AM

Exercices de microéconomie12
Pr. Pascal FAVARD
29 janvier 2017
1. Ces exercices sont écrits en Latex et les graphiques en Tikz. Ils font une large place aux graphiques et
sont d’un niveau intermédiaire. Les corrections sont très détaillées mais elles n’ont aucun intérêt si vous
n’avez pas tout d’abord passé du temps à faire ces exercices par vous même. Il est impossible de citer toutes
mes sources d’inspiration mais sachez que rien n’est jamais vraiment original...
2. Merci de me signaler les erreurs ou les coquilles.
Sommaire
Page
1
Consommation
1
2
Production
53
3
Risque & Dynamique
90
4
Équilibre partiel
109
5
Équilibre général
142
6
Monopole
172
7
Équilibre de Nash
217
Références bibliographiques
248
Liste des figures
249
Liste des tables
252
Index
254
Avant-propos : « La segmentation client, une binet, l’année dernière, démontre que si les enméthode obsolète ? » LesEchos.fr Ariane Gaude- treprises misent sur l’innovation pour échapper
froy 18/01/2016 à 07:00.
La compréhension du prix que les clients
sont prêts à payer peut être utilisée pour augmenter la profitabilité des entreprises. Analyse de Kai Bandilla, vice-président exécutif de
Simon-Kucher & Partners.
à la guerre des prix, seuls 28% des lancements
atteignent leurs objectifs en termes de profitabilité. En cause, la méconnaissance du potentiel
du marché et des clients.
Les méthodes traditionnelles
« Depuis cinq ans, les clients surinformés
« Le prix est le levier de profitabilité le plus comparent les offres sur Internet et en boutiques.
important pour les entreprises, mais c’est celui Le prix est devenu un critère d’achat fondamenqu’elles maîtrisent le moins », révèle Kai Ban- tal, qu’il faut absolument prendre en compte
dilla, vice-président exécutif du cabinet Simon- dans la compréhension du client », assure Kai
Kucher & Partners. Une étude menée par le ca- Bandilla. Selon lui, les méthodes traditionnelle-
a
://p
http
ment utilisées par le marketing et le contrôle de bénéfice pour l’entreprise. « Le marketing doit
gestion pour fixer les prix sont obsolètes. Cou- réviser ses segments de référence », préconise-tramment appliquée, l’approche dite de « cost il. Outre l’examen des données clients, les marplus » consiste à établir le coût réel pour l’entre- keteurs doivent s’attacher à analyser les ques-
prise et à y ajouter la marge souhaitée. « Cette tionnaires sur les critères d’achats, les tickets
méthode génère une forte volatilité des coûts, de caisse et l’élasticité croisée entre les produits.
notamment à cause des variations de prix des Autant d’éléments qui permettent de dégager
matières premières, analyse Kai Bandilla. Mais des groupes homogènes de comportements de
elle engendre surtout une perte de marge poten- clients. « Relativement jeune, la fonction de pritielle car elle ne tient pas compte de la volonté cing revenue management devrait jouer un rôle
de payer du client. »
Le « value management »
fondamental, insiste Kai Bandilla. Garante de
l’orientation client, elle doit être rattachée à la di-
L’expert prône une stratégie de pricing dy- rection générale. »
namique qui se base sur « la valeur perçue par
À noter : 50% des entreprises de l’univers
les clients ». Tout l’enjeu pour l’entreprise est BtoC estiment cruciale pour leur croissance la
rd
fava
scal.
de proposer le bon produit ou la bonne offre stratégie de pricing flexible. Source : Étude Quarau bon client, au bon moment, sur le canal adé- tet FS, novembre 2015.
quat, au bon prix et toujours avec le meilleur
.fr/
.free
Chapitre 1
Consommation
Sommaire
1.1
1.2
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Trois biens, bonjour les dégâts ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Pépé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Le fer à dix sous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Une ça va, quatre... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Des ronds dans l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Travailler c’est trop dur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Faguo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Monte pas sur la table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Pourquoi pas Kevin ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Obélix parle trop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Uh-oh, Samy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Les mots verts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
E.T. en voit de toutes les couleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Dyslexie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Relation de préférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Propriétés correspondance de demande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
À la chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Propriétés fonction d’utilité indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Surplus et niveau d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Avant-propos : « Le neuromarketing, entre résultats. Car toute enquête fondée sur la verba-
fantasmes publicitaires et réalités scientifiques » lisation par les individus de leurs propres jugeLesEchos.fr Yann Verdo 01/12/2014 à 06:00.
ments ou préférences est nécessairement biaisée
Acheter un produit, voir ou entendre une par des distorsions bien connues des psychopublicité : ces actes de la vie de tous les jours logues (rationalisation a posteriori, désirabilité
mobilisent des processus cérébraux complexes. sociale). Pour connaître ce que les gens ont réellement dans la tête, rien de tel que de la sonder
Les industriels s’y intéressent de plus en plus.
Le mois dernier, à Dubaï, les participants au
par imagerie !
Sommet sur l’agenda global, dont les recomman-
Pas de bouton « achat »
dations alimenteront la réflexion des grands de
Plusieurs expériences sont venues mettre en
ce monde au Forum de Davos de janvier pro- lumière cet écart entre ce que les gens disent (de
chain, ont pu voir une série de clichés montrant bonne foi) qu’ils ressentent et ce qu’ils ressentent
d’étranges cyborgs déambulant dans les allées réellement, entre ce qu’ils disent qu’ils vont faire
des grandes surfaces. Sur le nez : des lunettes et ce qu’ils font en effet. L’une des plus révéla-
rd
fava
scal.
munies d’une caméra intégrée à la monture et trices est celle conduite en 2010 par la neuroscouplée à un oculomètre (ou « eye-tracker ») me- cientifique américaine Emily Falk. Une vingtaine
surant le temps de fixation des yeux sur chaque de personnes à qui étaient montrées des affiches
stimulus visuel présent dans le champ de vi- préconisant l’usage de crème solaire cependant
sion. Sur le crâne : des électrodes enregistrant en qu’elles étaient soumises à une IRMf devaient
temps réel les variations de l’activité électrique dire si elles avaient l’intention ou pas d’en utilides neurones du cortex cérébral. Le tout relié à ser, après quoi elles pouvaient rentrer chez elles
un smartphone collectant les données.
avec un tube de crème. Une semaine plus tard,
Ces consommateurs du 3e type sont les co- leur attitude vis-à-vis de ce tube était contrôlée
bayes d’une expérience d’envergure conduite à l’improviste. Il est apparu que leur comporà la demande des organisateurs du Forum de tement effectif concordait rarement avec leurs
Davos par Olivier Oullier, professeur à Aix- déclarations d’intention... mais bien davantage
Marseille Université, où il enseigne la psycho- avec les résultats de l’IRMf : chez les personnes
logie et les neurosciences. Initiée en septembre qui avaient effectivement utilisé de la crème, une
2013 et menée dans plusieurs pays (Etats-Unis, certaine zone du cerveau (le cortex préfrontal
Angleterre, Inde, Chine...), elle vise à mieux cer- médian) s’était activée au moment de l’examen.
mentaux mis en avant par les fabricants.
Il y a une quinzaine d’années, une telle étude
.fr/
.free
ner comment les jeunes de la « génération Y » En d’autres termes, l’imagerie cérébrale s’est ré(15-35 ans) réagissent aux messages environne- vélée un meilleur prédicteur du comportement
des sujets que leurs propres déclarations.
Il ne faudrait cependant pas croire que
aurait reposé exclusivement sur les méthodes notre cerveau est devenu transparent comme
classiques d’enquête : sondages, questionnaires, du cristal pour les spécialistes des neurosciences
entretiens... Mais le développement rapide des du consommateur. Car cette discipline brosse,
technologies d’imagerie cérébrale - électroencé- d’étude en étude, un tableau toujours plus comphalographie (EEG) ou imagerie par résonance plexe et nuancé de ce qui se passe à l’intérieur
magnétique fonctionnelle (IRMf) - a changé la de notre boîte crânienne au moment où nous dédonne. Et permis d’affiner considérablement les cidons d’acheter ou non un produit ou lorsque
Université François Rabelais| 29-01-2017
2/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
nous regardons un spot publicitaire. « Il n’y a cérébraux. « Notre discipline n’a pris son es-
pas de correspondance directe entre les aires du sor que dans les années 1990, grâce au dévecerveau et les fonctions cognitives, pas de re- loppement des techniques d’imagerie. Nous en
lation univoque entre l’activité cérébrale et un sommes encore à la première phase, qui consiste
comportement aussi complexe que, par exemple, à identifier les différents réseaux cérébraux d’inla décision d’achat. Une aire du cerveau n’est térêt », reconnaît Olivia Petit, qui a soutenu sa
jamais dévolue à une seule fonction. Elle peut thèse l’an dernier à Aix-Marseille Université
avoir des rôles différents selon le réseau cérébral sous la direction d’Olivier Oullier. Pour une
dans lequel elle s’intègre », explique Olivier Oul- jeune chercheuse comme elle, c’est le moment
lier. Rien donc dans notre cerveau ne ressemble parfait pour se lancer !
de près ou de loin à ce bouton « achat » qui a
Un marché florissant
tant fait fantasmer...
Aujourd’hui, quelque 150 officines privées se
Une expérience conduite l’an dernier par le disputent le marché du neuromarketing. Parmi
neuroscientifique américain Seung-Lark Lim a elles, quelques grands noms : le britannique Neumontré que l’évaluation d’un simple tee-shirt rosense, créé en 1999 à Oxford par le professeur
rd
fava
scal.
mobilisait trois zones différentes du cerveau et Gemma Calvert, pionnière des neurosciences du
se faisait en deux temps : dans un premier temps, consommateur ; l’américain Brighthouse, basé à
le gyrus fusiforme évalue la couleur du tee-shirt Atlanta, à un jet de pierre du siège de Coca-Cola ;
(attribut visuel) tandis que la partie postérieure ou encore Neurofocus, une firme née à Berkeley,
du gyrus temporal supérieur évalue le logo im- rachetée en 2008 par Nielsen et ayant fait veprimé dessus (attribut sémantique) ; puis ces nir dans son board le neuropsychiatre américain
deux évaluations indépendantes sont intégrées Eric Kandel, prix Nobel de médecine 2000 pour
dans une troisième zone, le cortex préfrontal ven- ses travaux sur la mémoire. Tous ces cabinets
tromédian, qui joue un rôle clef dans nos prises ne travaillent pas avec le même sérieux. Pour
de décision.
faire le ménage dans leurs rangs, les profession-
Evidemment, ce méli-mélo cérébral n’est pas nels ont créé il y a deux ans la Neuromarketing
de nature à faciliter la tâche des experts en Science and Business Association (NSBA), préneuromarketing chargés de vendre leurs ana- sente dans une trentaine de pays. Son premier
lyses... Mais les neurosciences du consommateur travail a été d’établir un code de bonnes pran’en continuent pas moins de progresser, à leur tiques.
rythme, dans leur exploration de nos méandres
Exercices appliqués
Exercice 1 : Trois biens, bonjour les dégâts !
.fr/
.free
1.1
Casimir, étudiant en 2ième année d’économie, est
brillant. Comme il dit : « j’ai dépassé le stade des deux biens ». Casimir consomme des livres, x1 ,
du Gloubi-boulga au restaurant universitaire, x2 , et des vêtements, x3 . On suppose que ces biens
ne sont pas discrets. Le prix unitaire des livres, p1 est de 20=
C, celui des repas, p2 , est de 3=
C et celui
des vêtements, p3 , est de 60=
C. Ses parents lui versent, m, 400=
C.
1 – Quel est l’ensemble de consommation de Casimir ?
Université François Rabelais| 29-01-2017
3/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
2 – Donnez l’équation de la contrainte budgétaire de Casimir.
3 – Donnez la contrainte budgétaire de Casimir s’il ne consomme que deux des trois biens.
4 – Représentez la contrainte budgétaire de Casimir.
Solution :
1) X = R3+
2) L’équation de la contrainte budgétaire de Casimir est :
p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 = m ⇔ 20x1 + 3x2 + 60x3 = 400
(1.1)
3) Les contraintes budgétaires de Casimir s’il ne consomme que deux des trois biens, sont :
i. Si x1 = 0 alors (1.1) devient : 3x2 + 60x3 = 400
ii. Si x2 = 0 alors (1.1) devient : 20x1 + 60x3 = 400 ⇔ x1 + 3x3 = 20
iii. Si x3 = 0 alors (1.1) devient : 20x1 + 3x2 = 400
4) L’ensemble budgétaire de Casimir, en utilisant la question précédente, peut se dessiner dans
rd
fava
scal.
l’espace R3+ des quantités de biens (cf. Figure 1.1).
Vêtements
20
3
Gloubi-Boulga
O
400
3
·
20
Livres
Figure 1.1 : Contrainte budgétaire de Casimir
Exercice 2 : Pépé
Sidonie a un grand père singulier, « Pépé ». Pépé aime prendre ses déjeuners
à midi pile et il est très avare en ce qui concerne les dépenses associées à ses déjeuners. Pépé
C par jour pour payer son déjeuner et ses autres achats, représentés par un bien
dispose de 15=
.fr/
.free
agrégé dont le prix unitaire est normalisé à un. Le restaurant pratique la tarification suivante, si le
repas est pris à midi il coûte 5=
C et s’il est pris à t heures avant ou après midi, il coûte (5 − t)=
C. On
supposera que le repas est pris entre 11h et 15h, sinon ce n’est plus un déjeuner...
1 – Quel est l’ensemble de consommation de Pépé ?
2 – Pourquoi le restaurant propose cette tarification ?
3 – Faites un graphique où sont dessinées les combinaisons (heure repas/unités de bien agrégé)
que Pépé peut se payer.
4 – Dessinez des courbes d’indifférence de Pépé cohérentes avec ce que vous savez sur ses goûts,
telles que le meilleur choix de Pépé ne soit pas de manger à midi pile, lorsqu’il maximise sa
satisfaction.
5 – Refaites un dessin avec des courbes d’indifférence telles que Pépé mange à midi, lorsqu’il
maximise sa satisfaction.
Université François Rabelais| 29-01-2017
4/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Solution :
1) X = [11, 15] × R+
2) Le restaurant propose cette tarification pour, par exemple, étaler dans le temps les repas en fonction
de la disposition à payer des consommateurs et donc mieux utiliser sa capacité de production qui
est forcément limitée. Dans le même temps cela permet de faire venir des consommateurs qui ont
une disposition maximale à payer un repas plus faible que 5=
C.
3) Si Pépé prend son repas à midi, il lui reste : 15 − 5 = 10=
C.
4) Si Pépé prend son repas à 14h, il lui reste : 15 − (5 − 2) = 12=
C.
5) Moins il dépense pour le repas, plus il peut dépenser pour le reste, noté y. La somme des deux
devant être égale à 15=
C, on a donc :
(5 − t) + y = 15 ⇒ y = 10 + t = 10 + |h − 12|
où h est l’heure effective du repas, donc :
rd
fava
scal.


 10 + h − 12 = h − 2 , si h > 12
⇒y=


10 − h + 12 = 22 − h , si h ≤ 12
Graphiquement c’est donc deux segments de droites, un de pente −1 et l’autre de pente 1 (cf. Figure 1.2).
Bien agrégé
13
11
10
11 12
.fr/
.free
O
15
Heures
Figure 1.2 : Contrainte de Pépé
6) Les courbes d’indifférence de Pépé cohérentes avec ses goûts sont, par exemple, du type : (cf. Figure 1.3).
Université François Rabelais| 29-01-2017
5/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
Bien agrégé
a
://p
http
I3
15
H2∗
•
H1∗
•
10
I2
I1
5
0
11
12
13
14
15
Heures
rd
fava
scal.
Figure 1.3 : Courbes d’indifférence de Pépé : « pas midi »
7) Des courbes d’indifférence, telles que Pépé mange à midi, peuvent être de la forme suivante :
Bien agrégé
(cf. Figure 1.4).
I3
15
10
5
H∗
•
I1
12
13
.fr/
.free
0
11
I2
14
15
Heures
Figure 1.4 : Courbes d’indifférence de Pépé : « midi »
Exercice 3 : Le fer à dix sous
La fonction d’utilité de Popeye est la suivante : U ( x, y) = x + y
où x est la quantité consommée de boîtes de conserve d’épinards et y est la quantité consommée
d’épinards frais vendus en botte 1 . Le revenu de Popeye est de 100=
C. Ce revenu est intégralement
utilisé à l’achat d’épinards. Le prix de la boîte d’épinards est de 20=
C et celui de la botte d’épinards
de 25=
C.
1. La quantité d’épinards est la même dans les deux cas : boîte ou botte.
Université François Rabelais| 29-01-2017
6/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
1 – Calculer le TmS. Quelle est la nature des deux biens considérés, pour Popeye ?
2 – Déterminer le panier de consommation qui va maximiser l’utilité de Popeye. Justifier votre
résultat (une justification graphique est possible). Quelle est la valeur de l’utilité en ce point ?
3 – L’État décide de taxer les boîtes d’épinards. Il met alors en place une taxation unitaire de 5=
C,
payée pour chaque boîte d’épinards achetée au-delà de la deuxième boîte (les deux premières
boîtes d’épinards achetées ne sont donc pas taxées). Quelle va être la consommation optimale
de Popeye ? Quel est l’effet de cette taxe sur son utilité maximale ? Commenter et dessiner.
4 – Sous quelle(s) condition(s) une taxe n’a-t-elle pas d’influence sur la satisfaction de Popeye ?
Solution :
1) Les biens sont des substituts parfaits pour Popeye. Les courbes d’indifférence (cf. Figure 1.5) sont
des droites de pentes −1. Le TmS est donc constant et égal à cette pente : TmS = −1.
2) Le programme de Popeye est :
PPopeye
Max U ( x, y)
{ x,y}
(1.1)
rd
fava
scal.
slc 20x + 25y = m
Les biens étant des substituts parfaits au taux −1, Popeye va consommer celui dont le prix unitaire
est le plus faible. Ce sont ici les boîtes. Il va en consommer 5 boîtes (m/p1 ) (pas de botte), donc :
( x ∗ , y∗ ) = (5, 0) (cf. Figure 1.5). En ce point, l’utilité est donc : U (5, 0) = 5 + 0 = 5.
Botte
7
5
4
O
•
5
4
x∗
Boîte
7
.fr/
.free
Figure 1.5 : Choix de Popeye
3) La contrainte budgétaire sans taxe est : 20x + 25y = 100 ⇒ y = 4 − 45 x.
La nouvelle contrainte budgétaire (cf. Figure 1.6) est l’ancienne si x ≤ 2, si x > 2 alors la contrainte
est : 25x + 25y − (25 − 20) ∗ 2 = 100 ⇒ 25x + 25y
= 110
⇒ y = 22
5 − x.
h
i
22 12
∗
∗
∗
∗
∗
Popeye va donc consommer x ∈ 2, 5 et y ∈ 0, 5 avec y = 22
5 − x . Comment trouver y =
lorsqu’il consomme x ∗ = 2. Pour consommer deux boîtes, il va dépenser 40=
C et il va lui rester
12
60=
C pour acheter des bottes. Leur prix unitaire étant de 25=
C, il va consommer y∗ = 60
25 = 5 = 2, 4
12
5
bottes.
En ce point, l’utilité est donc : U (2, 12
5 ) = 2+
sans taxe.
Université François Rabelais| 29-01-2017
12
5
=
22
5
= 4, 4. Elle est plus faible que dans le cas
7/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Botte
7
4
12
5
•
O
2
x∗
3
•
22
5
7
Boîte
Figure 1.6 : Choix de Popeye avec taxe
4) Si on taxe l’autre bien puisqu’il n’en consomme pas ; ou si on taxe les boîtes mais au-delà de 5
rd
fava
scal.
boîtes.
Exercice 4 : Une ça va, quatre...
Considérons deux friandises, les Rochers au chocolat noir (le
bien 1) et les sucettes Chupa (le bien 2), et les quatre filles de monsieur et madame Versaire : Laure,
Elsa, Annie et Rose, consommant, a priori, ces deux biens. Les quatre sœurs ont six ans aujourd’hui.
Les biens 1 et 2 sont vendus respectivement 1=
C et 0,5=
C l’unité. Chacune a 10=
C d’argent de poche.
Les préférences de nos consommatrices sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes :
• Laure : u L ( x1 , x2 ) = min { x1 + 1, x2 + 2},
• Elsa : u E ( x1 , x2 ) = 2x1 + x2 ,
• Annie : u A ( x1 , x2 ) =
1
2
( x1 )2 + 4x2 ,
• Rose : u R ( x1 , x2 ) = 2x1 x2 .
1 – Ecrire les contraintes budgétaires de chacune des quatre sœurs.
2 – Quelle est la particularité des préférences de :
i) Laure
iii) Annie
iv) Rose
3 – Calculez le Taux marginal de Substitution de :
i) Laure
ii) Elsa
iii) Annie
iv) Rose
.fr/
.free
ii) Elsa
4 – Après avoir défini leur programme, déterminez le « meilleur » panier de consommation de :
i) Laure
ii) Elsa
Université François Rabelais| 29-01-2017
8/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
iii) Annie
iv) Rose
Solution :
1) Comme elles consomment les mêmes biens et qu’elles ont toutes 10=
C d’argent de poche, elles ont
la même contrainte budgétaire :
1
x1 + x2 = 10 ⇔ x2 = −2x1 + 20
2
(1.1)
2) On a :
i. Pour Laure, les Rochers et les Chupas sont des compléments parfaits. Les courbes d’indifférence
sont en forme de « L » ayant pour « origine » un point sur la droite des points anguleux d’équation
x2 = x1 − 1.
ii. Pour Elsa, les Rochers et les Chupas sont des substituts parfaits. Les courbes d’indifférence sont
des droites parallèles de pente −2 ayant pour équation :
rd
fava
scal.
x2 = −2x1 + k
(1.2)
où k est le niveau d’utilité.
iii. Pour Annie, les courbes d’indifférences ont pour équation :
1
x2 =
4
1
k − ( x1 )2
2
(1.3)
où k est le niveau d’utilité. Ses préférences sont concaves et décroissantes puisque :
h i
1
1
2
d 4 k − 2 ( x1 )
x
=− 1 <0
dx1
4
h i
d2 14 k − 21 ( x1 )2
1
<0
=
−
4
dx12
Annie n’aime donc pas la diversité.
iv. Pour Rose, les Rochers et les Chupas sont des substituts imparfaits. Les courbes d’indifférences
ont pour équation (x1 6= 0) :
k
2x1
.fr/
.free
x2 =
(1.4)
où k est le niveau d’utilité. Ses préférences sont convexes et décroissantes puisque :
h i
d 2xk 1
k
=− 2 <0
dx1
2x1
h
k
2x1
dx12
d2
Rose aime donc la diversité.
Université François Rabelais| 29-01-2017
i
=
k
>0
x13
9/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
3) On a :
i. 0, indéterminé, −∞
ii. Pour calculer ce TmS, il suffit de différentier totalement (1.2), soit : dx2 = −2dx1 + dk. Or, le long
d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant, donc dk = 0. On a alors :
⇒ TmSE ( x1 , x2 ) =
dx2
= −2 ; ∀( x1 , x2 ) ∈ R2+
dx1
iii. Pour calculer ce TmS, il suffit de différentier totalement (1.3), soit : dx2 =
(1.5)
1
4
dk −
2x1
2 dx1
. Or, le
long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant, donc dk = 0. On a alors :
⇒ TmS A ( x1 , x2 ) =
dx2
x
= − 1 ; ∀( x1 , x2 ) ∈ R2+
dx1
4
(1.6)
iv. Pour calculer ce TmS, il suffit de différentier totalement (1.4), soit : 2x1 dx2 + 2x2 dx1 = dk. Or, le
long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant, donc dk = 0. On a alors :
=⇒ TmSR ( x1 , x2 ) =
rd
fava
scal.
4) On a :
x
dx2
= − 2 ; ∀( x1 , x2 ) ∈ R2+
dx1
x1
(1.7)
i. Laure veut maximiser son utilité sous sa contrainte budgétaire (1.1) :
Max u L ( x1 , x2 )
{ x1 ,x2 }
PL
slc x1 +
x2
= 10
2
(1.8)
Comme la fonction d’utilité n’est pas différentiable, on ne peut pas calculer les CN1. En revanche,
le panier solution doit vérifier la contrainte budgétaire, mais aussi appartenir à la droite x2 =
x1 − 1 pour ne pas « gaspiller » un des deux biens. En effet, en dehors de cette droite un certain
nombre de Rochers ou de Chupas appartenant au panier considéré n’engendre aucune utilité
supplémentaire. Le panier solution du programme (1.8) est donc solution du système suivant :


 x2 = x1 − 1


x1 +
x2
2
= 10
(
⇒
x1∗ = 7 Rochers
x2∗ = 6 Chupas
.fr/
.free
ii. Son programme est le même que celui de Laure. Il y a deux façons de calculer la solution. Comme
on sait que les biens sont des substituts parfaits, il suffit de comparer son TmS (−2) au rapport de
1
prix (− 0,5
). Ces deux valeurs sont égales, Elsa est donc indifférente entre tous les paniers de biens
qui sont de la forme :

∗

 x1 = i Rochers
x2∗ = 20 − 2i Chupas


i ∈ [0, 10]
iii. Le programme d’Annie est le même que celui de Laure et d’Elsa. On ne peut pas écrire les CN1. En
effet, le programme n’est pas convexe car sa fonction d’utilité n’est pas quasi-concave. En d’autres
termes, les CN1 ne donneront pas un maximum. La solution sera donc une solution en coin. Etant
Université François Rabelais| 29-01-2017
10/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
donnée la contrainte budgétaire, si Annie n’achète pas de Rochers, elle peut acheter au maximum
20 Chupas. Si elle n’achète pas de Chupas, elle peut acheter au maximum 10 Rochers. Il suffit
alors de calculer son utilité pour chacun de ces deux paniers : u A (0, 20) = 80 et u A (10, 0) = 50.
Son panier optimal est donc :
(
x1∗ = 0 Rochers
x2∗ = 20 Chupas
iv. Le programme de Rose est le même que celui de ses trois soeurs. Dans ce cas, on peut toutefois,
écrire les CN1. Elles sont suffisantes. En effet, le programme est convexe car sa fonction d’utilité
est quasi-concave.
PR
⇔
Max 2x1 x2
{ x1 ,x2 }
slc x1 +
x2
= 10
2
rd
fava
scal.
x2
− 10
Max L( x1 , x2 , λ) = 2x1 x2 − λ x1 +
2
{ x1 ,x2 ,λ}
(1.9)
(1.10)
où λ est le multiplicateur de Lagrange et L le lagrangien.
Les CN1 du programme (1.10) sont :

∂L( x1∗ , x2∗ , λ∗ )


= 2x2∗ − λ∗ = 0


∂x1







∂L( x1∗ , x2∗ , λ∗ )
∗ − λ∗ = 0
⇒
=
2x
1
2

∂x2







∗ ∗ ∗


 ∂L( x1 , x2 , λ ) = − x ∗ − x2∗ + 10 = 0
1
2
∂λ

∗

 x1 = 5 Rochers
⇒
x2∗ = 10 Chupas

 ∗
λ = 20
Exercice 5 : Des ronds dans l’eau
 ∗
2x2 − λ∗ = 0







∗
2x1∗ − λ2 = 0






 ∗ x2∗
x1 + 2 − 10 = 0
Calvin préfère consommer au goûter huit tartines, x1 , et
.fr/
.free
quatre verres de lait, x2 , à toute autre combinaison de ces deux biens. Sa mère lui donne chaque
jour, treize tartines et un verre de lait. Un jour, c’est la tante de Calvin qui le garde. Elle lui donne
deux tartines et sept verres de lait. Calvin ne trouve pas que ce que lui donne sa mère est idéal
mais ce que lui donne sa tante, c’est pire !
1 – Quel est l’ensemble de consommation de Calvin ?
2 – Représentez à main levée des courbes d’indifférence de Calvin cohérentes avec ce que vous
savez de ses goûts.
3 – Donnez une forme fonctionnelle qui caractérise les préférences de Calvin et tracez-les.
4 – Supposez que le prix d’une tartine soit le même que celui d’un verre de lait et normalisez-le à
un. Donnez l’ensemble des paniers de biens choisis par Calvin lorsque son argent de poche est
noté, m. Tracez cette courbe. Comment s’appelle cette courbe ?
Université François Rabelais| 29-01-2017
11/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
5 – Tracez les courbes d’Engel.
Solution :
1) X = R2+
"
2) Le panier ~S =
8
#
correspond à un point de satiété pour Calvin et donc sa consommation doit
"
#
13
~ =
lui procurer le niveau de satisfaction maximal. De plus il faut que M
soit sur une courbe
1
" #
2
d’indifférence de niveau plus élevé que ~T =
(cf. Figure 1.7).
7
4
Lait
I1
rd
fava
scal.
I2
7
•T
I3
•
4
S
•
1
O
2
8
M
13
Tartines
Figure 1.7 : Courbes d’indifférence, à main levée, de Calvin
3) Forme fonctionnelle qui caractérise les préférences de Calvin (cf. Figure 1.8) peut être l’équation
d’un cercle centré sur le point de satiété (8, 4) : −( x1 − 8)2 − ( x2 − 4)2 = k, k étant le niveau de
satisfaction (négatif ou nul). Rappelons que nous utilisons une utilité ordinale, qu’elle soit négative
n’a donc pas d’importance.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
12/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Lait
7
T
sentier consommation-revenu
•
4
•
S
•
1
O
2
4
8
M
13
Tartines
rd
fava
scal.
Figure 1.8 : Courbes d’indifférence : cercles
4) On doit tracer le sentier consommation-revenu (x2∗ ( x1∗ )). Lorsque le montant d’argent de poche
C, Calvin n’a pas
est plus élevé que celui qui permet à Calvin d’acheter le panier (8,4) donc que 12=
intérêt à changer de panier. Il ne dépense pas tout son pécule. En revanche, si le pécule de Calvin
x1 −8
2
est de moins de 12=
C, il va alors essayer d’égaliser la valeur absolue de son TmS ( dx
dx = x −4 ) au
1
2
rapport de prix (i.e. 1). Comme les courbes sont des cercles, l’ensemble des paniers de biens où la
valeur absolue du TmS est égale à un, est la droite (i.e. x2 = x1 − 4) de pente égale à un, passant
par le centre du cercle. Lorsque Calvin a moins de quatre euros, il ne peut plus égaliser la valeur
absolue de son TmS à un. Il ne consomme alors que des tartines (cf. Figure 1.8).


(m, 0) , si m ≤ 4






 ∗
∗
m +4 m −4
( x1 (m), x2 (m)) =
,
, si m ∈ ]4, 12[
2
2







 (8, 4) , si m ≥ 12
(1.1)
.fr/
.free
Le sentier consommation-revenu, représenté en vert (cf. Figure 1.8), a donc pour équation :
x2∗ ( x1∗ ) =

∗

 0 , si x1 ≤ 4


5) Avec (1.1), c’est immédiat (cf. Figure 1.9) :
Université François Rabelais| 29-01-2017
x1∗ − 4 , si x1∗ ∈ ]4, 8]
13/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
unité de bien
Courbe d’Engel (Tartines)
8
Courbe d’Engel (Lait)
4
O
4
12
m
Figure 1.9 : Courbes d’Engel : Lait et Tartines
rd
fava
scal.
Exercice 6 : Travailler c’est trop dur
Fanée Kô suit un cours d’économie. Durant ce cours, il
y aura deux contrôles notés sur 20. La note finale sera le maximum des deux notes. Elle dispose
de 400 minutes en tout pour préparer ces deux contrôles. Elle ne peut pas profiter du temps non
utilisé pour travailler ses examens. Elle n’a aucune désutilité du travail. Si elle ne travaille pas un
contrôle, elle aura zéro, et toutes les dix minutes (vingt minutes) de travail, sa note du premier
(second) contrôle augmente d’un point. Son niveau d’utilité est donné par sa note finale.
1 – Représentez la « droite de budget » en violet et les courbes d’indifférence en bleu de Fanée Kô.
2 – Déterminez le(s) meilleur(s) choix de Fanée. Représentez-les en rouge sur le graphique précédent.
3 – Que se passe t-il si le professeur prend le minimum des deux notes ?
4 – Pédagogiquement, quel système devrait choisir le professeur ?
Solution :
1) Ici l’espace de « consommation » n’est pas R2+ . La « droite » de budget a pour équation : 10N1 +
20N2 = 400 ⇒ N1 + 2N2 = 40 avec Ni la note au contrôle i si N2 > 10 et N1 = 20 si N2 ≤ 10. Les
.fr/
.free
courbes d’indifférences sont concaves. C’est, pour chaque niveau de satisfaction, la réunion d’un
segment horizontal et d’un segment vertical (cf. Figure 1.10). Les points anguleux se situent sur la
première bissectrice.
Université François Rabelais| 29-01-2017
14/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
N2
20 •
15
•
10
5
45˚
O
5
10
15
•
20
N1
Figure 1.10 : Courbes d’indifférence concaves de Fanée Kô
2) Par définition, Fanée ne peut pas obtenir plus de vingt sur vingt. Les courbes étant concaves, la
rd
fava
scal.
solution est une solution en coin. Une des notes est nulle ou une des notes est égale à vingt. Soit
Fanée ne travaille que le second contrôle, elle a alors zéro au premier et vingt au second. Son
niveau d’utilité est de vingt. Soit elle travaille pour obtenir vingt au premier contrôle et il lui reste
du temps qu’elle peut consacrer à la préparation du second contrôle. Dans ce cas son utilité sera
∗ , N ∗ ) = (0, 20) et ( N ∗ , N ∗ ) = (20, 10 − i ), pour tout i ∈ [0, 10]. Il
aussi de vingt. On a donc : ( N11
22
21
12
y a donc une infinité de solutions.
3) Dans ce cas les courbes d’indifférence sont convexes (cf. Figure 1.11), du type « Leontief » ; les
points anguleux étant sur la première bissectrice. Son meilleur choix doit appartenir
( à la contrainte
N1 + 2N2 = 40
budgétaire et à la première bissectrice. Il faut donc résoudre le système suivant :
N1 = N2
40
40
⇒ ( N1∗ , N2∗ ) = ( 3 , 3 ) ' (13, 33; 13, 33).
x2
20
15
•
10
5
45˚
O
5
10
40
3
15
.fr/
.free
40
3
20
x1
Figure 1.11 : Courbes d’indifférence convexes de Fanée Kô
4) Dans le second cas, Fanée ne peut pas privilégier un de ses deux contrôles et donc doit travailler
Université François Rabelais| 29-01-2017
15/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
les deux contrôles.
Exercice 7 : Faguo
La fonction d’utilité de Zheng Fang est la suivante : u( x1 , x2 ) = ( x1 +
4)( x1 + x2 ) où x1 est la quantité consommée de viande et x2 est la quantité consommée de soupe.
Le revenu de Zheng est de R euros. Ce revenu est intégralement utilisé à l’achat de ces deux biens.
Le prix du kilo de viande est de 3=
C et celui du litre de soupe est de 2=
C.
1 – Quel est l’espace de consommation de Zheng Fang ?
2 – Écrivez l’équation de la contrainte budgétaire de Zheng Fang.
3 – Représentez, après une étude mathématique détaillée, la courbe d’indifférence de niveau u.
4 – Déterminez le meilleur choix de Zheng Fang.
5 – Déterminez l’équation du sentier d’expansion revenu et dessinez-le sur un nouveau graphique.
6 – Déterminez les équations des courbes d’Engel et dessinez-les sur un nouveau graphique.
7 – Caractérisez ces biens, viande et soupe, pour Zheng Fang.
Solution :
rd
fava
scal.
1) X = R2+ .
2) La contrainte budgétaire de Zheng est :
3x1 + 2x2 = R
(1.1)
R − 3x1
.
2
Il s’agit d’une droite de pente − 32 , d’ordonnée à l’origine R2 et d’abscisse à l’origine R3 , droite violette
⇔ x2 =
(cf. Figure 1.12).
3) L’équation de cette courbe d’indifférence est donnée par :
u ( x1 , x2 ) = u
u
u
⇔ ( x1 + 4)( x1 + x2 ) = u ⇔ ( x1 + x2 ) =
⇔ x2 =
− x1 = I u ( x1 ).
( x1 + 4)
( x1 + 4)



 R+ −→ R+
Il faut alors étudier cette fonction Iu :
7−→
u
( x1 +4)
− x1
.fr/
.free


 x1

dI u ( x1 )

u

= − (x +
−1 < 0

4)2

1
dx1








 d2 I ( x )
u 1
( x1 +4)
2u
= 2u
⇒
4 = ( x +4)3 > 0
2
(
x
+
4
)
1
1

dx1









dI u ( x1 )
dI u ( x1 )

u

Lim
= − 16
− 1 et Lim
= −1.
x1 →+∞
x1 →0
dx1
dx1
La courbe d’indifférence de niveau u est décroissante et strictement convexe. La fonction d’utilité
est donc strictement quasi-concave. Cela n’exclut pas la possibilité d’une solution en coin, puisque
Université François Rabelais| 29-01-2017
16/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
les courbes d’indifférence coupent les axes. En revanche, cela garantit l’unicité de la solution.
Aucun des deux biens est essentiel, les limites aux bords de la dérivée première étant finies, pour
Zheng. Il faut donc envisager la possibilité que sa consommation de soupe soit nulle ou que sa
consommation de viande soit nulle.
L’ordonnée à l’origine est donnée par :
I u (0) =
u
4
et l’abscisse à l’origine par :
I u ( x1 ) = 0 ⇔
u
− x1 = 0 ⇔ u = x1 ( x1 + 4) ⇔ x12 + 4x1 − u = 0.
( x1 + 4)
Ce polynôme d’ordre 2 admet deux solutions réelles :
x11 =
√
√
u + 4 − 2 > 0 et x12 = − u + 4 − 2 < 0,
comme u est positif et que la quantité de viande consommée par Zheng doit être positive, l’abscisse
rd
fava
scal.
à l’origine est x11 (cf. Figure 1.12).
Bol Soupe
u
4
R
2
O
R
3
√
Iu
u+4−2
Kg Viande
Figure 1.12 : Courbe d’indifférence de Zheng Fang de niveau u
PZ
.fr/
.free
4) Le programme de Zheng est :
Max u( x1 , x2 ) = ( x1 + 4)( x1 + x2 )
{ x1 ,x2 }
(1.2)
slc 3x1 + 2x2 = R
Il faut d’abord calculer le TmS. On sait que :
| TmS12 | =
dx2
dx1
Université François Rabelais| 29-01-2017
∂u( x1 , x2 )
2x + x2 + 4
∂x1
= 1
,
=
∂u( x1 , x2 )
x1 + 4
∂x2
(1.3)
17/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
| TmS21 | =
∂u( x1 , x2 )
x1 + 4
∂x2
=
=
.
∂u( x1 , x2 )
2x1 + x2 + 4
∂x1
dx1
dx2
(1.4)
Suivant le niveau de revenu, il est optimal pour Zheng de ne consommer que de la viande, que de
la soupe ou les deux biens simultanément. Déterminons les deux seuils de revenus qui discriminent
ces trois types de paniers.
i. Zheng ne consomme que de la soupe donc : x1∗ = 0 et x2∗ =
R
2
rd
fava
scal.
> 0.
p
Dans ce cas le TmS12 est en valeur absolue plus faible que le rapport de prix p12 (i.e. 32 ). Le TmS21
dx1
p
(i.e.
) est donc en valeur absolue plus grand que le rapport de prix p12 (i.e. 23 ). Zheng valorise
dx2
en terme de kilo de viande, plus un bol de soupe que le marché. Malheureusement, il n’a plus
de viande à échanger contre un bol de soupe supplémentaire. En utilisant (1.3), on a l’inégalité
suivante :
2x1 + x2 + 4
3
<
x1 + 4
2
mais x1∗ = 0 et x2∗ =
R
2
et donc :
R
2
+4
3
< ⇔R<4
4
2
Si le revenu de Zheng est inférieur à 4=
C, alors il ne consomme que de la soupe.
> 0 et x2∗ = 0.
Dans ce cas le TmS12 est en valeur absolue plus grand que le rapport de prix (i.e. 32 ). Zheng
valorise un kilo de viande en terme de bols de soupe plus que le marché mais il n’a plus de soupe
à échanger contre un kilo de viande supplémentaire. En utilisant (1.3), on a l’inégalité suivante :
ii. Zheng ne consomme que de la viande donc : x1∗ =
R
3
2x1 + x2 + 4
3
>
x1 + 4
2
mais x1∗ =
R
3
et x2∗ = 0 et donc :
2 R3 + 4
R
3
+4
>
3
⇔ R > 12
2
.fr/
.free
Si le revenu de Zheng est supérieur à 12=
C, alors il ne consomme que de la viande.
iii. Zheng consomme les deux biens donc : x1∗ > 0 et x2∗ > 0.
Dans ce cas, la solution est donnée par l’égalisation du TmS (1.3) et du rapport de prix sur le
marché, tout en tenant compte de la contrainte budgétaire (1.1). Il faut donc résoudre le système
suivant :



2x1 + x2 +4
x1 +4


3x1 + 2x2 = R
=
3
2
⇒

∗

 x1 =


R
2
−2
x2∗ = 3 −
R
4
avec R ∈ [4, 12].
Le meilleur choix de Zheng en fonction des valeurs de R est donc :
Université François Rabelais| 29-01-2017
18/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http

R


0,

2







∗ ∗
R
R
( x1 , x2 ) =
−
2,
3
−
2
4









 R , 0
3
si R < 4
(1.5)
si R ∈ [4, 12]
si R > 12
5) Si R < 4, alors Zheng ne consomme que de la soupe. Lorsque R = 4, x2∗ =
4
2
= 2. Si R > 12, Zheng
ne consomme que de la viande. Lorsque R = 12 alors
= = 4. Lorsque la solution de (1.2) est
intérieure, l’équation de la courbe consommation-revenu (cf. Figure 1.13) est donnée par :
x1∗
12
3
3
− x1 + 4
2x1 + x2 + 4
= ⇔ 4x1 + 2x2 + 8 = 3x1 + 12 ⇔ x2 =
x1 + 4
2
2
Le sentier d’expansion est donné par :
x2∗ ( x1∗ ) =










Bol Soupe
2•
si x1∗ = 0
rd
fava
scal.



∈ [0, 2[








∗
4− x1
2
si x1∗ ∈]0, 4]
0
si x1∗ ∈]4, +∞]
(1.6)
sentier consommation-revenu
•
.fr/
.free
•
4
O
Kg Viande
Figure 1.13 : Choix de Zheng Fang
6) La courbe d’Engel donne la quantité consommée d’un bien en fonction du revenu du consommateur. On cherche donc x1∗ ( R) et x2∗ ( R) qui se déduisent (cf. Figure 1.14) immédiatement de
(1.5).
Université François Rabelais| 29-01-2017
19/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
unité de bien
4
Courbe d’Engel (Viande)
2
O
4
Courbe d’Engel (Soupe)
R
12
Figure 1.14 : Courbes d’Engel : Viande et Soupe
rd
fava
scal.
7) Pour Zheng, la viande est un bien normal. La soupe est un bien inférieur lorsque le revenu est
supérieur à 4=
C. Sinon c’est un bien normal pour Zheng.
Exercice 8 : Monte pas sur la table
Ping a une fonction d’utilité u( x1 , x2 ) = min{ x1 + 2x2 , 2x1 +
x2 } et Pong, v( x1 , x2 ) = min{2x1 − x2 , 2x2 − x1 }.
1 – Tracez les courbes d’indifférence, en bleu pour Ping et en rouge pour Pong.
2 – Expliquer les préférences de chacun de nos amis.
3 – Déterminez, pour Ping et Pong, l’équation de leur sentier consommation-revenu.
Solution :
1) Tout d’abord, on recherche le lieu des points anguleux. Pour Ping, ce lieu est donné par l’équation :
x1 + 2x2 = 2x1 + x2 ⇒ x2 = x1 . C’est donc la première bissectrice. Pour Pong, ce lieu est donné
par l’équation : 2x1 − x2 = 2x2 − x1 ⇒ x2 = x1 . C’est donc aussi la première bissectrice.
Une courbe d’indifférence, dans ce cas, est la réunion de deux segments de droite, un au-dessus de
la droite à 45˚et l’autre au-dessous.
(
Pour Ping (cf. Figure 1.15), une courbe de niveau k est donnée par :
2x1 + x2 = k , si x2 ≥ x1
2x1 − x2 = k , si x2 > x1
.fr/
.free
(
Pour Pong (cf. Figure 1.15), une courbe de niveau k est donnée par :
Université François Rabelais| 29-01-2017
x1 + 2x2 = k , si x2 < x1
2x2 − x1 = k , si x2 ≤ x1
20/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
x2
6
3
2
45˚
2
3
x1
6
rd
fava
scal.
O
Figure 1.15 : Courbes d’indifférence de Ping et de Pong
2) Pour Ping, les biens sont des substituts parfaits, par morceaux, avec des rapports de substitution
qui changent suivant que la quantité consommée de bien 1 est plus grande ou plus petite que la
quantité de bien2. Pour Pong, les biens sont complémentaires. Il préfère consommer les deux biens
dans les mêmes quantités. Plus l’écart entre la quantité de bien 1 et de bien 2 est grand, plus il
faut que la « somme » des quantités des deux biens soit grande pour conserver le même niveau de
satisfaction.
3) Dans le cas de Pong, les paniers choisis sont sur la première bissectrice. L’équation du sentier
(x2∗ ( x1∗ )) est donc : x2∗ ( x1∗ ) = x1∗ , x1∗ ∈ [0, +∞[. Dans le cas de Ping, c’est la même chose si le rapport
de prix est strictement compris entre 12 et 2. Si le rapport de prix est de 12 , ce que l’on cherche est
alors la surface au-dessous de la première bissectrice et si le rapport de prix est 2, c’est alors la
surface au-dessus de la bissectrice. Si le rapport de prix est inférieur à
1
2
alors Ping ne consomme
que du bien x1 , le sentier est donc l’axe des abscisses et si le rapport de prix est supérieur à 2 alors
Ping ne consomme que du bien x2 , le sentier est donc l’axe des ordonnées.
.fr/
.free
Exercice 9 : Pourquoi pas Kevin ?
Job Lazy est un garçon qui travaille à l’université. La fonc-
tion d’utilité de Job est la suivante :
u(C, T ) = C −
√
T
où T est le temps de travail qui ne peut pas être supérieur à seize heures et C, la quantité agrégée
des autres biens consommés (nourriture, vêtements, logement, etc.). Le salaire horaire est w > 0 et
le prix du bien agrégé est normalisé à un. Sa grand-mère lui a donné une somme de R =
C.
1 – On sait que cette fonction d’utilité est quasi-linéaire mais a-t-elle une autre caractéristique
remarquable ?
2 – Étudiez et dessinez avec une très grande rigueur les préférences de Job avec C sur l’axe des
Université François Rabelais| 29-01-2017
21/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
ordonnées.
3 – Déterminez le meilleur choix pour Job.
Solution :
1) L’utilité marginale du travail est négative : umT = −
1
√
. On dit que le travail est un bien indésirable
2 T
pour Job.
2) Étudions la courbe d’indifférence Iu de niveau u.
√
√
C − T = u ⇔ C ( T; u) = u + T donc si T = 0 alors C = u et si T = 16 alors C = u + 4.
1
dC ( T; u)
= √ ≥ 0 courbe croissante, avec
dT
2 T
1
1
1
√
√
Lim
= +∞ et Lim
=
8
T →0
T →16 2 T
2 T
1 −3
d2 C ( T; u)
=
−
T 2 ≤ 0 courbe concave
4
dT 2
rd
fava
scal.
T
0
C 0 ( T; u)
+∞
C 00 ( T; u)
16
1
8
+
−
u+4
C ( T; u)
u
Tableau 1.1 : Tableau de variations
Consommation
.fr/
.free
•
u+4
Iu
∂Bw,R
u•
O
16
Travail
Figure 1.16 : Courbes d’indifférence de Job
Université François Rabelais| 29-01-2017
22/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
3) Une partie du revenu de Job est endogène, cela a des conséquences sur la forme de sa contrainte
budgétaire. Si on égalise les dépenses et les ressources de Job, on a : C = wT + R. Dans le plan
( T, C ) cette contrainte budgétaire est une droite croissante de pente le salaire horaire, w, et pour
ordonnée à l’origine, la somme que lui donne sa grand-mère, R (cf. Figure 1.16). Sur cette figure sont
tracées trois contraintes budgétaires avec des pentes différentes. Comme les courbes d’indifférence
sont concaves : si le salaire horaire est « faible », Job ne travaillera pas et si le salaire horaire est
« élevé », il travaillera le plus possible. Pour un salaire horaire w̃ il sera indifférent entre ces deux
choix. Le programme de Job est :
P Job
Max u( T, C )
{ T,C }
(1.1)
slc C = wT + R
rd
fava
scal.
i. Calculons w̃. Il faut tout d’abord calculer u(C, 0) et u(C, 16). En utilisant la contrainte budgétaire,
√
si T = 0 alors C = R et si T = 16 alors C = R + 16w. On a, donc, u(C, 0) = R − 0 = R et
√
u(C, 16) = R + 16w − 16 = R + 16w − 4. w̃ est solution de : R = R + 16w − 4, donc w̃ = 41 .
ii. Si w ≥ w̃ alors la solution de (1.1) est : ( R + 16w, 16) et si w ≤ w̃ alors la solution de (1.1) est :
( R, 0). En fonction des paramètres la solution de (1.1) est :


 ( R, 0) si w < w̃
∗
(C (w, R), T (w, R)) =
(( R, 0) , ( R + 4, 16)) si w = w̃


( R + 16w, 16) si w > w̃
Exercice 10 : Obélix parle trop
(1.2)
Tout le monde sait qu’Obélix aime consommer des sangliers et
des litres de cervoise. Notons x1 , la quantité consommée de cervoise et x2 la quantité consommée de
sanglier. La fonction d’utilité d’Obélix est telle que : U ( x1 , x2 ) = min { x1 + 1, x2 + 2}. La monnaie
est le sesterce : S.
1 – Tracer des courbes d’indifférence.
2 – Sachant que le prix d’un litre de cervoise p1 est de 1S, le prix d’un sanglier p2 est de 4S et le
revenu m d’Obélix est égal à 16S, déterminer le panier de consommation qui maximise l’utilité
d’Obélix.
.fr/
.free
3 – Déterminer pour chaque cas, le revenu qui permet d’atteindre le panier de consommation
obtenu à la question précédente, sachant que les prix des biens sont :
i) p1 = 2S et p2 = 2S
ii) p1 = 4S et p2 = 1S
iii) p1 = 0, 5S et p2 = 4S
4 – Définir et déterminer la courbe de demande de sanglier (bien 2) sachant que :
i) p1 = 1S et m = 16S
ii) p1 et m sont quelconques (Tracez cette demande)
5 – Définir et calculer l’élasticité de la demande de sanglier par rapport au prix de ce bien lorsque :
i) p1 = 1S et m = 16S
ii) p1 et m sont quelconques, avec p1 < m
Université François Rabelais| 29-01-2017
23/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
6 – Calculez la perte de surplus brut et net d’Obélix lorsque le prix du sanglier sur le marché
passe de 4S à 14S par unité, dans le cadre de la question 4.a. Déterminez l’effet revenu et l’effet
substitution.
Solution :
1) Les deux biens sont des compléments parfaits pour Obélix. Les courbes d’indifférence (cf. Figure 1.17) sont en « L ». La droite des points anguleux est :
x1 + 1 = x2 + 2 ⇒ x2 = x1 − 1
(1.1)
Sanglier
rd
fava
scal.
10
5
45˚
O 1
6
Cervoise
11
Figure 1.17 : Courbes d’indifférence d’Obélix
2) La droite de budget a pour équation : p1 x1 + p2 x2 = m
p
m
⇒ x 2 = − 1 x 1+
p2
p2
(1.2)
Le programme d’Obélix est :
Max U ( x1 , x2 )
{ x1 ,x2 }
POb
(1.3)
slc p1 x1 + p2 x2 = m
⇔
⇔


 x 2 = − p1 x 1+ m
p2
p2



 x2 = x1 − 1


 x1 1 +
p1
p2
=
m
p2
.fr/
.free
Pour déterminer le choix d’Obélix, il faut résoudre le système d’équations (1.1) (1.2) :






x
=
x
−
1
x
=
x
−
1



1
1
 2
 x2 = x1 − 1
 2
⇔


 x 1 − 1 = − p1 x 1+ m
p2
p2
⇔
+1


 x2 = x1 − 1


⇔
x1 ( p2 + p1 ) = m + p2

m − p1
∗


 x 2 = p2 + p1


 x∗ =
1
Université François Rabelais| 29-01-2017


 x1 +
m + p2
p2 + p1
⇔
p1
p2 x 1
=
m
p2
+1



 x2 =
m + p2
p2 + p1


 x1 =
m + p2
p2 + p1
−1
(1.4)
24/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
où ( x1∗ , x2∗ ) est le panier choisi par Obélix en fonction des prix et de son revenu.

15
16−1
∗

 x 2 = 4+1 = 5 = 3
Dans notre cas (1.4) donne le panier choisi :

 ∗
+4
20
x1 = 16
4+1 = 5 = 4
3) On a :
i. En réécrivant (1.4) on a :
(
x2∗ ( p2 + p1 ) + p1 = m
x1∗ ( p2 + p1 ) − p2 = m
(1.5)
et donc en remplaçant par les valeurs, on a :
(
m = 3 (2 + 2) + 2 = 14
⇒
m = 4 (2 + 2) − 2 = 14
ii. En remplaçant dans (1.5) on a m = 19.
iii. En remplaçant dans (1.5) on a m = 14.
4) On a :
m − p1
p2 + p1


 x1 ( p1 ; p2 , m ) =
m + p2
p2 + p1
rd
fava
scal.
i. Avec (1.4) on a déjà les fonctions de demande :



 x2 ( p2 ; p1 , m ) =
(1.6)
où x1 ( p1 ; p2 , m) est la fonction de demande pour le bien 1 et x2 ( p2 ; p1 , m) est la fonction de
demande pour le bien 2. La fonction de demande cherchée est donc :
x2 ( p2 ) =
15
16 − 1
=
.
p2 + 1
p2 + 1
ii. La demande (cf. Figure 1.18) cherchée est décroissante et convexe 1 puisque p1 < m. Lorsque
p2 tend vers zéro, la quantité demandée tend vers
m − p1
p1
et lorsque ce prix tend vers l’infini, la
quantité demandée tend vers zéro. Elle est donnée par (1.4) :
x2 ( p2 ; p1 , m ) =
Université François Rabelais| 29-01-2017
.fr/
.free
1. Faire un tableau de variation.
m − p1
.
p2 + p1
25/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Sanglier
x2 ( p2 ; 1, 16)
3
1
O
∆SN
4
14
p2
Figure 1.18 : Demande de sanglier
5) On a :
i. L’élasticité de la demande de sanglier par rapport au prix est :
∂x2 ( p2 ; p1 , m) p2
m − p1
p2
p2
=−
=
−
m
−
p
∂p2
x2
p2 + p1
( p2 + p1 )2 p2 + p11
rd
fava
scal.
ε ( p2 , p1 , m ) =
(1.7)
Avec (1.7) on remarque que l’élasticité prix ne dépend pas du niveau de revenu :
ε ( p2 ) = −
ii. Donnée par (1.7).
p2
.
p2 + 1
6) La consommation de sanglier (voir (1.6)) pour Obélix passe de 3 unités (x2 (4; 1, 16) =
16−1
4+1
= 3)
à une unité (x2 (14; 1, 16) =
= 1). Lorsque le prix augmente, Obélix consomme moins de
sanglier et donc son surplus diminue (cf. Figure 1.18). On appelle la perte de surplus brut (net)
∆SB (∆SN), on a donc :
Z 3
15
∆SB = −
− 1 dx2 = − [15 ln x2 − x2 ]31 = −15 ln 3 + 2 ' −14, 48
x2
1
16−1
14+1
∆SN = ∆SB + 4[3 − 1] − 1[14 − 4] = (−15 ln 3 + 2) − 2 = −15 ln 3 ' −16, 48
L’effet substitution est nul puisque les biens sont complémentaires. En fait il n’y a qu’un effet
.fr/
.free
revenu qui est égal à l’effet total. Pour le sanglier cet effet est de −2 comme pour la cervoise.
Illustration : « The growth of the global mo- apps, services, and access. The mobile Internet’s
bile Internet economy » Feb 10, 2015 by Wolf- total consumer surplus across the 13 countries
gang Bock, Dominic Field, Paul Zwillenberg, in our sample is about $3.5 trillion a year, or
and Kristi Rogers. [...] Consumers realize an en- about $4,000 per individual user. In the develoormous benefit from all this activity, which can ped countries surveyed, the per capita surplus
be quantified using an economic concept cal- is $5,600, while in the sample’s developing marled consumer surplus that is, the perceived va- kets it averages $2,250. Consumer surplus and
lue that consumers themselves believe they re- the other benefits of the mobile Internet are only
ceive, over and above what they pay for devices, set to grow potentially exponentially. An entire
Université François Rabelais| 29-01-2017
26/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
generation of 18-to 34-year-olds, a larger group age bracket spend an average of 37 hours and
than the baby boomers, already accesses the In- 6 minutes per month the equivalent of almost
ternet primarily through their mobile devices. A a full working week using their phones. Ano2014 Nielsen survey in the U.S. found that more ther survey found that almost 20 percent of U.S.
than 85 percent of these people own a smart- Millennials use only their smart devices to go
phone. Young people in the 18-to 24-year-old online. [...]
Exercice 11 : Uh-oh, Samy
Sacha consomme des pommes, x1 , des poires, x2 et des Scoubidous
x3 . Le Scoubidou est un bien durable dont la production a été arrêtée il y a fort longtemps, le
« commerce » des Scoubidous ayant été interdit en 1968 par le Général 1 . Sacha en possède un,
donné, comme son prénom, par son père, Yéyé dans sa jeunesse.
La fonction d’utilité de Sacha est : U ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 . Le prix du kilo de pommes est normalisé
à un et celui du kilo de poires est de p a , son revenu est R.
1 – Déterminez très rigoureusement le meilleur choix, noté ~x a = ( x1a , x2a , x3a ), de Sacha.
rd
fava
scal.
2 – Si le prix unitaire des poires est pb quel est le meilleur choix, noté ~xb = ( x1b , x2b , x3b ), de Sacha ?
3 – Si le revenu de Sacha, lorsque le prix des poires change, pouvait-être modifié de telle façon que
Sacha maintienne son pouvoir d’achat et donc qu’il puisse toujours acheter ~x a , quel devrait être
ce nouveau revenu R0 ?
4 – Quel est le meilleur choix, en fonction des paramètres initiaux, noté ~x 0 = ( x10 , x20 , x30 ) de Sacha si
son revenu est R0 et si le prix unitaire des poires est pb ?
5 – Calculez x1b − x1a et x2b − x2a , discutez le signe de ces deux variations, comment les appelle-ton ?
6 – Calculez x10 − x1a et x20 − x2a , discutez le signe de ces deux variations, comment les appelle-t-on ?
7 – Calculez x1b − x10 et x2b − x20 , discutez le signe de ces deux variations, comment les appelle-t-on ?
8 – Faire un graphique pour représenter tous les calculs précédents (x1 en abscisse).
9 – Si le revenu de Sacha, lorsque le prix des poires change, pouvait-être modifié de telle façon que
Sacha maintienne le niveau de satisfaction procuré par ~x a , quel devrait être ce nouveau revenu
R0 ?
10 – Quel est le meilleur choix, en fonction des paramètres initiaux, noté ~x 0 = ( x10 , x20 , x30 ) de Sacha si
son revenu est R0 et si le prix unitaire des poires est pb ?
on ?
.fr/
.free
11 – Calculez x1b − x1a et x2b − x2a , discutez le signe de ces deux variations, comment les appelle-t12 – Calculez x10 − x1a et x20 − x2a , discutez le signe de ces deux variations, comment les appelle-t-on ?
13 – Calculez x1b − x10 et x2b − x20 , discutez le signe de ces deux variations, comment les appelle-t-on ?
14 – Faire un graphique pour représenter tous les calculs précédents (x1 en abscisse).
15 – Comparez les deux méthodes de décomposition.
Solution :
1) La fonction d’utilité est du type Cobb-Douglas. La consommation de Scoubidous est égale à
1. Lors des manifestations, les CRS avaient été molestés avec des Scoubidous. Certains groupuscules contestataires
ont tenté de reprendre cette production, en toute illégalité, dans les années 80, mais la police y a mis bon ordre.
Université François Rabelais| 29-01-2017
27/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
un : puisqu’une seule unité est disponible et que ce bien a un prix nul puisqu’il est donné. Le
programme de Sacha est donc :
PSacha
Max u( x1 , x2 , 1)
{ x1 ,x2 }
(1.1)
slc x1 + p a x2 = R
Les conditions de premier ordre sont suffisantes puisque la fonction d’utilité est quasi-concave :
TmS =
dx2
Um1
x
1
=−
= 2 =
dx1
Um2
x1
pa
et en utilisant la contrainte budgétaire, on a :
~x a =
R R
,
,1
2 2p a
(1.2)
rd
fava
scal.
2) La réponse est évidente, en utilisant (1.2), on a :
R R
~xb =
,
,1
2 2pb
(1.3)
3) Pour que Sacha puisse acheter ~x a avec le nouveau prix phb , il luiifaudrait le revenu R0 tel que :
p
x1a + pb x2a = R0 . En utilisant (1.2), on déduit que : R0 = R2 1 + pba , si pb S p a alors R T R0 .
4) La réponse est évidente, en utilisant (1.3), on a :
0
R R0
0
~x =
,
,1
2 2pb
et en remplaçant R0 par sa valeur, on a :
pb
R
R
pb
0
~x =
1+
,
,1
1+
4
p a 4pb
pa
(1.4)
5) Dans cette question il faut étudier l’effet total, ET, d’une variation du prix des
h poires,i∆p = pb − p a .
R
2
− p1a . La variation
du prix des poires n’a pas d’effet sur la quantité de pommes consommée par Sacha. En revanche,
elle a un effet sur la quantité consommée de poires ; si ∆p S 0 alors ET2 T 0.
6) Dans cette question il faut étudier l’effet substitution, ES, d’une variation
h
i du prix des poires,
p
∆p = pb − p a . En utilisant (1.2) et (1.4), on a : ES1 = x10 − x1a = R4 pba − 1 et ES2 = x20 − x2a =
h
i
R 1
1
4 pb − p a . Si ∆p S 0 alors on a : ES1 S 0 et ES2 T 0. Lorsque le prix des poires change et que de
manière ad hoc Sacha conserve son pouvoir d’achat, la quantité de pommes consommée par Sacha
varie dans le même sens que les prix et celle de poires en sens inverse. Sacha substitue le bien qui
est devenu relativement moins cher au bien qui est est devenu relativement plus cher.
7) Dans cette question il faut étudier l’effet revenu, ER, d’une
du prix des poires, ∆p =
h variation
i
pb
R
0
pb − p a . En utilisant (1.3) et (1.4), on a :ER1 = x1b − x1 = 4 1 − pa = − ES1 et ER2 = x2b − x20 =
h
i
R 1
1
−
4 pb
p a = ES2 . Si ∆p S 0 alors on a : ER1 T 0 et ER2 T 0.
8) Représentons les calculs précédents, dans le cas p a < pb .
En utilisant (1.2) et (1.3), on a : ET1 = x1b − x1a = 0 et ET2 = x2b − x2a =
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
1
pb
28/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Légende
Poires
Effet Revenu
Effet Substitution
Effet Total
Courbes d’indifférence
R
pa
R0
p0
~x a
R0
•
rd
fava
scal.
R
2p a
•
2pb
R
2pb
•
O
R
2
~x 0
~xb
R0
2
R0
R
Pommes
Figure 1.19 : Effet revenu / Effet substitution ( pb > p a )
9) Pour que Sacha puisse maintenir son niveau d’utilité U (~x a ) avec le nouveau prix pb , il lui faudrait
0
0
le revenu
p a par pb etq
R par R0 , on a :
0 R 0 telque : U (~x a ) = U (~x ). En utilisant (1.2) et en remplaçant
2
0
2
R
R
R
~x 0 = R2 , 2p
, 1 et donc égaliser les utilités est équivalent à : 4p
= 4p
⇒ R0 = R ppba , si pb S p a
a
b
alors
R0
S R.
b
10) La réponse est évidente, en utilisant (1.3), on a : ~x 0 =
on a :
R0 R0
2 , 2pb , 1
et en remplaçant R0 par sa valeur,
r
R pb
R
~x =
, √
,1
2 p a 2 p a pb
0
.fr/
.free
(1.5)
11) Dans cette question il faut étudier l’effet total, ET, d’une variation du prix des
h poires,i∆p = pb − p a .
R
2
− p1a . La variation
du prix des poires n’a pas d’effet sur la quantité de pommes consommée par Sacha. En revanche,
elle a un effet sur la quantité consommée de poires ; si ∆p S 0 alors ET2 T 0.
12) Dans cette question il faut étudier l’effet substitution, ES, d’unehq
variation
i du prix des poires,
pb
R
0
0
∆p = pb − p a . En utilisant (1.2) et (1.5), on a : ES1 = x1 − x1a = 2
p a − 1 et ES2 = x2 − x2a =
h
i
R √1
1
−
2
p a pb
p a . Si ∆p S 0 alors on a : ES1 S 0 et ES2 T 0. Lorsque le prix des poires change et que
de manière ad hoc Sacha conserve son niveau de satisfaction, la quantité de pommes consommée
par Sacha varie dans le même sens que les prix et celle de poires en sens inverse. Sacha substitue le
En utilisant (1.2) et (1.3), on a : ET1 = x1b − x1a = 0 et ET2 = x2b − x2a =
Université François Rabelais| 29-01-2017
1
pb
29/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
bien qui est devenu relativement moins cher au bien qui est est devenu relativement plus cher.
du prix
des poires, ∆p =
13) Dans cette question il faut étudier l’effet revenu, ER, d’une variation
h
i
q
pb − p a . En utilisant (1.3) et (1.5), on a : ER1 = x1b − x10 = R2 1 −
h
i
R 1
1
0
√
x2b − x2 = 2 p − pa p . Si ∆p S 0 alors on a : ER1 T 0 et ER2 T 0.
b
pb
pa
= − ES1 et ER2 =
b
14) Représentons les calculs précédents, dans le cas p a < pb .
Légende
Poires
Effet Revenu
R0
p0
R
2p a
R0
2pb
R
2pb
O
•
•
R
2
Effet Total
Courbes d’indifférence
rd
fava
scal.
R
pa
Effet Substitution
~x a
~xb
•
~x 0
R0
2
R
R0
Pommes
Figure 1.20 : Effet revenu / Effet substitution ( pb > p a )
15) Les deux méthodes donnent les mêmes signes pour les deux effets mais pas les mêmes valeurs.
.fr/
.free
Aucune n’est meilleure que l’autre.
Al Manak est un garçon « raisonnable ». Il a toutefois une grande
√
passion : les livres de calembours. La fonction d’utilité d’Al est la suivante : U ( A, L) = A + L
Exercice 12 : Les mots verts
où L est la quantité de livres et A, la quantité agrégée des autres biens consommés (nourriture,
vêtements, logement, etc.) Le revenu d’Al est de R euros. Le prix d’un livre est p, (p > 0). Le prix
du bien agrégé est normalisé à un.
1 – Comment appelle-t-on ce type de fonction d’utilité ?
2 – Étudiez et dessinez avec une très grande rigueur les préférences d’Al (livres en ordonnée).
3 – Pourquoi Al est « raisonnable » ?
4 – Calculez la demande de livres d’Al. Dessinez après étude cette courbe.
Université François Rabelais| 29-01-2017
30/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
5 – Déterminez le sentier consommation-revenu. Tracez-le sur le premier graphique.
6 – Dessinez les courbes d’Engel.
7 – Calculez les surplus d’Al, générés par la consommation des livres, si son revenu est de 100=
C et
que le prix de chaque livre est de 23=
C.
8 – Calculez la variation de surplus net d’Al, générée par la consommation des livres, si son revenu
est de 100=
C et que le prix de chaque livre passe de 6=
C à 3=
C.
9 – Calculez l’effet revenu et l’effet substitution dans le cas précédent.
10 – Calculez pour chacun des biens l’élasticité-revenu dans le cas R = 100=
C et p = 6=
C/livre.
11 – Qualifiez, en utilisant les résultats obtenus, les deux biens.
Solution :
1) Fonction d’utilité quasi-linéaire. L’utilité marginale des livres est indépendante de la quantité
consommée des autres biens, de plus elle est constante. Mais les deux biens ne sont pas des
substituts parfaits puisque le rapport de substitution entre A et L n’est pas constant. En effet,
l’utilité marginale de A n’est pas constante.
√
A + L = u ⇔ L( A; u) = u −
rd
fava
scal.
2) Étude de la courbe d’indifférence Iu de niveau u :
√
A donc si
2
A = 0 alors L = u et si L = 0 alors A = u .
1
1
dL( A; u)
= − A− 2 ≤ 0 courbe décroissante, avec
dA
2
1 −1
1 −1
1
Lim − A 2 = −∞ et Lim − A 2 = −
2
2
2u
A →0
A → u2
1 −3
d2 L( A; u)
=
A 2 ≥ 0 courbe convexe
4
dA2
A
0
L0 ( A; u)
−∞
L00 ( A; u)
u2
1
− 2u
−
+
u
L( A; u)
0
Université François Rabelais| 29-01-2017
.fr/
.free
Tableau 1.2 : Tableau de variations
31/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Livres
sentier consommation-revenu
∂B p,R
u
•
Iu
O
•
u2
•
Autres
1 2
4p
rd
fava
scal.
Figure 1.21 : Courbes d’indifférence d’Al
La quasi-linéarité de la fonction d’utilité à une conséquence graphique remarquable. Chaque
courbe d’indifférence est la translatée d’une courbe d’indifférence de niveau d’utilité plus faible.
Le vecteur de translation est vertical, vers le haut et de norme égal à l’écart des niveaux d’utilité.
3) Les courbes d’indifférence coupent les axes (cf. Figure 1.21). Potentiellement il peut donc y avoir
des solutions en coin, bien qu’elles soient strictement convexes. Il faut donc envisager que A∗
ou que L∗ puissent être nuls. En fait, avec la fonction d’utilité choisie, A∗ ne peut pas être égal à
zéro. L’étude des courbes d’indifférence (cf. Table 1.2) a montré que le TmS, lorsque la quantité
consommée des autres biens tend vers zéro, était infiniment négatif 1 . Al est prêt à renoncer à une
« très grande » quantité de livres pour pouvoir consommer sa première unité des autres biens. La
valeur psychologique de la première unité de A en terme d’unités de livres est « infinie ». Pour
qu’Al ne consomme que des livres, il faudrait, sur le marché, que le prix des livres soit nul. Ceci
est exclu puisque p > 0. Graphiquement, la contrainte budgétaire, B p,R , devrait être verticale. Al
est donc « raisonnable » puisque quelque soit les paramètres du modèle, il ne consommera jamais
uniquement que des livres. Nous verrons par la suite, qu’à un prix p donné, il ne consommera des
livres de calembours qu’à partir d’un certain niveau de revenu.
.fr/
.free
4) On a montré dans la question précédente qu’Al n’allait consommer que deux types de paniers. Un
solution où il ne consommerait que des livres étant exclue économiquement. Le programme d’Al
est :
P Al
Max U ( A, L)
{ A,L}
(1.1)
slc A + pL = R
i. Si la solution est intérieure, elle vérifie l’égalité du TmS au rapport de prix en valeur absolue :
1. La consommation des autres biens est dite « essentielle », puisque le TmS, lorsque la quantité A tend vers zéro,
tend vers moins l’infini.
Université François Rabelais| 29-01-2017
32/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
dL
1
=− ⇔
dA
p
1
√
2 A
p 2
1
∗
= ⇔A =
p
2
1
(1.2)
en utilisant la contrainte budgétaire et p > 0, on obtient :
∗
L =
p 2
2
R−
p
1
=
p
p2
R−
4
avec R >
p2
4
(1.3)
ii. Si la solution est une solution en coin (i.e. L∗ = 0), on a :
A∗ = R avec R ≤
avec :
p2
4
(1.4)
1
dL
( R, 0) >
dA
p
Al souhaiterait augmenter sa consommation de A en cédant des unités de L, le marché valorisant
une unité de A en terme d’unités de L moins que ne le fait Al ; mais il n’a plus de L pour « acheter »
rd
fava
scal.
une unité supplémentaire de A sur le marché, puisque son panier est « vide en L ».
La demande individuelle des autres biens est donc, en utilisant (1.2) et (1.4) :

√


 R si p ≥ 2 R
A( p; R) =
i √ h


 p 2 si p ∈ 0, 2 R
(1.5)
2
La demande individuelle de livre est donc, en utilisant (1.3) :

√

0
si
p
≥
2
R


L( p; R) =
i √ h


 R − p si p ∈ 0, 2 R
p
(1.6)
4
Cette courbe (cf. Figure 1.22) est donc décroissante
∂L(.)
= − pR2 −
∂p
1
4
< 0 et convexe puisque
√
∂2 L (.)
2R
=
>
0.
Lorsque
p
tend
vers
0,
L
(
.
)
tend
vers
l’infini
et
lorsque
p
tend
vers
2
R, la pente
3
p
∂p2
tend vers − 12 .
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
33/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Livres
L ( p; R)
O
p
√
2 R
Figure 1.22 : Demande de livres : Al
5) Le sentier se déduit des calculs précédents :
p2
4
rd
fava
scal.



 ( R, 0) si R <
( A( R; p), L( R; p))∗ =



p 2
,
2
R
p
−
p
4
(1.7)
sinon
Pour un revenu « faible », Al dépense l’intégralité de son revenu pour les autres biens. Le sentier
est donc confondu avec l’axe des abscisses (cf. Figure 1.21). Le niveau de revenu R̃ atteint, R̃ =
p2
4,
sa consommation des autres biens est constante et l’intégralité de l’accroissement de son revenu
est dépensée pour acheter des livres, le sentier est alors vertical (cf. Figure 1.21).
6) La courbe d’Engel représente la consommation, solution de P Al , (cf. (1.1)), d’un bien en fonction
du revenu du consommateur considéré. En étudiant (1.7), on a : pour un revenu inférieur à R̃ la
consommation de livre qui est nulle, la courbe d’Engel correspondante est donc confondue avec
l’axe des abscisses et celle des autres biens est confondue avec la première bissectrice puisqu’elle
est égale au revenu. Le revenu R̃ atteint, la consommation des autres biens est constante et égale
à
p2
4,
la courbe d’Engel devient donc une horizontale. En ce qui concerne celle des livres, c’est
différent. En effet, à partir de R̃, Al consomme des livres. La courbe d’Engel est donc une droite
croissante de pente 1p . Les deux courbes d’Engel ont deux points communs, l’origine et le point
2
p ( p +1) p2
,
4
4 (cf. Figure 1.23).
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
34/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
unité de bien
Livres
p2
4
O
Autres
p2
4
R
p2 ( p +1)
4
Figure 1.23 : Courbes d’Engel : AL
7) Pour ce revenu et ce prix relatif, Al ne consomme pas de livre puisque la condition R >
p2
4
p2
4
n’est
= 529
4 = 132, 25 > 100. Il n’y a donc pas de surplus brut (SB), ni de
surplus net (SN), généré par la consommation de livres puisqu’Al ne consomme pas de livres pour
ces variables exogènes (i.e. SB = SN = 0.)
6
91
100
3
8) En utilisant (1.6) on a : L(6; 100) = Li = 100
−
=
'
15,
17
et
L
(
3;
100
)
=
L
=
−
f
6
4
6
3
4 =
pas vérifiée. En effet, on a :
rd
fava
scal.
391
12
' 32, 58. On appelera ∆SN, la variation de surplus net (cf. Figure 1.24), on a donc :
∆SN =
Z 6
100
p
−
p
4
3
p2
dp = 100 ln p −
8
6
= 100 ln 2 −
3
27
' 65, 94
8
Livres
391
12
L ( p; 100)
O
3
.fr/
.free
∆SN
15
p
6
20
Figure 1.24 : Demande de livres avec R = 100 : Al
Il n’est pas surprenant que cette variation soit positive : si le prix baisse, Al consomme plus et cela
génère donc un accroissement de surplus.
9) A la question précédente on a trouvé que Li =
91
6
et L f =
391
12
et donc, Ai = 9 et A f = 49 .
La réduction du prix unitaire des livres à un effet total, ETL , sur le nombre de livres achetés par
Al et, ETA sur la quantité consommée des autres biens. On a : ETL = L f − Li =
Université François Rabelais| 29-01-2017
209
12
' 17, 42 et
35/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
ETA = A f − Ai = − 27
4 = −6, 75. Pour calculer l’effet substitution, ES L et ES A , il faut résoudre
0
0 0
un système à deux équations et donc déterminer le panier
part, x 0 doit
fictif x = ( A , L ). D’une procurer le même niveau d’utilité que le panier initial i.e. U ( Ai , Li ) =
part, le TmS calculé en
x0
' 18, 17 et d’autre
doit être égal au nouveau rapport de prix (i.e. 3) :
 √
0
0

 A +L =
109
6
⇔

 √ 0
2 A =3
Donc ES L = L0 − Li =
109
6

0

 L =
50
3


9
4
A0 =
' 16, 67
= 1, 5 est positif et ES A = A0 − Ai = − 27
4 = −6, 75 = ETA . L’effet revenu
est donc nul sur la consommation des autres biens. Cela n’est pas surprenant puisque pour les
données utilisées, la solution est intérieure et donc si le revenu augmente, de façon ad hoc, cette
augmentation est utilisée pour acheter plus de livres :
3
2
ER L = L f − L0 =
191
' 15, 92.
12
rd
fava
scal.
Légende
Livres
Effet Revenu
391
12
50
3
91
6
•
~x f
Effet Substitution
Effet Total
~x 0
•
9
4
u=
409
12
u=
109
6
Courbes d’indifférence
~xi
.fr/
.free
O
•
Autres
9
Figure 1.25 : Effet revenu / Effet substitution
Université François Rabelais| 29-01-2017
36/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
10) On a montré que L(6; 100) =
91
6.
En utilisant (1.2) on a A(6; 100) =
6 2
2
a
://p
http
= 9. Soit η A (resp.
η L ) l’élasticité-revenu de la demande pour les autres biens (resp. les livres). En utilisant (1.2),
∂A(6; 100) 100
= 0 · 100
on a : η A (6; 100) =
9 = 0, puisqu’avec ces valeurs des paramètres la
A(6;100)
∂R
demande des autres biens est indépendante du revenu. En utilisant, (1.6) on a : η L (6; 100) =
∂L(6; 100) 100
100
= 16 100
91 = 91 ' 1, 1.
L(6;100)
∂R
6
11) Lorsque p = 6 et R = 100, le bien A est à la frontière d’un bien normal et d’un bien inférieur
puisque son élasticité revenu est nulle et le bien L est un bien supérieur puisque l’élasticité-revenu
est plus grande que un.
Exercice 13 : E.T. en voit de toutes les couleurs
consomme des barres de plutonium, x, et des
m2
E.T. est un petit homme vert sur Mars, il
de maison, y. La monnaie locale est le « lion »,
notée L. Le prix unitaire du plutonium est noté p x , le prix de location du m2 de maison est noté py
rd
fava
scal.
et son revenu est de R. La fonction, u, d’utilité d’E.T. avec a strictement positif, est telle que :

2
−→ R+

 R+
u:
(1.1)


( x, y) 7−→ min{ ax, y}
1 – Écrivez la contrainte budgétaire d’E.T. et représentez-la. (Plutonium en abscisse)
2 – Comment sont les biens pour E.T. ?
3 – Dessinez sur un nouveau graphique des courbes d’indifférence d’E.T. (Plutonium en abscisse)
4 – Calculez le meilleur choix d’E.T. et représentez tout cela sur un nouveau graphique. (Plutonium
en abscisse)
5 – Déterminez la demande marshallienne de plutonium d’E.T.
6 – Faites l’étude mathématique de cette fonction de demande et dessinez-la.
7 – Pour cette demande déterminez les élasticités prix et l’élasticité revenu. Commentez.
8 – Déterminez la fonction d’utilité indirecte d’E.T. Montrez que cette fonction est homogène de
degré zéro, expliquez pourquoi ce résultat est logique.
9 – Déterminez la demande hicksienne de plutonium d’E.T. et dessinez-la.
10 – Déterminez la fonction de dépense d’E.T. Montrez que cette fonction est homogène de degré
un, expliquez pourquoi ce résultat est logique.
11 – Quel est le lien mathématique entre la demande hicksienne et la fonction de dépense, expliquez
.fr/
.free
pourquoi ce lien est logique. Vérifiez-le pour le plutonium.
12 – Montrez que les équations de Slutsky sont vérifiées pour le plutonium.
13 – En réarrangeant la « bonne » équation de Slutsky montrer que si le prix du m2 augmente
cela a un impact sur la demande marshallienne de plutonium d’E.T. et que cet impact est
décomposable en deux effets.
14 – Calculez ces deux effets et commentez.
En avril 1 3012, le parti « Bleu » gagne les élections. Ce parti souhaite, sous la pression populaire
suite au « Tsunama 2 de Mars » survenu au printemps précédent, diminuer la consommation de
1. Le mois de mars n’existe pas sur Mars.
2. Tempêtes de sable qui surviennent lorsqu’au pôle, le givre de dioxyde de carbone (CO2) se sublime dans un
environnement printanier.
Université François Rabelais| 29-01-2017
37/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
plutonium de chaque martien, le plus possible. Pour ce faire, la consommation individuelle est
limitée à cinq barres. Rappelons que ce Tsunama avait détruit une usine fabriquant des barres
de plutonium, rendant tout blanc certains martiens, et comme vous le savez, le blanc, couleur
associée à la rage, est une couleur interdite sur Mars la « pacifique ». La peur avait contaminé toute
la population verte... On supposera p x = 2 et py = 3.
15 – Écrivez la contrainte budgétaire d’E.T. et représentez-la. (Plutonium en abscisse)
16 – Cette politique a-t-elle un « impact budgétaire » sur E.T. ? Comment appelle-t-on ce genre de
politique en économie ?
17 – Calculez le meilleur choix d’E.T. Faites un graphique si cela apporte quelque chose à votre
propos.
18 – Cette politique est-elle efficace ? Pourquoi ?
19 – Pouvez-vous conseiller aux Bleus une politique qui ferait diminuer la consommation de plutonium à coup sûr ? Laquelle ? Faites un graphique, sans calcul, pour justifier votre réponse.
20 – Dans quel cas la politique des Bleus, par rapport à l’objectif qu’ils souhaitent atteindre, est
meilleure que celle que vous avez proposée ?
rd
fava
scal.
Solution :
1) L’équation de la contrainte budgétaire d’E.T. est :
p x x + py y = R
(1.2)
m2
R
py
O
Barres
.fr/
.free
R
px
Figure 1.26 : Contrainte budgétaire d’E.T. sans quota
2) Ces biens sont des compléments parfaits pour E.T.
3) Les courbes d’indifférence sont des courbes en « L » dont les point anguleux sont situé sur la droite
d’équation :
y = ax.
Université François Rabelais| 29-01-2017
(1.3)
38/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
m2
I1
I3
I2
y = ax
Barres
O
Figure 1.27 : Courbes d’indifférence d’E.T.
4) Le programme d’E.T. est de maximiser son niveau d’utilité donné par (1.1) en respectant sa
contrainte budgétaire (1.2).
rd
fava
scal.
Max min{ ax, y}
{ x,y}
PE.T.
(1.4)
slc p x x + py y = R
La solution de se programme doit appartenir à la droite des point anguleux (1.3) et à la contrainte
budgétaire (1.2). Résoudre ce programme revient donc a résoudre le système suivant :

p x + p y = R
x
y
 y = ax
⇔


x=



R
p x + apy



y=
aR
p x + apy
Le meilleur choix d’E.T., noté ( x ∗ , y∗ ), est tel que :
∗
∗
(x , y ) =
m2
R
aR
,
p x + apy p x + apy
(1.5)
I∗
.fr/
.free
R
py
y = ax
aR
p x + apy
•
O
R
p x + apy
R
px
Barres
Figure 1.28 : Le meilleur choix d’E.T.
Université François Rabelais| 29-01-2017
39/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
5) Du calcul précédent on obtient immédiatement :


x ( p x ; py , R) =



R
p x + apy



y( p ; p , R) =
y x
aR
p x + apy
(1.6)
6) C’est la branche d’une hyperbole, décroissante et convexe. Elle est asymptote aux axes. Tableau de
variation.
7) On a :
p
i. Élasticité prix : ε x,px ( p x , py , R) = − px +xapy < 0. Le plutonium est un bien ordinaire pour E.T.
ap
y
ii. Élasticité prix croisés : ε x,py ( p x , py , R) = − px +ap
< 0. Les deux biens sont complémentaires pour
y
E.T.
iii. Élasticité revenu : ε x,R ( p x , py , R) = 1. Le plutonium est un bien
normal pour
E.T.
8) Soit v(·) la fonction d’utilité indirecte : on a v( p x , py , R) = u
.
aR
p x + apy
rd
fava
scal.
v( p x , py , R) =
R
aR
p x + apy , p x + apy
Calculons v(λp x , λpy , λR) avec λ > 0, en utilisant (1.7) on a : v(λp x , λpy , λR) =
(1.7)
aλR
λp x + aλpy
=
x , py , R). La fonction d’utilité indirecte d’E.T. est donc homogène de degré zéro. Si on
multiplie tous les prix et le revenu par un même multiplicateur la contrainte budgétaire d’E.T. est
inchangée, donc son meilleur choix est inchangé et bien évidemment l’utilité de ce meilleur choix
est inchangé.
9) Le programme, « hicksien », d’E.T., est de minimiser sa dépense sachant qu’il souhaite atteindre
niveau d’utilité donné par (1.1).
λ0 v ( p
Min p x x + py y
{ x,y}
PE.T.
(1.8)
slc min{ ax, y} = u
La solution de se programme doit appartenir à la droite des point anguleux (1.3) et à la contrainte
de (1.8), la solution est donc triviale :

x = u
a
y=u

h ( p ; p , u) = u
x x y
a
 h ( p ; p , u) = u
y
y
x
.fr/
.free
Du calcul précédent on obtient immédiatement :
(1.9)
10) Soit e(·) la fonction de dépense d’E.T., en utilisant (1.10), on a :
hp
i
x
(1.10)
e( p x , py ; u) = p x h x ( p x ; py , u) + py hy ( py ; p x , u) = u
+ py
a
αp
Si l’on multiplie par α > 0 le vecteur prix alors : e(αp x , αpy ; u) = u a x + αpy = αe( p x , py ; u). La
dépense minimale pour atteindre un certain niveau d’utilité varie dans la même proportion que le
vecteur prix.
Université François Rabelais| 29-01-2017
40/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
∂e(u; p x , py )
=
∂p x
a
://p
http
11) ~h(~p, u) = ∇~p e(u; ~p). Dans notre cas
u
a
= h x ( p x ; p y , u ).
12) Équations de Slutsky :

∂h x ( p x ; py , u)
∂x ( p x ; py , R) ∂x ( p x ; py , R)


=
+
x ( p x ; py , R)


∂p x
∂p x
∂R





∂h x ( p x ; py , u)
∂x ( p x ; py , R) ∂x ( p x ; py , R)


=
+
y( py ; p x , R)

∂py
∂py
∂R
Dans notre cas :


0 = − ( p +Rap )2 +


x
y

1
R
p x + apy p x + apy



0 = −
(p
1
aR
p x + apy p x + apy
aR
x + apy )
2
+
, vraies.
Effet Substitution
Effet Revenu
rd
fava
scal.
z
}|
{
∂x ( p x ; py , R)
∂h x ( p x ; py , u)
∆py =
∆py −
13) À partir d’une des équations de Slutsky on a : ∆x ≈
∂py
∂py
z
}|
{
∂x ( p x ; py , R)
y( py ; p x , R)∆py .
∂R
14) Dans notre cas particulier, l’effet substitution est nul, rien de supprenant puisque les biens sont
Effet Sub
Effet Rev
z
}|
{
z}|{
∂x ( p x ; py , R)
aR
compléments parfait pour E.T. Donc ∆x ≈
∆py =
0 −
∆py < 0.
∂py
( p x + apy )2
15) Dans ce cas l’espace de consommation (cf. Figure 1.29), X, n’est plus R2+ , c’est : [0, 5] × R+ .
m2
X
5
.fr/
.free
O
Barres
Figure 1.29 : Espace de consommation d’E.T. avec quota
< 5 alors la contrainte est donnée par (1.2), (cf. Figure 1.26). Si R2 ≥ 5 alors la contrainte
budgétaire est inchangée jusqu’au point (5, ye), ye étant solution de (1.2) quand x = 5, donc ye = R−3 10 .
Lorsque x = 5 la frontière de l’espace budgétaire est verticale. Si l’on définit la contrainte de budget
comme l’ensemble des paniers de biens qui permettent de dépenser exactement son revenu alors
cette verticale n’appartient pas à la contrainte de budget. Dans cette solution nous choisirons
l’autre possibilité, la contrainte de budget étant la frontière supérieure de l’espace budgétaire,
Si
R
2
Université François Rabelais| 29-01-2017
41/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
(cf. Figure 1.30). La forme fonctionnelle de la nouvelle contrainte budgétaire d’E.T. est donc :



si R < 5 : 2x + 3y = R

 2

2x + 3y = R, si x < 5
(1.11)
R

et
si
≥
5
:


2

 x = 5 et y ∈ [0, ye]
m2
R
3
ye
rd
fava
scal.
O
Barres
R
2
5
Figure 1.30 : Contrainte budgétaire d’E.T. avec quota et
R
2
>5
R
2
≥ 5, donc si R est suffisamment
« élevé ». Le gouvernement Bleu a mis en place un quota, appelé aussi rationnement, sur la
consommation de barres de plutonium.
17) Le programme d’E.T. est maximiser son niveau d’utilité donné par (1.1) en respectant sa contrainte
budgétaire (1.11). Soit R
2 < 5 et alors le programme d’E.T. est donné par (1.4) et donc son meilleur
choix n’est pas modifié par la mise en place d’un quota. Soit R
2 ≥ 5, et soit (1.3) coupe la frontière
budgétaire (1.11) en un point d’abscisse inférieure au quota et là encore son meilleur choix n’est
pas modifié ; soit (1.3) coupe la frontière budgétaire (1.11) en un point d’abscisse supérieure au
quota. Dans ce cas le meilleur choix d’E.T. est modifié. Il y a une infinité de meilleur choix, tous
ont pour abscisse le quota et une
comprise entre 5a et ye.
ordonnée
∗
∗
Le meilleur choix d’E.T., noté xq , yq , est tel que :
16) Cette politique a un impact sur l’espace budgétaire de E.T. si
xq∗ , y∗q =
R
2





et si





<5:
R
2
R
aR
2+3a , 2+3a
≥5:
.fr/
.free


si










R
aR

,
avec


 2+3a 2+3a
R
2+3a



 (5, k ) k ∈ [5a, ye], sinon
Ce qui peut se simplifier et donc on a :

R
aR

,
, si R ≤ 10 + 15a

 2+3a 2+3a

xq∗ , y∗q =



 (5, k ) k ∈ [5a, ye], sinon
Université François Rabelais| 29-01-2017
≤5
(1.12)
42/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Représentons (cf. Figure 1.31) le seul cas qui a un intérêt (i.e. le meilleur choix d’E.T. est modifié).
m2
I∗
R
3
y = ax
ye
5a
O
R
2
5
Barres
Figure 1.31 : Le meilleur choix d’E.T. avec quota et R > 10 + 15a
rd
fava
scal.
18) La politique des Bleus est efficace si le revenu d’E.T. est supérieur à 10 + 15a. Si ce n’est pas le cas
elle n’est pas efficace, la consommation de barres de plutonium ne diminuant pas, le quota fixé par
l’État étant trop élevé.
19) Pour être sûr qu’E.T. diminuera sa consommation de plutonium, il suffit d’augmenter de deux à
p le prix unitaire de celui-ci. La contrainte budgétaire d’E.T. (1.2) subira une rotation autour de
l’ordonnée à l’origine vers le bas. Le meilleur choix se situant à la fois sur cette droite et sur la
droite (1.3), la quantité de plutonium consommée va diminuer (cf. Figure 1.32).
m2
I p∗
I2∗
R
3
y = ax
R
p
R
2
.fr/
.free
O
Barres
Figure 1.32 : Meilleur choix d’E.T. avec hausse du prix du plutonium
Comme quoi, même en politique, il ne faut jamais être un « bleu »...
20) Si et seulement si sa consommation de plutonium après l’augmentation de prix est de plus de cinq
barres.
Exercice 14 : Dyslexie
Mett Ramniu consomme des litres de Caco-Calo en quantité x1 et des
litres de Pipse-Calo en quantité x2 . Les prix unitaires en euros, donnés pour Mett, de ces biens, sont
Université François Rabelais| 29-01-2017
43/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
respectivement p1 et p2 . Il a un revenu exogène, en euros, de R. Soit u :

2

 R+


−→ R+
,
u( x1 , x2 ) 7−→ x1 + x2
la fonction d’utilité de Mett.
1 – Quel est l’espace de consommation de Mett ?
2 – Écrivez l’équation de la contrainte budgétaire de Mett et tracez-la.
3 – Représentez, après une étude mathématique détaillée, la courbe d’indifférence de niveau u sur
le graphique précédent.
4 – Déterminez v, la fonction d’utilité indirecte de Mett. Commentez.
5 – Déterminez D1 , la demande marshallienne de Caco-Calo. Tracez-la.
6 – Déterminez H1 , la demande hicksienne de Caco-Calo. Tracez-la.
précis.
Solution :
1) X = R2+
rd
fava
scal.
7 – Déterminez e, la fonction de dépense de Mett. Commentez.

2
−→ R+

 R+
8 – Si la fonction d’utilité de Mett avait eu cette forme :
,


u( x1 , x2 ) 7−→ min{ x1 + x2 , 16}
quelle aurait été la différence, question par question, avec le problème précédent ? Soyez très
2) La contrainte budgétaire de Mett est :
p1 x1 + p2 x2 = R
p
La droite d’équation (1.1) est de pente − p12 , d’ordonnée à l’origine
R
p2
(1.1)
et d’abscisse à l’origine
R
p1 ,
droite violette (cf. Figure 1.33).
3) La courbe d’indifférence, Iu , de niveau u a pour équation x2 = u − x1 . Dans l’espace de consommation c’est une droite de pente −1, d’ordonnée et d’abscisse à l’origine u, droite bleue (cf. Figure 1.33).
Pour Mett les deux boissons sont des substituts parfaits.
litres de Pipse-Calo
R
p2
Iu
O
R
p1
u
.fr/
.free
u
litres de Caco-Calo
Figure 1.33 : Courbe d’indifférence de niveau u et contrainte budgétaire
Université François Rabelais| 29-01-2017
44/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
4) Le meilleur choix de Mett est :

R

0,


 p2
( x1∗ , x2∗ ) =
α, pR1 − α



 R ,0
si p1 > p2
h
si p1 = p2 et avec α ∈ 0,
R
p1
i
(1.2)
si p1 < p2 .
p1
Par définition v( p1 , p2 , R) = u( x1∗ ( p1 , p2 , R), x2∗ ( p1 , p2 , R)), dans notre cas étant donnée la fonction
∗
∗
d’utilité de Mett v( p
1 , p2 , R ) = x1 ( p1 , p2 , R ) + x2 ( p1 , p2 , R ), en utilisant (1.2) on a immédiate R si p ≥ p
2
1
ment : v( p1 , p2 , R) = p2
L’utilité indirecte est décroissante par rapport aux prix et
 R si p < p .
2
1
p1
croissante par rapport au revenu. Elle est homogène de degré zéro par rapport à ces trois variables.
rd
fava
scal.
5) En
 utilisant (1.2) on a obtient immédiatement la demande marshallienne de Caco-Calo :D1 ( p1 ; p2 , R) =

0
si p1 > p2


 h
i
∈ 0, pR2
si p1 = p2 Cette fonction est décroissante (cf. Figure 1.34). Celle de Pipse-Calo étant :



R
si p1 < p2 .
p1

R

si p1 > p2


 p2 h
i
D2 ( p2 ; p1 , R) = ∈ 0, pR
si p1 = p2
1



0
si p < p .
1
2
litres de Caco-Calo
R
p2
O
p1
p2
.fr/
.free
Figure 1.34 : Demande marshallienne de Caco-Calo
6) La demande hicksienne de Caco-Calo est la solution du programme « dual » suivant :
P Mett
Min p1 x1 + p2 x2
{ x1 ,x2 }
(1.3)
slc x1 + x2 ≥ u.
On a obtient immédiatement la demande hicksienne de Caco-Calo :



0
si p1 > p2


H1 ( p1 ; p2 , u) = ∈ [0, u] si p1 = p2



u
si p1 < p2 .
Université François Rabelais| 29-01-2017
45/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
Elle est décroissante (1.35). Celle de Pipse-Calo étant :


u


H2 ( p2 ; p1 , u) = ∈ [0, u]



0
si p1 > p2
si p1 = p2
si p1 < p2 .
litres de Caco-Calo
u
O
p1
p2
rd
fava
scal.
Figure 1.35 : Demande hicksienne de Caco-Calo
7) Par définition e( p1 , p2 , u) =
p1 H1 ( p1 ; p2 , u) + p2 H2 ( p2 ; p1 , u), en utilisant les demandes hicksienne
 p u si p ≥ p
2
2
1
on obtient : e( p1 , p2 , u) =
La fonction de dépense est croissante par rapport à
 p u si p ≤ p
2
1
1
toutes les variables. Elle est homogène de degré un par rapport aux prix.
8) Lorsque Mett a atteint un niveau d’utilité égal à 16, il ne peut plus augmenter sa satisfaction. La
« courbe » d’indifférence de niveau 16 (i.e. I16 ) est en fait une surface (cf. Figure 1.36). Comme le
niveau d’utilité ne décroît pas mais reste constant une fois atteint le niveau 16, les fonctions de
demandes marshalliennes sont inchangées. En revanche les demandes hicksiennes elles le sont. La
demande hicksienne de Caco-Calo est « bornée » par le niveau d’utilité 16, tout comme la demande
hicksienne de Pipse-Calo. Cela modifie donc la dépense qui elle est bornée par 16p2 si p1 ≥ p2 et
par 16p1 si p1 ≤ p2 .
litres de Pipse-Calo
16
O
R
p1
16
.fr/
.free
I16
R
p2
litres de Caco-Calo
Figure 1.36 : Courbe d’indifférence de Mett de niveau 16
Université François Rabelais| 29-01-2017
46/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
litres de Caco-Calo
16
u
O
p1
p2
Figure 1.37 : Nouvelle demande hicksienne de Caco-Calo
Illustration : « Pepsi, Coca et la bataille on sait depuis les travaux fondateurs du neu-
du cortex préfrontal » LesEchos.fr Yann Verdo rologue Antonio Damasio au milieu des années
01/12/2014 à 06:00.
1990 qu’elle est également nécessaire à la prise de
Etes-vous plutôt Pepsi ou Coca ? Quelle que décision. Ces patients cérébro-lésés se sont majo-
soit votre réponse, vous êtes convaincu d’une ritairement prononcés en faveur du Pepsi, tout
rd
fava
scal.
chose : ce n’est pas la marque, Pepsi ou Coca, comme le groupe témoin constitué de personnes
qui fait votre préférence, mais le goût, rien que le au cerveau intact. Mais, quand il a ensuite été
goût. Eh bien, détrompez-vous, car ce n’est pas procédé à une seconde dégustation, les marques
le cas. Ou plutôt, cela ne serait le cas que si vous étant cette fois apparentes, les deux groupes ont
aviez subi un traumatisme crânien ayant endom- divergé. Tandis que les patients cérébro-lésés
magé une certaine zone bien précise de votre ont maintenu leur préférence pour Pepsi, c’est
cerveau. Dans une expérience qui a fait date, pu- Coca qui a rallié les suffrages des sujets sains.
bliée en 2007 dans « Nature », les neurologues Quelle conclusion en tirer ? Que la simple vue de
américains Michael Koenigs et Daniel Tranel ont la marque Coca-Cola et l’ensemble d’émotions
fait déguster en aveugle les deux sodas à des pa- que celle-ci a suscitées dans le cerveau des sujets
tients présentant une lésion au niveau du cortex sains ont été assez puissantes pour modifier à
préfrontal ventro-médian (vmPFC pour les ini- leur insu leur perception et leur préférence ! Petiés), petite région du cerveau enfouie dans les tite précision : cette étude n’a pas été financée
profondeurs du lobe frontal, jouant un rôle im- par Pepsi...
portant dans le traitement des émotions et dont
Exercices théoriques
Exercice 15 : Relation de préférence
.fr/
.free
1.2
Supposons que la relation de préférence % soit rationnelle
et notons X l’ensemble de consommation.
1 – Donnez les deux propriétés que vérifie une relation de préférence rationnelle.
2 – Soit ~x, ~y, ~z ∈ X, montrez que si ~x ~y et ~y % ~z alors ~x ~z.
3 – Montrez que la relation est irréflexive et transitive.
4 – Montrez que la relation ∼ est réflexive, transitive et symétrique.
5 – Soit ~x, ~y ∈ X et u : X → R une fonction, montrez que si u(~x ) = u(~y) entraîne ~x ∼ ~y et que
Université François Rabelais| 29-01-2017
47/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
si u(~x ) > u(~y) entraîne ~x ~y alors u est une fonction d’utilité représentant la relation de
préférence %.
6 – Montrez que si f : R → R est une fonction strictement croissante et u : X → R est une fonction
d’utilité représentant la relation de préférence %, alors la fonction v : X → R définie par
v(~x ) = f (u(~x )), ~x ∈ X, est aussi une fonction d’utilité représentant la relation de préférence %.
7 – Donnez un exemple de préférences qui ne peuvent pas être représentées par une fonction
d’utilité.
Solution :
1) Soit X l’espace de consommation, la relation de préférence % est rationnelle si elle vérifie les deux
propriétés suivantes :
1 – Complétude : ∀(~x, ~y) ∈ X on a ~x % ~y et/ou ~x - ~y,
2 – Transitivité : ∀(~x, ~y, ~z) ∈ X si ~x % ~y et ~y % ~z, alors ~x % ~z.
2) Puisque ~x ~y implique ~x % ~y, la transitivité de la relation de préférence % entraîne que ~x % ~z.
Raisonnons par l’absurde : supposons que ~z % ~x. Puisque ~y % ~z, la transitivité de la relation de
rd
fava
scal.
préférence % entraîne que ~y % ~x. On a donc une contradiction avec : ~x ~y, on ne peut pas avoir
Exercice 16 : Propriétés correspondance de demande
.fr/
.free
~z % ~x et donc ~x ~z.
3) L’hypothèse de complétude implique : ∀~x ∈ X on a ~x % ~x. Donc @~x ∈ X tel que ~x ~x, la relation
est irréflexible. Supposons que ~x ~y et que ~y ~z, alors ~x ~y % ~z. En utilisant le résultat de la
question précédente on a : ~x ~z. La relation est donc transitive.
4) L’hypothèse de complétude implique : ∀~x ∈ X on a ~x ∼ ~x, la relation ∼ est donc réflexive.
Supposons que ~x ∼ ~y et que ~y ∼ ~z, alors ~x % ~y et ~y % ~x et ~y % ~z et ~z % ~y. La relation % étant
transitive, on a ~x % ~z et ~z % ~x. Donc ~x ∼ ~z, la relation ∼ est transitive. Supposons ~x ∼ ~y, alors
~x % ~y et ~y % ~x mais aussi ~y % ~x et ~x % ~y. Donc ~y ∼ ~x, la relation ∼ est symétrique.
5) Supposons que ~x % ~y. Si de plus ~y % ~x alors ~y ∼ ~x et donc u(~x ) = u(~y). Si au contraire on n’a pas
~y % ~x alors ~x ~y et alors u(~x ) > u(~y). On a donc montré que : ~x % ~y ⇒ u(~x ) ≥ u(~y). Supposons
à présent que u(~x ) ≥ u(~y). Si de plus u(~x ) = u(~y) alors ~x ∼ ~y et donc ~x % ~y. Si au contraire on
a u(~x ) 6= u(~y) et donc u(~x ) > u(~y), ce qui entraîne ~x ~y et donc ~x % ~y. On a donc montré que :
u(~x ) ≥ u(~y) ⇒ ~x % ~y. Donc u(·) est une fonction d’utilité représentant la relation de préférence %
puisque ∀(~x, ~y) ∈ X; u(~x ) ≥ u(~y) ⇔ ~x % ~y.
6) Soit (~x, ~y) ∈ X, puisque u(·) représente % : ~x % ~y ⇔ u(~x ) ≥ u(~y). Puisque f (·) est strictement
croissante u(~x ) ≥ u(~y) ⇔ v(~x ) ≥ v(~y), donc ~x % ~y ⇔ v(~x ) ≥ v(~y). La fonction v(·) est une
fonction d’utilité représentant aussi la relation de préférence %.
7) Préférences lexicographiques. Soit (~x, ~y) ∈ X, si x1 > y1 alors ~x ~y. Si x1 = y1 et x2 > y2 alors
~x ~y, etc.
Soit une fonction d’utilité continue,
L
u(·), représentant le relation de préférence % définie sur l’espace de consommation X = R+
L le vecteur des prix unitaires des
et vérifiant la propriété de non-satiété locale. On notera ~p ∈ R∗+
biens et R ∈ R+ , le revenu du consommateur. La correspondance de demande, notée ~x (~p, R), est
l’ensemble des meilleurs choix pour tous les vecteurs des paramètres possibles. Montrez que :
1 – ∀(~p, R) et α > 0 : ~x (α~p, αR) = ~x (~p, R),
Université François Rabelais| 29-01-2017
48/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
2 – ∀~x ∈ ~x (~p, R) : ~p · ~x = R,
3 – si % est convexe et donc que u(·) est quasi-concave alors ~x (~p, R) est un ensemble convexe,
4 – si % est strictement convexe et donc que u(·) est strictement quasi-concave alors ~x (~p, R) est
unique.
Solution :
L
L
1) ∀α > 0, on a : B~p,R = {~x ∈ R+
: ~p · ~x ≤ R} = {~x ∈ R+
: α~p · ~x ≤ αR} = Bα~p,αR , si
on multiplie par un réel strictement positif tous les paramètres du modèle on ne modifie pas
l’ensemble des paniers de biens financièrement accessibles. La fonction d’objectif du programme
du consommateur (i.e. u(·)) ne dépendant pas des paramètres, l’ensemble des meilleurs choix n’est
pas modifié : ~x (α~p, αR) = ~x (~p, R). La correspondance de demande est homogène de degré zéro.
2) Si ∃~x 0 ∈ ~x (~p, R) tel que ~p · ~x 0 < R, alors il existe un panier de bien ~x 00 suffisamment « proche »
de ~x 0 tel que : ~p · ~x 00 ≤ R et ~x 00 % ~x 0 , puisque la relation de préférence vérifie la propriété de
non-satiété locale. Ce qui contredit ~x 0 ∈ ~x (~p, R).
3) Soit deux meilleurs choix distincts ~x et ~x 0 , on a par construction u(~x ) = u(~x 0 ) = u∗ . Soit ~x 00 =
rd
fava
scal.
α~x + (1 − α)~x 0 avec α ∈ [0, 1], montrons que ~x 00 ∈ ~x (~p, R). Tout d’abord, notons que ~x 00 est
financièrement accessible. Puisque ~p · ~x ≤ R et ~p · ~x 0 ≤ R, on a : α~p · ~x + (1 − α)~p · ~x 0 ≤ αR + (1 −
α)R et donc ~p · (α~x + (1 − α)~x 0 ) ≤ R. Étudions la convexité de ~x (~p, R) :
i. si u(·) est quasi-concave alors u(α~x + (1 − α)~x 0 ) ≥ min{u(~x ), u(~x 0 )} = u∗ . Le panier ~x 00 est donc
bien un meilleur choix. ~x 00
ii. si u(·) est strictement quasi-concave alors u(α~x + (1 − α)~x 0 ) > min{u(~x ), u(~x 0 )} = u∗ . Ce qui
contredit le fait que ~x et ~x 0 soient des meilleurs choix. Si les préférences sont strictement convexes
et donc si la fonction d’utilité est strictement quasi-concave, ~x (~p, R) est un singleton.
Exercice 17 : À la chaîne
Soit un consommateur consommant L biens dont les ressources sont
égales à R. Dans cette économie le vecteur prix est noté ~p = ( p1 , · · · , p L ). Sa demande de bien `,
` ∈ [0, L], est notée x` (~p, R) et supposée de classe C 1 .
1 – À quoi est égale e`k (~p, R), l’élasticité prix croisée de la demande de bien ` par rapport au prix
du bien k, k ∈ [0, L] ?
2 – Montrez que :
e`k (~p, R) =
d ln ( x` (~p, R))
.
d ln pk
(1.1)
.fr/
.free
3 – À quoi est égale e`R (~p, R), l’élasticité revenu de la demande de bien ` ?
4 – Montrez que :
d ln ( x` (~p, R))
.
(1.2)
d ln R
5 – Un économètre de la société ABC onsulting vient vous voir et vous dit qu’il a estimé les
e`R (~p, R) =
paramètres (α1 , α2 , β) dans l’équation suivante :
x` (~p, R) = Ap1α1 p2α2 R β .
(1.3)
Pouvez-vous lui dire ce qu’il a en fait estimé ? Justifiez rigoureusement votre réponse.
Solution :
Université François Rabelais| 29-01-2017
49/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
∂x` (~p, R) pk
.
x` (~p,R)
∂pk
2) Notons que : ln x` (~p, R) = ln x` (eln p1 , · · · , eln p L , eln R ). Utilisons le théorème de dérivation des
1) Par définition : e`k (~p, R) =
fonctions composées parfois appelé règle de dérivation en chaîne ou règle de la chaîne :
∂x` (~p, R) ln pk
e
∂x (~p, R)
pk
d ln x` (~p, R)
∂pk
=
= `
= e`k (~p, R) .
d ln pk
x` (~p, R)
∂pk
x` (~p, R)
3) Par définition : e`R (~p, R) =
4) De la même façon on a :
∂x` (~p, R) R
.
x` (~p,R)
∂R
d ln x` (~p, R)
=
d ln R
∂x` (~p, R) ln R
e
∂x (~p, R)
R
∂R
= `
= e`R (~p, R) .
x` (~p, R)
∂R
x` (~p, R)
5) En utilisant (1.3) on obtient : ln x` (~p, R) = ln A + ln p1α1 + ln p2α2 + ln R β = ln A + α1 ln p1 +
α2 ln p2 + β ln R. En dérivant successivement ln x` (~p, R) par ln p1 , ln p2 et ln R et avec les égalités
rd
fava
scal.
(1.1) (1.2), on obtient :

α1 =
e`1 (~p, R)



 α2 = e`2 (~p, R)  .
β = e`R (~p, R)
Exercice 18 : Propriétés fonction d’utilité indirecte
Soit une fonction d’utilité continue, u(·),
L et vérifiant
représentant le relation de préférence % définie sur l’espace de consommation X = R+
L le vecteur des prix unitaires des biens et
la propriété de non-satiété locale. On notera ~p ∈ R∗+
R ∈ R+ , le revenu du consommateur. La fonction d’utilité indirecte est notée v(~p, R). Montrez
que :
1 – v(~p, R) est strictement croissante par rapport à R et non-croissante par rapport à p` , ∀` ∈ L,
2 – ∀(~p, R) et α > 0 : v(α~p, αR) = v(~p, R),
3 – v(~p, R) est quasi-convexe,
4 – v(~p, R) est continue en ~p et en R.
Solution :
.fr/
.free
1) Considérions ~x 0 ∈ ~x (~p, R) et R0 = R + e, e > 0. Étant donné la propriété de non-satiété locale
∃~x 00 ∈ ~x (~p, R0 ) suffisamment « proche » de ~x 0 tel que : ~x 00 ~x 0 et donc u(~x 00 ) > u(~x 0 ). On a alors
v(~p, R0 ) > v(~p, R), la fonction d’utilité indirecte est donc strictement croissante par rapport au
revenu. Pour une augmentation d’un des prix unitaires il suffit de faire la même démonstration.
Notez que par rapport au prix la fonction d’utilité indirecte est non-croissante, donc elle peut être
constante. Si un des biens n’est pas consommé, la correspondance de demande n’est pas modifiée
par l’augmentation de son prix. Pensez, par exemple, à deux biens parfaitement substituts. Ne sera
consommé que le bien dont le prix est le plus petit. Si le prix du bien non-consommé augmente
cela ne change pas le meilleur choix du consommateur.
L
L
2) ∀α > 0, on a : B~p,R = {~x ∈ R+
: ~p · ~x ≤ R} = {~x ∈ R+
: α~p · ~x ≤ αR} = Bα~p,αR , si
on multiplie par un réel strictement positif tous les paramètres du modèle on ne modifie pas
Université François Rabelais| 29-01-2017
50/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
l’ensemble des paniers de biens financièrement accessibles. La fonction d’objectif du programme
du consommateur (i.e. u(·)) ne dépendant pas des paramètres, l’ensemble des meilleurs choix
n’est pas modifié : ~x (α~p, αR) = ~x (~p, R). Or v(~p, R) = u(~x (~p, R)), la fonction d’utilité indirecte
est donc homogène de degré zéro par rapport au vecteur des paramètres du modèle.
3) Soit v > 0, supposons que max {v(~p, R), v(~p0 , R0 )} = v. Pour tout α ∈ [0, 1], notons (~p00 , R00 ) =
(α~p + (1 − α)~p0 , αR + (1 − α)R0 ). Montrons que v(~p00 , R00 ) ≤ v, ce qui établira la quasi-convexité
L : ~
de la fonction d’utilité indirecte. Soit B~p,R = {~x ∈ R+
p · ~x ≤ R} l’ensemble de paniers de
biens que le consommateur peut acquérir étant donné son revenu R et le vecteur des prix ~p.
Par construction B~p00 ,R00 ⊂ B~p,R ∪ B~p0 ,R0 , faites un dessin dans le cas de deux biens pour vous en
convaincre. ∀~x ∈ B~p00 ,R00 on a : soit u(~x ) ≤ v(~p, R) ≤ v, soit u(~x ) ≤ v(~p0 , R0 ) ≤ v, ou les deux
ensemble.
4) ~x (~p, R) étant hémi-continue supérieurement et u(·) étant continue, la continuité de la fonction
d’utilité indirecte est évidente.∀e > 0, ∃η > 0, ∀~x ∈ ~x (~p, R) : |~x − ~x 0 | < η ⇒ |u(~x ) − u(~x 0 )| < e,
avec ~x 0 ∈ ~x (~p0 , R0 ). Or |u(~x ) − u(~x 0 )| = |v(~p, R) − v(~p0 , R0 )|, donc la fonction d’utilité indirecte
est continue.
rd
fava
scal.
Exercice 19 : Surplus et niveau d’utilité
Un consommateur, consommant deux biens en quan-
tités x1 et x2 , a comme fonction d’utilité u( x1 , x2 ) = x1 + g( x2 ) ; g(·) ∈ C 2 est une fonction concave
croissante et g(0) = 0. Le prix du bien 2 est p > 0 et celui du bien 1 est normalisé à un. Le revenu
exogène de ce consommateur est R > 0.
1 – Comment est qualifié le bien 1 en économie ?
2 – De quel type est la fonction d’utilité u(·) ?
3 – Qu’implique l’hypothèse g(0) = 0 ?
4 – Écrivez le programme que doit résoudre ce consommateur pour trouver le(s) panier(s) de
consommation qu’il va acheter.
5 – Montrez que le surplus net généré par sa consommation de bien 2 est égal à l’utilité que lui
procure la consommation de son (ses) meilleur(s) choix.
6 – L’hypothèse que g(0) = 0 est-elle déterminante pour établir le résultat précédent ?
7 – Montrez que la variation compensatoire et la variation équivalente, pour une augmentation
potentielle de p, sont égales.
1) Le bien 1 est le numéraire.
2) La fonction d’utilité est quasi-linéaire.
.fr/
.free
Solution :
3) S’il ne consomme pas le bien 2, son utilité est égale à sa dépense dans le numéraire : u( x1 , 0) = x1 .
4) Le programme de ce consommateur est :
Pconsommateur
Max x1 + g( x2 )
{ x1 ,x2 }
(1.1)
slc x1 + px2 ≤ R.
dg( x2 )
est la disposition marginale à payer le bien 2 en unités de numéraire et g( x2 ) est la
dx2
disposition à payer x2 unités de bien 2, en unités de numéraire. La quantité de bien 2 achetée,
5) Ici
Université François Rabelais| 29-01-2017
51/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Consommation
a
://p
http
dg( x2∗ )
= p ; la CS2 est vérifiée étant donné les hypothèses
dx2
faites sur g(·). Autrement dit, il achète le bien 2 jusqu’au point où sa disposition marginale à payer
solution de (1.1), est donc telle que :
ce bien devient égale à son prix. Il sature sa contrainte budgétaire en dépensant le reste de son
revenu en bien numéraire. La demande individuelle de bien 2 ne dépend que de p et donc pas de
rd
fava
scal.
R. C’est une conséquence, qui va conduire au résultat recherché, du choix d’une fonction d’utilité
quasi-linéaire.
L’utilité du consommateur, consommant son meilleur choix, est : u(R − px2∗ , x2∗ ) = R − px2∗ +
g( x2∗ ) ; s’il ne consommait que du bien 1 son niveau d’utilité serait : u(R, 0) = R. L’utilité générée
par la consommation de x2∗ unités de bien 2 est donc égale à : u(·, x2∗ ) − u(·, 0) = u(R − px2∗ , x2∗ ) −
u(R, 0) = g( x2∗ ) − px2∗ .
Le surplus net du consommateur se définit comme la différence entre ce que le consommateur
est prêt à payer au maximum, en unités de bien numéraire, chacune des unités du bien 2 qu’il
consomme et le prix unitaire qu’il la paye sur le marché. Formellement, le surplus net, ici, est :
Z x∗
2 dg ( x2 )
∗
SCconsommateur =
− p dx2 = g( x2∗ ) − g(0) − px2∗ . Comme g(0) = 0 on a bien égalité
dx2
0
entre surplus et utilité. Le surplus est, dans le cas d’une fonction quasi-linéaire, l’évaluation exacte
du niveau d’utilité.
6) Non. L’utilité étant définie à une transformation croissante près. Cette hypothèse est posée par
commodité.
7) Les demandes hicksiennes, h1 (·) et h2 (·), sont solution de :
PDual
Min h1 + ph2
{h1 ,h2 }
(1.2)
slc h1 + g(h2 ) ≤ u
dg(h2∗ )
= p, et donc h1∗ = u − g(h2∗ ). La demande
dh2
hicksienne de bien 2 ne dépend pas du niveau d’utilité que le consommateur souhaite atteindre.
La CN1 de (1.2) après substitution donne :
Cette propriété vient de la forme quasi-linéaire de la fonction d’utilité. On a donc h1 ( p, u) et
h2 ( p). Soit e(·) la fonction de dépense de Lambda, on a par définition et en posant p0 > p :
VC = e( p0 , u) − e( p, u) = h1 ( p0 , u) + p0 h2 ( p0 ) − h1 ( p, u) + ph2 ( p) et VE = e( p0 , u0 ) − e( p, u0 ) =
h1 ( p0 , u0 ) + p0 h2 ( p0 ) − h1 ( p, u0 ) + ph2 ( p). On a VC − VE = h1 ( p0 , u) − h1 ( p, u) − h1 ( p0 , u0 ) + h1 ( p, u0 )
et en utilisant la CN1 de (1.2) on a : VC − VE = u − g(h20 ) − u + g(h2 ) − u0 + g(h20 ) + u0 − g(h2 ) = 0.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
52/256
Chapitre 2
Production
Sommaire
2.1
2.2
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Des CDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Complex Industrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Air Lot : trajectoire pas linéaire mais presque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
That’s all Folks ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Tourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Mais pas résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Économies de gamme : Toursgnole & Patiactol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
À l’université on travaille ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Il est libre Max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Irréversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Rendements et homogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Concave & Convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
Avant-propos : « Coûts des énergies renou- devraient donner lieu, de manière imminente,
velables » ADEME Décembre 2016. Extrait : « Le à des décisions. Bibendum doit d’abord dévoicoût de production est calculé sur une durée ler, d’ici à fin mars, son plan de réorganisation
de fonctionnement en pleine puissance hors ap- de l’ingénierie. L’objectif : rationaliser la concep-
point (électrique par exemple quand il s’agit tion et l’utilisation des machines nécessaires à la
des pompes à chaleur). Cette durée de fonction- fabrication des pneus Bibendum.
nement pleine puissance de l’équipement EnR
Alors que le groupe avait l’habitude maison
dépend de la qualité de la ressource renouve- de spécifier entièrement les équipements à ses
lable au site de production. Le coût ainsi cal- exigences souvent élevées, il veut développer
culé varie en fonction de la durée de vie éco- l’achat sur étagère, afin de réduire les coûts et de
nomique des installations et du taux d’actuali- simplifier la structure. Les syndicats s’attendent
sation choisi. Pour les EnR utilisant une source à un plan de restructuration dans les semaines à
d’énergie conventionnelle pour leur fonctionne- venir, qui pourrait potentiellement toucher plument (pompes à chaleur), il a été fait le choix de sieurs centaines d’emplois à Clermont-Ferrand.
ne prendre en compte aucune hypothèse d’évo- De même, des annonces d’économies sont atten-
rd
fava
scal.
lution de prix de l’électricité consommée sur la dues dans les services administratifs (finance,
durée de vie de l’installation. Le taux d’actualisa- informatique, juridique, communication...), dotion est le coût d’opportunité du capital investi, maine où le groupe avait indiqué en septembre
c’est-à-dire le rendement qu’il serait possible « manquer d’agilité ».
d’obtenir en investissant ailleurs le même capital.
Ce taux intègre une prime de risque lié au projet, qui traduit sa probabilité d’échec. A priori le
risque est différent selon les filières, notamment
du fait de leur maturité, et le taux d’actualisation
devrait donc être différent selon les filières. Par
exemple, nous obtenons un taux d’actualisation
autour de 13% pour retrouver le coût de production moyen résultant des appels d’offre de la
CRE pour l’éolien offshore sur la base des données européennes. Les investisseurs allemands
retiennent quant à eux un taux de 9% pour cette
en Allemagne qu’en France. »
vail
Bibendum ne compte pas s’arrêter pas là. Le
manufacturier poursuit aussi la rationalisation
de son activité poids lourds, qui pourrait aboutir à la fermeture de l’atelier « rechapage » de
La Combaude, près de Clermont – plus de 300
salariés –, ainsi qu’à la baisse de l’empreinte industrielle du groupe en Europe. Enfin, dans les
autres usines françaises de pneus tourisme, Michelin a engagé plusieurs négociations en vue
de signer des accords de flexibilité.
.fr/
.free
technologie, qui est relativement moins risquée
Assouplir l’organisation du temps de tra-
Après la signature d’un accord à Roanne, qui
a permis de sécuriser l’avenir du site en le recon« Michelin prépare une vaste offensive vertissant sur la production de pneus haut de
pour réduire ses coûts en France » LesEchos.fr gamme, le groupe a entamé des négociations à la
Maxime Amiot 9/02/2016 à 17:42.
Roche-sur-Yon (poids lourds) et a lancé, fin 2015,
En pleine guerre des prix, le groupe peau- des groupes de travail du même type à Vannes
fine une série de décisions pour combler le re- (Morbihan), Cholet (Vendée) et Montceau-lestard de compétitivité. On friserait presque l’em- Mines (Saône-et-Loire).
bouteillage. En ce début d’année, les sujets so-
L’objectif : assouplir l’organisation du temps
ciaux s’accumulent chez Michelin en France et de travail, afin de répondre rapidement aux
Université François Rabelais| 29-01-2017
54/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
changements de charges, tout en pérennisant
Reste que le président du groupe, Jean-
les sites. « Nous voulons passer par des négo- Dominique Sénard a fait de la compétitivité du
ciations locales, qui est le niveau le plus adapté site France sa priorité stratégique. Une démarche
pour bien prendre en compte les spécificités de qui vise à combler le retard par rapport aux réchaque site », indiquait début décembre Rémi férences du secteur – comme Continental, qui a
de Verdilhac, le patron France de Michelin. Une concentré sa production sur de gros sites, princistratégie qui suit l’échec, il y a deux ans, de la palement en Europe de l’Est.
mise en place d’un accord de compétitivité glo-
Guerre des prix
bal, signé par la CFDT et la CFE-CGC mais rejeté
par la CGT.
Combler le retard
La liste des chantiers est encore plus impres-
sionnante si l’on y ajoute les actions de ces dernières années (fermeture de l’usine de Joué-lès-
Tours en 2013, restructuration dans la logistique
face à une véritable guerre des prix, attisée par
la chute des cours du caoutchouc (-25% en 2015).
Les analystes s’attendent à ce que le résultat 2015
du manufacturier soit amputé de 100 millions
d’euros du fait de baisses de prix supérieures
aux gains générés par les achats de matières pre-
rd
fava
scal.
en 2014, fermeture de trois usines poids lourds
Michelin doit aujourd’hui accélérer car il fait
européennes en novembre 2015). « Nous n’avons
jamais eu autant de dossiers en si peu de temps.
Pour un groupe de notre culture, c’est excep-
tionnel », juge Patrick Bovolenta, de la CFDT.
mières ou l’amélioration du mix produits (pneus
de grande taille. . . ), alors que le différentiel de-
vait être positif en début d’année...
De quoi mettre sous tension l’entreprise alors
Michelin est pourtant loin d’être aux abois. Il que la concurrence se durcit. Symbole parmi
devrait publier, la semaine prochaine, un résul- d’autres, les coréens Hankook – qui vient d’augtat opérationnel proche de 2,2 milliards d’euros menter la capacité de son site en Hongrie – et
pour 2015, selon le consensus, maintenir un ni- Nexen – qui construit sa première usine euroveau de cash-flow attractif et profiter du rebond péenne en République tchèque – commencent à
du marché européen des pneus tourisme.
2.1
venir chasser sur les terres du groupe...
Exercices appliqués
L’entreprise Cobb-Douglas & Sons produit des CDs en utilisant du
.fr/
.free
Exercice 20 : Des CDs
capital k, dont le prix unitaire est pk et du travail l, dont le prix unitaire est pl . Sa fonction de
production f (k, l ) = Akα l β avec A, α et β des réels strictement positifs.
1 – Comment sont les rendements d’échelle dans cette industrie ?
2 – Étudiez et dessinez avec une très grande rigueur des courbes d’isoproduction.
3 – Calculez et étudiez la fonction de coût de cette entreprise.
4 – Dessinez sur le graphique précédent le sentier d’expansion si α = β et si pl = 2pk .
5 – Supposons que Cobb-Douglas & Sons vende ses CDs sur un marché concurrentiel. Le prix
unitaire de cet output est noté p, calculez la fonction d’offre de l’entreprise.
Solution :
Université François Rabelais| 29-01-2017
55/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
1) Cela va dépendre des valeurs de α et β. Calculons f (εk, εl ) avec ε réel strictement plus grand que
un :
f (εk, εl ) = A (εk)α (εl ) β = Aεα+ β kα l β = εα+ β f (k, l )
(2.1)
la fonction de production est donc homogène de degré α + β, l’exposant du coefficient multiplicateur. Si on a :
α + β < 1 ⇒ f (εk, εl ) < ε f (k, l ) les rdts sont décroissants,
α + β = 1 ⇒ f (εk, εl ) = ε f (k, l ) les rdts sont constants,
α + β > 1 ⇒ f (εk, εl ) > ε f (k, l ) les rdts sont croissants.
2) Étudions l’isoquante de niveau q qui a pour équation :
q α1
Ak l = q ⇔ k (l; q) =
Al β
α β

















(2.2)
Lim l →0 k(l; q) = +∞ et Lim l →+∞ k (l; q) = 0
rd
fava
scal.
donc :
dk(l;q)
dl
=
d
q
Al β
dl
1
α
= − αβ
q α1 − α+ β
l α
A
<0


dk (l;q)
dk(l;q)


avec Lim l →0 dl = −∞ et Lim l →+∞ dl = 0








1

α
q

2
d
1 2α+β
2
2

d k(l;q)

Al β
=
= αβ+ β q α l − α > 0.
dl 2
dl 2
α2
A
Les isoquantes sont des courbes décroissantes et convexes. Résumons ces calculs dans le tableau
de variations (cf. Table 2.1) :
l
0
k0 (l; q)
−∞
+∞
−
k00 (l; q)
0
+
+∞
k (l; q)
0
.fr/
.free
Tableau 2.1 : Tableau de variations de (2.2)
3) Pour déterminer la fonction de coût, il faut minimiser la dépense sous la contrainte technologique.
Le programme que l’entreprise CDs doit résoudre est :
PCDs
Min pk k + pl l
{k,l }
slc q = f (k, l ),
(2.3)
ce qui est équivalent à égaliser le TmST au rapport des prix puisque le problème (2.3) est concave
et donc sa solution est unique et intérieure. Calculons tout d’abord la productivité marginale Pm
Université François Rabelais| 29-01-2017
56/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
k
Sentier d’expansion
6
2
O
1
l
3
Figure 2.1 : Isoquantes CDs
des deux inputs :

∂ f (·)



= αAkα−1 l β
Pmk (.) =


∂k
rd
fava
scal.
(2.4)



∂ f (·)

 Pml (.) =
= βAkα l β−1
∂l
ce qui implique que le TmST est :
TmST (·) =
et donc :
Pml (·)
βAkα l β−1
βk
dk
(·) = −
=−
=−
β
α
−
1
dl
Pmk (·)
αl
αAk l
(2.5)
βk
p
=− l
αl
pk
αpl
⇒k=
l
βpk
en remplaçant k donné par (2.6) dans la fonction de production on a :
αpl
αpl α β
f
l, l = A
l l =q
βpk
βpk
−
⇒ l ( pl ; pk , q) =
avec (2.6) donc :
αpl
βpk
q
A
βpk
αpl
α α+1 β
(2.7)
β ! α+1 β
.fr/
.free
k ( pk ; pl , q) =
q
A
(2.6)
(2.8)
Les fonctions définies par (2.8) et (2.7) sont les fonctions de demandes conditionnelles de facteurs.
Les deux inputs sont bien substituts puisque la demande conditionnelle de travail (capital) est
décroissante (croissante) par rapport au prix du travail et croissante (décroissante) par rapport au
prix du capital.
Pour calculer la fonction de coût C (q) il suffit d’utiliser (2.8) et (2.7) dans la dépense pk k + pl l,
donc :
C (q; pk , pl ) = C (q) =
q
1
α+ β
A
Université François Rabelais| 29-01-2017

 pk
αpl
βpk
β
α+ β
+ pl
βpk
αpl
α
α+ β

=B
q
A
1
α+ β
(2.9)
57/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
β
α+ β
α
α+ β
a
://p
http
avec B = pk
αpl
βpk
βpk
αpl
+ pl
.
Etudions cette fonction de coût, on notera Cm(·) la fonction de coût marginal :


C (0) = 0 et Lim q→+∞ C (q) = +∞








1 1−(α+β)


dC (q)

B
1 α+ β

q α+ β > 0
=
Cm
(
q
)
=

α+ β A

dq









0
si
α
+
β
<
1



 +∞ si α + β < 1

B
B


Lim q→0 Cm(q) =
et Lim q→+∞ Cm(q) =

A si α + β = 1
A si α + β = 1








+∞ si α + β > 1
0 si α + β > 1








 > 0 si α + β < 1 ; C (q) convexe
1 1−2( α + β )
2 C (q)

d

α
+
β
1
−(
α
+
β
)


=
B A1
q α+β et donc :
= 0 si α + β = 1 ; C (q) linéaire

2

( α + β )2

dq



< 0 si α + β > 1 ; C (q) concave
rd
fava
scal.
q
0
Cm(q)
0
C 00 (q)
+∞
+
+∞
+
+∞
C (q)
0
Tableau 2.2 : Tableau de variations de (2.9) si α + β < 1
q
+∞
0
Cm(q)
B
A
C 00 (q)
0
+∞
C (q)
0
q
0
Cm(q)
+∞
C 00 (q)
.fr/
.free
Tableau 2.3 : Tableau de variations de (2.9) si α + β = 1
+∞
+
−
0
+∞
C (q)
0
Tableau 2.4 : Tableau de variations de (2.9) si α + β > 1
Université François Rabelais| 29-01-2017
58/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
4) Le sentier d’expansion est donné par (2.6) et a pour équation, sous les hypothèses de la question :
k (l ) = 2l
(2.10)
C’est une droite affine de pente 2, (cf. Figure 2.1).
5) Le programme PCDs de l’entreprise concurrentielle est :
PCDs
Max Π(q) = R(q) − C (q) = pq − B
q
1
α+ β
(2.11)
A
{q}
CN1 :
dΠ(q)
dq
= 0 ⇔ p−
∗
sinon q∗ = 0 si p <
B
A
B
α+β
1
A
1
α+ β
q
"
1− α − β
α+ β
=0⇔q=
et q∗ ∈ ]0, +∞[ si p =
CS2 :
1
A
Si p >
1
α+ β
q
B
A
1−2( α + β )
α+ β
1
A
−
# 1−α+α−β β
1
α+ β
p
si α + β 6= 1
le programme PCDs n’a pas de solution.
(
et donc :
< 0 si α + β < 1
> 0 si α + β > 1
rd
fava
scal.
d2 Π ( q )
1 − (α + β)
=−
B
2
dq
( α + β )2
B
A.
(α + β)
B
d2 Π ( q )
≤ 0) si et seulement si les rendements d’échelle ne sont pas
dq2
croissants. Si les rendements sont croissants le profit est croissant avec la quantité produite. L’offre
la CS2 est vérifiée (i.e.
est donc indéterminée, mais le marché ne peut pas être concurrentiel. Si les rendements sont
croissants, cela conduit au regroupement des unités de production, le contraire de l’atomicité.
Plaçons nous dans le seul cas réaliste 1 étant donné l’hypothèse de concurrence pure et parfaite.
On a dans ce cas :
"
SCDs ( p) =
(α + β)
B
1
A
−
# 1−(α+α+β β)
1
α+ β
p
avec α + β < 1
(2.12)
.fr/
.free
Étudions cette fonction d’offre :


SCDs (0) = 0 et Lim p→+∞ s( p) = +∞








α+ β


− 1 1−(α+β) 2(α+β)−1

dS
(
p
)
α+ β
α
+
β
α
+
β

(
)
CDs
1

= 1− α − β
p 1−(α+β) > 0

B
A

dp






0 si α + β > 12





dS
( p)

avec Lim p→0 CDs
=
cste si α + β = 12

dp


+∞ si α + β < 12








α+ β


− 1 1−(α+β) 3(α+β)−2
2S

d
(
p
)

α
+
β
2
α
+
β
1
α
+
β
α
+
β
(
(
)−
)(
)
(
)
CDs
1


=
p 1−(α+β)

B
A
(1− α − β )2

dp2








courbe convexe si α + β > 12 et concave sinon.
1. Dans le cas de rendements constants, l’étude de la fonction d’offre est triviale.
Université François Rabelais| 29-01-2017
59/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
CDs
CDs
SCDs ( p; pl , pk )
SCDs ( p; pl , pk )
qe
O
qe
p
(a) α + β <
p
O
pe
pe
1
2
(b) α + β =
1
2
CDs
rd
fava
scal.
SCDs ( p; pl , pk )
qe
p
O
pe
(c)
1
2
< α+β < 1
Figure 2.2 : La courbe d’offre CDs
Exercice 21 : Complex Industrie
Complex Industrie produit du Zéon, z, en utilisant du Xéon,
x et du Yaenpasbcp, y. La fonction de production de Complex Industrie est :
z = f ( x, y) = max {0,
√
xy − a} ,
(2.1)
avec a > 0. Le vecteur des prix est ~p = ( pz , p x , py ) dans ce secteur concurrentiel.
.fr/
.free
1 – Déterminez les fonctions de coût moyen et de coût marginal de Complex Industrie si la quantité
de Yaenpasbcp est fixée à ȳ > 0, lorsque Complex Industrie produit.
2 – Déterminez les fonctions de coût moyen et de coût marginal de Complex Industrie à long terme.
3 – Représentez les fonctions de coûts trouvées dans toutes les questions précédentes sur un même
graphique. Portez une très grande attention aux points de tangence, d’intersection et aux
asymptotes. Commentez.
Solution :
1) À court terme la quantité de Yaenpasbcp est fixée, (2.1) peut être réécrite :
p
z = f ( x, ȳ) = max 0, x ȳ − a ,
Université François Rabelais| 29-01-2017
(2.2)
60/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
et donc la demande d’input est :

 (z+a)2 , si z > 0,
ȳ
x (z, p x , py ) =
0 sinon.
(2.3)
La fonction de coût de court terme, C ct (z, p x , py ) est donc en substituant la demande d’input dans
la dépense :
C ct (z, p x , py ) =

p
x
( z + a )2
ȳ
+ py ȳ, si z > 0,
(2.4)
0, sinon.
En utilisant (2.4), on obtient la fonction de coût marginal de court terme, Cmct (z, p x , py ), et la
fonction de coût moyen de court terme, CMct (z, p x , py ) :
dC ct (z, p x , py )
2p x (z + a)
=
, z 6= 0,
dz
ȳ
(2.5)
C ct (z, p x , py )
(z + a)2 py ȳ
= px
+
, z 6= 0.
z
zȳ
z
(2.6)
Cmct (z, p x , py ) =
et
rd
fava
scal.
CMct (z, p x , py ) =
La courbe de coût marginal de court terme est une droite croissante ayant pour pente :
ordonnée à l’origine :
2ap x
ȳ .
2p x
ȳ
et pour
Étudions la courbe de coût moyen de court terme :
p x z2 − a2 − py ȳ2
dCMct (z, p x , py )
=
dz
ȳz2
dCMct (z, p x , py )
⇒
≥ 0 ⇔ p x z2 − a2 − py ȳ2 ≥ 0
dz
s
py ȳ2
⇒z≥
+ a2 ,
px
cette courbe est donc décroissante puis croissante. Elle atteint son minimum lorsque z = z2 , avec :
s
py ȳ2
z2 =
+ a2 .
px
Cette courbe est convexe :
.fr/
.free
d2 CMct (z, p x , py )
2 a2 p x + ȳ2 py
=
> 0.
dz2
ȳz3
Vérifions que la courbe de coût marginal de court terme passe par le minimum de la courbe de
coût moyen de court terme, z2 .
r
py
px
CMct (z2 , p x , py ) = p x
r
ȳ
s
=
2p x 
ȳ
ȳ2
ȳ2

!2
+ a2 + a
py ȳ2
px
+r
+ a2
py ȳ
py ȳ2
px
+ a2
py
2p x (z2 + a)
+ a2 + a  =
= Cmct (z2 , p x , py ).
px
ȳ
Université François Rabelais| 29-01-2017
61/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
2) Le programme de minimisation des dépenses de Complex Industrie, si xy > a2 , est :
Min p x x + py y
{ x,y}
PComplex
slc z =
√
(2.7)
xy − a
Deux méthodes peuvent être utilisées, soit en passant par le lagrangien soit par substitution de
( z + a )2
, donc (2.7) se réécrit :
qy
p
(z+ aq
)2
a) pyx , donc x =
px =
(z+ a)
la contrainte technologique dans la fonction d’objectif : (2.1)⇒ x =
( z + a )2
( z + a )2
Min {y} p x y + py y. La CN1 : − p x y2 + py = 0 ⇔ y = (z +
q
p
(z + a) pyx . Les fonction de demande d’input sont :
x (z, p x , py ) =
y(z, py , p x ) =

q
(z + a) py si z > 0,
px
py
(2.8)
0 sinon,

q
(z + a) px si z > 0,
py
(2.9)
0 sinon.
rd
fava
scal.
La fonction de coût de long terme, C lt (z, p x , py ) est donc en substituant les demandes d’input dans
la dépense :
C lt (z, p x , py ) =

q
q
 p x (z + a) py + py (z + a) px = 2(z + a)√ p x py si z > 0,
px
py
(2.10)
0 sinon.
En utilisant (2.10), on obtient la fonction de coût marginal de long terme, Cmlt (z, p x , py ), et la
fonction de coût moyen de long terme, CMlt (z, p x , py ) :
Cmlt (z, p x , py ) =
et
dC lt (z, p x , py )
√
= 2 p x py , z 6= 0,
dz
(2.11)
C lt (z, p x , py )
z+a √
CM (z, p x , py ) =
=2
p x py , z 6= 0.
(2.12)
z
z
Le coût marginal de long terme est constant et la courbe de coût moyen de long terme est délt
croissante et convexe puisque c’est une branche d’hyperbole. Cette branche d’hyperbole à pour
asymptotes : l’axe des ordonnées et la courbe de coût marginal de long terme.
.fr/
.free
3) Montrons que le coût moyen de court terme est toujours supérieur ou égal -on notera z1 l’intersection des courbes de coût moyen- au coût moyen de long terme :
(z1 + a)2 py ȳ
z1 + a √
CM (z1 , p x , py ) ≥ CM (z1 , p x , py ) ⇔ p x
+
≥2
p x py
z1 ȳ
z1
z1
√
√
√ 2
⇔ p x (z1 + a)2 + py ȳ2 ≥ 2 (z1 + a) ȳ p x py ⇔ (z1 + a) p x − ȳ py ≥ 0
r
py
⇒ z1 = ȳ
− a.
px
ct
lt
q
2
p
ȳ pyx − a + a
py ȳ
2ȳpy
q
q
q
⇒ CMct (z1 , p x , py ) = p x
+
=
p
p
p
ȳ2 pyx − ȳa
ȳ pyx − a
ȳ pyx − a
Université François Rabelais| 29-01-2017
62/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
Montrons qu’en z1 les deux courbes sont tangentes :
dCMct (z1 , p x , py )
dCMlt (z1 , p x , py )
=
dz
dz
√
−2a p x py
py ȳ
2(z1 + a)z1 ȳ − ȳ(z1 + a)2
− 2 =
⇔ px
(z1 ȳ)2
z1
z21
√
⇔ p x (z1 − a)(z1 + a) = −2aȳ p x py + py ȳ2
√ √
√
√
⇔ ȳ py − 2a p x ȳ py = −2aȳ p x py + py ȳ2 .
La courbe de coût moyen de long terme est l’enveloppe convexe des courbes de coût moyen de
court terme.
rd
fava
scal.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
63/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
=
C/u
rd
fava
scal.
2ȳp
qp y
y
ȳ p x − a
2p x
ȳ
r
py ȳ2
px
Cmct (z)
CMct (z)
•
!
+ a2 + a
•
√
2 p x py
CMlt (z)
Cmlt (z)
2ap x
ȳ
ȳ
q
py
px
−a
r
.fr/
.free
O
z
py ȳ2
px
+ a2
Figure 2.3 : Courbes de coûts de Complex Industrie
Exercice 22 : Air Lot : trajectoire pas linéaire mais presque
sa fonction de production a la forme suivante :
f ( A, L) =
√
A+L
Considérons l’entreprise Air Lot,
où ( A, L) sont les quantités de facteurs utilisées, avec p A > 0 et p L > 0 les prix unitaires de ces
Université François Rabelais| 29-01-2017
64/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
inputs.
1 – Comment appelle-t-on ce type de fonction de production ?
2 – Étudiez et dessinez avec une très grande rigueur des courbes d’isoproduction.
3 – Déterminez et étudiez les fonctions de demandes conditionnelles de facteurs.
4 – Dessinez les courbes associées à ces demandes conditionnelles dans le cas q = 100 et p A =
p L = 1.
5 – Déterminez le sentier d’expansion et tracez-le sur le premier graphique.
6 – Calculez, étudiez et dessinez la fonction de coût C (·) d’Air Lot.
7 – Calculez la fonction d’offre S(·) d’Air Lot.
Solution :
1) Quasi-linéaire.
2) Étudions l’isoquant de niveau q qui a pour équation :
√
A + L = q ⇔ L( A; q) = q −
√
A
rd
fava
scal.


A=0⇒L=q





L = 0 ⇒ A = q2








 dL( A; q)
1
= − 12 A− 2 ≤ 0 courbe décroissante
donc :
dA


1

avec Lim A→0 L0 ( A; q) = −∞ et Lim A→q2 L0 ( A; q) = − 2q









2


 d L( A; q) = 1 A− 23 ≥ 0 courbe convexe
4
dA2
Ces calculs peuvent être synthétisés dans le tableau de variation (cf. Table 2.5).
A
0
L0 ( A; q)
−∞
L00 ( A; q)
q2
1
− 2q
−
+
q
L( A; q)
0
.fr/
.free
Tableau 2.5 : Tableau de variations
Université François Rabelais| 29-01-2017
65/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
L
sentier d’expansion
∂C p L ,p A ,c
q
•
• 2
Lq
O
•
q2
A
pL
2p A
Figure 2.4 : Isoquantes d’Air Lot
3) Pour déterminer la fonction de coût d’Air Lot, il faut minimiser sa dépense sous la contrainte
technologique. Le programme P1 que l’on doit résoudre est :
rd
fava
scal.
P1
Min p A A + p L L
{ A,L}
(2.1)
slc q = f ( A, L)
Les isoquantes coupent les axes (cf. Figure 2.4). Potentiellement, il peut donc y avoir des solutions
en coin, bien que les isoquantes soient strictement convexes. Il faut donc envisager que A∗ ou que
L∗ puissent être nuls. En fait, avec la fonction de production choisie, A∗ ne peut pas être égal à zéro.
L’étude des isoquantes (cf. Table 2.5) a montré que le TmST, lorsque la quantité utilisée d’input A
tend vers zéro, était infiniment négatif. Air Lot est prêt à renoncer à une « très grande » quantité
d’input L pour pouvoir utiliser sa première unité d’input A. La valeur « interne à l’entreprise » de
la première unité de A en terme d’unités de L est « infinie ». Pour qu’Air Lot n’utilise aucune unité
d’input A, il faudrait, sur le marché, que le prix de l’input L soit nul. Ceci est exclu puisque p L > 0.
Graphiquement (cf. Figure 2.4), la courbe d’isocoût, C p L ,p A ,c , devrait être verticale. Il ne reste donc
que deux types de solutions possibles à P1 .
i. Si la solution est intérieure, elle vérifie l’égalité du TmST au rapport de prix en valeur absolue :
1
√
dL
pA
pA
pL 2
2 A
=−
⇔
=
⇔A=
(2.2)
dA
pL
1
pL
2p A
.fr/
.free
en utilisant la fonction de production, on obtient :
pL
pL
avec q >
L = q−
2p A
2p A
ii. Si la solution est une solution en coin (i.e. L = 0) on a :
A = q2
Les demandes conditionnelles de facteurs sont donc, en utilisant (2.2) et (2.3) :



 0 si p L ≥ 2qp A
L( p L ; p A , q) =


 q − p L sinon
2p A
Université François Rabelais| 29-01-2017
(2.3)
(2.4)
66/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
A( p A ; p L , q) =

q2 si p A ≤






L(·) est donc une droite décroissante de pente
−1
2p A .
pL
2p A
2
pL
2q
(2.5)
sinon
A(·) est décroissante puisque
∂A(·)
p2
= − 2pL3 <
∂p A
A
∂2 A(·)
3p2L
=
> 0. La demande d’input A admet les axes comme asymptotes.
2p4A
∂p2A
4) En utilisant les valeurs des paramètres, (2.4) et (2.5) on a :
0 et convexe puisque
A
L
DL ( p L ; q = 100, p A = 1)
O
D A ( p A ; q = 100, p L = 1)
100
rd
fava
scal.
100
pL
200
O
1
20
(a) Input L
pA
(b) Input A
Figure 2.5 : Demandes conditionnelles d’inputs : Air Lot
5) Le sentier se déduit des calculs précédents :
( A(·), L(·))∗ =


(q2 , 0) si q ≤







pL
2p A
2
pL
2p A
,q−
pL
2p A
(2.6)
sinon
.fr/
.free
Pour une « petite » production AL n’utilise que l’input A. Un certain niveau de production atteint, sa
consommation d’input A est constante et l’accroissement de production est généré par l’utilisation
de l’input L.
6) En utilisant (2.2) et (2.3) dans la dépense p L L + p A A, on obtient la fonction de coût :
C (q; p A , p L ) =

2


 p A q si q ≤


 p q−
L
p2L
4p A
pL
2p A
(2.7)
sinon
Etudions cette fonction de coût (2.7), on notera Cm(·) la fonction de coût marginal :
Université François Rabelais| 29-01-2017
67/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http

C (0) = 0 et Lim q→+∞ C (q) = +∞










p



2p A q si q ≤ 2pLA





dC (q)


≥ 0, la fonction est croissante

 dq = Cm(q) = 

 p sinon
L








p



2p A si q ≤ 2pLA



2


d C (q)


≥ 0, la fonction est convexe
=

2


dq



 0 sinon
La fonction de coût est strictement convexe pour tout niveau de production inférieur à q̃ =
pL
2p A
et
au-delà elle est linéaire. Il n’est pas surprenant de trouver ce type de fonction de coût étant donnée
la forme des isoquantes. Jusqu’à q̃, Air lot n’utilise que l’input A qui « rentre » dans la production
de façon non linéaire. Au-delà de q̃, la quantité d’input A est constante et la production augmente
rd
fava
scal.
qu’avec l’accroissement de la quantité d’input L utilisée, qui elle entre de façon linéaire dans la
fonction de production.
euros
C (q; p A , p L )
p2L
4p A
pL
4p A
pL
2p A
q
.fr/
.free
O
Figure 2.6 : Courbe de coût d’Al
7) Air Lot maximise son profit, elle doit donc résoudre la programme, P AirLot , suivant :
P AirLot
Max Π(q) = R(q) − C (q)
{q}
(2.8)
La fonction de coût (2.7) est en deux parties, le programme P AirLot donc être résolue en deux
temps :
Université François Rabelais| 29-01-2017
68/256
c Pascal FAVARD
pL
2p A
a
://p
http
i. si q ≤
Exercices de Microéconomie : Production
dΠ(q)
= p − 2p A q = 0 ⇔ q = 2ppA
dq
d2 Π ( q )
CS2 :
= −2p A < 0
dq2
p
La CS2 étant vérifiée, alors S( p) = 2p A ≤
CN1 :
pL
2p A
et donc : S( p) =
p
2p A
si p ≤ p L .
Si le prix de l’input L est « élevé » l’entreprise ne l’utilise pas et sa fonction d’offre est linéaire.
ii. si q >
pL
2p A
dΠ(q)
= p − pL
dq
La fonction de coût est dans ce cas linéaire. Si p = p L alors l’entreprise peut produire n’importe
CN1 :
quelle quantité supérieure à
pL
2p A
et sinon elle a intérêt à produire la plus grande quantité possible,
l’offre est donc indéterminée.
Exercice 23 : That’s all Folks !
La fonction de coût de l’entreprise grecque Acmé est C (q) =
aq2 + b, q étant la quantité d’output qu’elle produit et ( a, b) un couple de réels strictement positifs.
rd
fava
scal.
Le marché de l’output est concurrentiel et le prix unitaire de l’output est noté p.
1 – Déterminez les fonctions de coût : moyen, CM (q) ; marginal, Cm(q) ; fixe, CF ; variable, CV (q) ;
variable moyen, CV M(q).
2 – Calculez les seuils de fermeture et de rentabilité d’Acmé.
3 – Donnez l’expression de la fonction d’offre, S( p). Représentez graphiquement tout ce que vous
venez de calculer.
Solution :
dC (q)
= 2aq ; CF = b ; CV (q) = aq2 ; CV M(q) = CVq(q) = aq.
dq
2) Le seuil de fermeture est le minimum, noté s f , du coût variable moyen. Ce minimum est atteint
1) CM (q) =
C (q)
q
= aq + qb ; Cm(q) =
pour q = 0, donc s f = 0. Le seuil de rentabilité est le minimum, noté sr , du coût moyen. Ce
q
√
dCM (q)
b
minimum est atteint pour q solution de :
= 0 ⇒ a − q2 = 0 ⇒ q = ba . Donc sr = 2 ab
dq
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
69/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
=
C/u
=
C
Légende
Cm(q)
CM (q)
CV M(q)
CF
CV (q)
S −1 ( q )
√
sr = 2 ab
O
q
b
q
b
a
O
q
q
b
a
(a)
(b)
Figure 2.7 : Courbes de coûts d’Acmé
rd
fava
scal.
Exercice 24 : Tourse
La fonction de coût de production de l’entreprise Tourse est donnée par
la relation suivante :
1 2
q +2
2
1 – Définir, calculer et représenter les fonctions de coût.
C (q) =
(2.1)
2 – Sommes-nous à court terme ou à long terme, pourquoi ?
3 – Calculer, après les avoir définis, les seuils de fermeture et de rentabilité.
4 – Déterminer la fonction d’offre de Tourse.
5 – Calculer, pour les trois situations de prix de vente unitaire suivantes, le profit dégagé par
Tourse :
i) p = 1,
ii) p = 2,
iii) p = 3.
Solution :
1) En utilisant (2.1) :
.fr/
.free
le coût marginal, Cm(·), c’est le coût de la dernière unité produite :
Cm(q) =
dC (q)
= q,
dq
le coût moyen, CM (·), c’est le coût par unité produite :
CM (q) =
C (q)
q 2
= + ,
q
2 q
le coût fixe, CF (·), c’est la partie du coût total indépendante du niveau de production :
CF = 2,
Université François Rabelais| 29-01-2017
70/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
le coût variable, CV (·), c’est la partie du coût total qui dépend du niveau de production :
CV (q) =
1 2
q ,
2
le coût variable moyen, CV M(·), c’est le coût variable par unité produite :
CV M(q) =
q
CV (q)
= ,
q
2
le coût fixe moyen, CFM(·), c’est le coût fixe par unité produite :
CFM(q) =
CF
2
= .
q
q
On ne peut pas représenter toutes ces fonctions sur un même graphique puisque les unités sont
différentes.
=
C/u
=
C
rd
fava
scal.
C (q)
CV (q)
CM(q)
Cm(q)
CV M(q)
2
2
CF (q)
O
CFM (q)
q
O
2
(a)
q
(b)
Figure 2.8 : Courbes de coûts de Tourse
2) Nous sommes à court terme puisqu’il y a des coûts fixes.
3) Le seuil de fermeture c’est le minimum du coût variable moyen, ici ce minimum est atteint en
.fr/
.free
q = 0. Le seuil de rentabilité c’est le minimum du coût moyen, ici il est atteint lorsque :
dCM (q)
1
2
= − 2 =0
dq
2 q
⇔
1
2
= 2 ⇔ q2 = 4 ⇒ q = 2
2
q
Le seuil de fermeture pSF et le seuil de rentabilité pSR en utilisant la fonction Cm(·), par exemple,
sont : pSF = 0 et pSR = 2.
4) Le programme PTourse de maximisation du profit de Tourse est :
PTourse
1
Max Π(q) = R(q) − C (q) = pq − q2 − 2
2
{q}
Université François Rabelais| 29-01-2017
(2.2)
71/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
la CN1 est donc :
dΠ(q)
dC (q)
= p−
= p − Cm(q) = p − q = 0 ⇒ q = p
dq
dq
et la CS2 est :
d2 Π ( q )
= −1 < 0
dq2
Comme la fonction de profit est strictement concave (CS2 vérifiée) et que le seuil de fermeture est
zéro, la fonction d’offre, S(·), de Tourse est :
S( p) = q
(2.3)
Le niveau de profit de Tourse, lorsque cette entreprise produit la quantité d’output qui maximise
son profit est donc :
(2.4)
rd
fava
scal.
1
1
Π ( p ) = p2 − C ( p ) = p2 − p2 − 2 = p2 − 2
2
2
Le profit est une fonction croissante du prix de l’output.
5) En utilisant (2.4) on a Π(0) = −2 et :
i. dans ce cas q∗ = 1 et donc Π∗ =
1
2
4
2
9
2
Exercice 25 : Mais pas résolu
L’entreprise française Apogée produit un output en quantité q
− 2 = − 23 = −1, 5,
ii. dans ce cas q∗ = 2 et donc Π∗ = − 2 = 0,
iii. dans ce cas q∗ = 3 et donc Π∗ = − 2 = 52 = 2, 5.
Tourse a toujours intérêt de produire si le prix de vente est positif. On est toujours au-dessus du
seuil de fermeture.
en utilisant z1 unités du premier input et z2 unités du second. On notera ~y le vecteur input-output.
Tous les marchés sont concurrentiels, le prix unitaire de l’output est égal à 1 et le prix unitaire de
l’input i, (i = 1, 2), est noté wi > 0. Apogée peut choisir parmi trois technologies : f (·), g(·) ou
h(·).
1 – Supposons que cette entreprise choisisse f (z1 , z2 ) =
√
z1 + z2 .
i) Déterminez le (les) ~y∗ , en fonction de (w1 , w2 ), d’Apogée.
2 – Supposons que cette entreprise choisisse g(z1 , z2 ) =
i) Déterminez le
(les) ~y∗ ,
p
.fr/
.free
ii) Déterminez le profit, π ∗ (w1 , w2 ), d’Apogée.
min{z1 , z2 }.
en fonction de (w1 , w2 ), d’Apogée.
ii) Déterminez le profit, π ∗ (w1 , w2 ), d’Apogée.
√
√
3 – Supposons que cette entreprise choisisse h(z1 , z2 ) = ( z1 + z2 )2 .
i) Déterminez le (les) ~y∗ , en fonction de (w1 , w2 ), d’Apogée.
ii) Déterminez le profit, π ∗ (w1 , w2 ), d’Apogée.
4 – Êtes-vous en mesure d’aider Apogée dans son choix ?
Solution :
1) Les facteurs de production sont des substituts parfaits, le TmST1,2 = −1. La fonction de coût est
Université François Rabelais| 29-01-2017
72/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production

 q − w q2
si w1 ≤ w2
1
⇒ π (q) =
 q − w q2
si w2 < w1
2
a
://p
http

 w q2
1
donc : C (q) =
 w q2
2
~y∗ =
si w1 ≤ w2


1
1

,
−
,
0

2

 2w1 4w1
si w1 ≤ w2




 2w1 , 0, − 1 2
4w
2
si w2 < w1 ,
et :
π ∗ ( w1 , w2 ) =
2

1



 4w1
si w1 ≤ w2




si w2 < w1 .
1
4w2
, donc :
si w2 < w1
2) Les facteurs de production sont des compléments parfaits donc z1∗ = z2∗ . La fonction de coût est
donc : C (q) = (w1 + w2 ) q2 ⇒ π (q) = q − (w1 + w2 ) q2 , donc :
rd
fava
scal.
1
1
1
,−
,−
2
2 ( w1 + w2 ) 4 ( w1 + w2 )
4 ( w1 + w2 ) 2
~y∗ =
et : π ∗ (w1 , w2 ) =
!
,
1
.
4 ( w1 + w2 )
3) La fonction h, homogène de degré un, est une CES. Les isoquantes sont convexes, il n’y a pas de
possibilité de solution en coin puisque les deux inputs sont essentiels.
z2
z1
O
.fr/
.free
Figure 2.9 : Isoquantes d’Apogé utilisant h(·)
Le TmST1,2 = −
q
z2
z1 .
La minimisation de la dépense sous contrainte technologique nous donne :
−1
w1 w2
−1
−1
C ( q ) = w1 + w2 q = w 1 + w 2
q. La fonction de coût est linéaire. Le profit, π (q; w1 , w2 ) =
−1 q 1 − w1−1 + w2−1
, est fonction linéaire et donc :
~y∗ =


∅



α, −αw1−2 , −αw2−2



(0, 0, 0)
Université François Rabelais| 29-01-2017
si w1−1 + w2−1 > 1
si w1−1 + w2−1 = 1 et α ≥ 0 ,
si w1−1 + w2−1 < 1
73/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
et :
π ∗ ( w1 , w2 ) =

+∞
si w1−1 + w2−1 > 1
0
si w1−1 + w2−1 ≤ 1
.
4) Pour un couple (w1 , w2 ), Apogée choisira la technologie qui lui permettra d’atteindre le profit le
1
< 4( w
, g(·) ne sera jamais choisie. Si w1−1 + w2−1 ≤ 1 alors Apogée
i)
choisira f (·), sinon elle choisira h(·).
plus élevé. ∀ (w1 , w2 ) :
1
4 ( w1 + w2 )
Exercice 26 : Économies de gamme : Toursgnole & Patiactol
Hercule Tub dit souvent à ses
amis qu’il empile des racines. Son activité est évidemment un peu plus compliquée. En fait, il
distille des pommes de terre pour fabriquer de la Toursgnole en quantité q1 . Pour ce faire, il utilise
deux facteurs de production, des pommes de terre en quantité x j et du travail en quantité xl . La
fonction de production pour ce type d’activité est donnée par l’équation suivante :
q√
q1 =
xl x j .
à 1.
rd
fava
scal.
On supposera que les deux facteurs de production ont le même prix unitaire et que celui-ci est égal
1 – Comment appelle t-on ce type de fonction de production ?
2 – Quelle est la nature des rendements d’échelle ? (justifiez par le calcul votre réponse)
3 – Calculez les fonctions de demande de facteur.
4 – Étudiez ces fonctions de demandes très précisément et représentez-les sur un même graphique.
5 – Déterminez la fonction de coût total C (q1 ) de cette entreprise.
6 – Étudiez cette fonction très précisément et dessinez la courbe de coût total.
7 – Déterminez la fonction d’offre de cette entreprise, sachant que le marché des spiritueux est
concurrentiel.
8 – Étudiez et dessinez cette fonction.
9 – Quel est le surplus net de l’entreprise si le prix de la Toursgnole sur le marché est de 8 euros
par litre ?
10 – Calculez l’élasticité prix de l’offre.
Hercule a un fils de quinze ans qui a quelques problèmes de peau. Par hasard, Hercule découvre
que les résidus de la distillation (i.e. les restes de matières organiques), sont très efficaces pour
.fr/
.free
la peau de son fils. Il se dit qu’il pourrait faire d’une pierre deux coups, s’il produisait à partir
de ces résidus, le Patiactol, en plus de produire de la Toursgnole. La quantité x j de pommes de
terre contribue donc à la production des deux biens. En plus du facteur de production pomme de
terre commun aux deux productions, pour fabriquer q1 litres de Toursgnole il faut xl1 unités de
travail et pour fabriquer une quantité q2 de Patiactol, il faut xl2 unités de travail. Les fonctions de
production de cette entreprise sont données par les équations suivantes :
q√
q√
q1 =
xl1 x j et q2 =
xl2 x j .
On supposera que tous les facteurs ont le même prix unitaire et que celui-ci est égal à 1.
11 – Déterminez la fonction de coût total C (q1 , q2 ) de cette entreprise.
Université François Rabelais| 29-01-2017
74/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
12 – Montrez que : C (q1 , q2 ) < C (q1 , 0) + C (0, q2 ).
13 – Qu’implique le résultat précédent ?
Solution :
1) La fonction de production est donnée par (2.6). C’est une fonction de type Cobb-Douglas avec
pour coefficient constant un.
2) Pour une fonction Cobb-Douglas nous savons que les rendements d’échelles dépendent de la
somme des exposants associés aux variables. Ici cette somme est égale à 0, 75. Mathématiquement
on dit que la fonction est homogène de degré inférieur à un. Les rendement sont donc décroissants.
Pour le re-démontrer, il suffit de prendre α > 1 et de calculer :
αx j
0,5
0,25
0,5 0,25
(αxl1 )0,25 = α0,75 x0,5
j xl1 < αx j xl1
3) La demande de facteur est donnée par (2.10) pour les pommes de terre et par (2.11) pour le travail
en posant q2 = 0. Nous avons donc les fonctions de demande de facteur suivantes :
√
3
4
rd
fava
scal.
x j ( q1 ) =
2 q13
(2.1)
4
3
q1
xl1 (q1 ) = √
3
4
(2.2)
4) Les demandes de pommes de terre et de travail sont croissantes de zéro vers l’infini, et elles sont
convexes.
Dérivées Secondes :
Dérivées Premières :
dx j (q1 )
dq1
=
√
432
3
dxl1 (q1 )
dq1
=
√
( 3 4)2
3
1
3
q1 > 0
1
q13 > 0
d2 x j ( q1 )
dq21
=
√
432
9
d2 xl1 (q1 )
dq21
=
√
( 3 4)2
9
− 32
q1
>0
− 32
q1
>0
Unités de facteur
xl1 (q1 )
O
.fr/
.free
x j ( q1 )
q1
Figure 2.10 : Courbes de demande de facteurs
Université François Rabelais| 29-01-2017
75/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
5) La fonction de coût est donnée par (2.14), donc :
C ( q1 ) =
3
√
3
4
4
q13
(2.3)
6) La fonction de coût est donc croissante de zéro vers l’infini et elle est convexe. En zéro elle est
tangente à l’axe des abscisses.
Dérivée Première :
dC (q1 )
dq1
√ 2 1
= 3 4 q13 = 0
Dérivée Seconde (q1 6= 0) :
d2 C ( q1 )
dq21
=
√ 2
3
4
− 32
q
1
3
>0
=
C
rd
fava
scal.
C ( q1 )
q1
O
Figure 2.11 : Courbe de coût
7) Le programme du producteur est de maximiser son profit, il doit donc déterminer la quantité de
production qui va maximiser son profit :
Max π (q1 ) = pq1 − C (q1 )
{ q1 }
CN1 :
.fr/
.free
CS2 :
dπ (∗ )
=0
dq1
√ 2 1
dC (q1 )
3
⇔
=p⇔
4 q13 = p.
dq1
d2 π ( ∗ )
d2 C ( q1 )
=
−
< 0.
dq21
dq21
La CN1 est donc une condition suffisante, elle donne la fonction d’offre S( p) :

3
p3
 p 
S ( p ) =  √ 2  = .
16
3
4
Université François Rabelais| 29-01-2017
(2.4)
76/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
8) La fonction d’offre est croissante, de zéro vers l’infini, et convexe. En zéro elle est tangente à l’axe
des ordonnées.
Dérivée Première :
Dérivée Seconde :
dS( p)
dp
d2 S ( p )
dp2
=
3
16
p2 > 0
=
3
8
p>0
9) Si le prix en euros par litre est de 8 euros, en utilisant (2.4) on a :
S (8) =
83
= 32l.
16
Il suffit alors de calculer le profit de l’entreprise pour avoir son surplus net :
4
3
C.
π (32) = 8 ∗ 32 − √
32 3 = 64=
3
4
10) L’élasticité de l’offre e( p) a pour forme générale :
e( p) =
dS( p) p
dp q1 ( p)
rd
fava
scal.
=
3
16
p
p 2 p3
16
⇒ e( p) = 3.
L’élasticité de l’offre est donc constante, quelque soit le niveau de prix considéré un accroissement
infinitésimal du prix de vente de la Toursgnole accroît de 3 litres la production. L’offre est élastique.
11) Le programme de l’entreprise est de minimiser sa dépense, notée D (.) sous sa contrainte technologique. Mathématiquement il nous faut donc résoudre le programme d’optimisation suivant :
Min
{ x j ,xl1 ,xl2 }
D ( x j , xl1 , xl2 ) = x j + xl1 + xl2
(2.5)
0,25
slc q1 = x0,5
j xl1
(2.6)
0,25
et q2 = x0,5
j xl2
(2.7)
Les deux contraintes technologiques (2.6) et (2.7) peuvent se réécrire de la façon suivante, avec
x j 6= 0 :
2
xl2 = q42 x −
j .
.fr/
.free
2
xl1 = q41 x −
j ,
(2.8)
(2.9)
Le programme de minimisation de la dépense (2.5) peut donc se réécrire comme suit :
2
4 −2
Min D ( x j ) = x j + q41 x −
j + q2 x j
{xj }
CN1 :
dD (∗ )
3
4 −3
= 1 − 2q41 x −
j − 2q2 x j = 0
dx j
4
4
3
⇔ 1 − 2 q1 + q2 x −
j =0
Université François Rabelais| 29-01-2017
77/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
1
3
.
⇔ x j = 2 q41 + q42
CS2 :
d2 D ( ∗ )
4
4
−4
=
6
q
+
q
2 x j > 0.
1
dx2j
La CN1 est donc une condition suffisante, la demande du facteur pomme de terre est donc :
1
3
.
x j (q1 , q2 ) = 2 q41 + q42
(2.10)
En raplaçant (2.10) dans (2.8), on obtient la demande de travail pour fabriquer la Toursgnole :
− 2
3
xl1 (q1 , q2 ) = q41 2 q41 + q42
(2.11)
et en raplaçcant (2.10) dans (2.9), on obtient la demande de travail pour fabriquer le Patiactol :
xl2 (q1 , q2 ) =
q42
− 2
3
4
4
2 q1 + q2
(2.12)
rd
fava
scal.
La fonction de coût de cette entreprise multiproduits C (q1 , q2 ) est obtenue en remplaçant x j donné
par (2.10) dans la dépense D ( x j ), soit :
C ( q1 , q2 ) =
2 q41 + q42
31
+ q41 2 q41 + q42
=
2 q41 + q42
31
+ q41 + q42
=
2 q41 + q42
13
1
1
+ 4− 3 q41 + q42 3
C ( q1 , q2 ) =
3
√
3
4
− 32
+ q42 2 q41 + q42
2 q41 + q42
q41 + q42
1
3
− 32
− 23
.
(2.13)
12) Calculons la fonction de coût lorsque l’entreprise ne produit que la Toursgnole, C (q1 , 0), et lorsqu’elle ne produit que le Patiactol, C (0, q2 ) en utilisant la fonction de coût multiproduits que l’on a
obtenue en (2.13).
C ( q1 , 0) =
C (0, q2 ) =
3
√
3
4
3
√
3
4
4
q13 .
4
q23 .
.fr/
.free
En faisant la somme terme à terme de (2.14) et de (2.15) on :
4
4
3
3
3
3
√
√
C (q1 , 0) + C (0, q2 ) =
q
+
q
2
1
3
3
4
4
4
4
3
3
3
√
⇔ C (q1 , 0) + C (0, q2 ) =
q1 + q2 .
3
4
Université François Rabelais| 29-01-2017
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
78/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
13) Il ne nous reste à présent plus qu’à comparer la fonction de coût multiproduits obtenue en (2.13) à
la somme des fonctions de coûts monoproduit, obtenue en (2.17).
⇔
C (q1 , q2 ) < C (q1 , 0) + C (0, q2 )
1
4
4
3
3
4
4 3
3
3
√
√
q1 + q2
<
q1 + q2
3
3
4
4
1
4
4
4
4 3
3
3
⇔ q1 + q2
<
q1 + q2
q
q
q
⇔ 3 q41 + q42 < 3 q41 + 3 q42 .
Ce qui est toujours vrai puisque la racine d’une somme est toujours plus petite que la somme des
racines, cette propriété vient directement du fait que la fonction racine est concave.
Puisque C (q1 , q2 ) < C (q1 , 0) + C (0, q2 ), on peut conclure qu’à quantité de Toursgnole et de
rd
fava
scal.
Patiactol données, il est moins coûteux pour l’entreprise étudiée de les produire conjointement
que séparément. C’est somme toute assez évident, si l’on produit la Toursgnole et le Patiactol
séparément il faut acheter les pommes de terre en « double ». Hercule a donc eu, économiquement
parlant, un très bonne idée, puisqu’il valorise beaucoup mieux les pomme de terres qu’il achète
comme facteur de production. Dans ce cas on parle d’économies de gamme.
Exercice 27 : À l’université on travaille !
L’université de Tours utilise du travail T et du capital
K pour produire la quantité de cerveaux Q, vendue au prix unitaire, p > 0. Dans cette économie
√
tous les marchés sont concurrentiels. La technologie de production est Q = K α T, avec α > 0. Le
prix unitaire du travail est w > 0 et celui du capital est normalisé à un.
1 – Comment appelle-t-on ce type de fonction de production ?
2 – Comment s’appelle la courbe réunissant l’ensemble des couples de quantités d’inputs qui
permettent de produire la même quantité d’ouput ?
3 – Étudiez et dessinez avec une très grande rigueur cette courbe avec K sur l’axe des ordonnées.
4 – Étudiez, commentez et dessinez avec une très grande rigueur la fonction de coût, notée C (·),
de l’université.
5 – Étudiez, commentez et dessinez avec une très grande rigueur la fonction d’offre, notée Q(·), de
.fr/
.free
l’université.
6 – Calculez le surplus net de l’université, généré par la production si α < 12 .
7 – Calculez l’élasticité prix de l’offre si α < 21 , notée µ p (·), et interprétez.
Solution :
1) C’est une fonction de production de type Cobb-Douglas (Q = AK α T β avec A = 1 et β = 12 ).
2) C’est une isoquante ou une courbe d’isoproduction.
1
√
α
3) Une isoquante a pour équation : Q̄ = K α T, donc si T 6= 0, K ( T; Q̄) = √Q̄
.
T
Lim K ( T; Q̄) = +∞ et Lim K ( T; Q̄) = 0
T →0
Université François Rabelais| 29-01-2017
T →+∞
79/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
1+2α
dK ( T; Q̄)
1 1
= − Q̄ α T − 2α ≤ 0 courbe décroissante, avec
dT
2α 1 1 − 1+2α
1 1 − 1+2α
= −∞ et Lim − Q̄ α T 2α
=0
Lim − Q̄ α T 2α
2α
2α
T →+∞
T →0
d2 K ( T; Q̄)
1 + 2α 1 − 1+4α
=
Q̄ α T 2α ≥ 0 courbe convexe
dT 2
4α2
T
0
K 0 ( T; Q̄)
−∞
+∞
−
K 00 ( T; Q̄)
0
+
+∞
K ( T; Q̄)
0
Tableau 2.6 : Tableau de variations
rd
fava
scal.
Capital
c
IQ̄
•
∂Cw,c
Travail
c
w
O
Figure 2.12 : Isoquantes Université de Tours
4) La fonction de coût est obtenue en minimisant les dépenses sous la contrainte technologique. Le
PUTours
Min K + wT
{K,T }
.fr/
.free
programme pour déterminer les demandes conditionnelles de facteurs est donc le suivant :
√
slc Q = K α T
(2.1)
Étant donné que la technologie est strictement quasi-concave (Cobb-Douglas) la solution de ce
programme est unique et intérieure, (cf. Figure 2.12). Elle sera obtenue par la résolution du système
suivant :

 √1 α

1
2
K
dK
Pm T
w



2 T √



 TmST = dT = − PmK = − 1
 αKα−1 T = w
 K = (2αw) 2α+1 Q 2α+1
⇔
⇔






√
√


 T = (2αw)− 2α2α+1 Q 2α2+1
Q = Kα T
Q = Kα T
Université François Rabelais| 29-01-2017
80/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
Donc, en remplaçant K et T par ces valeurs dans la dépense on a :
1
2
2α
2
C ( Q; w) = (2αw) 2α+1 Q 2α+1 + w(2αw)− 2α+1 Q 2α+1
h
i
2
1
2α
⇔ C ( Q; w) = Q 2α+1 (2αw) 2α+1 + w(2αw)− 2α+1 .
1
2α
(2.2)
2
Posons ψ = (2αw) 2α+1 + w(2αw)− 2α+1 , on a alors en utilisant (2.2), C ( Q; w) = ψQ 2α+1 .
Étudions cette fonction, on a C (0; w) = 0 et Lim Q→+∞ C ( Q; w) = +∞
1−2α
2ψ
dC ( Q; w)
= Cm( Q; w) =
Q 2α+1 ≥ 0 courbe croissante
dQ
2α + 1
4α
1 − 2α
d2 Cm( Q; w)
= 2ψ
Q− 2α+1
2
2
dQ
(2α + 1)
Toute l’étude qui va suivre va dépendre du signe de 1 − 2α.
1
2
i. Rendements décroissants α <
:
rd
fava
scal.
Lim Cm( Q; w) = 0 et Lim Cm( Q; w) = +∞
Q→+∞
Q →0
d2 Cm( Q; w)
≥ 0 courbe convexe
dQ2
Q
0
Cm( Q; w)
0
C 00 ( Q; w)
+∞
+∞
+
+
+∞
C ( Q; w)
0
Tableau 2.7 : Tableau de variations : α <
ii. Rendements constants α =
1
2
:
iii. Rendements croissants α >
1
2
:
1
2
√
Dans ce cas la fonction de coût est linéaire C ( Q; w) = 2Q w et donc le coût marginal est contant
√
et égal à 2 w.
.fr/
.free
Lim Cm( Q; w) = +∞ et Lim Cm( Q; w) = 0
Q→+∞
Q →0
d2 Cm( Q; w)
≤ 0 courbe concave
dQ2
Université François Rabelais| 29-01-2017
81/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
Q
+∞
0
+∞
Cm( Q; w)
+
C 00 ( Q; w)
0
−
+∞
C ( Q; w)
0
Tableau 2.8 : Tableau de variations : α >
Coût
Coût
C ( Q; w)
rd
fava
scal.
C ( Q; w)
O
1
2
Q
(a) α <
Q
O
1
2
(b) α =
1
2
Coût
C ( Q; w)
Q
O
(c) α >
1
2
Figure 2.13 : Courbes de coût
PUniv
.fr/
.free
5) Le producteur doit résoudre le programme suivant en utilisant (2.2) :
Max π ( Q) = pQ − C ( Q; w)
{ Q}
(2.3)
Si la fonction de coût est strictement convexe, le profit est strictement concave, le programme (2.3)
admet alors une solution unique, sinon c’est plus compliqué. Il faut donc distinguer trois cas, en
fonction des rendements d’échelle.
i. Rendements décroissants α <
1
2
: Dans ce cas le programme (2.3) admet un solution intérieure,
puisque le profit est strictement concave. La CS2 est donc vérifiée, il suffit donc de résoudre la
CN1 de ce programme :
p = Cm( Q; w) =
Université François Rabelais| 29-01-2017
1−2α
2ψ
Q 2α+1
2α + 1
82/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
⇒ Q( p; w) =
Étudions cette fonction, en posant φ =
2α+1
2ψ .
2α + 1
p
2ψ
2α+1
1−2α
(2.4)
On a Q(0; w) = 0 et Lim
p→+∞
Q( p; w) = +∞.
4α
dQ( p; w)
2α + 1
=φ
(φp) 1−2α ≥ 0 courbe croissante
dp
1 − 2α
Lim
p →0
dQ( p; w)
dQ( p; w)
= 0 et Lim
= +∞
p→+∞
dp
dp
6α−1
d2 Q( p; w)
2 2α + 1
1−2α ≥ 0 courbe convexe
=
4αφ
φp
(
)
dp2
(1 − 2α)2
p
+∞
0
rd
fava
scal.
Q0 ( p; w)
0
Q00 ( p; w)
+∞
+
+
+∞
Q( p; w)
0
Tableau 2.9 : Tableau de variations : α <
1
2
Offre
Q( p; w)
.fr/
.free
O
p
Figure 2.14 : Courbe d’offre : α <
ii. Rendements constants α =
1
2
1
2
√
: Dans ce cas le profit est linéaire en Q. Si p < Cm(·) = 2 w
l’université ne produira pas, sinon elle a intérêt à produire une « quantité infinie » et donc la
√
fonction d’offre n’existe pas. Il existe un cas intermédiaire, où p = Cm(·) = 2 w, dans ce cas
l’université peut produire n’importe quelle quantité Q positive, son profit sera toujours nul.
iii. Rendements croissants α >
1
2
: Dans ce cas le profit est convexe en Q. L’université a intérêt à
produire une « quantité infinie » et donc la fonction d’offre n’existe pas.
Université François Rabelais| 29-01-2017
83/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http

2α+1

1−2α

2α+1

si α < 12
= 2ψ p








√


 = 0 si α = 12 et p < 2 w
⇒ Q( p; w) =


√



≥ 0 si α = 12 et p ≥ 2 w








 indéterminé sinon.
6) Le surplus net pour une entreprise est donné par sa fonction de profit (2.3). Si α <
"
2α+1
2 #
2
2α + 1 1−2α
2α + 1 1−2α
π ( Q) = p 1−2α
−ψ
.
2ψ
2ψ
1
2
on a :
2α+1
1−2α
> 0 puisque α < 12 . Cette élasticité étant constante et positive cela implique qu’une
augmentation marginale du prix de vente a toujours le même effet sur la production, peu importe
le niveau de celle-ci.
7) µ p (·) =
rd
fava
scal.
Exercice 28 : Il est libre Max
Un État autarcique a dans son sous-sol un énorme gisement de
charbon affleurant, la « Min’ ». Pour que le marché du charbon soit concurrentiel, l’État a décidé
d’allouer le droit d’extraire 1 du charbon à un très grand nombre d’entrepreneurs, chacun pouvant
« faire son trou ». Max fait partie de ces entrepreneurs. Pour produire une quantité q de charbon, il
lui faut utiliser k unités de capital et l heures de travail. Les marchés des inputs sont des marchés
concurrentiels. La fonction de production de Max est :
q = max {min{k − 1,
√
l }, 0}.
(2.1)
On notera p le prix unitaire du charbon, r le prix unitaire du capital et w le salaire horaire. Dans cet
exercice on ne s’intéressera qu’au problème
statique.
√
1 – Tracez les isoquantes de niveau : 0,
de niveau 0.
1+ 5
2 ,
3 et 4. Prêtez une attention toute particulière à celle
2 – Écrivez le programme que Max doit résoudre pour déterminer sa fonction de coût.
3 – Déterminez la fonction de coût, C (·).
4 – Représentez la fonction de coût sur un graphique.
6 – Représentez ces seuils sur un graphique.
.fr/
.free
5 – Déterminez le seuil de rentabilité, sr , et le seuil de fermeture, s f .
7 – Écrivez le programme que doit résoudre Max pour déterminer sa fonction d’offre.
8 – Déterminez la fonction d’offre, S(·).
9 – Représentez la fonction d’offre inverse sur un graphique.
10 – Calculez l’élasticité prix de l’offre, µ p (·). Donnez son interprétation, comment est l’offre de
Max ?
11 – Pourquoi il est libre Max ?
Solution :
1. On appelle ce droit : une « minette » ; il ne dure qu’une unité de temps.
Université François Rabelais| 29-01-2017
84/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
1) Les isoquantes ont une forme en « L » puisque les inputs sont des compléments parfaits. Les points
√
anguleux sont situés sur la courbe cyan (cf. Figure 2.15) qui a pour équation k − 1 = l ⇔ k =
√
l + 1. Il n’est pas utile d’étudier cette fonction car c’est simplement la translation de la courbe de
la racine carré par le vecteur (0, 1). Si k ∈ [0, 1] alors ∀l ≥ 0 la production est nulle. L’isoquante
de niveau 0 a donc une forme particulière puisqu’elle est « épaisse » (cf. Figure 2.15) sur sa partie
horizontale.
k
45˚
I q =4
I q =3
5
4
1
O
I q = 1+ √5
rd
fava
scal.
√
3+ 5
2
√
3+ 5
2
9
16
2
I q =0
l
Figure 2.15 : Isoquantes
2) Pour obtenir la fonction de coût il faut minimiser les dépenses sous la contrainte technologique
(2.1). On doit donc résoudre le programme suivant :
P
Min rk + wl
{k,l }
slc q = max {min{k − 1,
√
(2.2)
l }, 0}.
3) Regardons tout d’abord le cas où l’entreprise ne produit rien (i.e. q = 0). Une infinité de couples
.fr/
.free
(k, l ) « permettent » de ne rien produire. Il suffit que k ≤ 1. Dans ce cas la dépense minimale, C (0),
est atteinte pour le couple (k, l ) = (0, 0), donc C (0) = 0. Les autres couples de quantités d’inputs
engendrant une dépense strictement positive. Étant donné que les inputs sont parfaitement com√
plémentaires, à production donnée, la dépense sera minimale si k = l + 1. Dans ce cas, étant
√
donné la fonction de production, on aura : q = k − 1 = l, en replaçant dans la dépense on obtient :
C (q) = wq2 + rq + r si q 6= 0. Pour produire une quantité strictement positive il faut au moins une
unité de k, le coût fixe est donc : CF = r. La solution du programme (2.2) est donc :

0, si q = 0
C (q) =
wq2 + rq + r, sinon.
(2.3)
4) La fonction de coût (2.3) est discontinue en q = 0 puisque Lim wq2 + rq + r = r et C (0) = 0,
q →0+
elle est croissante puisque la fonction de coût marginal Cm(q) = 2wq + r est positive et convexe
puisque la dérivée du coût marginal est 2w, donc positive.
Université François Rabelais| 29-01-2017
85/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
=
C
C (q)
CV (q)
r◦
O
q
•
Figure 2.16 : La fonction de coût total
5) En utilisant (2.3), on obtient immédiatement : la fonction de coût moyen (cf. Figure 2.17), CM (q) =
wq + qr + r ; la fonction de coût variable (cf. Figure 2.16), CV (q) = wq2 + rq et la fonction de coût
rd
fava
scal.
variable moyen (cf. Figure 2.17), CV M(q) = wq + r. En égalisant la dérivée du coût moyen à zéro,
p
on trouve son minimum : wr . Donc le seuil de rentabilité est :
r √
r
= 2 rw + r.
sr = CM
w
Si le prix de marché est plus grand que ce seuil, l’entreprise fera des profits. Le seuil de fermeture
est le minimum du coût variable moyen, atteint en q = 0, donc :
s f = CV M(0) = r.
Si le prix de marché est plus petit que ce seuil, l’entreprise n’entrera pas sur ce marché.
6) La courbe de coût marginal passe toujours pas le minimum du coût variable moyen et par celui du
coût moyen. La courbe de coût moyen est décroissante puis croissante et convexe. Les courbes de
coût marginal et de coût variable moyen sont croissantes et linéaires.
=
C/unité
Cm(q)
CM (q)
O
.fr/
.free
√
sr = 2 rw + r
sf = r
CV M(q)
q
pr
w
Figure 2.17 : Les seuils
7) Pour obtenir la fonction d’offre de court terme, l’entreprise maximise sa fonction de profit. On doit
donc résoudre le programme suivant :
P Max
Université François Rabelais| 29-01-2017
Max π (q) = pq − C (q)
{q}
(2.4)
86/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
8) Si p ≤ r l’entreprise n’entre pas sur le marché et donc ne produit rien. Si p > r, la CN1 du
dπ (q)
d2 π ( q )
p −r
= p − Cm(q) = p − 2wq − r = 0 ⇒ q = 2w . La CS2 est :
=
programme (2.4) est :
dq
dq2
−2w < 0, donc la CN1 est suffisante. La fonction d’offre de l’entreprise à court terme est :
p−r
,0 .
(2.5)
S( p; r, w) = max
2w
9) La courbe d’offre inverse (cf. Figure 2.18), S−1 , est confondue avec la courbe de coût marginal
au-dessus du seuil de fermeture. En-dessous de celui-ci elle est confondue avec l’axe des ordonnées.
p
S −1 ( p )
rd
fava
scal.
sf = r
q
O
Figure 2.18 : La fonction d’offre inverse
10) L’élasticité prix de l’offre est :
µ p ( p; r, w) =
∂S( p; r, w)
p
p
=
.
∂p
S( p; r, w)
p−r
C’est le pourcentage de variation de la quantité offerte par le producteur si le prix de vente
augmente de 1%. Elle n’est définie que pour un prix supérieur au seuil de fermeture. Elle est
positive et plus grande que l’unité dans notre cas. Donc si le prix de vente augmente de 1%, la
quantité augmente de plus de 1%. La fonction d’offre est dite « élastique ».
11) Parce que Max peut ne pas produire et que cela ne lui couterait rien, puisque dans ce cas il
récupérerait les coûts fixes. Il n’y a pas de coût fixe irrécupérable, « sunk cost ». On peut penser,
par exemple, que le droit d’exploiter la Min’ une période est le coût d’une unité de capital, i.e. r.
Exercices théoriques
Exercice 29 : Irréversibilité
.fr/
.free
2.2
Considérons Y un ensemble de production et ~y ∈ Y avec ~y 6= ~o.
La propriété d’irréversibilité implique que : −~y ∈
/ Y. Dessinez deux ensembles de production : un
qui vérifie la propriété d’irréversibilité et l’autre pas.
Solution :
• −~y ∈
/Y
Université François Rabelais| 29-01-2017
87/256
c Pascal FAVARD
a
://p
http
y2
Exercices de Microéconomie : Production
y1
O
Y
Figure 2.19 : Irréversible
y2
• −~y ∈ Y
rd
fava
scal.
y1
O
Y
Figure 2.20 : Irréversible
Exercice 30 : Rendements et homogénéité
Soit f (·) la fonction de production associée à une
technologie monoproduit et Y l’ensemble de production. L’output n’est pas un input, il y a L > 2
biens dans cette économie. Montrez qu’Y vérifie la propriété de rendements constants à l’échelle si
et seulement si f (·) est homogène de degré un.
.fr/
.free
Solution :
L −1
• Supposons qu’Y vérifie la propriété de rendements constants à l’échelle. Soit ~z ∈ R+
et α ∈ R∗+ ,
alors si (−~z, f (~z)) ∈ Y on a (−α~z, α f (~z)) ∈ Y puisque les rendements sont constants à l’échelle,
par conséquent :
α f (~z) ≤ f (α~z).
(2.1)
f (α~z)
Si (−α~z, f (α~z)) ∈ Y alors −~z, α
∈ Y puisque les rendements sont constants à l’échelle, par
f (α~z)
conséquent α ≤ f αα~z = f (~z) et donc :
f (α~z) ≤ α f (~z).
Université François Rabelais| 29-01-2017
(2.2)
88/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Production
a
://p
http
En utilisant (2.1) et (2.2) on a f (α~z) = α f (~z), la fonction f (·) est donc homogène de degré un.
• Supposons f (·) homogène de degré un. Soit (−~z, y) ∈ Y et α ∈ R∗+ , alors y ≤ f (~z) par conséquent
αy ≤ α f (~z) = f (α~z). Puisque (−α~z, f (α~z)) ∈ Y, on a (−α~z, αy) ∈ Y. Les rendements sont donc
constants à l’échelle.
Exercice 31 : Concave & Convexe
Soit f (·) la fonction de production associée à une technolo-
gie monoproduit et Y l’ensemble de production. L’output n’est pas un input et il y a L − 1 inputs.
Montrez que Y est convexe si et seulement si f (·) est concave.
Solution :
La démonstration doit être conduite en deux étapes.
rd
fava
scal.
L −1
• Supposons Y convexe. Soit ~z, ~z0 ∈ R+
et α ∈ [0, 1], alors (−~z, f (~z)) ∈ Y et (−~z0 , f (~z0 )) ∈
Y. La convexité de Y implique : (−(α~z + (1 − α)~z0 ), α f (~z) + (1 − α) f (~z0 )) ∈ Y. Par conséquent
α f (~z) + (1 − α) f (~z0 ) ≤ f (α~z + (1 − α)~z0 ), ce qui implique que f (z) est concave.
• Supposons f (·) concave. Soit (−~z, y) , (−~z0 , y0 ) ∈ Y et α ∈ [0, 1], alors y ≤ f (~z) et y0 ≤ f (~z0 ). Par
conséquent : αy + (1 − α)y0 ≤ α f (~z) + (1 − α) f (~z0 ). La concavité de f (·) implique α f (~z) + (1 −
α) f (~z0 ) ≤ f (α~z + (1 − α)~z0 ). En utilisant ces deux dernières inégalités, on obtient : αy + (1 − α)y0 ≤
f (α~z + (1 − α)~z0 ), donc (−(α~z + (1 − α)~z0 ), αy + (1 − α)y0 ) = α(−~z, y) + (1 − α)(−~z0 , y0 ) ∈ Y.
L’ensemble Y est donc convexe.
Exercice 32 : Additivité
Un output peut être produit en utilisant séparément ou simultanément
deux technologies. Une n’utilise que l’input 1, en quantité z1 , et l’autre que l’input 2, en quantité z2 .
Soit gi (yi ) la quantité minimale d’input i suffisante pour produire la quantité d’output yi , i = 1, 2.
La fonction gi (·) est supposée croissante et gi (0) = 0 pour i = 1, 2.
1 – Définir l’ensemble de production, noté Y.
2 – Montrez que si ∀(yi , yi0 ) ∈ R2+ : gi (yi + yi0 ) ≤ gi (yi ) + gi (yi0 ) avec i = 1, 2 alors Y vérifie la
propriété d’additivité.
Solution :
1) Soit Y l’ensemble de production, on a : Y = {(−z1 , −z2 , y) ∈ R2− × R+ |y1 + y2 ≥ y et zi ≥
gi (yi ), i = 1, 2}
.fr/
.free
2) Soit (−z1 , −z2 , y) ∈ Y et (−z10 , −z20 , y0 ) ∈ Y. Alors il existe (y1 , y2 ) tel que y1 + y2 ≥ y avec
zi ≥ gi (yi ) et (y10 , y20 ) tel que y10 + y20 ≥ y0 avec zi0 ≥ gi (yi0 ). Donc : y1 + y10 + y2 + y20 ≥ y + y0 et
zi + zi0 ≥ gi (yi ) + gi (yi0 ). Si ∀(yi , yi0 ) ∈ R2+ : gi (yi + yi0 ) ≤ gi (yi ) + gi (yi0 ) alors zi + zi0 ≥ gi (yi + yi0 ).
On a donc (−z1 − z10 , −z2 − z20 , y + y0 ) ∈ Y, la propriété d’additivité est alors vérifie.
Université François Rabelais| 29-01-2017
89/256
Chapitre 3
Risque & Dynamique
Sommaire
3.1
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Double coque sinon rien ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
A plogut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Loterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Joe t’assures ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Les trois petits cochons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
À Sue vaillante rien d’impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
CAC39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Conjoncture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Plus concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Approximation d’Arrow-Pratt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
Avant-propos : « La maladie derrière les taux de 9%, bien-delà du plafond de 6% considéré
d’intérêt trop bas » LesEchos.fr Jean-Marc Vittori comme raisonnable par les accords européens.
09/06/2016 à 7:00
Cela peut paraître sage dans un pays vieillissant.
C’est dramatique pour le pays, pour la zone euro
Le phare de l’Europe va rentrer sous l’eau... et pour l’Union européenne dans son ensemble.
Tel est l’étrange message des marchés finan- La première puissance économique du continent
ciers européens. Le phare, c’est le taux d’intérêt à investit trop peu, alors que l’emprunt est gratuit.
dix ans sur les obligations émises par l’État alle- Elle oublie de préparer son avenir, alors qu’elle
mand. La référence absolue sur le Vieux Conti- en aurait les moyens. En ne cessant de répéter
nent. Certains experts expliquent volontiers que que « les pays ayant des marges de manoeuvre
le prix de tous les actifs financiers se définit par budgétaire devraient faire davantage pour souun écart avec ce taux d’intérêt, un « spread » tenir la demande, par exemple en accroissant
comme disent les Anglo-Saxons. Et sa rentrée l’investissement public », le FMI vise évidemsous l’eau, c’est tout simplement le fait qu’il ment d’abord et surtout l’Allemagne. Mais la
rd
fava
scal.
va sans doute devenir négatif. Il est déjà des- question de l’investissement ne touche pas seulecendu à 0.04%, son plus bas historique. Bien ment ce pays. Elle se pose à l’Europe toute ensûr, un taux zéro, ce n’est pas le zéro degré tière. Les langueurs du plan Juncker montrent
Kelvin, un niveau au-dessous duquel il est im- qu’elle manque pour l’instant de réponses. Ce
possible de descendre et où la vie a disparu qui renvoie à d’autres questions encore plus videpuis longtemps. Malgré des taux à dix ans tales : quel avenir voulons-nous ? Et comment le
déjà inférieurs à zéro en Suisse ou au Japon, la construire ?
terre continue de tourner. Mais c’est clairement
« Une société malade de sa peur du risque ? »
le signal que la finance, elle, tourne à l’envers.
LesEchos.fr Yann Verdo 17/06/2016 à 18:34
Les créanciers paient pour placer leur argent,
Notre perception des risques sanitaires ou
les débiteurs sont payés pour emprunter. C’est
de ceux engendrés par la technoscience est fausle résultat d’une formidable demande des insée par de multiples biais, explique un rapport
vestisseurs pour des actifs dits « sûrs » comme
de l’Académie des technologies. « La risquophosont censés l’être les emprunts d’État, et donc
bie », mère du principe de précaution, envahit
le signe d’une terrible aversion au risque. C’est
nos sociétés. Quitte à freiner le progrès.
aussi le fruit d’une politique monétaire de la
Des barrières de deux mètres de haut isolant
banque centrale européenne toujours plus aven-
.fr/
.free
tureuse pour tenter de ramener la hausse des les zones en travaux des piétons. Des ouvriers
prix vers les 2%. Une politique qui renforce en- aux allures de « liquidateurs » post-Tchernobyl
core les achats de « Bund » allemand. Mais il n’y (masques, gants, combinaisons). Un système
a pas seulement une anomalie profonde du côté d’arrosage pour éviter que les poussières ne s’ende la demande. Le déséquilibre vient aussi d’un volent et se disséminent par les rues...
problème d’offre. Il n’y a pas assez d’obligations
L’arrêt brutal du chantier de prolongement
allemandes. Globalement, État, Länder et col- du tramway T3, entre la porte de la Chapelle
lectivités locales équilibrent leur budget. Berlin et celle d’Asnières, au nord de Paris, est la dern’emprunte plus que pour refinancer son stock nière illustration en date de la fébrilité s’empade dettes. Le pays déborde d’épargne, ce que re- rant des pouvoirs publics et de la société chaque
flète l’excédent de ses comptes courants proche fois qu’un nouveau « risque » putatif est découUniversité François Rabelais| 29-01-2017
91/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
vert. En l’occurrence, la présence d’actinoline, et, plus encore, notre « risquophobie » aiguë.
une forme d’amiante naturel, dans certains gra-
Spécialiste des croyances, Gérald Bronner est
nulats servant à la fabrication du bitume. En un bon connaisseur de la façon dont des peurs
attendant que l’Agence nationale de sécurité sa- parfois irrationnelles peuvent s’emparer brutanitaire de l’alimentation, de l’environnement et lement d’une collectivité. « La perception des
du travail (Anses) ait réuni son panel d’experts risques, explique-t-il, résulte toujours d’une hy-
pour dire si cette fibre est cancérigène (comme bridation entre des invariants mentaux et des
l’amiante industriel) ou pas, ce chantier et de variables socioculturelles. » Les variables socio-
nombreux autres sur le territoire ont été stop- culturelles font que l’on n’appréhende pas un
pés net. En application du désormais fameux même risque de la même façon dans tous les
« principe de précaution », gravé dans le marbre pays, à toutes les époques : tantôt ce seront
constitutionnel.
les OGM qui occuperont le devant de la scène
Cet exemple est loin d’être isolé. Les récentes (comme dans la France de José Bové, au plus
controverses sur les vaccins ont marqué les es- fort des campagnes des faucheurs volontaires),
prits : tantôt ressurgit l’hypothèse d’un lien entre tantôt le nucléaire (après Fukushima).
rd
fava
scal.
tel vaccin et telle maladie (vaccin contre l’hépa-
Plus intéressants sont les invariants mentaux,
tite B et sclérose en plaques, vaccin contre la ces biais cognitifs qui nous empêchent bien sourougeole et autisme), tantôt l’on s’inquiète sur la vent de nous faire une idée juste du risque réelleprésence d’adjuvants suspects (comme l’alumi- ment encouru. Notre cerveau est ainsi fait qu’il
nium), tantôt l’on s’interroge sur l’opportunité a naturellement tendance à surestimer (d’un facde vacciner une personne immunodéprimée ou teur 10 à 15) les risques présentant à la fois une
porteuse d’une maladie auto-immune. Fait re- très faible probabilité d’occurrence et des consémarquable au pays de Louis Pasteur, la défiance quences catastrophiques s’il se réalise. Ce fait a
à l’égard des vaccins, nourrie et relayée par des été établi par le pionnier de la neuroéconomie
activistes antivaccinalistes faisant grand usage et professeur à la MIT Sloan School of Managedu Web (en inondant de vidéos des sites comme ment, Drazen Prelec. Or beaucoup de risques
YouTube ou en « prêchant » les internautes ve- technico-scientifiques entrent dans cette catégonus sur les forums de discussion comme Doc- rie. « Lorsque le grand accélérateur de particules
tissimo), ne cesse de croître. D’après une étude du CERN s’est lancé dans sa quête du boson de
réalisée en 2013, près de 40% (38.2%) des Fran- Higgs, raconte Gérald Bronner, deux plaintes ont
Rapport ambivalent à la science
.fr/
.free
çais étaient défavorables à la vaccination en 2010, été déposées devant les tribunaux au motif que
contre 8.5% dix ans auparavant.
cette débauche d’énergie risquait de provoquer
un mini-trou noir : un événement aux consé-
Ces chiffres sont cités dans le petit rapport quences apocalyptiques, mais à la probabilité
sur la perception des risques que le physicien infinitésimale. »
Etienne Klein et le sociologue Gérald Bronner
Un autre biais bien connu des spécialistes de
viennent de réaliser pour l’Académie des techno- la psychologie cognitive concerne les risques à
logies. Pour synthétique qu’il soit, ce document effet de seuil - là encore, la technoscience en offre
d’une quarantaine de pages met remarquable- de nombreux exemples. « Le cerveau humain a
ment bien en lumière notre rapport de plus en beaucoup de difficultés à penser correctement ce
plus ambivalent à la science et à la technologie type de risques. Il perçoit de la continuité là où il
Université François Rabelais| 29-01-2017
92/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
y a en réalité des discontinuités », poursuit le so- tous les sujets, la littérature scientifique est telle
ciologue, qui cite l’exemple des antennes-relais. que l’on est pratiquement assuré de trouver au
Alors que les études ont montré que celles-ci moins une étude - pas forcément reproductible,
étaient sans danger pour les riverains (l’inten- ni surtout représentative - qui sera susceptible
sité du champ électromagnétique se diluant très de venir à l’appui des thèses des contempteurs
vite avec la distance), cela ne dissipe pas l’in- de la technoscience.
quiétude des personnes concernées. « Le raison-
Qu’il s’agisse des nanotechnologies, des ma-
nement que l’on se fait tous intuitivement, et nipulations génétiques sur l’homme, du nu-
qui est faux dans le cas d’espèce, est le suivant : cléaire ou de la géo-ingénierie, toutes les craintes
même à bonne distance, l’effet ne s’annule pas ne sont pas, loin s’en faut, infondées. Le protout à fait ; à la longue, les petits ruisseaux fai- blème est que l’attitude consistant à rejeter toute
sant les grandes rivières, il finit par ne plus être prise de risque - la stratégie « ceinture et brenégligeable du tout. »
telles » - n’est elle-même pas sans risque. « Tout
Même lorsque nous tentons une approche se conjugue pour que nous soyons obnubilés
rationnelle, fondée sur l’évaluation la plus objec- par les conséquences de notre action, mais sans
rd
fava
scal.
tive possible du rapport bénéfice-risque, nous ne jamais envisager les conséquences de notre insommes pas à l’abri de ces distorsions faussant action », résume Gérald Bronner. Or, estime-tnotre jugement comme des illusions d’optique. il, « on prend d’énormes risques à ne pas en
Les travaux du prix Nobel Daniel Kahneman, prendre ».
père fondateur de ce domaine d’études et auteur
Le principe de précaution
du best-seller « Système 1, Système 2. Les deux
• Il trouve ses prémices dans l’Allemagne
vitesses de la pensée », ont montré qu’il fallait en
moyenne 2.50 euros de bénéfice pour compenser
psychologiquement le risque de perdre 1 euro.
Les conséquences de l’inaction
Par définition, ces invariants mentaux ont
toujours existé, pourrait-on objecter. Mais, soulignent les coauteurs du rapport, deux phéno-
mènes relativement récents sont venus en ampli-
des années 1970 avec le philosophe Hans
Jonas (« Le Principe de responsabilité »,
1979).
• Il est formulé pour la première fois en 1992
dans la Déclaration de Rio (Principe 15) et
introduit la même année dans le traité de
Maastricht.
• L’article 5 de la Charte de l’environnement,
la « dérégulation du marché de l’information »
l’un des quatre textes de la Constitution de-
(blogs, réseaux sociaux...) qui permet une dif-
puis 2005, le définit ainsi : « Lorsque la réa-
fusion massive des peurs irrationnelles. « Ce
lisation d’un dommage, bien qu’incertaine
qui restait naguère cantonné à la sphère de l’in-
en l’état des connaissances scientifiques,
time s’expose désormais sur l’espace public »,
pourrait affecter de manière grave et irré-
constate Gérald Bronner. Le second est la course
versible l’environnement, les autorités pu-
à la concurrence de plus en plus effrénée que
bliques veillent (...) à la mise en oeuvre de
subissent les chercheurs - le fameux « publish or
procédures d’évaluation des risques et à
perish » (publier ou périr). « Cela a un effet mé-
l’adoption de mesures provisoires et pro-
canique à la baisse sur la qualité moyenne des
portionnées afin de parer à la réalisation
publications », note le sociologue. Résultat : sur
du dommage. »
Université François Rabelais| 29-01-2017
.fr/
.free
fier les effets. Le premier est ce qu’ils appellent
93/256
c Pascal FAVARD
Exercices appliqués
a
://p
http
3.1
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
Exercice 33 : Double coque sinon rien !
Les pétroliers peuvent éliminer le risque de naufrage
en construisant une « double coque ». Supposez que le risque de naufrage pour un navire à simple
coque soit de 1%, et qu’un naufrage génère un dommage à l’environnement évalué à 10 milliards
d’euros. Le coût de fabrication d’un pétrolier à simple coque est égal à 500 millions d’euros. Ce
coût grimpe à 550 millions d’euros pour un navire à double coque. On suppose la neutralité au
risque.
1 – Est-il socialement désirable d’exiger que les armateurs construisent des doubles coques ? Pour
répondre à cette question, calculez et comparez l’espérance de perte (dommage environnemental + perte du bateau) selon le mode de construction.
2 – Supposez que les États ne soient pas capables de faire payer aux armateurs propriétaires d’un
pétrolier abîmé les dommages environnementaux dus au naufrage. Déterminez le choix de
construction (simple ou double coque) des armateurs. Ce choix est-il socialement efficace ?
rd
fava
scal.
3 – Supposez que les États soient capables de faire payer aux armateurs l’ensemble des dommages
environnementaux que leur activité génère. Déterminez, dans ce cas, le choix des armateurs.
Solution :
1) Espérance de coût social si naufrage : ES = 0.01(500 + 10000) + 0.99(0) = 105 millions et surcoût
pour éviter les naufrages : 550 − 500 = 50 millions. Il est donc socialement optimal d’exiger des
navires à doubles coques.
2) Espérance de coût privé si naufrage : EP = 0.01(500) + 0.99(0) = 5 millions et surcoût pour éviter
les naufrages : 550 − 500 = 50 millions. Les propriétaires ne vont pas utiliser des navires à doubles
coques.
3) On se retrouve dans le cas de la première question et donc les armateurs construisent des doubles
coques. Lors d’un naufrage les armateurs génèrent une externalité négative de 10 milliards d’euros.
Il est socialement optimal d’internaliser ces externalités.
Exercice 34 : A plogut
Les inondations causent des dégâts considérables mais évacuer les
zones inondables est coûteux. L’agence Enaigada, bénévolente, veut établir des critères d’évacuation des zones inondables. La probabilité d’inondation est de 1%. Il y a quatre réalisations
i. pas d’évacuation et pas d’inondation (NENI),
ii. évacuation et pas d’inondation (ENI),
iii. évacuation et inondation (EI),
iv. pas d’évacuation et inondation (NEI).
.fr/
.free
possibles :
On sait que l’agence Enaigada est indifférente entre la loterie « certaine », `ENI , et une loterie
composée : `NENI avec une probabilité p et `NEI avec une probabilité 1 − p. On sait aussi que
l’agence Enaigada est indifférente entre `EI et : `NENI avec une probabilité q et `NEI avec une
Université François Rabelais| 29-01-2017
94/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
probabilité 1 − q. Pour finir, cette agence préfère strictement `NENI à `NEI . On notera u(·) la fonction
d’utilité, de type vNM, de l’agence.
1 – Écrivez de manière beaucoup plus concise les informations que vous avez sur les préférences
de l’agence Enaigada. Justifiez économiquement ces préférences.
2 – Si u(`NENI ) est normalisé à un et si u(`NEI ) est nul : calculez les niveaux d’utilité, en fonction
des paramètres, pour les deux réalisations restantes.
Supposons que l’agence Enaigada ait deux critères de choix possibles, un plus « frileux » que
l’autre.
Critère 1 : Dans le cas d’une inondation, 90 fois sur 100 elle aura pris la bonne décision ex-ante (i.e.
évacuer les zones inondables) et dans le cas où il n’y a pas d’inondation, 10 fois sur 100 elle
aura pris la mauvaise décision (i.e. évacuer les zones inondables).
rd
fava
scal.
Critère 2 : Dans le cas d’une inondation, 95 fois sur 100 elle aura pris la bonne décision ex-ante (i.e.
évacuer les zones inondables) et dans le cas où il n’y a pas d’inondation, 15 fois sur 100 elle
aura pris la mauvaise décision (i.e. évacuer les zones inondables).
3 – Lequel des critères est le plus « frileux » ? Pourquoi ?
4 – Pour chacun des critères déterminez la distribution de probabilité des quatre réalisations
possibles.
5 – En utilisant la fonction d’utilité u(·), déterminez le critère choisi par l’agence Enaigada.
Solution :
1) Les préférence de l’agence Enaigada sont telles que : `NENI `NEI , `ENI ∼ ((`NENI , p), (`NEI , 1 − p))
et `EI ∼ ((`NENI , q), (`NEI , 1 − q)). Les quatre loteries certaines sont en fait des sommes monétaires.
Par exemple, s’il n’y a pas d’inondation et que l’on n’a pas évacué les zones inondables, aucun
coût (Enaigada est bénévolente) n’est subi. Dans les trois autres cas il y aura des coûts, noté c. . Il
est évident que c NEN I < c NEI mais aussi que : c NEN I < c EN I et que c NEN I < c EI . Il n’est pas non
plus illégitime de penser que c EI < c NEI , sinon pourquoi se poser la question d’évacuer les zones
.fr/
.free
inondables... Le seul point que l’on pourrait discuter, c’est l’inégalité : c EN I < c NEI . Mais c’est assez
raisonnable de penser que cette hypothèse n’est pas héroïque. Ceci étant admis, les préférences de
l’agence, notamment sur les loteries composées, ne sont pas « choquantes ».
2) On a :

u(`
ENI )
= pu(`NENI ) + (1 − p)u(`NEI ) = p,
u(` ) = qu(`
EI
NENI ) + (1 − q ) u (`NEI ) = q.
(3.1)
3) C’est le critère 2. Dans ce cas Enaigada a une probabilité d’évacuer plus forte.
4) La probabilité qu’il y ait une inondation est Pr( I ) = 0.01 et qu’il n’y en ait pas est Pr( N I ) = 0.99.
On va utiliser les probabilités conditionnelles. La distribution de probabilité des quatre réalisations
Université François Rabelais| 29-01-2017
95/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
possibles est donnée par :



Pr( NEN I ) = Pr( NE/N I )Pr( N I ),




Pr( EN I ) = Pr( E/N I )Pr( N I ),


Pr( EI ) = Pr( E/I )Pr( I ),




Pr( NEI ) = Pr( NE/I )Pr( I ).
(3.2)
i. Le critère 1 nous donne : Pr( E/I ) = 0.9 et donc Pr( NE/I ) = 0.1, mais aussi Pr( E/N I ) = 0.1
et donc Pr( NE/N I ) = 0.9. En utilisant (3.2), on a : (Pr( NEN I ), Pr( EN I ), Pr( EI ), Pr( NEI )) =
(0.891, 0.099, 0.009, 0.001). La somme de ces quatre probabilités fait bien un.
ii. Le critère 2 nous donne : Pr( E/I ) = 0.95 et donc Pr( NE/I ) = 0.05, mais aussi Pr( E/N I ) = 0.15
et donc Pr( NE/N I ) = 0.85. En utilisant (3.2), on a : (Pr( NEN I ), Pr( EN I ), Pr( EI ), Pr( NEI )) =
(0.8415, 0.1485, 0.0095, 0.0005). La somme de ces quatre probabilités fait bien un.
5) Le niveau d’utilité de l’agence, en utilisant (3.1), si elle adopte le critère 1 est : u1 = 0.891 +
0.099p + 0.009q et si elle adopte le critère 2 : u2 = 0.8415 + 0.1485p + 0.0095q. On a donc u1 − u2 =
rd
fava
scal.
49.5 − 49.5p − 0.5q, cette différence est positive si 99p + q < 99, dans ce cas l’agence Enaigada
choisira le critère 1 et le critère 2 dans le cas contraire. Si 99p + q = 99, l’agence est indifférente
entre les deux critères.
Exercice 35 : Loterie
Considérons un agent économique et les deux loteries suivantes :

200=
C avec une probabilité égale à 0.7
`=
 0=
C
avec une probabilité égale à 0.3
`0 =

1200=
C
avec une probabilité égale à 0.1
 0=
C
avec une probabilité égale à 0.9
Notons x` (resp. x`0 ) la somme d’argent telle que l’agent soit indifférent entre percevoir cette
somme ou jouer à la loterie ` (resp. `0 ).
1 – Quel nom donne-t-on à x` en économie du risque ?
2 – Soit φ(`) la prime de risque, calculez φ(`) en fonction de x` .
3 – Calculez x`0 .
4 – Montrez que si les préférences de l’agent sont transitives et monotones, alors :
Solution :
1) Équivalent certain.
(3.1)
3
[
200
]
+
[
0
]
− x` = 140 − x`
10
10
3) On ne peut pas le calculer puisqu’on ne connaît pas la fonction d’utilité de l’agent.
4) Par commodité on notera de la même façon l’équivalent certain et la loterie qui donne cette somme
d’argent avec une probabilité égale à un. Par construction ` ∼ x` et `0 ∼ x`0 , donc si ` `0 par
transitivité x` x`0 et si x` x`0 par transitivité ` `0 . On a donc ` `0 ⇐⇒ x` x`0 si les
préférences sont transitives. Les préférences étant monotones on a x` x`0 ⇐⇒ x` > x`0 . CQFD
2) En utilisant la définition vue en cours on a : φ(`) =
Université François Rabelais| 29-01-2017
7
.fr/
.free
` `0 ⇐⇒ x` > x`0 .
96/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
C, c’est sa seule
Joe Bar possède une moto d’une valeur de 10 k=
a
://p
http
Exercice 36 : Joe t’assures ?
richesse. Il a deux chances sur trois de ne pas avoir un accident. En cas d’accident, sa moto perdrait
la moitié de sa valeur. Il existe un marché concurrentiel de l’assurance moto. Si Joe paie une prime
p, en cas d’accident il recevra un indemnisation I. Notons U (.) la fonction d’utilité vNM de Joe et
v(R) sa fonction d’utilité indirecte, R étant sa richesse ex-post.
1 – Écrivez la loterie, ` a , que Joe consomme s’il s’assure et celle qu’il consomme, `na , s’il ne s’assure
pas.
2 – Calculez U (` a ) et U (`na ).
3 – Sous quelle condition Joe s’assurera ?
Examinons le comportement de Joe, en terme de couverture du risque, en fonction de ses préférences. Si v(R) = eR :
4 – Sous quelle condition Joe s’assurera totalement ?
5 – Quel montant minimal d’indemnisation doit-on proposer à Joe pour qu’il accepte de payer une
prime de 0.5 k=
C?
6 – Calculez l’équivalent certain c(`na , v) et la prime de risque φ(`na , v).
Si v(R) = R :
rd
fava
scal.
7 – Calculez les coefficients d’aversion absolue et relative au risque.
8 – Sous quelle condition Joe s’assurera totalement ?
9 – Quel montant minimal d’indemnisation doit-on proposer à Joe pour qu’il accepte de payer une
prime de 0.5 k=
C?
10 – Calculez l’équivalent certain c(`na , v) et la prime de risque φ(`na , v).
11 – Calculez les coefficients d’aversion absolue et relative au risque.
Si v(R) = ln R :
12 – Sous quelle condition Joe s’assurera totalement ?
13 – Quel montant minimal d’indemnisation doit-on proposer à Joe pour qu’il accepte de payer une
prime de 0.5 k=
C?
14 – Calculez l’équivalent certain c(`na , v) et la prime de risque φ(`na , v).
15 – Calculez les coefficients d’aversion absolue et relative au risque.
16 – Comparez et expliquez les résultats précédents.
.fr/
.free
Solution
: 2 1
2 1
1) `na =
3 , 3 ; (10, 5) et ` a =
3 , 3 ; (10 − p, 5 − p + I ) .
2) U (` a ) = E(v(R a )) = 23 v(10 − p) + 31 v(5 − p + I ) et U (`na ) = E(v(Rna )) = 23 v(10) + 13 v(5).
3) Joe s’assurera si ` a % `na et donc si :
U (` a ) ≥ U (`na )
4) Si Joe s’assure totalement alors I = 5 k=
C, en utilisant (3.1) :
2
1
2
1
v(10 − p) + v(10 − p) ≥ v(10) + v(5)
3
3
3
3
⇒ 2e10− p + e10− p ≥ 2e10 + e5 ⇒ p ≤ p1 ' 0.40
5) Pour une prime de 0.5 k=
C, en utilisant (3.1), Joe acceptera de s’assurer si :
2
1
2
1
v(9.5) + v(4.5 + I ) ≥ v(10) + v(5)
3
3
3
3
Université François Rabelais| 29-01-2017
(3.1)
(3.2)
(3.3)
97/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
⇒ 2e9.5 + e4.5+ I ≥ 2e10 + e5 ⇒ I ≥ I1 ' 5.25
6) Par définition, l’équivalent certain est donné par :
2
1
v(10) + v(5)
3
3
10
2e + e5
⇒ c(`na , e) = ln
' 9.60
3
v(c(`na , v)) =
(3.4)
et la prime de risque par :
φ(`na , v) = E(Rna ) − c(`na , v)
10
2e + e5
25
− ln
' −1.26
⇒ φ(`na , e) =
3
3
(3.5)
Trouver dans ce cas une prime négative signifie que Joe n’a pas besoin qu’on lui verse une prime
pour consommer `na . En fait, il est même disposé à payer un somme inférieure ou égale à 1.26 k=
C.
7) Par définition, le coefficient d’aversion absolue au risque est donné par :
v00 (R)
v0 (R)
(3.6)
rd
fava
scal.
r a (R, v) = −
⇒ r a (R, e) = −1, la fonction e est donc CARA. Par définition, le coefficient d’aversion relative au
risque est donné par :
Rv00 (R)
(3.7)
rr (R, e) = − 0
v (R)
⇒ rr (R, e) = −R.
8) Si Joe s’assure totalement alors I = 5 k=
C, en utilisant (3.2) :
2(10 − p) + 10 − p ≥ 25 ⇒ p ≤ p2 =
5
' 1.67
3
9) Pour une prime de 0.5 k=
C, en utilisant (3.3), Joe acceptera de s’assurer si :
19 + 4.5 + I ≥ 25 ⇒ I ≥ I2 = 1.5
25
3
.fr/
.free
' 8.33 et en utilisant (3.5), on a φ(`na , 1) = 0.
11) En utilisant (3.6), on a r a (R, 1) = 0, et en utilisant (3.7), on a rr (R, 1) = 0. Dans ce cas particulier la
fonction d’utilité indirecte est à la fois CARA et CRRA.
12) Si Joe s’assure totalement alors I = 5 k=
C, en utilisant (3.2) :
10) En utilisant (3.4), on a c(`na , 1) =
2 ln(10 − p) + ln(10 − p) ≥ 2 ln 10 + ln 5 ⇒ p ≤ p3 ' 2.06
13) Pour une prime de 0.5 k=
C, en utilisant (3.3), Joe acceptera de s’assurer si :
2 ln 9.5 + ln(4.5 + I ) ≥ 2 ln 10 + ln 5 ⇒ I ≥ I3 ' 1.04
1
14) En utilisant (3.4), on a c(`na , ln) = 500 3 ' 7.94 et en utilisant (3.5), on a φ(`na , ln) =
0.40.
15) En utilisant (3.6), on a r a (R, ln) =
1
R
25
3
1
− 500 3 '
et en utilisant (3.7), on a ⇒ rr (R, ln) = 1. La fonction ln est
CRRA et DARA.
Université François Rabelais| 29-01-2017
98/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
16) Si v(R) = eR alors Joe est « risquophile » puisque sa fonction d’utilité indirecte est strictement
convexe. Si v(R) = R alors Joe est neutre au risque puisque sa fonction d’utilité indirecte est
strictement linéaire. Si v(R) = ln R alors Joe a une aversion stricte au risque puisque sa fonction
d’utilité indirecte est strictement concave. On a donc fort logiquement p1 < p2 < p3 , I1 > I2 > I3 ,
c(`na , e) > c(`na , 1) > c(`na , ln) et φ(`na , e) < φ(`na , 1) < φ(`na , ln). Un agent averse au risque est
disposé à payer une prime « élevée » ou disposé à recevoir une indemnisation « faible », ceteris
paribus. Notez qu’un risquophile n’est pas un agent qui préfère ne pas être assuré...
Un des trois petits cochons, a une épargne de 100 000=
C
et possède une maison construite avec de la paille d’une valeur de 300000=
C, notée m. La probabilité
Exercice 37 : Les trois petits cochons
que sa maison soit entièrement détruite par le souffle du loup est pē = 0.5. S’il exerce un niveau
d’effort e = 0.3 afin de protéger sa maison, la probabilité tombe à pe = 0.2. La fonction d’utilité du
√
petit cochon est de type vNM, et son utilité indirecte est : u(y, e) = y − e, avec y sa richesse et e
est le niveau d’effort qu’il exerce.
1 – En l’absence d’assurance, est-ce que le petit cochon va chercher à réduire la probabilité que sa
rd
fava
scal.
maison soit détruite ?
Le petit cochon envisage de prendre une assurance « catastrophe naturelle » pour pouvoir
rebâtir sa maison si celle-ci est « soufflée » par le loup. L’agent d’assurance lui explique que la
police d’assurance comprend une prime A et que l’assurance rembourse la valeur de la maison en
cas de destruction à l’exception d’un montant F qui restera à sa charge.
2 – Pourquoi le petit cochon peut-il souhaiter souscrire une assurance ? Comment appelle-t-on F ?
3 – Pourquoi la compagnie d’assurance choisit-elle d’introduire F dans son contrat ? Vérifiez que
l’entreprise d’assurance a raison.
4 – Pour une prime donnée A, quel est le montant minimal F que doit fixer la compagnie d’assurance ?
5 – Indiquer la manière dont on peut trouver le contract optimal ( A, F ) qui maximise les bénéfices
de la société d’assurance et qui rende le petit cochon indifférent entre souscrire et ne pas
souscrire d’assurance (en supposant toujours que la compagnie d’assurance veut inciter l’assuré
à faire un effort élevé).
6 – Le petit cochon choisirait-il de souscrire une police actuariellement juste sans franchise, si ce
produit existait sur le marché ? Justifiez votre réponse.
.fr/
.free
7 – Sachant que la plupart des polices d’assurance ont des franchises obligatoires, les consommateurs ne sont jamais pleinement assurés. Est-il correct de conclure que les consommateurs
seraient mieux lotis avec une loi interdisant les franchises ?
Solution :
1) Il faut comparer ses espérances d’utilités, il fera des efforts si E(u(y, e)) > E(u(y, ē)).
p
√
E(u(y, e)) = (1 − pe )( y − e) + pe ( y − m − e) ' 568.91
avec m la valeur de la maison.
p
√
E(u(y, ē)) = (1 − pē ) y + pē y − m ' 474.34
Université François Rabelais| 29-01-2017
99/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
En l’absence d’assurance il préfère faire des efforts.
∂2 u(·)
3
2) Montrons que le petit cochon est averse au risque :
= − 41 y− 2 < 0 et det( H ) = 0. Si on
2
∂y
propose le « bon » contrat d’assurance, il acceptera de le souscrire étant donné son aversion. La
valeur F est appelée « franchise ».
3) Elle introduit une franchise pour inciter le petit cochon à faire des efforts. Avec assurance complète,
il peut être incité à ne plus faire d’effort pour protéger sa maison. On doit donc vérifier qu’avec
une assurance sans franchise son espérance d’utilité s’il fait des efforts est plus petite que s’il n’en
fait pas.
E(u(y − A, e)) = (1 − pe )(
p
p
p
y − A − e ) + pe ( y − A − e ) = y − A − e
p
p
p
E(u(y − A, ē)) = (1 − pē ) y − A + pē y − A = y − A
Pour une désutilité de l’effort strictement positive le petit cochon lorsqu’il peut souscrire une
assurance complète ne fera pas d’effort pour diminuer le risque de destruction.
On doit avoir :
(1 − pe )
rd
fava
scal.
4) La franchise doit être telle qu’elle incite le petit cochon à faire des efforts de protection.
p
p
E(u(y − A, e)) = (1 − pe )( y − A − e) + pe ( y − A − F − e)
p
p
= (1 − pe ) y − A + pe y − A − F − e
p
p
E(u(y − A, ē)) = (1 − pē ) y − A + pē y − A − F
p
y − A + pe
p
y − A − F − e > (1 − pē )
p
⇒ F > 2 y− A−1
p
y − A + pē
p
y−A−F
5) Le programme de l’assureur si on considère qu’il n’a que le petit cochon comme client est :
P Assureur
Max (1 − pe ) A + pe ( A − m + F )
{ A,F }
(3.1)
slc CP & CI
Contrainte de Participation : Le petit cochon préfère s’assurer
p
p
p
√
(1 − pe )( y − A − e) + pe ( y − A − F − e) ≥ (1 − pe )( y − e) + pe ( y − m − e)
.fr/
.free
Contrainte Incitative : Le petit cochon fera un effort en étant assuré
p
p
p
p
(1 − pe )( y − A − e) + pe ( y − A − F − e) ≥ (1 − pē ) y − A + pē y − A − F
6) Une police d’assurance actuariellement juste est une police dont le montant est égal à l’espérance
de perte. Ici on sait qu’avec une assurance sans franchise, le petit cochon ne fait pas d’effort et donc
que la probabilité que sa maison brûle est pē . Donc la prime actuarielle est A = pē m = 150000. M.
Cochon choisira de s’assurer ssi :
Eu(avec assurance, sans franchise et sans effort) > Eu(sans assurance et donc avec effort).
√
p
p
p
Or Eu(avec assurance) = (1 − pē ) y − A + pē y − A = y − A = 250000 = 500. On sait
par ailleurs que Eu(sans assurance) ' 568.91 (cf. question 2)). M. Cochon ne souscrit donc pas
l’assurance avec prime actuarielle.
Université François Rabelais| 29-01-2017
100/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
7) Non. Sans franchise, l’assuré n’a pas d’incitation à faire des efforts. La prime d’assurance sera donc
plus élevée et au final l’assuré est moins satisfait (cf. question 6)).
Exercice 38 : À Sue vaillante rien d’impossible
Sue Vaillan est une consommatrice vivant
deux périodes. La quantité de bien j, ( j = 1, 2), consommée à la date t, (t = 1, 2), est notée xit . Les
prix unitaires sont notés p jt . La fonction d’utilité intertemporelle de Sue, u, est donnée par :
α
u ( x11 , x21 , x12 , x22 ) = x11 x21 [ x12 x22 ]ρ ,
(3.1)
avec ρ un réel positif et α < 0.5. Il existe un marché financier concurrentiel sur lequel le taux
d’intérêt i est strictement positif. Sue peut écrire un contrat crédibilisant ses opérations sur le
marché financier, l’écriture de ce contrat est supposée n’engendrer aucun coût. Le taux d’inflation
dans cette économie est noté g et est supposé positif. À la date t, Sue reçoit un revenu exogène Rt .
On supposera que les revenus sont parfaitement indexés sur les prix et on notera r le taux d’intérêt
réel.
1 – Quel mot utilise-t-on pour qualifier la taux d’intérêt i ?
rd
fava
scal.
2 – Si Sue préfère le présent que peut-on en déduire sur ρ ?
3 – Écrivez la contrainte budgétaire intertemporelle de Sue.
4 – Écrivez le programme d’optimisation de Sue.
5 – Déterminez le meilleur choix de Sue en terme de consommations.
6 – Comment évolues ces consommations par rapport au taux d’intérêt réel ?
7 – Sous quelle condition Sue épargnera durant la première période de sa vie ?
Solution :
1) En économie i est appelé taux d’intérêt nominal.
2) La préférence pour le présent implique que ρ < 1.
3) Sue étant crédible sur le marché financier, elle ne laissera pas des dettes à sa mort. Sa contrainte
budgétaire intertemporelle est donc :
p11 x11 + p21 x21 +
p12 x12 + p22 x22
R2
≤ R1 +
1+i
1+i
(1 + g) p11 x12 + (1 + g) p21 x22
(1 + g)R1
≤ R1 +
1+i
1+i
p x + p21 x22
R1
⇔ p11 x11 + p21 x21 + 11 12
≤ R1 +
(3.2)
1+r
1+r
Si Sue n’avait pas accès au marché financier il faudrait écrire deux contraintes budgétaires et elle
n’aurait pas la possibilité de faire des transferts entre les deux périodes.
4) Le programme de Sue, en utilisant (3.1) et (3.2), est :
α
Max
x11 x21 [ x12 x22 ]ρ
{ x11 ,x21 ,x12 ,x22 }
PSue
(3.3)
p11 x12 + p21 x22
R1
slc p11 x11 + p21 x21 +
≤ R1 +
1+r
1+r
5) En utilisant les CN1 du programme (3.3) on a :
(2 + r )R1
(2 + r )R1
ρ(2 + r )R1 ρ(2 + r )R1
∗
∗
∗
∗
,
,
,
( x11 , x21 , x12 , x22 ) =
2p11 (1 + ρ)(1 + r ) 2p21 (1 + ρ)(1 + r ) 2p11 (1 + ρ) 2p21 (1 + ρ)
⇔ p11 x11 + p21 x21 +
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
101/256
c Pascal FAVARD
∂x ∗j2
a
://p
http
∂x ∗j1
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
=
− 2p (1+Rρ1)(1+r)2
j1
=
R1
p j1 (1+ρ)
> 0. Lorsque le taux d’intérêt réel augmente,
∂r
∂r
Sue substitue de la consommation future à la consommation présente 1 . Soit Sue épargne et si
6) On
< 0 et
r augmente son épargne augmente, soit elle emprunte et son endettement de première période
diminue.
∗ + p x∗ < R ⇔ ρ >
7) Sue épargne si p11 x11
21 21
1
Exercice 39 : CAC39
1
1+r .
Soit CAC39 une entreprise cotée à la bourse de Paris. Dans ce qui suit
la date t désigne le 1er janvier de l’année t. La somme Dt est versée, pour chaque action, aux
actionnaires à la date t. On anticipe que cette somme va croître régulièrement au taux g et que
donc :
Dt + 1 − Dt
pour t = 0, 1, 2, ...
Dt
Notons i le taux d’actualisation et supposons que g < i.
g=
1 – Comment appelle-t-on la somme Dt ?
2 – Donnez un exemple de ce que pourrait être i.
rd
fava
scal.
3 – Calculez la somme actualisée en t = 0 des sommes Dt versées de t = 1 à t = T en fonction de
1+ g
1+ i
= a, pour simplifier l’expression obtenue.
4 – On appellera V0 , la valeur obtenue à la question précédente lorsque T tend vers l’infini. Calculez
V0 .
5 – Comment appelle-t-on la formule obtenue à la question précédente ?
6 – Si CAC39 paye, en t = 0, 15=
C par action, que le taux d’actualisation est de 8% et que g est de
3%, calculez V0 .
7 – Supposons que les profits de CAC39 ne sont pas entièrement distribués aux actionnaires. Soit
πt les profits de l’année t distribués ou réinvestis au 1er janvier de l’année t + 1. On a donc :
D1 , g et i. On posera que
Dt+1 = απt pour t = 0, 1, 2, ...
(3.1)
avec α ∈ (0, 1), le taux de distribution des profits. Comment appelle-t-on la partie non distribuée
des profits qui est réinvestie dans l’entreprise ?
8 – Supposons que CAC39 ne puisse lever aucun fond sur les marchés financiers et donc que si elle
veut investir, elle ne peut utiliser que la partie non distribuée de ses profits. Notons r le taux de
rendement des capitaux investis dans CAC39. Soit Kt le montant des capitaux investis en t. On
πt = rKt
et :
.fr/
.free
a donc :
K t − K t −1 = (1 − α ) π t −1
Exprimez g en fonction de α et de r.
9 – En déduire V0 en fonction de D0 , α, r et i.
(3.2)
(3.3)
10 – Supposons que CAC39 après clôture de ses comptes de l’année précédente, fasse en t = 0 un
profit par action de 15=
C. Supposons que i soit de 8%, r de 14% et que CAC39 réinvestisse la
moitié de ses profits. Calculez V0 .
1. Cet effet peut être décomposé en un effet substitution et un effet revenu.
Université François Rabelais| 29-01-2017
102/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
Solution :
1) Les dividendes.
2) Le taux d’actualisation pourrait être, par exemple, le taux d’intérêt d’un placement sans risque.
3) Cette somme s’écrit :
D2
D3
DT
D1
+
+
+ ... +
2
3
1 + i (1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) T
comme les dividendes croissent à taux constant g :
=
D1
D (1 + g) D1 (1 + g)2
D1 (1 + g) T −1
+ 1
+
+
...
+
1+i
(1 + i )2
(1 + i )3
(1 + i ) T
#
"
D1
(1 + g ) (1 + g )2
(1 + g ) T −1
=
1+
+
+ ... +
1+i
(1 + i )
(1 + i )2
(1 + i ) T −1
en utilisant a :
=
rd
fava
scal.
4) Il faut calculer :
i
D1 h
1 + a + a2 + ... + a T −1
1+i
D1 1 − a T
=
1+i 1−a
D1 1 − a T
V0 = Lim
1−a
T →+∞ 1 + i
Comme 0 < a < 1 puisque g < i, donc :
V0 =
⇒
D1
D
1
=
(1 + i ) (1 − a )
(1 + i ) 1 −
V0 =
1+ g
1+ i
D1
.
i−g
(3.4)
5) C’est la formule de Gordon-Shapiro.
6) Il faut tout d’abord calculer D1 , D1 = (1 + g) D0 et donc (3.4) devient :
V0 =
1, 03 ∗ 15
= 309=
C.
0, 08 − 0, 03
7) L’autofinancement.
8) Par définition :
g=
en utilisant (3.1) on obtient :
Dt + 1 + Dt
Dt
g=
απt + απt−1
π t + π t −1
=
απt−1
π t −1
g=
rKt − rKt−1
K t − K t −1
=
rKt−1
K t −1
et en utilisant (3.2) on obtient :
Université François Rabelais| 29-01-2017
(3.5)
.fr/
.free
⇒ V0 =
(1 + g) D0
i−g
103/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
d’où en utilisant (3.3) et (3.2) on obtient :
g=
(1 − α ) π t −1
π t −1
r
.
Après simplification on a :
g = r (1 − α ) ,
(3.6)
le taux de croissance des dividendes est donc égal au produit du taux de rendement du capital
investit dans l’entreprise par la fraction des profits réinvestis.
9) On peut en utilisant (3.6) réécrire la formule de Gordon-Shapiro (3.5)) :
V0 =
(1 + r (1 − α)) D0
.
i − r (1 − α )
(3.7)
On appelle cette valeur, la valeur fondamentale de CAC39 en t = 0.
10) V0 nous est donnée par la formule (3.7) :
[1 + r (1 − α)] D0
,
i − r (1 − α )
rd
fava
scal.
V0 =
et α est égal à 0, 5 dans ce cas, donc :
V0 =
Exercice 40 : Conjoncture
(1 + 0, 14 (1 − 0, 5))15
= 1605=
C.
0, 08 − 0, 14 (1 − 0, 5)
La société Conjoncture étudie un projet d’investissement qui peut
être : réalisé à la date 0 (D1 ), ou reporté à la date 1 et réalisé à cette date (D2 ), ou reporté à la date 1
et abandonné à cette date (D3 ). Le capital investi est de 800 ; la durée de vie du projet est de 4 ans
et le coût du capital est de 8%. Si l’investissement est réalisé à la date 0, les recettes nettes à la date
1 seront de 150. Les recettes nettes aux dates 2, 3 et 4 seront : de 350 si la situation du marché est
favorable et de 200 si la situation du marché est peu favorable. Si l’investissement est réalisé à la
date 1, les recettes nettes seront toutes les années suivantes : de 350 si la situation du marché est
favorable et de 200 si la situation du marché est peu favorable.
1 – Calculez la VAN correspondant à chacune des situations possibles. Présentez les résultats dans
un tableau.
américain Savage.
.fr/
.free
2 – Indiquez quel est le projet choisi si la société Conjoncture suit les conseils du mathématicien
3 – Indiquez quel est le projet choisi si la société Conjoncture suit les conseils du mathématicien
Austro-Hongrois Wald.
On suppose maintenant qu’il y a 40% de chances que la situation du marché soit peu favorable.
4 – Quelle serait alors la décision de la société Conjoncture si elle suit les conseils du célèbre
mathématicien Pascal ?
Solution :
1) Soit les trois décisions possibles D1 , D2 et D3 et 2 états de la nature E (marché favorable) et E
(marché défavorable). Calculons les Valeurs Actualisées Nettes dans tous les cas de figure.
Université François Rabelais| 29-01-2017
104/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
150
350
350
350
1+0.08 + (1+0.08)2 + (1+0.08)3 + (1+0.08)4 = 174
200
200
200
VAN ( D1 /E) = −800 + 1+150
0.08 + (1+0.08)2 + (1+0.08)3 + (1+0.08)4 = −184
350
350
350
350
VAN D2 /E = − 1+800
0.08 + (1+0.08)2 + (1+0.08)3 + (1+0.08)4 + (1+0.08)5 = 333
200
200
200
200
VAN ( D2 /E) = − 1+800
0.08 + (1+0.08)2 + (1+0.08)3 + (1+0.08)4 + (1+0.08)5 = −127
a
://p
http
VAN D1 /E = −800 +
Décisions
États de la nature
D1
D2
D3
E
174
333
0
E
−184
−127
0
Tableau 3.1 : VAN
2) Savage : Minimisation du regret max
rd
fava
scal.
Décisions
États de la nature
D1
D2
D3
E
333 − 174 = 159
0
333
E
184
127
0
Tableau 3.2 : Matrice des regrets
Donc choix de la décision 2
3) Dans notre cas c’est la décision D3 qui vérifie le critère de Wald : critère du MaxMin.
4) Calculons les espérance de gains des trois décisions :
E( D1 ) = 0.6 × 174 − 0.4 × 184 = 30.8
E( D2 ) = 0.6 × 333 − 0.4 × 127 = 149
E( D3 ) = 0
choisira la décision D2 .
3.2
Exercices théoriques
Exercice 41 : Plus concave
.fr/
.free
Avec le critère de maximisation de l’espérance de gain de Pascal prénommé Blaise, Conjoncture
Deux agents économiques hétérogènes dans leurs préférences ont
la même richesse initiale, notée R, mais pas la même fonction d’utilité indirecte. On notera vi celle
de l’agent i avec i = 1, 2. Par définition, l’agent 1 est plus risque-adverse que l’agent 2, ceci quelque
soit le niveau de richesse initiale, si le premier « n’aime pas » toutes les loteries monétaires que le
second n’aime pas. L’agent 1 est plus réticent à prendre un risque que l’agent 2. Les fonctions vi
Université François Rabelais| 29-01-2017
105/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
sont C 2 , strictement croissantes et strictement concaves, on peut donc définir la fonction ψ telle
que ∀ν ∈ R :
ψ ( ν ) = v1
v2−1 (ν)
.
(3.1)
La fonction ψ transforme donc v2 en v1 .
dψ (v2 (R))
1 – Calculez
, déduisez-en que cette dérivée est positive.
dν
Considérons tous les risques (loteries) xe tels que : E (v2 (R + xe)) ≤ v2 (R). L’agent 2 n’aime pas les
d2 ψ(·)
< 0.
risques xe. Supposons aussi que
dν2
2 – Montrez que l’agent 1 n’aime pas les risques xe. Commentez.
d2 ψ (v2 (R))
3 – Calculez
en fonction des coefficients d’aversion absolue au risque. Commentez.
dν2
Notons φi la prime de risque de l’agent i, qui par définition est solution de : E (vi (R + xe)) =
vi (R − φi ) et ci l’équivalent certain, qui par définition est solution de : E (vi (R + xe)) = vi (R + ci ).
4 – Montrez que φ2 (R, xe) ≤ φ1 (R, xe) ; ∀( xe, R). Commentez.
5 – Montrez que c2 (R, xe) ≥ c1 (R, xe) ; ∀( xe, R). Commentez.
rd
fava
scal.
Solution :
1) Dans (3.1) substituons ν par v2 (R), on obtient :
ψ(v2 (R)) = v1 (R).
(3.2)
dv1 (R)
dψ (v2 (R))
= dR .
dv2 (R)
dν
dR
(3.3)
La differentielle de (3.2) nous donne :
dψ (v2 (R))
> 0.
Les fonctions vi étant strictement croissantes, on a, en utilisant (3.3),
dν
2) ψ étant strictement croissante on a : ψ (E (v2 (R + xe))) ≤ ψ (v2 (R)). En utilisant l’inégalité
de Jensen et la concavité de ψ on obtient : E (ψ (v2 (R + xe))) ≤ ψ (E (v2 (R + xe))). L’équation
(3.1) implique : ψ (v2 (R)) = v1 (R) et E (ψ (v2 (R + xe))) = E (v1 (R + xe)). On a donc bien :
E (v1 (R + xe)) ≤ v1 (R), l’agent 1 n’aime pas non plus les risques xe. La concavité de la fonction
ψ est une condition suffisante pour que tous les risques « détestés » par l’agent 2 le soient par
l’agent 1. L’agent 1 est plus risque-adverse que l’agent 2 si la fonction d’utilité indirecte du premier
.fr/
.free
est la transformée concave de celle du second.
3) En dérivant deux fois (3.2) et en utilisant (3.3), on obtient :
 2

d v1 (R)
d2 v2 (R)
dv1 (R)
 dR2
d2 ψ (v2 (R))
dR
dR2 
.

=
−

dv2 (R) 
dν2
dv2 (R) 2 dv1 (R)
dR
dR
dR
(3.4)
En posant Ai (R) le coefficient d’aversion absolue au risque de l’agent i, (3.4) est équivalente à :
dv1 (R)
d2 ψ (v2 (R))
= dR 2 [ A2 (R) − A1 (R)] .
dν2
dv2 (R)
dR
Université François Rabelais| 29-01-2017
(3.5)
106/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
a
://p
http
La fonction ψ est concave si et seulement si ∀R ∈ R+ ; A1 (R) ≥ A2 (R).
4) Puisque l’agent 1 est plus adverse au risque que l’agent 2, si E (v2 (R + xe)) = v2 (R) alors
E (v1 (R + xe)) ≤ v1 (R). Posons Z = R + φ2 et ye = xe − φ2 , on a donc : E (v2 (Z + ye)) =
v2 (Z − φ2 ) ⇒ E (v1 (Z + ye)) ≤ v1 (Z − φ2 ). Comme v1 est croissante on a : E (v1 (Z + ye)) =
v1 (Z − φ1 ) ≤ v1 (Z − φ2 ) si φ1 ≥ φ2 . Un agent qui exige une prime de risque plus élevée est plus
adverse au risque.
5) Exactement le même type démonstration qu’à la question 4).
Exercice 42 : Approximation d’Arrow-Pratt
Considérons un risque pur (bruit blanc) xe et h un réel proche de zéro. La fonction d’utilité
indirecte de l’agent étudié est notée v(R) ∈ C 2 et sa richesse initiale est notée w. On supposera
qu’il existe une fonction π (h) telle que :
E (v(w + he
x )) = v(w − π (h)).
(3.1)
1 – Comment appeler π (h) ?
rd
fava
scal.
2 – Calculez π (0).
dπ (0)
= 0.
dh
d2 π (0)
4 – Différentiez deux fois l’équation (3.1) par rapport à h. Déduisez-en que
est un fonction
dh2
du coefficient d’aversion absolue au risque, noté A.
3 – Différentiez l’équation (3.1) par rapport à h. Déduisez-en que
5 – Développez π (h) autour de zéro à l’ordre 2 (Taylor).
6 – En posant ye = he
x, approximez la prime de risque φ(w, ye) pour des « petits » risques. Commentez.
Solution :
1) La prime de risque associée à la loterie he
x pour l’agent étudié.
2) π (0) = 0 puisque h = 0 implique pas de risque.
3) On obtient :
dv(w + he
x)
E xe
dR
=−
dπ (h) dv(w − π (h))
.
dh
dR
(3.2)
dv(·)
n’est pas une v.a., on a donc le
dR
dπ (0)
membre de gauche de l’équation (3.3) égal à zéro. Cela entraîne
= 0.
dh
4) En dérivant (3.3) par rapport à h on obtient :
2
x)
dπ (h) 2 d2 v(w − π (h)) d2 π (h) dv(w − π (h))
2 d v ( w + he
E xe
=
−
.
(3.3)
dh
dR
dR2
dR2
dh2
Le risque xe étant un risque pur on a E( xe) = 0. Si h = 0 alors
dh2
d2 v ( w )
2
= − dR E( xe2 ) = A(w)E( xe2 ).
dv(w)
dR
.fr/
.free
Donc on a :
d2 π (0)
5) Le développement limité à l’ordre 2donne : π (h) ' π (0) + h
résultats précédents : π (h) ' 12 h2 A(w)E( xe2 ).
Université François Rabelais| 29-01-2017
dπ (0) 1 2 d2 π (0)
+ 2h
, en utilisant les
dh
dh2
107/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Risque & Dynamique
ye2
a
://p
http
6) En utilisant le calcul précédent, on a :φ(w, ye) ' 12 h2 A(w)E( h2 ) = 21 A(w)E(ye2 ). Cette approximation permet de « séparer » les caractéristiques du risque, E(ye2 ), et les préférences de l’agent, A(w),
pour évaluer l’impact du risque sur le niveau de satisfaction, tout du moins pour des petits risques.
rd
fava
scal.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
108/256
Chapitre 4
Équilibre partiel
Sommaire
4.1
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Des trucs pas moches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Pas que des bulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Mon chou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Riz Ô taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Il est bio le vin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Alphavil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Tax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
Avant-propos : « L’éthique et le marché » Le- banalisés par le marché. Pas plus que de l’ami-
sEchos.fr Jean Tirole 07/12/2014 à 10:30
Limites morales du marché...
Aux yeux des économistes, le marché est un
puissant mécanisme d’allocation des ressources.
Il protège aussi le citoyen des lobbies et du pou-
tié, l’admission aux grandes universités ou le
prix Nobel ne doivent être achetés, ou les gènes
et plus généralement le vivant ne doivent être
brevetés.
...ou défaillances de marché ?
voir discrétionnaire, si présents dans les écono-
Certains de ces exemples reflètent un
mies planifiées où les mécanismes d’allocation manque de connaissance des très nombreux trades ressources sont plus centralisés. Pour ces vaux d’économistes depuis dix ans et parfois
raisons, il joue un rôle central dans la vie éco- beaucoup plus, en Europe (2) comme aux Étatsnomique. Mais bénéficier des vertus du marché Unis. Ces travaux théoriques et expérimentaux
requiert souvent de s’écarter du laissez-faire. De (sur le terrain, en laboratoire ou en neuroéconofait, les économistes ont consacré une grande mie) couvrent des sujets aussi divers que la mo-
rd
fava
scal.
partie de leurs recherches à l’identification des rale et l’éthique, les normes sociales, l’identité,
défaillances du marché et à leur correction par la confiance, ou les phénomènes d’éviction enla politique publique : droit de la concurrence, gendrés par les incitations. Par exemple, l’idée
régulation par les autorités sectorielles et pru- que l’on puisse acheter une vraie amitié, une
dentielles, taxation des externalités environne- admission à une université ou un prix Nobel
mentales ou de congestion, politique monétaire contrevient aux théories élémentaires sur les asyet de stabilité financière, mécanismes de fourni- métries d’information : ces « biens » perdraient
ture des biens tutélaires comme l’éducation et leur valeur s’ils pouvaient être achetés ! Un marla santé, redistribution, etc. Les spécialistes des ché pour l’adoption d’enfants où les « vendeurs
autres sciences sociales (philosophes, psycho- » (parents biologiques, agences d’adoption) et
logues, sociologues, juristes et politistes...), une les « acheteurs » (les parents adoptifs) s’échangrande partie de la société civile, et la plupart geraient des enfants, n’incluraient pas une tierce
des religions ont une vision différente du marché. partie pourtant très concernée : les enfants euxTout en reconnaissant ses vertus, ils reprochent mêmes. La question de la drogue pose, au-delà
souvent aux économistes de ne pas suffisam- des problèmes de violence ou de santé publique
ment tenir compte des problèmes d’éthique, et liés aux drogues dures, la question de l’insuf-
.fr/
.free
de la nécessité d’établir une frontière claire entre fisance d’autodiscipline et de l’addiction, dont
les domaines marchand et non-marchand.
les individus concernés sont les premières vicUn symptôme de cette perception est le suc- times. Un pays où les droits de vote s’échancès planétaire du livre « Ce que l’argent ne sau- geraient à un prix de marché ne mènerait pas
rait acheter : Les limites morales du marché » de à des politiques auxquelles nous souscririons
Michael Sandel (1), professeur de philosophie à « derrière le voile de l’ignorance », c’est-à-dire
Harvard. Pour citer certains de ses exemples, Mi- avant de connaître notre place dans la société (3).
chael Sandel fait valoir que toute une gamme de Quant à la pollution, l’expérience montre que
biens et services, comme l’adoption d’enfants, la la recommandation la plus fréquente des éconogestation pour autrui, la sexualité, la drogue, le mistes - un prix unique du polluant - a nettement
service militaire, le droit de vote, la pollution ou diminué le coût des politiques écologiques, et
la transplantation d’organes, ne doivent pas être par là les a nettement renforcées. Pour tous ces
Université François Rabelais| 29-01-2017
110/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
exemples, nous sommes donc dans le domaine sirons tous garder l’illusion que la société dans
des défaillances de marché, que les économistes laquelle nous vivons est vertueuse, ceci éclaire
ont toujours mises au premier plan. Une autre aussi la résistance répandue au message des
limite au marché est que dans certaines circons- économistes, souvent porteurs de mauvaises
tances les incitations qu’ils créent peuvent être nouvelles empiriques. Cette idée permet aussi
contre-productives. Roland Bénabou (de l’uni- de comprendre pourquoi les sociétés modernes,
versité Princeton) et moi-même avons supposé voulant signaler leurs valeurs, renoncent à la
qu’un comportement prosocial peut être motivé peine de mort ou à des châtiments cruels, même
par trois facteurs : une vraie générosité, une inci- en cas consentement de la personne concernée à
tation (par exemple monétaire) à adopter un tel une substitution des peines habituelles.
comportement, et une volonté de paraître, c’està-dire de donner une bonne image de soi, soit
vis-à-vis de soi-même soit vis-à-vis des autres.
Le domaine du non-marchand
Une identification de la nature des dé-
Cette volonté de paraître peut être modélisée faillances du marché me semble plus frucgrâce à la théorie « des inférences » (ou « de tueuse pour la conception des politiques pu-
rd
fava
scal.
l’attribution » en psychologie). Elle est d’autant bliques qu’une simple indignation. Il convient
plus importante que le comportement est public par exemple d’aller au fond des choses et de
(surtout devant des personnes dont on recherche travailler sur le terrain pour mieux comprendre.
l’estime) et qu’il est mémorable. Cette recherche Prenons un domaine sur lequel le débat manque
théorique (4) a montré par exemple que quand de profondeur et nécessiterait plus de réflexion :
cette volonté de paraître est importante, une inci- le don d’organe. Il y a longtemps, l’économiste
tation monétaire peut être contreproductive. En Gary Becker remarquait par exemple que l’incas de paiement pour un acte autrement proso- terdiction de vendre son rein limitait les dons
cial (par exemple le don de sang), les individus (essentiellement réservées à la famille ou aux
ont peur que leur contribution soit interprétée très proches), condamnant des milliers de percomme un signe de cupidité plutôt que de géné- sonnes (rien qu’aux Etats-Unis) à mourir chaque
rosité, et que le signal qu’ils envoient aux autres année faute de donneur, et que donc les détracsoit ainsi dilué. Contrairement à un principe de teurs des marchés d’organes ne devraient pas
base de l’économie, une récompense monétaire se targuer de moralité. Malgré le bien-fondé de
peut réduire l’offre du comportement prosocial cet argument, nous éprouvons tous une certaine
concerné. Plusieurs études empiriques réalisées gêne vis-à-vis des marchés de dons d’organe.
.fr/
.free
ont depuis vérifié cette hypothèse. Roland Bé- Mais il conviendrait de comprendre pourquoi.
nabou et moi avons aussi étudié les messages Est-ce parce que nous craignons que les donenvoyés par les politiques publiques quant aux neurs ne soient pas suffisamment informés des
normes sociales, en vigueur ou jugées devoir conséquences de leur acte (dans ce cas, il y a
prévaloir par les autres membres de la société un remède simple : l’obligation pour le donneur
(5). Parfois, l’utilisation de dispositifs incitatifs si- d’écouter une information impartiale) ? Parce
gnale le peu d’enthousiasme de nos concitoyens que la vente d’organe, en dévoilant que des indipour le bien public et par là peut détériorer la vidus sont prêts à perdre un rein pour quelques
norme de comportement citoyen et se révéler centaines d’euros, révèlerait des inégalités que
contreproductive. Dans la mesure où nous dé- nous voudrions bien oublier ? Ou bien parce que
l’on veut protéger les gens contre leur préférence
Université François Rabelais| 29-01-2017
111/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
trop forte pour le présent (la préférence pour ressorts de la moralité et des comportements.
une somme disponible immédiatement contre L’on pourra ainsi mieux comprendre comment
des conséquences néfastes dans le long terme) ? différentes institutions, marché ou systèmes plus
Notre attitude vis-à-vis du marché relève peut- administrés, affectent nos valeurs et nos comporêtre aussi de notre refus de comparer l’argent tements. Une étude récente d’Armin Falk (Bonn)
avec certains autres objectifs. Par exemple, l’in- et Nora Szech (Karlsruhe) publiée dans Science
troduction de considérations financières heurte (8) montre que le partage de responsabilité érode
particulièrement nos vues sur le caractère sa- les valeurs morales. Cette érosion s’applique aux
cré de la vie humaine. La vie, comme nous le marchés, mais existe déjà avec la même puissavons, « n’a pas de valeur ». L’explicitation sance dès qu’une décision implique une autre
des arbitrages liés à la santé (allocation des bud- personne, autorisant (un semblant de) partage
gets hospitaliers ou choix de sécurité) soulève de la responsabilité. L’existence d’ « excuses » («
des controverses importantes. Les tabous sur la l’on m’a demandé de le faire », « quelqu’un le
vie et la mort, faisant partie de « l’incommen- ferait de toute façon si je ne le faisais pas », « je
surable », ont des conséquences, comme un ac- ne savais pas », « tout le monde le fait », etc.)
rd
fava
scal.
croissement des décès dus à notre parti-pris dans a dans toutes les organisations permis la mise
les choix hospitaliers ou l’allocation des bud- au rancart des réticences à des comportements
gets de recherche médicale. Ou, pour prendre peu éthiques. La définition des politiques éconoun cas moins extrême, deux chercheuses amé- miques ne peut se satisfaire d’une dichotomie
ricaines ont montré que même le marché amé- arbitraire entre domaine du non-marchand et
ricain a priori très concurrentiel du funéraire domaine marchand et des cantonnements dans
exhibe des marges quasi-monopolistiques, en des postures morales. Comme le note le psychoraison de notre répugnance de parler d’argent logue et professeur d’éthique Jonathan Haidt
lors d’un décès d’un proche. Et pourtant, nous (9), la morale commune réfère non seulement
mettons tous implicitement une valeur sur la à des externalités, mais aussi à des condamna-
vie, celle des patients lors d’arbitrage dans les tions de comportements sans victime claire. Or
choix d’équipements hospitaliers, ou celle de nos il y a moins d’un demi-siècle, l’opinion majorienfants dans nos choix d’automobile ou de va- taire condamnait les actes sexuels entre deux percances. Mais jamais nous ne voudrons admettre sonnes du même sexe, ou (aux Etats-Unis) entre
que nous faisons ces arbitrages, qui nous mettent deux personnes de races différentes, ou encore
presque aussi mal à l’aise que Sophie ayant à dé- impliquant une femme (mais pas un homme)
.fr/
.free
cider lequel de ses deux enfants doit survivre non-mariée. Sur un terrain plus économique, les
sous la menace que les deux soient gazés si elle droits d’émission négociables inspiraient il y a
refusait de faire un choix.
Les ressorts de la moralité
vingt ans un dégoût généralisé, avant qu’ils se
banalisent une fois qu’il fut compris par une
frange de la population qu’ils promouvaient la
Ces répugnances, ces tabous sont-ils provo- cause écologique. Nos sentiments de répulsion
qués par la peur de perte de dignité qui s’ensui- sont très peu fiables comme source d’inspiration
vrait même si l’on ne faisait même que contem- éthique. Le progrès de la civilisation nécessite
pler de tels choix (7) ? Ou par la peur que la so- de questionner ces sentiments et de privilégier
ciété ne s’engage sur une pente glissante ? Pour la réflexion dans la conception des politiques
avancer, il faudra identifier en profondeur les
Université François Rabelais| 29-01-2017
112/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
livre d’Alessandra Casella (2012) « Storable
fondements des craintes vis-à-vis de la marchan-
Votes. Protecting the Minority Voice », Ox-
disation de certains domaines ainsi que ceux de
ford University Press.
a
://p
http
publiques. Il nous faut mieux comprendre les
la moralité. Ce que la communauté des chercheurs, y compris Roland Bénabou, Armin Falk
• « Incentives and Prosocial Behavior »,
et moi-même, va continuer d’explorer dans les
American Economic Review, 96.(5) : 1652-
années à venir.
1678.
• Editions du Seuil, 2014.
• Par exemple, sur la confiance (Yann Algan à Sciences Po), l’équité (Ernst Fehr
• « Laws and Norms », mimeo.
• Judith Chevalier et Fiona Scott Morton
(2008) « State Casket Sales and Restric-
à Zurich), la motivation intrinsèque (Tim
tions : A Pointless Undertaking ? » Journal
Besley and Maitreesh Ghatak à la London
of Law and Economics.
School of Economics, Marie Claire Ville-
• Roland Bénabou et Jean Tirole « Over My
à Stockholm, Bruno Frey à Zurich, Ingela
Dead Body : Bargaining and the Price of
Alger, Paul Seabright, et Jorgen Weibull à
Dignity », American Economic Review, Pa-
Toulouse), les émotions (Astrid Hopfensitz
pers and Proceedings, 99(2) : 459-465.
rd
fava
scal.
val à Lyon ), l’altruisme (Tore Ellingsen
à Toulouse), le bonheur (Andrew Oswald
à Warwick), Richard Layard et Paul Dolan
• « Morals and Markets », Science, 2013, 340,
707-711.
à LSE, Andrew Clark et Claudia Senik à
PSE) ; et bien d’autres encore.
• « The Righteous Mind : Why Good People
• Pour une discussion en profondeur des
questions de vote, voir par exemple le
4.1
are Divided by Politics and Religion »
(2012).
Exercices appliqués
Pour produire q unités d’output, l’entreprise TrucMuch
Exercice 43 : Des trucs pas moches
supporte des coûts variables CV (q) et des coûts fixes CF, avec :
Cette entreprise concurrentielle maximise ses profits.
(4.1)
.fr/
.free
q3
− q2 + 4q,
2
CF = 4.
CV (q) =
(4.2)
1 – Sommes-nous à court terme ou à long terme, pourquoi ?
2 – Quelles sont les équations des fonctions de :
i) coût,
ii) coût moyen,
iii) coût marginal,
iv) coût variable moyen,
v) coût variable marginal,
Université François Rabelais| 29-01-2017
113/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
vi) coût fixe moyen,
vii) coût fixe marginal.
3 – Après avoir fait une étude très précise de ces fonctions, dessinez-les très proprement sur un
même graphique.
4 – Déterminez le seuil de fermeture et le seuil de rentabilité.
5 – TrucMuch peut vendre sa production à un prix unitaire p, déterminez sa fonction d’offre.
6 – Supposons qu’il y ait sur ce marché concurrentiel trois entreprises identiques en tout point
à TrucMuch, quelle est l’équation de l’offre inverse totale S −1 (·) ? Dessinez S −1 (·) sur un
nouveau graphique.
7 – Supposons que la demande inverse totale D a−1 (·) ait pour équation : D a−1 ( Q) = 10 − Q. Dessinez D a−1 ( Q) sur le graphique précédent puis déterminez l’équilibre de marché. Combien
TrucMuch va produire à l’équilibre ? Discutez du signe de son profit. Sur ce marché est-on à
l’équilibre de long terme ?
8 – Supposons que la demande inverse totale soit Db−1 ( Q) = 5 − Q. Dessinez Db−1 ( Q) sur le
graphique précédent puis déterminez l’équilibre de marché. Combien TrucMuch va produire à
Solution :
rd
fava
scal.
l’équilibre ? Discutez du signe de son profit.
1) Si les coûts fixes ne sont pas liés à des contraintes « juridiques ou institutionnelles » nous sommes
à court terme.
2) En utilisant (4.1) et (4.2), on obtient :
i. C (q) le coût :
C (q) = CV (q) + CF =
q3
− q2 + 4q + 4,
2
ii. CM (q) le coût moyen :
CM (q) =
q2
4
C (q)
=
−q+4+ ,
q
2
q
Cm(q) =
dC (q)
3q2
=
− 2q + 4,
dq
2
iii. Cm(q) le coût marginal :
iv. CV M (q) le coût variable moyen :
CV M(q) =
v. CVm(q) le coût variable marginal :
CVm(q) = Cm(q).
Donc aucun intérêt.
vi. CFM (q) le coût fixe moyen :
4
CFM(q) = ,
q
vii. CFm(q) le coût fixe marginal :
CFm(q) = 0.
Aucun intérêt.
Université François Rabelais| 29-01-2017
.fr/
.free
CV (q)
q2
=
− q + 4,
q
2
114/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
3) On a, en supposant q 6= 0 lorsque c’est nécessaire :
i. Étude du coût moyen de TrucMuch :
4
q2
−q+4+
2
q
Lim CM(q) = +∞ et Lim CM (q) = +∞
q→+∞
q →0

 < 0 si q ∈ [0, 2)
dCM (q)
4 
= q−1− 2
= 0 si q = 2, racine évidente
dq
q 

> 0 si q ∈ (2, +∞)
CM(q) =
d2 CM (q)
8
= 1+ 3 > 0
2
dq
q
ii. Étude du coût marginal de TrucMuch :
3q2
− 2q + 4
2
Cm(0) = 4 et Lim Cm(q) = +∞
q→+∞

2

 < 0 si q ∈ [0, 3 )
dCm(q)
= 3q − 2 = 0 si q = 32

dq

> 0 si q ∈ ( 23 , +∞)
Cm(q) =
rd
fava
scal.
d2 Cm(q)
= 3>0
dq2
iii. Étude du coût variable moyen de TrucMuch :
q2
−q+4
2
CV M(0) = 4 et Lim CM(q) = +∞
q→+∞


 < 0 si q ∈ [0, 1)
dCV M(q)
= q − 1 = 0 si q = 1

dq

> 0 si q ∈ (1, +∞)
CV M(q) =
iv. Étude du coût fixe moyen de TrucMuch :
.fr/
.free
d2 CV M(q)
= 1>0
dq2
4
q
Lim CFM (q) = +∞ et Lim CFM (q) = 0
CFM (q) =
q→+∞
q →0
dCFM(q)
4
= − 2 <0
dq
q
d2 CFM(q)
8
= 3 >0
2
dq
q
Université François Rabelais| 29-01-2017
115/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
=
C/u
a
://p
http
CM (q)
CV (q)
Cm(q)
CV M(q)
Sr = 6
Sf =
rd
fava
scal.
4
7
2
CFM(q)
O
1
2
q
Figure 4.1 : Courbes de coûts de TrucMuch
4) Le seuil de fermeture c’est le minimum du coût variable moyen, donc ici :
pSF = CV M(1) =
1
7
−1+4 = ,
2
2
et le seuil de rentabilité c’est le minimum du coût moyen, donc ici :
pSR = CM(2) =
22
4
− 2 + 4 + = 6.
2
2
.fr/
.free
5) En concurrence, la fonction d’offre inverse d’une entreprise c’est la courbe de coût marginal lorsque
l’on est au-dessus du seuil de fermeture et sinon c’est l’axe des ordonnées. Soit S−1 (q) le fonction
d’offre de TrucMuch, on a donc :
 2
 3q − 2q + 4 si q ≥ 1
2
−1
S (q) =
 ∈ [0, 7 [ sinon.
2
(4.3)
6) S −1 (·) c’est la somme horizontale des quatre offres inverses. Puisque les firmes sont identiques, Q,
la production du secteur est :
4
Q=
∑ qi = 4q ⇔ q =
i =1
Université François Rabelais| 29-01-2017
Q
.
4
116/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
En changeant de variable dans la fonction d’offre inverse individuelle, on obtient :
2
Q
3
4
Q
Q
3
−1
−1 Q
S ( Q) = S ( ) =
−2
+ 4 = Q2 − + 4 si Q > 4.
4
2
4
32
2
Plus précisément on a :
=
C/u

3 2


Q − Q2 + 4 si Q > 4

 32
S −1 ( Q) = 72 si Q = 1, 2, 3, 4



 ∈ [0, 7 ] sinon.
(4.4)
2
Cm(q)
S −1 ( q )
S −1 ( q )
rd
fava
scal.
10
38
3
√ 5
− 38 10
7
2
• EC
• • • •
Db−1
O
1 2 3 4 5
√
8
3
D a−1
10
10 − 1
q
Figure 4.2 : Offre/Demande TrucMuch
S −1 ( Q ) =
.fr/
.free
7) À l’équilibre l’offre inverse du secteur est égale à la demande inverse totale, et donc :
3 2 Q
Q − + 4 = 10 − Q = D −1 ( Q)
32
2
3
Q
⇔ Q2 + − 6 = 0
32
2
h √
√
i
8
8
Ce polynôme admet deux racines 3
10 − 1 , 3 − 10 − 1 dont une seule positive, donc :
Q EC =
et donc :
S
−1
( Q EC ) =
D a−1 ( Q EC )
8 √
10 − 1 ' 5, 77
3
8 √
38 8 √
= 10 −
10 − 1 =
−
10 = p EC ' 4, 23
3
3
3
Université François Rabelais| 29-01-2017
117/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
d’où
EC = ( Q EC , p EC ) = (
38 8 √
8 √
10 − 1 ,
10).
−
3
3
3
Pour obtenir la production de TrucMuch il suffit de diviser Q EC par 4. On a alors :
q EC =
2 √
10 − 1 ' 1, 44.
3
Son profit sera négatif puisque l’on est en-dessous de son seuil de rentabilité mais les coûts variables
seront plus que couverts par les recettes puisque l’on est au-dessus de son seuil de fermeture. À
long terme, le profit des entreprises ne peut pas être négatif. L’équilibre trouvé ci-dessus ne peut
donc pas être celui de long terme.
8) Dans le cas où Db−1 ( Q) = 5 − Q on a : Q EC = 0 = q EC . Aucune entreprise ne produit dans ce
cas. S’il n’y avait qu’une seule entreprise alors il y aurait une production positive sur ce marché
(cf. Figure 4.2) !
Dans cette économie il y a deux consommateurs, le capitaine
Exercice 44 : Pas que des bulles
rd
fava
scal.
Haddock et tonton Loco, qui reçoivent le même revenu R. Ils consomment 1 deux biens, du pastis
H et x L . La fonction d’utilité du capitaine
en quantités x PH et x PL et du whisky en quantités xW
W
H ) = x H + 2x H et celle de tonton Loco est : u L ( x L , x L ) = 2x L + x L . Le
Haddock est : u H ( x PH , xW
P
P W
P
W
W
prix du litre de pastis est p P et celui du whisky est pW . L’entreprise Jean-Pierre Matthieu (JPM)
produit du pastis et du whisky. Bien qu’elle soit la seule à produire ces deux biens et qu’il n’y ait
que deux consommateurs, on supposera que les deux marchés sont concurrentiels. La fonction
de coût total de l’entreprise JPM est : C ( Q P , QW ) = aQ2P +
pastis produite dans cette économie, QW
2
QW
2
+ Q P QW , où Q P est la quantité de
étant celle de whisky et a > 21 .
1 – Dans cet exercice pW est supposé exogène et sera donc traité comme un paramètre du modèle
puisque l’on ne s’intéressera qu’au marché du pastis. Comment qualifie-t-on ce cadre d’analyse
en économie ?
2 – Déterminez la fonction d’offre inverse de pastis.
3 – Déterminez les meilleurs choix du capitaine haddock et de tonton Loco.
4 – Déterminez la fonction de demande inverse agrégée de pastis.
5 – Représentez en bleu la demande inverse et en rouge l’offre inverse, sur le marché du pastis.
Faites autant de graphiques qu’il y a de cas possibles.
réponses sont évidemment paramétriques.
Plaçons-nous dans le cas où a >
2
pW
R
+ 21 .
.fr/
.free
6 – Calculez dans tous les cas possibles l’équilibre concurrentiel sur le marché du pastis. Les
7 – Quel est le montant du surplus social généré par l’échange de pastis dans cette économie ?
8 – Quelle est la perte sociale, sur le marché du pastis, due à l’instauration d’une taxe, τ < 100%,
par l’État sur la valeur collectée par JPM ?
Solution :
1) Analyse en équilibre partiel.
1. La consommation d’alcool est très dangereuse pour la santé.
Université François Rabelais| 29-01-2017
118/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
2) Le programme de l’entreprise concurrentielle JPM est :
P JPM
Max
{ Q P ,QW }
π ( Q P , QW ) = p P Q P + pW QW − C ( Q P , QW )
(4.1)
Aux points candidats on doit avoir, CN1, :

∂C ( Q P , QW )


 pP =
∂Q P
∂C
(
Q P , QW )

 pW =

∂QW

n
o
 Q∗ = max pP − pW , 0
P
n 2a−1
o
⇔
 Q∗ = max 2apW − pP , 0
W
2a−1

 p = 2aQ + Q
P
P
W
⇔
p = Q + Q
P
W
W
Les CS2 sont vérifiées si :
 2
∂ C ( Q P , QW )


<0

−
∂Q2
2
rd
fava
scal.
P

−2a < 0
⇔
a > 1

∂ 2 C ( Q P , QW ) ∂ 2 C ( Q P , QW )


−

2
∂Q2P
∂QW
∂ 2 C ( Q P , QW )
∂QW ∂Q P
>0
2
ce qui est vrai sous nos hypothèses. La fonction d’offre inverse de pastis de l’entreprise JPM est :

∈ [0, p ]
W
−1
S P ( Q P ; pW ) =
(2a − 1) Q + p
P
W
si Q P = 0
si Q P > 0.
3) Les deux biens pour les deux consommateurs sont des substituts parfaits. Il suffit de comparer
la valeur absolue du TmSWP ,
1
2
pour Haddock et 2 pour Loco 2 , avec le rapport des prix
pP
pW ,
pour
savoir lequel des deux biens est consommé par le consommateur dont on étudie le meilleur choix.
On a donc, pour Haddock :
H∗
x PH ∗ , xW
=

R

,
0


 pP
α,
R
pW
−
α
2
si
si
pP
pW
pP
pW
pP
pW
<
1
2
=
1
2
pW
si
pP
pW
pP
pW
pP
pW
<2
si
si
R
pP
i
R
pP
i
,
> 21 .
et pour Loco :

R

,
0

 pP

L∗ L∗
R
x P , xW =
α,
− 2α

pW 

 0, R
h
et avec α ∈ 0,
.fr/
.free



 0,
R
pW
si
h
= 2 et avec α ∈ 0,
>2
.
2. Ces valeurs sont constantes puisque les biens sont des substituts parfaits.
Université François Rabelais| 29-01-2017
119/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
4) La fonction de demande inverse agrégée de pastis est :
D P−1 ( Q P ; pW ) =



∈ [2pW , +∞[












2pW









si Q P = 0
i
i
si Q P ∈ 0, 2pRW
R
 QP








pW



2










 2R
QP
i
si Q P ∈
i
R 2R
2pW , pW
si Q P ∈
i
2R 4R
pW , pW
si Q P ∈
i
4R
pW , + ∞
i
h
.
5) Conditionnellement à la valeur de a on a :
rd
fava
scal.
pP
pP
2pW
2pW
Ec
S P−1 ( Q P ; pW )
Ec
pW
pW
pW
2
O
pW
2
R
2pW
2R
pW
QP
4R
pW
2
pW
R
+
1
2
R
2pW
2R
pW
4R
pW
(b) si a >
2
pW
R
+
QP
1
2
.fr/
.free
(a) si a ≤
O
D P−1 ( Q P ; pW )
Figure 4.3 : Marché du pastis
6) Trivialement 2pW > pW >
pW
2
> 0, donc deux types d’équilibres sont possibles en fonction de la
valeur de a. La pente de la droite d’offre inverse est (2a − 1) et la droite issue du point (0, pW )
passant par le point
R
2pW , 2pW
a pour pente
2
2pW
R .
Donc si a >
2
pW
R
+ 21 la quantité d’équilibre
(cf. Figure 4.3b) est donnée par (2a − 1) Q P + pW = 2pW et donc Q P =
sinon (cf. Figure 4.3a)
R
polynôme du second degré admet deux racines réelles dont une
Q P . Ce√
2 +4(2a −1)R
− p + pW
QP = W
. La forme paramétrique de l’équilibre concurrentiel,
4a−2
par (2a − 1) Q P + pW =
seule est positive :
pW
2a−1 ,
Ec = ( Q∗P , p∗P ), sur le marché du pastis est :
Université François Rabelais| 29-01-2017
120/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
( Q∗P , p∗P ) =






pW
,
2p
W
2a−1
√ 2


− pW + pW
+4(2a−1)R


,

4a−2
pW +
√
2 +4(2a −1)R
pW
2
si a >
2
pW
R
+ 21
si a ≤
2
pW
R
+ 21 .
2
pW
W
+ 21 , alors Ec = 2ap−
1 , 2pW , donc : SS = 4a−2 . Dans ce
cas, seul tonton Loco consomme du pastis et son surplus net est nul. La surplus social est donc le
surplus net de JPM.
8) Notons S P−τ1 ( Q P ; pW ) la disposition minimale à recevoir de JPM lorsque cette entreprise doit
collecter une taxe sur la valeur dont le taux est τ%. Comme τ < 100%, pW < (1 + τ ) pW < 2pW
et comme le taux n’est pas infini, le nouvel équilibre sera tel que p Pτ = 2pW . Pour déterminer
la quantité de pastis à l’équilibre il suffit de résoudre ((2a − 1) Q P + pW ) (1 + τ ) = 2pW , et donc
( 1 − τ ) pW
< Q∗P . La perte sociale, zone grisée (cf. Figure 4.4), notée ∆SS, est donc :
Q Pτ = (1+τ )(2a−
1)
2p
( Q∗P − Q Pτ ) 2pW − 1+Wτ
2
τ pW 2
∆SS =
=
.
2
2a − 1 1 + τ
7) Notons SS le surplus social, si a >
rd
fava
scal.
pP
2
pW
R
E Ec
2pW • •τ
pW ( 1 + τ )
2pW
1+ τ
pW
pW
2
O Q Pτ
S P−τ1 ( Q P ; pW )
S P−1 ( Q P ; pW )
D P−1 ( Q P ; pW )
R
2pW
2R
pW
4R
pW
QP
.fr/
.free
Figure 4.4 : Marché du pastis avec taxe sur la valeur
Dans ce cas la demande est parfaitement élastique, le poids de la taxe est entièrement supporté par
l’entreprise JPM.
Considérons le marché du chou-fleur breton. Soient les deux fonctions
Exercice 45 : Mon chou
suivantes : Q1 ( p) = 6 −
1
3p
et Q2 ( p) = p − 6 où le prix unitaire du chou-fleur, p, est mesuré en
euros par unité.
1 – Après avoir donné la définition des fonctions d’offre et de demande, déterminez parmi les deux
fonctions Q( p), en justifiant votre réponse, les fonctions d’offre et de demande de choux-fleurs.
Faites un graphique.
Université François Rabelais| 29-01-2017
121/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
En l’absence de taxe ou de subvention :
2 – Quel est le prix d’équilibre ?
3 – Quelle est la quantité échangée ?
4 – À l’aide d’un graphique pouvez dire si l’équilibre est stable ou pas ? Commentez.
5 – Déterminez le surplus de chacun des agents et le surplus social.
Une subvention de 1=
C par chou-fleur est versée aux producteurs de choux-fleurs.
6 – Quelle est la quantité d’équilibre ?
7 – Quel est le nouveau prix d’équilibre payé par les demandeurs ?
8 – Quel est le nouveau prix d’équilibre reçu par les offreurs ?
9 – Comparez à l’équilibre « sans subvention ».
10 – Déterminez le surplus de chacun des agents et le surplus social.
11 – Calculez la perte sociale engendrée par cette subvention.
12 – Calculez le montant de la subvention forfaitaire engendrant la même dépense pour l’État, que
la subvention étudiée ci-dessus. Quelle taxe est préférable ?
Une subvention de 1 =
C par chou-fleur est versée aux consommateurs de choux-fleurs.
rd
fava
scal.
13 – Quelle est la quantité d’équilibre ?
14 – Quel est le nouveau prix d’équilibre payé par les demandeurs ?
15 – Quel est le nouveau prix d’équilibre reçu par les offreurs ?
16 – Comparez à l’équilibre « avec subvention aux producteurs ».
17 – Déterminez le surplus de chacun des agents et le surplus social.
18 – Calculez la perte sociale due à la subvention.
19 – Calculez le montant de la subvention forfaitaire qui aurait conduit au même équilibre mais
sans perte sociale.
Solution :
1) La fonction d’offre c’est la quantité maximale que souhaite produire l’entreprise pour tout niveau
de prix unitaire. La fonction d’offre inverse est la disposition minimale à recevoir du producteur en
terme de numéraire pour chaque niveau de production. Cette fonction est généralement supposée
croissante par rapport au prix, dans notre cas c’est donc :
S( p) = max {0, p − 6}
(4.1)
.fr/
.free
La fonction de demande c’est la quantité minimale de bien que souhaite consommer les consommateurs pour tout niveau de prix unitaire. La fonction de demande inverse c’est la disposition
maximale à payer une unité de bien pour tout niveau de consommation. Cette fonction est généralement supposée décroissante, dans notre cas c’est donc :
1
D( p) = max {0, 6 − p}
3
Université François Rabelais| 29-01-2017
(4.2)
122/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
q
S( p)
6
EC
•
3
O
D( p)
p
18
9
6
Figure 4.5 : Marché du chou-fleur breton
2) Le prix d’équilibre, p∗ , sur ce marché est donné par l’égalisation de l’offre (4.1) et de la demande
(4.2) : S( p∗ ) = D( p∗ ) ⇔ p∗ − 6 = 6 − 31 p∗
rd
fava
scal.
⇒ p∗ = 9 =
C/u
(4.3)
3) En remplaçant dans (4.1) ou dans (4.2) p∗ par sa valeur, on obtient la quantité échangée sur le
marché à l’équilibre, q∗ : S(9) = 9 − 6 = 6 −
9
3
= D(9)
⇒ q∗ = 3 u
(4.4)
On notera EC = (q∗ , p∗ ) = (3, 9) l’équilibre concurrentiel (cf. Figure 4.5).
4) En inversant (4.1) et (4.2) on obtient :
S −1 (q) = q + 6,
(4.5)
D −1 (q) = max {18 − 3q}.
(4.6)
En partant, par exemple, d’un prix supérieur au prix d’équilibre on voit (cf. Figure 4.6) que par
itérations successives on s’éloigne de l’équilibre. Cet équilibre est donc instable. Dans le cas de
fonctions linéaires, la condition de stabilité est simple, il suffit que la pente de l’offre inverse soit
supérieure à la valeur absolue de la pente de la demande inverse, ce n’est pas le cas dans notre
l’élasticité de l’offre.
Université François Rabelais| 29-01-2017
.fr/
.free
exemple. En fait, dans ce cas, la valeur absolue de l’élasticité de la demande est plus faible que
123/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
=
C/u
18
S −1 ( q )
EC •
6
rd
fava
scal.
D −1 ( q )
q
O
6
Figure 4.6 : Équilibre instable
5) Soit SC ∗ le surplus des consommateurs, SP∗ le surplus des producteurs et SS∗ le surplus social, on
a:
1
27
= 13.5,
(3 (18 − 9)) =
2
2
1
9
SP∗ = (3 (9 − 6)) = = 4.5,
2
2
27 9
SS∗ = SC ∗ + SP∗ =
+ = 18.
2
2
SC ∗ =
6) A partir de (4.1) la fonction d’offre inverse S −1 (q) est :
S −1 ( q ) = q + 6
(4.7)
.fr/
.free
Lorsque le producteur est subventionné et donc reçoit une subvention ς (ς > 0) sa nouvelle
fonction d’offre inverse Sς−1 (q) est en fait : Sς−1 (q) = q + 6 − ς, ce qui dans notre cas donne :
Sς−=11 (q) = q + 5
(4.8)
la fonction de demande (4.2) est elle inchangée, donc la demande inverse, notée D −1 (q), est :
D −1 (q) = max {0, 18 − 3q}
Université François Rabelais| 29-01-2017
(4.9)
124/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
=
C/u
a
://p
http
Sς−1 (q)
A
•
E•
37
4
33
4
S −1 ( q )
B
•
5
rd
fava
scal.
6
• Eς
D −1 ( q )
O
9
4
13
4
q
6
Figure 4.7 : Marché du chou-fleur breton et subvention aux producteurs
La quantité d’équilibre qς=1 est la solution du système, (4.8)-(4.9), soit : qς=1 + 5 = 18 − 3qς=1
.fr/
.free
⇒ q ς =1 =
13
= 3.25 u.
4
(4.10)
7) En remplaçant (4.10) dans (4.9) on obtient pD
prix unitaire payé par le consommateur lorsque
ς=1 le
13
le producteur est subventionné : pD
ς=1 = 18 − 3 4
⇒ pD
ς =1 =
33
= 8.25 =
C/u.
4
(4.11)
8) En remplaçant (4.10) dans (4.7) on obtient pSς=1 le prix unitaire reçu par le producteur : pSς=1 =
13
4
+6
⇒ pSς=1 =
Université François Rabelais| 29-01-2017
37
=
= pD
ς=1 + 1 = 9.25 C/u.
4
(4.12)
125/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
9) La présence d’une subvention entraine une hausse de la quantité échangée sur le marché du
chou-fleur, (4.10) et (4.4) impliquent qς=1 > q∗ . Le prix unitaire payé par le consommateur est plus
faible lorsque le producteur est subventionné, (4.3) et (4.11) impliquent pSς=1 < p∗ . En revanche
l’intégralité de la subvention n’est pas défalquée du prix de vente puisque celui-ci n’a baissé que
de 0.75=
C.
10) Soit SCς=1 le surplus des consommateurs, SPς=1 le surplus des producteurs, SEς=1 le surplus de
l’État, SSς=1 le surplus social. On a :
SCς=1
SPς=1
19
=
24
|
1 13
=
2 4
33
18 −
4
=
1 13 9
33
37 33
−6 −
−
−
+
4
2 4
4
4
4
{z
}
généré par la vente aux consommateurs
507
' 15.84,
32
13
1∗
4
| {z }
=
65 13
169
+
=
' 5.28,
32
4
32
subvention de l’État
13
13
= − = −3.25,
4
4
65 13
13
143
507
+
+
−
=
= 17.875.
=
32
32
4
4
8
rd
fava
scal.
SEς=1 = −1 ∗
SSς=1 = SCς=1 + SPς=1 + SEς=1
143
8
= 18 = 0.125.
=
12) Le montant de la subvention forfaitaire, L, doit donc être égal à −SEς=1 , soit : L = 13
4 = 3.25 C. La
subvention forfaitaire est préférable puisqu’il n’y a pas de perte sociale.
13) À partir de (4.9), on obtient la nouvelle demande inverse lorsque les consommateurs sont subventionnés à hauteur de υ euros par unité : Dυ−1 (q) = 18 − 3q + υ et donc dans notre cas :
11) La perte sociale, PS, est : PS = 18 −
Dυ−=11 (q) = 18 − 3q + 1 = 19 − 3q
(4.13)
la fonction d’offre inverse est elle inchangée (4.7). Graphiquement on a donc :
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
126/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
=
C/u
a
://p
http
S −1 ( q )
B
• • Eυ
E•
37
4
33
4
• A
rd
fava
scal.
6
D −1 ( q )
O
35 13
12 4
Dυ−1 (q)
6 19
q
3
Figure 4.8 : Marché du chou-fleur breton et subvention aux consommateurs
⇒ q υ =1 =
.fr/
.free
La quantité d’équilibre qυ=1 est la solution du système (4.7)−(4.13), soit : qυ=1 + 6 = 19 − 3qυ=1
13
= 3.25 u.
4
(4.14)
D
14) En remplaçant
(4.14) dans (4.9) on obtient pD
υ=1 le prix unitaire payé par le consommateur : pυ=1 =
18 − 3
13
4
⇒ pD
υ =1 =
33
= 8.25=
C/u.
4
(4.15)
15) En remplaçant (4.14) dans (4.7) on obtient pSν=1 le prix unitaire reçu par le producteur : pSυ=1 =
13
4
+6
⇒ pSυ=1 =
Université François Rabelais| 29-01-2017
37
=
= pD
υ=1 + 1 = 9.25 C/u.
4
(4.16)
127/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
16) Subventionner les consommateurs ou subventionner les producteurs ne change rien à la quantité
échangée, ni au prix payé par les consommateurs et ni au prix reçu par les producteurs.
17) Soit SCς=1 le surplus des consommateurs, SPς=1 le surplus des producteurs, SEς=1 le surplus de
l’Etat, SSς=1 le surplus social. On a :
13
1209 13
1 35
1521
37
1 13 35
37 33
SCς=1 =
+
=
−
−
+
=
' 15.84,
18 −
−
2 12
4
2 4
12
4
4
4
96
4
96
|{z}
{z
}
|
sub.
généré par l’achat aux producteurs
SPς=1
SSς=1
1 13
=
2 4
37
−6
4
=
169
' 5.28,
32
13
13
SEς=1 = −1 ∗
= − = −3.25,
4
4
1209 13
169 13
429
143
= SCς=1 + SPς=1 + SEς=1 =
+
+
−
=
=
= 17.875.
96
4
32
4
24
8
Que l’on subventionne les producteurs ou les consommateurs le surplus social est le même, il est
rd
fava
scal.
plus petit que s’il n’y avait pas intervention de l’État sur ce marché. Attention, le surplus social
« privé » est plus grand que s’il n’y avait pas de subvention, mais l’accroissement du surplus social
« privé » est plus faible que la dépense concédée par l’État. De plus, l’État doit trouver un moyen
de financer cette politique et donc dégrader l’équilibre budgétaire. Notons qu’aucune des valeurs
économiques calculées n’est affectée par le choix de qui est subventionné.
143
8
= 18 = 0.125.
19) Le montant de la subvention forfaitaire, L, doit donc être égal à −SEς=1 , soit : L =
subvention forfaitaire est préférable puisqu’il n’y a pas de perte sociale.
18) La perte sociale, PS, est : PS = 18 −
Exercice 46 : Riz Ô taux
13
4
C. La
= 3.25=
En Chine, une économie ouverte, la demande totale intérieure de riz,
DChine , est donnée par la fonction suivante :
DChine ( p) = a − bp avec a > 0 et b > 0,
(4.1)
p étant le prix unitaire du riz sur le marché intérieur. L’offre chinoise totale SChine , est définie par :
SChine ( p) = dp − c avec c > 0 et d > 0.
(4.2)
Le riz peut être directement produit en Chine mais aussi importé à un prix p, le prix du riz sur
.fr/
.free
le marché mondial. On suppose que la Chine est suffisamment petite sur le marché mondial du
riz pour que p soit considéré comme une donnée indépendante du volume des importations 1 .
Une fois chaque question résolue paramétriquement vous ferez une application numérique avec :
a = 12, b = 1, c = 2, d = 1, p = 5, t = I = s = 1.
1 – Si les importations étaient interdites quel serait l’équilibre autarcique ? Calculez le surplus
social.
2 – Tracez sur un même graphique la courbe de demande inverse et la courbe d’offre inverse sur le
marché intérieur en économie ouverte.
3 – Déterminez le volume des importations, noté I ∗ . Calculez le surplus social national.
1. On supposera de plus que :
c
d
<p<
a+c
b+d .
Université François Rabelais| 29-01-2017
128/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
4 – Le gouvernement chinois veut limiter le volume des importations. Pour se faire, il met en place
un tarif douanier payé par l’exportateur. Le producteur étranger, lorsqu’il vend une unité de
riz en Chine perçoit un prix p établi sur le marché intérieur chinois et paye t à l’État chinois.
Déterminez la fonction I (t) qui pour tout niveau du tarif donne le volume des importations.
Pour quelle valeur de t il n’y aura pas d’importation ?
5 – Déterminez, en fonction de t, le surplus des consommateurs chinois, du gouvernement chinois
et celui des entreprises chinoises sur le marché du riz. En déduire le surplus social.
6 – Supposons à présent que le gouvernement chinois, au lieu d’utiliser un tarif pour réguler les
importations de riz, mette en place un quota et limite les importations à un niveau I. Déterminez
le surplus social dans ce cas.
7 – Une fois signés les accords de libre échange, la Chine ne peut plus mettre en place un tarif ou un
quota. Le gouvernement décide alors de subventionner les producteurs de riz nationaux. Par
unité vendue, les producteurs domestiques reçoivent une subvention s. Déterminez le surplus
social.
rd
fava
scal.
Solution :
1) Dans ce cas l’importation de riz est interdite, on doit donc égaliser la demande (4.1) à l’offre
domestique (4.2) à l’équilibre autarcique, Ea : ⇒ a − bp = dp − c ⇒ p Ea =
q Ea = a − bp Ea
a+c
= a−b
⇒ q Ea =
b+d
(
ad−bc
b+d
a+c
b+d
= 7, et donc :
si ad > bc
0 sinon,
a+c
c
+c
ad−bc
< p < ba+
d ⇒ b+d > d ⇒ ad > bc, donc : q Ea = b+d = 5. Dans ce cas le surplus des
consommateurs chinois SCEa sur ce marché est égal à l’aire du triangle :
ad − bc a + c
a
a+c
;
,
,
0,
; 0,
b
b+d
b+d b+d
mais
soit :
c
d
SCEa
1 ad − bc
=
2 b+d
a
a+c
−
b b+d
1
=
2b
ad − bc
b+d
2
=
25
> 0.
2
soit :
SPEa
1 ad − bc
=
2 b+d
a+c
c
−
b+d d
1
=
2d
.fr/
.free
Le surplus des producteurs locaux SPEa sur ce marché est donné par l’aire du triangle :
c
a+c
ad − bc a + c
0,
; 0,
;
,
,
d
b+d
b+d b+d
ad − bc
b+d
2
=
25
> 0.
2
Le surplus social sur ce marché pour la Chine SSEa est donc la somme suivante :
SSEa = SCEa + SPEa
1
=
2b
ad − bc
b+d
2
1
+
2d
2) Graphique avec : a = 12, b = 1, c = 2, d = 1, p = 5.
Université François Rabelais| 29-01-2017
ad − bc
b+d
2
=
1 ( ad − bc)2
= 25 > 0.
2bd b + d
129/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
=
C/u
a
://p
http
−1
SChine
(q)
12
Ea
•
7
5
Eeo
•
S −1 ( q )
2
O
3
5
D −1 ( q )
7
12
q
rd
fava
scal.
Figure 4.9 : Marché du riz en Chine
3) La quantité de riz importée, I ( p), est en fait la différence entre la demande de riz et la quantité
de riz offerte par les producteurs chinois, pour un niveau de prix p. En utilisant (4.1) et (4.2), on
obtient :
I ( p) = D( p) − SChine ( p) = a + c − (b + d) p.
(4.3)
Si le prix mondial est p alors le niveau des importations est :
I ∗ = I ( p) = a + c − (b + d) p = 4,
(4.4)
La quantité totale échangée sur le marché chinois est D( p), soit Q∗ = a − bp = 7. La production
de riz par les producteurs locaux est donnée par (4.2) évaluée au prix mondial p, soit SChine ( p) =
dp − c = 3.
Dans ce cas le surplus des consommateurs chinois SC ∗ sur ce marché est égal à l’aire du triangle :
h a i
0,
; (0, p) ; ( a − bp, p)
b
.fr/
.free
soit :
a
1
1
49
SC = ( a − bp)
−p =
> 0.
( a − bp)2 =
2
b
2b
2
Le surplus des producteurs locaux SP∗ sur ce marché est donné par l’aire du triangle :
h c i
0,
; (0, p) ; (dp − c, p)
d
∗
soit :
1
c
1
9
=
(dp − c) p −
(dp − c)2 = > 0.
2
d
2d
2
∗
Le surplus social sur ce marché pour la Chine SS est donc la somme suivante :
SP∗ =
SS∗ = SC ∗ + SP∗ =
Université François Rabelais| 29-01-2017
1
1
( a − bp)2 +
(dp − c)2 = 29.
2b
2d
130/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
4) En fait l’importateur perçoit un prix TTC, p, et reverse t à l’État par unité vendue, on a donc :
p = p + t = 6. En utilisant (4.3) on obtient le niveau des importations :
I (t) = I ( p + t) = a + c − (b + d)( p + t) = 2.
(4.5)
La quantité de riz importée sera nulle si la taxe imposée par l’État est suffisamment grande. En
utilisant (4.5) on a : I (t) = 0 ⇔ a + c − (b + d)( p + t) ≤ 0,
⇔t≥
a+c
−p=2
b+d
La quantité totale échangée sur le marché chinois est D( p + t), soit Q(t) = a − b ( p + t) = 6. La
production de riz par les producteurs locaux est donnée par (4.2) évaluée au prix mondial p plus
la taxe t, soit SChine ( p + t) = d ( p + t) − c = 4.
=
C/u
Graphique avec : a = 12, b = 1, c = 2, d = 1, p = 5, t = 1.
rd
fava
scal.
−1
SChine
(q)
12
7
6
5
2
Ea
• Et
•
• Eeo
S −1 ( q )
D −1 ( q )
O
4
5
6
q
.fr/
.free
12
Figure 4.10 : Marché du riz en Chine avec tarif douanier
5) Dans ce cas le surplus des consommateurs chinois SCt sur ce marché est égal à l’aire du triangle :
h a i
0,
; (0, p + t) ; ( a − b ( p + t) , p + t)
b
soit :
a
1
1
SCt = ( a − b ( p + t))
−p−t =
( a − b ( p + t))2 = 18.
2
b
2b
Le surplus des producteurs locaux SPt sur ce marché est donné par l’aire du triangle :
h c i
0,
; (0, p + t) ; (d ( p + t) − c, p + t) ,
d
Université François Rabelais| 29-01-2017
131/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
soit :
1
c
1
SPt = (d ( p + t) − c) p + t −
=
(d( p + t) − c)2 = 8.
2
d
2d
Le surplus du gouvernement SEt est :
SEt = tI (t) = t ( a + c − (b + d)( p + t)) = 2.
Le surplus social sur ce marché pour la Chine SSt est donc la somme suivante : SSt = SCt + SPt +
SEt ,
1
1
( a − b ( p + t))2 +
(d( p + t) − c)2 + t ( a + c − (b + d)( p + t)) = 28.
2b
2d
6) Calculons tout d’abord la quantité de riz échangée sur le marché chinois. L’offre inverse S( p) sur
=
le marché est par construction la somme de l’offre domestique et du quota. On a donc :
Squota ( p) = Schine ( p) + I = dp − c + I,
(4.6)
si I ( p) > I, sinon on est dans le cas de la deuxième question. Le dernier cas n’est évidemment
rd
fava
scal.
pas intéressant puisque le quota n’est pas contraignant pour les importateurs. On se placera donc
dans le cas pertinent où I ( p) > I. À l’équilibre en économie ouverte avec quota, noté Eq , on égalise
l’offre (4.6) et la demande (4.1) :
D( p) = Squota ( p)
c− I
ad−bc+bI
< da , et donc : q( I ) = d( a+
=
b+d ) − c + I =
b+d
a+c− I
11
−dI
− c = da−bbc
= 92 .
2 > 0. La production chinoise est, dans ce cas, de : d
b+d
+d
Dans ce cas le surplus des consommateurs chinois SCquota sur ce marché est égal à l’aire du triangle :
⇒ a − bp = dp − c + I ⇒ p( I ) =
soit :
SCquota
1
=
2
a+c− I
b+d
=
13
2
ad − bc + bI a + c − I
a
a+c−I
;
,
,
0,
; 0,
b
b+d
b+d
b+d
ad − bc + bI
b+d
a
−
b
a+c−I
b+d
=
1
2b (b + d)
bI + ad − bc
2
2
=
121
> 0.
8
Le surplus des producteurs locaux SPquota sur ce marché est donné par l’aire du triangle :
a+c−I
c
da − bc − dI a + c − I
0,
; 0,
;
,
,
d
b+d
b+d
b+d
soit :
SPquota
1
=
2
da − bc − dI
b+d
a+c−I
c
−
b+d
d
=
.fr/
.free
1
2d (b + d)
2
ad − dI − bc
2
=
81
> 0.
8
Le surplus social sur ce marché pour la Chine SSquota est donc la somme suivante :
SSquota = SCquota + SPquota =
1
2b (b + d)
2
bI + ad − bc
2
Graphique avec : a = 12, b = 1, c = 2, d = 1, p = 5, I = 1.
Université François Rabelais| 29-01-2017
+
1
2d (b + d)
2
ad − dI − bc
2
=
101
.
4
132/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
=
C/u
a
://p
http
−1
SChine
(q)
−1
Squota
(q)
12
Ea
•
7
6, 5
• Eq
Eeo
•
Quota
2
rd
fava
scal.
5
D −1 ( q )
O
3
4
5 5, 5
12
q
Figure 4.11 : Marché du riz en Chine avec quota
7) La courbe d’offre inverse de riz par les producteurs chinois SChine ( p) est modifiée, elle se déplace
vers le bas. Elle doit être, en fait, translatée vers le bas du montant s de la subvention. En utilisant
(4.2) on a donc :
SChin−sub ( p) = d ( p + s) − c.
(4.7)
Il suffit alors de reprendre les calculs de la troisième question en remplaçant l’offre domestique
par cette nouvelle fonction. La quantité de riz importée, I ( p), est en fait la différence entre la
.fr/
.free
demande de riz et la quantité de riz offerte par les producteurs chinois, pour un niveau de prix
p. En utilisant (4.1) et (4.7), on obtient : Is ( p) = D( p) − SChin−sub ( p) = a + c − (b + d) p − ds. Si le
prix mondial est p alors le niveau des importations est : I ∗ = Is ( p) = a + c − (b + d) p − ds = 3. La
quantité totale échangée sur le marché chinois est D( p), soit Qs = a − bp = 7. La production de
riz par les producteurs locaux est donnée par (4.7) évaluée au prix mondial p, soit SChin−sub ( p) =
dp + ds − c = 4.
Dans ce cas le surplus des consommateurs chinois SCs sur ce marché est égal à l’aire du triangle :
h a i
0,
; (0, p) ; ( a − bp, p) ,
b
soit :
a
1
1
49
SCs = ( a − bp)
−p =
> 0.
( a − bp)2 =
2
b
2b
2
Université François Rabelais| 29-01-2017
133/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
Le surplus des producteurs locaux SPs sur ce marché est donné par l’aire du triangle :
h c i
0,
; (0, p + s) ; (d( p + s) − c, p + s) ,
d
soit :
c
1
1
=
SPs = (d( p + s) − c) p + s −
(d( p + s) − c)2 = 8 > 0.
2
d
2d
Le surplus, en fait une perte, du gouvernement SEs :
SEs = −sSChin−sub ( p) = −s (d( p + s) − c) = −4 < 0.
Le surplus social sur ce marché pour la Chine SSs est donc la somme suivante :
SSs = SCs + SPs + SEs =
1
1
57
( a − bp)2 +
( d ( p + s ) − c )2 − s ( d ( p + s ) − c ) = .
2b
2d
2
rd
fava
scal.
=
C/u
Graphique avec : a = 12, b = 1, c = 2, d = 1, p = 5, s = 1.
−1
SChine
(q)
12
−1
SChine
−Sub ( q )
Sub
7
6, 5
6
5
Ea
•
• Eq
•
1
O
S −1 ( q )
.fr/
.free
2
Eeo = Es
D −1 ( q )
3
4
55, 5
7
12
q
Figure 4.12 : Marché du riz en Chine avec subvention
Exercice 47 : Il est bio le vin
Depuis quelques années la viticulture biologique fait son appa-
rition en France. Elle n’est évidement pas sur les mêmes marchés d’outputs que la viticulture
Université François Rabelais| 29-01-2017
134/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
traditionnelle. Pour produire qb , une exploitation viticole ayant un agrément 1 « bio » utilise des
intrants 2 dont les quantités seront agrégées, cette quantité agrégée est notée ib , et une surface de
terre plantée vb . Le prix unitaire de l’intrant agrégé est normalisé à 1 et celui d’un hectare de vigne
est noté pv . Le prix de marché du litre de vin « bio » est noté pb . Pour des raisons juridiques il
est impossible d’acheter moins d’un hectare de vigne mais au-delà la terre plantée est un input
divisible. Supposons que toutes les hypothèses de la concurrence parfaite soient vérifiées. La
fonction de production est donnée par l’expression suivante :

 (i (v − 1))α si v ≥ 1,
b
b
b
qb =
 0 sinon .
(4.1)
On supposera 0 < α < 12 . À court terme, la surface de terre plantée utilisée par une exploitation est
évidemment fixée, en revanche la quantité de l’input agrégé ne l’est pas.
1 – Commentez la fonction de production.
2 – Calculez les fonctions de coûts à court terme et à long terme.
rd
fava
scal.
3 – Calculez le seuil de fermeture à long terme. Pour simplifier les notations on posera, par la suite :
2α
1−2α
φ=
.
α
4 – Supposons que la demande sur le marché du vin « bio » soit :
Db ( pb ) = a − pb ,
(4.2)
avec a > 0 et toujours suffisamment grand pour qu’il y ait un équilibre non-dégénéré sur le marché. Calculez l’équilibre concurrentiel de long terme sur ce marché et le nombre d’exploitations
viticoles en « bio ».
5 – À long terme combien d’hectares de vignes chaque viticulteur exploite ?
6 – Supposons que la demande sur le marché du vin « bio » soit brusquement modifiée :
e b ( pb ) = 2a − pb .
D
(4.3)
Comment peut-on expliquer ce « choc » de demande ?
7 – À court terme, juste après la modification brutale de la demande, les viticulteurs ne peuvent
pas changer la surface viticole, obtenue à la question précédente. De plus, aucune entreprise n’a
.fr/
.free
matériellement le « temps » d’entrer ou de sortir sur ce marché. Donnez l’équation permettant
de déterminer le nouveau prix unitaire à l’équilibre. À votre avis, comment a évolué ce prix et
donc la quantité produite par chaque viticulteur ? Expliquez votre intuition.
8 – Calculez l’équilibre de long terme. Montrer qu’il y a plus d’entreprises présentes sur le marché.
Commentez.
9 – La surface totale du vignoble français est fixée à V hectares. Pour simplifier, on supposera qu’il
est impossible d’arracher de la vigne pour exploiter le terrain, il n’y a donc que deux types
d’acheteurs sur le marché des vignes : les producteurs de vin bio et les producteurs de vin
utilisant des intrants « chimiques ». On notera Vc (·) la demande de vignes de ces derniers avec :
1. On supposera qu’il n’ y a pas de période probatoire pour « passer une vigne en bio ».
2. En fait, elle utilise du capital, du travail et des intrants labélisés « bio ».
Université François Rabelais| 29-01-2017
135/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
Vc ( pv ) = V − pv .
(4.4)
Pourquoi devez-vous considérer le marché de la vigne dans le cadre de cet exercice sur le
marché du vin « bio » ?
10 – Donnez le système d’équations permettant de déterminer le nombre de producteurs « bio » et
le prix d’un hectare lorsque la demande de vin « bio » est donnée par (4.2).
11 – Donnez le système d’équations permettant de déterminer le nombre de producteurs « bio » et
le prix d’un hectare lorsque la demande de vin « bio » est donnée par (4.3). Commentez et si
certaines variations ne sont pas explicitement calculables donnez votre intuition sur leur signe.
Solution :
1) La fonction de production (4.1) est de type Cobb-Douglas puisque : (ib (vb − 1))α = ibα (vb − 1)α .
1
2
+ 12 < 1. Notons que si vb = 1 alors
qb = 0. Dans tout ce qui suit, si le viticulteur produit, on aura donc vb > 1.
Les rendements sont décroissants à l’échelle puisque α + α <
1
rd
fava
scal.
2) En utilisant la fonction de production (4.1) on a : ib (·) = qbα (vb − 1)−1 . La fonction de coût de court
terme, C ct (·), puisque le prix de l’intrant est normalisé à un, que le prix d’un hectare est de pv et
en supposant le nombre d’hectares de vigne fixé, vb = v̄b est :
1
C ct (qb ) = qbα (v̄b − 1)−1 + pv v̄b .
(4.5)
ct (·), est :
Ce qui implique que la fonction de coût moyen de court terme (qb 6= 0), C M
1− α
ct
CM
(qb ) = qb α (v̄b − 1)−1 +
pv v̄b
,
qb
(4.6)
ct (·), est :
et la fonction de coût marginal de court terme, Cm
1 1−α α
(4.7)
qb (v̄b − 1)−1 .
α
Pour calculer la fonction de coût de long terme il y a deux façons : soit on minimise la dépense
ct
Cm
(qb ) =
sous la contrainte technologique ce qui donne les fonctions de demandes des deux inputs et en
remplaçant dans la dépense on obtient la fonction de coût. Soit on cherche la surface de terre
viticole qui minimise la fonction de coût de court terme et alors il suffit de remplacer dans la
optimale est solution de :
.fr/
.free
fonction de coût de court terme la surface de terre viticole par la surface optimale. Cette surface
1
∂C ct (·)
= −qbα (vb − 1)−2 + pv = 0,
∂vb
ce qui donne :
−1
1
vb (·) = pv 2 qb2α + 1.
(4.8)
en remplaçant dans la fonction de coût de court terme, on obtient la fonction de coût de long terme
(qb 6= 0) C (·) :
1
1
C (qb ) = 2qb2α pv2 + pv .
Université François Rabelais| 29-01-2017
(4.9)
136/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
Notez qu’il y a encore une partie fixe dans cette fonction, le prix d’un hectare de vignes, c’est
normal puisqu’il est juridiquement impossible d’acheter moins d’un hectare. Ce n’est donc pas
une contradiction, il n’y a pas de coûts fixes « économiques » à long terme mais il peut y avoir des
coûts fixes « juridiques » à long terme. La fonction de coût moyen de long terme (qb 6= 0), C M (·),
est donc :
1−2α
1
C M (qb ) = 2qb 2α pv2 +
pv
,
qb
(4.10)
et la fonction de coût marginal de long terme (qb 6= 0), Cm (·), est donc :
1 1−2α2α 12
pv .
(4.11)
q
α b
3) Pour calculez le seuil de fermeture à long terme il faut déterminer le minimum du coût moyen
Cm (qb ) =
de long terme. La fonction de coût moyen de long terme atteint son minimum lorsque qb = qb ,
déterminé par :
α
1 − 2α
2α
rd
fava
scal.
1 − 2α 1−2α4α 21
dC M (·)
2
qb pv − pv q−
=
b = 0 ⇔ qb =
dqb
α
pαv
pαv
⇒ qb = ,
φ
(4.12)
en deçà de cette borne, le coût moyen de long terme est décroissant et au-delà croissant, avec
2α
> 0 et 1 − 2α > 0 car α < 12 .
φ = 1−α2α
Le seuil de fermeture,pb , est donc donné par C M (qb ), donc par :
pb = C M (qb ) =
φp1v−α
.
1 − 2α
(4.13)
4) À long terme le prix est égal au seuil de fermeture (i.e. p∗b = pb ), en remplaçant dans la fonction de
demande (4.2) on obtient la quantité de vin bio échangée sur ce marché, Q∗b = a −
EC =
( Q∗b , p∗b )
=
φp1v−α φp1v−α
a−
,
1 − 2α 1 − 2α
φp1v−α
1−2α
donc :
,
(4.14)
Q∗
.fr/
.free
À long terme il y a donc n∗ entreprises qui produisent, avec n∗ solution de : nqb = Q∗b ⇔ n = q b ⇒
b
φ2 p1v−2α
.
(4.15)
1 − 2α
5) En utilisant la demande conditionnelle (4.8), on obtient la taille de chaque exploitation, à long
α
n∗ = aφp−
v −
terme :
α
+ 1 > 1.
(4.16)
1 − 2α
6) Certains consommateurs se sont « convertis ». Autrement dit, leur fonction d’utilité s’est modifiée.
v∗b = vb (qb ) =
Ce changement peut être dû à la publicité, à des campagnes sur la nocivité des produits chimiques
mais aussi au bouche à oreille...
Université François Rabelais| 29-01-2017
137/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
7) Malgré la libre entrée, à court terme, après la modification de la demande, le nombre d’entreprises
viticoles est toujours n∗ donné par (4.15) et la taille de chaque exploitation v∗b ne peut pas être
ct ( q , v∗ ) = p , or
ajustée, elle est donc donnée par (4.16). La règle de décision à court terme est : Cm
b b
b
α
1− α
2
α p b 1− α
ct ( q , v∗ ) = 1−2α q α , donc q ( p ) =
Cm
. L’offre totale de court terme est donc Sbct ( pb ) =
b b
b b
1−2α
b
α2
2 1−α α
α p
.
n∗ 1−2αb
En utilisant (4.3), à l’équilibre, pb doit être solution de :
e b ( pb ) ⇔
Sbct ( pb ) = D
f ( pb ) = n∗
α2 p b
1 − 2α
1−α α
− 2a + pb = 0.
(4.17)
Cette fonction f tend vers −2a lorsque pb tend vers zéro et vers l’infini lorsque pb tend vers l’infini.
Il y aura donc au moins une solution à (4.17) et comme f 0 > 0, cette solution sera unique. Le
nouveau prix d’équilibre doit être plus élevé étant donné le choc de demande « positif » sachant
rd
fava
scal.
que ni la surface ni le nombre des exploitations n’a pu s’adapter. La fonction d’offre individuelle
étant strictement croissante, la quantité produite augmente elle aussi.
8) À long terme de nouvelles exploitations peuvent apparaitre. Le prix de long terme sera égal au
e b ( pb ) =
seuil de fermeture donné par (4.13), en remplaçant pb par cette valeur dans (4.3) on a : D
2a −
φp1v−α
1−2α
e ∗ = Q∗ + a.
=Q
b
b
e ∗ , pe∗ ) = ( Q∗ + a, p∗ ) =
EfC = ( Q
b b
b
b
φp1v−α φp1v−α
2a −
,
1 − 2α 1 − 2α
.
(4.18)
La production totale de vin bio a augmenté de a, suite à la modification de la demande. Chaque
viticulteur produit q∗b = qb =
Q∗b + a
q∗b
= n∗ +
a
q∗b
pαv
φ.
e∗ , le nombre d’entreprises à long terme, on a : n
e∗ =
Soit n
e∗
Q
b
q∗b
=
> n∗ . Il y a bien plus d’entreprises présentes sur le marché du vin bio.
9) La surface totale du vignoble français étant fixée à V, il n’est pas réaliste de supposer que le prix
d’un hectare est indépendant de la demande totale de vignes. La « guerre » pour les terres plantées
aura des conséquences sur le prix de celles-ci, d’autant plus qu’il n’ y a pas de période probatoire
pour passer d’une production de vin à l’autre et donc pas de coût de « transport ». On ne peut
donc pas traiter le marché du vin « bio » en équilibre partiel.
.fr/
.free
10) À l’équilibre de long terme la quantité de vin produite dans chaque exploitation « bio » est donnée
par (4.12) et le prix unitaire par (4.13). Notons η le nombre de viticulteurs « en bio », en utilisant
(4.2) la condition d’équilibre sur le marché « bio » est : a − pb = ηqb . En utilisant (4.4) et (4.16), la
condition d’équilibre sur le marché de la terre plantée est : V = V − pv + η 1−α2α + 1 . On a
donc un système de deux équations à deux inconnues (η, pv ) :

 a − p = ηq
b
b
 V = V − p + η 1− α
v
⇔

a −

Université François Rabelais| 29-01-2017
φp1v−α
1−2α =
α
pv = η 11−−2α
1−2α
η
pαv
φ
138/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel

a −
a
://p
http
φp1v−α
p1v+α
−
1−2α
1+ φ
1−2α
= 1− α p v .
⇔
η
= 0,
(4.19)
11) À l’équilibre de long terme la quantité de vin produite dans chaque exploitation « bio » est donnée
par (4.12) et le prix unitaire par (4.13). Notons η le nombre de viticulteurs « en bio », en utilisant
(4.3) la condition d’équilibre sur le marché « bio » est : 2a − pb = ηqb . En utilisant (4.4) et (4.16),
la condition d’équilibre sur le marché de la terre plantée est : V = V − pv + η 1−α2α + 1 . On a
donc un système de deux équations à deux inconnues (ηe, pev ) :

2a − φ pe1v−α − pe1v+α = 0,
1−2α
1+ φ
⇔
(4.20)
 ηe = 1−2α pe .
1− α
v
Étant donné que les rendements sont décroissants (4.19) et (4.20) impliquent que ηe > η et pev > pv .
Le prix de l’hectare a bien augmenté. Imaginons que n∗ soit égal à η, en d’autre terme que pv utilisé
e∗ > ηe.
dans le début de l’exercice soit solution de (4.19). Alors, intuitivement on aura : n
rd
fava
scal.
4.2
Exercices théoriques
Exercice 48 : Alphavil
Supposons qu’il y ait I entreprises, identiques en tout point, produisant
le bien `, échangé sur un marché concurrentiel. La fonction de coût de l’entreprise représentative
est : c(q` , α). La fonction c(·) est strictement convexe en q` et α est un paramètre exogène de la
∂c(q` , α)
fonction de coût. On suppose que
> 0. La fonction de demande agrégée sur ce marché
∂α
du bien ` est notée D` ( p` ). Cette fonction est dérivable et décroissante par rapport au prix unitaire
du bien `, noté p` . On supposera que se placer en équilibre partiel est justifié.
1 – Écrivez le programme de l’entreprise représentative.
2 – Donnez la CN1 et la CS2 de ce programme.
3 – À l’équilibre sur le marché, calculez la dérivée du profit de l’entreprise représentative par
rapport à α.
4 – Donnez une condition suffisante pour que cette dérivée soit négative ?
5 – Supposons que cette condition suffisante ne soit pas vérifiée. Quelle hypothèse supplémentaire
doit-on faire sur la dérivée de la fonction de demande agrégée pour que la dérivée du profit de
.fr/
.free
l’entreprise représentative par rapport à α soit positive ? Commentez.
Solution :
1) Ce programme est :
Pentreprise
Max π (q` , α) = p` (α)q` − c(q` , α)
{q` }
(4.1)
∂c(q∗` (α), α)
2) La CN1 de (4.1) est : p` (α) −
= 0, avec q∗` (α) la quantité de production choisie par
∂q`
∂2 c ( q ` ( α ), α )
l’entreprise représentative. La CS2 de (4.1) est : −
< 0, elle est vérifiée puisque l’on a
∂q2`
supposé que la fonction de coût est strictement convexe.
Université François Rabelais| 29-01-2017
139/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
dq∗` (α) ∂π (q∗` (α), α)
dπ (q∗` (α), α)
=
+
dα
dα
∂q`
∂π (q∗` (α), α)
∂π (q∗` (α), α)
dπ (q∗` (α), α)
∂π (q∗` (α), α)
. Or la CN1 donne :
= 0, ce qui implique que :
=
=
∂α
∂q`
dα
∂α
∂c(q∗` , α)
dp(α) ∗
∂c(q` , α)
q` (α) −
> 0, il nous reste à étudier le
. Étant donné que l’on a supposé :
dα
∂α
∂α
dp(α)
signe de :
. On cherche comment le prix qui « équilibre » le marché du bien ` évolue par
dα
∂2 c(q∗` , α) dq∗` (α) ∂2 c(q∗` , α)
dp(α)
rapport au paramètre α. En dérivant la CN1 :
=
+
et comme
dα
dα
∂q` ∂α
∂q2`
dq∗` (α)
dD( p` (α)) dp` (α)
∗
= I
à l’équilibre : D( p` (α)) = Iq` (α), on a :
. Cette dernière équation
dp`
dα
dα
dq∗ (α)
nous donne `
, il suffit dans la dérivée de la CN1 par rapport au paramètre α de substituer
dα
∂2 c(q∗` , α)
dp(α)
∂q` ∂α
cette valeur et donc :
=
2 c ( q∗ , α ) . À l’équilibre, la dérivée du profit de
∂
dα
d
D(
p
(
α
))
`
`
1− 1I
dp`
∂q2`
l’entreprise représentative par rapport à α est telle que :
3) La dérivée totale du profit par rapport au paramètre α :
rd
fava
scal.
∂2 c(q∗` , α) ∗
q (α)
dπ (q∗` (α), α)
∂c(q∗` , α)
∂q` ∂α `
=
.
−
2 c(q∗ , α)
dα
∂α
∂
d
D(
p
(
α
))
`
`
1 − 1I
dp`
∂q2`
(4.2)
4) Il suffit que la fonction de coût marginal de l’entreprise représentative soit décroissante par rapport
∂2 c(q∗` , α)
au paramètre α. On doit donc avoir :
≤ 0.
∂q` ∂α
∂2 c(q∗` , α)
dD( p` (α))
> 0 et que
est suffisamment petite. Dans ce cas, suite à une
5) Oui, si
∂q` ∂α
dp`
augmentation du paramètre α, l’accroissement du prix de marché entraîne un accroissement de la
recette plus grand que l’accroissement du coût de production, à production donnée.
Exercice 49 : Tax
Une taxe sur la quantité, dont le taux strictement positif est noté τ, supportée
par les consommateurs est en place sur un marché concurrentiel. Sur ce marché la demande agrégée
est D( p) = Ape , avec A > 0 et e < 0, et l’offre agrégée est S( p) = αpγ , avec α > 0 et γ > 0. Le
1 – Calculez l’élasticité prix de la demande agrégée.
2 – Calculez l’élasticité prix de l’offre agrégée.
.fr/
.free
prix unitaire est noté p. On se placera dans le cadre d’une analyse en équilibre partiel.
3 – Déterminez la variation du prix unitaire reçu par les producteurs à l’équilibre pour un taux de
taxe très petit « marginal » en fonction des paramètres du modèle.
4 – Déterminez la variation du prix unitaire payé par les consommateurs à l’équilibre pour un taux
de taxe très petit « marginal » en fonction des paramètres du modèle.
5 – En utilisant les résultats précédents que pouvez-vous dire si l’offre est parfaitement inélastique ?
6 – En utilisant les résultats précédents que pouvez-vous dire si la demande est parfaitement
inélastique ?
Université François Rabelais| 29-01-2017
140/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre partiel
a
://p
http
Solution :
dD( p) p
= Aepe−1 App e = e < 0
D(
p
)
dp
dS( p) p
= αγpγ−1 αppγ = γ > 0
2) L’élasticité de l’offre est donnée par :
S(
p
)
dp
3) À l’équilibre : D( p∗c (τ )) = S( p∗p (τ )) ⇔ D( p∗p (τ ) + τ ) = S( p∗p (τ )). En dérivant par rapport à τ
dD( p∗p (τ ) + τ )
dD( p∗p )
dp∗p (τ )
dp∗p (τ )
dp
dp
on obtient :
=−
=−
∗ ( τ ) + τ ) dS( p∗ ( τ )) et donc Lim
∗ ) dS( p∗ ) .
d
D(
p
d
D(
p
τ →0
dτ
dτ
p
p
p
p
1) L’élasticité de la demande est donnée par :
−
dp
Dans notre cas particulier on a alors :
Lim
τ →0
dp∗p (τ )
dτ
=−
Ae( p∗p )e−1
Ae( p∗p )e−1 − αγ( p∗p )γ−1
À l’équilibre on a donc : Lim
τ →0
dp∗p (τ )
dτ
dp
=−
dp
Ae( p∗p )e
Ae( p∗p )e − αγ( p∗p )γ
=−
−
dp
eD( p∗ )
.
eD( p∗ ) − γS( p∗ )
= − e−e γ .
rd
fava
scal.
dp∗p (τ )
dp∗c (τ )
4) En utilisant la question précédente on a immédiatement : Lim
=
+ 1 = − e−γ γ .
τ →0
dτ
dτ
dp∗p (τ )
dp∗c (τ )
5) Si l’offre est parfaitement inélastique alors γ = 0 donc Lim
= −1 et Lim
= 0. Une
τ →0
τ →0
dτ
dτ
augmentation marginale de la taxe n’a aucun effet sur le prix payé par les consommateurs.
dp∗p (τ )
dp∗c (τ )
= 0 et Lim
= 1.
6) Si la demande est parfaitement inélastique alors e = 0 donc Lim
τ →0
τ →0
dτ
dτ
Une augmentation marginale de la taxe n’a aucun effet sur le prix reçu par les producteurs.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
141/256
Chapitre 5
Équilibre général
Sommaire
5.1
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Alphonse et Boris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Albert et Bernard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Anatole et Brice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Fauvoir le Doyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Toto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Aristide et Briand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Les mélanges c’est pas bon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Illusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
c Pascal FAVARD
Exercices appliqués
a
://p
http
5.1
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
Exercice 50 : Alphonse et Boris
Malgré les conseils de leurs parents, Alphonse et Boris ont
l’habitude d’échanger toutes sortes de choses dans la cour de récréation. Aujourd’hui ils vont
échanger des billes (bien 1) et des voitures (modèles réduits bien sûr) le bien 2. Le matin en arrivant
à l’école Alphonse a dans son cartable 16 billes et 2 voitures et Boris a 4 billes et 8 voitures. Les
préférences de nos jeunes amis sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes 1 :
1 2
3
3
Alphonse : u A ( x1A , x2A ) = x1A
x2A
Boris : u
B
( x1B , x2B )
=
x1B
2 3
x2B
1
3
(5.1)
(5.2)
1 – Comment appelle-t-on ces fonctions d’utilité ?
2 – Quel est le niveau d’utilité de chacun de nos amis le matin en arrivant à l’école ?
3 – Tracez, après une étude précise, les courbes d’indifférence de nos deux amis.
rd
fava
scal.
4 – Calculez le TmS des deux garçons.
5 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto.
6 – Dessinez l’ensemble des optima de Pareto dans le graphique idoine. Comment s’appelle ce type
de graphique ?
7 – Est-ce que le point de dotations initiales est un optimum de Pareto ?
8 – Expliquez, à l’aide de la définition du TmS, pourquoi nos deux amis ont intérêt à échanger
durant la récréation ?
9 – Quel optimum va pouvoir être atteint ?
10 – Supposons que la cour de l’école soit en fait un marché aux billes et aux voitures et que les
prix de marché de ces deux biens soient égaux. Quel optimum vont atteindre nos deux amis en
partant de leurs dotations initiales et en respectant le rapport des prix de marché ?
11 – Quel système de prix décentralise l’optimum ?
Solution :
1) Cobb-Douglas
2) Niveaux d’utilité :
point :
1
2
u A (16, 2) = (16) 3 (2) 3 =
.fr/
.free
i. Le niveau d’utilité d’Alphonse dont la dotation initiale est (16,2) est donné par (5.1) évaluée en ce
√
3
64 = 4
(5.3)
ii. Le niveau d’utilité de Boris dont la dotation initiale est (4,8) est donné par (5.2) évaluée en ce
point :
2
1
u B (4, 8) = (4) 3 (8) 3 =
√
3
√
3
128 = 4 2 ' 5, 04
(5.4)
3) Voir exercices sur le consommateur pour l’étude d’une Cobb-Douglas.
1. Alphonse « consomme » x1A billes et x2A voitures, Boris x1B billes et x2B voitures.
Université François Rabelais| 29-01-2017
143/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
Voitures
a
://p
http
O
Billes
Figure 5.1 : Courbes d’indifférence : Alphonse
Voitures
rd
fava
scal.
O
Billes
Figure 5.2 : Courbes d’indifférence : Boris
.fr/
.free
4) Les TmS :
i. Pour calculer le Taux marginal de Substitution d’Alphonse (noté TmS A ) il suffit de différencier
totalement (5.1) :
du A =
∂u A ( x1A , x2A ) A ∂u A ( x1A , x2A ) A
1 A − 23 A 32 A 2 A 31 A − 31 A
dx
=
dx
+
x
x2
dx1 +
x
x2
dx2
2
1
3 1
3 1
∂x1A
∂x2A
(5.5)
or le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant et donc du A est égal à 0, on
peut donc réécrire (5.5) comme suit :
1 A − 23 A 23 A 2 A 13 A − 31 A
x
x2
dx1 +
x
x2
dx2 = 0
3 1
3 1
Université François Rabelais| 29-01-2017
144/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
⇒
2
2
1
A − 3 xA 3
x
dx2A
2
= − 3 1 1
1
dx1A
2
A 3 xA − 3
x
2
1
3
∀( x1A , x2A ) ∈ R2+ ,
⇔
dx2A
x2A
=
−
dx1A
2x1A
∀( x1A , x2A ) ∈ R2+ ,
⇔
∀( x1A , x2A ) ∈ R2+ ,
TmS A ( x1A , x2A ) = −
x2A
2x1A
(5.6)
ii. Pour calculer le TmS de Boris (noté TmS B ) il suffit de différencier totalement (5.2) :
∂u B ( x1B , x2B ) B ∂u B ( x1B , x2B ) B
2 B − 31 B 31 B 1 B 32 B − 23 B
du =
dx1 +
dx2 =
x2
dx1 +
x2
dx2 (5.7)
x
x
3 1
3 1
∂x1B
∂x2B
B
or le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant et donc du B est égal à 0, on
peut donc réécrire (5.7) comme suit :
⇒
rd
fava
scal.
2 B − 13 B 31 B 1 B 23 B − 32 B
dx1 +
dx2 = 0
x
x2
x
x2
3 1
3 1
1
1
2
B − 3 xB 3
x
dx2B
2
= − 3 1 2
− 23
dx1B
1
B
B
3
x2
3 x1
∀( x1B , x2B ) ∈ R2+ ,
⇔
∀( x1B , x2B )
⇔
∈
x2B
dx2B
= −2 B
dx1B
x1
R2+ ,
∀( x1B , x2B ) ∈ R2+ ,
TmS B ( x1B , x2B ) = −2
x2B
x1B
(5.8)
5) Les paniers de biens qui appartiennent à la courbe des optima de Pareto, indicée op, sont tels que
les TmS des deux garçons sont égaux 2 . On doit donc avoir en prenant (5.6) et (5.8) :
TmS
A
( x1A , x2A )
op
= TmS
B
( x1B , x2B )
op
= −2
B
x2op
B
x1op
=−
A
x2op
A
2x1op
étant donné qu’initialement « l’économie » a 20 billes et 10 voitures et que l’on recherche les optima
.fr/
.free
de Pareto donc la pleine utilisation des ressources initiales on a :
A
B
B
A
x1op
+ x1op
= 20 ⇔ x1op
= 20 − x1op
(5.9)
A
B
B
A
x2op
+ x2op
= 10 ⇔ x2op
= 10 − x2op
l’équation de la courbe des contrats, en utilisant l’égalité des TmS, est donc :
−2
A
10 − x2op
A
20 − x1op
=−
A
x2op
A
2x1op
2. Si ce n’était pas le cas on pourrait améliorer la situation d’un des deux garçons sans détériorer la situation de
l’autre. Ce qui est contraire à la définition de l’optimum de Pareto.
Université François Rabelais| 29-01-2017
145/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
A
A
A
A
⇒ 4x1op
10 − x2op
= x2op
20 − x1op
A
A
A
A
A
A
⇒ 40x1op
− 4x1op
x2op
= 20x2op
− x1op
x2op
A
A
A
A
⇒ 40x1op
− 20x2op
− 3x1op
x2op
=0
⇒
A
A
∀( x1op
, x2op
)
∈ [0, 20] × [0, 10] ,
A
x2op
=
A
40x1op
A
20 + 3x1op
(5.10)
6) Il faut étudier la fonction (5.10) :
A
A
A
40 20 + 3x1op − 120x1op
dx2op
800
=
=
2
2 > 0
A
dx1op
A
A
20 + 3x1op
20 + 3x1op
et donc :
A
−3
d2 x2op
A
=
−
4800
20
+
3x
<0
2
1op
A
d x1op
rd
fava
scal.
A tend vers 0, x A tend vers 0 et lorsque x A tend vers 20, x A tend vers 10.
de plus lorsque x1op
2op
2op
1op
Ce type de graphique s’appelle la boîte d’Edgeworth.
20
4
•
2
Z
•W
10
8
.fr/
.free
O
O
Voitures
Billes
16
Alphonse
Boris
Droite des prix
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.3 : Boîte d’Edgeworth : Alphonse & Boris
A par 16 dans
7) Non, puisqu’il n’appartient pas à la courbe des contrats. En effet, en remplaçant x1op
(5.10) on n’obtient pas 2, la quantité de voitures que possède Alphonse :
40(16)
160
=
6= 2
20 + 3(16)
17
Université François Rabelais| 29-01-2017
146/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
8) Lorsque Alphonse consomme son panier initial (16,2) son TmS est donné par (5.6) en ce point :
TmS A (16, 2) = −
2
1
= − ' −0, 06
2 (16)
16
et lorsque Boris consomme son panier initial (4,8) son TmS est donné par (5.8) en ce point :
8
TmS B (4, 8) = −2 = −4
4
En ce point, la valeur d’une bille en terme de voiture est plus grande pour Boris que pour Al-
phonse 3 . Alphonse est donc prêt à céder des billes contre des voitures et Boris est prêt à faire
l’inverse. L’échange est donc souhaitable pour les deux amis. Par exemple, Alphonse peut proposer
1 bille contre 1 voiture et Boris acceptera puisqu’il serait même prêt à céder 4 voitures contre une
bille.
9) Il existe une infinité d’optima pouvant être atteint en partant du point de dotations initiales.
(oeil ∩ op)
10) L’équation de la droite de budget pour Alphonse est donnée par :
rd
fava
scal.
px1A + px2A = m
⇒ x1A + x2A =
m
car p 6= 0
p
or le point des dotations initiales (16,2) doit appartenir à cette droite, donc en utilisant l’équation
ci-dessus :
16 + 2 =
m
m
⇒
= 18
p
p
La droite de budget d’Alphonse a donc pour équation :
x1A + x2A = 18
(5.11)
Cherchons l’optimum de Pareto qui appartient à cette droite. Pour ce faire il faut résoudre le
système d’équations (5.11) et (5.10) soit :

 x A + x A = 18
2
1
 x2A =
(
x2A = 18 − x1A
 18 − x1A =
.fr/
.free
⇔


40x1A
20+3x1A
40x1A
20+3x1A
x2A = 18 − x1A
⇔
18 − x1A 20 + 3x1A = 40x1A
(
x2A = 18 − x1A
⇔
2
120 − 2x1A − x1A = 0
(
x2A = 18 − x1A
⇔
x1A − 10 x1A + 12 = 0
3. TmS A (16, 2) < TmS B (4, 8)
Université François Rabelais| 29-01-2017
147/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
(
⇒
x2A = 8
x1A = 10
avec (5.6) on peut calculer le TmS en ce point :
TmS A (10, 8) = −
8
2
= − 6 = −1
2 × 10
5
Ils ne vont donc pas pouvoir atteindre un optimum. En effet, le TmS de chacun des garçons est
différent de 1 en valeur absolue lorsque leur droite de budget rencontre la courbe des contrats. Ce
rapport de prix n’est donc pas le bon pour décentraliser l’optimum.
11)
40x1A
20+3x1A
xA
p1
− p2 = − 2x2A
1









x2A =
cf. (5.10)
= TmS A
p1 x1A + p2 x2A = 16p1 + 2p2 cf. contrainte budgetaire
ce système est impossible à résoudre, il y a une variable de trop. Ce n’est pas important puisque
rd
fava
scal.
p
ce qui nous intéresse c’est le prix relatif. Il faut donc résoudre le système (p = p12 ) suivant :

A
A = 40x1

x


2
20+3x1A

i
h
∗ = 1 , x A∗ = 20 , x A∗ = 20 et on a donc
x2A
p
,
ce
système
a
pour
solution
− p = − 2x A
2
2 1
3
3


1


px1A + x2A = 16p + 2
∗ (p∗ , x A∗ , x A∗ , x B∗ , x B∗ ) décentralisé grâce au bon système de prix, d’où en utilisant
l’équilibre Em
2
2
1
1
(5.9) x1B∗ = 20 −
20
3
=
40
3
et x2B∗ = 10 −
20
3
10
3.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
=
148/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
Billes
40
3
20
4
∗
Em
•
20
3
10
3
10
•W
16
rd
fava
scal.
20
3
Alphonse
Boris
Droite des prix
8
Voitures
2
O
O
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.4 : Équilibre décentralisé : Alphonse & Boris
Exercice 51 : Albert et Bernard
Malgré les conseils de leurs parents, Albert et Bernard ont
l’habitude d’échanger toutes sortes de choses dans la cour de récréation. Aujourd’hui ils vont
échanger des billes (bien 1) et des voitures (modèles réduits bien sûr) le bien 2. Le matin en arrivant
à l’école Albert a dans son cartable 16 billes et 2 voitures et Bernard a 4 billes et 8 voitures. Les
préférences de nos jeunes amis sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes 1 :
Albert :u A ( x1A , x2A ) = 2x1A + x2A
(5.1)
Bernard : u B ( x1B , x2B ) = x1B + 2x2B
(5.2)
1 – Comment sont les biens pour nos amis ?
.fr/
.free
2 – Quel est le niveau d’utilité de chacun de nos amis le matin en arrivant à l’école ?
3 – Tracez, après une étude précise, les courbes d’indifférence de nos deux amis.
4 – Calculez le TmS des deux garçons.
5 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto.
6 – Dessinez l’ensemble des optima de Pareto dans le graphique idoine. Comment s’appelle ce type
de graphique ?
7 – Est-ce que le point de dotations initiales est un optimum de Pareto ?
8 – Expliquez, à l’aide de la définition du TmS, pourquoi nos deux amis ont intérêt à échanger
durant la récréation ?
1. Albert « consomme » x1A billes et x2A voitures, Bernard x1B billes et x2B voitures.
Université François Rabelais| 29-01-2017
149/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
9 – Quel optimum va pouvoir être atteint ?
10 – Supposons que la cour de l’école soit en fait un marché aux billes et aux voitures et que les
prix de marché de ces deux biens soient égaux. Quel optimum vont atteindre nos deux amis en
partant de leurs dotations initiales et en respectant le rapport des prix de marché ?
11 – Quel système de prix décentralise l’optimum ?
Solution :
1) Substituts parfaits
2) Niveaux d’utilité :
i. Le niveau d’utilité d’Albert dont la dotation initiale est (16,2) est donné par (5.1) évaluée en ce
point :
u A (16, 2) = 2 × 16 + 2 = 34
(5.3)
ii. Le niveau d’utilité de Bernard dont la dotation initiale est (4,8) est donné par (5.2)évaluée en ce
point :
u B (4, 8) = 4 + 2 × 8 = 20
(5.4)
rd
fava
scal.
3) En utilisant (5.3) on obtient l’équation de la courbe d’indifférence de niveau k :
x2A = k − 2x1A
Voitures
c’est donc une droite de pente −2 et d’ordonnée à l’origine k.
.fr/
.free
O
Billes
Figure 5.5 : Courbes d’indifférence : Albert
En utilisant (5.2) on obtient l’équation de la courbe d’indifférence de niveau k :
x2B =
k x1B
−
2
2
c’est donc une droite de pente − 21 et d’ordonnée à l’origine 2k .
Université François Rabelais| 29-01-2017
150/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
Voitures
a
://p
http
O
Billes
Figure 5.6 : Courbes d’indifférence : Bernard
rd
fava
scal.
4) Niveaux d’utilité :
i. Pour calculer le Taux marginal de Substitution d’Albert (noté TmS A ) il suffit de différentier
totalement (5.1) :
du A =
∂u A ( x1A , x2A ) A ∂u A ( x1A , x2A ) A
dx1 +
dx2 = 2dx1A + dx2A
A
A
∂x1
∂x2
(5.5)
or le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant et donc du A est égal à 0, on
peut donc réécrire (5.5) comme suit :
2dx1A + dx2A = 0 ⇒
∀( x1A , x2A ) ∈ R2+ ,
∀( x1A , x2A ) ∈ R2+ ,
dx2A
= −2 ⇔
dx1A
TmS A ( x1A , x2A ) = −2
(5.6)
ii. Pour calculer le TmS de Bernard (noté TmS B ) il suffit de différencier totalement (5.2) :
∂u B ( x1B , x2B ) B ∂u B ( x1B , x2B ) B
dx1 +
dx2 = dx1B + 2dx2B
∂x1B
∂x2B
.fr/
.free
du B =
(5.7)
or le long d’une courbe d’indifférence le niveau d’utilité est constant et donc du B est égal à 0, on
peut donc réécrire (5.7) comme suit :
dx1B + 2dx2B = 0 ⇒
∀( x1B , x2B )
∈
R2+ ,
∀( x1B , x2B ) ∈ R2+ ,
Université François Rabelais| 29-01-2017
dx2B
1
=− ⇔
B
2
dx1
TmS B ( x1B , x2B ) = −
1
2
(5.8)
151/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
5) Les paniers de biens qui appartiennent à la courbe des optima de Pareto, indicée op, sont tels qu’on
ne peut pas améliorer la situation d’un des deux garçons sans détériorer la situation de l’autre.
Dans ce cas on ne peut pas égaliser les TmS, une autre méthode doit donc être utilisée. Etant donné
qu’initialement « l’économie » a 20 billes et 10 voitures et que l’on recherche les optima de Pareto,
donc la pleine utilisation des ressources initiales on a :
A
B
B
A
x1op
+ x1op
= 20 ⇔ x1op
= 20 − x1op
(5.9)
A
B
B
A
x2op
+ x2op
= 10 ⇔ x2op
= 10 − x2op
A doit être nul ou que
Dans ce cas on ne peut pas égaliser les TmS. Graphiquement on voit que x2op
B doit être nul. En fait, comme Albert valorise toujours plus les billes que les voitures et que
x1op
Bernard valorise toujours plus les voitures que les billes, Albert va proposer à Bernard des voitures
contre des billes jusqu’à ce qu’il n’ait plus de voiture à proposer. En utilisant (5.9) on obtient :
B
A
x1op
= 20 − x1op
rd
fava
scal.
B
A
x2op
= 10 − x2op
A
x2op
= 0
⇒
B
A
x1op
= 20 − x1op
A
B
x2op , x2op
= (0, 10)
ou bien :
B
A
x1op
= 20 − x1op
B
A
x2op
= 10 − x2op
B
x1op
= 0
⇒
A
B
x1op
, x1op
= (20, 0)
B
A
x2op
= 10 − x2op
.fr/
.free
La courbe des contrats est donc définie comme suit :
n
o
A
A
B
B
A
∀ x2op
∈ [0, 10] , x1op
, x1op
= (20, 0) , x2op
= 10 − x2op
n
o
A
A
B
B
A
∪ ∀ x1op
∈ [0, 20] , x2op
, x2op
= (0, 10) , x1op
= 20 − x1op
(5.10)
6) Il faut étudier les fonctions (5.10). En fait c’est deux segments de droite, un confondu avec l’axe
des abscisses d’Albert et l’autre avec l’axe des ordonnées de Bernard.
Ce type de graphique s’appelle la boîte d’Edgeworth.
Université François Rabelais| 29-01-2017
152/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
20
10
•W
2
16
rd
fava
scal.
O
Albert
Bernard
Droite des prix
O
4
8
Voitures
a
://p
http
Billes
•∗
Em
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.7 : Boîte d’Edgeworth : Albert & Bernard
7) Non, puisqu’il n’appartient pas à la courbe des optima de Pareto. En effet, pour que ce soit un
optimum il faudrait que x2A = 0 ou que x1B = 0, ce n’est pas le cas puisque x2A = 2 et que x1B = 4.
Nos deux amis ont donc intérêt à échanger.
8) Lorsque Albert consomme son panier initial (16,2) son TmS est donné par (5.6) en ce point :
TmS A (16, 2) = −2
et lorsque Bernard consomme son panier initial (4,8) son TmS est donné par (5.8) en ce point :
1
TmS B (4, 8) = − .
2
.fr/
.free
En ce point, la valeur d’une bille en terme de voiture est plus petite pour Bernard que pour Albert 2 .
Albert est donc prêt à « acheter » des billes contre des voitures et Bernard est prêt à faire l’inverse.
L’échange est donc souhaitable pour les deux amis. Par exemple, Albert peut proposer 1 voiture
contre 1 bille et Bernard acceptera puisqu’il serait même prêt à « acheter » 1 voiture contre 2 billes.
9) Il existe une infinité d’optima pouvant être atteint en partant du point de dotations initiales. C’est
en fait tous les points sur le segment horizontal allant du point (17,0) au point (20,0).
10) Ils vont pouvoir atteindre un optimum. En effet, la droite de budget rencontre la courbe des
contrats. L’équation de la droite de budget pour Albert est donnée par :
px1A + px2A = m ⇒
2. TmS A (16, 2) > TmS B (4, 8)
Université François Rabelais| 29-01-2017
153/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
x1A + x2A =
m
car p 6= 0
p
or le point des dotations initiales (16,2) doit appartenir à cette droite, donc en utilisant l’équation
ci-dessus :
16 + 2 =
m
m
⇒
= 18.
p
p
La droite de budget d’Albert a donc pour équation :
x1A + x2A = 18
(5.11)
A = 0 donc avec (5.11) on a :
De plus, x2op
x1A = 18.
rd
fava
scal.
∗ avec le système de prix p∗ = 1 est donc :
L’optimum décentralisé Em
A∗ A∗
= (18, 0)
x1 , x2
= (2, 10)
x1B∗ , x2B∗
11) Cette question est donc sans objet.
Exercice 52 : Anatole et Brice
Malgré les conseils de leurs parents, Anatole et Brice ont l’habi-
tude d’échanger toutes sortes de choses dans la cour de récréation. Aujourd’hui ils vont échanger
des billes (bien 1) et des voitures (modèles réduits bien sûr) le bien 2. Le matin en arrivant à l’école
Anatole a dans son cartable 16 billes et 2 voitures et Brice a 4 billes et 8 voitures. Les préférences de
nos jeunes amis sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes 1 :
n
o
A A A
A A
Anatole : u ( x1 , x2 ) = min x1 , x2
n
o
Brice : u B ( x1B , x2B ) = min x1B , x2B
(5.1)
(5.2)
1 – Comment sont les biens biens pour ces enfants ?
2 – Quel est le niveau d’utilité de chacun de nos amis le matin en arrivant à l’école ? Tracez, après
une étude précise, les courbes d’indifférence de nos deux amis.
3 – Calculez le TmS des deux garçons.
4 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto.
.fr/
.free
5 – Dessinez l’ensemble des optima de Pareto dans le graphique idoine. Comment s’appelle ce type
de graphique ?
6 – Est-ce que le point de dotations initiales est un optimum de Pareto ?
7 – Expliquez, à l’aide de la définition du TmS, pourquoi nos deux amis ont intérêt à échanger
durant la récréation ?
8 – Quel optimum va pouvoir être atteint ?
9 – Supposons que la cour de l’école soit en fait un marché aux billes et aux voitures et que les
prix de marché de ces deux biens soient égaux. Quel optimum vont atteindre nos deux amis en
partant de leurs dotations initiales et en respectant le rapport des prix de marché ?
1. Anatole « consomme » x1A billes et x2A voitures, Brice x1B billes et x2B voitures.
Université François Rabelais| 29-01-2017
154/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
10 – Quel système de prix décentralise l’optimum ?
Solution :
1) Compléments parfaits
2) Voir exercices sur le consommateur pour l’étude d’une Leontief.
i. Le niveau d’utilité d’Alphonse dont la dotation initiale est (16,2) est donné par (5.1) évaluée en ce
point :
u A (16, 2) = min {16, 2} = 2
(5.3)
ii. Le niveau d’utilité de Boris dont la dotation initiale est (4,8) est donné par (5.2) évaluée en ce
point :
u B (4, 8) = min {4, 8} = 4
Voitures
(5.4)
rd
fava
scal.
O
Billes
Figure 5.8 : Courbes d’indifférence : Anatole
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
155/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
Voitures
a
://p
http
O
Billes
Figure 5.9 : Courbes d’indifférence : Brice
rd
fava
scal.
3) Le TmS le long d’une courbe d’indifférence est tel que :
∀( x1i , x2i )
∈
R2+ , i
= ( A, B) ;
TmS
i
( x1i , x2i )
+∞
=
n’existe pas


0



4) Les paniers de biens qui appartiennent à la surface des optima de Pareto, indicée op, sont tels
qu’on ne peut pas améliorer la situation d’un des deux garçons sans détériorer la situation de
l’autre. Dans ce cas on ne peut pas égaliser les TmS. Etant donné qu’initialement « l’économie »
a 20 billes et 10 voitures et que l’on recherche les optima de Pareto donc la pleine utilisation des
ressources initiales on a :
A
B
B
A
x1op
+ x1op
= 20 ⇔ x1op
= 20 − x1op
(5.5)
A
B
B
A
x2op
+ x2op
= 10 ⇔ x2op
= 10 − x2op
Dans ce cas on ne peut pas égaliser les TmS. Graphiquement on voit que l’on doit avoir :
A
∀ x1op
∈ [0, 20] ;
A
A
A
x1op
≥ x2op
≥ x1op
− 10
et
A
10 ≥ x2op
≥0
(5.6)
.fr/
.free
Donc (5.5) et (5.6) définissent l’ensemble des optima de Pareto, ici c’est une surface, le parallélogramme « vert » sur le graphique ci-dessous.
5) Ce type de graphique s’appelle la boîte d’Edgeworth.
Université François Rabelais| 29-01-2017
156/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
Billes
20
4
∗
Em
10
•W
8
Voitures
2
16
rd
fava
scal.
O
O
Ensemble des Contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Anatole
Brice
Droite des prix
Figure 5.10 : Boîte d’Edgeworth : Anatole & Brice
6) Non, puisqu’il n’appartient pas à la courbe des contrats. En effet, pour que ce soit un optimum il
faudrait que x2A ≥ x1A − 10, or 2 n’est pas supérieur à 6 (16 − 10). Nos deux amis ont donc intérêt à
échanger.
7) Lorsque Anatole consomme son panier initial (16,2), il accorde une valeur infinie à la dernière
voiture et une valeur nulle à la dernière bille. Lorsque Brice consomme son panier initial (4,8), il
accorde une valeur infinie à la dernière bille et une valeur nulle à la dernière voiture. Anatole est
donc prêt à échanger des billes contre des voitures et Brice est prêt à faire l’inverse. L’échange est
donc souhaitable pour les deux amis. Par exemple, Brice peut proposer 1 voiture contre 1 bille et
Anatole acceptera puisqu’il serait même prêt à donner 1 bille contre rien en échange.
8) Il existe une infinité d’optima pouvant être atteint en partant du point de dotations initiales. Ces
.fr/
.free
optima sont situés entre les deux segments horizontaux suivants : le segment allant du point (6,6)
au point (16,6) et celui allant du point (2,2) au point (2,12), de plus ils appartiennent à la surface op.
9) Ils vont pouvoir atteindre un optimum. En effet, la droite de budget rencontre la courbe des
contrats. L’équation de la droite de budget pour Anatole est donnée par :
px1A + px2A = m ⇒
m
x1A + x2A =
car p 6= 0
p
or le point des dotations initiales (16,2) doit appartenir à cette droite, donc en utilisant l’équation
ci-dessus :
16 + 2 =
Université François Rabelais| 29-01-2017
m
m
⇒
= 18
p
p
157/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
La droite de budget d’Anatole a donc pour équation :
x1A + x2A = 18
(5.7)
∗ décentralisés par ce système de prix, ils appartiennent au
Il y a donc une infinité d’optima Em
segment de la droite (5.7) compris entre les points (12,6) et (14,4). (cf. Figure 5.10)
10) Cette question est donc sans objet.
Exercice 53 : Fauvoir le Doyen
Le Doyen de l’université (D) et le Pr. Fauvoir (F) échangent
des banalités (B) et des platitudes (P). Le matin en arrivant à l’université le Doyen a 10 banalités et
4 platitudes et le Pr. Fauvoir a 5 banalités et 16 platitudes. Les préférences de nos deux mandarins
sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes :
Doyen : UD ( PD , BD ) = BD +
p
Pr. Fauvoir : UF ( PF , BF ) = BF +
PD
p
(5.1)
PF
(5.2)
rd
fava
scal.
1 – Quel est le niveau d’utilité de chacun le matin en arrivant à l’université ?
2 – Calculez le TmS des deux mandarins.
3 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto.
4 – Dessinez l’ensemble des optima de Pareto dans le graphique idoine.
5 – Est-ce que le point de dotations initiales est un optimum de Pareto ?
6 – Quel optimum va pouvoir être atteint ?
7 – Supposons que l’université soit en fait un marché aux banalités et aux platitudes et que les prix
de marché de ces deux biens soient égaux. Quel optimum vont atteindre nos deux mandarins
en partant de leurs dotations initiales et en respectant le rapport des prix sur le marché ?
8 – Que proposez-vous, quantitativement, suite à ce que vous avez obtenu à la question précédente ?
Solution :
1) Les fonctions d’utilités sont quasi-linéaires.
i. Le niveau d’utilité du Doyen dont la dotation initiale est (4,10) est donné par (5.1) évaluée en ce
point :
UD (4, 10) = 10 +
√
4 = 12
(5.3)
ce point :
UF (16, 5) = 5 +
√
16 = 9
2) Le TmS le long d’une courbe d’indifférence est tel que :
∀( Pi , Bi ) ∈ R2∗+ , i = ( D, F ) ;
ce TmS est indépendant du nombre de banalités.
.fr/
.free
ii. Le niveau d’utilité du Pr. Fauvoir dont la dotation initiale est (16,5) est donné par (5.2) évaluée en
TmSi ( Pi , Bi ) =
(5.4)
dBi
1
=− √ ,
dPi
2 Pi
(5.5)
3) Les paniers de biens qui appartiennent à la courbe des optima de Pareto, indicée op, sont tels qu’on
ne peut pas améliorer la situation de l’un sans détériorer la situation de l’autre. Dans ce cas on ne
peut pas toujours égaliser les TmS. Etant donné qu’initialement « l’économie » a 15 banalités et
Université François Rabelais| 29-01-2017
158/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
20 platitudes et que l’on recherche les optima de Pareto donc la pleine utilisation des ressources
initiales :
PDop + PFop = 20 ⇔ PDop = 20 − PFop
(5.6)
BDop + BFop = 15 ⇔ BDop = 15 − BFop
Égalisons lorsque c’est possible les TmS en utilisant (5.5) :
( Pi , Bi ) ∈ R2∗+ , i = ( D, F ) ;
dBD
dPD
op
1
1
dBF
=− p
=− p
=
dPF
2 PDop
2 PFop
op
⇔ PDop = PFop
avec (5.6), on a :
PFop = 20 − PFop ⇒ PFop = 10
rd
fava
scal.
Lorsque cette égalisation n’est pas possible (i.e. il n’est pas optimal de partager les platitudes pour
l’un ou pour l’autre) on a des solutions en coin. Graphiquement on voit que l’on doit avoir :
A
∀ x1op
∈ [0, 20] ;
A
A
A
x1op
≥ x2op
≥ x1op
− 10
et
A
10 ≥ x2op
≥0
(5.7)
Donc (5.6) et (5.7) définissent l’ensemble des optima de Pareto, ici c’est des segments de droite, en
pointillés « vert » sur le graphique ci-dessous.
4) Ce type de graphique s’appelle la boîte d’Edgeworth.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
159/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
20
Platitudes
O
16
14
W
5
15
rd
fava
scal.
O
•
4
10
Doyen
Fauvoir
Droite des prix
Banalités
10
√
6 + √10
12 − 10
14
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.11 : Boîte d’Edgeworth : Doyen & Fauvoir
5) Non, en ce point les TmS des deux mandarins sont différents. Il y a des possibilités d’échanges
permettant d’améliorer le niveau d’utilité d’un des professeurs sans diminuer la satisfaction de
l’autre.
6) La courbe des contrats (cf. Figure 5.11) est un segment de droite vertical d’abscisse PD = 10.
Pour trouver les ordonnées des deux extrémités du segment il faut résoudre les deux équations
suivantes :
• Avec (5.1) et (5.3) on obtient y1 = 12 −
√
.fr/
.free
10.
√
√
• Avec (5.2)et (5.4) on obtient y2 = 15 − 9 + 10 = 6 + 10.
√
√
Donc la courbe des contrats est le segment [(10, 12 − 10); (10, 6 + 10)].
7) Le point que l’on recherche doit appartenir à la courbe des contrats est être sur la droite passant
par W de pente en valeur absolue le rapport des prix donc ici 1. L’équation de cette droite est donc :
BD = − PD + 14. Cette droite n’a pas d’intersection avec la courbe des contrats (cf. Figure 5.11). Ce
système de prix ne permet pas de décentraliser l’optimum.
8) Il faut trouver un système de prix qui décentralise l’optimum (cf. Figure 5.12). Supposons que
le
prix des banalités soit normalisé√ à 1, alors le prix des platitudes doit être plus petit que :
√
10−2
6
' 0, 19 et plus grand que :
4− 10
6
Université François Rabelais| 29-01-2017
' 0, 14.
160/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
O
16
10
W
5
∗
Em
•
15
rd
fava
scal.
O
•
Banalités
a
://p
http
20
Platitudes
4
Doyen
Fauvoir
Droite des prix
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.12 : Équilibres de marché : Doyen & Fauvoir
Exercice 54 : Toto
Soit une économie avec un consommateur Toto, une entreprise et deux
biens : le loisir ` et un bien de consommation c. Toto dort de vingt trois heure à huit heure. Il
fait deux repas par jour d’une heure chacun. Le reste du temps il peut travailler ou se distraire.
Sa fonction d’utilité est : u(c, `) =
√
production est : q = t.
2 ln c
3
+
ln `
3 .
Le seul input est le travail de Toto, la fonction de
1 – Comment appelle-t-on ce type de fonction d’utilité ?
2 – Tracez, après une étude précise, les courbes d’indifférence de Toto.
.fr/
.free
3 – Tracez, après une étude précise, la fonction de production.
4 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto.
5 – Quel système de prix décentralise l’optimum ? Représentez graphiquement la détermination de
cet optimum.
Solution :
1) Logarithme d’une Cobb-Douglas.
2) Étude de la fonction d’utilité de Toto :
Université François Rabelais| 29-01-2017
161/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
0
−∞
a
://p
http
c
`0 (·)
`00 (·)
`(·)
+∞
−
0
+
+∞
0
Tableau 5.1 : Tableau de variations
`
13
rd
fava
scal.
c
O
Figure 5.13 : Courbes d’indifférence : Toto
3) Étude de la fonction de production :
t
q0 (·)
0
13
+∞
√1
2 13
q00 (·)
q(·)
+
−
√
13
0
Tableau 5.2 : Tableau de variations
O
.fr/
.free
q
13
t
Figure 5.14 : Fonction de production
Université François Rabelais| 29-01-2017
162/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
4) Il faut égaliser le TmS et la « productivité » marginale du loisir
: ` = c2 , représenté
par la courbe
q
13 13
rouge (cf. Figure 5.15). L’optimum est donc : OP = cop , `op =
2, 2 .
√
d`
= −2cop = − 26. Il faut donc que le rapport de prix soit
5) Le TmS à l’optimum est : TmSop =
dc
√
égal à 26 pour pouvoir décentraliser l’optimum.
`
13
2
Fonction de production
•
q
OP
.fr/
.free
O
TmS = Pm
Toto
Droite des prix
rd
fava
scal.
13
Légende
c
13
2
Figure 5.15 : Économie
Exercice 55 : Aristide et Briand
Malgré les conseils de leurs parents, Aristide et Briand ont
l’habitude d’échanger toutes sortes de choses dans la cour de récréation. Aujourd’hui ils vont
échanger des billes (bien 1) et des voitures (modèles réduits bien sûr) le bien 2. Le matin en arrivant
à l’école Aristide a dans son cartable 16 billes et 2 voitures et Briand a 4 billes et 8 voitures. Les
Université François Rabelais| 29-01-2017
163/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
préférences de nos jeunes amis sont caractérisées par les fonctions d’utilité suivantes 1 :
Aristide : u A ( x1A , x2A ) = x1A + x2A
o
n
B B B
B B
Briand : u ( x1 , x2 ) = min x1 , x2
(5.1)
(5.2)
1 – Qualifiez les biens pour Aristide et pour Briand. Quel est le niveau d’utilité de chacun de nos
amis le matin en arrivant à l’école ?
2 – Dessinez la boîte d’Edgeworth.
3 – Est-ce que le point de dotations initiales est un optimum de Pareto ? Pourquoi ?
4 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto. Dessinez l’ensemble des
optima de Pareto sur le graphique précédent.
5 – Quel (s) optimum (a) va (vont) pouvoir être atteint (s) ? Comment appelle-t-on cet ensemble ?
Représentez-le dans la boîte d’Edgeworth.
6 – Supposons que la cour de l’école soit en fait un marché aux billes et aux voitures et que le prix de
marché d’une voiture soit deux fois moins élevé que celui d’une bille et non nul. Quel optimum,
rd
fava
scal.
∗ , vont atteindre nos deux amis en partant de leurs dotations initiales et en
que l’on notera Em
respectant ce rapport des prix ? Y a-t-il quelque chose de surprenant du point de vue de la
théorie du consommateur ?
7 – Y a-t-il d’autres rapports de prix qui décentralisent un optimum ? Lesquels ?
8 – Supposons qu’il y ait une entreprise qui produise des billes et une qui produise des voitures.
Donnez l’équation la plus simple possible d’une frontière des possibilités de production per∗.
mettant, dans cette nouvelle économie avec production, d’atteindre Em
Solution :
1) Substituts parfaits pour Aristide et compléments parfaits pour Briand.
i. Le niveau d’utilité d’Aristide dont la dotation initiale est (16,2) est donné par (5.1) évaluée en ce
point :
u A (16, 2) = 18
(5.3)
ii. Le niveau d’utilité de Briand dont la dotation initiale est (4,8) est donné par (5.2) évaluée en ce
point :
u B (4, 8) = 4
.fr/
.free
2) La boîte d’Edgeworth :
(5.4)
1. Aristide « consomme » x1A billes et x2A voitures, Briand x1B billes et x2B voitures. Le bien 1 sera toujours sur l’axe
des abscisses.
Université François Rabelais| 29-01-2017
164/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
Billes
20
4
10
∗
• Em
•W
8
Voitures
2
16
10
rd
fava
scal.
O
O
Aristide
Briand
Droite des prix
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.16 : Boîte d’Edgeworth : Aristide & Briand
3) Non. Si l’on prend une voiture à Briand, son niveau de satisfaction n’est pas modifié, et que
l’on donne cette voiture à Aristide on augmente son niveau d’utilité de un ; W n’est donc pas un
optimum puisqu’on on a trouvé une allocation qui domine l’allocation initiale au sens de Pareto.
4) Les paniers de biens qui appartiennent à la courbe des optima de Pareto sont tels qu’on ne peut pas
améliorer la situation d’un des deux garçons sans détériorer la situation de l’autre. Dans le cas on
ne peut pas égaliser les TmS, une autre méthode doit donc être utilisée. Etant donné qu’initialement
« l’économie » a 20 billes et 10 voitures et que l’on recherche les optima de Pareto, donc la pleine
utilisation des ressources initiales on doit avoir :
x1A + x1B = 20 ⇔ x1B = 20 − x1A
(5.5)
.fr/
.free
x2A + x2B = 10 ⇔ x2B = 10 − x2A
La boîte d’Edgeworth doit être « divisée » en deux. Dans le carré [(10, 0); (20, 0); (20, 10); (10, 10)]
les optima sont situés sur la droite des points anguleux de Briand. Dans le repère d’Aristide cette
droite des points anguleux a pour pente un et passe par le point (20, 10). Son équation est donc :
x2A = x1A − 10 avec x1A ∈ [10, 20]
(5.6)
Dans le carré [(0, 0); (10, 0); (10, 10); (0, 10)] aucun panier de biens ne peut être un optimum, sauf
le panier (10, 0) pour Aristide et donc le panier (10, 10) pour Briand, cette allocation est aussi dans
l’ensemble précédent. Prenons, par exemple, le panier (5, 0) pour Aristide et donc le panier (15, 10)
pour Briand. Le niveau d’utilité de Briand est 10 comme lorsqu’il consomme le panier (10, 10).
Université François Rabelais| 29-01-2017
165/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
En revanche le niveau d’utilité d’Aristide est de 5 ce qui est plus petit que son niveau d’utilité
lorsqu’il consomme le panier (10, 0). On peut donc améliorer le niveau de satisfaction d’Aristide,
en augmentant sa consommation de bille sans modifier le niveau de satisfaction de Briand. Cette
allocation n’est donc pas un optimum de Pareto.
L’ensemble des optima de Pareto, OP , en utilisant (5.5) et (5.6), est :
n
o
OP = (~x A , ~x B )|∀ x1A ∈ [10, 20] ; x2A = x1A − 10, x1B = x2B = 20 − x1A
(5.7)
5) Ce que l’on cherche à présent c’est les allocations dominant W au sens de Pareto, donc les allocations
appartenant à la courbe des contrats. Cet ensemble est défini par l’intersection de O P et des
allocations dominant W. Cet dernier ensemble est le triangle [W; (16, 6); (12, 6)]. Cette surface est
en fait l’ensemble des paniers de biens qui procurent à Aristide au moins autant de satisfaction que
sa dotation initiale (ie. u A (·) > 18) et des paniers de biens qui promurent à Briand au moins autant
de satisfaction que sa dotation initiale (ie. u B (·) > 4). L’ensemble des contrats, OP C , est donc :
n
o
OP C = (~x A , ~x B )|∀ x1A ∈ [14, 16] ; x2A = x1A − 10, x1B = x2B = 20 − x1A
(5.8)
rd
fava
scal.
6) Ils vont pouvoir atteindre un optimum. En effet, la droite de budget rencontre la courbe des
contrats. L’équation de la droite de budget pour Aristide, puisque p1 = 2p2 , est donnée par :
2p2 x1A + p2 x2A = R ⇒
2x1A + x2A =
R
car p2 6= 0
p2
or le point des dotations initiales (16,2) doit appartenir à cette droite, donc en utilisant l’équation
ci-dessus :
2 ∗ 16 + 2 =
R
R
⇒
= 34.
p2
p2
La droite de budget d’Aristide a donc pour équation :
2x1A + x2A = 34
(5.9)
1
⇒



xA =

 1
44
3



x A =
2
14
3
2
.fr/
.free
En utilisant (5.6) et (5.9) on a un système à deux équations et deux inconnues :

 x A = x A − 10
2
1
 2x A + x A = 34
' 14, 67 ∈ [10, 20]
(5.10)
' 4, 67
∗ est :
En utilisant (5.10) et (5.5), l’optimum décentralisé Em

44 14 A
∗
A
∗

x , x2 = 3 , 3


 1
∗
Em
=



 x B∗ , x B∗ = 16 , 16
2
1
3 3
Université François Rabelais| 29-01-2017
(5.11)
166/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
Étant donné que les biens sont des substituts parfaits pour Aristide au taux de un, si le rapport de
prix est différent de un le meilleur choix d’Aristide est une solution en coin. Ici il consommera des
deux biens à l’optimum...
7) La condition nécessaire et suffisante pour qu’un optimum soit décentralisé est que
p1
p2
≥ 1, donc
l’ensemble des rapports de prix recherchés, noté PC , est :
p1
PC = ~p |
∈ [1, +∞)
p2
(5.12)
8) Il suffit de prendre une frontière des possibilités de production qui soit linéaire. Elle doit passer par
le panier (20, 10) et avoir une pente, TmT, égale à −2. Cette Frontière, notée FPP, a pour équation :
x2 = −2x1 + 50
Exercice 56 : Les mélanges c’est pas bon
(5.13)
Dans cette économie il y a deux consommateurs, le
capitaine Haddock et tonton Loco. Ils consomment 1 deux biens, du pastis en quantités x PH et x PL et
rd
fava
scal.
H et x L . La fonction d’utilité du capitaine Haddock est : u H ( x H , x H ) =
du whisky en quantités xW
P
W
W
H et celle de tonton Loco est : u L ( x L , x L ) = 2x L + x L . Dans un premier temps on se place
x PH + 2xW
P W
P
W
dans une économie d’échange. Le capitaine Haddock (resp. tonton Loco) a initialement 8 (resp. 2)
litres de whisky et 2 (resp. 8) litres de pastis.
1 – Dessinez la boîte d’Edgeworth avec les courbes d’indifférence de tonton Loco en rouge et celles
du capitaine Haddock en bleu.
2 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des paniers dominant le panier des dotations
initiales. Représentez-le dans la boîte.
3 – Caractérisez mathématiquement l’ensemble des optima de Pareto. Représentez-le dans la boîte.
4 – Caractérisez mathématiquement la courbe des contrats. Représentez-la dans la boîte.
Dans cette nouvelle partie de l’exercice les consommateurs n’ont pas de dotation initiale, pour
aucun des deux biens. L’entreprise Jean-Pierre Matthieu (JPM) produit le pastis et le whisky. Les
deux consommateurs reçoivent chacun un revenu égal à 5. Bien que JPM soit la seule à produire
ces deux biens et qu’il n’y ait que deux consommateurs, on supposera que les deux marchés sont
concurrentiels. La frontière des possibilités de production est donnée par : Q P + QW − 10 = 0, où
Q P est la quantité de pastis produite dans cette économie, QW étant celle de whisky. On notera le
5 – Déterminez l’équilibre général.
6 – Représentez l’équilibre général sur le graphique idoine.
7 – L’équilibre est-il un optimum de Pareto ? Commentez.
Solution :
.fr/
.free
prix du litre de pastis p P et celui du whisky pW .
1) Les biens sont des substituts parfaits pour les deux consommateurs. Les courbes d’indifférence
sont donc des droites décroissantes de pente −2 pour Loco et − 12 pour Haddock.
1. La consommation d’alcool est très dangereuse pour la santé.
Université François Rabelais| 29-01-2017
167/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
10
Pastis
2
O
2
10
•W
8
Whisky
rd
fava
scal.
O
8
Loco
Haddock
Courbe des contrats
Optima de Pareto
Paniers dominant W
Figure 5.17 : Boîte d’Edgeworth
2) Le niveau d’utilité du capitaine Haddock et celui de tonton Loco lorsqu’ils consomment tous les
deux leurs dotations initiales est 18. Si Loco ne consomme pas de whisky, il doit consommer 9
litres de pastis pour atteindre le niveau d’utilité de 18 et si Haddock ne consomme pas de pastis, il
doit consommer 9 litres de whisky pour atteindre le niveau d’utilité de 18. L’ensemble que l’on
W
.fr/
.free
cherche est le quadrilatère [(8, 2); (9, 0); (10, 0); (10, 9)], mathématiquement il peut s’écrire :

L > 18


2x PL + xW



 x H + 2x H > 18

P
W
L
L
H
H
x Pop
, xWop
, x Pop
, xWop
∈
(5.1)

L
H

x
+
x
=
10

P
P



 x H + x L = 10.
W
Puisque toute allocation dans cet ensemble doit procurer aux deux consommateurs un niveau
d’utilité plus grand que lorsqu’ils consomment leurs dotations initiales et en même temps respecter
les disponibilités de biens.
3) Les paniers de biens qui appartiennent à la courbe des optima de Pareto, indicée op, sont tels qu’on
ne peut pas améliorer la situation d’un des deux garçons sans détériorer la situation de l’autre.
Dans ce cas on ne peut pas égaliser les TmS, une autre méthode doit donc être utilisée. Etant donné
Université François Rabelais| 29-01-2017
168/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
qu’initialement, dans « l’économie », il y a 10 litres de pastis et 10 litres de whisky et que l’on
recherche les optima de Pareto, donc la pleine utilisation des ressources initiales on a :

H = 10 − x L
x L + x H
= 10 ⇔ x Pop
Pop
Pop
Pop
x L + x H
= 10 ⇔ x H = 10 − x L .
Wop
Wop
Wop
(5.2)
Wop
L
Dans ce cas on ne peut pas jamais égaliser les TmS. Graphiquement on voit que xWop
doit être nul
H doit être nul. En fait, comme Loco valorise toujours plus le pastis que le whisky et que
ou que x Pop
Haddock valorise toujours plus le whisky que le pastis, Loco va proposer à Haddock du whisky
rd
fava
scal.
contre
du pastis jusqu’à ce qu’il n’ait plus de whisky à proposer. En utilisant (5.2) on obtient :

H
L



x
= 10 − x Pop

L
 Pop
x H
= 10 − x Pop
Pop
H
L
xWop = 10 − xWop ⇒

 xL , xH

= (0, 10) ,

Wop Wop
x L
=
0
Wop 
L



xH
= 10 − x Pop

 Pop
 xL , xH
= (10, 0)
Pop Pop
H
L
ou bien : xWop
⇒
= 10 − xWop

x H
L .

= 10 − xWop

Wop
x H
=0
Pop
La courbe des optima est donc définie comme suit :
L
L
H
H
∀α ∈ [0, 10] ; x Pop
, xWop
, x Pop
, xWop
∈ {(α, 0, 10 − α, 10)} ∪ {(10, 10 − α, 0, α)} .
(5.3)
4) La courbe des contrats est l’intersection de l’ensemble des optima de Pareto (5.3) et de l’ensemble
des paniers dominant les paniers de dotations initiales (5.1).
L
L
H
H
∀α ∈ [9, 10] ; x Pop
, xWop
, x Pop
, xWop
∈ {(α, 0, 10 − α, 10)} ∪ {(10, 10 − α, 0, α)} .
(5.4)
dQW
= −1. Pour qu’aucun
dQ P
arbitrage ne soit possible, au niveau de l’entreprise, il faut que le TmT soit égal, en valeur absolue,
5) Calculons tout d’abord le TmT : dQ P + dQW = 0 ⇒ TmTPW =
au rapport de prix : | TmTPW | =
pP
pW
.fr/
.free
⇒ p P = pW . Étant donné que les biens sont des substituts
parfaits pour les deux consommateurs avec un taux de substitution différent de un, chacun ne
va consommer qu’un des deux biens. Le capitaine Haddock ne consommera que du whisky et
tonton Loco que du pastis. Pour déterminer l’équilibre général il faut résoudre le système, à quatre
H , x L , p , p ), suivant :
inconnues (i.e. xW
P W P

H = 5


xW

pW



x L = 5
P
pP


p P = pW




 Q + Q = x L + x H = 10.
P
W
P
W
∗ H , x ∗ L , p∗ , p∗ = (5, 5, 1, 1).
L’équilibre général est donc : xW
P
W P
6) En tenant compte des prix trouvés dans la question précédente on peut représenter l’équilibre
général.
Université François Rabelais| 29-01-2017
169/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
Légende
Loco
Whisky
Haddock
Droite de budget
FPP
10
O
5
rd
fava
scal.
O
•
E∗
10
5
Pastis
Figure 5.18 : Équilibre général
7) L’équilibre général appartient à l’ensemble des optima de Pareto, c’est donc un optimum (cf. Figure 5.17). Le premier théorème de l’économie du bien-être est bien vérifié.
5.2
Exercices théoriques
Exercice 57 : Illusion
Soit une économie où il y a : J consommateurs, I producteurs et L
.fr/
.free
biens. On notera : ~x j ∈ X j , le vecteur de consommation de j avec j = 1, .., J ; ~yi ∈ Yi , le vecteur
~ j le vecteur de ressources initiales de j. Montrez que si
de production de i avec i = 1, .., I et w
l’allocation économique (~x1∗ , .., ~x ∗J , ~y1∗ , .., ~y∗I ) et le vecteur prix ~p∗ 0 sont un équilibre concurrentiel
alors l’allocation économique (~x1∗ , .., ~x ∗J , ~y1∗ , .., ~y∗I ) et le vecteur prix α~p∗ constituent aussi un équilibre
concurrentiel ∀α > 0.
Solution :
• Maximisation du profit : pour chaque entreprise i = 1, .., I ; ~yi∗ est solution de :
Pi
Université François Rabelais| 29-01-2017
Max ~p∗~yi
{yi ∈Yi }
(5.1)
170/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre général
a
://p
http
Si tous les prix sont multipliés par un scalaire α, alors (5.1) se réécrit comme suit :
Pi
Max α~p∗~yi
(5.2)
{yi ∈Yi }
⇔ α Max ~p∗~yi , donc (5.2) admet la même solution que (5.1).
yi ∈Yi
• Maximisation de l’utilité : pour chaque consommateur j = 1, .., J ; ~x ∗j est solution de :
Pj
Max u j (~x j )
{~x j ∈Xj }
I
~j+∑
slc ~p ~x j ≤ ~p w
∗
∗
(5.3)
θij~p∗~yi∗
i =1
avec θij la part de profit de l’entreprise i revenant au consommateur j. Seule la contrainte budgétaire
dépend des prix. Si tous les prix sont multipliés par un scalaire α, alors la contrainte budgétaire
~ j + ∑iI=1 θij α~p∗~yi∗ ⇔ ~p∗~x j ≤ ~p∗ w
~ j + ∑iI=1 θij~p∗~yi∗ .
n’est pas modifiée : α~p∗~x j ≤ α~p∗ w
• Market clearing : pour chaque bien ` = 1, .., L ;
rd
fava
scal.
J
I
j =1
i =1
∑ x`∗j = w` + ∑ y∗`i .
Aucune de ces équations ne dépend des prix donc du scalaire α.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
171/256
Chapitre 6
Monopole
Sommaire
6.1
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Structure des coûts de production et concurrence sur les marchés . . . . . . . . . . 173
Un seul jaune sinon t’es noir ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Cafet’ ou Cantoche ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Monopole Ctou, t’es chocolat ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Monopole d’intermédiation (forfait ou redevances ou fees versus royalties) . . . . 180
Clasquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Mesure du pouvoir de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Citron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Monopole Discrimination par les prix : tarification par groupe . . . . . . . . . . . . 193
Discrimination du second degré : Tarif Binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
C’est transparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
AirTouraine Falcùn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Monodue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
OM continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.2
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Lerner et élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Avant-propos : « Quand l’Autorité de la groupe Auchan, qui « récupère » 28 points de
concurrence fait entrer Auchan dans Paris » Le- vente pour sa nouvelle enseigne de proximité
sEchos.fr Philippe Bertrand 04/12/2014 à 6:00
A 2 Pas. Précisément, c’est un groupe de quatre
Pour reprendre Monoprix, Casino a dû commerçants indépendants qui a repris ces ma-
vendre 55 magasins à Paris. A 2 Pas, l’enseigne gasins de 200 à 500 m2 à Casino et qui deviendra
de proximité d’Auchan, en a repris 28.
franchisé d’Auchan. Pour le reste, on notera que
C’est la démonstration que l’Autorité de la la centrale d’achats G20 a repris, elle, 12 maga-
concurrence peut déconcentrer un marché, y sins, Intermarché 5 pour ses Express et Marks
renforcer la compétition et, à terme, faire bais- & Spencer 5 pour ses Simply Food. « Notre obser les prix en faveur du consommateur. C’est jectif est d’avoir 50 magasins fin 2015 et 100 en
la justification a priori du pouvoir d’injonction 2016 », explique Jean-Charles Fhal, le directeur
structurelle que le projet de loi Macron sur l’acti- d’A 2 Pas, qui reconnaît que l’Autorité de la
vité pourrait donner à l’institution de la rue de concurrence a lancé son développement. Une enl’Echelle à Paris.
seigne dont les promoteurs affirment qu’elle est
Lorsque Casino a pris le contrôle total de Mo- moins chère que ses concurrentes, notamment
rd
fava
scal.
noprix l’année dernière, en reprenant les 50% du en raison de la présence dans les magasins des
capital détenus par les Galeries Lafayette, l’Au- produits à marque de distributeur Auchan.
torité de la concurrence a exigé du groupe dirigé
L’institution présidée par Bruno Lasserre
par Jean-Charles Naouri la vente de 55 points prouve, quant à elle, sa capacité à faire entrer de
de vente à Paris. La raison : la position domi- nouveaux acteurs dans le jeu de la concurrence.
nante qu’il occupait dans la capitale avec 60% A Paris, sa priorité, avant peut-être d’autres
des surfaces de vente alimentaire.
zones de chalandise en France si le projet de
loi Macron est adopté en l’état. Un projet qui
Démonstration de force
Dix-huit mois plus tard, le processus s’achève ne limitera pas ce pouvoir d’injonction au seul
et, selon un bilan que « Les Echos » se sont pro- contrôle des concentrations.
curés, le grand vainqueur de l’opération est le
6.1
Exercices appliqués
Exercice 58 : Structure des coûts de production et concurrence sur les marchés
La fonction
.fr/
.free
de demande sur un marché est donnée par : D( p) = 500 − 20p. Il peut y avoir potentiellement
N offreurs sur ce marché, la fonction de coût du producteur i, (i = 1, ..., N ) est donnée par :
Ci (qi ) = 10qi +
q2i
2.
1 – Déterminez la fonction d’offre d’une entreprise si le marché est en concurrence pure et parfaite.
2 – Déterminez la fonction d’offre globale sur ce marché.
3 – Déterminez l’équilibre sur ce marché.
4 – Quel sera le nombre de producteurs présents sur ce marché à l’équilibre concurrentiel de
long-terme ?
On considère à présent que la fonction de coût de production s’écrit :
q2i
Ci (qi ) = Fi + 10qi + ,
2
Université François Rabelais| 29-01-2017
173/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
où Fi représente un coût fixe et ∀i ∈ (1, ..., N ), Fi = F ≤ 50.
5 – Quel serait le nombre d’entreprises sur ce marché s’il y avait libre entrée ?
6 – Déterminez l’équilibre de ce marché lorsqu’il n’y a qu’un seul producteur.
7 – Interprétez et discutez les résultats obtenus.
Solution :
1) La fonction d’offre d’un producteur i sur un marché en concurrence pure et parfaite résulte du
programme :
Max π (qi ) = pqi − Ci (qi )
{ qi }
Pi
(6.1)
q2i
slc Ci (qi ) = 10qi +
2
La condition nécessaire du premier ordre à ce problème de maximisation est :
rd
fava
scal.
dπ (qi )
= 0 ⇔ p − Cmi (qi ) = p − 10 − qi = 0.
dqi
La condition suffisante du second ordre est ici vérifiée puisque :
d’offre d’une entreprise est donc 1 : Si ( p) = max { p − 10, 0}.
d2 π ( q i )
= −1 < 0. La fonction
dq2i
2) L’offre globale est : S( p) = max { N ( p − 10), 0}.
3) L’équilibre sur le marché implique :
D( p) = S( p) ⇔ 500 − 20p = N ( p − 10) ⇒ pCo =
donc QCo =
300N
20+ N .
500 + 10N
,
20 + N
Soit ECo = pCo , QCo l’équilibre sur le marché :
E
Co
=
500 + 10N 300N
,
20 + N 20 + N
À l’équilibre chaque entreprise produit qiCo =
QCo
N
=
300
20+ N .
.
Notons que :
dpCo
dqCo
dQCo
< 0,
< 0 et
> 0.
dN
dN
dN
.fr/
.free
4) À long terme le profit de chaque entreprise est nul. Son profit est donc :
500 + 10N 300
300
π (qiCo ) =
− 10
−
20 + N 20 + N
20 + N
À long terme N tend vers l’infini.
300 2
20+ N
2
=
45000
> 0.
(20 + N )2
1. La fonction d’offre inverse de court terme de la firme est la portion de la courbe de coût marginal au-dessus
du minimum du coût variable moyen et l’axe des ordonnées pour tous les prix en dessous du seuil de fermeture.
Dans cet exemple, le coût marginal de production, Cmi (qi ) = 10 + qi , est toujours croissant, il est donc toujours
supérieur au coût variable moyen : CV Mi (qi ) = 10 +
qi
2.
Par ailleurs comme il n’y a pas de coût fixe, coût moyen et
coût variable moyen coïncident. Le minimum du coût moyen est obtenu lorsque qi = 0 et vaut 10. La fonction d’offre
d’une entreprise est donc bien Si ( p) = p − 10 pour p ≥ 10.
Université François Rabelais| 29-01-2017
174/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
5) Contrairement au cas précédent, le coût variable moyen n’est plus égal au coût moyen. Le minimum
√
√
du coût variable moyen est : 2F ≤ 10. N sera donc solution de : qiCo = 20300
= 2F ≤ 10 ⇒ N =
+
N
√
√
300
√
− 20 ≥ 10,, QCo = 300 − 20 2F ≥ 100 et pCo = 10 + 2F ≤ 20.
2F
6) Le programme du monopole est :
Max π ( Q) = p( Q) Q − C ( Q)
P Mo
{ Q}
Q2
slc C ( Q) = F + 10Q +
2
La condition nécessaire du premier ordre à ce problème de maximisation est :
(6.2)
150
dπ ( Q)
= 0 ⇔ Q Mo =
' 13, 64.
dQ
11
d2 π ( Q )
= − 11
La condition suffisante du second ordre est ici vérifiée puisque :
10 < 0. En utilisant
2
dQ
la fonction inverse de demande on obtient p Mo = 535
est alors :
22 ' 24, 32. Le profit du monopole
1125
π Mo = 11 − F ≥ 0. Le monopole a donc intérêt à produire, soit E Mo = p Mo , Q Mo l’équilibre sur
rd
fava
scal.
le marché :
535 150
E =
,
.
22 11
7) La production du monopole est plus faible que la production en concurrence et le prix unitaire est
Mo
plus élevé.
Exercice 59 : Un seul jaune sinon t’es noir !
sons
anisées 1
« Lou Pastaga » est le seul bar à vendre des bois-
sur la place de l’Abbé Gut à Bouloc. Il est donc en situation de monopole sur ce
marché. Son emplacement lui coûte 10=
C. Il doit également dépenser Q2 , Q étant la quantité totale
de verres vendus. On note p le prix de vente d’un verre.
Avant de s’installer, Lou Pastaga a fait faire une étude de marché par des étudiants en économie
sur la demande de boisson anisée du quartier. Les étudiants lui ont rapporté que la demande peut
être décrite par la fonction suivante : Q( p) = 20 − 2p.
1 – Donnez l’expression de la recette totale, notée R( Q), de la recette moyenne, notée RM ( Q), de
la recette marginale, notée Rm( Q), du coût total, noté C ( Q), du coût moyen, noté CM ( Q), et
du coût marginal, noté Cm( Q).
2 – Représentez graphiquement l’équilibre, noté E Mo , sur ce marché et le surplus social, noté SS Mo ,
.fr/
.free
à l’équilibre.
3 – Écrivez la fonction de profit, notée π ( Q), du bar Lou Pastaga.
4 – Représentez graphiquement π ( Q).
5 – Calculez la quantité d’équilibre, notée Q Mo , en utilisant que la fonction de profit.
6 – Déterminez SS Mo .
Solution :
1) La demande inverse sur ce marché est :
D −1 ( Q) = 10 −
1. Consommer avec modération et olives.
Université François Rabelais| 29-01-2017
Q
,
2
(6.1)
175/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
donc :
R( Q) = D −1 ( Q) Q = 10Q −
RM( Q) =
Q2
,
2
(6.2)
R( Q)
Q
= 10 − = D −1 ( Q),
Q
2
(6.3)
dR( Q)
= 10 − Q.
dQ
(6.4)
Rm( Q) =
La fonction de coût, étant donné, les hypothèses est :
C ( Q) = 10 +
donc :
CM ( Q) =
Q
,
2
(6.5)
10 1
C ( Q)
=
+ ,
Q
Q
2
(6.6)
dC ( Q)
1
= .
dQ
2
(6.7)
Cm( Q) =
2) En utilisant les fonctions ci-dessus on obtient :
rd
fava
scal.
=
C/unités
10
21
4
•
59
38
1
2
O
Légende
Rm( Q)
RM ( Q)
Cm
CM ( Q)
SS Mo
E Mo
20
19
2
Q
Figure 6.1 : Équilibre de monopole : Lou Pastaga
.fr/
.free
3) Par définition : π ( Q) = R( Q) − C ( Q), en utilisant (6.2) et (6.5) on obtient :
Q2
Q
19Q Q2
− 10 +
=
−
− 10.
π ( Q) = 10Q −
2
2
2
2
(6.8)
dπ ( Q)
d2 π ( Q )
19
4) En utilisant (6.8), on a :
= πm ( Q) = 2 − Q et
= −1. La fonction (6.8) est
dQ
dQ2
strictement concave
et admet un maximum
pour Q = 19
2 . Les racines réelles de l’équation π ( Q ) = 0
√
√
sont : Q1 =
19− 281
2
' 1, 12 et Q2 =
19+ 281
2
Université François Rabelais| 29-01-2017
' 17, 88.
176/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
=
C
π
19
2
O
Q1
•
π ( Q)
Q
Q2
19
2
Figure 6.2 : Fonction de profit du bar Lou Pastaga
5) Le programme de Lou Pastaga est de maximiser son profit. Q Mo est donc la quantité qui annule la
fonction de profit marginal πm ( Q), donc Q Mo =
19
2.
6) En utilisant (6.8) et (6.1), on a :
D −1 (0) − D −1 ( Q Mo )
=
1
2
19
2
2
− 10 +
19
2
h
10 −
21
4
i
rd
fava
scal.
SS Mo = π Q Mo +
Q Mo
2
Exercice 60 : Cafet’ ou Cantoche ?
2
=
923
' 57, 69.
16
Les travailleurs d’une grande zone d’activité peuvent dé-
jeuner soit à la « Cantoche » une sorte de cantine privée soit à la « Cafet’ », une cafétéria. Le coût
moyen de production d’un repas pour Cantoche ou d’un plateau composé pour Cafet’ est de
15=
C. Une étude de marché montre que la demande, en fonction du prix unitaire, est pour Cafet’ :
Q a = −1920p a + 48000 et pour Cantoche : Qb = −2000pb + 42000. Les deux commerces sont
chacun, pour leur mode de restauration, en situation de monopole.
1 – Quelle est la quantité de plats vendus par Cafet’ ? En déduire son profit.
2 – Quelle est la quantité de repas vendus par Cantoche ? En déduire son profit.
3 – Suite au départ à la retraite du gérant de Cantoche, le gérant de Cafet’ décide de s’occuper des
deux établissements et de continuer à servir les deux types de restauration. Comment peut-on
qualifier ce nouveau monopole ?
4 – Comment le gérant va-t-il maximiser ses profits ?
5 – Quel est le coût marginal du monopole ? Quelles quantités de repas et de plateaux va-t-il
vendre ? Quel est le profit total ?
.fr/
.free
6 – Quelles seraient les quantités de repas et de plateaux vendus si le gérant se comportait comme
en situation de concurrence parfaite. À quel prix vendrait-il les biens proposés ?
7 – Quelles sont les principales différences entre une entreprise en situation de monopole et une
entreprise en situation de concurrence ? Commentez l’exercice.
Solution :
1) Puisque le coût moyen est constant nous savons qu’il n’y a pas de coût fixe et que le coût marginal
est égal au coût moyen. Si la fonction de demande inverse est p( Q) = − xQ + y, ( x, y) étant un
couple de réels strictement positifs, la recette du monopole est R( Q) = p( Q) Q = − xQ2 + yQ.
dR( Q)
La recette marginale est Rm( Q) =
= −2xQ + y, la quantité de production choisie par
dQ
Université François Rabelais| 29-01-2017
177/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
n
o
y−15
le monopole est donc solution de : Cm( Q) = Rm( Q), donc Q Mo = max 2x , 0 . Le profit du
(y−15)2
Mo
Mo
Mo
monopole est alors : π
= R Q
− 15Q
= max 0, 4x
. Dans le cas de Cafet’ on a
1
( x, y) = 1920
, 25 , donc : Q aMo , π aMo = (9600, 48000).
1
2) Dans le cas de Cantoche on a ( x, y) = 2000
, 21 , donc : QbMo , πbMo = (6000, 18000).
3) C’est un monopole multiproduit.
4) Séparément puisque les fonctions de coût sont séparables et que les demandes sont indépendantes
du prix des autres biens.
5) Le coût marginal est égal à 15. Rien ne change par rapport au cas où les monopoles ne sont pas
Mo est donc la somme des profits de
intégrés. Les quantités sont Q aMo et QbMo et le profit total π ab
Mo = π Mo + π Mo = 66000.
chacune des unités de production : π ab
a
b
6) En concurrence la fonction inverse d’offre est la courbe de coût marginal. Le prix sur chacun des
Co
Co
marchés est donc pCo
a = pb = 15. En replaçant dans les fonctions de demande, on a : Q a = 19200
et QCo
b = 12000.
7) Le monopole produit moins et donc le prix unitaire est plus élevé. Mais cet exercice est peu réaliste,
rd
fava
scal.
chaque demande devrait dépendre du prix de l’autre bien, ceux-ci étant clairement au moins des
substituts imparfaits pour les travailleurs.
Exercice 61 : Monopole Ctou, t’es chocolat !
Sur le marché du Parfait au chocolat la demande
inverse est : p( Q) = max {100 − 2Q, 0}. La monopole Ctout produit ce gâteau a un coût marginal
de production constant, 20=
C et pas de coût fixe.
1 – Quel est le niveau de production qui maximise le profit de Ctou ?
2 – Quel est l’équilibre sur ce marché ?
3 – Quel serait l’équilibre sur ce marché si on supposait que les hypothèses nécessaires à la concurrence pure et parfaite soient vérifiées ?
4 – Quelle est la charge morte due à la présence d’un monopole sur le marché du Parfait au
chocolat ?
5 – Supposons que Ctou puisse discriminer parfaitement, à combien s’élèverait la charge morte,
due à la présence d’un monopole sur ce marché, dans ce cas ? Commentez.
Solution :
P Mo
.fr/
.free
1) Le niveau d’output Q Mo qui maximise le profit Ctou est solution du programme :
Max π ( Q) = p( Q) Q − C ( Q)
{ Q}
La condition nécessaire de premier ordre de (6.1) est 1 :
(6.1)
dπ ( Q)
dp( Q)
= 0 ⇔
Q + p( Q) =
dQ
dQ
dC ( Q)
⇔ 100 − 4Q = 20 ⇒ Q Mo = 20. Le monopole a intérêt à produire puisqu’il fait un profit
dQ
π Mo = 800 alors qu’en ne produisant pas il ferait un profit nul.
2) En utilisant la fonction inverse de demande, on obtient directement le prix à l’équilibre sur le
marché : p Mo = 100 − 40 = 60, donc E Mo = p Mo , Q Mo = (60, 20).
1. Dans ce cas c’est une condition nécessaire et suffisante puisque la fonction de profit est strictement concave.
Université François Rabelais| 29-01-2017
178/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
3) Le prix qui prévaudrait en situation de concurrence pure et parfaite serait solution de :
PCo
Max π ( Q) = pQ − C ( Q)
{ Q}
(6.2)
dC ( QCo )
⇔ pCo = 20 et en utilisant la fonction de demande : QCo = 40. On a donc
Co
dQ
= pCo , QCo = (20, 40).
d’où : pCo =
ECo
4) Ctou produit une quantité inférieure à la quantité socialement optimale Q Mo < QCo et donc
la vend à un prix unitaire supérieur au prix socialement optimal p Mo > pCo . Il en résulte une
perte de bien-être social (charge morte du monopole). En concurrence pure et parfaite, le surplus
total, entièrement accaparé par les consommateurs 2 est égal à : SSCo = 1600 =
40(100−20)
.
2
En
situation de monopole le surplus total est donné par la somme du surplus des consommateurs
20(100−60)
et du profit
2
Mo
SS
= 1200. La charge
SC Mo = 400 =
de Ctou : SP Mo = 800 = 20(60 − 20). Le surplus total
est alors de :
morte liée à l’existence d’un monopole s’élève donc à :
∆SS = SSCo − SS Mo = 400.
rd
fava
scal.
5) Si Ctou peut discriminer et vendre chaque unité d’output au prix le plus élevé possible (discrimination du premier degré), alors le surplus du consommateur est nul. Ctou prélève la totalité
du surplus des consommateurs de sorte que son profit se confond, dans ce cas, avec le surplus
total. Le niveau de production de Ctou, dans ce cas, est de 40 soit l’équivalent de la production
en concurrence pure et parfaite, le prix unitaire est égal au coût marginal et son profit est alors
de 1600. Le surplus total est alors maximal, autrement dit la charge morte est nulle. Le surplus
des consommateurs est nul, Ctou s’étant accaparée de la totalité du surplus social grâce à sa
connaissance parfaite du marché.
Illustration : « Les prix personnalisés, un défi
Aujourd’hui, le très fort développement du
pour l’autorité de la concurrence » LesEchos.fr commerce sur Internet, conjugué à une utilisaPascal Gayant Nicolas Le Pape 05/01/2015 à tion massive des technologies Web au sein de
06:00.
Le « yield management » (ou gestion du rendement), né dans les années 1980 aux Etats-Unis
dans le domaine du transport aérien, constitue
nique consiste à différencier les prix en fonction
d’analyses de prévisions de demande et de segments de clientèle, dans le but d’optimiser les
recettes. Ainsi, le prix d’une nuit d’hôtel ou d’un
voyage en avion varie à cause de multiples paramètres tels que les taux d’occupation, le type
de clientèle, le jour de la semaine... Les grilles
tiques tarifaires. Les firmes sont désormais aptes
à obtenir en temps réel une information personnalisée sur les profils, les goûts et la localisation
de consommateurs réels et potentiels. Une indi-
vidualisation de la relation client, une adapta-
.fr/
.free
une arme de tarification sophistiquée. Cette tech-
la population élargissent la portée de ces pra-
tion très fine des caractéristiques des produits
et services aux besoins des différents types de
clientèle, un ajustement immédiat des tarifs aux
conditions du marché sont rendus possibles par
ces mutations technologiques.
Ces évolutions permettent surtout aux en-
tarifaires très volatiles deviennent complexes et treprises de mieux évaluer la « disponibilité à
illisibles aux yeux des consommateurs.
2. Le coût marginal est constant.
Université François Rabelais| 29-01-2017
payer » maximale du consommateur et rendent
179/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
possible une stratégie de segmentation pointue améliorent considérablement l’information dont
de la clientèle. Celle-ci présente clairement un disposent les firmes sur les caractéristiques des
intérêt majeur pour les entreprises : l’individua- consommateurs, et permettent de proposer des
lisation du service devient le vecteur essentiel publicités ciblées et de moduler le prix en foncd’une stratégie de différenciation quasiparfaite, tion des connexions. En outre, le glissement d’un
permettant à l’entreprise de proposer un tarif prix unique vers des prix personnalisés peut
s’approchant au plus près de la disponibilité contribuer à renforcer les positions dominantes
maximale à payer individuelle (discrimination et à atténuer l’intensité de la concurrence sur les
tarifaire dite « au premier degré »). Dès lors, le marchés pour des raisons liées à la perte de la
« surplus des consommateurs » (l’écart entre le fonction informationnelle du prix de marché. La
prix que le consommateur est disposé à payer multiplication de prix individualisés rend, en
pour acquérir un bien et le prix effectivement effet, beaucoup plus complexe, pour le consompayé) devient nul et les entreprises s’approprient mateur, la comparaison des prix pratiqués par
toute la « rente ».
les firmes rivales et, finalement, contribue à ce
On s’attendrait à ce que l’Autorité de la que s’évanouisse la pression concurrentielle pe-
rd
fava
scal.
concurrence, garante de la protection du sur- sant sur chacune d’entre elles.
plus des consommateurs dans les opérations
Les firmes ont aujourd’hui un double inté-
de concentration, soit également soucieuse des rêt à la généralisation d’une individualisation
effets sur la concurrence de ces stratégies mar- de la relation client : une appropriation de tout
keting personnalisées. Jusqu’à présent, les au- ou partie du surplus des consommateurs et une
torités de la concurrence ont été saisies, à pro- atténuation de l’intensité de la rivalité concurpos des pratiques individualisées, dans le cadre rentielle concomitante à cette grande opacité de
quasi exclusif de relations fournisseur-entreprise prix individualisés. Voila de quoi tordre le cou à
aval. Mais désormais, les risques d’atteinte à la l’idée couramment admise que la généralisation
concurrence peuvent aussi résulter de pratiques du commerce électronique améliore le sort du
touchant à la relation avec le client final. La mul- consommateur et contribue à la transparence de
tiplication des sites d’e-commerce conjuguée au l’information.
traçage d’adresses d’ordinateurs reliés à Internet
Exercice 62 : Monopole d’intermédiation (forfait ou redevances ou fees versus royalties)
La
.fr/
.free
demande de livre est estimée à D( p) = A − p. On considère un éditeur en situation de monopole
dont le coût marginal de production d’un exemplaire du livre est c. On supposera bien évidemment
que c < A.
1 – L’éditeur propose à l’auteur d’un livre une rémunération constituée de droits d’auteur définis
comme un pourcentage 1 − α du Chiffre d’Affaires correspondant aux ventes de l’ouvrage (avec
0 ≤ 1 − α ≤ 1). Déterminez le surplus net de l’éditeur et le montant des droits d’auteur versés.
2 – Que se passe-t-il si l’auteur réclame non pas des droits d’auteur mais une somme fixe connue à
l’avance ? Calculez le nouveau prix auquel sera vendu le livre et comparez-le avec le prix obtenu
à la question précédente. Quel conseil pouvez vous donner à l’auteur dans sa négociation avec
l’éditeur ?
Université François Rabelais| 29-01-2017
180/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Solution :
1) Le profit de l’éditeur s’écrit : π ( p) = pD( p) − cD( p) − (1 − α) pD( p), où (1 − α) pD( p) représente
le montant total des droits d’auteur versés par l’éditeur. Le profit de l’éditeur, en prenant D( p) =
A − p, s’écrit : π ( p) = (αp − c)( A − p). Le programme du monopole est :
Péditeur
Max π ( p) = (αp − c)( A − p)
(6.1)
{ p}
dπ ( p Mo )
d2 π ( p)
= 0 soit αA + c − 2αp Mo = 0. La CS2 :
= −2α ≤ 0
dp
dp2
est vérifiée. Le prix choisit par l’éditeur est donc p Mo = αA2α+c . On en déduit la quantité échangée sur
La CN1 de ce programme est
αA−c
2α .
ce marché Q Mo = D( p Mo ) =
soit α ≥
La contrainte de non négativité de l’offre suppose αA − c ≥ 0,
c
A
< 1. On déduit de cette dernière condition que le monopole offrira une quantité non
nulle si la part du Chiffre d’Affaires qui lui revient est supérieure à un certain seuil, précisément Ac .
Le profit de l’éditeur π Mo =
2
2
(αA−c)2
4α
et la rémunération de l’auteur R(α) = (1 − α) p Mo D( p Mo ) =
rd
fava
scal.
(1 − α) (αA4α) 2−c .
2) Lorsque la rémunération, R, de l’auteur est fixe et donc indépendante des quantités vendues, le
profit de l’éditeur s’écrit : π ( p) = pD( p) − cD( p) − R = ( p − c)( A − p) − R. Le programme du
monopole est :
Péditeur
Max π ( p) = ( p − c)( A − p) − R
(6.2)
{ p}
dπ ( p Mo )
d2 π ( p)
= 0 soit A + c − 2p Mo = 0 et la CS2
= −2 ≤ 0 est vérifiée. Le
dp
dp2
prix choisi est p Mo = A2+c < αA2α+c , et la quantité Q Mo = A2−c > αA2α−c . Le profit de l’éditeur est
dont la CN1 est
( A − c )2
4
2
− R. Au mieux l’auteur peut espérer R = ( A−4 c) .
Dans le cas avec droits d’auteur, on note trois phases. Dans la première, la part qui revient à
l’éditeur est très faible, le prix choisi est trop élevé pour que la demande soit positive. Dans une
deuxième phase la rémunération de l’auteur peut être croissante avec la part du CA réservée à
l’éditeur. Le paradoxe n’est qu’apparent car l’auteur doit intégrer le fait qu’en étant moins exigeant
envers l’éditeur celui ci pourra baisser son prix ce qui aura pour effet d’augmenter les revenus
de l’auteur et de l’éditeur tant que l’élasticité de la demande est relativement forte. Enfin dans
une troisième phase l’effet précédent ne joue plus suffisamment de sorte que la rémunération de
l’auteur diminue « naturellement » avec la part du CA réservée à l’éditeur.
dans ce cas π Mo = π ( p Mo ) =
.fr/
.free
Illustration : Dans ce petit exercice bien d’autres internet est loin d’être clôt...
aspects importants ont été négligés, l’incertitude Lorsqu’elle est consentie à titre onéreux, la cessur la demande, l’information privée de l’au- sion par l’auteur des droits sur son œuvre doit
teur ou de l’éditeur sur le potentiel des ventes comporter aux termes de l’article L 131-4 du
d’une œuvre etc. Toutefois il pose très bien les Code de propriété intellectuelle une participabases des enjeux économiques qui sous-tendent tion proportionnelle. Dans le texte de loi reporté
les dispositions en matière de rémunération des ci-dessous vous noterez les dispositions précises
auteurs ou inventeurs. Enfin, une chose est cer- censées protéger l’auteur qui font de la rémunétaine le sujet de la rémunération des auteurs sur ration forfaitaire l’exception plutôt que la règle.
Université François Rabelais| 29-01-2017
181/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
• La nature ou les conditions de l’exploitation
a
://p
http
Article L131-4 : Modifié par Loi n˚94-361 du 10
mai 1994 - art. 6 JORF 11 mai 1994
rendent impossible l’application de la règle
La cession par l’auteur de ses droits sur son
de la rémunération proportionnelle, soit
œuvre peut être totale ou partielle. Elle doit com-
que la contribution de l’auteur ne consti-
porter au profit de l’auteur la participation pro-
tue pas l’un des éléments essentiels de la
portionnelle aux recettes provenant de la vente
création intellectuelle de l’œuvre, soit que
ou de l’exploitation. Toutefois, la rémunération
l’utilisation de l’œuvre ne présente qu’un
de l’auteur peut être évaluée forfaitairement
caractère accessoire par rapport à l’objet ex-
dans les cas suivants :
ploité ;
• La base de calcul de la participation propor-
• En cas de cession des droits portant sur un
tionnelle ne peut être pratiquement déter-
logiciel ;
minée ;
• Dans les autres cas prévus au présent code.
• Les moyens de contrôler l’application de la Est également licite la conversion entre les parparticipation font défaut ;
ties, à la demande de l’auteur, des droits pro-
rd
fava
scal.
• Les frais des opérations de calcul et de venant des contrats en vigueur en annuités forcontrôle seraient hors de proportion avec faitaires pour des durées à déterminer entre les
les résultats à atteindre ;
Exercice 63 : Clasquette
parties.
Joe Cap vient de déposer un brevet, la casquette climatisée : la
Clasquette. Joe est très fier de lui, son invention est écologique puisqu’elle utilise l’énergie solaire
produite par des cellules photovoltaïques cousues sur la Clasquette. En plus, il n’existe pas sur
le marché de produit pouvant procurer ce genre de service. Joe doit maintenant passer à la
production de la Clasquette. Un problème se pose à lui, quelle qualité de finition doit-il choisir ?
Bien évidemment, le coût de production C (q, θ ) dépend de la quantité de Clasquettes produites, q,
et de la qualité de finition, θ, de celles-ci. Pour simplifier, on supposera que θ ∈ [0, 1], θ est donc
un indice de qualité. Comme Joe est un homme d’affaire avisé il a fait une étude de marché pour
déterminer la demande, D(q, θ ), de Clasquettes de qualité θ. On supposera pour simplifier que le
bien divisible. On a de plus, C (q, θ ) = θq et D( p, θ ) = max {θ (1 − p), 0}.
1 – Que pouvez dire sur la fonction de coût ?
3 – Qualifiez le marché de la Clasquette.
.fr/
.free
2 – Que pouvez dire sur la fonction de demande ?
4 – Supposons dans un premier temps que la qualité θ soit fixée et donc exogène. Calculez l’équi-
libre de marché en fonction de θ. Représentez la détermination de cet équilibre graphiquement.
5 – Dans le cadre de la question précédente, calculez, SS Mo (θ ), le surplus social en fonction de θ.
6 – Supposons maintenant que la qualité θ soit endogène. Calculez le niveau de qualité θ Mo choisi
par Joe.
7 – Dans le cadre de la question précédente, calculez le surplus social.
8 – Déterminez la qualité, θw , qui maximise SS Mo (θ ). Quelle quantité, qw , lorsque θ = θw maximise
le surplus social. Commentez.
Université François Rabelais| 29-01-2017
182/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Solution :
1) Plus la qualité est grande plus le coût de production est élevé à niveau de production donné et il
n’y a pas de coût fixe.
2) La disposition maximale à payer des consommateurs est d’autant plus grande que la qualité est
grande.
3) Comme Joe à un brevet et que la Clasquette n’a pas de substituts proche, le marché est monopolistique.
4) Supposons que θ > q, la recette R(q, θ ) du monopole est :
q
R(q, θ ) = 1 −
q,
θ
la recette moyenne RM (q, θ ) du monopole est donc :
RM(q, θ ) =
rd
fava
scal.
q
R(q, θ )
= 1− ,
q
θ
et la recette marginale Rm(q, θ ) du monopole est :
Rm(q, θ ) =
2q
dR(q, θ )
= 1− .
dq
θ
Le coût marginal Cm(q, θ ) du monopole est :
Cm(q, θ ) =
dC (q, θ )
= θ.
dq
La quantité échangée sera donnée par :
Rm(q, θ ) = Cm(q, θ ) ⇔ 1 −
θ − θ2
> 0 puisque θ < 1,
2
donc :
p
Mo
q
(θ ) = 1 − = 1 −
θ
θ −θ 2
2
θ
=
1+θ
< 1 puisque θ < 1.
2
L’Équilibre de monopole, E Mo = p Mo , q Mo est :
E
Mo
Université François Rabelais| 29-01-2017
.fr/
.free
⇒ q Mo (θ ) =
2q
= θ,
θ
=
1 + θ θ − θ2
,
2
2
(6.1)
(6.2)
.
183/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
=
C/unités
Légende
1
1+ θ
2
•
Rm( Q)
RM( Q)
E Mo
Cm( Q) = CM ( Q)
θ
O
θ −θ 2
2
θ
2
unités
θ
Figure 6.3 : Équilibre de monopole : Clasquette
h
i
5) Le surplus des consommateurs SC Mo (θ ) est égal à l’aire du triangle (0, 1); E Mo ; 0, 1+2 θ , soit :
rd
fava
scal.
SC
Mo
1
(θ ) =
2
1+θ
1−
2
θ − θ2
2
θ ( θ − 1)2
=
.
8
(6.3)
Le surplus des producteurs SP Mo (θ ) est égal au profit du monopole, donc :
SP Mo (θ ) =
1 + θ θ − θ2
θ − θ2
θ ( θ − 1)2
−θ
=
.
2
2
2
4
(6.4)
Le surplus social SS Mo (θ ) est égal à la somme des surplus individuels, soit :
SS Mo (θ ) = SC Mo (θ ) + SP Mo (θ ) =
3θ (θ − 1)2
.
8
(6.5)
6) En utilisant (6.1) et (6.2) on peut écrire le profit du monopole π (θ ) en fonction de la qualité θ, soit :
π (θ ) =
θ ( θ −1)2
.
4
On cherche la valeur de θ strictement 1 comprise entre 0 et 1, qui maximise π (θ ).
Donc on cherche θ Mo tel que :
dπ θ Mo
1 Mo
1
=
θ − 1 3θ Mo − 1 = 0 ⇒ θ Mo = ,
dθ
4
3
1
3
−
2
1
3
.fr/
.free
et donc, en remplaçant dans (6.1) et (6.2) :
1 + 13
1
2
et p Mo θ Mo =
=
2
9
2
3
2
1
7) En utilisant (6.3) on a : SC Mo (θ Mo ) = 18 31 13 − 1 = 54
, en utilisant (6.4) on a : SP Mo (θ Mo ) =
2
11 1
1
1
1
1
= 27
et donc : SS Mo (θ Mo ) = 54
+ 27
= 18
.
43 3 −1
q
Mo
θ
Mo
=
=
8) On cherche la valeur θw avec θw ∈ ]0, 1[ qui maximise le surplus social SS Mo (θ ) donné par (6.5),
dSS Mo (θw )
donc solution de :
= 0 ⇒ θw = 31 .
dθ
1. π (1) = π (0) = 0 et π (θ ) > 0 pour θ ∈ ]0, 1[.
Université François Rabelais| 29-01-2017
184/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
La quantité qw qui maximise le surplus social lorsque la qualité choisie est θ, c’est la quantité telle
que :
RM(qw , θw ) = Cm(qw , θw ) ⇒ 1 −
qw
2
= θw ⇒ qw = .
θw
9
On a donc qw > qmo et θw = θmo , la quantité produite par le monopole est trop faible pour
maximiser le surplus social. En revanche la qualité choisie par Joe est celle qui maximise le surplus
social.
Il y a une autre façon, plus « brutale », de répondre à cette question. Le surplus des consommateurs,
rd
fava
scal.
lorsqu’ils
consomment q clasquettes de qualité θ et qu’ils dépensent pour ce faire A, est : SC (q, θ ) =
Z q
x
1 − dx − A. Le surplus du producteur, lorsqu’il produit q clasquettes de qualité θ et qu’il reçoit
θ
0
Z q
x
pour ce faire A, est : SP(q, θ ) = A − c(q, θ ). Le surplus social est donc : SS(q, θ ) =
1 − dx − θq.
θ
0
Maximiser le surplus social revient à chercher le couple (q, θ ) solution de :

Z q
 2
∂SS(q, θ )
x


 q −q = 0

dx
−
q
=
0
=


2


∂θ
0 θ
 2θ 2

⇔






∂SS(q, θ )
q
1 − q − θ = 0.


= 1− θ −θ = 0

θ
∂q
La solution de ce système est bien (qw , θw ).
Soit un monopole pour lequel on note respecti-
Exercice 64 : Mesure du pouvoir de marché
vement Q la quantité produite et C ( Q) = F + cQ la fonction de coût de production, supposée
linéaire, avec c > 0 et F > 0. La fonction de demande, supposée linéaire, est notée D( p) = A − p
où p est le prix unitaire du bien. On notera E D (·) l’élasticité prix de la demande.
1 – Calculez E D (·).
2 – Calculez l’indice de Lerner en fonction de E D (·).
3 – Soit QCo la quantité à l’équilibre sur ce marché si la concurrence était pure et parfaite. Expliquez
en détail quelle est par rapport à une situation de concurrence pure et parfaite la perte sociale
que l’on notera PS due à la présence d’un monopole sur ce marché ? Donnez l’expression de
cette perte de bien-être social.
f =
4 – On considère PS
f ? En posant e = −
Comment s’interprète PS
−1
.
2E D ( p Mo )
, montrez que
.fr/
.free
f = 1 eI 2 =
PS
L
2
PS
.
p Mo Q Mo
Q Mo − QCo
Q Mo
p Mo −c
p Mo
f , que peut-on en
5 – Selon que la valeur absolue de l’élasticité vaut 1.5 ou 2, de combien varie PS
déduire quant à l’évolution de la perte de bien-être ? Pouvait-on considérer dans cet exemple
numérique des valeurs de e inférieure à 1 ?
6 – Afin de comparer l’intensité de la concurrence pour un secteur donné de l’industrie mais dans
différents pays, un consultant suggère que l’indice théorique de Lerner devrait pouvoir être
approché par une relation du type I L =
β
Nα
où α et β sont des paramètres inconnus et N le
nombre d’entreprises. Comment justifier la relation proposée ? Quel devrait être les signes des
paramètres α et β ?
7 – Le même consultant prétend que dans chaque pays le nombre d’entreprise, N, à l’équilibre de
Université François Rabelais| 29-01-2017
185/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
h
i
1
1+ α
a
://p
http
marché doit être tel que N =
βpQ
F
. Justifiez et interprétez cette relation. Considérer que les
entreprises sont identiques, chacune produisant q. On a donc Q = Nq. Vous supposerez que
( p − c)q = F.
Solution :
dD( p) p
p
= − A−
p.
dp D( p)
2) Le niveau de production Q Mo , tel que le profit du monopole est maximal est la solution du
1) E D (·) =
programme de maximisation suivant :
P Mo
Max π ( Q) = p( Q) Q − C ( Q)
(6.1)
{ Q}
dπ ( Q)
dp( Q)
dC ( Q)
=
Q + p( Q) −
= 0.
dQ
dQ
dQ
Cette condition nous permet d’obtenir l’indice de Lerner, I L , en fonction de l’élasticité prix de la
dont la condition du premier ordre 1 associée est :
rd
fava
scal.
demande E D (·) :
IL =
p Mo − c
1
= − D Mo .
Mo
p
E (p )
(6.2)
C’est une mesure du pouvoir de marché du monopole. Cette mesure représente la capacité du
monopole à fixer un prix supérieur au coût marginal avec un écart d’autant plus fort que la
demande est faiblement élastique par rapport au prix.
3) Par rapport à l’équilibre concurrentiel, le couple (prix, quantité) pratiqué par le monopole réduit le
bien-être collectif. Comparé à la situation de concurrence pure et parfaite les consommateurs ont
un surplus plus faible par le double effet d’une réduction de la quantité et d’une augmentation
du prix. Si le marché était concurrentiel, le prix d’équilibre devrait être égal au coût marginal
c. Le surplus des consommateurs serait alors égal à
( A−c) QCo
,
2
où A est l’ordonnée à l’origine de
la fonction inverse de demande. Pour les consommateurs le surplus, avec le monopole, est de
( A− p Mo ) Q Mo
.
2
Une partie de cette perte pour les consommateurs, Q Mo ( p Mo − c), est redistribuée en
.fr/
.free
faveur du monopole, via ses recettes. Ce transfert est donc neutre du point de vue du bien-être
social. En revanche PS = 21 ( p Mo − c)( QCo − Q Mo ) représente la perte de bien-être social (appelée
charge morte du monopole) due au comportement non concurrentiel de l’unique offreur sur ce
marché.
f représente la charge morte du monopole par unité de chiffre d’affaire du monopole.
4) PS
1. La condition du second ordre du problème s’écrit en toute généralité :
d2 π ( Q)
d2 p( Q)
dp( Q)
=
+2
−
2
2
dQ
dQ
dQ
d2 C ( Q)
< 0. Étant données les hypothèses (i.e. fonction de demande linéaire et coût marginal de production
dQ2
dp( Q)
constant), la condition du second ordre se ramène à la condition
< 0, que l’on suppose satisfaite.
dQ
Université François Rabelais| 29-01-2017
186/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Nous avons, d’une part :
f =
PS
PS
p Mo Q Mo
=
1 ( p Mo − c)( QCo − Q Mo )
2
p Mo Q Mo
=
1 p Mo − c QCo − Q Mo
2 p Mo
Q Mo
=
I L QCo − Q Mo
,
2
Q Mo
et d’autre part :
e=−
⇐⇒
Q Mo − QCo
Q Mo
p Mo −c
p Mo
p Mo − c
QCo − Q Mo
=e
= eI L .
Q Mo
p Mo
rd
fava
scal.
f =
On a donc : PS
1
2
2 eI L .
Or e = −
Q Mo − QCo
Q Mo
p Mo −c
p Mo
=−
( A− p Mo )−( A−c)
A− p Mo
p Mo −c
p Mo
f =
= −E D ( p Mo ), d’où PS
−1
.
2E D ( p Mo )
L’indice de Lerner n’est pas directement observable, en tout cas pas pour des entrants potentiels
ou des fonctionnaires des autorités de régulation de la concurrence. Relever des prix des ventes est
aisé, par contre mesurer la perte sociale due au pouvoir de marché des entreprises supposerait
de pouvoir observer le coût marginal. Une analyse de la demande peut être menée indépendamment afin d’évaluer l’élasticité prix de la demande. On voit que si le monopole optimise
parfaitement, alors cette information va
permettred’inférer la valeur du coût marginal. En effet
p Mo −c
p Mo
= − E D (1p Mo ) , on a donc c = p Mo 1 +
1
E D ( p Mo )
.
Une mesure de PS est alors a priori possible, il faut quand même évaluer QCo . Si le taux de
marge du monopole est très élevé il y a de grandes chances pour que l’écart entre QCo et Q M soit
relativement important et que l’analyse de la demande soit relativement imprécise sur le niveau
probable de QCo .
f paraît beaucoup plus simple puisque la connaissance de e suffit à
Le calcul de l’expression PS
déterminer la perte sociale exprimée comme un pourcentage du Chiffre d’Affaires du monopole.
.fr/
.free
Indépendamment du fait que cette formule a été obtenue à grand renfort d’hypothèses simplificatrices (coût marginal constant, fonction de demande linéaire) le plus important est de noter
l’ultime simplification apportée à ce calcul à travers la définition de e. L’élasticité est une mesure
locale de la sensibilité de la demande par rapport au prix, il est ici supposé implicitement que cette
mesure reste fiable quelque soit l’écart entre QCo et Q M .
f représente
5) Il s’agit d’une simple application numérique. Selon que e vaut 1.5 (resp. 2), la perte PS
33% (resp. 25%) du Chiffre d’Affaires du secteur. Autrement dit une augmentation de 0.5 points de
l’élasticité réduit de 8 points le pourcentage de la perte sociale due au monopole. Qualitativement
le résultat est cohérent. Plus l’élasticité prix de la demande est forte plus la perte sociale est faible.
Plus le consommateur peut facilement substituer au bien fourni par le monopole d’autres bien,
plus sa demande adressée au monopole sera sensible au prix et moins la perte sociale sera grande.
Université François Rabelais| 29-01-2017
187/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
6) Le pouvoir de marché diminue avec le nombre d’entreprises, on devrait donc avoir I L décroissant
avec N. L’expression I L =
β
Nα
pourrait être une forme approchée avec α > 0, et β > 0. Cette
relation proposée reflète un pouvoir de marché qui devrait décroître logiquement avec le nombre
d’entreprises. On sait que ce pouvoir de marché est nul si les entreprises sont en concurrence pure
et parfaite et maximal lorsque l’offre sur le marché émane d’un monopole. Le consultant propose
une forme qui relie le pouvoir de marché mesuré par l’indice de Lerner au nombre d’entreprises
du secteur. On devrait avoir théoriquement une relation décroissante on s’attend à ce que les
paramètres α, et β soient positifs.
7) I L =
p−c
p
=
β
Nα .
Il suffit de remarquer que
p−c
p
=
Nq( p−c)
Nqp .
Si ( p − c)q = F, (cette condition exprime
le fait que le profit de chaque entreprise doit permettre de couvrir le coût fixe) alors on a
h
i 1
βpQ α+1
et donc : N = F
.
NF
Qp
=
β
Nα
Illustration : Les preuves directes de l’existence tions des ventes de ses concurrents. L’élasticité
d’un pouvoir de marché substantiel, comme la de la demande d’une entreprise sera plus faible
rentabilité d’une entreprise, sont rarement em- (et la demande plus inélastique) si ses concur-
rd
fava
scal.
ployées dans les affaires de concurrence mettant rents ne sont pas en mesure de réagir « réelleen cause une entreprise isolée. Les méthodes ment » à une hausse de prix ou à une baisse de
qui permettent de mesurer directement le pou- production par cette entreprise en augmentant
voir de marché nécessitent une grande quantité leur production. Une faible élasticité des prix
de données ; même si les données nécessaires d’une entreprise tend donc à révéler que cette
sont disponibles, elles font souvent l’objet d’in- entreprise dispose d’un pouvoir de marché plus
terprétations différentes et ne permettent donc important. Bien que cette méthode permette en
pas de conclure avec certitude qu’une entreprise principe de se fonder sur des éléments plus prédétient le pouvoir de marché requis. Il n’en reste cis et plus fiables pour apprécier le pouvoir de
pas moins que les preuves directes peuvent cor- marché que celles qui font appel à la définition
roborer utilement l’existence d’un pouvoir de du marché et au calcul des parts de marché, elle
marché substantiel dans les circonstances adé- pose une série de problèmes, notamment la néquates, à condition d’être employées en liaison cessité de réunir une grande quantité de données
avec d’autres preuves.
et la difficulté de déterminer si une entreprise
L’une des méthodes économétriques utilisées qui dispose d’un certain pouvoir de marché dépour mesurer directement le pouvoir de marché tient en fait un « pouvoir de marché substantiel »
.fr/
.free
d’une entreprise consiste à estimer l’élasticité de en vertu du droit de la concurrence applicable.
la demande de cette entreprise. L’élasticité de la En outre, l’élasticité de la demande ne corres-
demande désigne la variation en pourcentage de pond pas au rapport entre prix et coûts margila quantité demandée d’un produit donné en ré- naux à long terme qui serait plus pertinent pour
ponse à une variation d’un pour cent de son prix. déterminer si le pouvoir de marché d’une entreévaluer l’élasticité de la demande adressée à une prise est durable.
entreprise pour un produit revient à déterminer On peut également tenter d’examiner si la rentacomment les consommateurs réagiront à une bilité d’une entreprise indique qu’elle détient
modification du prix et dans quelle mesure les un pouvoir de marché substantiel. Cette mé-
ventes de l’entreprise seront sensibles aux varia- thode pose plusieurs problèmes de taille, notamUniversité François Rabelais| 29-01-2017
188/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
concurrence sectorielle en France, Lettre
sur la rentabilité économique à partir des don-
Trésor Eco n˚27, Minefi, Janvier 2008.
a
://p
http
ment la difficulté à obtenir des chiffres fiables
nées comptables, la difficulté à déterminer une
• Philippe Askenazy et Katia Weidenfeld, Les
norme concurrentielle pour effectuer les compa-
soldes de la loi Raffarin. Le contrôle du
raisons, la possibilité d’expliquer les bénéfices
grand commerce alimentaire, Opuscule CE-
supra-concurrentiels par d’autres facteurs que le
PREMAP, Edition Rue d’Ulm, 2007.
pouvoir de marché substantiel et durable, et la
difficulté à se procurer des données sur la ren-
• Jens Høj, Miguel Jimenez, Maria Maher,
tabilité à long terme. Ces données jouent donc
Guiseppe Nicoletti and Mikael Wise, Pro-
un rôle limité dans l’analyse de l’existence d’un
duct Market competition in the OECD coun-
pouvoir de marché substantiel.
tries. Tacking stock and moving forward,
Lectures complémentaires :
Economics Departement working paper
• Romain Bouis, Niveau et évolution de la
L’entreprise Citron est un monopole dans le secteur des télécommunica-
rd
fava
scal.
Exercice 65 : Citron
No. 575, 2007.
tions. Elle sert deux catégories d’usagers, les « jeunes » et les « vieux ». La fonction de demande
agrégée des vieux est :
3
− p,
2
(6.1)
D j ( p) = 1 − p,
(6.2)
Dv ( p ) =
et la fonction de demande agrégée des jeunes est :
où p est le prix par unité de temps utilisée. La fonction de coût de Citron est :
C ( Q) =
1
3
Q+ ,
4
8
(6.3)
où Q est le temps total des conversations téléphoniques fourni.
1 – Calculez SCv ( p) et SCj ( p) les surplus des deux catégories d’usagers en fonction du prix unitaire.
2 – Calculez l’équilibre sur le marché lorsque Citron ne peut pas discriminer.
3 – Déterminez le surplus total des jeunes, des vieux et le surplus de Citron.
4 – Supposons à présent que Citron mette en place une tarification binôme et qu’il ne puisse pas
discriminer. Calculez le nouvel équilibre et comparez les surplus avec ceux obtenus dans le cas
.fr/
.free
précédent.
5 – Dans le cadre de la question précédente supposons que Citron puisse discriminer. Calculez le
nouvel équilibre et comparez les surplus avec ceux obtenus dans les questions précédentes.
6 – Y a-t-il un optimum de Pareto dans les équilibres que vous venez de calculer ? Vérifiez mathématiquement votre réponse.
Solution :
1) Le surplus total des vieux et le surplus total des jeunes sont donnés par :
1
SCv ( p) =
2
Université François Rabelais| 29-01-2017
3
−p
2
2
,
(6.4)
189/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
SCj ( p) =
1
(1 − p )2 .
2
(6.5)
2) Le profit, en utilisant (6.3), π du monopole est :
1
3
1
3
π ( p) = pQ( p) −
Q( p) +
= p−
Q( p) − .
4
8
4
8
(6.6)
En utilisant (6.1) et (6.2) on obtient la demande totale lorsque les deux groupes sont servis (i.e.
p < 1) :
Q( p) =
3
5
− p + (1 − p) = − 2p.
2
2
(6.7)
Si p ≥ 1, seul les vieux sont servis et Q( p) est donnée par (6.1). Donc le programme du monopole
non-discriminant servant les deux populations est :
1
5
3
PCitronnd Max π ( p) = p −
− 2p −
4
2
8
{ p}
(6.8)
La CN1 de ce programme nous donne la solution puisque la CN2 (−4 < 0) est vérifiée :
rd
fava
scal.
1
5
− 2p − 2( p − ) = 0
2
4
3
< 1.
4
En substituant (6.9) dans (6.1) et (6.2) on obtient : qvMo =
Mo
⇒ pnd
=
donc :
3
2
Mo =
− pnd
3
4
(6.9)
Mo = 1 ,
et : q jMo = 1 − pnd
4
3 1
+ = 1.
4 4
L’équilibre sur le marché lorsque Citron ne discrimine pas est :
3 Mo
Mo
Mo
End = pnd , Qnd =
,1 .
4
Mo
Qnd
=
(6.10)
On montrera que le monopole a intérêt à produire dans la question suivante.
=
C/unités
Légende
3
2
Cm( Q)
.fr/
.free
RMnd ( Q)
Rmnd ( Q)
RM j ( Q)
Rm j ( Q)
1
3
4
•
1
4
O
RMv ( Q)
Mo
End
Rmv ( Q)
•
1
4
1
2
3
4
1
5
4
Mo
Etb
•
2
EdMo
5
2
unités
Figure 6.4 : Équilibres de monopole : Citron
Université François Rabelais| 29-01-2017
190/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
3) Le surplus du monopole non discriminant est égal à son profit (6.6) lorsque le prix unitaire est
Mo est donné par :
donné par (6.9). Donc SPnd
Mo
SPnd
3
1
=π
= = 0.125.
4
8
(6.11)
Le surplus total des vieux SCvMo en utilisant (6.4) et le surplus total des jeunes SC JMo en utilisant
(6.5) sont :
3
= SCv
=
4
3
Mo
SCj = SCj
=
4
SCvMo
9
' 0.28,
32
1
' 0.03.
32
(6.12)
(6.13)
1
8
9
1
7
+ 32
+ 32
= 16
' 0.44.
4) Un tarification binôme est une tarification en deux parties, une partie fixe A et une partie variable
pQ. Le monopole ne pouvant pas discriminer, deux choix s’offrent à lui, ne servir que les vieux, les
jeunes ayant une disposition à payer plus faible quelque soit leur niveau de consommation, ou
servir tout le marché.
i. Le monopole ne sert que les consommateurs qui ont une forte disposition à payer (i.e. les vieux).
Dans ce cadre, le programme de Citron est :
Mo , est égal à :
Le surplus social, SSnd
rd
fava
scal.
PCitron1
Max π ( p, A) = p
{ p,A}
3
1 3
3
−p −
−p +
+A
2
4 2
8
(6.14)
slc A ≤ SCv ( p)
La partie fixe du tarif, A, sera donc le surplus des vieux, donné par (6.4), la CN1 de (6.14) s’écrit
− 2p + 41 − 32 + p = 0 ⇒ p1Mo = 41. Le
monopole égalise donc le prix unitaire au coût
3
1
1
5
Mo
Mo
marginal, Q1 = 2 − 4 = 4 , et A1 = SCv 4 = 25
32 ' 0, 78. Dans ce cas le profit de Citron est :
donc :
π1Mo =
3
2
13
32
' 0, 4. La CS2 de (6.14) est vérifiée puisque : −1 < 0.
ii. Le monopole sert les deux marchés, son programme est :
1
5
3
Max π ( p, A) = p −
− 2p − + 2A
4
2
8
{ p,A}
PCitron2
slc A ≤ SCj ( p)
(6.15)
Dans ce cas l’entreprise Citron va fixer A au niveau du surplus des jeunes donné par (6.5), s’il
utilisant la CN1 de (6.15) : p2Mo = 21 , donc A2Mo =
puisque : −2 < 0.
1
8
.fr/
.free
choisissait une partie fixe plus importante les jeunes n’achèteraient pas le bien. On a donc en
et π2Mo = 14 . La CS2 de (6.15) est vérifiée
Citron a donc intérêt à ne servir que les vieux puisque π1Mo > π2Mo . L’équilibre (cf. Figure 6.4) sur
le marché, si le monopole ne peut pas discriminer et applique un tarif binôme, est :
25 1 5 Mo
Mo Mo
Mo
Etb = Atb , ptb , Qtb =
, ,
.
32 4 4
Dans ce cas le surplus des vieux est nul par construction et celui des jeunes est lui aussi nul
puisqu’ils ne consomment pas. Le surplus social est en fait le profit de l’entreprise Citron, donc :
Mo =
SStb
13
32 .
Le surplus social est donc plus petit que dans la question précédente. En revanche, le
profit de l’entreprise est plus grand que dans la question précédente.
Université François Rabelais| 29-01-2017
191/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
5) Le monopole sert les deux marchés, son programme est :
1 5
3
3
p j 1 − p j + A j + pv
− pv + Av −
− p j − pv +
Max
2
4 2
8
{ pv ,p j ,Av ,A j }
(
PCitrond
(6.16)
A j ≤ SCj ( p j )
slc
Av ≤ SCv ( pv )
Dans ce cas l’entreprise Citron va égaliser A j au surplus des jeunes, donné par (6.5), et Av au
surplus des vieux, donné par (6.4). Le programme (6.16) admet deux CN1 qui impliquent que le
prix unitaire, le même sur les deux marchés, est égal au coût marginal : pdMo = 41 . Trivialement on
' 0.78. En utilisant (6.2) et (6.5) on obtient : Q jMo = 34 et
9
A jMo = 32
' 0, 28. La CS2 est vérifiée puisque la matrice hessienne est égale à moins la matrice
identité. L’équilibre (cf. Figure 6.4), si le monopole discrimine et applique un tarif binôme, est :
9 25 1 Mo
Mo
Mo Mo
Mo
=
Ed = A j , Av , pd , Qd
, , ,2 .
32 32 4
a : QvMo = Q1Mo =
5
4
et AvMo = A1Mo =
25
32
11
16
rd
fava
scal.
Le surplus social est ici le profit du monopole, donc : SSdMo =
' 0.69.
6) Dans la question précédente, le monopole discrimine parfaitement sur chacun des marchés,
discrimination du troisième degré, c’est donc normal que cela maximise le surplus social puisque
le prix unitaire est égal au coût marginal et tous les marchés sont servis. En revanche, ce surplus est
intégralement capté par le monopole. Le seul optimum de Pareto est donc : EdMo . En utilisant (6.5),
(6.4), (6.6) et (6.7), le surplus social, SS( p), est donné par : SS( p) = SCj ( p) + SCv ( p) + π ( p) =
2 3
dSS( p)
2
1 3
5
1
1
1
−
p
+
−
p
+
p
−
= 0 on obtient : p∗ = 41 et
(
)
2
2 2
4
2 − 2p − 8 . En résolvant
dp
Mo
donc SS∗ = SS 14 = 11
16 = SSd .
Illustration : Texte de l’Autorité de Régula- rence effective et loyale ». A cette fin, l’ARCEP
tion des Communications Electroniques et des a mis en oeuvre de façon continue une « régulaPostes sur le bénéfice de l’ouverture des mar- tion asymétrique » – c’est-à-dire n’imposant des
chés de télécommunications à la concurrence. La obligations qu’aux seuls opérateurs puissants –
prise en compte de l’intérêt des consommateurs : visant à réduire les positions dominantes sur les
que dit la loi ? Arcep
marchés des télécommunications, en particulier
ter directement les problèmes rencontrés par les
.fr/
.free
L’Autorité n’a pas de compétence pour trai- celle de l’opérateur historique.
Dans le même temps, le cadre français a veillé
utilisateurs de services de télécommunications, à ce que l’ensemble des consommateurs puisse
en matière de droit de la consommation ou des profiter des dividendes de la concurrence, par
contrats. C’est essentiellement à travers le dé- la mise en œuvre du service universel. Ce disveloppement de la concurrence que le cadre ré- positif garantit notamment l’accès au service de
glementaire vise à accroître la satisfaction des téléphonie fixe à un prix indépendant de la locaconsommateurs.
lisation géographique, et prévoit des réductions
La loi (article L.32-1 du code) a d’ailleurs du prix de l’abonnement pour certaines catégoconfié à l’Autorité la mission de veiller « à l’exer- ries de personnes sur la base de critères sociaux
cice, au bénéfice des utilisateurs, d’une concur- spécifiques. Il représente un coût de l’ordre de
Université François Rabelais| 29-01-2017
192/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
30 millions d’euros pour le prestataire qui en par l’action du régulateur, est notable. Ainsi, on
a la charge – en l’occurrence France Télécom –, peut estimer qu’entre 1998 et 2005 le prix pour
financé grâce au prélèvement d’environ 1% du les consommateurs aura, en moyenne, diminué
chiffre d’affaires du secteur.
d’un peu plus de 30% et les usages auront été
Enfin, le cadre réglementaire renforce la pro- multipliés par près de 2.5, ce qui se traduit par
tection du consommateur par des dispositions une hausse du surplus pour les consommateurs
spécifiques. Il a notamment prévu :
de plus de 10 milliards d’euros sur la période.
Le taux de pénétration remarquable du haut
• un plafond tarifaire pour les appels en
situation d’itinérance internationale (roa- débit est la parfaite illustration de l’effet bénéfique sur l’innovation et les prix que peut avoir
ming) ;
l’entrée sur un marché de nouveaux acteurs ve• le suivi de la qualité de service des opé- nant stimuler la concurrence. Entre 2000 et 2007,
rateurs et des fournisseurs de services de avec l’explosion du dégroupage, les offres Intélécommunications ;
ternet se sont démocratisées. A un prix moyen
rd
fava
scal.
• la portabilité des numéros pour faciliter le actuel d’une trentaine d’euros, pour des débits
passage d’un consommateur d’un opéra- toujours croissants, les services se sont progresteur à un autre ;
sivement étoffés, l’abonnement incluant l’accès
Internet, les communications téléphoniques et
• un annuaire universel.
la télévision. La progression de ce marché s’est
Ces dispositions appellent la mise en oeuvre encore confirmée en 2007, avec le développed’actions sur la base des compétences du régu- ment du dégroupage total (3,8 millions de lignes
lateur, qui se juxtaposent à une implication plus fin 2007). Pour un impact macroéconomique de
spécifique et plus directe de l’Arcep en faveur l’ouverture à la concurrence sur ce marché voir
du consommateur.
l’étude controversée de A. Landier et D. Thes-
10 milliards d’euros restitués aux consom- mar : « L’impact macroéconomique de l’attribution de la quatrième licence mobile ».
mateurs entre 1998 et 2005 !
Le bénéfice de l’ouverture des marchés de
télécommunications à la concurrence, encadrée
Exercice 66 : Monopole Discrimination par les prix : tarification par groupe
On considère
.fr/
.free
un monopole qui produit à coût nul un bien qu’il peut vendre sur deux marchés, 1 et 2. La demande
sur le marché 1 est D1 ( p1 ) = max {0; a1 − p1 } et celle sur le marché 2 est D2 ( p2 ) = max {0; a2 − p2 }
avec a1 > a2 .
1 – Supposons que le monopole puisse pratiquer des prix différents sur chaque marché. Calculer
les prix et les quantités échangées sur chaque marché. En déduire le surplus social total.
2 – Imaginons maintenant que la discrimination soit interdite. Calculer le prix unique, p qui
maximise le profit du monopole en supposant que les deux marchés sont servis. Vérifier que p
est bien compris entre les deux prix précédents.
3 – Montrer que si a1 > 3a2 , alors le monopole préfère ne pas servir le deuxième marché. Quel
prix choisit-il ? Montrer que le bien-être sans discrimination est inférieur au bien-être avec
discrimination.
Université François Rabelais| 29-01-2017
193/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
4 – Supposons que a2 < a1 < 3a2 , montrer que le bien-être sans discrimination est supérieur au
bien-être avec discrimination. Qui gagne et qui perd ?
Solution :
1) Soit i = 1, 2 l’indice des marchés. Sur le marché i le profit du monopole, les coûts de production
étant supposés nuls, s’écrit : πiMo
−d ( pi ) = pi Di ( pi ) = pi ( ai − pi ). La condition du premier ordre
associée au programme de maximisation du profit du monopole sur le marché i, entraine : piMo
−d =
et donc : qiMo
−d =
ai
2.
Le profit du monopole est : πiMo
−d =
Mo
le profit total est : πdMo = π1Mo
− d + π 2− d =
SCdMo =
2 Z ai
2
∑ SCi ( piMo
−d ) = ∑
i =1
est : SSdMo =
3( a21 + a22 )
.
8
i =1
ai
2
a21 + a22
a2i
4.
ai
2
Pour l’ensemble des deux marchés
. Le surplus des consommateurs est égal à :
2
a2 + a22
1
a 2
. Le bien-être social total
ai − i
= 1
( ai − p) dp = ∑
2
2
8
i =1
4
2) Si la discrimination est interdite le monopole doit proposer le même prix sur les deux marchés.
Mo ( p ) = p (D ( p ) + D ( p )) = p ( a + a − 2p ). On
Dans ce cas le profit du monopole s’écrit : πnd
2
2
1
1
a1 + a2
4 . Les quantités demandées
3
3
1
1
Mo
4 a1 − 4 a2 et q2−nd = 4 a2 − 4 a1 . Ces quantités sont
Mo
Mo
a2 > a31 . On a donc p2Mo
−d < pnd < p1−d , puisque
rd
fava
scal.
Mo =
montre facilement que le profit est maximum pour un prix pnd
à l’équilibre du monopole sont alors : q1Mo
−nd =
Mo =
toutes deux positives si pnd
a1 > a2 .
a1 + a2
4
< a2 ⇒
3) Si a1 > 3a2 , alors le prix de monopole est excessif au sens où les consommateurs 2 renoncent
à tout achat. Par conséquent dans cette configuration le monopole non discriminant, proposant
un seul et même prix à tous les consommateurs, ne va en réalité servir que les consommateurs
Mo à p Mo qui est le prix
1. Dans ce cas le monopole va modifier son prix et l’augmenter de pnd
1− d
optimal lorsque les marchés sont traités séparément par le monopole. Nous obtenons donc que si
la différence de disposition à payer entre les deux consommateurs est très importante, le monopole
ne va finalement servir que les consommateurs de type 1. Le bien-être social dans ce cas est :
3 2
8 a1
(3a2 − a1 )2
32
2
.fr/
.free
< 38 ( a21 + a22 ) = SSdMo . Dans le cas étudié ici, empêcher le monopole de discriminer par les prix
est donc socialement inefficace.
4) On considère à présent une situation intermédiaire où l’écart de disposition à payer entre les
consommateurs n’est pas trop important a2 < a1 < 3a2 . Pour ces valeurs des paramètres les
contraintes de positivité des demandes sont satisfaites pour les deux types de consommateurs
2
2
Mo . Le bien-être social sans discrimination est SS Mo = ( a1 + a2 ) + (3a1 − a2 ) +
lorsque le prix est pnd
8
32
nd
Mo > SS Mo . Contraire= SSdMo + (a1 −16a2 ) , autrement dit nous avons nécessairement SSnd
d
ment au résultat de la question précédente, la non discrimination est socialement souhaitable. Nous
avons montré que le bien-être social quand le monopole ne discrimine pas est supérieur au bienêtre social lorsque le monopole pratique la discrimination, à la condition que les dispositions à
payer des consommateurs ne soient pas trop disparates. Clairement l’absence de discrimination
favorise les consommateurs de type 1, mais pénalise les consommateurs de type 2 qui eux doivent
payer plus cher. Ici le gain de bien-être réalisé sur le marché 1 dépasse la perte de bien-être subie
sur le marché 2
Université François Rabelais| 29-01-2017
194/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Illustration : Cet exercice montre dans quel cas gouvernance suppose une tarification conçue pour alla discrimination par les prix peut être souhai- louer l’eau là où elle est le plus utile et pour inciter les
table du point de vue du bien-être social. Quand utilisateurs d’eau à en faire le meilleur usage. Nous
le monopole pratique la discrimination, il génère avons récemment publié une étude des pratiques de
paradoxalement beaucoup moins d’inefficacité nos pays membres dans ce domaine, qui montre la
qu’en cas de prix unique. Un cas polaire est le ni- diffusion des outils de tarification tels que les redeveau de production correspondant à celui d’un vances de prélèvement et de pollution ; un nombre
marché concurrentiel lorsque le monopole peut croissant de pays déclare appliquer des redevances
pratiquer une discrimination parfaite (autrement pollution ; certaines sont liées à différentes caractérisdit du 1er degré). L’existence de coût fixe peut tiques des pollueurs, des rejets ou des masses d’eau rémême justifier le recours à une politique de dis- ceptrices. (...) En ce qui concerne les investissements
crimination permettant au monopole de dégager dans les infrastructures d’eau, depuis le rapport Camun profit suffisant pour pouvoir justement cou- dessus, la communauté internationale sait que des
vrir ces charges fixes.
investissements nettement plus importants sont né-
L’intérêt économique de systèmes de tarification cessaires pour atteindre les objectifs des politiques
rd
fava
scal.
non linéaire n’est plus à démontrer, tellement ces liées à l’eau et, surtout, ceux relatifs à l’assainissetechniques se sont développées dans différents ment. Une meilleure gouvernance peut réduire les
secteurs de l’industrie et des services. Le cas du besoins d’investissement et rendre le secteur de l’eau
secteur de l’eau est un bon exemple.
plus attractif pour les investisseurs. L’OCDE a ré-
Déjà en 1950 l’économiste français F. Divisia, in- cemment publié une checklist que les gouvernements
génieur des Ponts et Chaussées mentionnait l’in- peuvent utiliser pour s’assurer que leurs politiques
efficacité d’un système de tarification sommaire sont favorables à l’investissement dans les infrastrucbasé sur un prix unique de l’eau dans la ville de tures d’eau. (...) J’ai dit que la tarification était un insToulouse : (...) celle-ci vendait en effet son eau au trument pour gérer la ressource en eau. Elle est aussi
prix de 20 francs l’hectolitre, et jetait au ruisseau ce un instrument efficace pour financer les services liés à
qu’elle n’avait pas pu vendre à ce prix. « Exposés l’eau. Dans le domaine de l’agriculture, nous savons
d’Économique : L’apport des Ingénieurs Fran- que le prix de l’eau payé par les agriculteurs ne reflète
çais aux Sciences Économiques » Dunod Paris que rarement le coût des infrastructures, la rareté de
Plus près de nous, face aux préoccupations la ressource, ou les valeurs sociales et environnemencontemporaines de gestion de la ressource en tales attachées à la ressource. Dans ce domaine, le
eau, se pose clairement la question d’une tarifi- système français de redevances va dans le bon sens
.fr/
.free
cation adaptée. Voir par exemple l’extrait de l’al- tout en n’allant pas assez loin. Il faut rappeler que,
locution d’Angel Gurría, Secrétaire général de dans les pays où on fait payer l’eau plus cher aux agril’OCDE, devant le Conseil économique, Social et culteurs, comme l’Australie et Israël, la production
Environnemental (France) lors de la conférence agricole n’a pas diminué. Il faut rappeler aussi que
« Les Instruments économiques, Financiers et certaines subventions à l’agriculture entraînent un
Fiscaux de la Gestion de l’Eau en France et gaspillage ou une dégradation de la ressource en eau.
dans le Monde » de Paris, le lundi 3 mai 2010. (...) Dans le domaine de l’eau potable et de l’assainisConcernant l’eau cela suppose d’avoir les bonnes sement, la tarification est primordiale pour assurer le
institutions : l’approche économique de l’eau, c’est recouvrement durable des coûts. Elle doit être établie
d’abord une bonne gouvernance... Enfin, une bonne de façon transparente, en tenant compte des condi-
Université François Rabelais| 29-01-2017
195/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
tions locales et en prenant les mesures nécessaires bain coûte dix fois plus chères au Danemark qu’au
pour faire en sorte que les populations pauvres et Mexique) et des structures tarifaires. Elle souligne
vulnérables aient accès à l’eau potable et à l’assainis- aussi que les coûts liés à l’assainissement tendent à
sement de manière durable, et à un coût abordable. être mieux reflétés dans les factures acquittées par les
Une analyse récente des tarifs pratiqués dans les pays ménages.
de l’OCDE souligne la grande variété des prix (un
Exercice 67 : Discrimination du second degré : Tarif Binôme
Soit une économie composée
de deux types de consommateurs et de deux biens. Les consommateurs de typeA ont une fonction
d’utilité :
x2
u A ( x, y) = 4x −
+y
2
et les consommateurs de type B ont une fonction d’utilité :
rd
fava
scal.
x2
u B ( x, y) = 2x −
+ y.
2
Les consommateurs ne peuvent consommer que des quantités non négatives. Le prix du bien « y »
est égal à 1 et tous les consommateurs ont un même revenu égal à 100. Il y a N consommateurs de
type A et N consommateurs de type B.
1 – Supposons qu’un monopoleur puisse produire le bien « x » à un coût moyen constant égal à c
et ne puisse se livrer à aucune sorte de discrimination. Résolvez le programme du monopole.
Pour quelles valeurs de c choisira-t-il de vendre aux deux catégories de consommateur ?
2 – Supposons que le monopoleur mette en place un « tarif en deux parties » tel que le consommateur doive payer une somme forfaitaire k pour pouvoir acheter. Un individu ayant payé le
forfait k peut acheter la quantité qu’il veut au prix unitaire p. Les consommateurs ne sont pas en
mesure de revendre le bien x. Pour p < 4, quelle est la somme maximale k qu’un consommateur
de type A est disposé à payer pour avoir la possibilité d’acheter au prix p ? Si un consommateur
de type A paie la somme k pour acheter au prix p, combien d’unités demandera-t-il ? Donnez la
fonction qui détermine la demande de bien « x » des consommateurs A en fonction de p et de k.
Quelle est la fonction de demande de bien « x » des consommateurs B ? Déterminez la fonction
de demande totale de bien « x ».
quel couple ( p, k ) choisirait le monopole ?
.fr/
.free
3 – S’il n’y avait, dans cette économie, que N consommateurs de type A et aucun consommateur B,
4 – Si c < 1, trouvez les valeurs de p et de k qui maximisent le profit du monopoleur sous la
contrainte que les deux catégories de consommateur lui achètent le bien en question.
Solution :
1) Le programme du consommateur de type i = A, B, avec e A = 2 et eB = 1, est :
Pconsoi
Max ui ( x, y) = 2ei x −
{ x,y}
slc px + y ≤ 100
Université François Rabelais| 29-01-2017
x2
+y
2
(6.1)
196/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
La fonction d’utilité est quasi-linéaire par rapport au bien « y ». Notons que le bien « x » n’est
pas essentiel 1 , donc pour un niveau de prix relatif trop élevé ce bien ne sera pas consommé. La
demande individuelle de bien « x » est donc : Di ( p) = max {2ei − p, 0} avec i = A, B. La demande
agrégée est :



N (6 − 2p), si p ∈ [0, 2[


D( p) = N (4 − p), si p ∈ [2, 4[



0, sinon.
Bien x
(6.2)
Légende
6N
D( p)
D A ( p)
DB ( p)
4N
2N
rd
fava
scal.
O
2
4
p
Figure 6.5 : Fonctions de demande agrégée
Pour calculer le meilleur choix du monopole il faut distinguer deux cas :
i. Le programme du monopole s’il ne sert que les consommateurs de type i, est :
P Mo
Max N ( pi − c)(2ei − pi )
(6.3)
{ pi }
donc : piMo = ei + 2c , en utilisant la fonction de demande on doit avoir : piMo ≤ 2ei ⇔ ei +
c
2
≤
2ei ⇔ c ≤ 2ei . Dans ce cas le profit est :
πiMo = N (ei +
c
c
c 2
− c)(2ei − ei − ) = N ei −
.
2
2
2
ii. Le programme du monopole s’il sert tous les consommateurs, est :
donc : p Mo =
.fr/
.free
P Mo
Max N ( p − c)(6 − 2p)
{ p}
3+ c
2 , en utilisant la fonction de demande on doit avoir :
(6.4)
p Mo < 2 ⇔
3+ c
2
< 2 ⇔ c < 1.
Cette condition sur le coût marginal indique simplement pour quelle valeur maximale du coût
marginal de production, il est possible que le monopole serve les deux types de consommateurs.
Encore faut il que cela soit souhaitable, c’est à dire que le monopole réalise un profit supérieur
comparé aux cas où il ne sert qu’une partie du marché. Le profit est :
N (3 − c )2
π Mo = N p Mo − c 6 − 2p Mo =
.
2
1. L’utilité marginale de ce bien est finie lorsque la consommation de ce bien tend vers zéro.
Université François Rabelais| 29-01-2017
197/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Remarquons tout d’abord que l’on a toujours π B < π A puisque eB < e A . Si le monopole ne doit
servir qu’un des deux types de consommateurs, il est évident qu’il servira celui qui a la disposition
à payer la plus forte (Type A) puisqu’il ne peut pas discriminer.
Mo , dans le cas où cette comparaison est valide c’est à dire
Il nous reste à comparer π Mo avec π A
lorsque c ≤ 1. Supposons cette condition vérifiée, le monopole préférera servir les deux clients si :
√
Mo ⇔ c ≤ 2 − 2 = c
e ' 0.58.
π Mo > π A
L’interprétation est la suivante. Ce n’est effectivement que dans le cas où le coût marginal de
production est suffisamment faible, que le monopole choisira de servir le client A mais aussi le
client B qui ayant une faible disposition à payer conduit (oblige...) le monopole à pratiquer des
prix eux mêmes plutôt bas. Notez bien (cela est important pour la compréhension de la question
suivante) que cette situation est favorable au client A.
Le graphique suivant représente le niveau optimal de profit de monopole selon qu’il choisit de
servir une partie ou bien la totalité du marché. Selon la valeur du coût marginal de production, le
graphique indique le choix du monopole.
rd
fava
scal.
π
Légende
π (c)
π A (c)
π B (c)
9N
2
4N
π (ce) = π A (ce)
2N
1N
O
2
1
ce
4
Cm
Figure 6.6 : Fonctions de profit
2) Le monopole instaure un tarif en deux parties sous la forme d’un montant forfaitaire k et d’un prix
.fr/
.free
unitaire p. La contrainte budgétaire d’un consommateur de type A, s’écrit à présent : px + k 1x>0 +
y = 100. Supposons tout d’abord x > 0. La condition du premier ordre associée à la maximisation
de la fonction d’utilité est :
∂ 4x −
x2
2
+ 100 − px − k
= 0.
∂x
Nous pouvons remarquer que le montant forfaitaire k, n’affecte pas la solution, et la fonction de
demande a toujours la même expression : D A ( p) = max {4 − p, 0}. En notant par VA ( p, R − k )
la fonction d’utilité indirecte d’un consommateur de type A, on a : VA ( p, R − k ) = 4(4 − p) −
(4− p )2
2
2
+ 100 − p(4 − p) − k = (4−2p) + 100 − k. On peut remarquer que le montant k fixé par le
monopole réduit le surplus du consommateur mais n’affecte pas le niveau de demande lorsque le
Université François Rabelais| 29-01-2017
198/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
consommateur a choisit d’acheter une quantité strictement positive. Bien évidemment, le montant
k affecte le choix du consommateur lors de la décision d’acheter ou de ne pas acheter du bien
« x ». Pour prendre cette décision le consommateur doit comparer laquelle de ces deux situations il
préfère.
Paniers
Niveau d’utilité associé
( x, y) = (0, 100)
100
(4− p )2
2
( x, y) = (4 − p, 100 − p(4 − p) − k)
+ 100 − k
Tableau 6.1 : Niveaux d’utilité en fonction du panier choisit
L’utilité correspondant au cas où x = 0, est V = 100, et constitue l’utilité de réserve du consommateur soit un niveau d’utilité plancher en dessous duquel le consommateur préférera ne consommer
que du bien « y ». Celui-ci optera donc pour une certaine acquisition de bien x, si le niveau d’utilité
atteint dépasse au moins cette valeur critique.
rd
fava
scal.
Autrement dit A adresse une demande strictement positive au monopole si le monopole choisit p
et k tels que 2 : k <
(4− p )2
2
avec p < 4.
Des calculs similaires conduisent aux conditions suivantes pour le consommateur B qui souhaite
acheter au monopole si : k <
(2− p )2
2
avec p < 2.
Finalement la demande totale pour le monopole en fonction des paramètres qu’il peut choisir dans
la classe des « tarifs en deux parties » est 3 :
k<
p<2
2≤p<4
p≥4
(2− p )2
2
(2− p )2
2
X A + X B = N (4 − p ) + N (2 − p )
<k<
(4− p )2
2
k≥
X A = N (4 − p )
X A = N (4 − p )
(4− p )2
2
0
0
0
Tableau 6.2 : Demande de bien x en fonction de k et de p
3) S’il n’y a que des consommateurs de type A, le couple ( p, k ) qui permet au monopole de maximiser
son profit, est solution du programme d’optimisation suivant :
.fr/
.free
P Mo
Max N ( p − c)(4 − p) + Nk
{ p,k}
(6.5)
On remarque que la dérivée de la fonction de profit par rapport à k vaut N. Le profit est donc une
fonction strictement croissante du forfait choisit. Par conséquent ce monopole a intérêt à fixer la
2. Nous supposons ici de façon conventionnelle une inégalité stricte. Pour k =
(4− p )2
2
le consommateur est
indifférent entre acheter ou ne pas acheter du bien x. On suppose donc que dans ce cas, il choisit x = 0.
3. La valeur limite (maximale) de k pour chaque consommateur est bien évidemment déterminé par le surplus du
consommateur. On pouvait déterminer ce surplus sans passer par le calcul rigoureux des fonctions d’utilité indirecte et
en passant par un argument géométrique. Ici les fonctions de demande sont linéaires. Pour une fonction de demande
du type X ( p) = a − bp a > 0, b > 0, le surplus du consommateur serait k = 12 ( a − bp)( ba − p) =
Université François Rabelais| 29-01-2017
( a−bp)2
.
2b
199/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
valeur de k au niveau le plus élevé possible, donc k =
(4− p )2
2 . Si
k est fixé à ce niveau, le programme
de maximisation du profit du monopole devient :
4+ p
−c
Max N (4 − p)
2
{ p}
P Mo
(6.6)
p
dN (4 − p) 2 − c + 2
La condition du premier ordre par rapport à p est :
= 0 ⇒ p = c. La
dp
solution pour le monopole consiste à fixer un prix unitaire égal au coût marginal. Par conséquent le
prix unitaire et la quantité consommée correspondent aux valeurs qui découleraient d’un marché
en situation de concurrence pure et parfaite. Le monopole « stimule la demande » afin de générer
le plus grand surplus pour les consommateurs qu’il capte ensuite par l’intermédiaire du forfait.
Ici comme il n’y a qu’un seul type de consommateur le monopole peut « extraire » la totalité du
surplus des consommateurs. Le profit est alors égal à N
(4− c )2
2
avec c < 4.
4) Le couple ( p, k ) qui maximise le profit du monopole sous la contrainte que les deux catégories de
clients soient servies est solution du programme de maximisation du profit :
rd
fava
scal.
P Mo
Max N ( p − c)(6 − 2p) + 2Nk
{ p,k}
(6.7)
où (6 − 2p) correspond à la somme des demandes d’un client de type A et d’un client de type B. Si
le monopole souhaite conserver les consommateurs de type B parmi ces clients, la valeur maximale
de k qu’il pourra fixer est k =
(2− p )2
2 .
P Mo
Le profit total est alors :
Max N ( p − c)(6 − 2p) + N (2 − p)2
{ p}
(6.8)
et la condition du premier ordre associée à ce programme est :
d N ( p − c)(6 − 2p) + N (2 − p)2
= 0,
dp
donc p = c + 1. Le prix unitaire optimal est maintenant supérieur au coût marginal. En fait le
monopole, lorsque les conditions sont réunies pour qu’il est intérêt à vendre aux deux consommateurs A et B, doit laisser une rente au consommateur qui a la disposition à payer la plus forte. Le
monopole augmente son prix par rapport au coût marginal du fait qu’il est contraint de fixer k à
un niveau « relativement faible » permettant d’assurer la contrainte de participation du client B.
.fr/
.free
Il nous reste juste à vérifier que ce cas est bien valide tant que le monopole propose un prix de
vente p < 2. Or justement si c < 1 alors le prix de monopole est c + 1 < 2 et les consommateurs A
et B ont des demandes strictement positives dans ce cas. Le profit du monopole est :
π Mo ( p = c + 1, k =
h
i
(2 − p )2
) = N 5 − 4c + c2 .
2
Le monopole avec un tarif en deux parties ne réalise pas de discrimination différenciée selon les
deux types de clients. Les paramètres du tarif sont conditionnés par les préférences du consommateur de type B. Le forfait est dans ce cas inférieur au surplus du consommateur de type A. Le
profit réalisé avec un tarif en deux parties est plus élevé lorsque le monopole ne sert que le client
de type A comparé au cas où il sert les clients A et B.
Université François Rabelais| 29-01-2017
200/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
En effet si l’on compare le profit N 5 − 4c + c2 lorsque le monopole propose un tarif de type
2
( p, k) à A et B au profit N (42−c) lorsque le monopole propose un tarif toujours de type ( p, k) aux
clients A seulement on trouve que nécessairement 4 pour c < 1, le profit réalisé sur les clients A est
supérieur au profit réalisé sur l’ensemble des clients. Les clients de type B sont donc, dans tous les
cas de figure, exclus.
Illustration : Le texte suivant montre sur un sur les factures du prix du terminal et du prix des
exemple concret, la complexité ou sophistica- services mobiles, et sur l’impact du plafonnement à
tion de la tarification telle qu’elle est pratiquée douze, voire six mois de la durée maximum d’engageaujourd’hui dans le secteur des télécommunica- ment des offres de services mobiles. Des mesures qui
tions. Le cas de l’unique tarif binôme étudié dans compliqueraient grandement la vie des opérateurs, les
l’exercice précédent peut se généraliser dans obligeant à revoir leur modèle tarifaire actuel, fondé
un cadre où la concurrence se fait par menus sur la subvention des terminaux, avec un amortisde tarifs binômes interposés. Comment pouvoir sement de la subvention sur 12 à 24 mois. L’Arcep
être certain que le montant de l’abonnement re- estime qu’avec ce système, les consommateurs qui
rd
fava
scal.
flète exactement les coûts d’accès aux réseaux ? ne changent pas souvent de terminal paient pour
Quelques pistes, difficiles à déceler probable- ceux qui en changent plus souvent. Mais appliquer
ment et à quantifier sûrement, sont suggérées la recommandation de l’Arcep reviendrait, pour les
en mettant l’accent sur certaines dérives poten- consommateurs qui s’engagent sur de plus courtes
tiellement préjudiciables aux consommateurs.
durées, à payer plus cher leur téléphone. Pour assurer
Extrait de L’Expansion.com avec AFP - publié le la fluidité de ces marchés, l’Arcep propose également
de renforcer l’information des consommateurs en ma-
29/11/2010 à14 :39 :
L’Arcep (Autorité de Régulation des Communica- tière de conditions et de frais de résiliation, soulignant
tions Electroniques et des Postes) envisage de sépa- l’augmentation « de frein au changement de fournisrer le prix du téléphone du prix des services mobiles seur, ce qui limite la capacité des consommateurs à
sur la facture des opérateurs, et de réduire la durée faire jouer effectivement la concurrence ». Autre inmaximum d’engagement. Le régulateur propose une quiétude, les nouvelles offres proposant une réduction
série de mesures pour améliorer la transparence et aux foyers qui ont plusieurs abonnements mobile chez
la concurrence sur le marché des télécoms. L’Arcep, un même opérateur. L’Arcep note que certains opéveut aider les consommateurs à s’y retrouver dans le rateurs proposant l’option réengagent leurs clients
maquis des propositions des opérateurs mobile et in- sur vingt-quatre mois, à la souscription initiale de
.fr/
.free
ternet en lançant une consultation auprès de tous les l’option, ainsi qu’à chaque ajout d’un nouveau bénéacteurs dans ce domaine... L’Arcep va engager des tra- ficiaire, ce qui lui paraît « démesuré » au regard de la
vaux avec les acteurs du secteur portant sur l’impact réduction proposée.
et les modalités de mise en oeuvre de la séparation
Exercice 68 : C’est transparent
La société Jelaveplusblanc (JLPB) produit de la lessive. Sur son
marché, elle est en situation de monopole. Pour un prix pi , la demande sur le marché i est :
Di ( p i ) = bi ( a i − p i ) .
4. Exactement ces profits sont égaux pour c =
côtés du marché A et B seraient servis.
Université François Rabelais| 29-01-2017
√
(6.1)
6 > 1 et donc au delà de la zone de coût marginal ou les deux
201/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
La fonction de coût de JLPB est C ( Q) = Q, où Q est sa production de lessive. On suppose que ai
est supérieur à 1 et bi strictement positif.
1 – Donnez la définition d’un monopole. Dans le cas étudié, calculez le coût fixe, la fonction de
coût variable, de coût moyen, de coût marginal, la recette moyenne et la recette marginale.
2 – Calculez l’équilibre de marché, représentez-le sur un graphique.
3 – Calculez le surplus du monopole, des consommateurs et le surplus social sur ce marché.
4 – Supposons à présent qu’il y ait deux marchés, i = 1 et i = 2. Avec a1 > a2 > 1 et b1 + b2 = 1.
Sachant qu’il n’y a pas de transférabilité de la demande. Calculez la production totale du
monopole pratiquant des prix unitaires différents sur les marchés sachant qu’il a intérêt à servir
les deux marchés.
5 – Calculez le surplus social total.
6 – La puissance publique décide d’interdire la discrimination et oblige le monopole à servir les
deux marchés, quel est le nouvel équilibre ? Faites une analyse en terme de variation de surplus
par rapport aux questions précédentes.
7 – Supposons que b1 = b2 = 12 , que peut-on conclure ?
rd
fava
scal.
Solution :
1) Déf. : Une seule entreprise produit le bien échangé sur le marché considéré et ce bien n’a pas de
substitut proche pour les consommateurs.
La quantité qu’il produira Qi ( pi ) sera donc donnée par la demande (6.1) :
Q i ( p i ) = bi ( a i − p i ) ,
et donc :
pi ( Qi ) = ai −
Qi
.
bi
(6.2)
(6.3)
Il n’y a pas de coût fixe dans ce cas, le coût variable est donc le coût total. La fonction de coût
moyen CM ( Qi ) et celle de coût marginal Cm( Qi ) sont les suivantes :
C ( Qi )
dC ( Qi )
= 1 et Cm( Qi ) =
= 1.
Qi
dQi
Qi
La recette est R( Qi ) = pi ( Qi ) Qi = ai − b Qi , la recette moyenne RM ( Qi ) et la recette margiCM ( Qi ) =
i
RM ( Qi ) =
.fr/
.free
nale Rm( Qi ) sont données par :
R ( Qi )
Q
dR( Qi )
2Qi
= ai − i et Rm( Qi ) =
= ai −
.
Qi
bi
dQi
bi
2) Le monopole cherche la quantité de production qui maximise son profit :
P jl pb
Max π ( Qi ) = R( Qi ) − C ( Qi )
{ Qi }
La CN1 de (6.4) est :
Rm( Qi ) = Cm( Qi ) ⇒ ai −
Université François Rabelais| 29-01-2017
2Qi
b ( a − 1)
= 1 ⇒ Qi = i i
>0
bi
2
(6.4)
(6.5)
202/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
La CS2 de (6.4) est vérifiée puisque − b2 < 0. Pour obtenir le prix pi , il suffit de remplacer Qi par sa
i
valeur (cf. (6.5)) dans la fonction de demande inverse (6.3) et donc :
pi = ai −
bi ( a i − 1 )
2
bi
=
1 + ai
.
2
(6.6)
L’équilibre sur le marché i est :
EiMo
=
piMo , QiMo
=
1 + a i bi ( a i − 1 )
,
2
2
.
=
C/unités
Légende
Rm( Q)
RM( Q)
Cm( Q) = CM( Q)
ai
1
O
rd
fava
scal.
(1+ a i )
2
•
EiMo
bi ( a i − 1 )
2
a i bi
2
unités
a i bi
Figure 6.7 : Équilibre de monopole sur le marché i
3) Le surplus des consommateurs SCi est donné par :
1 bi ( a i − 1 )
1 + ai
b ( a − 1)2
SCi =
,
ai −
= i i
2
2
2
8
(6.7)
le surplus de JLPB sur le marché i, SPi , est en fait le profit qu’elle génère, soit :
SPi =
1 + a i bi ( a i − 1 ) bi ( a i − 1 )
b ( a − 1)2
−
= i i
,
2
2
2
4
(6.8)
et donc le surplus social SSi qui est la somme des deux surplus précédents :
.fr/
.free
SSi = SCi + SPi =
bi ( a i − 1 ) 2 bi ( a i − 1 ) 2
3b ( a − 1)2
+
= i i
.
8
4
8
4) La forme particulière de la fonction de coût implique que le programme du monopole est séparable :
son meilleur choix pour un marché est indépendante de son meilleur choix pour l’autre marché.
Le monopole va choisir un prix pour chacun des marchés, puisqu’il peut discriminer. Donc p1
est donné par (6.6) pour i = 1 et p2 est donné par (6.6) pour i = 2. Avec p1 > p2 puisque a1 > a2 .
L’équation (6.5) nous donne QiMo et donc la production totale QdMo du monopole discriminant est :
QdMo = Q1Mo + Q2Mo =
b1 ( a1 −1)
2
+
b2 ( a2 −1)
.
2
Comme b1 + b2 = 1 on a :
QdMo =
Université François Rabelais| 29-01-2017
b1 a1 + b2 a2 − 1
.
2
203/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
5) Le surplus des consommateurs de type i, SCi , est donné par (6.7). Le surplus du producteur SPd
c’est la somme du profit qu’il fait sur le premier marché et du profit qu’il fait sur le second marché.
Ces deux derniers profits étant donnés par (6.8) pour i = 1, 2 et donc : SPd = ∑2i=1
SSd le surplus social total, on a :
SSd
bi ( a i − 1 ) 2
.
4
Soit
b1 ( a1 − 1)2 b2 ( a2 − 1)2 b1 ( a1 − 1)2 b2 ( a2 − 1)2
= SC1 + SC2 + SPd =
+
+
+
8
8
4
4
2
2
3b1 ( a1 − 1)
3b ( a − 1)
=
+ 2 2
.
8
8
6) La discrimination n’étant plus possible, le monopole ne peut pas pratiquer des prix différents sur
Mo qui va
les deux marchés. Il y a donc un seul prix de marché, le monopole va choisir le prix pnd
maximiser son profit total sachant qu’il doit servir les deux marchés :
P jl pbnd
{ p}
rd
fava
scal.
donc la CN1 est :
Max π = p [b1 ( a1 − p) + b2 ( a2 − p)] − [b1 ( a1 − p) + b2 ( a2 − p)]
[b1 ( a1 − 2p) + b1 ] + [b2 ( a2 − 2p) + b2 ] = 0 ⇒ p =
comme b1 + b2 = 1 on a :
Mo
pnd
=
(6.9)
b1 ( a1 + 1) + b2 ( a2 + 1)
,
2(b1 + b2 )
b1 a1 + b2 a2 + 1
= b1 p1 + b2 p2 .
2
(6.10)
Mo
⇒ p1 > pnd
> p2 puisque b1 + b2 = 1 et a1 > a2
Le monopole non discriminant choisit un prix « intermédiaire », en fait une combinaison linéaire
convexe, compris entre les prix qu’il choisit lorsqu’il peut discriminer entre les deux marchés. Pour
Mo il suffit de remplacer p par sa valeur (cf. (6.10)) dans la fonction
obtenir la quantité échangée Qnd
de demande (6.1) :
Qnd = b1
b a + b2 a2 + 1
a1 − 1 1
2
+ b2
b a + b2 a2 + 1
a2 − 1 1
2
,
comme b1 + b2 = 1 on a :
Le surplus du producteur est :
(6.11)
.fr/
.free
Mo
L’équilibre est : End
b a + b2 a2 − 1
.
Qnd = 1 1
2
b1 a1 +b2 a2 +1 b1 a1 +b2 a2 −1 Mo
Mo
= pnd , Qnd =
,
.
2
2
(b1 a1 + b2 a2 − 1)2
,
4
ce qui est plus faible que lorsqu’il peut discriminer. Le surplus des consommateurs de type 1 est :
SPnd =
SC1nd =
1
b1 [ a1 − 1 + b2 ( a1 − a2 )]2 ,
8
et le surplus des consommateurs de type 2 est :
SC2nd =
Université François Rabelais| 29-01-2017
1
b2 [ a2 − 1 + b1 ( a2 − a1 )]2 .
8
204/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Donc le surplus des consommateurs de types 1 est plus grand que lorsque le monopole discrimine
et celui des consommateurs de type 2 est plus petit. C’est logique puisque le monopole choisit un
prix « intermédiaire ». En revanche on ne peut pas conclure en terme de surplus social, cela va
dépendre des paramètres.
SSnd = SC1nd + SC2nd + SPnd
1
1
(b a + b2 a2 − 1)2
= b1 [ a1 − 1 + b2 ( a1 − a2 )]2 + b2 [ a2 − 1 + b1 ( a2 − a1 )]2 + 1 1
≶ SSd .
8
8
4
7) Dans ce cas le surplus collectif augmente si la discrimination est prohibée :
∆SS = ∆SP + ∆SC =
1
( a1 − a2 )2 > 0.
32
Mais cela n’est pas toujours vrai.
Avant-propos : Dans l’exercice qui suit nous début des années 80. Les voitures de seconde
proposons de façon extrêmement épurée un classe ne différaient de celles de première que
rd
fava
scal.
cadre d’analyse théorique de la discrimination par leur couleur. Elles étaient accessibles à un
par les prix via une différentiation de la qualité prix plus faible. Comme le service le moins cher
du produit. A la condition que la structure des était choisi par davantage de gens... On peut
prix respecte les contraintes d’autosélection, il imaginer la différence de confort entre les deux
montre qu’il peut être avantageux de produire classes du métro parisien notamment aux heures
une qualité inférieure, même si elle n’est pas de pointe... Toutes ces pratiques sont regroumarginalement moins coûteuse à produire. Dans pées et connues aussi sous le nom de Yield mala pratique les stratégies utilisées pour créer nagement (ou Revenu management). Elles ont
des différences de qualité sont extrêmement di- connu un essor extraordinaire dans le secteur
verses. Les produits peuvent être proposés avec des transports aériens notamment. Ce nouveau
des fonctionnalités différentes et/ou des perfor- mode de tarification (Robert Crandall d’Amerimances variables. Mais d’autres moyens sont can Airlines est considéré comme un pionnier
utilisés comme l’introduction de délais et/ou en la matière) a été introduite en 1985 grâce à
de sécurités de livraison variables, ou encore des systèmes de réservation « intelligents » rédifférents niveaux de garantie, d’un accès prio- pondant au leitmotiv « le bon siège au bon client
ritaire au support technique etc. Dans ces nom- au bon moment » et a permis en augmentant le
breuses solutions qu’ont les entreprises pour dif- taux de remplissage des avions, d’augmenter le
.fr/
.free
férentier la qualité des produits, il est utile de revenu des compagnies. Depuis cette pratique
rappeler le cas des classes dans le métro pari- s’est généralisée et l’on trouve de plus en plus
sien. C’est Charles Fiterman, ministre commu- « d’Analyst Pricing » dans de très nombreux secniste des transports qui a aboli ce système au teurs d’activités.
Exercice 69 : AirTouraine Falcùn
La compagnie AirTouraine a le monopole du transport
aérien entre Tours et Nice et utilise le fameux Falcùn, avion de 20 places, pour cette liaison. Il
y a potentiellement, sur le marché, d’une part 10 voyageurs « business » qui ont une certaine
évaluation de la qualité du service (notée s) de sorte que le prix réserve auquel ce type de voyageur
√
est disposé à acheter un billet est 12 s. Il y a d’autre part 10 voyageurs « touristes » pour qui le
Université François Rabelais| 29-01-2017
205/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
√
prix de réserve auquel ils acceptent d’acheter un billet est 8 s. On suppose qu’un voyageur achète
un billet ou aucun et que le coût par voyageur, à qui AirTouraine offre un voyage de qualité s, est
s=
C.
1 – Supposez qu’AirTouraine puisse pratiquer une discrimination du 1er degré. Notons s le niveau
de qualité offert par AirTouraine aux voyageurs « business » et s le niveau de qualité offert aux
voyageurs « touristes ». On note respectivement p et p le prix d’un billet en classe business et
touriste. Expliquez pourquoi d’un problème de maximisation des profits par rapport à p, s, p
et s on peut se ramener à un problème de maximisation du profit par rapport à s et s. Écrivez
ce programme de maximisation de profit. Quels sont les niveaux de qualité s et s choisis par
AirTouraine ? En déduire les niveaux de prix p et p que va fixer AirTouraine ? Quel est le niveau
de profit de la compagnie ?
2 – Supposez maintenant qu’AirTouraine ne puisse distinguer
n o le type d’un voyageur. Néanmoins
la compagnie offre deux contrats de voyage { p, s} et
p, s et laisse les consommateurs choisir.
De quel type de discrimination tarifaire s’agit-il à présent ? Écrire les quatre contraintes faisant
rd
fava
scal.
intervenir p, s, p et s telles que chacun des 10 clients « business » préfère acheter un billet
business et préfère effectivement voyager dans cette classe et chacun des clients « touriste »
préfère acheter un billet touriste et préfère effectivement voyager dans cette classe. Écrire
le programme de maximisation de profit de la compagnie sous les contraintes précédentes.
Déterminez les niveaux de qualité s et s que la compagnie va choisir. En déduire les niveaux de
prix p et p que va fixer AirTouraine. Quel est le profit d’AirTouraine ?
3 – Si AirTouraine ne peut pas discriminer, quel est son profit ?
4 – En comparant tous résultats précédents, peut-on dire si des voyageurs consomment une qualité
de service optimale ? Si oui, dans quel groupe ? Quel groupe se voit offert trop peu de qualité
de service ? Si oui, lequel et pourquoi ?
Solution :
1) AirTouraine peut discriminer parfaitement, ici cela veut dire qu’elle connait le prix de réserve de
chacun de ses clients, elle va donc faire payer à chacun son prix de réserve. Son programme ne
dépend donc que des deux niveaux de qualité.
.fr/
.free
P AirTouraine
√
√
Max 10(12 s − s) + 10(8 s − s)
{s,s}
(6.1)
Mo , s Mo = (16, 36) et donc : p Mo , p Mo = (32, 72). Le niveau de profit
La solution de (6.1) est sd1
d1
d1
d1
Mo
πd1
= 520.
2) La
s’opère à présent via l’offre d’une gamme de qualité (s, s) et de prix associés
discrimination
p, p , gamme au sein de laquelle les clients choisissent librement le « bon contrat » (autosélection).
d’AirTouraine est :
Université François Rabelais| 29-01-2017
206/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
P AirTouraine
Max 10( p − s) + 10( p − s)
{s,s,p,p}
 √

8 s−p ≥ 0
CP1



√


 12 s − p ≥ 0
CP2
slc
√
√

CI1
8 s−p ≥ 8 s−p




√

 12 s − p ≥ 12√s − p CI2
(6.2)
Les deux premières contraintes assurent que les clients ont un niveau de satisfaction plus grand
quand ils voyagent que quand ils ne voyagent pas (contraintes de participation). Les deux dernières contraintes assurent que les clients vont choisir le contrat qui leur est destiné (contraintes
√
incitatives). Si CP1 est vérifiée alors 12 s − p > 0, en utilisant CI2 on obtient que CP2 est
vérifiée, CP2 ne sera donc pas liante. CP1 sera saturée, le monopole a intérêt à capturer l’inté√
gralité du surplus des touristes, donc 8 s − p = 0 et de fait il « laissera » un surplus positif
aux business, le contraire n’étant pas possible. Si l’on prend tout le surplus aux consomma-
rd
fava
scal.
teurs qui ont la plus forte disposition
exclue du marché les autres. Si CI2 est saturée
√ à payer
on
√
√
√
alors 12 s − p = 12 s − p = 8 s − p + 4 s, en utilisant que CP1 doit être saturée on a :
√
√
√
√
√
√
√
12 s − p = 4 s. Mais, puisque s > s par construction, 12 s − 4 s > 8 s. Donc 12 s − p = 4 s
√
√
√
entraîne que CI1 n’est pas liante. On a donc p = 8 s et p = 12 s − 4 s.
Le programme (6.2) de la compagnie se réduit à :
P AirTouraine
√
√
Max 10 12 s − 4 s − s + 10 (8 s − s)
√
(6.3)
{s,s}
Mo , s Mo = (4, 36) et donc : p Mo , p Mo = (16, 64). Le niveau de profit
La solution de (6.3) est sd2
d2
d2
d2
Mo = 400.
d’AirTouraine est : πd2
3) AirTouraine ne peut pas discriminer. Son programme est conditionnel au fait qu’elle serve les deux
groupes de voyageurs ou qu’elle ne serve que ceux qui ont la plus forte disposition à payer.
i. Si elle sert les deux groupes :
P AirTouraine
√
Max 20(8 s − s)
{s}
(6.4)
Mo = 320.
πnd2
ii. Si elle ne sert que les business :
P AirTouraine
.fr/
.free
Mo = 16 et donc : p Mo = 32. Le niveau de profit d’AirTouraine est :
La solution de (6.4) est snd2
nd2
√
Max 10(12 s − s)
{s}
(6.5)
Mo = 36 et donc : p Mo = 72. Le niveau de profit d’AirTouraine est :
La solution de (6.5) est snd1
nd1
Mo = 360.
πnd1
Mo = 360.
AirTouraine ne sert que le groupe qui a la plus forte disposition à payer la qualité, donc : πnd
Dans ce cas le Falcùn sera à moitié vide. Ne pas oublier que pour simplifier l’exercice nous avons
fait l’hypothèse héroïque qu’il n’y avait pas de coût fixe.
Université François Rabelais| 29-01-2017
207/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
4) On retrouve ici un résultat déjà vu. La distorsion de la qualité sert avant tout à inciter les clients
Business à ne pas voyager en classe Touriste ! Le profit du monopole est bien sûr plus faible
lorsqu’il pratique une discrimination du deuxième degré que dans le cas où le monopole peut
discriminer parfaitement mais malgré tout, supérieur au profit que le monopole obtiendrait en
proposant un prix unique à tous les clients quelque soit leurs types.
Illustration : « Cabines d’avions : les sièges sur la partie la plus large du fuselage. Une mo-
“éco”, plus minces et plus nombreux » LesE- dification qui n’est pas anodine, mais qui peut
chos.fr Bruno Trevidic 14/04/2015 à 18:37.
valoir le coup si cela permet de repousser la dé-
Au Salon Aircraft Interiors, les sièges de cision de lancement d’un A380 Neo remotorisé.
classe éco mincissent et les rangées s’élargissent.
Plus de place à l’avant et plus de monde
Segmentation de la classe éco
La densification des cabines concerne aussi
à l’arrière : telle est encore la tendance lourde les appareils moyen-courriers. En jouant à la
du marché des cabines d’avion, dont le prin- fois sur l’épaisseur des sièges, sur la taille du
cipal Salon professionnel, Aircraft Interiors, se bloc cuisine et des wc, le futur A321 Neo pour-
rd
fava
scal.
tient cette semaine à Hambourg. Si le siège- rait ainsi compter jusqu’à 240 sièges, au lieu
couchette horizontal est en passe de devenir de 220 actuellement. Là encore, avec des sièges
la règle en classe affaires - ils représenteront de 18 pouces de large, mais avec un espace85% de l’offre business en 2020 -, le nombre ment réduit à 28 pouces (71,12 cm) au lieu de
de sièges ne cessent d’augmenter en classe éco- 30 (76,2 cm) en moyenne aujourd’hui. Selon Airnomique, avec l’apparition de nouveaux sièges bus, les classes économiques densifiées, bapti-
plus minces et plus légers. Airbus l’a encore dé- sées « Budget Economy » par opposition à Commontré mardi, en dévoilant une maquette gran- fort Economy, équiperait déjà 10% des A330 en
deur nature du nouvel aménagement intérieur service et 27% de son carnet de commandes.
à 11 sièges de front de l’A380 (en 3 ∗ 5 ∗ 3) au En y ajoutant la classe Premium Economy à
lieu de 10 sièges actuellement (en 3 ∗ 4 ∗ 3). De mi-chemin entre classe affaires et économie, les
quoi améliorer la rentabilité de l’A380 d’environ compagnies aériennes pourraient ainsi mieux
10%, en gagnant 19 sièges supplémentaires en segmenter le marché « éco » et générer jusqu’à
configuration triclasse standard (qui passe ainsi 20 millions de dollars de recettes supplémende 525 à 544 sièges) et jusqu’à 50 sièges en bi- taires par avion et par an, assure Airbus. Reste à
classe, jusqu’à 650 passagers. Et ce, sans perte vaincre les réticences des passagers, peu enclins
de confort, affirme Airbus. L’avionneur a en ef- à jouer les sardines en boîte, surtout en long-
.fr/
.free
fet réussi la prouesse d’ajouter un siège de plus courriers. Pour l’heure, seul le loueur américain
par rangée, tout en conservant une largeur de Amedeo a passé commande d’A380 à 11 sièges
siège de 18 pouces de largeur (45,72 cm), alors de front. Il lui faut maintenant les louer. Emirates
que les Boeing 777 et les A330 les plus densifiés a pour sa part exclu d’opter pour cette configuont recours à des sièges de 17 pouces de large ration. Mais la compagnie du Golfe prévoit déjà
(43,18 cm). Pour y parvenir, les ingénieurs d’Air- des B777 à 10 sièges de front et 17 pouces de
bus ont eu l’idée de surélever le plancher de large.
5 centimètres, afin d’aligner les rangées de sièges
Exercice 70 : Monodue
Considérons un modèle à deux périodes, t = 1, 2. La fonction inverse
Université François Rabelais| 29-01-2017
208/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
de demande agrégée sur le marché considéré est invariante sur les deux périodes : D −1 ( Qt ) =
a − bQt . Le coût moyen est supposé constant et égal à ct durant la période t. Sur ce marché il y a
un seul producteur qui « apprend en faisant », ce qui se traduit par : c2 = c1 − αQ1 . On supposera
que a > c1 > 0, que b > α > 0 et que le taux d’escompte est égal à un.
1 – Calculez la fonction de coût marginal à chaque période. Expliquez très précisément ce que vous
faites.
~ Mo = Q Mo , Q Mo , le vecteur de production intertemporel du monopole.
2 – Calculez Q
2
1
~ OP = QOP , QOP , le vecteur de production intertemporel du monopole si celui-ci
3 – Calculez Q
2
1
est totalement controlé par un planificateur social bénévolent. Commentez.
~ OP on a quelque chose du genre : « le prix est égal au coût marginal ». Soyez
4 – Montrez qu’en Q
très explicite.
5 – Le fait que le monopole « apprenne en faisant » améliore-t-il le bien-être social sur ce marché
monopolistique ? Justifiez votre réponse à l’aide d’un calcul.
Solution :
rd
fava
scal.
dCM ( Q)
= Cm(Q)QQ2−C(Q) = 0 et donc Cm( Q) = CM( Q).
dQ
2) Le programe intertemporel du monopole est :
1) Le coût moyen étant constant,
P Monopole
donc on a :
Max ( a − bQ1 − c1 ) Q1 + ( a − bQ2 − (c1 − αQ1 )) Q2
(6.1)
{ Q1 ,Q2 }
(
CN1 :
−bQ1 + a − bQ1 − c1 + αQ2 = 0
(6.2)
−bQ2 + a − bQ2 − c1 + αQ1 = 0
(6.3)

−2b < 0
sous les hypothèses : CS2 :
(2b − α)(2b + α) > 0
. En retranchant (6.2) à (6.3), on obtient :
~ Mo =
Q1Mo = Q2Mo . Donc, en substituant Q2 par Q1 dans (6.2) on obtient : Q
a − c1 a − c1
2b−α , 2b−α
(0, 0).
3) Le programe du planificateur social est :
PPlani f icateur
Max
{ Q1 ,Q2 }
Z Q1
0
D −1 ( x ) dx +
CN1 :
0
D −1 ( x ) dx − c1 Q1 − (c1 − αQ1 ) Q2
(6.4)
.fr/
.free
(
Z Q2
a − bQ1 − c1 + αQ2 = 0
(6.5)
a − bQ2 − c1 + αQ1 = 0
(6.6)

−b < 0
sous les hypothèses les CS2 sont vérifiées :
. En retranchant (6.5) à (6.6), on
(b − α)(b + α) > 0
OP . En substituant Q par Q dans (6.5) on obtient : Q
OP = a−c1 , a−c1 Q
~
~ Mo .
obtient : QOP
=
Q
2
1
2
1
b−α b−α
4) En réécrivant (6.5) à (6.6), on obtient :
(
CN1 :
Université François Rabelais| 29-01-2017
a − bQ1 + αQ2 = c1
(6.7)
a − bQ2 = c1 − αQ1
(6.8)
209/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
Le côté gauche de (6.7) donne la somme du gain marginal de surplus des consommateurs en
première période (i.e. le prix unitaire) et de la diminution du coût marginal de production en
seconde période (i.e. l’impact de la production de première période sur la fonction de coût de
seconde période). C’est donc le gain social intertemporel net obtenu pour un accroissement
marginal de la production de première période. Le côté droit est le coût marginal de première
période. Le côté gauche de (6.8) est le surplus marginal des consommateurs en seconde période
(i.e. le prix unitaire). Le côté droit est le coût marginal de seconde période. La solution optimale au
sens de Pareto vérifie donc : « prix égal au coût marginal », dans un sens élargi par rapport au cas
classique.
5) Répondre à cette question est équivalent à étudier le signe de la dérivée du surplus social à
l’équilibre (i.e. lorsque les quantités sont données par Q Mo ) sur le marché monopolistique par
rapport à α. Or on a :
SS Mo (α)
= 2
Z Q Mo (α)
1
donc :
0
D −1 ( x ) dx − c1 Q1Mo (α) − (c1 − αQ1Mo (α)) Q1Mo (α),
rd
fava
scal.
2
dQ Mo (α) −1 Mo
dSS Mo (α)
=2 1
D ( Q1 (α)) − c1 + αQ1Mo (α) + Q1Mo (α) > 0
dα
dα
Le bien-être social est croissant en α. Plus l’impact de la quantité produite en première période sur
le coût marginal de production en seconde période est important, plus le surplus social est élevé,
la production totale augmentant et le coût marginal de celle-ci baissant.
Exercice 71 : OM continue
On considère un continuum de supporters qui n’ont pas tous la
même valorisation pour un produit dérivé vendu par l’Olympique de Marseille. Chaque supporter
s’il achète, n’achète qu’une seule unité du produit. On suppose que les supporters n’ont aucune
possibilité de revente du produit. Plus précisément, ces supporters se caractérisent par leur prix
de réserve pour le produit dérivé, noté θ, ce paramètre est distribué selon une loi uniforme sur
l’intervalle [0, 1]. La taille de la population des supporters est normalisée à un sans perte de
généralité. Le coût marginal pour l’OM, en monopole sur le marché considéré, est supposé nul 1 .
1 – Si l’OM pratique un prix uniforme, quel prix unitaire doit-il choisir ? Calculez pour ce niveau
de prix son profit sur cette activité, le surplus des supporters et la charge morte du monopole.
2 – Expliquez en quoi une tarification plus sophistiquée qu’un prix uniforme permettrait à l’OM
d’accroître ses profits.
On se place à présent dans le cas où l’OM est capable premièrement d’acquérir de l’information
.fr/
.free
sur les caractéristiques des supporters et deuxièmement de pratiquer des prix différents sur chacun
des groupes de supporteurs préalablement identifiés. Le monopole est supposé capable d’identifier
N segments de supporters dans la population totale. Tous les segments ont une « longueur »
1
N.
Les supporters
duhsegment s, s = (1, · · · , N ), sont ceux dont le prix de réserve
h
1 s
appartient à l’intervalle s−
N , N . La question qui se pose c’est : comment dans les faits, les
identique,
bénévoles déterminent à « quel » supporter ils ont à faire ? On peut imaginer qu’ils lui demandent
son billet pour le match et que suivant la catégorie de place achetée ils infèrent le segment auquel
il appartient.
1. C’est le sponsor principal du club qui paye le coût de fabrication et ce sont des bénévoles qui vendent aux abords
du Vélodrome le produit dérivé. Cette activité « productive » est totalement indépendante de toutes les autres activités
du club.
Université François Rabelais| 29-01-2017
210/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
3 – Pour N = 2, quels sont sur chacun des deux segments de clientèle les prix choisis et les profits
de l’OM ? Quels sont les niveaux du surplus des supporters du segment 1 et du segment 2 ?
Quelle est à présent la charge morte du monopole ?
4 – Plus généralement, dans le cas où le monopole est capable de distinguer N segments, déterminez successivement pour chaque segment le prix unitaire choisi par l’OM, son profit et le
surplus des supporters. Quelle est, à présent, la charge morte du monopole ?
5 – Si N → +∞, à quel type de discrimination tarifaire correspond la tarification par groupe telle
qu’elle est pratiquée ici par l’OM ? Quel est alors le profit du club, le surplus des supporters et
la charge morte du monopole ? Représentez sur un même graphique en fonction de N, le profit
de l’OM, le surplus des supporters et la charge morte du monopole.
6 – Que constatez vous ? Interprétez le résultat obtenu, en particulier peut-on dire que les supporters seront toujours opposés à la discrimination tarifaire étudiée ici ?
7 – Cet exercice montre que le monopole a intérêt à segmenter le plus finement possible sa clientèle.
Selon vous, quels facteurs limitent bien souvent dans la pratique le nombre de tarifs effectivement proposés par les entreprises en monopole ? Du coup, quelles hypothèses posées dans cet
Solution :
rd
fava
scal.
exercice suggéreriez vous de modifier ?
1) Le paramètre θ suit une loi uniforme sur [0, 1]. La demande agrégée est donc :
D( p) =
Z 1
p
dθ = [θ ]1p = max {0, 1 − p}.
(6.1)
Si le monopole applique un prix uniforme, son programme est :
.fr/
.free
POM
Max p(1 − p)
{ p}
(6.2)
La CN1 associée à au programme (6.2) s’écrit 1 − 2p = 0. La CS2 est ici vérifiée. Le prix unitaire est
donc p Mond = 1/2. En remplaçant dans (6.1), on a Q Mond =
1
2
et donc π Mond = 14 . La charge morte
est : PS Mond = 81 . Ces valeurs sont résumées dans le tableau 6.3.
Université François Rabelais| 29-01-2017
211/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
=
C/unités
Légende
1
1
2
•
O
1
2
D −1 ( Q )
Rm( Q)
PS
E Mond
unités
1
Figure 6.8 : OM non-discriminant
rd
fava
scal.
2) Au prix uniforme proposé, l’OM vend à un prix inférieur au prix de réserve pour tous les supporters
tels que θ ≥ 12 . Pour tous les autres supporters, θ < 12 , leur disposition à payer est supérieure au
coût marginal, nul ici. La discrimination en prix permettrait à l’OM d’accroître son niveau de profit.
Ici, l’OM pourrait exactement doubler son profit en pratiquant une discrimination parfaite par les
prix.
3) L’OM est supposé distinguer les deux segments de marché et pratiquer des prix uniformes différents sur chaque groupe de supporters. En raison des hypothèses faites sur le coût de production,
l’OM peut optimiser indépendamment 2 sur chacun des segments.
Les fonctions de demande sur les segments 1 et 2 du marchés, sont respectivement :

o
n
1

−
p
D
(
p
)
=
max
0,

1
1
1
2


(6.4)
.fr/
.free

n
n
oo


D ( p ) = max 0, min 1 , 1 − p
2 2
2
2
2. Le profit du monopole a ici la propriété d’être additivement séparable et s’écrit comme la somme des profits
sur chaque marché. En règle générale cette propriété ne sera pas respectée notamment si les coûts de production
dépendent non linéairement de la quantité totale produite. Un problème plus général s’écrirait :
POM
Max p1 D1 ( p1 ) + p2 D2 ( p2 ) − C (D1 ( p1 ) + D2 ( p2 ))
{ p1 ,p2 }
les profits réalisées sur chacun des marchés.
Université François Rabelais| 29-01-2017
(6.3)
212/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
=
C/unités
=
C/unités
Légende
1
Mod
1
2
1
4
•
O
1
4
Ds−1 ( Q)
Rms ( Q)
PS1
1
2
•
O
1
2
E2
Mo
E1 d
unités
1
2
(a) Segment : 1
unités
(b) Segment : 2
Figure 6.9 : OM discriminant
rd
fava
scal.
Bien que trivial ce graphique est crucial pour la compréhension de la stratégie de l’OM. On sait
que le monopole se fait « concurrence » à lui même 3 . Or, précisément en divisant le marché total
en plusieurs sous marchés le monopole atténue ce phénomène. On voit d’ailleurs directement que
sur le segment 1 le prix choisi sera inférieur à p Mond .
Le tableau 6.3 donne respectivement les valeurs choisies pour les prix, ainsi que les quantités et
les niveaux de profit de l’OM sur chaque segment. Ce tableau présente également les valeurs du
surplus des supporters et de la charge morte du monopole 4 .
Marchés
Mo
pnd
Q Mond
π Mond
SC Mond
ps
Mod
Qs
Mod
πs
Mod
SCs
Mod
PSs
(a) OM non-discriminant
Segment s = 2
1
4
1
4
1
16
1
32
1
32
1
2
1
2
1
4
1
8
0
Total
3
4
5
16
5
32
1
32
.fr/
.free
PS Mond
Mod
1
2
1
2
1
4
1
8
1
8
Segment s = 1
(b) OM discriminant
Tableau 6.3 : Segmentation ou pas ?
4) Un supporter dont le prix de réserve est θ, appartient au segment s si :
(6.4), on a immédiatement :
s −1
N
≤θ<
s
N . En généralisant
3. Sa recette marginale comprend ce que l’unité supplémentaire rapporte, c’est à dire son prix de vente, moins le
manque à gagner dû au fait que toutes les unités sont vendues à un prix plus faible.
4. Les calculs ne sont pas présentés en détail puisqu’ils sont déterminés comme dans la question 1).
Université François Rabelais| 29-01-2017
213/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http

n

D
(
p
)
=
max
0,
 1 1


1
N
o
− p1 = max 0, Ns − ps
(6.5)

n
n


D ( p ) = max 0, min 1 ,
s s
N
s
N
− ps
oo
, s = (2, · · · , N ).
Le programme d’optimisation de l’OM étant séparable, s = (1, · · · , N ), ps doit être solution de :
s
Max πs ( ps ) =
− ps ps
N
{ ps }
s−1
s
slc
≤ ps ≤
N
N
POMs
La CN1 de (6.6) donne ps =
le segment considéré ps <
s
N,
s
2N
(6.6)
; la CS2 est vérifiée puisque −2 < 0. On a donc quelque soit
en revanche ps ≤
s −1
N
si s ≥ 2. Sauf pour le premier segment, la
solution en prix est une solution saturant la contrainte du programme (6.6) et donc :
rd
fava
scal.
Mo
ps d
= max
1 s−1
,
2N N
(6.7)
En remplaçant dans (6.5), on a :
Mod
=
Qs
1s =1 1s 6 =1
+
.
2N
N
(6.8)
Si N > 2, le cas contraire ayant déjà été traité (cf. Table 6.3b), on a :




π Mod ( N ) =









1
4N 2
SC Mod ( N ) =











 PS Mod ( N ) =
s= N
+
1
8N 2
∑
s =2
+
1
N ( N − 1)
s−1
=
+
2
2
N
4N
2N 2
(6.9)
N −1
2N 2
1
.
8N 2
5) Si l’OM peut segmenter infiniment le marché (i.e. N → +∞), en utilisant (6.9), on a :
.fr/
.free


Lim π Mod ( N ) = 21


N
→+∞








Lim SC Mod ( N ) = 0
N →+∞










 Lim PS Mod ( N ) = 0,
N →+∞
(6.10)
le profit de l’OM tend vers 1/2. Le surplus des supporters et la charge morte tendent vers 0. Une
segmentation infinie du marché correspond à une discrimination parfaite des supporters.
Université François Rabelais| 29-01-2017
214/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
=
C
1
2
O
Légende
π Mod ( N )
SC Mod ( N )
PS Mod ( N )
N
1
rd
fava
scal.
Figure 6.10 : Partage des surplus
6) Le surplus des supporters est croissant puis décroissant en fonction du nombre de segments. Il
existe donc une zone où les supporters ne sont pas globalement opposés à la discrimination par les
prix. Mais, rappelons qu’en l’absence de discrimination tarifaire (i.e. un seul segment) seulement la
moitié des supporters sont servis. On peut montrer que du point de vue des supporters le nombre
de segments qui maximise leur surplus est de 32 . Nous traitons ici N comme une variable continue.
Il suffirait d’opter pour une autre loi de distribution du paramètre θ pour développer un modèle
plus réaliste encore que celui qui est retenu dans cet exercice au motif de simples commodités de
calcul.
7) Le coût informationnel de la segmentation peut être très élevé. Il est ici ignoré, de sorte que le
profit du monopole est toujours croissant avec le nombre de segments retenus. En pratique, ce
sont bien les coûts associés à une analyse très fine de la demande et à la gestion d’un principe de
tarification complexe, pricing, qui vont limiter le nombre de segments effectivement retenu par le
monopole.
Exercices théoriques
Exercice 72 : Lerner et élasticité
.fr/
.free
6.2
Soit Q Mo la quantité produite et p Mo le prix unitaire pratiqué
par un monopole dont le coût marginal est strictement positif quelque soit le niveau de production.
1 – Montrez que l’indice de Lerner est toujours égal à moins l’inverse de l’élasticité prix de la
demande évaluée en p Mo .
2 – Montrez que la demande est élastique en p Mo .
Solution :
1) La condition du premier ordre du programme du monopole est :
Université François Rabelais| 29-01-2017
215/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Monopole
a
://p
http
dD −1 ( Q Mo ) Mo
Q + p Mo = Cm( Q Mo )
dQ
⇔ p Mo − Cm( Q Mo ) = −
⇔
dD −1 ( Q Mo ) Mo
Q
dQ
p Mo − Cm( Q Mo )
dD −1 ( Q Mo ) Q Mo
1
=
−
=−
Mo
Mo
Mo
dQ
p
p
dD( p ) p Mo
Q Mo
dp
⇒ IL =
1
p Mo − Cm( Q Mo )
= − D Mo .
Mo
p
E (p )
2) La demande est élastique si E D ( p Mo ) > 1. On a I L =
p Mo −Cm( Q Mo )
p Mo
< 1, puisque Cm( Q Mo ) > 0.
Donc − E D (1p Mo ) < 1 ⇒ E D ( p Mo ) > 1.
rd
fava
scal.
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
216/256
Chapitre 7
Équilibre de Nash
Sommaire
7.1
Exercices appliqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Élimination itérative des stratégies strictement dominées . . . . . . . . . . . . . . . 220
Équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Équilibres de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Équilibres de Nash : gains paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Ne pas parler de politique en famille ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Groville Vs Mufflins : guerre ou paix ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Tête à claque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Pierre-Feuille-Ciseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Jeux séquentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Jeu séquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Jeux séquentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.2
Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
Avant-propos : « La théorie des jeux d’un No- de faire émerger par un raisonnement convain-
bel à l’autre » Le Monde Économie 31/10/2005
cant celui qui serait optimal. Mais la perspective
dans laquelle le problème est discuté a beaucoup
John F. Nash, John C. Harsanyi et Reinhard changé. Il ne s’agit plus de trouver sa solution
Selten reçoivent le prix Nobel de sciences éco- technique, mais de comprendre comment il se
nomiques en 1994. En 2005, Robert J. Aumann pose aux joueurs, compte tenu de ce qu’ils savent
et Thomas C. Schelling sont récompensés à leur ou croient savoir de la situation dans laquelle ils
tour par le jury de Stockholm. Les onze années opèrent. Pour ce faire, les théoriciens des jeux
qui séparent ces deux dates fournissent l’occa- disposent aujourd’hui de trois approches diffésion de mesurer l’évolution récente de la théorie rentes, qu’ils peuvent adopter séparément ou
des jeux et la progression de sa pénétration dans simultanément. En premier lieu, l’expérimentales différentes branches de l’analyse économique. tion permet d’observer les comportements des
Dans les années 1990, l’effort des chercheurs por- individus lorsqu’ils sont placés dans des situatait en priorité sur l’approfondissement et l’ex- tions voisines de celles qui sont explorées par la
tension de ce que l’on appelle le « programme théorie. Comment les agents réagissent-ils lors-
rd
fava
scal.
de recherche de Nash ». De quoi s’agissait- il ? qu’il s’agit de partager un gain, d’allouer une
L’idée de Nash est d’aborder les situations co- perte ou de négocier selon une procédure de
opératives où les agents parviennent à une en- type « c’est à prendre ou à laisser » ? Les jeux
tente par une voie non coopérative, à travers expérimentaux ne sont pas nouveaux. L’un de
des modèles de négociation explicites, ou seule- leurs pionniers, Vernon Smith, a du reste reçu le
ment implicites. L’économie industrielle et l’éco- prix Nobel en 2002. Mais cette branche a connu
nomie internationale en offrent des illustrations au cours des dix dernières années une expansion
nombreuses et variées. Les principales difficultés très rapide et elle accompagne aujourd’hui une
rencontrées par les chercheurs dans cette direc- grande partie des recherches théoriques. Une
tion résident dans la multiplicité fréquente des deuxième voie consiste à dégager ce que les
positions d’équilibre. En termes économiques, joueurs doivent connaître sur le jeu lui- même
cela se traduit par des défauts de coordination et sur les connaissances des autres joueurs pour
entre les agents, qui s’observent sur les marchés aboutir aux solutions mises en évidence par la
aussi bien que dans les marchandages directs. théorie. Cette recherche a conduit Robert J. AuPour dépasser cet obstacle, ou tout au moins mann, Eddie Dekel, Adam Brandenburger et
.fr/
.free
le contourner, les théoriciens des jeux de cette quelques autres à se pencher sur ce que l’on
période suivaient deux voies. L’une consistait à appelle les systèmes de croyance des joueurs,
affiner la définition de l’équilibre, de manière à c’est-à-dire les croyances respectives que déveaccroître ses exigences ; elle a été notamment em- loppent les agents les uns envers les autres. C’est,
pruntée par MM. Selten et Aumann ; l’autre re- en effet, sur la base de ces croyances que les
cherchait des critères permettant de sélectionner agents arrêtent leur décision. Cette investigation
l’un des équilibres, elle a fait l’objet des travaux est conduite à un niveau logique, en lien avec
effectués en collaboration par MM. Harsanyi et les travaux d’informatique théorique et d’intelSelten. Les questions soulevées par la multipli- ligence artificielle. Elle est également conduite
cité des équilibres sont loin d’être résolues. Il à un niveau psychologique dans une perspec-
n’est pas encore aisé de prévoir aujourd’hui le- tive dynamique qualifiée parfois d’« évolutionquel prévaudra dans une situation donnée, ni
Université François Rabelais| 29-01-2017
218/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
niste ». Il s’agit alors de cerner les mécanismes vaux de M. Schelling et plus récemment ceux
d’apprentissage et de mimétisme, voire simple- de M. Aumann, récompensés aujourd’hui, sont
ment d’empathie, sur lesquels s’appuient les à l’origine de cette transformation. Ces travaux
joueurs lorsqu’ils construisent leurs croyances devraient permettre d’élucider les problèmes iniet qu’ils les révisent. Depuis peu de temps, une tialement posés par l’accessibilité des équilibres
troisième approche semble s’ouvrir, grâce aux et la coordination des joueurs autour d’un équi-
progrès réalisés par la neurologie cognitive, fa- libre déterminé. Ils éclairent également plusieurs
vorisée, notamment, par les techniques de l’ima- résultats d’apparence paradoxale. Ainsi, les décigerie cérébrale. Le projet de cette neuroécono- sions des individus s’éloignent parfois systémamie appliquée aux jeux vise à identifier les pro- tiquement des normes élémentaires de la ratiocessus neurophysiologiques qui guident le cer- nalité économique, en refusant, par exemple, un
veau des individus lorsqu’ils effectuent leurs gain possible au cours d’une négociation, ou l’exchoix dans des situations d’interactions. Elle re- ploitation maximale d’une position dominante à
quiert la collaboration d’économistes, comme l’occasion d’un partage. Pour mener à bien ces
Colin Camerer et Aldo Rustichini, et de neuro- programmes de recherche, les théoriciens des
rd
fava
scal.
physiologistes, comme Paul Glimcher et Peter jeux doivent collaborer étroitement avec les cherShizgal. Cette piste semble d’ores et déjà suffi- cheurs d’autres disciplines, comme la logique,
samment prometteuse pour avoir suscité, dans la psychologie et même la neurologie. Cette oule courant de cette année, la publication d’un verture des jeux conditionne aujourd’hui leur
très long article dans le Journal of Economic succès et, par voie de conséquence, leurs retomLitterature, et d’un numéro spécial de Games bées économiques.
Theory and Economic Behaviour, l’une des deux
plus grandes revues scientifiques de théorie des
jeux. Les trois perspectives qui ont été évoquées
convergent sur un point. Toutes contribuent à
« Poule mouillée ou chicken game » LesE-
chos.fr 15/12/2010
La théorie des jeux est une des branches de
expliquer comment les individus traitent les in- la science mathématique qui s’assigne pour suformations qu’ils détiennent sur eux-mêmes et jet d’étude le comportement humain en société,
sur les autres et comment ils les transforment en les interactions entre les membres de la société
connaissance, en vue d’arrêter leurs choix dans et les intérêts qui les guident. Elle a fait beaules situations d’interdépendance où ils opèrent coup pour la compréhension des mécanismes
ces choix. Une comple ?mentarité existe, du reste, boursiers et du comportement des acteurs. Dans
.fr/
.free
entre elles. Ainsi, on peut confronter les exi- cette théorie, les jeux se classent en deux catégogences cognitives requises par la théorie des ries : les jeux à somme nulle, les jeux à somme
jeux aux performances effectives des joueurs, non-nulle. Le plus célèbre des jeux à somme nontelles qu’elles sont révélées par les expériences. nulle est le « dilemme du Prisonnier ». Le jeu
De même, on peut espérer que l’imagerie céré- de la poule mouillée est une version de ce jeu,
brale et les progrès de nos connaissances sur le qui permet de comprendre bien des comportefonctionnement du cerveau permettront d’ex- ments économiques et leur traduction dans les
pliquer les processus conduisant les joueurs à méthodes qu’adoptent certains Etats pour négoétablir leurs choix. Ces modèles, à leur tour, per- cier ou gérer leurs relations avec les autres. Le
mettront d’enrichir la théorie des jeux. Les tra- principe est le suivant : deux automobilistes sont
sur une route à une seule voie roulant l’un vers
Université François Rabelais| 29-01-2017
219/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
l’autre. S’ils ne cessent pas de rouler, ils vont se c’est votre problème ». À ce moment, les Etatsrentrer dedans. Dans ce cas, ils ont tous les deux Unis ont fait comprendre à leurs partenaires écotout perdu. Mais ils peuvent aussi chercher à nomiques et alliés qu’ils ne s’occuperaient pas
s’éviter. Il suffit d’ailleurs qu’un seul d’entre eux de la tenue du dollar contre les autres monnaies.
décide de se mettre dans le fossé pour que les Ils suggéraient aux autres pays de le faire à leur
deux s’évitent un accident très grave. Mais on place pour éviter de très graves désordres. C’est
voit bien que dans ce cas, celui qui aura eu l’at- ce qu’ils ont fait, exactement comme le joueur
titude la plus désinvolte, sera aussi bénéficiaire américain désinvolte le prévoyait : ils se sont
que celui qui a pris l’initiative et assumé les coûts efforcés de maintenir leurs monnaies à l’intéet les risques d’une sortie de route. Ce type qui rieur d’une marge de fluctuation vis-à-vis du
sort de la route, c’est la « Poule Mouillée ». Il dollar, subissant ainsi les errements des polia eu la trouille et a cherché à s’esquiver. Ce- tiques budgétaire, économique voire militaire
lui qui est resté obstinément sur sa trajectoire, des Etats-Unis. Et comme il s’agissait de fidèles
c’est celui « qui en a... ». On dira que la coopéra- alliés, ils se sont finalement bien accommodés
tion des deux est profitable aux deux et surtout du système. Il faudra attendre pas mal d’années
rd
fava
scal.
que la non-coopération, la trahison de l’un est, avant qu’une monnaie « concurrente », l’Euro,
elle aussi, profitable aux deux ! On dira aussi, et émerge enfin. Les exemples de ces situations où
c’est là que le jeu de la Poule Mouillée prend celui qu’on qualifie d’« indélicat dominant » joue
tout son sens, que celui qui a choisi l’attitude sa partie sur le dos des autres, abondent dans la
de coopération peut tolérer, voire reconnaître vie sociale et dans la vie économique : les rapcomme légitime l’attitude « désinvolte », de non- ports entre copropriétaires pour le paiement de
coopération, de trahison diront les théoriciens, travaux d’intérêts communs, ceux entre fermiers
de son partenaire. Un bel exemple de ce jeu de la pour des questions d’accès à l’eau, pour entretePoule Mouillée peut être trouvé dans la célèbre nir des voies d’accès, des canaux d’irrigation etc.
affirmation d’un responsable des finances amé- en sont des illustrations classiques et à la portée
ricaines après que le dollar a été détaché de la de tous. Il n’est pas besoin d’avoir fait des études
référence Or : « le dollar est notre devise, mais de mathématiques très poussées.
Exercices appliqués
.fr/
.free
7.1
Exercice 73 : Élimination itérative des stratégies strictement dominées
gains :
Université François Rabelais| 29-01-2017
Soit la matrice de
220/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J
Joueur 1
Joueur 2
s
Gauche
Centre
Droite
Haut
(4,3)
(5,1)
(6,2)
Milieu
(2,1)
(8,4)
(3,6)
Bas
(3,0)
(9,6)
(2,8)
Tableau 7.1 : Matrice de gains : Jeu de mouvement simultané
1 – Y a-t-il des stratégies dominées ?
2 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies pures ?
Solution :
1) La stratégie Centre est strictement dominée par la stratégie Droite pour le joueur 2. Cette colonne
rd
fava
scal.
éliminée, les stratégies Milieu et Bas sont strictement dominées par la stratégie Haut pour le
joueur 1. Une fois ces deux lignes éliminées, la stratégie Droite est strictement dominée par la
stratégie Gauche.
J
J
Joueur 2
Joueur 1
s
Gauche
Centre
Droite
Haut
(4,3)
(5,1)
(6,2)
Milieu
(2,1)
(8,4)
(3,6)
Bas
(3,0)
(9,6)
(2,8)
⇒
Joueur 1
Joueur 2
s
Gauche
Centre
Droite
Haut
(4,3)
(5,1)
(6,2)
Milieu
(2,1)
(8,4)
(3,6)
Bas
(3,0)
(9,6)
(2,8)
Tableau 7.2 : Matrice de gains : Jeu de mouvement simultané
2) L’équilibre de Nash en stratégies pures après élimination itérative des stratégies strictement
dominées est : ENSP = ( Haut, Gauche).
Exercice 74 : Équilibres de Nash
Voici une matrice de gains associée à un jeu simultané avec
deux joueurs et deux stratégies par joueur :
J1
J2
s
s21
s22
s11
(1,4)
(0,2)
s12
(1,2)
(0,4)
.fr/
.free
J
Tableau 7.3 : Matrice de gains
Répondez aux questions suivantes en justifiant vos réponses :
Université François Rabelais| 29-01-2017
221/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
1 – Y a-t-il des stratégies strictement dominées ? Y a-t-il des stratégies faiblement dominées ?
2 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures.
3 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes, avec α (resp. β) la probabilité que
J1 (resp. J2 ) joue s11 (resp. s21 ). Tracez les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la
stratégie de J1 .
4 – Déterminez les optima de Pareto parmi les équilibres de Nash.
Solution :
1) Il n’y a pas de stratégie dominée. En revanche, les deux stratégies sont équivalentes pour le joueur 1.
Lorsque que le joueur 2 joue sa première stratégie, le joueur 1 est indifférent entre sa première et sa
seconde stratégie puisque toutes les deux lui font gagner 1. Lorsque le joueur 2 joue sa seconde
stratégie, le joueur 1 est indifférent entre sa première et sa seconde stratégie puisque toutes les deux
ne lui font rien gagner ni rien perdre. Lorsque le joueur 1 joue sa première stratégie, le joueur 2
doit jouer sa première stratégie puisque 4 > 2. Lorsque le joueur 1 joue sa seconde stratégie, le
joueur 2 doit jouer sa seconde stratégie puisque 4 > 2.
J1
rd
fava
scal.
J
J2
J
s
s21
s22
s11
(1,4)
(0,2)
s12
(1,2)
(0,4)
⇒
J1
J2
s
s21
s22
s11
(1,4)
(0,2)
s12
(1,2)
(0,4)
Tableau 7.4 : Matrice de gains
2) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP = {(s11 , s21 ); (s12 , s22 )}
3) Calculons l’espérance de gains du joueur 1 en stratégies mixtes 1 :
E J1 ( Gains) = α[1β + 0(1 − β)] + (1 − α)[1β + 0(1 − β)]
⇒ E J1 ( Gains) = α[ β] + (1 − α)[ β] = β
.fr/
.free
Cette espérance est indépendante d’α. Ce qui implique donc que tout α ∈ (0, 1) maximise l’espérance de gain du joueur 1. Calculons l’espérance de gains du joueur 2 en stratégies mixtes :
E J2 ( Gains) = β[4α + 2(1 − α)] + (1 − β)[2α + 4(1 − α)]
⇒ E J2 ( Gains) = β[2α + 2] + (1 − β)[4 − 2α] = β[4α − 2] + 4 − 2α
Si α est plus petit (resp. grand) que
1
2
alors l’espérance de gain du joueur 2 est décroissante
(resp. croissante) en β. Le joueur 2 doit donc jouer sa seconde (resp. première) stratégie avec une
1. Pour que les corrections soient le plus claires possible, on ne considèrera que les stratégies mixtes non-dégénérées.
On notera EN = ENSP
S
ENSM .
Université François Rabelais| 29-01-2017
222/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
probabilité égale à un. Ce qui nous donne la correspondance de meilleure réponse suivante :

0,
si α < 12







∗
β (α) =
∈ [0, 1], si α = 12







1,
si α > 12
Il y a donc un continuum d’équilibres de Nash en stratégies mixtes. Ils sont de la forme :
ENSM = {α ∈ (0, 1)|(α, 1 − α), ( β∗ (α), 1 − β∗ (α))} .
Notons qu’en ces équilibres : E J1 ( Gains) ≤ 1 et E J2 ( Gains) < 4, ils ne sont donc pas optimaux.
β
β
6
6
rd
fava
scal.
β∗ (α)
s21 1
ts
s21 1
OP
α∗ ( β)
EN
s22 O
s12
1
2
1
s11
-
α
s22 O t
s12
1
2
1
s11
-
α
Figure 7.1 : EN & OP
4) Seul le premier équilibre de Nash en stratégies pures est un optimum de Pareto : OP = (s11 , s21 ).
.fr/
.free
Exercice 75 : Équilibres de Nash
Voici une matrice de gains associée à un jeu simultané avec
deux joueurs et deux stratégies par joueur :
J
J1
J2
s
s21
s22
s11
(0,0)
(4,1)
s12
(1,4)
(0,0)
Tableau 7.5 : Matrice de gains
Université François Rabelais| 29-01-2017
223/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
Répondez aux questions suivantes en justifiant vos réponses :
1 – Y a-t-il des stratégies strictement dominées ? Y a-t-il des stratégies faiblement dominées ?
2 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures.
3 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes, avec α (resp. β) la probabilité que
J1 (resp. J2 ) joue s11 (resp. s21 ). Tracez les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la
stratégie de J1 .
4 – Déterminez les optima de Pareto parmi les équilibres de Nash.
Solution :
1) Il n’y a pas de stratégie dominée. Lorsque que le joueur 2 joue sa première stratégie, le joueur 1 doit
jouer sa seconde stratégie puisque 1 > 0. Lorsque le joueur 2 joue sa seconde stratégie, le joueur 1
doit jouer sa première stratégie puisque 4 > 0. Lorsque le joueur 1 joue sa première stratégie, le
joueur 2 doit jouer sa seconde stratégie puisque 1 > 0. Lorsque le joueur 1 joue sa seconde stratégie,
le joueur 2 doit jouer sa première stratégie puisque 4 > 0.
J1
J2
J
J2
rd
fava
scal.
J
s
s21
s22
s11
(0,0)
(4,1)
s12
(1,4)
(0,0)
⇒
J1
s
s21
s22
s11
(0,0)
(4,1)
s12
(1,4)
(0,0)
Tableau 7.6 : Matrice de gains
2) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures :
ENSP = {(s11 , s22 ); (s12 , s21 )} .
3) Calculons l’espérance de gains du joueur 1 en stratégies mixtes :
E J1 ( Gains) = α[0β + 4(1 − β)] + (1 − α)[1β + 0(1 − β)]
⇒ E J1 ( Gains) = 4α − 5αβ + β = α[4 − 5β] + β
Si β est plus petit (resp. grand) que
4
5
alors l’espérance de gain du joueur 1 est croissante (resp.
.fr/
.free
décroissante) en α. Le joueur 1 doit donc jouer sa première (resp. seconde) stratégie avec une
probabilité égale à un. Ce qui nous donne la correspondance de meilleure réponse suivante :

1,
si β < 54







∗
α ( β) =
∈ [0, 1], si β = 45







0,
si β > 45
Calculons l’espérance de gains du joueur 2 en stratégies mixtes :
E J2 ( Gains) = β[0α + 4(1 − α)] + (1 − β)[1α + 0(1 − α)]
Université François Rabelais| 29-01-2017
224/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
⇒ E J2 ( Gains) = 4β − 4αβ + α − βα = β[4 − 5α] + α
Si α est plus petit (resp. grand) que
4
5
alors l’espérance de gain du joueur 2 est croissante (resp.
décroissante) en β. Le joueur 2 doit donc jouer sa première (resp. seconde) stratégie avec une
probabilité égale à un. Ce qui nous donne la correspondance de meilleure réponse suivante :

1,
si α < 45







∗
β (α) =
∈ [0, 1], si α = 45







0,
si α > 45
n
o
4 1
4 1
Il y a donc un équilibre de Nash en stratégie mixte : ENSM = ( 5 , 5 ), ( 5 , 5 ) . Cet équilibre n’est
pas un optima puisque E J2 ( Gains) = E J1 ( Gains) =
4
5
< 1 < 4.
β
6
1s
rd
fava
scal.
s21
β∗ (α)
s
4
5
α∗ ( β)
OP
EN
s22
O
s12
4
5
s
-
1
s11
α
Figure 7.2 : EN & OP
4) Les deux équilibres de Nash en stratégies pures, sont aussi les deux optima de Pareto : OP =
{(s11 , s22 ); (s12 , s21 )}
.fr/
.free
Exercice 76 : Équilibres de Nash
Voici une matrice de gains associée à un jeu simultané avec
deux joueurs et deux stratégies par joueur :
J
J1
J2
s
s21
s22
s11
(4,4)
(0,0)
s12
(4,1)
(4,0)
Tableau 7.7 : Matrice de gains
Université François Rabelais| 29-01-2017
225/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
Répondez aux questions suivantes en justifiant vos réponses :
1 – Y a-t-il des stratégies strictement dominées ? Y a-t-il des stratégies faiblement dominées ?
2 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures.
3 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes, avec α (resp. β) la probabilité que
J1 (resp. J2 ) joue s11 (resp. s21 ). Tracez les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la
stratégie de J1 .
4 – Déterminez les optima de Pareto parmi les équilibres de Nash.
Solution :
1) Il y a une stratégie strictement dominée pour le joueur 2, s22 et pour le joueur 1 la stratégie s11 est
faiblement dominée. Le joueur 2 ne jouera donc jamais sa seconde stratégie.
J
J
J2
rd
fava
scal.
J1
J2
s
s21
s22
s11
(4,4)
(0,0)
s12
(4,1)
(4,0)
⇒
J1
s
s21
s22
s11
(4,4)
(0,0)
s12
(4,1)
(4,0)
Tableau 7.8 : Matrice de gains
2) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures. Le joueur 1 étant indifférent entre jouer sa première ou sa seconde stratégie, celles-ci lui procurant le même gain, 4 : ENSP = {(s11 , s21 ); (s12 , s21 )} .
3) Calculons l’espérance de gains du joueur 1 en stratégies mixtes :
E J1 ( Gains) = α[4] + (1 − α)[4]
.fr/
.free
⇒ E J1 ( Gains) = 4
Fort logiquement cette espérance est indépendante d’α. Ce qui implique donc que tout α ∈ (0, 1)
maximise l’espérance de gain du joueur 1. Il y a donc un continuum d’équilibres de Nash en
stratégies mixtes. Le joueur 2 ne jouera jamais en stratégie mixte (β = 1) :
ENSM = {α ∈ (0, 1)|((α, 1 − α); (1, 0))} .
Comme α 6= 1, aucun de ces équilibres n’est un optimum de Pareto, puisque E J2 ( Gains) < 4.
Université François Rabelais| 29-01-2017
226/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
β
6
s21
s22
1s
s
β∗ (α)
α∗ ( β)
OP
EN
O
s12
-
1
s11
α
Figure 7.3 : EN & OP
rd
fava
scal.
4) Le seul optimum de Pareto est : OP = (s11 , s21 ).
Exercice 77 : Équilibres de Nash
Voici une matrice de gains associée à un jeu simultané avec
deux joueurs et deux stratégies par joueur :
J
J1
J2
s
s21
s22
s11
(0,1)
(2,2)
s12
(1,4)
(1,4)
Tableau 7.9 : Matrice de gains
Répondez aux questions suivantes en justifiant vos réponses :
1 – Y a-t-il des stratégies strictement dominées ? Y a-t-il des stratégies faiblement dominées ?
.fr/
.free
2 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures.
3 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes, avec α (resp. β) la probabilité que
J1 (resp. J2 ) joue s11 (resp. s21 ). Tracez les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la
stratégie de J1 .
4 – Déterminez les optima de Pareto parmi les équilibres de Nash.
Solution :
1) Il n’y a pas de stratégie strictement dominée. En revanche la stratégie s21 est faiblement dominée
par s22 . Lorsque que le joueur 2 joue sa première stratégie, le joueur 1 doit jouer sa seconde stratégie
puisque 1 > 0. Lorsque le joueur 2 joue sa seconde stratégie, le joueur 1 doit jouer sa première
stratégie puisque 2 > 1. Lorsque le joueur 1 joue sa première stratégie, le joueur 2 doit jouer sa
Université François Rabelais| 29-01-2017
227/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
seconde stratégie puisque 2 > 1. Lorsque le joueur 1 joue sa seconde stratégie, le joueur 2 est
indifférent entre sa première et sa seconde stratégie puisqu’il obtient le même gain, 4.
J
J1
J2
s
s21
s22
s11
(0,1)
(2,2)
s12
(1,4)
(1,4)
J
J2
⇒
J1
s
s21
s22
s11
(0,1)
(2,2)
s12
(1,4)
(1,4)
Tableau 7.10 : Matrice de gains
2) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP = {(s11 , s22 ); (s12 , s21 )}.
3) Calculons l’espérance de gains du joueur 1 en stratégies mixtes :
rd
fava
scal.
E J1 ( Gains) = α[0β + 2(1 − β)] + (1 − α)[1β + 1(1 − β)]
⇒ E J1 ( Gains) = α[2 − 2β] + (1 − α)[1] = α[1 − 2β] + 1
Si β est plus petit (resp. grand) que
1
2
alors l’espérance de gain du joueur 1 est croissante (resp.
décroissante) en α. Le joueur 1 doit donc jouer sa première (resp. seconde) stratégie avec une
probabilité égale à un. Ce qui nous donne la correspondance de meilleure réponse suivante :

1,
si β <







∗
α ( β) =
∈ [0, 1], si β =







0,
si β >
1
2
1
2
1
2
.fr/
.free
Calculons l’espérance de gains du joueur 2 en stratégies mixtes :
E J2 ( Gains) = β[1α + 4(1 − α)] + (1 − β)[2α + 4(1 − α)]
⇒ E J2 ( Gains) = β[4 − 3α] + (1 − β)[4 − 2α] = −αβ + 4 − 2α
L’espérance de gain du joueur 2 est décroissante en β si α 6= 0. Le joueur 2 doit donc jouer sa seconde
stratégie avec une probabilité égale à un. Ce qui implique β = 0. Si α = 0 alors β quelconque
(i.e.β ∈ (0, 1)). Il y a donc un continuum d’équilibres de Nashnen stratégies mixtes et ce sont
o des
optima puisque E J1 ( Gains) = 1 et E J2 ( Gains) = 4 : ENSM =
Université François Rabelais| 29-01-2017
β ∈ [ 12 , 1)|((0, 1); ( β, 1 − β)) .
228/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
β
6
s21
1 s
β∗ (α)
α∗ ( β)
OP
EN
1 s
2
s22
s
O
s12
-
1
s11
α
Figure 7.4 : EN & OP
rd
fava
scal.
n
n
[ 12 , 1]|((0, 1); ( β, 1 −
(s11 , s22 ); β ∈
que (s12 , s22 ) est un optimum mais n’est pas un équilibre de Nash.
4) Il y a une infinité d’optima de Pareto : OP =
Exercice 78 : Équilibres de Nash
β))
oo
. Notons
Voici une matrice de gains associée à un jeu simultané avec
deux joueurs et deux stratégies par joueur :
J
J1
J2
s
s21
s22
s11
(1,−1)
(3,0)
s12
(4,2)
(0,−1)
Tableau 7.11 : Matrice de gains
Répondez aux questions suivantes en justifiant vos réponses :
2 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures.
.fr/
.free
1 – Y a-t-il des stratégies strictement dominées ? Y a-t-il des stratégies faiblement dominées ?
3 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes, avec α (resp. β) la probabilité que
J1 (resp. J2 ) joue s11 (resp. s21 ). Tracez les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la
stratégie de J1 .
4 – Déterminez les optima de Pareto parmi les équilibres de Nash.
Solution :
1) Il n’y a pas de stratégie dominée. Lorsque que le joueur 2 joue sa première stratégie, le joueur 1 doit
jouer sa seconde stratégie puisque 4 > 1. Lorsque le joueur 2 joue sa seconde stratégie, le joueur 1
doit jouer sa première stratégie puisque 3 > 0. Lorsque le joueur 1 joue sa première stratégie,
Université François Rabelais| 29-01-2017
229/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
le joueur 2 doit jouer sa seconde stratégie puisque 0 > −1. Lorsque le joueur 1 joue sa seconde
stratégie, le joueur 2 doit jouer sa première stratégie puisque 2 > −1.
J
J1
J2
s
s21
s22
s11
(1,−1)
(3,0)
s12
(4,2)
(0,−1)
J
⇒
J1
J2
s
s21
s22
s11
(1,−1)
(3,0)
s12
(4,2)
(0,−1)
Tableau 7.12 : Matrice de gains
2) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP = {(s11 , s22 ); (s12 , s21 )}.
3) Calculons l’espérance de gains du joueur 1 en stratégies mixtes :
E J1 ( Gains) = α[1β + 3(1 − β)] + (1 − α)[4β + 0(1 − β)]
rd
fava
scal.
⇒ E J1 ( Gains) = α[3 − 2β] + (1 − α)[4β] = 3α[1 − 2β] + 4β
Si β est plus petit (resp. grand) que
1
2
alors l’espérance de gain du joueur 1 est croissante (resp.
décroissante) en α. Le joueur 1 doit donc jouer sa première (resp. seconde) stratégie avec une
probabilité égale à un. Ce qui nous donne la correspondance de meilleure réponse suivante :

1,
si β <







∗
α ( β) =
∈ [0, 1], si β =







0,
si β >
1
2
1
2
1
2
Calculons l’espérance de gains du joueur 2 en stratégies mixtes :
E J2 ( Gains) = β[−1α + 2(1 − α)] + (1 − β)[0α − 1(1 − α)]
⇒ E J2 ( Gains) = β[2 − 3α] + (1 − β)[−1 + α] = β[3 − 4α] + α − 1
Si α est plus petit (resp. grand) que
3
4
alors l’espérance de gain du joueur 2 est croissante (resp.
.fr/
.free
décroissante) en β. Le joueur 2 doit donc jouer sa première (resp. seconde) stratégie avec une
probabilité égale à un. Ce qui nous donne la correspondance de meilleure réponse suivante :
β∗ (α) =
si α <
3
4
∈ [0, 1], si α =
3
4
si α >
3
4

1,














0,
Il y a donc un équilibre de Nash en stratégie mixte : ENSM =
n
o
( 34 , 14 ); ( 12 , 21 ) . Ce n’est pas un
optimum puisque E J1 ( Gains) = 2 < 4 et E J2 ( Gains) = − 14 < 2.
Université François Rabelais| 29-01-2017
230/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
β
6
s21
s22
1 s
β∗ (α)
α∗ ( β)
1
2
s
O
s12
3
4
OP
EN
s
-
1
s11
α
Figure 7.5 : EN & OP
rd
fava
scal.
4) Un seul équilibre de Nash est un optimum de Pareto : OP = (s12 , s21 ).
Soit un jeu simultané avec deux joueurs
Exercice 79 : Équilibres de Nash : gains paramétriques
et deux stratégies par joueur, la matrice de gains associée à ce jeu est la suivante :
J
J2
s
s11
s21
k k
2, 2
s22
J1
s12
(1,0)
(0,1)
1 1
2, 2
Tableau 7.13 : Matrice de gains
.fr/
.free
En fonction des valeurs de k, k ∈ R, répondez aux questions suivantes en justifiant vos
réponses :
1 – Y a-t-il des stratégies strictement dominées ?
2 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures.
3 – Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes, avec α (resp. β) la probabilité que J1
(resp. J2 ) joue s11 (resp. s21 ).
4 – Tracez les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la stratégie de J1 .
5 – Pour quelle(s) valeur(s) de k ce jeu est du type « Dilemme du prisonnier » ? Pourquoi ?
Solution :
Université François Rabelais| 29-01-2017
231/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
1) Oui. Si k < 2, la première stratégie des deux joueurs est strictement dominée par la seconde
k
2
< 1 et comme 0 < 12 , si1 est dominée par si2 pour i = 1, 2.
2) Notons tout d’abord que ∀k ∈ R, (s12 , s22 ) est un équilibre de Nash et ((s12 , s21 ); (s11 , s22 )) n’en sont
pas. La seule question est donc de trouver les valeurs de k telles que (s11 , s21 ) soit un équilibre de
Nash. Pour que cela soit un équilibre de Nash il faut qu’aucune déviation unilatérale soit profitable
à celui qui la fait. (s11 , s21 ) est donc un équilibre de Nash si k ≥ 2 :

(s , s ) si k < 2,
22
12
ENSP =
 {(s , s ); (s , s )} sinon .
stratégie. En effet, dans ce cas on a
12
22
11
21
3) Considérons les différentes valeurs de k.
i. Si k < 2 il n’y pas d’équilibre de Nash en stratégies mixtes non dégénérées, la première stratégie
pour chacun des deux joueurs étant dominée.
ENSM = ∅, k < 2.
ii. Si k ≥ 2 alors il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures. Pour déterminer les équilibres en
rd
fava
scal.
stratégies mixtes il faut calculer les espérances de gains des deux joueurs.
Calculons l’espérance de gains du joueur 1 en stratégies mixtes :
E J1 ( Gains) = α[
βk
1
+ 0(1 − β)] + (1 − α)[1β + (1 − β)]
2
2
α [ β ( k − 1) − 1] β + 1
+
2
2
Cette espérance est croissante en α si β(k − 1) − 1 > 0, donc si β >
⇒ E J1 ( Gains) =
correspondance de meilleure réponse suivante :

0,
si β <







∗
α ( β) =
∈ [0, 1], si β =







1,
si β >
1
k −1 .
Ce qui nous donne la
1
k −1
1
k −1
(7.1)
1
k −1
Calculons l’espérance de gains du joueur 2 en stratégies mixtes :
αk
1
+ 0(1 − α)] + (1 − β)[1α + (1 − α)]
2
2
.fr/
.free
E J2 ( Gains) = β[
β [ α ( k − 1) − 1] α + 1
+
2
2
Cette espérance est croissante en β si α(k − 1) − 1 > 0, donc si α >
⇒ E J2 ( Gains) =
correspondance de meilleure réponse suivante :

0,
si α <







∗
β (α) =
∈ [0, 1], si α =







1,
si α >
Université François Rabelais| 29-01-2017
1
k −1 .
Ce qui nous donne la
1
k −1
1
k −1
(7.2)
1
k −1
232/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
Il y a donc un équilibre de Nash en stratégies mixtes :
1
1
1
1
ENSM = (
,1−
); (
,1−
) , k ≥ 2.
k−1
k−1 k−1
k−1

∅ si k < 2,
o
On a donc : ENSM = n
 ( 1 , k−2 ); ( 1 , k−2 ) sinon .
k −1 k −1
k −1 k −1
4) En utilisant (7.1) et (7.2), on peut tracer les courbes de meilleures réponses avec en abscisse la
stratégie de J1 .
β
6
Cas 1 : k ≥ 2
s22 O s
s12
s
1
k −1
Cas 2 : k < 2
6
rd
fava
scal.
s
s21 1
1
k −1
β
β∗ (α)
β∗ (α)
s21 1
α∗ ( β)
α∗ ( β)
EN
EN
1
s11
-
α
s22 O s
s12
1
s11
-
α
Figure 7.6 : EN
5) La caractéristique d’un jeu de type « dilemme du prisonnier » est que l’équilibre de Nash du jeu
considéré n’est pas un optimum de Pareto. Si k ≥ 2 un des équilibres de Nash est (s11 , s21 ) c’est
n’est pas un optimum si k ∈ (1, 2) puisque
k
2
∈
1
2, 1
.fr/
.free
aussi un optimum. Si k < 2 l’équilibre de Nash est
(s12, s22 ) c’est aussi un optimum si k ≤ 1 mais ce
. La réponse est donc : k ∈ (1, 2).
Exercice 80 : Ne pas parler de politique en famille !
Si Casimir va à gauche, Sidonie et lui
gagnent un point. S’il va à droite et Sidonie à gauche, ils perdent tous les deux un point. Dans le
dernier cas Casimir gagne deux points et Sidonie rien.
1 – Écrivez ce jeu sous forme normale.
2 – Y a-t-il des stratégies dominées ?
3 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies pures ?
4 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes (Dessinez les fonctions de meilleure réponse
des deux joueurs) ?
Université François Rabelais| 29-01-2017
233/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
Solution :
1) C’est un jeu simultané à deux joueurs, Casimir et Sidonie. Ils ont le même espace de stratégies
(Droite, Gauche).
J
Casimir
Sidonie
s
Droite
Gauche
Droite
(2,0)
(−1,−1)
Gauche
(1,1)
(1,1)
rd
fava
scal.
Tableau 7.14 : Matrice de gains : Jeu de mouvement
2) Il n’y a pas de stratégie strictement dominée. Aller à gauche pour Sidonie est faiblement dominé,
en terme de gains, par aller à droite.
1 = ( Droite, Droite ) et EN 2 = ( Gauche, Gauche ).
3) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP
SP
2 , si Casimir dévie, son gain passe de 1 à −1 et si Sidonie dévie, son gain reste le même. Il
En ENSP
1 ).
n’y a donc pas d’incitation à dévier (idem en ENSP
4) Soit q (resp. r) la probabilité que Casimir (resp. Sidonie) aille à droite. L’espérance de gains de
Casimir est :
ECasimir ( Gains) = q(2r − (1 − r )) + (1 − q)(r + (1 − r )) = q(3r − 2) + 1.
.fr/
.free
Cette espérance est croissante (↓) en q si r > 32 (r < 23 ). L’espérance de gains de Sidonie est :
ESidonie ( Gains) = r (1 − q) + (1 − r )(−q + (1 − q)) = rq + 1 − 2q
Cette espérance est croissante r si q 6= 0 donc r ∗ = 1 si q 6= 0 et r ∈ [0, 1] sinon.
Université François Rabelais| 29-01-2017
234/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
r
6
r ∗ (q)
Droite
1
1
tENSP
q ∗ (r )
2
3
2
ENSP
Gauche
rd
fava
scal.
t
Gauche
1
Droite
-
q
Figure 7.7 : Meilleures réponses : Jeu de mouvement
Il y a une infinité d’équilibres de Nash en stratégies mixtes non-dégénérées :
2
ENSM = ∀k ∈ (0, ]| ((0, 1); (k, 1 − k )) .
3
Exercice 81 : Groville Vs Mufflins : guerre ou paix ?
Les deux grandes villes de la Présipauté
de Groland, Groville et Mufflins, ont des relations conflictuelles. Elles doivent faire séparément le
choix de la paix ou de la guerre. Si la paix est choisie par les deux villes, le gain est de quatre pour
chacune d’elles, si c’est la guerre, le gain est de deux. Si les choix sont discordants, la ville ayant
choisit la guerre obtient six, l’autre n’obtenant rien.
1 – Décrivez l’ensemble des joueurs et leur ensemble de stratégies.
2 – Est-ce un jeu simultané ?
4 – Y a-t-il des stratégies dominées ?
5 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies pures ?
.fr/
.free
3 – Écrivez ce jeu sous forme normale.
6 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes (Dessinez les fonctions de meilleure réponse
des deux joueurs) ?
7 – Y a-t-il un optimum de Pareto ?
Solution :
1) Il y a deux joueurs : Groville (J1 ) et Mufflins (J2 ) et deux stratégies par joueur Si = { Guerre, Paix }
pour i = 1, 2.
2) C’est un jeu simultané puisque chaque joueur fait son choix sans savoir ce que joue l’autre joueur.
Université François Rabelais| 29-01-2017
235/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
3) Jeu sous forme normale.
J
Groville
Mufflins
s
Guerre
Paix
Guerre
(2,2)
(6,0)
Paix
(0,6)
(4,4)
Tableau 7.15 : Matrice de gains : Guerre ou Paix ?
4) La stratégie Paix est strictement dominée pour les deux joueurs.
rd
fava
scal.
5) Il y a un seul équilibre de Nash en stratégies pures puisqu’il reste un seul équilibre après élimination
itérative des stratégies strictement dominées : ENSP = ( Guerre, Guerre).
6) Il ne peut pas y avoir un équilibre en stratégie mixte puisqu’il n’y a qu’une stratégie pure non
dominée pour les deux joueurs. Il ne peut pas être rationnel de mettre un poids positif sur une
stratégie dominée. Preuve : Soit q (resp. r) la probabilité que Groville (resp. Mufflins) fasse la
guerre. EGroville ( Gains) = q(2r + 6(1 − r )) + (1 − q)(4(1 − r )) = 2q − 4r + 4. Cette espérance est
croissante en q donc q∗ = 1. E Mu f f lins ( Gains) = r (2q + 6(1 − q)) + (1 − r )(4(1 − q)) = 2r − 4q + 4.
Cette espérance est croissante en r donc r ∗ = 1.
7) Il y a trois optima de Pareto. En fait, seul l’équilibre de Nash n’est pas un optimum de Pareto. Ce
jeu est du type « Dilemme du prisonnier ». L’optimum ( Paix, Paix ) permet d’obtenir la somme des
gains la plus grande.
Exercice 82 : Tête à claque
Casimir et Sidonie se mettent face à face avec à côté d’eux un
minuteur qui sonnera dans une minute. A la sonnerie, simultanément, ils peuvent se gifler aussi
fort qu’ils veulent puisque le jeu n’est pas répété. Si un des deux s’enfuit avant la sonnerie, son
gain est nul et l’autre obtient quatre. S’ils s’enfuient exactement en même temps, ils gagnent deux
1 – Écrivez ce jeu sous forme normale.
.fr/
.free
et s’ils se giflent, ils perdent deux.
2 – Y a-t-il des stratégies dominées et des optima de Pareto ?
3 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies pures ?
4 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes (Dessinez les fonctions de meilleure réponse
des deux joueurs) ?
Solution :
1) Chacun des deux joueurs a deux stratégies : s’enfuir ou rester.
Université François Rabelais| 29-01-2017
236/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J
Casimir
Sidonie
s
Fuit
Reste
Fuit
(2,2)
(0,4)
Reste
(4,0)
(−2,−2)
Tableau 7.16 : Matrice de gains : Courage fuyons
2) Il n’y a pas stratégie strictement dominée. Les trois optima de Pareto sont :
OP = {( Fuit, Fuit); ( Fuit, Reste); ( Reste, Fuit)} .
1 ; EN 2
3) Il y a deux équilibres de Nash : ENSP = ENSP
SP
= {( Fuit, Reste); ( Reste, Fuit)}.
4) Soit q (r) la probabilité que Casimir (Sidonie) fuit.
rd
fava
scal.
ECasimir ( Gains) = q(2r − 0(1 − r )) + (1 − q)(4r − 2(1 − r )) = q(2 − 4r ) + 6r − 2
Cette espérance est croissante (↓) en q si r < 12 (r > 12 ).
ESidonie ( Gains) = r (2q + 0(1 − q)) + (1 − r )(4q − 2(1 − q)) = r (2 − 4q) + 6q − 2
1
1
Cette espérance est croissante (↓) en
n r si q < 2 (qo > 2 ). Il y a un équilibre de Nash en stratégies
mixtes non-dégénérées : ENSM = ( 21 , 12 ); ( 21 , 12 ) .
r
6
Reste
1r
1
ENSP
r ∗ (q)
r ENSM
1
2
q ∗ (r )
Fuit
1
2
r
2
ENSP
1
Reste
.fr/
.free
Fuit
-
q
Figure 7.8 : Meilleures réponses : Courage fuyons
Exercice 83 : Pierre-Feuille-Ciseaux
Casimir et Sidonie jouent à « Pierre-Feuille-Ciseaux », le
gagnant obtient deux points et le perdant rien. Les points sont partagés en cas d’égalité.
1 – Décrivez l’ensemble des joueurs et leur ensemble de stratégies.
2 – Est-ce un jeu simultané ?
Université François Rabelais| 29-01-2017
237/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
3 – Écrivez ce jeu sous forme normale.
4 – Y a-t-il des stratégies dominées ?
5 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies pures ?
6 – Y a-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes (Dessinez les fonctions de meilleure réponse
des deux joueurs) ?
Solution :
1) Chacun des deux joueurs a le choix entre trois stratégies : Pierre, Feuille et Ciseaux.
2) Oui, c’est un jeu simultané.
3) Jeu sous forme normale :
J
Casimir
Sidonie
Pierre
Feuille
Ciseaux
Pierre
(1,1)
(0,2)
(2,0)
Feuille
(2,0)
(1,1)
(0,2)
Ciseaux
(0,2)
(2,0)
(1,1)
rd
fava
scal.
s
Tableau 7.17 : Matrice de gains : Pierre-Feuille-Ciseaux
4) Il n’y pas de stratégie dominée. Toutes les possibilités sont des optima.
5) Non, il n’y pas d’équilibre de Nash en stratégies pures.
6) Soit q1 et q2 (resp. r1 et r2 ) la probabilité que Casimir (resp. Sidonie) joue Pierre et celle qu’il
(resp. elle) joue Feuille. ECasimir ( Gains) = q1 (r1 + 0r2 + 2(1 − r1 − r2 )) + q2 (2r1 + 1r2 + 0(1 − r1 −
r2 )) + (1 − q1 − q2 )(0r1 + 2r2 + 1(1 − r1 − r2 )) = q1 (r1 + 2(1 − r1 − r2 )) + q2 (2r1 + r2 ) + (1 − q1 −
q2 )(2r2 + 1 − r1 − r2 ) = q1 (1 − 3r2 )) + q2 (3r1 − 1) + (1 − r1 + r2 ). Donc l’espérance est croissante
(↓) en q1 si r2 < 31 (r2 > 13 ) et croissante (↓) en q2 si r1 >
1
3
(r1 < 13 ).
ESidonie ( Gains) = r1 (1 − 3q2 ) + r2 (3q1 − 1) + (1 − q1 + q2 )
Donc l’espérance est croissante (↓) en r1 si q2 < 13 (q2 > 13 ) et croissante (↓) en r2 si q1 >
On a donc :
1
3
(q1 < 13 ).
.fr/
.free
1 1 1 1 1 1
ENSM = {( , , ), ( , , )}.
3 3 3 3 3 3
Exercice 84 : Jeux séquentiels
Sur un marché monopolistique il y a un entrant potentiel. Si
l’entrée a lieu, l’entreprise historique peut « punir » l’entrant, dans ce cas les deux entreprises font
une perte de −1 ; ou ne rien faire, dans ce cas l’entrant gagne 1 et la firme en place ne gagne rien.
S’il n’y a pas entrée alors le monopole fait un profit de 5. Il n’y a pas de coût fixe pour l’entrant.
1 – Donnez le jeu sous forme extensive.
2 – Donnez le jeu sous forme normale .
3 – Quels sont les équilibres de Nash de ce jeu.
Université François Rabelais| 29-01-2017
238/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
4 – Déterminez les EPSJ.
Le monopole a maintenant la possibilité d’augmenter sa capacité de production avant que le jeu
précédent soit joué. Cette possibilité a un coût fixe de 3. Si cette capacité est utilisée pour « punir »
l’entrant, la recette additionnelle générée est de 3, sinon la recette additionnelle est nulle.
5 – Donnez le nouveau jeu sous forme extensive.
6 – Déterminez les EPSJ.
7 – Comparez les résultats.
Solution :
1) Il faut dessiner l’arbre du jeu :
E
Entrer
Entrer
rd
fava
scal.
0
5
H
Punir
Punir
−1
−1
1
0
Figure 7.9 : Arbre de jeu : Si tu rentres je te...
2) Sous forme matricielle :
J
Historique
Entrant
s
Punir
Punir
Entrer
(1,0)
(-1,-1)
Entrer
(0,5)
(0,5)
.fr/
.free
Tableau 7.18 : Matrice de gains : Si tu rentres je te...
3) Il y a deux équilibres de Nash en stratégies pures :
ENSP = {( Entre, Punir ); ( Entre, Punir )}
4) Il y a un seul sous-jeu propre. La firme en place dans ce sous-jeu choisit de ne pas punir l’entrée
puisqu’elle préfère ne rien gagner que perdre un.
EPSJ = ( Entre, Punir ),
l’EN, ( Entre, Punir ), est éliminé.
Université François Rabelais| 29-01-2017
239/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
5) Il faut dessiner l’arbre du jeu :
H
CP
CP
E11
Entrer
Entrer
5
0
Ω1
E12
H21
Ω3 Punir
2
0
Ω2
H22
Punir
rd
fava
scal.
Punir
Entrer
Entrer
0
1
Ω4 Punir
−3
+1
−1
−1
−1
−1
Figure 7.10 : Arbre de jeu : Si tu rentres je te...
6) Il y a 5 sous-jeux, matérialisons-les sur (cf. Figure 7.10). Un seul EPSJ :
EPSJ = (CP, Punir/H21 , Punir/H22 ); ( Entrer/E11 , Entrer/E12 ) .
.fr/
.free
Dans les exercices suivants pour alléger les notations et s’il n’y a pas d’ambiguïté possible, on
notera : EPSJ = (CP, Punir, Punir ); ( Entrer, Entrer ) ; à un niveau du jeu donné la première
action d’un joueur correspond à ce qu’il jouera dans la partie la plus à gauche de l’arbre (sens de
lecture de gauche à droite).
7) Le fait de pouvoir investir en amont permet au monopole de dissuader l’entrant d’entrer.
Exercice 85 : Jeu séquentiel
Soit le jeu Π à deux joueurs et trois étapes décrit par l’arbre de
jeu suivant :
Université François Rabelais| 29-01-2017
240/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J1
L
R
J2
L0
R0
J1
L00
2
2
J2
L0
J1
R00
0
2
L00
J1
R00
L00
0
0
2
0
R0
J1
R00
0
0
2
0
L00
0
2
R00
1
1
rd
fava
scal.
1 – Décrivez l’ensemble de stratégies de chaque joueur.
2 – Écrivez ce jeu sous forme normale.
3 – Déterminez les équilibres de Nash de ce jeu.
4 – Déterminez les sous-jeux de ce jeu et leurs équilibres de Nash.
5 – Déterminez les équilibres parfaits en sous-jeux de ce jeu.
Solution :
1) (cf. Table 7.19)
2) La matrice du jeu sous forme normale :
J
Joueur 2
L0 L0
L0 R0
R0 L0
R0 R0
LL00 −
(2,2)
(2,2)
(2,0)
(2,0)
LR00 −
(0,2)
(0,2)
(0,0)
(0,0)
RL00 −
(0,0)
(0,2)
(0,0)
(0,2)
RR00 −
(2,0)
(1,1)
(2,0)
(1,1)
.fr/
.free
Joueur 1
s
Tableau 7.19 : Matrice de gains : jeu Π
Π =
3) Le jeu Π a deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP
{[ LL00 −, ( L0 , L0 )] ; [ LL00 −, ( L0 , R0 )]}.
4) Ce jeu à trois sous-jeux en comptant lui-même (cf. Figure 7.11), donc : SJ Π = {Π, Π1 , Π2 }.
Université François Rabelais| 29-01-2017
241/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J1
L
R
J2
L0
R0
Π1
J1
L00
R00
L0
J1
L00
0
2
2
2
J2
Π2
J1
R00
L00
0
0
2
0
R0
J1
R00
0
0
L00
R00
0
2
2
0
1
1
Figure 7.11 : Sous jeux de Π
rd
fava
scal.
5) Le jeu Π admet un seul EPSJ : EPSJ Π = {[ LL00 −, ( L0 , R0 )]}.
Exercice 86 : Jeux séquentiels
suivant :
Soit Ω, le jeu séquentiel à deux joueurs décrit par l’arbre de jeu
J1
L
R
J2
+2
+2
L0
R0
J1
.fr/
.free
+3
+1
L00
R00
J2
J2
L00
R00 L00
R00
+2
−2
−2
+2
+2
−2
−2
+2
et Γ, le jeu séquentiel à deux joueurs décrit par l’arbre de jeu suivant :
Université François Rabelais| 29-01-2017
242/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J1
L
R
J2
L0
R0
J1
L00
1
1
J2
L0
J1
R00
4
0
L00
J1
R00
0
4
R0
J1
L00
3
3
R00
5
1
0
0
L00
R00
0
0
1
5
rd
fava
scal.
1 – Combien d’étapes y a-t-il dans chacun de ces jeux ?
2 – Écrivez ces jeux sous forme d’une matrice de gains la plus simple possible.
3 – À partir de ces matrices déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures de ces jeux.
4 – Déterminez les sous-jeux de ces deux jeux.
5 – Déterminez tous les équilibres parfaits en sous-jeux de ces jeux.
6 – Le concept d’équilibres parfaits en sous-jeux a-t-il un intérêt ?
Solution :
1) Ω est un jeu à trois étapes et Γ, un jeu à deux étapes.
2) Les matrices de gains sont :
Joueur 1
.fr/
.free
J
Joueur 2
s
L0 −
R0 L00
R0 R00
L−
(2,2)
(2,2)
RL00
(3,1)
(2,−2)
(−2,2)
RR00
(3,1)
(−2,2)
(2,−2)
(2,2)
Tableau 7.20 : Matrice de gains : Jeu Ω
Université François Rabelais| 29-01-2017
243/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J
Joueur 1
Joueur 2
s
L0 L0
L0 R0
R0 L0
R0 R0
LL00 −
(1,1)
(1,1)
(0,4)
(0,4)
LR00 −
(4,0)
(4,0)
(3,3)
(3,3)
RL00 −
(5,1)
(0,0)
(5,1)
(0,0)
RR00 −
(0,0)
(1,5)
(0,0)
(1,5)
Tableau 7.21 : Matrice de gains : Jeu Γ
Ω =
3) Le jeu Ω a deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP
{[ L−, ( R0 , L00 )] ; [ L−, ( R0 , R00 )]}.
Le jeu Γ a trois équilibres de Nash en stratégies pures :
rd
fava
scal.
Γ
ENSP
=
( L, R00 −), ( R0 , R0 ) ; ( R, L00 −), ( L0 , L0 ) ; ( R, L00 −), ( R0 , L0 ) .
4) Chacun de ces jeux à trois sous-jeux en comptant lui-même (cf. Figure 7.12) et (cf. Figure 7.13),
donc : SJ Ω = {Ω, Ω1 , Ω2 } et SJ Γ = {Γ, Γ1 , Γ2 }.
J1
L
R
J2
+2
+2
L0
R0
+3
+1
.fr/
.free
J1
Ω1
L00
J2
R00
Ω2
J2
L00
R00 L00
R00
+2
−2
−2
+2
+2
−2
−2
+2
Figure 7.12 : Sous jeux d’Ω
Université François Rabelais| 29-01-2017
244/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
J1
L
R
J2
L0
R0
Γ1
J1
L00
1
1
J2
R00
J1
L00
R00
0
4
4
0
L0
3
3
R0
Γ2
J1
L00
5
1
R00
0
0
J1
L00
0
0
R00
1
5
Figure 7.13 : Sous-jeux de Γ
rd
fava
scal.
5) Calculons les EPSJ
i. Le sous-jeu Ω2 n’admet pas d’équilibre de Nash en stratégies pures. Soit q (resp. r) la probabilité
que J1 (resp. J2 ) joue L00 .
E J1 ( Gains) = q(2r − 2(1 − r )) + (1 − q)(−2r + 2(1 − r )) = 4q(2r − 1) − 4r + 2
Cette espérance est croissante (↓) en q si r > 21 (r < 12 ).
.fr/
.free
E J2 ( Gains) = r (−2q + 2(1 − q)) + (1 − r )(2q − 2(1 − q)) = 2r (1 − 2q) + 4q − 2
Cette espérance est croissante (↓) en r si q < 12 (q > 12 ). Il y a un équilibre
de Nash
n
o en stratégies
mixtes qui est le seul équilibre de Nash de ce sous-jeu : EN Ω2 =
E J1 ( Gains) = E J2 ( Gains) = 0.
Université François Rabelais| 29-01-2017
( 21 , 12 ), ( 12 , 12 ) , à l’équilibre
245/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
r
L00 1
1
2
R00
•
O
R00
q ∗ (r )
EN Ω2
1
2
r ∗ (q)
q
1
L00
rd
fava
scal.
Figure 7.14 : Équilibre de Nash : Sous-jeu Ω2
n
o
ii. Le sous-jeu Ω1 admet un équilibre de Nash : EN Ω1 = ( 12 , 12 ), L0 , ( 12 , 12 ) . En effet si J2 joue L0
il gagne 1 alors que s’il joue R0 il aura une espérance
de gains
( Gains EN Ω2 ) = 0.
2
n
nulle, E Jo
iii. Le jeu Ω admet donc un seul EPSJ : EPSJ Ω =
R, ( 12 , 12 ) , L0 , ( 21 , 12 )
gagne 2 alors que s’il joue R il gagnera 3 puisque J2 jouera
. En effet, si J1 joue L il
L0 .
Γ1
iv. Le sous-jeu Γ1 admet un équilibre de Nash en stratégies pures : ENSP
= { R00 , R0 }. Soit q (resp. r)
la probabilité que J1 (resp. J2 ) joue L00 (resp. L0 ). E J1 ( Gains) = qr + (1 − q)(r + 3) = r − 3q + 3.
Cette espérance est décroissante en q donc q = 0. E J2 ( Gains) = rq + (1 − r )(q + 3) = q + 3 − 3r.
Cette espérance est décroissante en r donc r = 0. Il n’y pas d’équilibre de Nash en stratégies
.fr/
.free
mixtes non-dégénérées dans ce sous-jeu, donc EN Γ1 = { R00 , R0 }.
Γ2
v. Le sous-jeu Γ2 admet deux équilibres de Nash en stratégies pures : ENSP
= {[ L00 , L0 ] ; [ R00 , R0 ]}.
Soit q (resp. r) la probabilité que J1 (resp. J2 ) joue L00 (resp. L0 ). E J1 ( Gains) = 5qr + (1 − q)(1 −
< 16 ). E J2 ( Gains) =
rq + (1 − r )(5 − 5q) = rq + 5 − 5q − 5r + 5qr = r (6q − 5) + 5 − 5q. Cette espérance est croissante
(↓) en r si q > 56 (q < 56 ). Il y anun équilibreode Nash en stratégies mixtes non-dégénérées
Γ2
Γ2
dans ce sous-jeu, donc ENSM
= ( 56 , 16 ), ( 16 , 56 ) . E J1 ( Gains ENSM
) = q(6r − 1) + 1 − r = 56 et
r ) = q(6r − 1) + 1 − r. Cette espérance est croissante (↓) en q si r >
Γ2
E J2 ( Gains ENSM
) = r (6q − 5) + 5 − 5q n= 56 .
vi. Le jeu Γ admet trois EPSJ :
EPSJ Γ
[( R, L00 ) , L0 ] ;
h
R, ( 65 , 16 )
1
6 (q
, ( 61 , 56 )
i
; [( R, R00 ) , R0 ]
o
=
. Pour
déterminer ces trois EPSJ, il suffit de comparer le gain de J1 à l’équilibre de Nash du sous-jeu Γ1,
i.e. 3 avec le gain qu’il obtient dans chacun des trois équilibres de Nash du sous-jeu Γ2 , i.e. 5, 1 et
5
6.
Université François Rabelais| 29-01-2017
246/256
c Pascal FAVARD
Exercices de Microéconomie : Équilibre de Nash
a
://p
http
r
L00 1
1
6
R00
EN1Γ2
•
O
R00
•
EN2Γ2
q ∗ (r )
r ∗ (q)
EN3Γ2
•
5
6
1
L00
q
rd
fava
scal.
Figure 7.15 : Équilibre de Nash : Sous-jeu Γ2
6) Dans le cas du jeu Ω il existe au moins deux équilibres de Nash qui ne sont pas EPSJ et au moins
un pour Γ. C’est donc une méthode pour éliminer des équilibres de Nash non « consistents ».
Notons, de plus, que dans les deux jeux, un des EPSJ contient des actions « mixtes », auriez-vous
été capables de trouver ces équilibres en utilisant (cf. Table 7.20) et (cf. Table 7.21) ?
7.2
Exercices théoriques
.fr/
.free
Université François Rabelais| 29-01-2017
247/256
Références bibliographiques
B ELLEFLAMME, P. et P EITZ, M. (2010). Industrial organization : markets and strategies. Cambridge
University Press.
B ERGSTROM, T. C. et VARIAN, H. R. (1993). Intermediate microeconomics. WW Norton.
B ERGSTROM, T. C. et VARIAN, H. R. (2003). Workouts in intermediate microeconomics. WW
Norton.
F UDENBERG, D. et T IROLE, J. (1991). Game theory mit press. MIT press Cambridge, MA.
G IBBONS, R. (1992). Game theory for applied economists. Princeton University Press.
G OLLIER, C. (2004). The Economics of Risk and Time. MIT press Cambridge, MA.
H ARA, C., S EGAL, I. et TADELIS, S. (1997). Solutions Manual for Microeconomic Theory by Andreu
Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Oxford University Press.
H INDRIKS, J. et M YLES, G. D. (2006). Intermediate Public Economics. MIT press Cambridge, MA.
J EHLE, G. A. et R ENY, P. J. (2011). Advanced Microeconomic Theory. Pearson Education.
J ULLIEN, B. et P ICARD, P. (2002). Éléments de microéconomie 2.Exercices et Corrigés. Montchrestien.
L AFFONT, J.-J. (1988).
Fondements de l’économie publique. Vol.1 du Cours de Théorie
Microéconomique. Economica, Paris.
L AFFONT, J.-J. (1991). Economie de l’Incertain et de l’Information. Vol.2 du Cours de Théorie
Microéconomique. Economica, Paris.
L AFFONT, J.-J. et M ARTIMORT, D. (2009). The Theory of Incentives : the principal-agent model.
Princeton university press.
L AFFONT, J.-J. et T IROLE, J. (1993). A Theory of Procurement and Regulation. MIT press Cambridge, MA.
M AS -C OLELL, A., W HINSTON, M. D. et G REEN, J. R. (1995). Microeconomic Theory. Oxford
university press New York.
N ITZAN, S. (2009). Collective preference and choice. Cambridge University Press.
P ERLOFF, J. M. (2009). Microeconomics. Harlow : Pearson Education.
P ICARD, P. (1990). Éléments de microéconomie 1.Théorie et applications. Montchrestien.
R ILEY, J. G. (2012). Essential Microeconomics. Cambridge University Press.
S ALANIÉ, B. (2000). The Microeconomics of Market Failures. MIT press Cambridge, MA.
S ALANIÉ, B. (2005). The Economics of Contracts : a primer. MIT press Cambridge, MA.
S ALANIE, B. (2011). The Economics of Taxation. MIT press Cambridge, MA.
S TARR, R. M. (2011). General Equilibrium Theory : An introduction. Cambridge University Press.
S YDSÆTER, K., S TRØM, A. et B ERCK, P. (2005). Economists’ mathematical manual. Springer.
T IROLE, J. (1988). The Theory of Industrial Organization. MIT press Cambridge, MA.
VARIAN, H. R. (1984). Microeconomic Analysis. Norton New York.
Liste des figures
Page
1.1
Contrainte budgétaire de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Contrainte de Pépé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Courbes d’indifférence de Pépé : « pas midi » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Courbes d’indifférence de Pépé : « midi » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Choix de Popeye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Choix de Popeye avec taxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7
Courbes d’indifférence, à main levée, de Calvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.8
Courbes d’indifférence : cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.9
Courbes d’Engel : Lait et Tartines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.10 Courbes d’indifférence concaves de Fanée Kô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.11 Courbes d’indifférence convexes de Fanée Kô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.12 Courbe d’indifférence de Zheng Fang de niveau u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.13 Choix de Zheng Fang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.14 Courbes d’Engel : Viande et Soupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.15 Courbes d’indifférence de Ping et de Pong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.16 Courbes d’indifférence de Job . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.17 Courbes d’indifférence d’Obélix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.18 Demande de sanglier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.19 Effet revenu / Effet substitution ( pb > p a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.20 Effet revenu / Effet substitution ( pb > p a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.21 Courbes d’indifférence d’Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.22 Demande de livres : Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.23 Courbes d’Engel : AL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.24 Demande de livres avec R = 100 : Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.25 Effet revenu / Effet substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.26 Contrainte budgétaire d’E.T. sans quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.27 Courbes d’indifférence d’E.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1.28 Le meilleur choix d’E.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1.29 Espace de consommation d’E.T. avec quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
R
2
>5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.31 Le meilleur choix d’E.T. avec quota et R > 10 + 15a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.32 Meilleur choix d’E.T. avec hausse du prix du plutonium . . . . . . . . . . . . . . . .
1.30 Contrainte budgétaire d’E.T. avec quota et
42
43
43
1.33 Courbe d’indifférence de niveau u et contrainte budgétaire . . . . . . . . . . . . . .
44
1.34 Demande marshallienne de Caco-Calo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.35 Demande hicksienne de Caco-Calo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.36 Courbe d’indifférence de Mett de niveau 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.37 Nouvelle demande hicksienne de Caco-Calo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.1
Isoquantes CDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.2
La courbe d’offre CDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3
Courbes de coûts de Complex Industrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4
Isoquantes d’Air Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.5
Demandes conditionnelles d’inputs : Air Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.6
Courbe de coût d’Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.7
Courbes de coûts d’Acmé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.8
Courbes de coûts de Tourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.9
Isoquantes d’Apogé utilisant h(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.10 Courbes de demande de facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.11 Courbe de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.12 Isoquantes Université de Tours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.13 Courbes de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.14 Courbe d’offre : α <
1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.15 Isoquantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2.16 La fonction de coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.17 Les seuils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.18 La fonction d’offre inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.19 Irréversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.20 Irréversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.1
Courbes de coûts de TrucMuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2
Offre/Demande TrucMuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3
Marché du pastis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4
Marché du pastis avec taxe sur la valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5
Marché du chou-fleur breton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6
Équilibre instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.7
Marché du chou-fleur breton et subvention aux producteurs . . . . . . . . . . . . . 125
4.8
Marché du chou-fleur breton et subvention aux consommateurs . . . . . . . . . . . 127
4.9
Marché du riz en Chine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.10 Marché du riz en Chine avec tarif douanier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.11 Marché du riz en Chine avec quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.12 Marché du riz en Chine avec subvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1
Courbes d’indifférence : Alphonse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2
Courbes d’indifférence : Boris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3
Boîte d’Edgeworth : Alphonse & Boris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4
Équilibre décentralisé : Alphonse & Boris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5
Courbes d’indifférence : Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6
Courbes d’indifférence : Bernard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.7
Boîte d’Edgeworth : Albert & Bernard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.8
Courbes d’indifférence : Anatole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.9
Courbes d’indifférence : Brice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.10 Boîte d’Edgeworth : Anatole & Brice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.11 Boîte d’Edgeworth : Doyen & Fauvoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.12 Équilibres de marché : Doyen & Fauvoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.13 Courbes d’indifférence : Toto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.14 Fonction de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.15 Économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.16 Boîte d’Edgeworth : Aristide & Briand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.17 Boîte d’Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.18 Équilibre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.1
Équilibre de monopole : Lou Pastaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2
Fonction de profit du bar Lou Pastaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3
Équilibre de monopole : Clasquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.4
Équilibres de monopole : Citron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.5
Fonctions de demande agrégée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.6
Fonctions de profit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.7
Équilibre de monopole sur le marché i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.8
OM non-discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.9
OM discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.10 Partage des surplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1
EN & OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2
EN & OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.3
EN & OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.4
EN & OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.5
EN & OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.6
EN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.7
Meilleures réponses : Jeu de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.8
Meilleures réponses : Courage fuyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.9
Arbre de jeu : Si tu rentres je te... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.10 Arbre de jeu : Si tu rentres je te... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.11 Sous jeux de Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.12 Sous jeux d’Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.13 Sous-jeux de Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.14 Équilibre de Nash : Sous-jeu Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.15 Équilibre de Nash : Sous-jeu Γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Liste des tables
Page
1.1
Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2
Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.1
Tableau de variations de (2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.2
Tableau de variations de (2.9) si α + β < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.3
Tableau de variations de (2.9) si α + β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.4
Tableau de variations de (2.9) si α + β > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.5
Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.6
Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1
2
1
2
1
2
2.7
Tableau de variations : α <
2.8
Tableau de variations : α >
2.9
Tableau de variations : α <
3.1
VAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2
Matrice des regrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1
Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2
Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.1
Niveaux d’utilité en fonction du panier choisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2
Demande de bien x en fonction de k et de p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3
Segmentation ou pas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1
Matrice de gains : Jeu de mouvement simultané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2
Matrice de gains : Jeu de mouvement simultané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.5
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.6
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.7
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.8
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.9
Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
7.10 Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.11 Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.12 Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.13 Matrice de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.14 Matrice de gains : Jeu de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.15 Matrice de gains : Guerre ou Paix ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.16 Matrice de gains : Courage fuyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.17 Matrice de gains : Pierre-Feuille-Ciseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.18 Matrice de gains : Si tu rentres je te... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.19 Matrice de gains : jeu Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.20 Matrice de gains : Jeu Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.21 Matrice de gains : Jeu Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Index
Aversion au risque, 106, 107
Effet revenu et effet substitution, 24, 27, 31, 37,
101
Bien
inférieur, 16, 31
normal, 16, 31
numéraire, 21, 27, 30, 51
Boîte d’Edgeworth, 143, 149, 154, 158, 164, 167
Élasticité
prix, 23, 37, 49, 74, 79, 84, 140, 185, 215
prix croisés, 37, 49
revenu, 31, 37, 49
Ensemble de production, 89
Charge morte, 178, 185, 193, 210
Épargne, 101
Choix intertemporels, 101, 209
Équation de Slutsky, 37
Coefficient d’aversion
Équilibre
absolue, 97
relative, 97
Coefficient d’aversion
absolue, 106, 107
Contrainte budgétaire, 4, 7, 8, 14, 16, 37, 38, 44
monopole, 174, 175, 177, 178, 182, 189, 202,
209
décentralisé, 143, 150, 155, 158, 161, 164, 167
marché concurrentiel, 114, 118, 122, 135, 139,
173, 177, 178
Contrainte budgétaire intertemporelle, 101
Équilibre Parfait en Sous-Jeux, 239, 241, 243
Courbe d’Engel, 12, 16, 31
Équilibre de Nash en
Courbe d’indifférence, 4, 8, 11, 14, 16, 20, 22, 23,
30, 37, 44, 143, 149, 154, 158
Courbe d’isoproduction, 55, 65, 79, 84
Courbe des contrats, 143, 149, 154, 158, 164, 167
stratégies mixtes, 222, 224, 226, 227, 229, 231,
233, 236, 238
stratégies pures, 221, 222, 224, 226, 227, 229,
231, 233, 235, 236, 238, 241, 243
Court terme Vs long terme, 60, 70, 113, 135, 173 Équivalent certain, 96, 97, 106
Espace de consommation, 3, 4, 11, 16, 44
Critère de
Pascal, 104
Savage, 104
Wald, 104
Demande
hicksienne, 37, 44, 51
Externalité
négative, 94
Fonction
de dépense, 37, 44, 51
Fonction d’utilité
marshallienne, 23, 30, 37, 44, 48
autres, 4, 11, 16, 20, 48
totale, 114, 118, 196
Cobb-Douglas, 8, 27, 143, 161
Demande conditionnelle de facteur, 65, 74
indirecte, 37, 44, 50, 97, 99, 106, 107
Discrimination
intertemporelle, 101
degré 2, 196, 206
Leontief, 8, 23, 37, 154, 164
degré 3, 189, 193, 202, 210
linéaire, 7, 8, 44, 149, 164
parfaite, 178, 189, 202, 206
quasi-linéaire, 8, 21, 30, 51, 158
vNM, 95, 97, 99
Fonction de coût
fixe, 69, 70, 114
Seuil de
fermeture, 69, 70, 84, 114, 135
rentabilité, 69, 70, 84, 114
marginal, 60, 69, 70, 113
Stratégies dominées, 221, 222
moyen, 60, 69, 70, 113
Subvention
total, 55, 65, 70, 74, 79, 84, 113, 135, 139
Fonction de production
autres, 60, 161
à l’unité, 122, 129
forfaitaire, 122
Surplus
Cobb-Douglas, 55, 74, 79, 135, 161
État, 122
Leontief, 84
consommateur, 24, 31, 51, 122, 189, 202
quasi-linéaire, 65
producteur, 74, 79, 122, 180, 202, 210
Fonction de recette, 175, 202
Forme
extensive, 238
normale, 238
Frontière des possibilités de production, 164, 167
Indice de Lerner, 185, 215
Meilleur choix, 4, 7, 8, 14, 16, 22, 23, 27, 37, 48, 94,
101, 118
Monopole
multiproduit, 177
Offre
entreprise, 55, 65, 69, 70, 74, 79, 84, 114, 118,
173
totale, 114, 140, 173
Optimum de Pareto, 143, 149, 154, 158, 161, 164,
167, 189, 209, 222, 224, 226, 227, 229, 231,
235, 236
Préférence pour le présent, 101
Prime de risque, 96, 97, 106, 107
Production jointe, 74, 118
Quota
consommation, 21, 38
importation, 129
Relation de préférence, 47, 50, 95, 96
Rendements d’échelle, 55, 74, 88
Sentier consommation-revenu, 11, 16, 20, 31
Sentier d’expansion, 55, 65
social, 118, 122, 128, 175, 182, 193, 202, 209
Tarif binôme, 189, 196
Taux
d’actualisation, 102
d’escompte, 209
d’intérêt, 101, 102
Taxe
à l’unité, 7, 129, 140
ad-valorem, 118
TmS, 7, 8, 16, 27, 30, 143, 149, 154, 158
TmST, 55, 66, 80
VAN, 104
Variation
équivalente, 51
compensatoire, 51
Vecteur input-output, 72