1ère Spé Mathématique Notre Dame de La Merci Mardi 10 février 2021 Contrôle de Mathématiques Toute la suite des hommes doit être considérée comme un même homme... (Blaise Pascal) Le bonheur de demain n'existe pas. Le bonheur, c'est tout de suite ou jamais. (René Barjavel) u1 5 On définit comme suit une suite un : , n un1 2un 2n 1 1) Calculer les premiers termes u2 , u3 et u4 en décrivant les calculs. Exercice 1 * (3 points) 2) Déterminer avec votre calculatrice la valeur exacte de u 24 . Exercice 2 (6 points) u0 80 1) On considère la suite un définie par : un1 f un Construire avec précision la valeur des termes u1 à u5 (vous laisserez les traits de construction). Vous indiquerez sur votre copie les valeurs de u1 , u2 , u3 , u4 et u5 obtenues par lecture graphique. u0 0,1 2) On considère la suite un définie par : un1 g un Construire avec précision la valeur des termes u1 à u4 (vous laisserez les traits de construction). Vous indiquerez sur votre copie les valeurs de u1 , u2 , u3 et u4 obtenues par lecture graphique. Etudier le sens de variation des suites un définies ci-dessous : n 1 a) un 2 5n n b) un n n9 c) un n2 8n 15 n d) un 0, 4n n Exercice 3 (8 points) Exercice 4 (3 points) Suite à un héritage, Magalie place la somme de 30 000 euros à un taux fixe de 3 %. u0 30000 On peut décrire cette situation à l’aide de la suite suivante : . u 1, 03 u n1 n 1) Compléter le programme python permettant de savoir quel sera le montant du placement au bout de 5 ans : u = 30000 for i in ………………….. u ………………….. print ………. 2) Magalie souhaite savoir dans combien d’années son capital aura doublé. Compléter le programme python suivant permettant de répondre à cette question : u = 30000 n=0 while ………………….. u .……………….. n ………….. print("le nombre d'années est",…...) 3) Question bonus : avec votre calculatrice, déterminer le nombre d’années recherché à la question précédente. Auto-évaluation : ……….… 1ère Mardi 10 février 2021 Contrôle de Mathématiques – CORRIGE – M. Quet u1 5 On définit comme suit une suite un : , n un1 2un 2n 1 1) Calculer les premiers termes u2 , u3 et u4 en décrivant les calculs. Exercice 1 * (3 points) u2 u11 2u1 2 1 1 2 5 2 1 9 u3 u21 2u2 2 2 1 2 9 4 1 15 u4 u31 2u3 2 3 1 2 15 6 1 25 2) Déterminer avec votre calculatrice la valeur exacte de u 24 . Exercice 2 (6 points) u0 80 1) On considère la suite un définie par : un1 f un Vous indiquerez sur votre copie les valeurs de u1 , u2 , u3 , u4 et u5 obtenues par lecture graphique. u1 74 , u2 64 , u3 49 , u4 32 et u5 15 u0 0,1 2) On considère la suite un définie par : un1 g un Construire avec précision la valeur des termes u1 à u4 (vous laisserez les traits de construction). Vous indiquerez sur votre copie les valeurs de u1 , u2 , u3 et u4 obtenues par lecture graphique. u1 0, 68 , u2 0, 22 , u3 0,56 et u4 0, 28 Etudier le sens de variation des suites un définies ci-dessous : a) un 2 5n n un1 un 2 5 n 1 2 5n 2 5n 5 2 5n 5 Exercice 3 (8 points) : un1 un 0 : la suite un est décroissante. n 1 1 n un1 n 1 9 n 10 n n9 n 2 9n 2 n n 1 n 1 n 10 n 1 n 9n 10 un n9 n9 2 2 n 9n 10 10 n 9n 10 10 10 2 2 1 2 n 9n 10 n 9n 10 n 9n 10 n 10 n 1 Pour tout n b) un n 1 n9 un1 un Il faut étudier le signe de n 10 n 1 n donc n 0 n 10 0 10 0 et n 1 0 n 1 u Si n 1 : n1 1 donc la suite positive un est croissante à partir du rang 2. un c) un n2 8n 15 n la fonction associée est f x x 2 8x 15 sa dérivée est f ' x 2 x 8 et f ' x 0 2x 8 0 x 4 . La fonction associée est croissante pour x 4 , la suite un est croissante à partir du rang 5. 0, 4n1 0, 4n 0, 4 0, 4 d) un 0, 4 n un 0, 4n 0, 4n u La suite un est positive et n1 1 : la suite un est décroissante pour tout n . un n un1 Exercice 4 (3 points) Suite à un héritage, Magalie place la somme de 30 000 euros à un taux fixe de 3 %. u0 30000 On peut décrire cette situation à l’aide de la suite suivante : . un1 1, 03 un 1) Compléter le programme python permettant de savoir quel sera le montant du placement au bout de 5 ans : u = 30000 for i in range(1,6) : u = u * 1.03 print (u) 2) Magalie souhaite savoir dans combien d’années son capital aura doublé. Compléter le programme python suivant permettant de répondre à cette question : u = 30000 n=0 while u < 60000 : u *= 1.03 n += 1 print("Le nombre d'années est", n ) 3) Question bonus : avec votre calculatrice, déterminer le nombre d’années recherché à la question précédente. Le nombre d'années est 24