Forme bilinéaire

Forme bilinéaire
En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un
couple de vecteurs associe un scalaire, et qui a la particularité d'être linéaire en ses deux arguments.
Autrement dit, étant donné un espace vectoriel V sur un corps commutatif K, il s'agit d'une application
f : V × V → K telle que, pour tous et tous ,
Les formes bilinéaires sont naturellement introduites pour les produits scalaires. Les produits scalaires (sur
les espaces vectoriels de dimension finie ou infinie) sont très utilisés, dans toutes les branches
mathématiques, pour définir une distance.
La physique classique, relativiste ou quantique utilise ce cadre formel.
Les formes bilinéaires interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques. Elles forment une
vaste classe d'outils utilisés pour résoudre des questions de natures très diverses.
Le domaine natif des formes bilinéaires est celui de l'algèbre linéaire. La notion de forme bilinéaire est
définie sur les espaces vectoriels et se généralise sur les modules, structures de base de l'algèbre linéaire.
Ces formes sont intimement liées aux applications linéaires. Le savoir associé à ces dernières permet
d'éclairer la structure d'une forme bilinéaire et réciproquement les formes bilinéaires permettent d'élucider
certaines particularités d'applications linéaires, par exemple dans le cas des endomorphismes autoadjoints.
Il existe un espace vectoriel particulier, jouant un grand rôle pour les formes bilinéaires : le dual. L'espace
vectoriel des formes bilinéaires est une copie exacte de celui des applications linéaires d'un espace dans un
dual. La connaissance de la géométrie de l'espace ainsi que celle du dual permet d'élucider celle des
applications linéaires de l'un vers l'autre et par la même occasion celle des formes bilinéaires. Dans le cas de
la dimension finie, cette analyse est simple, le dual est une copie (non canonique) de l'espace de départ.
Il existe une méthode générique pour construire des formes bilinéaires, le produit tensoriel fournissant un
outil théorique pour démontrer certaines propriétés des formes bilinéaires. Il permet aussi de construire de
nouveaux espaces vectoriels possédant une géométrie particulière dont les physiciens font grand usage.
Ainsi le champ magnétique vérifie des propriétés de symétrie bien représentées par un espace particulier de
formes bilinéaires. En plus de la structure d'espace vectoriel leur origine bilinéaire apporte des propriétés
spécifiques, pour cette raison un nouveau terme est utilisé, celui de tenseur.
Motivations
Algèbre linéaire
Géométrie

L'adjonction d'une forme bilinéaire bien choisie est source de formalisations de géométries. L'exemple le
plus célèbre est peut-être celui des espaces euclidiens pour les espaces vectoriels sur le corps de nombres
des réels dans le cas de la dimension finie. Cette forme bilinéaire appelée produit scalaire joue alors le
même rôle que la forme bilinéaire canonique entre l'espace et son dual, permettant une formalisation plus
concrète et plus facile d'accès.
Il n'est pas le seul exemple, un équivalent existe pour les nombres complexes. Un autre en dimension
infinie existe avec les espaces préhilbertiens comportant un cas particulier essentiel, l'espace de Hilbert. En
dimension finie, le choix d'une forme bilinéaire ayant d'autres propriétés permet de construire d'autres
géométries. L'espace de Minkowski est construit à l'aide d'une approche de cette nature. Il offre un cadre
géométrique à la théorie de la relativité restreinte.
L'influence des formes bilinéaires dans la géométrie ne se limite pas à la formalisation de nouveaux
espaces. La relation entre certaines surfaces comme les quadriques et les formes bilinéaires est profonde.
L'apport des différents outils provenant de l'algèbre linéaire permet une classification générale et pour une
dimension quelconque.
Il est fructueux de considérer un ensemble de fonctions issu de l'analyse, comme par exemple les fonctions
du segment [0,1] à valeurs réelles et infiniment dérivable. Un ensemble de cette nature est un espace
vectoriel de dimension infinie, les résultats de l'algèbre linéaire fondée sur l'utilisation de bases de cardinaux
finis ne s'appliquent plus. L'étude de formes bilinéaires sur les espaces de cette nature s'avère féconde.
Un outil devient essentiel pour l'étude d'espaces vectoriels de cette nature, la topologie. Elle induit
naturellement une autre topologie sur le dual. Il existe un cas particulier analogue à celui de la dimension
finie, celui où le dual est une copie de l'espace des fonctions. Tel est le cas par exemple pour l'ensemble des
fonctions de [0,1] à valeurs réelles qui sont de carrés intégrable. Un tel espace peut être muni d'un produit
scalaire, apportant un service analogue à celui des espaces euclidiens, il porte le nom d'espace de Hilbert.
Dans le cas général, le dual possède une structure différente de celle de l'espace de départ. Une autre forme
bilinéaire est utilisée, celle qui à un élément du dual f et à un élément de l'espace x associe f(x). L'étude
d'une telle structure est plus simple si la topologie est issue d'une norme possédant au moins une bonne
propriété, la complétude. Un tel espace est appelé espace de Banach. La forme bilinéaire canonique entre le
dual et l'espace prend souvent le nom de produit scalaire.
La démarche des mathématiciens ayant étudié les espaces fonctionnels consiste à retirer une hypothèse
auparavant toujours utilisée, celle de la dimension finie. Elle est finalement féconde et de nombreux
théorèmes en analyse fonctionnelle tirent leur origine de l'étude d'une forme bilinéaire, comme un produit
scalaire analogue à celui des espaces euclidiens ou issu de la forme canonique entre un espace et son dual.
Une autre hypothèse peut être retirée, celle qui garantit que tout nombre différent de zéro du corps sous-
jacent à l'espace vectoriel possède un inverse pour la multiplication.
Un exemple étudié depuis longtemps est celui des équations diophantiennes. Certaines d'entre elles
s'écrivent comme la recherche des racines d'une équation polynomiale à plusieurs variables et à coefficients
entiers. Les solutions recherchées sont celles qui s'expriment uniquement avec des nombres entiers. Un
exemple célèbre et difficile est le grand théorème de Fermat. L'équation s'écrit xn + yn = zn. Les solutions
peuvent être vues comme des points d'intersection entre ℤ3, où ℤ désigne l'ensemble des entiers, et une
surface d'un espace géométrique de dimension trois. Un changement de repère permet parfois de simplifier
Analyse fonctionnelle
Arithmétique

l'expression d'une équation diophantienne. Pour être pertinent, ce changement de repère doit respecter la
géométrie de l'espace. Il apparait comme une isométrie, c'est-à-dire une transformation respectant les
distances et les angles, pour une bonne forme bilinéaire. Cette approche amène à l'étude des formes
bilinéaires sur un module de dimension finie. « Module » signifie ici un quasi-espace vectoriel, les scalaires
ne sont simplement plus toujours inversibles. Ils peuvent, par exemple, se réduire à l'ensemble des entiers.
Un exemple de cette nature est utilisé pour la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat par
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
Cette section donne des définitions générales concernant les formes bilinéaires, puis des définitions
complémentaires associées à divers contextes.
Une forme désigne en mathématiques une application d'un espace vectoriel dans son corps des scalaires.
Une forme bilinéaire est une application définie sur des couples de vecteurs : son espace de départ est le
produit cartésien de deux espaces vectoriels E et F sur un même corps K. Lorsque E et F désignent le
même espace, on parle de forme bilinéaire sur E. (x|y) est une notation fréquente pour désigner l'image du
couple (x,y) par la forme bilinéaire ; elle est utilisée dans le reste de l'article.
La forme est dite linéaire par rapport à sa première variable si pour tout y, l'application qui à x associe (x|y)
est linéaire. De même la forme est dite linéaire par rapport à sa deuxième variable si pour tout x,
l'application qui à y associe (x|y) est linéaire.
Soit (.|.) une application de E×F dans K. La fonction (.|.) est dite bilinéaire si elle est
linéaire par rapport à ses deux variables.
Remarque : si la caractéristique du corps des scalaires est différente de 2, à toute forme bilinéaire sur un
espace E est associée une forme quadratique. C'est l'application qui à un vecteur x associe le scalaire (x|x).
Plus précisément, l'application qui, à chaque forme bilinéaire symétrique associe sa forme quadratique est
un isomorphisme. L'isomorphisme réciproque associe à la forme quadratique χ la forme bilinéaire (.|.)
définie par :
La forme bilinéaire (.|.) définie par la ligne ci-dessus est dite forme polaire de la forme
quadratique χ.
Remarque : Dans le cas des nombres complexes, il existe une autre forme disposant d'une linéarité
différente et souvent plus intéressante, on parle alors de forme sesquilinéaire.
Par défaut, dans le reste de l'article, E et F sont deux espaces vectoriels sur un même corps K et (.|.) désigne
une forme bilinéaire.
La notion d'orthogonalité entre deux vecteurs, pour une forme bilinéaire, généralise celle de
perpendicularité dans le cas d'un espace euclidien.
Définitions
Définitions générales
Définitions associées à l'orthogonalité

Deux vecteurs x de E et y de F sont dits orthogonaux si l'image du couple (x, y) par la
forme bilinéaire est nulle.
L'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments d'une famille Φ de vecteurs de
F est un sous-espace vectoriel de E, appelé orthogonal de Φ et souvent noté Φ⊥. De
même, l'orthogonal d'une famille de vecteurs de E est un sous-espace vectoriel de F.
Si E est égal à F et que la forme bilinéaire n'est pas symétrique, pour éviter les confusions,
on parle d'orthogonal à gauche et à droite.
En particulier, le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur E×F est le sous-espace F⊥
de E constitué des vecteurs x tels que :
On définit de même un noyau à droite E⊥, qui est un sous-espace de F.
Une forme bilinéaire est dite non dégénérée à gauche si son noyau à gauche est réduit
au vecteur nul, c'est-à-dire si
et l'on définit de même la non-dégénérescence à droite . La forme est dite non dégénérée
si elle l'est à la fois à gauche et à droite .
Dans le cas où E est égal à F, il existe des propriétés spécifiques pour les formes bilinéaires. Dans ce
paragraphe, la forme bilinéaire est définie sur E×E. Elle est dite
symétrique si :
,
antisymétrique si :
,
alternée si :
,
définie si elle n'a pas de vecteur isotrope non nul :
,
réflexive si :
.
Toute forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique est réflexive et toute forme réflexive a même noyau à
droite qu'à gauche.
Toute forme définie est non dégénérée.
Toute forme alternée est antisymétrique. Si la caractéristique du corps est différente de 2, alors les deux
notions sont équivalentes.
1
2
Définitions associées au cas où E est égal à F

Pour la propriété suivante, le corps K est supposé totalement ordonné, comme celui des réels. Une forme
bilinéaire est dite :
positive si ;
négative si .
L'espace ℝ3 formé des triplets de nombres réels (x, y, z) peut être muni d'une forme bilinéaire nommée
produit scalaire canonique. S'il est noté (.|.), il est défini par :
L'espace ℝ3 muni de son produit scalaire est qualifié d'euclidien.
Un tel espace est équipé d'une autre forme bilinéaire importante définie à l'aide de l'espace dual (ℝ3)*. Il
correspond à l'ensemble des formes linéaires, c'est-à-dire les applications linéaires de (ℝ3)* dans son corps
des scalaires ℝ. Cette forme bilinéaire est l'application, de (ℝ3)*×ℝ3 dans ℝ, qui au couple (d*, x) associe
le réel d*, x image de x par la forme linéaire d*. À certains égards, elle ressemble à l'exemple
précédent.
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ3, notons di l'image d*, ei de ei par d* et d le vecteur (d1, d2,
d3) de ℝ3. La propriété suivante est vérifiée :
Il existe donc une certaine équivalence entre les deux formes bilinéaires et toute forme linéaire est
représentée par un vecteur de ℝ3 à l'aide du produit scalaire.
Remarque : La notation d*, xℝ3 désigne l'image de x par d* dans ℝ. Elle est appelée crochet de
dualité. Quand il n'existe pas de risque d'ambigüité, le nom de l'espace vectoriel est omis. Cette notation est
souvent utilisée pour la forme bilinéaire canonique entre un dual et son espace. On la trouve aussi dans la
littérature pour désigner d'autres formes bilinéaires, comme des produits scalaires.
Considérons maintenant l'espace E des fonctions continues du segment [0, 1] dans ℝ. Une forme bilinéaire
joue un rôle clé sur E. Elle est définie de la manière suivante :
Exemples
L'espace euclidien usuel
La forme bilinéaire duale
Un espace fonctionnel