TD4 corrige 21 22 capteurs

Département de Physique, Faculté des Sciences et Techniques, Université Hassan II, Casablanca
Année Universitaire 2021/2022
Pr J. Meziane
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T. D N° 4 Filière ingénieur GE.
I) Réponse d'un photocapteur à un créneau
Pour mesurer des éclairements ε, on utilise un photocapteur délivrant une tension U(ε). C’est
un capteur linéaire du premier ordre, de constante de temps τ, de sensibilité σ = 0,1V/(W/m2).
Dans l’obscurité, le capteur a pour tension de sortie U=0 (pas d'offset)
1) On soumet ce photocapteur à un échelon d’éclairement ε1ε2. La courbe de réponse du
capteur est donnée ci-dessous:
Déduire de cette courbe :
-la valeur de l'éclairement initial ε1 et de l'éclairement final ε2
- la constante de temps τ du capteur
2) On soumet le capteur à l'éclairement ε2 pendant une durée δT puis on revient à l'éclairement
initial ε1 (créneau de largeur δT). Pour δT=20ms puis δT=0,5ms, déterminer graphiquement la
réponse du capteur à la fin du créneau. En déduire l'allure de la réponse pour les deux largeurs
de créneau ci-dessus.
3) Le photocapteur commande la fermeture d'un relais. On suppose que le relais a une constante
de temps très inférieure à celle du photocapteur; son seuil de basculement est UR = 0,95V.
A t = 0, l'éclairement passe de 0 à ε3 tq U(ε3)=1V . Au bout de combien de temps le relais
basculera-t-il ? Si on suppose que l'éclairement final disparaît à l'instant t = 3τ, quelle est la
durée de basculement du relais ?
4) On superpose un éclairement ambiant εA tel que U(εA) = 0,2V . L'éclairement final est ε3+εA.
Quel sera l'instant d'enclenchement du relais ? Si on suppose que l'éclairement final disparaît à
l'instant t=3τ, quelle est la durée de basculement du relais ?
II) Constante de temps d'un capteur de pression
La pression à l’intérieur d’une enceinte est mesurée à l’aide d’un manomètre, qui peut être
considéré comme un système du premier ordre régi par l’équation différentielle suivante :
𝜏𝑑𝑃
𝑑𝑡 +𝑃 = 𝑃
Où τ est la constante de temps du manomètre, Pe est la pression dans l’enceinte et P la pression
lue sur le manomètre.
Expérience A : de t=0 à t=30s, on vide l’enceinte à l’aide d’une pompe ; la pression Pe décroît
linéairement de P0 =105Pa à Pf = 104Pa
1) Tracer la courbe Pe(t) représentative de l'évolution de la pression dans l'enceinte.
2) Donner l’expression littérale de la pression P lue sur le manomètre en fonction du temps.
3) Sachant que τ=5s , quelle valeur lit-on sur le manomètre pour t1=30s ?
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 t(ms)
U(V)

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4) Représenter sur le graphique précédent P(t)
Expérience B : à t1=30s, on ouvre brusquement une vanne qui met en communication l'enceinte
avec l'extérieur. La pression de l'enceinte remonte à P0 en 3/100 de seconde.
1) Compte tenu de la valeur de τ, peut-on considérer cette variation comme un échelon ?
2) Au bout de combien de temps pourra-t-on négliger l'écart entre P et P0, sachant que la
précision de lecture du manomètre est de 102 Pa ?
3) Représenter P(t) sur le graphique précédent
III) Détermination de la sensibilité à partir d'un étalonnage
L'étalonnage d'un capteur de température a donné le relevé suivant :
θ en °C 20 25 30 35 40 45 50
R en Ω 107,8 109,8 112,0 114,1 116,2 118,4 120,4
1) Ce capteur est-il actif ou passif ?
2) Tracer la courbe d'étalonnage. Quelle est la forme de cette courbe ?
3) Calculer la valeur de la sensibilité locale SL pour chaque point de mesure ; la loi linéaire est-
elle vérifiée ? Donner la sensibilité moyenne Sm du capteur.
4) Donner l'équation R = f (θ). En supposant le capteur linéaire (plusieurs propositions sont
possibles). Quelle est la réponse du capteur pour 37,5°C. Quelle température mesure-t-on
lorsque la valeur de R est 110,2Ω ?
5) Les mesures d'étalonnage ont été faites avec les incertitudes suivantes : U(θ) = 0,2 °C ; U(R)
= 0,1 Ω. Déterminer les valeurs minimales et maximales de la sensibilité calculée entre 20°C
et 25°C. En déduire l'incertitude relative exprimée en pourcentage.
IV) Détermination de la sensibilité à partir de la modélisation du capteur : linéarité d’un
diviseur de tension
Un potentiomètre est constitué d’une piste conductrice de longueur L= 4cm , de
résistance R= 1 kΩ, alimentée par deux contacts ohmiques de résistance négligeable, et sur
laquelle se déplace un contact mobile.
1) Exprimer la différence de potentiel u(x) entre le contact mobile et
l’origine en fonction de la différence de potentiel U appliquée entre les
deux extrémités de la piste et la position x du contact mobile.
𝑢(𝑥)= 𝑈𝑥
𝐿
2) Expliquer comment ce dispositif peut être utilisé comme capteur de
position. S’agit-il d’un capteur actif ou passif ? Quelle est son étendue
de mesure ?
3) Donner l’expression de sa sensibilité σ0(x). Quel est l’intérêt
essentiel de ce montage ?
4) Quelle tension d’alimentation U faudrait-il utiliser pour avoir une lecture de tension donnant
facilement x, sachant que la puissance maximale que peut supporter la piste est 1mW ? Quelle
est alors la sensibilité ?
5) On utilise pour mesurer u(x) un système de mesure informatisé dont la résistance interne est
ρ = 5KΩ. Expliquer sans calcul pourquoi la lecture de u(x) est modifiée.
𝑅 = 𝑅(𝑥)//𝜌
6) Donner la nouvelle expression de u(x). La mettre sous la forme u(x)=σ0(1 + ε(x)) x où ε(x)
représente l’écart à la linéarité. Représenter graphiquement la fonction u(x). Pour quelle valeur
de x cet écart est-il maximum ? Quelle valeur minimale de ρ faudrait-il choisir pour que ε(x)
soit inférieur ou égal à 1% ?
u(x)
L
x
U

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Correction
I) Réponse d'un photocapteur à un créneau
𝜎 = 𝑈(𝑡)𝜀
⁄= ∆𝑈(𝑡)∆𝜀 ⁄= 𝑑𝑈(𝑡)𝑑𝜀 ⁄
1) Relevé de la courbe : U(ε1) = 0,3V U(ε2) = 1,5V.
Le capteur est supposé linéaire (sensibilité = ∆𝑈 ∆𝜀
⁄= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 0,1𝑉/(𝑊/𝑚2) ) sans
offset; sa réponse est donc U(ε) = σε d'où ε1 = 3W /m2 et ε2 = 15W /m2 .
L'échelon appliqué depuis la valeur initiale U1 est U2 − U1 = 1,2V soit ε1ε2 = 12W/m2.
Le système est soumis à un échelon U2 à l'instant t = 0. La réponse est supposée du 1er ordre ;
𝜏()
 +𝑈(𝑡)=𝑈 elle est donc de la forme 𝑈(𝑡)= 𝐴𝑒 
⁄+𝑈 (solution générale sans
second membre + solution particulière). La constante est déterminée par les conditions initiales :
U(0) = A + U2 = U1 d'où A= U1 − U2 = 1,2V.
La réponse du système est donc de la forme 𝑈(𝑡)= 𝑈1−𝑒 
⁄+𝑈𝑒  ⁄ qui peut être
mise sous la forme 𝑈(𝑡)=(𝑈−𝑈)1−𝑒 
⁄+𝑈. La réponse est la superposition d'une
réponse à la constante U1 et de la réponse à l'échelon U2 −U1. L'analyse de la réponse peut donc
se faire sur la partie dynamique seule.
La constante de temps peut s'évaluer par plusieurs méthodes : (voir cours) Sx%=S0+x%(S1-S0)
𝑈(𝑡)=(𝑈−𝑈)1−𝑒 
⁄+𝑈= 90%(𝑈−𝑈)+𝑈
𝑈(𝑡)=(𝑈−𝑈)1−𝑒 
⁄+𝑈= 10%(𝑈−𝑈)+𝑈
- (t90 − t10) = τln(9) = 2,2τ (voir cours) avec t10 = 0.6ms et t90 = 9.0ms d'où τ1 = 3.85ms
- τ = t63 avec U(t63)= 0,63×(U2 − U1) + U1 soit 1.056V d'où τ2 = 4ms
𝑈(𝑡63)=(𝑈−𝑈)1−𝑒𝑡63 
⁄+𝑈= 63%(𝑈−𝑈)+𝑈
– la tangente à l'origine 𝑈(0)+𝑈′(0)𝑡 = 𝑈+()
𝑡 coupe la valeur finale U2 à t = τ ; la
valeur relevée sur le graphique est τ3 = 4ms
Nous pouvons donc dire que la constante de temps τ est de l'ordre de 4ms.
2) A l'instant δT , la réponse est 𝑈(𝛿𝑇)=(𝑈−𝑈)1−𝑒 
⁄+𝑈.
Pour δT=20ms, U(δT) = 1.49V ; le capteur atteint pratiquement sa valeur finale.
Pour δT = 0.5ms, le capteur atteint la valeur U(δT) = 0.44V , très en dessous de la valeur
finale.
A partir de l'instant δT, le système est soumis à une entrée U1 depuis la condition initiale U(δT).
Pour t≥δT, son fonctionnement suit la loi : 𝑈(𝑡)= 𝐴𝑒 
⁄+𝑈
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25
U(V)

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Pour l'instant initial t = δT : 𝑈(𝛿𝑇)= 𝐴𝑒 
⁄+𝑈 d'où 𝐴 = (𝑈−𝑈)𝑒  ⁄−1
La réponse exacte est donc : 𝑈(𝑡)=(𝑈−𝑈)𝑒 
⁄−1𝑒  ⁄+𝑈 pour t≥δT
Pour δT=20ms, la réponse est proche d'un créneau.
Pour δT = 0.5ms , la réponse est faiblement utilisable.
3) La réponse du photocapteur étant du 1er ordre, elle suit la loi exponentielle 𝑈(𝑡)=
𝑈1−𝑒 
⁄ avec U3 = 1V d'où 𝑈(𝑡)= 1−𝑒  ⁄.
La tension de basculement UR=0,95V sera atteinte pour tR tq 𝑈(𝑡)= 1−𝑒
⁄. D'où
𝑡= 𝜏∗𝑙𝑛1−𝑈(𝑡). A.N. tR =12s , on retrouve le principe que t95≃ 3τ
4) En présence de l'éclairement ambiant, la réponse suit la loi 𝑈(𝑡)= 𝑈1−𝑒 
⁄+𝑈 soit
𝑈(𝑡)= 1−𝑒 
⁄+0,2. La nouvelle valeur de basculement est 𝑡= 𝜏∗𝑙𝑛1,2−𝑈(𝑡)
soit tR =5.5 s ce qui est beaucoup plus rapide.
Le signal continue à monter vers la valeur finale; pour t = 3τ, la valeur atteinte sera : 𝑈(3𝜏)=
𝑈(1−𝑒)+𝑈 soit U(3τ)= 1,15V
Lorsque l'éclairement ε2 disparait, la réponse a pour valeur initiale U(3τ) et pour valeur finale
UA . Elle est homologue à celle calculée au 2) [reprendre les mêmes calculs].Autre méthode :
la réponse est de la forme [voir cours] :
𝑈(𝑡)= 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟_𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒.𝑒()
⁄+𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟_𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒.1−𝑒() ⁄
En remplaçant, on obtient : 𝑈(𝑡)= 𝑈𝑒 
⁄−1𝑒  ⁄+𝑈U
On en déduit 𝑡 = 𝜏𝑙𝑛𝑈𝑒 
⁄−1−𝑙𝑛(𝑈 −𝑈) d'où t95 = 12.95ms. Le relais reste
donc collé pendant tcollage = 7.45ms alors que l'éclairement a duré 12ms.
II) Constante de temps d'un capteur de pression
Constante de temps d'un capteur de pression
Expérience A: de t=0 à t=30s , on vide l’enceinte à l’aide d’une pompe ; la pression Pe décroît
linéairement de P0 =105 Pa à Pf = 104 Pa
1) La pression suit la loi affine 𝑃(𝑡)= 𝑃+𝑣𝑡 avec v =− 3 ×103 Pa/s
2) La pression lue est liée à la pression réelle par l'équation différentielle 𝜏
 +𝑃 = 𝑃.
La solution est de la forme (solution générale sans second membre) + (solution particulière
avec second membre) :
𝑃(𝑡)= 𝐴𝑒 
⁄ 𝑃(𝑡)= 𝑎+𝑏𝑡  𝑃(𝑡)= 𝑏.𝜏+𝑎 +𝑏𝑡 = 𝑃+𝑣𝑡
par identification : - termes 1er ordre b.t = v.t ⇒ b = v
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25
U(V)
0,5ms 20ms

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- termes constants τ.b + a = P0 ⇒ a = P0 − v.τ
d'où : 𝑃(𝑡)=𝑃+𝑣(𝑡 −𝜏)
La pression lue a donc pour expression 𝑃(𝑡)= 𝐴𝑒 
⁄+𝑃+𝑣(𝑡 −𝜏):
Pour t0 = 0 , la pression lue est P(t0) = P0 d'où A = vτ
La solution complète est donc : 𝑃(𝑡)=𝑣𝜏𝑒 
⁄+𝑃+𝑣(𝑡 −𝜏). La réponse a pour asymptote
une droite parallèle à la pression de l'enceinte et décalée de τ (traînage)
3) Pour τ=5 s et t1=30 s , on lit sur le manomètre P(t1) = 2.50×104Pa
4) Expérience B : à t1=30s, on ouvre brusquement une vanne qui met en communication
l'enceinte avec l'extérieur. La pression de l'enceinte remonte à P0 en 3/100 de seconde.
1) Compte tenu de la valeur de τ , le temps de retour à la pression P0 peut être considéré comme
négligeable.
2) La pression lue suit la loi classique du 1er ordre avec entrée en échelon appliquée à l'instant
t1 avec comme pression initiale Pt1 : 𝑃(𝑡)= 𝑃1−𝑒()
⁄+𝑃𝑒() ⁄
𝜏𝑑𝑃
𝑑𝑡 +𝑃 = 𝑃
𝑃(𝑡)= 𝐴𝑒()
⁄+𝐵
A et B dépendent des initiales et finales
A t = t1 P(t1) = Pt1 on a 𝐴+𝐵 = 𝑃
A t  ∞ P(t1) = P0 on a 𝐵 = 𝑃
D’où 𝐴 = 𝑃 −𝑃
𝑃(𝑡)= 𝑃1−𝑒()
⁄+𝑃𝑒() ⁄  𝑃(𝑡)=(𝑃 −𝑃)𝑒() ⁄+𝑃
L'écart entre la lecture et la valeur réelle est :
𝜀(𝑡)= 𝑃−𝑃1−𝑒()
⁄−𝑃𝑒() ⁄ soit 𝜀(𝑡)=(𝑃−𝑃)𝑒() ⁄
d'où 𝑡 = 𝑡+𝜏𝑙𝑛(𝑃−𝑃)−𝑙𝑛(𝜀)𝑒()
⁄ A.N.: t = 63.1 s
III) Détermination de la sensibilité à partir de la modélisation du capteur : linéarité d’un
diviseur de tension
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
40
50
60
70
réponse
Réponse
du
capteur
t(s)
x10
4
Réponse du capteur de pression