moteur électrique, effectue autour de son axe X’OX un mouvement de rotation uniforme. Pour déterminer sa vitesse de rotation, on éclaire le disque D par un faisceau lumineux que démasquent successivement les 10 trous d’un disque D’, régulièrement repartis sur une circonférence, qui tourne avec une réglable et connue à tout instant. On constate alors que la plus grande vitesse de D’pour laquelle un secteur noir dessiné sur D parait unique et immobile est 10 tours par seconde (on suppose que D’tourne dans le sens que D). 1) Qu’elle est la vitesse de rotation du disque D (exprimée en radian par seconde) ? 2) Qu’elle l’aspect du disque D lorsque D à raison de 5, puis 20, puis 9,5 tr/s ? Mouvements Vibratoires I-Définitions : On appelle mouvement vibratoire un mouvement périodique rapide s’effectuant de part et d’autre d’une position d’équilibre. Un ébranlement(onde) est un signal mécanique court. II-Ebranlement transversal-ébranlement longitudinal : 1) Ebranlement transversal a) Etude expérimentale : Considérons une longue corde de caoutchouc légèrement tendue dont l’une des extrémités O est subitement déplacée jusqu’en O’ puis ramenée à sa position initiale. La portion de circuit immédiatement voisine de O se déforme, mais reprend aussitôt sa forme d’équilibre pendant que la portion suivante se déforme à son tour et ainsi de suite de proche en proche. On dit qu’il Ya propagation d’un ébranlement le long de la corde élastique. b) Définition : Un ébranlement est transversal si les déformations du milieu sont perpendiculaires à la direction de propagation. 2) Ebranlement longitudinal a) Etude expérimentale : Utilisons un long ressort très souple et faiblement tendu. Comprimons quelques spires au voisinage de l’extrémité O puis abandonnons-les à elles-mêmes. Elles reprennent leurs positions d’équilibre tandis que les spires voisines se rapprochent à leur tour et ainsi de suite de proche en proche. Il y a propagation du déplacement D et par suite de la compression. b) Définition : Un ébranlement est longitudinal si les déformations du milieu sont parallèles à la direction de propagation. NB :la propagation d’un ébranlement ne correspond pas à un transfert de matière mais d’énergie à une célérité c. 3) Lois et célérité des ébranlements : a) Lois de l’ébranlement : L’ébranlement se propage à vitesse(célérité) constante. Le mouvement de propagation ne dépend pas des grandeurs géométriques de l’ébranlement mais seulement de la nature du milieu élastique. Chaque reprend le mouvement du point de départ avec un retard d’un temps θ qui dépend de la distance à laquelle il se trouve de ce dernier. b) Célérité des ébranlements : La célérité de propagation ne dépend ni de la forme, ni de l’amplitude de l’ébranlement à condition toute fois que la déformation qui résulte ne soit pas trop importante. Par contre, la célérité dépend de la nature et de l’état actuel du milieu de propagation. La célérité des ébranlements transversaux le long d’une corde sans raideur s’exprime en fonction du module F de la tension de la corde et sa masse linéaire µ ( masse par 𝐹 𝑚 𝐹.𝑙 unité de longueur) par la relation : c=√µ or µ= 𝑙 donc c=√ 𝑚 F : s’exprime en Newton (N) µ : s’exprime en kilogramme par mètre(kg/m) c : s’exprime en mètre par seconde (m/s) Application : Une grosse corde de caoutchouc a une longueur de 5m de masse 0,49 kg et dont la tension vaut 2 kgf. Calcule sa célérité On donne 1 kgf=9,8N III- Mouvement vibratoire sinusoïdal : 1) Définition : Un mouvement vibratoire est dit sinusoïdal quand son équation horaire est une équation sinusoïdale du temps. X=asin(ωt+ϕ) x : élongation du mouvement(m) ; a : amplitude du mouvement(m) ω : pulsation(rad/s) ; ϕ : phase à l’origine(rad) ωt+ϕ : phase à l’instant t A l’origine : t=0 , x=0 0= asin(ω×0+ϕ) => 0= a sinϕ => sinϕ=0 =>ϕ=0 2𝜋 Donc x=asinωt ou x=asin 𝑇 t OU encore on peut utiliser l’équation : x= acos(ωt+ϕ) 2𝜋 A t=0 x=a ;a=acos(ω×0+ϕ) => cosϕ=1 =>ϕ=0 Donc l’equation est : x=acos( 𝑇 t) 2) La longueur d’onde : λ