mecanique smpcTD

1
Universite Chouaib Doukkali
Faculte des Sciences
El Jadida
Groupe de Physique Th´eorique
Laboratoire de Physique de la Mati`ere Condens´ee
Fili`ere
Sciences de la Mati`ere Physique Chimie
–SMPC1–
Module
M´ecanique du Point Mat´eriel
Ahmed Jellal1
Travaux Dirig´ es Avec Solutions
1[email protected]
www.goodprepa.tech
www.goodprepa.tech

R(
~
i1,~ i2,~ i3)
~
V1= 2t
~
i1+t
~
i2+~ i3,~ V2= 4t
~
i1−t
~
i2−t
~
i3
td
dt ~
V1·~ V2R
d
dt ~
V1∧~ V2R
◦
◦
~
V(t)V(t)R
◦~
V(t)
~
V(t)
◦V(t)d
dt h~
V(t)iR
~
V(t)
◦
~
V(t)·d
dt h~
V(t)iR=V(t)d
dt [V(t)]
~
V1~ V2~ V3
(
~
i1,~ i2,~ i3)
◦~
V1∧~ V2∧~ V3
◦
~
V1∧~ V2∧~ V3=~ V3·~ V1~ V2−~ V1·~ V2~ V3
◦
~
V1=~ i1+~ i2,~ V2=~ i3+~ i2,~ V3=~ i1+~ i3
~
V1,~ V2,~ V3
◦
~
V1∧~ V2·~ V3∧~ V4=~ V1·~ V3~ V2·~ V4−~ V1·~ V4~ V2·~ V3

−→
V1=
R
2t
t
1
−→
V2=
R
4t
−t
−t
◦−→
V1·−→ V2=
2t
t
1
·
4t
−t
−1
= 8 t2−t2−t= 7 t2−t
d(−→ V1·−→ V2)
dt = 14 t−1
−→
V1∧−→ V2=
−→
ex−→ ey−→ ez
2t t 1
4t−t−t
= (−t2+t)−→ ex− −2t2−4t−→ ey+ −2t2−4t2−→ ex
d(−→ V1∧−→ V2)
dt !R
= (−2t+ 1) −→ ex+ (4t+ 4) −→ ey−12t−→ ez
d−→ ex
dt R=d−→
ey
dt R=d−→
ez
dt R= 0
◦
d−→ V1
dt ·−→
V2+−→ V1·d−→
V2
dt =
2
1
0
·
4t
−t
−t
+
2t
t
1
·
4
−1
−1
= 14t−1
d−→ V1
dt ∧−→
V2=−t−→ ex+ 2t−→ ey−6t−→ ez;−→ V1∧d−→
V2
dt = (−t+ 1) −→
ex+ (2t+ 4) −→ ey−6t−→ ez
d−→ V1
dt ∧−→
V2+−→ V1∧d−→
V2
dt = (−2t+ 1) −→
ex+(4+4t)−→ ey−12t−→ ez
−→
u=u(t)−→ V
◦−→
V(t) = V(t)−→ u(t)d−→
V
dt =dV dt
−→
u(t) + Vd−→
u
dt
d−→ V
dt =q dV dt 2+Q2
d−→ V
dt 6=dV dt
◦−→
V V 2=−→ V·−→ V=cste,
dV 2
dt = 2−→
V·dV
dt = 0 ⇒−→
V·d−→
V
dt = 0 −→
V⊥d−→
V
dt

◦−→
V·−→ u−→ u·d−→
u
dt |−→
u|=
d−→ V
dt =d V dt
−→
u + V du
dt
−→
V
d−→ V
dt ·−→
V = d V
dt
−→
u + V d−→
u
dt ·V−→
u = d V
dt V(−→
u.−→ u ) + V2d−→
u
dt ·−→
u,
−→
u·−→ u = 1 d−→
u
dt ·−→
u = 0.
d−→ V
dt ·−→
V = d V
dt ·V
−→
V1
(−→ i1,−→ i2,−→ i3)
V11
V12
V13
−→
V2
(−→ i1,−→ i2,−→ i3)
V21
V22
V23
−→
V3
(−→ i1,−→ i2,−→ i3)
V31
V32
V33
◦ ◦ −→
V1∧−→ V2∧−→ V3
−→
V2∧−→ V3
V21
V22
V23
∧
V31
V32
V33
=
V22V33−V23V32
V23V31−V21V33
V21V32−V22V31
,
−→
V1∧−→ V2∧−→ V3=
V11
V12
V13
∧
V22V33−V23V32
V23V31−V21V33
V21V32−V22V31
=
V12 (V21V32−V22V31)−V13 (V23V31−V21V33) +V21V11V31−V21V11V31
V13 (V22V33−V23V32)−V11 (V21V32−V22V31) +V22V12V32−V22V12V32
V11 (V23V31−V21V33)−V12 (V22V33−V23V32) +V23V13V33−V23V13V33
= (V11V31+V12V32+V13V33)
V21
V22
V23
−(V11V21+V12V22+V13V23)
V31
V32
V33
−→
V1∧−→ V2∧−→ V3=−→ V1·−→ V3−→ V2−−→ V1·−→ V2−→ V3
◦−→
V1
(−→ i1,−→ i2,−→ i3)
1
1
0
−→
V2
(−→ i1,−→ i2,−→ i3)
0
1
1
−→
V3
(−→ i1,−→ i2,−→ i3)
1
0
1
P =−→ V1·−→ V2∧−→ V3=
101
110
011
= 1 
1 0
1 1 
−0
1 0
0 1 
+1 
1 1
0 1 
= 1 + 1 = 2

−→
V1·−→ V2∧−→ V3=−→ V2·−→ V3∧−→ V1=−→ V3·−→ V1∧−→ V2= 2
−→
V1,−→ V2,−→ V3
◦−→
V1,−→ V2,−→ V3et −→ V4
−→
V1∧−→ V2·−→ V3∧−→ V4=−→ A·−→ V3∧−→ V4
=−→ V3·−→ V4∧−→ A
=−→ V3·−→ V4∧−→ A
=−→ V3·h−→ V4∧−→ V1∧−→ V2i
=−→ V3·h−→ V4·−→ V2−→ V1−−→ V4·−→ V1−→ V2i
=−→ V3·−→ V1−→ V4·−→ V2−−→ V3·−→ V2−→ V4·−→ V1.