1. Montrer que pour tout xdiff´erent des αk,
P0(x)
P(x)=
r
X
k=1
mk
x−αk
.
2. En utilisant le th´eor`eme de Rolle, montrer que P0puis P00 ont leur racine dans [α1, αr].
3. Montrer que pour tout x>αr,P(x)>0, P0(x)>0 et P00(x)>0.
4. En d´eduire que pour tout x>αr,f0(x)>0.
5. Montrer que fse prolonge par continuit´e en posant f(αr) = αr.
6. Montrer que pour tout n∈N,xnest bien d´efini et xn> αr.
7. Montrer que (xn)n∈Nest strictement d´ecroissante.
8. Montrer que (xn)n∈Nconverge vers αr.
9. Montrer que f0(αr)=1−1/mr.
10. Supposons dans cette question que mr= 1. En utilisant une formule de Taylor appliqu´ee `a f, montrer
que pour tout c > 0, on a |xn−αr|6cn.
11. Supposons dans cette question que mr>2.
1. Montrer que pour tout c∈]|f0(αr)|,1[,|xn−αr|6cn.
2. En utilisant une formule de Taylor, montrer que la s´erie de terme g´en´eral log |xn+1 −αr| − log |xn−
αr| − log |f0(αr)|est convergente.
3. En d´eduire qu’il existe d > 0 tel que |xn−αr| ∼ d(1 −1/mr)nquand ntend vers +∞.
Exercice 4. Soit le probl`eme de Cauchy
u0(t) = f(t, u(t)) pour t∈[0, T ],
u(0) = u0,(1)
o`u u0∈Rest donn´e. La fonction f∈C2([0, T ]×R) v´erifie la condition de Lipschitz
|f(t, v)−f(t, w)|6L|v−w|pour tous v, w ∈Ret t∈[0, T ].
On approche num´eriquement (1) par le sch´ema d’Euler modifi´e
un+1/2=un+h
2f(tn, un),
un+1 =un+hf(tn+h/2, un+1/2),(2)
pour n= 0,1,2. . . et en posant tn+1 −tn=h > 0.
1. V´erifier que le sch´ema (2) s’´ecrit sous la forme g´en´eral d’un sch´ema `a un pas
un+1 =un+hF (tn, un, h) pour n= 0,1,2. . . (3)
o`u F(t, v, h) = f(t+h/2, v +h
2f(t, v)).
2. Montrer que le sch´ema est consistant.
3. ´
Etablir la convergence du sch´ema (2)
2