5- Modèle dynamique de MCC

1/9
Contenu
1. Définition ....................................................................................................................................................................................1
1.1. Transformées de Laplace ................................................................................................................................................. 1
1.2. Théorème de la dérivation ............................................................................................................................................... 1
1.3. Théorème de la valeur finale............................................................................................................................................ 1
1.4. Théorème de la valeur initiale .......................................................................................................................................... 1
1.5. Intérêt de la transformée de Laplace ............................................................................................................................... 1
1.6. Causalité .......................................................................................................................................................................... 2
2. MIse en oeuvre ...........................................................................................................................................................................2
2.1. Mode dominant d'un système ......................................................................................................................................... 2
2.2. Modélisation du retard pur .............................................................................................................................................. 3
2.3. Tableau des transformées de Laplace .............................................................................................................................. 3
3. Modèle de la machine à courant continu à flux constant ...........................................................................................................5
3.1. Equation électrique .......................................................................................................................................................... 5
3.2. Equation mécanique ........................................................................................................................................................ 5
3.3. Bilan de puissance ............................................................................................................................................................ 5
3.4. Equation mécanique complète......................................................................................................................................... 6
3.5. Equations de couplage électromécanique ....................................................................................................................... 6
3.6. Modèle complet ............................................................................................................................................................... 6
3.7. Modèles simplifiés ............................................................................................................................................................ 7
3.8. Mise en équations à partir du modèle complet ............................................................................................................... 7
3.9. Etude vis à vis de la consigne Cr(p)=0 .............................................................................................................................. 8
3.10. Etude vis à vis de la perturbation U(p)=0 ......................................................................................................................... 9
3.11. Modèle complet ............................................................................................................................................................... 9
3.12. Modèle complet au premier ordre ................................................................................................................................... 9
1. DEFINITION
1.1. Transformées de Laplace
0
.).(.)()( dttfepFtf tp
Exemple : f(t) = (t) (échelon) a pour transformée de Laplace
p
ppF 1 )()( 
1.2. Théorème de la dérivation
))0()(.()()( IpIppF
dt
di
tf 
1.3. Théorème de la valeur finale
)(.lim)(lim 0pFptf pt  
1.4. Théorème de la valeur initiale
)(.lim)(lim
0pFptf pt  
1.5. Intérêt de la transformée de Laplace
Modèle dynamique de la MCC

2/9
Donner une forme algébrique aux équations différentielles linéaires à coefficients constants
illustration :
dt
di
LtiRte .)(.)( 
)()..()( pILpRpE 
i(t) = ?
)(.
.
1
)( pE
LpR
pI 
1.6. Causalité
La transformée de Laplace est réduite aux fonctions causales, c.a.d. f(t) = 0 pour t<0 (pour permettre l’écriture des fonctions de
transfert)
• si les conditions initiales sont non nulles,
o
II )0(
, en reprenant le calcul de l’expression de
)(pI
on peut montrer que
la fonction de transfert
)( )( pE pI
n’est pas définissable.
• Si Io=0,
La possibilité de décrire les systèmes par des fonctions de transfert Entrée-Sortie impose la causalité des fonctions étudiées
(nulles pour t négatif). En réalité, il existe toujours des non-linéarités et un comportement stable autour d’un point de repos.
On applique alors Laplace aux variations des grandeurs à partir du point de repos.
Exemple : E(t) = Eo + e(t) Eo point de repos e(t) la variation de tension
I(t) = Io + i(t) Io point de repos i(t) la variation de courant
Au point de repos
R
E
Io
o
Equation différentielle
dt
di
LtiR
dt
di
LtiREIRte
dt tiId
LtiIRteE
dt
dI
LtIRtE
oo
o
oo
.)(..)(.).()(
))((
.))(.()(
.)(.)(
et à
dt
di
LtiRte .)(.)( 
correspond la transformée de
Laplace
)(..)(.)( pILppIRpE 
soit
LpR pE
pI .
)(
)( 
)(pE
et
)(pI
sont les transformées de Laplace des variations des grandeurs considérées et non pas les transformées de
Laplace des grandeurs elles-mêmes.
2. MISE EN OEUVRE
2.1. Mode dominant d'un système
Une fonction de transfert d’ordre supérieur à deux peut être ramenée à un produit de fonctions élémentaires
constante
K
fonction du second ordre
22....21 1pp oo
fonction intégration
p.
1
retard
o
tp
e.
fonction du premier ordre p
o.1 1
I(p)
p.L
R
E(p)
i(t)
L
R
e(t)
I(p)
E(p)
LpR .
1

3/9
En général, les pôles les plus proches de l’axe imaginaire déterminent la bande passante, donc fixent le comportement général
de l’ensemble.
Exemple : ordre 4
)
30
.27,01)(
10
1)(1(
)( 2
p
p
p
p
K
sH
Le mode dominant de cet ordre 4 (apériodique est un premier ordre
On peut lui associer un retard pur pour coller au plus près.
2.2. Modélisation du retard pur
Source de retard dans les systèmes :
• nature du système : hacheur, bande transporteuse, etc...
• position des capteurs dans le processus,
• système thermique, gradient de température dans les matériaux.
o
tp
oepFttf .
).()( 
le retard to est modélisé par
o
tp
peR . )( 
dans l’espace Laplacien
Cette écriture n’est pas très pratique, on lui préfère quelquefois des formes approchées qui permettent de linéariser
o
tp
e.
tout
en conservant l’effet déstabilisant (approximation de Padé).
• 1ère forme
o
tp
pR .1 1
)( 
2nde forme
2
.1
2
.1
)( o
o
t
p
t
p
pR 
2.3. Tableau des transformées de Laplace

4/9

5/9
3. MODELE DE LA MACHINE A COURANT CONTINU A FLUX CONSTANT
3.1. Equation électrique
Temporel Laplace
)()..()()( pILpRpEpU 
3.2. Equation mécanique
PFD Principe Fondamental de la Dynamique
)()( tCtC
dt
d
Jru 
• Cu Couple utile (Nm)
• Cr Couple résistant (Nm)
• J inertie de l’ensemble mécanique (moteur + charge) (kg.m2)
•  vitesse de rotation (rad/s)
)()(.. pCpCpJ ru 
3.3. Bilan de puissance
 Cem Couple électromagnétique
puem CCC 
• Cp Couple de pertes Pertes fers Hystérésis f()
Foucault f(2)
Pertes mécaniques frottements f()
Ventilation f(2)
En regroupant f()
 .
1f
CP
pertes de nature frottements secs
f(2)
 )..(.
2fCP v
pertes de nature frottements visqueux
• Cf Couple de frottements secs
• Cv Couple de frottements visqueux
• f Coefficient de frottements visqueux (coefficient d’amortissement intrinsèque)
E
R
L
I(t)
U(t)
E
R
p.L
I(p)
U(p)
Pertes fers
Pa = U.I Pem = E.I=Cem. Pu=Cu. 
Pj=R.I2 Pertes mécaniques