7 Systemescontinus

Chapitre 7
Caract´ eristiques modales de syst` emes
continus unidimensionnels
In science one tries to tell people, in such a way as to be understood by everyone, something that no one
ever knew before. But in poetry, it’s the exact opposite.
PAUL DIRAC
Nous nous int´eresserons uniquement dans le cadre de ce cours de troisi`eme ann´ee `a des syst`emes
continus unidimensionnels, comme par exemple une corde vibrante, un arbre en torsion ou encore une
poutre en flexion.
7.1 Etablissement des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles ` a la base du com-
portment dynamique de syst` emes continus unidimensionnels
7.2 Cas d’une corde vibrante
Consid´erons une corde tendue fix´ee en ses deux extr´emit´es (cf. figure 7.1)
y
x
FIG .7.1 – Corde tendue entre deux points fixes
s
s
∆
s  s
+ 
T( )
∆
s  s
+ 
FIG. 7.2 – Tronc¸on de corde
107

CHAPITRE 7. CARACT ´ ERISTIQUES MODALES DE SYST ` EMES CONTINUS UNIDIMENSIONNELS 108
L’´equation d’´equilibre dynamique de translation, ∑F ma, d’un tronc¸on de corde de longueur ∆s
s’´ecrit :
T s ∆s T s ρ ∆sa (7.1)
o`u ρlrepr´esente la densit´e lin´eaire de la corde, et T, la tension au niveau d’une section.
Rappelons que nous avons choisi comme convention de regarder les effets de la partie droite sur la partie
gauche et de consid´erer que les efforts sont positifs suivant les axes (cf. chapitre 6).
Si on divise l’´equation (7.1) par ∆s, on obtient :
T s ∆s T s
∆sρa(7.2)
Si on fait tendre ∆s0, on aboutit alors `a l’´equation :
∂T
∂sρa(7.3)
On peut consid´erer, si l’angle que fait la corde avec l’horizontale est petit, que la relation suivante est
v´erifi´ee :
∂T
∂s
∂T
∂x(7.4)
En effet, la loi de composition des d´eriv´ees permet d’´ecrire :
∂T
∂s
∂T
∂x
1
∂s
∂x
(7.5)
Etant donn´e que l’´el´ement de longueur ∆svaut :
∆s2∆x2∆y2
∆x21∆y
∆x
2(7.6)
on en d´eduit :
∆s
∆x1∆y ∆x
2
(7.7)
Comme l’angle αque fait la corde avec l’horizontale est petit (on consid`ere de petites perturbations de
la corde par rapport `a sa position d’´equilibre), on a :
∂y
∂xtan α α
D`es lors le d´eveloppement de Taylor de l’´equation (7.7) donne :
∆s
∆x11 2α2(7.8)
Si on se limite aux termes du premier ordre en α, on obtient ∂s
∂x1, ce qui permet de d´emontrer la
proposition de l’´equation (7.4)
Etablissons l’´equation dynamique de comportement de la corde vibrante et consid´erons les compo-
santes Txet Tyde la tension Tdans le plan oxy :
TxTcos αT(7.9)
TyTsin αTαT∂y
∂x(7.10)
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CHAPITRE 7. CARACT ´ ERISTIQUES MODALES DE SYST ` EMES CONTINUS UNIDIMENSIONNELS 109
Si on suppose que ayax(cela revient `a n´egliger ax), la projection de l’´equation (7.3) suivant les axes
xet y, donne :
∂Tx
∂xρax
∂T
∂x0Tconstante (7.11)
∂Ty
∂xρay
∂T∂y
∂x
∂xρ∂2y ∂t2(7.12)
De l’´equation (7.11), on en d´eduit que la tension est la mˆeme en tous points de la corde.
L’´equation (7.12) se r´eduit donc `a :
ρ∂2y
∂t2T∂2y ∂x20 (7.13)
qui est l’´equation de comportement de la corde vibrante.
Il s’agit d’une ´equation aux d´erin´ees partielles reliant les d´eriv´ees par rapport au temps et par rapport
`a l’espace.
On peut encore ´ecrire cette ´equation sous la forme :
∂2y
∂x2
ρ
T
∂2y
∂t20 (7.14)
∂2y
∂x2
1
T
ρ
∂2y
∂t20 (7.15)
T, qui repr´esente la tension dans la corde, a pour dimension le Newton Ntandis que ρla pour dimension
kg m . Par cons´equent Tρla pour dimension m2s2. et le param`etre cT
ρla les dimensions d’une
vitesse.
L’´equation de comportement peut alors s’´ecrire :
∂2y
∂x2
1
c2
∂2y
∂t20 (7.16)
Pour trouver la fonction y y x t , il faudra encore ajouter `a cette ´equation aux d´eriv´ees partielles, les
conditions aux limites de type cin´ematique et dynamique du syst`eme.
7.3 Cas d’uh arbre en torsion
Consid´erons un tronc¸on ´el´ementaire d’un arbre en torsion tel que repr´esent´e dans la figure 7.3
Ecrivons l’´equilibre dynamique de rotation d’un tronc¸on ´el´ementaire de l’arbre autour de l’axe x:
Mtx∆x Mtx JAxx
∂2θ
∂t2(7.17)
o`u Mtd´esigne le couple de torsion tandis que JArepr´esente le moment d’inertie axial m´ecanique du
tronc¸on ´el´ementaire, qui peut ´egalement s’´ecrire sous la forme suivante :
JAΣmαr2
α
∑αρ∆x∆y∆zr2
α
ρ∆x∑
α
∆y∆zr2
α
I
(7.18)
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CHAPITRE 7. CARACT ´ ERISTIQUES MODALES DE SYST ` EMES CONTINUS UNIDIMENSIONNELS 110
+
x
y
x t
θ( , )
x
∆
x
x
M ( )
t +
∆
x
x
FIG .7.3 – Arbre en torsion
o`u Iest, par d´efinition, le moment d’inertie g´eom´etrique de la section. Cette derni`ere relation permet de
mettre l’´equation d’´equilibre dynamique (7.17) sous la forme :
Mtx∆x Mtxρ ∆xI ∂2θ
∂t2(7.19)
Si on divise les deux membres de cette ´equation par ∆xet que l’on fait tendre ensuite ∆x0, on aboutit
alors `a l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :
∂Mt
∂xρI∂2θ ∂t2(7.20)
Rappelons que la relation contrainte-d´eform´eation dans le cas d’une torsion simple est une relation
lin´eaire entre le moment de torsion Mtet l’angle de torsion par unit´e de longueur ∂θ
∂x, est donn´e par
(cf. cours de RDM) :
MtGI ∂θ
∂x(7.21)
o`u Gest le module d’´elasticit´e transversal (ou module de cisaillement) et Ile moment d’inertie g´eom´etrique
de la section (danbs le cas simple d’une section circulaire).
Si on suppose que Get Isont constants, l’´equation (7.20) peut par cons´equent se mettre sous la forme
suivante :
∂GI ∂θ
∂x
∂xρI∂2θ ∂t2(7.22)
GI ∂2θ
∂x2ρI∂2θ ∂t2(7.23)
Finalement, un arbre en torsion de section circulaire sera d´ecrit par l’´equation aux d´eriv´ees partielles
suivante :
ρ∂2θ
∂t2G∂2θ ∂x20; (7.24)
ce qui peut encore se mettre sous la forme :
∂2θ
∂x2
ρ
G
∂2θ
∂t20∂2θ ∂x2
1
c2
∂2θ
∂t20 (7.25)
o`u c G ρrepr´esente la vitesse de propagation des ondes.
Par exemple, pour l’acier on a : G8 1010 N m2et ρ7800kg m3, ce qui donne c3200m s
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CHAPITRE 7. CARACT ´ ERISTIQUES MODALES DE SYST ` EMES CONTINUS UNIDIMENSIONNELS 111
7.4 Cas d’un arbre en traction - compression
+
x
y
x
∆
x
x
N ( )
+
∆
xx
FIG. 7.4 – Arbre en traction/compression
Consid´erons un tronc¸on ´el´ementaire d’un arbre en traction-compression tel que repr´esent´e dans la
figure 7.4.
Exprimons l’´equilibre dynamique de translation d’un tronc¸on ´el´ementaire de l’arbre suivant l’axe x:
N x ∆x N x ρ∆x S ∂2r
∂t2(7.26)
o`u N x repr´esente l’effort normal, ρla densit´e de l’arbre, Sla section du tronc¸on ´el´ementaire et rl’al-
longement de l’arbre provoqu´e par l’effort normal N.
Si on divise les deux membres de cette ´equalit´e par ∆xet que l’on fait tendre ensuite ∆x0 dans
l’´equation d’´equilibre (7.26), on aboutit alors `a l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :
∂N
∂xρS∂2r ∂t2(7.27)
Rappellons que la relation contrainte-d´eformation dans le cas d’une traction-compression simple est une
relation lin´eaire entre la contrainte normale σet l’allongement relatif ε, donn´ee par la loi de Hooke (cf.
cours de RDM) :
σEε(7.28)
o`u la contrainte normale σest d´efinie par σN
S.
Ed´esigne le module d’´elasticit´e longitudinal (module de Young) et εl’allongement relatif d´ecrit par
la relation : ∂r∂x.
Ces d´efinitions de σet εpermettent encore d’expliciter la loi de Hooke de la mani`ere suivante :
N
SE∂r ∂x(7.29)
Si on utilise cette expression de l’effort normal Ndans l’´equation (7.27), on obtient :
∂E S ∂r
∂x
∂xρS∂2r ∂t2
E∂2r
∂x2ρ∂2r ∂t2
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