Devoir Surveillé MPSI 2 : Ensembles, Complexes, Polygones

CPGE Mohammedia D.L. 1 MPSI 2
Questions de cours :
1. Soit Eun ensemble quelconque.
(a) Montrer que :
X:P(E)→ {0,1}E
A7→ XA
est une bijection.
où XAdésigne la fonction indicatrice de A.
(b) Déduire que si card(E) = nalors card(P(E)) = 2n.
2. On considère l’ensemble ordonnée (P(R),⊂). Considérons A=ni−1
n,1 nh|n∈N∗o,
déterminer inf(A)et sup(A).
3. (a) Montrer que les images des racines n−ième de l’unité sont les sommets d’un
polygone régulier à ncôtés.
(b) interpréter géométriquement " La somme des nracines n−ième de l’unité est
nulle ".
4. Résoudre l’équation ez=jd’inconnue zcomplexe.
5. étudier la transformation
T:P → P
M(z)7→ M0((1 −i)z−1 + i).
6. Soient n, m deux entiers qui sont tous les deux somme de deux carrés. Montrer que
mn est également la somme de deux carrés.
Exercice 1
On se donne deux ensembles A1et A2qui sont en bijection, B1et B2qui sont aussi en
bijection.
1. Montrer que les ensembles A1×B1et A2×B2sont en bijection.
2. Montrer que les ensembles P(A1)et P(A2)sont en bijection.
3. Montrer que les ensembles BA1
1et BA2 2sont en bijection.
Exercice 2
On considère, pour n≥3, la propriété Pn:
" il existe (u1, ..., un)∈(N∗)ntel que u1< u2< ... < unet
n
X
k=1
1
uk
= 1 "
1. (a) Supposons qu’il existe (u1, u2, u3)∈(N∗)3tel que u1< u2< u3et
1
u1+1 u2+1 u3= 1. Montrer que u1<3et en déduire la valeur de u1.
(b) Démontrer que P3est vraie et qu’on a même unicité d’un triplet solution.
2. En s’inspirant du cas n= 3, démontrer que P4est vraie et déterminer tous les
quadruplets satisfaisant cette propriété.
3. S’inspirer de ce qui précède pour démontrer par récurrence que Pnest vraie pour
tout n≥3.
1Pr. DAHMOUNI Mohammed

•n≥3ω=e2iπ
n
ω
•Z= (z0, . . . , zn−1)∈Cnn
e
Z= (ez0,...,ezn−1)
∀j∈J0, n −1K,ezj=1
√n
n−1
X
k=0
(ωj)kzk.
zn=z0ezn=ez0
•Z= (z0, . . . , zn−1)∈Cn|zk+1 −zk|k
•Z= (z0, . . . , zn−1)∈Cna∈C∗b∈C
∀k∈J0, n −1K, zk=aωk+b, ∀k∈J0, n −1K, zk=aωk+b.
•z1=x1+iy1z2=x2+iy2(0, z1, z2)
1
2x1x2
y1y2=1
2(x1y2−y1x2).
n
z1, z2∈C(0, z1, z2)1
2Im(z1z2)
p∈Z
n−1
X
k=0
(ωp)k.
Z= (z0, . . . , zn−1)∈Cnj∈J0, n −1K
zj=1
√n
n−1
X
k=0
(ωj)kezk.
Z= (z0, . . . , zn−1)∈Cn
L(Z) =
n−1
X
k=0 |zk+1 −zk|, E(Z) =
n−1
X
k=0 |zk+1 −zk|2, A(Z) = 1
2Im n−1
X
k=0
zkzk+1!.
L(Z)A(Z)
Z= (z0, . . . , zn−1)A(Z) = −A(Z)
A(Z)a∈C
Z+a= (z0+a, . . . , zn−1+a)
A(Z+a) = A(Z).
2Pr. DAHMOUNI Mohammed

Z R
b∈C
∀k∈J0, n −1K, zk=Rωk+b∀k∈J0, n −1K, zk=Rωk+b.
L(Z)E(Z)|A(Z)|
|A(Z)|
L(Z)2,|A(Z)| E(Z),|L(Z)|2 E(Z).
Rn(x0, . . . , xn−1),(y0, . . . , yn−1)∈Rn
n−1
X
k=0
xkyk≤v
u
u
t
n−1
X
k=0 |xk|2v
u
u
t
n−1
X
k=0 |yk|2.
(y0, . . . , yn−1)6= (0,...,0)
t0∈Rk∈J0, n −1Kxk=t0yk
Z∈Cnk zk6=zk+1
L(Z)2
E(Z)≤n.
A(Z) = 1
2
n−1
X
k=0
sin 2kπ
n|ezk|2E(Z) = 4
n−1
X
k=0
sin2kπ
n|ezk|2.
Γ(Z) = E(Z)−4 tan π
nA(Z).
Γ(Z) = 4
n−1
X
k=2
sin kπ
nsin kπ n−tan π ncos kπ n|ezk|2.
Γ(Z)≥0
|A(Z)|
E(Z)
Z
3Pr. DAHMOUNI Mohammed
12. On admet qu’il existe Z0∈Cnte que :
∀Z∈Cn:|A(Z)|
L(Z)2≤|A(Z0)| L(Z0)2
Soit (z0, z1, ..., zn−1) = Z0et jentier entre 0et n−1. On note Z1le polygone
obtenu à partir de Zen remplaçant zjpar zj+λ(zj+1 −zj−1)(avec un λréel)
sans changer les autres valeurs. Montrer que A(Z1) = A(Z0).
Montrer que Z0est équilatéral.
Montrer que l’inégalité isopérimétrique pour les polygones :
∀Z∈Cn: 4π|A(Z)| ≤ L(Z)2
Ce qui prouve l’inégalité demandée pour le cas des polygone.