CHAPITRE 0

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Cours de Thermodynamique S1 SMP
Professeure : Bouhmaida
Contenu :
chapitre 0 : OUTILS MATHEMATIQUES
chapitre I : Introduction à la thermodynamique
chapitre II : EQUATION D’ETAT –TRANSFORMATIONS
chapitre III: PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
chapitre IV : SECOND PRINCIPE DE LA THERMOQYNAMIQUE
ENTROPIE ET EVOLUTION DES SYSTEMES
chapitre V : PRINCIPE DE CARNOT- les machines thermiques
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CHAPITRE 0
OUTILS MATHEMATIQUES
I-FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIBLES –DERIVEES PARTIELLES
1- RAPPELS
a- Définition d’une fonction réelle à variable réelles .
Cas d’une seule variable,
C’est une application d’une
partie de IR dans IR
f : D  IR  IR
x
 y  f(x)
Elle est représentée dans le plan (x, y) par une courbe.
b) Définition de la dérivée (décrit la variation)
df  f ' (x)  lim f(xh) - f(x)
h 0
dx
h
Si cette limite existe f ‘ (x) est la dérivée de f au point x .
2. FONCTION DE DEUX VARIABLES :
a)Définition :
C’est une application d’une partie de IR2 vers IR,
f : D  IRxIR  IR
( x, y)  z  f ( x , y)
y
Elle est représentée dans l’espace (x, y) par une fonction f (surface, courbe…).
b)Dérivées partielles
On appelle dérivée partielle d’une fonction par rapport à l’une des variables x , la
nouvelle fonction obtenue en dérivant par rapport à x (comme on le fait dans le cas
d’une seule variable ) et en considérant toutes les autres comme des constantes.
Considérons la fonction de deux variables f (x, y) et prenons y = yc
2
3
F ' (x)  lim
Soit,
h 0
f(x h, yc) - f(x, yc)
h
Si cette limite existe elle constitue alors la dérivée partielle de f par rapport à x au
point de coordonnées (x, y).
On la note :
f 
 ou f ' x ( x, y )
x  y
Exemple :
f (x, y)  x ² sin y - y
 f
) y  2 x sin y
(1)

 x
  f
 ) x  x ² cos y - 1 (2)

 y
3. Dérivées secondes
a)
On constate que (1) et (2) sont des fonctions de x et y
Soit :
g(x,y) = 2x siny et h(x,y) = x2 cosy -1.
On peut dériver de nouveau ces fonctions par rapport à x et par rapport à y, en effet :
g
f
)y   ( )  2 sin y
x
x x
de même :
Notation:
et
b)
h)x   (f )  -x² sin y
y
y y
 (f )  ²f
x x
x²
 (f )  ²f
y y
y²
Dérivée seconde mixte
3
4
Dérivons maintenant
h(x , y)  (f )
y
par rapport à x et
g(x , y)  (
rapport à y. On aura donc:
 (f )  2 x cos y
;
x y
 (f )  2 x cos y
de même
y x
  ²f
 xy  2 x cos y
  ²f

 2 x cos y
 yx
Notation :
(3)
(4)
Remarque : En comparant (3) et (4) on constate que l’on a dans ce cas :
²f  ²f
xy yx
Ce résultat est- il général ? En physique la réponse est oui !
4. Fonctions composées
a) cas d’une seule variable : φ (x) = f(u(x))
d df du
 .
dx du dx
on sait que :
b) Généralisation
Considérons une fonction φ (x,y) = f(u(x,y)) , v(x,y)).
Dans ce cas on a :
Et
 f u f v
 .  .
x u x v x
 f u f v
 .  .
y u y v y
Donner l’exemple de f(x,y)=x2+y2
Changement de variable u=Rcos et v=Rsin
4
f
)
x
par
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II- DIFFERENTIELLES
a) cas d’une fonction d’une seule variable
Soit f :x → y = f (x), Si f admet une dérivée continue et pour   0 quand h  0,
au voisinage de x0,
on dit que f admet une différentielle au point M (x0) si on peut écrire :
f(x0 + h ) - f(x0) = A.h + h (x0 , h)
b) Définition : la fonction qui à h  A.h s’appelle la différentielle de f au point xo et
on note :
df(xo): h
 df
(xo)
(h) = A (xo) h
Supposons que la fonction df existe pour tout xo appartenant à un intervalle «  », on
peut alors parler de :
df(x) (h) = A (x) h avec h = Δx
Théorème : La différentielle d’une fonction est égale au produit de la dérivée par
l’accroissement de l’argument :
df = f’(x). Δx 
A = f‘(x)
Remarque : Si
f(x) =x
 df ≡ dx = 1.Δx
 dx = Δx
D’où : df = f‘ (x) dx
Concrètement : si h 0, df représente la variation, en première approximation, de f
(x) lorsque x varie de dx.
b) Cas de plusieurs variables ,différentielle totale.
Soit la fonction f(x, y, z). De combien varie f(x, y, z) lorsqu’on passe du point (x, y,
z) au point infiniment voisin (x+dx, y+dy, z+dz) ?
Par définition on appelle la différentielle de f l’expression df:
df (f )dx  (f )dy  (f )dz
x
y
z
5
6
df est appelée différentielle totale de la fonction f : c’est une fonction de six variables
x, y, z, dx, dy, et dz .
III- FORMES DIFFERENTIELLES
1)
Cas de deux variables indépendantes :
la forme différentielle correspondante est une expression de la forme :
δ w = A(x,y) dx + B(x,y) dy ,
avec A et B sont des fonctions quelconques.
Exemple :
 Fx

Le travail élémentaire d’une force F  Fy dont le point d’application se déplace
 F
z

de
 dx

dl  dy
 dz

:
δ W = Fx (x,y,z)dx + Fy (x,y,z)dy + Fz ( x,y,z) dz
Théorème :
w =A(x,y)dx +B(x,y)dy = 0  A=0 et B=0 et ceci quelque soit dx et dy.
3) Intégrale d’une forme différentielle
Soit la forme différentielle
δ w = A dx + B dy. Attention cette expression n’est pas forcement la différentielle
d’une fonction :
On veut maintenant calculer :
j
j
 w   [ A (x, y) dx
i
i
j


 B(x, y) dy ]
j
A (x, y) dx   B(x, y) dy
i
i
Quand est ce que est possible ?
6
7
Réponse : si x et y varient en même temps et de façon indépendante alors il est
j
impossible de calculer cette intégrale
w
i
.
Si on arrive à établir une relation entre y et x soit y (x) avec () étant la courbe ou
le « chemin » représentant y(x) entre i et j alors l’intégrale s’écrit :
w
()
une intégrale curviligne.
N.B : si i = j cas ou la courbe () est fermée alors on note :
w  w
Exemple : Le travail d’une force
 Fx

F  Fy
F
 z
qui déplace son point d’ application de
 dx

dl  dy
 dz

le long d’un « chemin » ()
W = Fx dx + Fy dy + Fz dz
W   W

  (Fx dx  Fy dy  Fz dz)

Exercice : soit la forme différentielle w = xydx + xydy .
On se propose de calculer son intégrale sur des chemins différents.
y
2
a3
 1 w   2 w  2
M(a,a)

3
7
1
x
. C’est
8
a3
w  2. 3
Constat : (  1'   1 )
w  
2
'
1
w  0
Mais
 w   w 

 1'
a3
0
6
Remarques et conclusions :
1)
 w
2)
w
dépend du chemin (γ) suivi.
n’est pas forcément nulle.
Cas particulier :
Soit la forme différentielle
δ w = A (x,y)dx + B(x,y)dy.
Si A(x,y) et B(x,y) sont tels qu’il existe une fonction f dont les dérivées partielles sont
précisément :
A(x,y)  f ) y

x

f
et B(x, y)  y )x

alors w  (
f
f
)dx  ( )dy  df
x
y
j
Dans ce cas :
 w   df

 f(j)  f(i)  f
i
Le résultat ne dépendant donc que de j et i et Non du chemin (γ).
8
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4) Différentielle totale exacte
Théorème :
Soit la forme différentielle
δw = A(x,y)dx + B(x,y)dy
Supposons que A(x,y) et B(x,y) sont des fonction continues et à dérivées partielles
continues. Une condition nécessaire et suffisante pour que δw soit une différentielle
totale exacte est que l’on a :
A
x, y   B x, y 
y
x
Exemple :
δ w = x.dy + y.dx = d(xy)
j
j
 w

i
 d ( xy) 
x j . y j - x i . yi
i
Remarque :
Si
δ w = df
et si on ne connaît pas la fonction f, on doit choisir pour calculer
j
 w
i
un chemin () convenable (pas forcement le plus simple) ; le résultat étant
indépendant du chemin () suivi. Si le chemin () est fermé :
i  j   w 
 df
 0
Identités analytiques :
Considérons la fonction f (x, y, z) = 0 qui représente une surface. Si on fixe z on
obtient une fonction f(x, y) = 0.
De plus :
df  (
f
f
f
)dx  (
)dy  (
)dz  0
x
y
z
maisavec dz  0
Ce qui permet d’écrire :
9
10
f
dy
y
)z  )z - x
dx
x
f
y
On a de même :
(a)
f
x
y
)z  f
y
x
(b)
On multipliant membre à membre ces deux égalité (a) et (b)
on obtient :
(
y
x
)z .(
)z   1
x
y
On peut également calculer :
(c)
f
y
)x  - z et
f
z
y
Constatons enfin que l’on a :
(
x
y
z
)z .(
)x .(
)y 
y
z
x
f f f
y z x
.
.
 -1
f f f
x y z
(
x
y
z
)z .( )x .( )y  - 1
y
z
x
10
f
z
)y  - x
f
x
z