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Exercices A :Nature des I.I. par la d´efinition (ND/NG, 3 octobre 2023) p: 1/1
N.B. 1. Dans les 2 Exercices ci-apr`es, la nature des int´egrales impropres pr´esent´ees est `a ´etudier en re-
venant `a la d´efinition(selon le type de l’int´egrale impropre), et donc sans utiliser de crit`ere de
convergence. En particulier, si une int´egrale est convergente, calculer sa valeur de mani`ere appro-
pri´ee.
N.B. 2. Cependant, la suite du Cours r´ev´elera que la nature de la plupart de ces int´egrales se trouve
plus rapidement (et plus sˆurement) en passant par un ou deux crit`eres de convergence appropri´es. Et l’un
des objectifs principaux au sortir de ce Chapitre sera de se montrer capable de rep´erer efficacement un bon
crit`ere pour trouver la nature d’une int´egrale impropre donn´ee.
EXO A.1 Pour chacune des int´egrales ci-apr`es, effectuer le travail suivant :
1. Dire pourquoi cette int´egrale est impropre, donner ses singularit´es (et dire, pour chacune, pourquoi
elle est une singularit´e dans cette int´egrale), pr´eciser le type d’int´egrale impropre dont il s’agit
(I.I.S. ou I.I.C. , en le justifiant) ;
2. Etudier la nature de cette int´egrale impropre en revenant `a la d´efinition, et, en cas de
convergence, donner sa valeur.
(a) ∫1
0
(ln u) du;(b) ∫+∞
−∞
(Arctg x)2
1 + x2dx;(c) ∫+∞
0
e−2tsin(πe−2t) dt;(d) ∫+∞
0
(x3−x)·e−x2 dx;
(e) ∫+∞
0
(x3−x)·ex2 dx;(f) ∫+∞
0
x
1 + x2dx;(g) ∫π/2
0
tg θdθ;(h) ∫1
−1
dx
√1−x2;(i) ∫+∞
−∞
dt
ch t;
(j) ∫2
−3
dx
√9−x2;(k) ∫3
2
dx
√(x−2)(3 −x);(l) ∫+∞
0
dx
(x+ 1) ·√xd ; (m) ∫+∞
0
+∞ddx
(x2+ 1) ·√x;
(n) ∫+∞
0
(cos θ)·e−θdθ;(o) ∫+∞
−∞
(cos θ)·e−|θ|dθ;(p) ∫+∞
−∞
(cos θ)·e−θdθ;(q) ∫+∞
−∞
eu2 du.
EXO A.2 Discuter la nature des int´egrales impropres suivantes en revenant `a la d´efinition et
selon les valeurs du ou des param`etres affich´e(s), et, dans les cas de convergence d’une int´egrale, donner sa
valeur :
(1) ∫+∞
a
eα x dx(α, a ∈IR) ; (2) ∫b
−∞
eα x dx(α, b ∈IR) ; (3) ∫+∞
−∞
eα x dx(α∈IR) ;
(4) ∫b
0
dx
xα(b, α ∈IR, avec b > 0) ; (5) ∫+∞
a
dx
xα(α, a ∈IR, avec a > 0) ; (6) ∫+∞
0
dx
xα(α∈IR) ;
(7) ∫b
a
dx
(x−a)α(α, a, b ∈IR, avec a < b) ; (8) ∫b
a
dx
(b−x)α(α, a, b ∈IR, avec a < b) ;
(9) ∫b
a
dx
√(b−x)(x−a)(a, b ∈IR, avec a < b) ; (10) ∫+∞
0
(Arctg x)α
1 + x2dx(α∈IR) ;
(11) ∫+∞
0
dx
(x+c)·√x(c∈IR) ; (12) ∫+∞
0
dx
(x2+c)·√x(c∈IR) .