CPGE Mohammedia
D.L. 1
MPSI 2
Questions de cours :
1. Soit E un ensemble quelconque.
(a) Montrer que :
X : P(E) → {0, 1}E
A
7→ XA
est une bijection.
où XA désigne la fonction indicatrice de A.
(b) Déduire que si card(E) = n alors card(P(E)) = 2n .
2. On considère l’ensemble ordonnée (P(R), ⊂). Considérons A =
déterminer inf(A) et sup(A).
ni
−1 1
n ,n
h
o
|n ∈ N∗ ,
3. (a) Montrer que les images des racines n − ième de l’unité sont les sommets d’un
polygone régulier à n côtés.
(b) interpréter géométriquement " La somme des n racines n − ième de l’unité est
nulle ".
4. Résoudre l’équation ez = j d’inconnue z complexe.
5. étudier la transformation
T : P
→ P
.
M (z) 7→ M 0 ((1 − i)z − 1 + i)
6. Soient n, m deux entiers qui sont tous les deux somme de deux carrés. Montrer que
mn est également la somme de deux carrés.
Exercice 1
On se donne deux ensembles A1 et A2 qui sont en bijection, B1 et B2 qui sont aussi en
bijection.
1. Montrer que les ensembles A1 × B1 et A2 × B2 sont en bijection.
2. Montrer que les ensembles P(A1 ) et P(A2 ) sont en bijection.
3. Montrer que les ensembles B1A1 et B2A2 sont en bijection.
Exercice 2
On considère, pour n ≥ 3, la propriété Pn :
" il existe (u1 , ..., un ) ∈ (N∗ )n tel que u1 < u2 < ... < un et
n
X
1
k=1
uk
=1"
1. (a) Supposons qu’il existe (u1 , u2 , u3 ) ∈ (N∗ )3 tel que u1 < u2 < u3 et
1
1
1
u1 + u2 + u3 = 1. Montrer que u1 < 3 et en déduire la valeur de u1 .
(b) Démontrer que P3 est vraie et qu’on a même unicité d’un triplet solution.
2. En s’inspirant du cas n = 3, démontrer que P4 est vraie et déterminer tous les
quadruplets satisfaisant cette propriété.
3. S’inspirer de ce qui précède pour démontrer par récurrence que Pn est vraie pour
tout n ≥ 3.
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Pr. DAHMOUNI Mohammed
Problème: Inégalité pour les polygones
• Dans tout le problème, n désigne un entier ≥ 3 et on pose ω = e n . On utilisera le plus souvent
possible les propriétés de ω plutôt que son expression an de ne pas alourdir les calculs.
• Pour Z = (z0 , . . . , zn−1 ) ∈ Cn (qu'on appelle polygone à n côtés du plan complexe), on pose
Ze = (e
z0 , . . . , zen−1 ) où
n−1
1 X j k
(ω ) zk .
∀j ∈ J0, n − 1K, zej = √
n
2iπ
k=0
On convient également de poser systématiquement zn = z0 et zen = ze0 .
équilatéral lorsque |zk+1 − zk | ne dépend pas de k .
∗
régulier lorsqu'il existe a ∈ C et b ∈ C tels que
• Un polygone Z = (z0 , . . . , zn−1 ) ∈ Cn est dit
• Un polygone Z = (z0 , . . . , zn−1 ) ∈ Cn est dit
∀k ∈ J0, n − 1K,
zk = aω k + b,
ou ∀k ∈ J0, n − 1K,
zk = aω k + b.
• Pour z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , on appelle aire algébrique du triangle (0, z1 , z2 ) le réel
1 x1
2 y1
1
x2
= (x1 y2 − y1 x2 ).
y2
2
Le but de ce problème est de montrer que parmi les polygones du plan à n sommets de périmètre xé,
ceux qui ont une aire maximale sont les polygones réguliers.
Partie 1 :
Vérier qu'un polyone régulier est équilatéral. Donner sans justication un exemple de polygone équilatéral non régulier.
1.
2.
Vérier que pour tous z1 , z2 ∈ C, l'aire algébrique du triangle (0, z1 , z2 ) vaut
3.
Pour p ∈ Z, calculer :
n−1
X
1
Im(z1 z2 ).
2
(ω p )k .
k=0
4.
Soit Z = (z0 , . . . , zn−1 ) ∈ C . Vérier que pour tout j ∈ J0, n − 1K,
n
n−1
1 X j k
zj = √
(ω ) zek .
n
k=0
Partie 2 :
Pour tout polygone Z = (z0 , . . . , zn−1 ) ∈ Cn , on pose
L(Z) =
n−1
X
k=0
|zk+1 − zk | ,
E(Z) =
n−1
X
2
|zk+1 − zk | ,
k=0
n−1
X
1
A(Z) = Im
zk zk+1
2
!
.
k=0
5.
Interpréter géométriquement les quantités L(Z) et A(Z). On pourra faire un dessin.
6.
Montrer que si on note Z = (z0 , . . . , zn−1 ), on a A(Z) = −A(Z).
Montrer que A(Z) est invariante par translation, c'est-à-dire que pour tout a ∈ C, on a pour
Z + a = (z0 + a, . . . , zn−1 + a) :
A(Z + a) = A(Z).
7.
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Pr. DAHMOUNI Mohammed
On suppose dans cette question que Z est un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon R,
c'est-à-dire qu'il existe b ∈ C tel que
8.
zk = Rω k + b ou ∀k ∈ J0, n − 1K,
∀k ∈ J0, n − 1K,
a.
b.
zk = Rω k + b.
Calculer L(Z), E(Z) et |A(Z)|.
En déduire dans ce cas la valeur des rapports
|A(Z)|
,
L(Z)2
|L(Z)|2
.
E(Z)
|A(Z)|
,
E(Z)
L'objet du problème est donc de démontrer que ces rapports sont maximaux.
9.
a:
On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans Rn : pour tout (x0 , . . . , xn−1 ), (y0 , . . . , yn−1 ) ∈ Rn , on
n−1
X
xk yk
v
v
un−1
un−1
uX
uX
2t
2
t
≤
|xk |
|yk | .
k=0
k=0
k=0
On rappelle également que, si (y0 , . . . , yn−1 ) 6= (0, . . . , 0), il y a égalité dans cette inégalité si et seulement
s'il existe t0 ∈ R tel que pour tout k ∈ J0, n − 1K, xk = t0 yk .
a.
Vérier que pour tout Z ∈ Cn non constant (c'est-à-dire qu'il existe k tel que zk 6= zk+1 ), on a
L(Z)2
≤ n.
E(Z)
A quelle condition y a-t-il égalité dans l'inégalité ci-dessus ?
Etablir les identités suivantes :
b.
10.
n−1
2kπ
1X
2
|e
zk |
sin
A(Z) =
2
n
et
E(Z) = 4
k=0
11.
On pose Γ(Z) = E(Z) − 4 tan
a.
Montrer que :
Γ(Z) = 4
π
n
n−1
X
c.
d.
2
sin
k=0
kπ
n
2
|e
zk | .
A(Z).
sin
k=2
b.
n−1
X
kπ
n
π
kπ
kπ
2
cos
sin
− tan
|e
zk | .
n
n
n
En déduire que Γ(Z) ≥ 0.
|A(Z)|
.
E(Z)
Montrer enn qu'il n'y a égalité que lorsque Z est un polygone régulier.
En déduire la majoration cherchée de
12. On admet qu’il existe Z0 ∈ Cn te que :
∀Z ∈ Cn :
|A(Z)|
|A(Z0 )|
≤
L(Z)2
L(Z0 )2
a.
Soit (z0 , z1 , ..., zn−1 ) = Z0 et j entier entre 0 et n − 1. On note Z1 le polygone
obtenu à partir de Z en remplaçant zj par zj + λ(zj+1 − zj−1 ) (avec un λ réel)
sans changer les autres valeurs. Montrer que A(Z1 ) = A(Z0 ).
b.
Montrer que Z0 est équilatéral.
c.
Montrer que l’inégalité isopérimétrique pour les polygones :
∀Z ∈ Cn : 4π|A(Z)| ≤ L(Z)2
Ce qui prouve l’inégalité demandée pour le cas des polygone.
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Pr. DAHMOUNI Mohammed