جمهورية العراق
9
وزارة التربية
المديرية العامة للمناهج
�سل�سلة كتب الريا�ضيات للمرحلة المتو�سطة
الريا�ضيات
لل�صف الثالث المتو�سط
تنقيح لجنة متخ�ص�صة في وزارة التربية
الطبعة الرابعة المنقحة
144٥هـ 202٣ /م
ُ
المتخ�ص�صين
فريق من
للمرحلة
ات
و�ص ِّم َمتْ
ِ
ِ
الريا�ض ّي ِ
المتو�سطة) على �أيـــــدي ٍ
ُبنِيتْ ُ
ّ
(�سل�سلة ُك ُت ِب ّ
ُ
ُ
م�شاركة َ
الجامعات في
متخ ّ�ص�صينَ من �أ�ساتذ ِة
للمناهــج و ِب
العامة
/المديرية
ّربية
ِ
ِ
في وزار ِة الت ِ
ِ
العالمية ِل ُتحق َِّق � َ
المنهج
والبحث العلمي على وفق المعايير
ّعليم العالي
أهداف بناءِ
ِ
ِ
وزار ِة الت ِ
ِ
جعل ّ
الب:
لة في ِ
الحديث المتم ِّث ِ
ِ
الط ِ
• ُمتع ِّلميــنَ ناجحيــــنَ مـــــدى الحـيــــا ِة.
•�أفـــــــراد ًا واثـقـيـــــــــنَ ب�أنـ ُف ِ�س ِهــــم.
ـخر.
•مواطنينَ عراقيينَ ي�ش ُعرونَ بال َف ِ
ُ
العلمي على ّ
الطبع
الم�شرف
ُّ
م .م .مروة فليح ح�سن
ُ
الفني على ّ
الطبع
الم�شرف
ُّ
م.م يا�سر منذر محمد �سعيد حبه
استنادا ً إىل القانون يوزّع مجاناً ومينع بيعه وتداوله يف األسواق
المقدمة
ت
ت ِم َن الموا ِد الدراسي ِة األساسي ِة التي تُساع ُد
َ
ب الكفايا ِ
الطالب على اكتسا ِ
تُ َع ُّد مادةُ الرياضيا ِ
المواقف
التعامل مع
ت ،ويساعدهُ على
التعليمية الالزم ِة لهُ ،لتنمي ِة قُدرات ِه على
ِ
التفكير َوح ّل المشكال ِ
ِ
ِ
الحياتي ِة المختلف ِة.
َو ْ
لتطوير المناهج
للمناهج
االهتمام الذي تُولي ِه وزارةُ التربي ِة متمثلةً بالمديري ِة العام ِة
ق
ِ
من ُمنطَلَ ِ
ِ
ِ
ت
ت لكي
بصور ٍة عامة والسيّما
َ
ت العلميةَ والتكنولوجيةَ في مجاال ِ
تواكب التطورا ِ
مناهج الرياضيا ِ
ِ
ضعت خطةٌ
ث،
ت
للمراحل الدراسي ِة الثال ِ
ب الرياضيا ِ
لتأليف سلسل ِة ُكت ِ
ِ
الحيا ِة المختلفة ،فَق ْد ُو ِ
ِ
ُ
نجز ْ
ب المرحل ِة
استكمال السلسل ِة
ت منها كتبُ المرحل ِة االبتدائي ِة َوبَدأ العم ُل على
بتأليف كت ِ
ِ
ِ
وأ ِ
المتوسط ِة.
ّ
اإلطار العام للمناهج تُعز ُز القي َم
ت العراقي ِة الجديد ِة ومن ضمن
ب الرياضيا ِ
إن سلسلةَ كت ِ
ِ
واحترام الرأي والرأي اآلخر والعدال ِة
والتسامح
بااللتزام بالهوي ِة العراقي ِة
األساسيةَ التي تتمث ُل
ِ
ِ
ِ
التفكير والتعلّ ِم
ت
للتميز واإلبداع ،كما تعم ُل على
ص متكافئ ٍة
االجتماعية،
تعزيز كفايا ِ
وتوفير فر ٍ
ِ
ِ
ِ
ِ
والعمل.
ت المواطن ِة
ت الشخصي ِة واالجتماعية وكفايا ِ
والكفايا ِ
ِ
بُنيَ ْ
ت العراقي ِة على محوري ِة الطالب في عمليتَي التعلي ْم والت َعلُ ْم َو َعد ُّه
ب الرياضيا ِ
ت سلسلةُ كت ِ
المعايير العالمي ِة.
وفق
الرئيس في العملي ِة التربوي ِة على
المحو َر
َ
ِ
ِ
تمي َز ْ
ت
تنظيم
ت العراقي ِة للمرحل ِة المتوسط ِة في
الدروس على س ِ
ب الرياضيا ِ
ت سلسلةُ كت ِ
ِ
ِ
وح ّل مسائ َل حياتيةً ،فَ ِّكرْ ،اُكتبْ .
من فِه ِم َ
فقرا ٍ
ك ،تدرّبْ َو ِح ّل التمرينات ،تدرّبْ ِ
ت :ت َعلَّ ْم ،تأك ْد ِ
المتوسط مشتمالً على أربعة محاور أساسية :محو ُر
للصف الثالث
ت
ِ
ِ
يأتي كتابُ الرياضيا ِ
ت من
الجبر ،ومحور الهندسة
ت ،ومحو ُر
والقياس ،ومحو ُر اإلحصا ِء واالحتماال ِ
األعدا ِد والعمليا ِ
ِ
ِ
فصل تمريناته.
ض َّم َن الكتابُ ستة
فصول ولكلِّ
ضمن األوزان النسبية لكل محور ،وت َ
ِ
ٍ
ٍ
تتميّ ُز هذ ِه الكتبُ بأنها تعرضُ المادةَ
والتشويق ،التي
ب
َ
بأساليب حديث ٍة ،تتوف ُر فيها عناص ُر الجذ ِ
ِ
ت ومسائ َل حياتي ٍة،
الطالب على
تُساع ُد
ت وتمرينا ٍ
التفاعل معها ،عن طريق ما تُق ِدمهُ من تدريبا ٍ
َ
ِ
ب وهي ْ
ُ
تخ ُ
ت
تمرينات
ض َعت
ت والتمرينا ِ
تلف عن التدريبا ِ
الفصول في نهاي ِة الكتا ِ
إضافةً إلى ذلك ُو ِ
ِ
اختيار من متع ّد ٍد وهذا بدور ِه
الدروس وذلك لكونِها موضوعية فاإلجابة عنها تكون عن طريق
في
ٍ
ِ
ت الدولي ِة.
يهيِّئ
َ
الطالب للمشارك ِة في المسابقا ِ
دعائم
ت المط ّور ِة للمرحل ِة االبتدائي ِة ودعامةً من
ب الرياضيا ِ
يمث ُل هذا الكتابُ امتداداً لسلسل ِة ُكت ِ
ِ
ّس ،وعليه نأم ُل ْ
ب
أن يُ ْس ِه َم تنفي ُذها في اكتسا ِ
ت إلى جان ِ
المنهج المط ّو ِر في الرياضيا ِ
ب ِ
دليل المدر ِ
ِ
ت العلمي ِة والعملي ِة َوتنمي ِة ميولِهم لدراس ِة الرياضيات.
ب المهارا ِ
الطّال ِ
العزيز وأبنائِ ِه ...
اللّه ّم وفّ ْقنا لخدم ِة عراقِنا
ِ
المؤلفون
الف� ُصل
1
العالقات واملتباينات في األعداد احلقيقية
Relations and Inequalities in Real Numbers
الدرس 1-1
الدرس 1-2التطبيقات
الدرس 1-3المتتابعات
الدرس 1-4المتباينات المركبة
الدرس 1-5متباينات القيمة المطلقة
ترتيب العمليات في األعداد الحقيقية
تتحر ُ
ك موجةُ التسونامي في البحار العميقة بسرعة فائقة ،لكنها حين تصل إلى الشاطئ تزداد سرعتها تحت تأثير
طاقتها الهائلة وتضربُ الشاط َئ بقو ٍة مخلفةً دمار شامل .ويمكن حساب سرعة التسونامي بالقانون v = 9.6d
متر في الثانية ،حيث dتمثل عمق الماء بالمتر .
4
االختبا ُر القبل ّي
Pretest
صنّف العد َد من حيث كونه عدداً نسبيا ً أو غير نسب ّي:
16
25
4
0
3
3
7
2
25
1
- 8
8
-6 3
2
7
30
4
6
49
5
5
ب عُش ٍر ،ثم مثّلها على مستقيم ِاألعداد:
قدّر الجذو َر التربيعيةَ التاليةَ بالتقريب ألقر ِ
81
49 ≈ .....
6
25 ≈ .....
12
11
10 - 3 ≈ .....
2 ≈.....
9
قارن بين األعداد الحقيقية مستعمالً الرموز ( > :) = ، < ،
2.25
5
20
14 1.25
12
3
16
21
3
5
13
0
6
0
3
15
17رتّب األعداد من األصغر إلى األكبر 7 , 2.25 , 5 :
18رتّب األعداد من األكبر إلى األصغر -3 1 , - 7 , -3.33 :
5
3
ح ّل المتباينات التالية في Rباستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية:
3y 2
20 3 > z- 9
21
7
14
8 >7
24 4 ( 1 v + 3 ) > 0
8
2
)23 6(z - 3) > 5(z + 1
19 3x + 2 > 4x- 3
5
5
22 -4m < 9
22
11
سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات على األعداد الحقيقية:
ب ّ
26 3 12 + 2 3 - 4 3 = ............
2 (1- 18 ) = ...........
25
28
7- 8 7
= ............
2 7
27
6 44 ÷ 18 11
5
5
5
الدرس
ُ
[]1-1
ت في األعدا ِد الحقيقي ِة
ُ
ترتيب العمليا ِ
Ordering Operations in Real Numbers
فكرةُ الدرس
• تبسيط الجمل العددية التي
تحتوي على أعداد حقيقية
باستعمال ترتيب العمليات.
المفردات
الحقيقي
• العد ُد
ُّ
• تنسيبُ (تجذير) المقام ِ
ُ
المرافق
•
تعلم
يُعد زلزال تسونامي الذي حدث في اليابان عام
2011من أقوى الزالزل التي حدثت على م ّر
العصور .وتحسب سرعة التسونامي بالقانون
v= 9.6dمتر بالثانية ،حيث dتمثل عمق
المياه .ما سرعة التسونامي التقريبية إذا كان
عمق المياه 1000متر؟
[ ]1-1-1استعمال ترتيب العمليات لتبسيط جمل عددية
Using ordering operations to simplify the numerical sentences
تعرفت سابقا ً إلى األعداد الطبيعية والكلية والصحيحة والنسبية والحقيقية ،ويمكن إدراجها بالترتيب اآلتي:
،N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ Rوكذلك تعلمت كيفية تبسيط جمل عددية باستعمال ترتيب العمليات على هذه
األعداد ،وسوف تزيد مهارتك في تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على أعداد حقيقية مختلفة فيها جذور حقيقية
وجذور مربعات كاملة وكذلك كسور تحتوي على جذور بتطبيق الخواص عليها مع استعمال ترتيب العمليات على
األعداد الحقيقية وكذلك استعمال تنسيب المقام لتبسيط العبارات وذلك من خالل ضرب مقام الكسر بالعامل المنسب
(المرافق) (العدد 2- 3هو العامل المنسب (المرافق) للعدد 2+ 3ألن حاصل ضربهما عدد نسبي).
مثال ()1
جد سرعة التسونامي التقريبية إذا كان عمق المياه 1000متر.
v = 9.6d
قانون حساب سرعة التسونامي حيث dتمثل عمق المياه
= 9.6 × 1000 = 9600 ≈ 98 m/sec
سرعة التسونامي التقريبية
مثال ()2
سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات على األعداد الحقيقية:
ب ّ
) i) ( 12 - 18 ) ( 12 + 18 ) = (2 3 - 3 2 ) (2 3 + 3 2
باستعمال التوزيع
= 2 3 (2 3 + 3 2 ) - 3 2 (2 3 + 3 2 ) = 12 + 6 6 - 6 6 - 18 = - 6
-3 3
= -1
2 3- 3 2
مثال ()3
× ii) ( 3 8 - 2 )÷ ( 3 2- 2 3 )= ( 2 - 2 )÷ ( 3 2 -2 3 )= 2 3 - 3 2
3 3
3
3 3
3
27
27
3
سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات على األعداد الحقيقية واكتب الناتج ألقرب عُشر:
ب ّ
i) 12 ( 3 - 8 ) - 6 = 2 3 ( 3 - 2 2 ) - 6 = 2 3 × 3 - 2 3 × 2 2 - 6
= 6 - 4 3×2 - 6 = - 4 6 ≈ - 4 × 2.4 = - 9.6
)7
n
مالحظةan = a m :
m
7-2
9
7 - 2 7 ) = -3 ( 1
9
9
7 ≈ 0.9
6
3
7 - 1 28 ) = -27 ( 1
9
9
=- 1 7+ 2 7= 1
3
3
3
1
3
ii) (-27) ( 1
9
مثال ()4
سط الجمل العددية التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات على األعداد الحقيقية:
ب ّ
5 (7- 5) 7 5 - 5 5
5
5
5
5
7 5 -5
=
=
i) 7=
= 7×1= 7×
5
5
5 5
5
5
5
5
)3 7 (2 3 + 7
21
21
3+ 7
=
=
× 2
)(2 3 - 7) (2 3 + 7
2 3- 7
2 3- 7
2 3+ 7
الضرب بالمرافق
)ii
7+7 3
7+7 3
= 6
= 6
12 - 7
5
المقام فرق بين مربعين
[ ]1-1-2استعمال الحاسبة والتقريب لتبسيط جمل عددية
Using calculator and approximation to simplify the numerical sentences
تعلمت سابقا ً كيفية تبسيط جمل عددية تحتوي على قوى ( أسس ) سالبة صحيحة للعدد وصورة علمية للعدد باستعمال
الحاسبة ،واآلن سوف تزيد مهارتك بتبسيط الجمل العددية التي تحتوي على أعداد مرفوعة إلى قوى (أسس) نسبية
إضافةً إلى األعداد الصحيحة مستعمالً الحاسبة لكتابة الناتج مقرَّباً.
مثال ()5
اِحسب األسس لكل مما يلي واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين إذا لم يكن عدداً صحيحاً:
1 2
-3
-3
1 ≈ 0.04
i) 9 2 = (32) 2 = 3-3 = 313 = 27
2
ii) ( 7 ) = ( 7 2 ) = 7
1
= 5 2 = 5 ≈ 2.24
4-3
2
3
1
iv) 52 ÷ 5 2 = 5 2
= 2 2 = 2 ≈ 1.41
10+ 2- 9
6
-3
1
5
iii) 2 3 × 2 3 × 2 2 = 2
اِستعمل ترتيب العمليات واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين مستعمالً الحاسبة لكل مما يأتي:
3
2
1
v) ( 12 ) + 3-2 - 2 2 = 22 + 312 - 23 = 14 + 19 - 8 ≈ 0.25 + 0.11 - 2.83 = -2.47
5
1
1
3
3
iv) 8 3 - (-8)0 + 32 × 3 2 = 8 - 1 + 3 2 = 8 - 1 + 35 ≈ 2 - 1 + 9 × 1.73 = 16.57
مثال ()6
اِستعمل الحاسبة لتكتب الناتج بالصورة العلمية للعدد مقربا ً ألقرب مرتبتين عشريتين:
i) 7.6 ×10-4 - 0.4135×10-3 = 7.6 × 10-4 - 4.135 × 10-4 = 3.465 × 10-4 ≈ 3.47 × 10-4
ii) 0.052 ×104 + 7.13 × 102 = 5.2 × 102 + 7.13 × 102 = 12.33 × 102 ≈ 1.23 × 103
2
iii) (7.83 × 10-5) = (7.83 × 10-5) (7.83 × 10-5) = 61.3089 × 10-10 ≈ 6.13 × 10-9
iv) 4.86 × 102 ÷ 0.55 × 105 = (4.86 ÷ 0.55) × 102 × 10-5 ≈ 8.84 × 10-3
7
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
سط الجمل العددية اآلتية:
ب ّ
2
( 7 - 2 ) = ......
2
( 5 - 3 ) ( 5 + 3 ) = ......
1
4 12 ÷ 2 24 = ......
3
8
5 -27
4
( 125 - 20 ) ( 3 8 ) = ......
27
3
األسئلة ()1 - 4
مشابهة للمثال ()2
س ِط الجم َل العددية التالية واكتب الناتج ألقرب عُشر:
ب ّ
األسئلة ()5 - 6
مشابهة للمثال ()3
1
3
1 3 - 1 12 ) ≈ ......
(-125) (10
4
6
5
7 ( 28 - 2 ) - 5 ≈ ......
س ِط الجم َل العدديةَ التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات على األعداد:
ب ّ
األسئلة ()7 - 9
مشابهة للمثال ()4
50 - 3 - 10 - 6 =......
2 6
2 3
9
1- 20 =......
5
1- 3 =......
4 3
8
7
استعمل ترتيب العمليات واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين مستعمالً الحاسبة لكل مما يأتي:
األسئلة ()10 - 11
مشابهة للمثال ()5
1
- (-9)0 + 32 × 5 2 ≈ ......
3
1
10 ( 1 ) 2
-3
2
3 + 3 - 3 ≈ ......
11 27 3
استعمل الحاسبة لتكتب الناتج بالصورة العلمية للعدد مقربا ً ألقرب مرتبتين عشريتين:
األسئلة ()12 - 13
مشابهة للمثال ()6
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
2
13 (9.23 × 10-3) ≈ ......
12 6.43 × 10-5- 0.25 × 10-3 ≈ .....
سط الجمل العددية اآلتية:
ب ّ
3
12
5 8
÷
=......
3
25
3 125
15
1
50) ( -27 ) 3 =......
64
14 ( 18 -
سط الجملة العددية التالية واكتب الناتج ألقرب عُشر:
ب ّ
18 ≈ ......
36
2
8
49 - 3 81 +
16 7
سط الجمل العددية التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات على األعداد:
ب ّ
60 - 5 = ......
5 15
33 - 1199
8
18
7 -3 5
= ......
7+3 5
17
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
19األقما ُر االصطناعيةُ :يستعمل القمرالصناعي بصفة أساسية في
االتصاالت مثل إشارات التلفاز والمكالمات الهاتفية في جميع أنحاء
العالم والتنبؤ بالطقس وتعقب األعاصير ،إذ تدور هذه األقمار بسرعات
محددة في مدارات خاصة بها حول األرض ،وتحسب سرعة القمر
14
المدارية بالعالقة التالية ، v= 4×10 m/sec :إذ rنصف قطر
r
المدار (بُعد القمرعن مركز األرض) .ما سرعة القمر إذا كان نصف
قطر المدار 300km؟
20مكافحةُ
الحرائق :تحسب سرعة تدفق الماء الذي يضخ من سيارات
ِ
الحريق بالقانون ، v = 2hg foot/secإذ hتمثل أقصى ارتفاع
للماء و gيمثل التعجيل األرضي ) .(32 foot/sec2إلطفاء الحريق
في الغابات تحتاج إدارة مكافحة الحرائق في الدفاع المدني إلى
مضخة لتضخ الماء إلى ارتفاع .80 footفهل تفي بحاجتها مضخة
1 foot = 30 cm
تقذف الماء بسرعة 72 foot/sec؟
وحدة قياس بالنظام الفرنسي
21هندسةٌ :جد مساحة المثلث الذي يعلو واجهة البيت إذا كان ارتفاعه
18 - 3 mوطول قاعدته . 3 2 + 3 m
ـر
فَ ِّك ْ
ْ
22تح ًّد:
أثبت صحةَ مايأتي:
2
1
1
1
2
1
(7 3 - 5 3 ) (7 3 + 7 3 5 3 + 5 3 ) = 2
جمع العددين كاآلتي:
كتب شاكر نات َج
23أُ ِّ
صح ُح الخطأَ :
ِ
-3
ح ّدد خطأ َ شاكر وصحِّحهُ .
-2
-3
8.4 × 10 + 0.52 × 10 = 1.36 × 10
24
عددي :هل أن العد َد 125يقع بين العددين 10.28و 11.28؟
حس
ٌّ
ٌّ
كتب
اُ ْ
ب ُعشر:
نات َج
ب ألقر ِ
الجمع بالتقري ِ
ِ
≈ .....
9
3
52
+
3
62
الدرس
ُ
[]1-2
التطبيقات
فكرةُ الدرس
• تعرف التطبيق وأنواعه
وكيفية تمثيله بيانيا ً في
المستوي اإلحداثي وتعرف
تركيب التطبيقات.
المفردات
• العالقة
• الزوج المرتب
• الضرب الديكارتي
• التطبيق
• المجال والمجال المقابل
والمدى
• تركيب التطبيقات
Mappings
تعلم
مجموعة Xتمثل بعض المناطق األثرية في
العراق {باب عشتار ،أور ،الحضر} = X
بعض المدن العراقية
ولتكن المجموعة Yتمثل
َ
{بغداد ،الحلة ،الناصرية ،الموصل ،أربيل}= Y
العالقة Y
R:Xالتي تمثل اقتران كل
منطقة أثرية إلى المدينة التي تقع فيها:
(،الناصرية ،أور) (،الموصل ،الحضر)}= R
{(بابل ،باب عشتار) تسمى تطبيق مجاله X
ومجاله المقابل .Y
[ ]1-2-1التطبيق وتمثيله في المستوي اإلحداثي
Mapping and its representation in the coordinate plane
تعرفت سابقا ً إلى العالقة من المجموعة Xإلى المجموعة Yوهي المجموعة الجزئية (مجموعة من األزواج المرتبة ( )x,yإذ ينتمي
المسقط األول «األحداثي األول» إلى المجموعة Xوالمسقط الثاني «اإلحداثي الثاني» إلى المجموعة )Yمن حاصل الضرب الديكارتي
X×Yالذي يمثل مجموعة كل األزواج المرتبة ،وسوف تتعرف على التطبيق Y
بالمستوي (بيانياً) والتعرف على أنواعه.
R: Xوكيفية تمثيله بمخطط سهمي وتمثيله
التطبيق :لتكن Rعالقة من المجموعة Xإلى المجموعة Yوكان لكل عنصر في Xصورة واحدة في Yعندئذ تسمى العالقة R
تطبيق من Xإلى Y , Y
R: Xوتسمى المجموعة Xبمجال التطبيق ( ،)Domainوالمجموعة Yبالمجال المقابل للتطبيق
( ،)Co-domainويسمى كل عنصر في Yمرتبط بعنصر من Xصورة لذلك العنصر ،وتسمى مجموعة كل الصور في المجال المقابل
بالمدى ( ،)Rangeوتسمى القاعدة التي تنقل العنصر إلى صورته بقاعدة االقتران (قاعدة التطبيق) ويرمز لها (. R(x( ، )x,y
مثال ()1
R: Xتمثل تطبيقا ً بقاعدة اقتران ) (y = 1 xمن المجموعة { X=}4,6,8إلى
إذا كانت Y
2
المجموعة { . Y={2,3,4,5اكتب التطبيق على شكل مجموعة أزواج مرتبة ثم مثّل التطبيق بمخطط
سهمي ،وح ّدد المجال والمدى للتطبيق .
يوضّح المخطط السهمي عالقة ارتباط عناصر المجموعتين
ضمن قاعدة االقتران y = R(x) = 1 xأي:
2
4
2 , 6
3 , 8
4
ولذا مجموعة التطبيق
{(R = {(4,2) , (6,3) , (8,4
المجال :وهومجموعة اإلحداثيات األولى من األزواج المرتبة في R
وهو المجموعة {}4,6,8
2
4
3
6
4
8
5
Y
المدى :وهومجموعة اإلحداثيات الثانية من األزواج المرتبة في ، Rوهو المجموعة {}2,3,4
مالحظة :المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل للتطبيق
نالحظ هنا المدى ≠ المجال المقابل
10
X
مثال ( )2الجدول التالي يمثل العالقة
هل تمثّل العالقة تطبيقا ً ؟
إذا كانت تطبيقا ً فاكتب قاعدة االقتران
وحدِّد المجال والمدى ومثِّله بالمستوي.
قاعدة االقتران y = 2x
بين الوزن (كغم) وسعر السمك ( .)f(x) = y
الوزن/كغم X
Yالسعر بأُلوف الدنانير
1
2
2
4
3
6
4
8
المجال { , }1,2,3,4المدى {}2,4,6,8
[ ]1-2-2أنواع التطبيقات
Y
تطبيق شامل
وغيرمتباين
مثال ()3
X
تطبيق متباين
وغيرشامل
إذا كانت Z
)iiالتطبيق المتباين Injective mapping
∀ x1 , x2 ∈ X ; x1 = x2
(f(x1) = f(x2
)iiiالتطبيق تقابل ()Bijective mapping
إذا كان التطبيق شامل ومتباين في آن واحد.
إذا كان المدى = المجال المقابل.
X
4 5
The kind of mappings
: f: X
يكون التطبيق Y
)iالتطبيق شامل Surjective mapping
Y
X
3
2
Y
1
8
7
6
5
4
3
2
1
X
Y
Y
تطبيق تقابل (شامل ومتباين)
X
عالقة وليست تطبيق
f: Zحيث ، f(x) =2x2 - 3بيّن نوع التطبيق حيث Zمجموعة األعداد الصحيحة.
f(x) = 2x2 - 3 , f(-2)= 5 , f(-1) = -1 , f(0)= -3 , f(1) = -1 , f(2) = 5
أوالً :التطبيق ليس شامالً ألن المدى اليساوي المجال المقابل.
ثانياً :ليس متباينا ً ألن f(-1) = f(1) = -1بينما .1 = -1
. . . , -2 , -1 , 0 ,1 , 2 , 3 , . . .
. . . , -3 , -2 , -1 , 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5,. . .
[ ]1-2-3تركيب التطبيقات
The composition of mappings
ندرس طريقة إليجاد تطبيق جديد من تطبيقين معلومين إذ هما
))(fog)(x) = f(g(x
( g(x) ، f(xوهي:
)iالتطبيق (( )fog)(x( = f )g(xويُقرأ fتركيب f( gبعد )g
وهو ناتج إيجاد ( g(xأوالً ثم إيجاد صورته في التطبيق . f
)iiالتطبيق (( )gof)(x( = g )f(xويُقرأ gتركيب f
وهو ناتج إيجاد ( f(xأوالً ثم إيجاد صورته في التطبيق . g
f
))f(g(x
11
g
)g(x
x
مثال ()4
إذا كان N ، f(x) = 2x + 1
. g:N
N ، g(x) = x2 ، f:N
جد ،)gof)(3) (ii ، (fog)(3( )i :ماذا تالحظ؟ )iii ،جد قيمة xإذا كان .)fog)(x( = 33
نجد
)ii) (gof)(3
)i) (fog)(3
نجد
)(fog)(3) = f(g(3)) = f(32
))(gof)(3) = g(f(3
)= g(2 × 3 + 1
= f(9) = 2 × 9 + 1
= g(7) = 72 = 49
= 19
الحظ أن )(fog)(3) = (gof)(3
iii) (fog)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2 + 1
يهمل 2x2 = 32 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 or x = -4
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
⇒ 2x2 + 1 = 33
اكتب قاعدة اقتران للتطبيق ومثّله بمخطط سهمي واكتب المجال والمدى له:
األسئلة ()1 - 2
مشابهة للمثال ()1
})g ={(1,3), (2,5), (3,7), (4,9
})f ={(1,2), (2,3), (3,4), (4,5
2
1
اكتب قاعدة االقتران للتطبيقات التالية ومثّلها في المستوي اإلحداثي واكتب المجال والمدى لها:
األسئلة ()3 - 4
مشابهة للمثال ()2
})g ={(0,0), (1,-1), (2,-2), (3,-3
})f ={(1,0), (2,0), (3,0), (4,0
4
5
إذا كان التطبيق N
f: Nإذ ّ
إن . f(x) = 3x + 2بيِّن هل أن التطبيق شامل أم ال؟
6
ليكن التطبيقان Z
ّ
وان Z
f : Zحيث f(x) = 3x + 1
7
إذا كانت N
السؤال ()5
مشابه للمثال ()3
g : Zحيث . g(x) = 2x + 5
جد قيمة xإذا كان . )fog()x) = 28
f: Nحيث f(x) = 5x+2و ّ
ان N
3
g:Nإذ . g(x) = x + 3
األسئلة ()6 - 7
مشابهة للمثال ()4
اكتب التطبيق fogبكتابة األزواج المرتبة له.
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
8
ّ
وان B
إذا كان { A={1,2,3و {B={4,5,6
f: Aمعرّف كاآلتي:
{( ، f = {(1,4), (2,5), (3,6ارسم المخطط السهمي للتطبيق ومثِّله بالمستوي اإلحداثي.
9
إذا كان Z
f: Aحيث f(x) = x2والمجموعة { ، A={-2,-1,0,1,2مثِّل التطبيق في المستوي
اإلحداثي وبيّن هل أنه تطبيق متباين أم ال ؟
10ليكن N
f: Nإذ ّ
إن N , f(x) = x2
g: Nإذ . g(x) = x + 1والمطلوب إيجاد:
)ii) (fog)(2) , (gof)(2
12
,
)i) (gof)(x) , (fog)(x
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
11درجات الحرارة :سجلت درجات الحرارة في أحد أيام الشتاء
بالعالقة التالية {( R ={(6,-2), (9,-3), (12,-4), (15,-5إذ
يمثل اإلحداثي األول الوقت بالساعة واإلحداثي الثاني درجة الحرارة
اإلحداثي ،
بالدرجات السيليزية .مثّل العالقة بجدول ومثّلها بالمستوي
هل تمثّل العالقة تطبيقا ً أم ال؟ معلالً إجابتك.
12المستوي اإلحداثي :الشكل البياني المجاور يمثل التطبيق
ّ
. f:Nاكتب إحداثيات األزواج المرتبة التي تمثلها نقاط
N
متباين
التطبيق في البياني ،اكتب قاعدة اقتران التطبيق ،هل التطبيق
أم ال؟
X
4
3
2
Y
4
3
2
1
1
w
13صحة :العالقة ( Wr= 2) bتمثل وزنَ الماء في جسم اإلنسان ،و
3
Wbتمثل وزنَ اإلنسان .وزن حسان ،150kgاستعم َل نظام خاص
بإنقاص الوزن لمدة ثالثة أشهر ففقَ َد من وزنه 6kgفي الشهراألول
ثم 12kgفي الشهر الثاني 12kg ،في الشهر الثالث .اكتب جمع
األزواج المرتبة للعالقة بين وزن حسان ووزن الماء في جسمه ،هل
تمثّل تطبيقا ً أم ال ؟
ـر
فَ ِّك ْ
14تح ًّد :إذا كان { A={1 ,2 ,3وكان A
f: Aو A
g: Aمعرّفان كما يلي:
{(g = {(3,1) , (1,2) , (2,3)} , f = {(1,3) , (3,3) , (2,3
بيِّن هل أن fog = gof؟
صح ُح الخطأ :قال ياسين إن العالقة Z
15أُ ِّ
f: Zحيث f(x(= x3ال تمثّل تطبيقا ً متبايناً.
ح ّدد خطأ ياسين وصحّحهُ.
16
عددي :حدِّد ما إذا كانت كل عالقة Y
حس
ٌّ
ٌّ
5
11
كتب
اُ ْ
4
9
f: Xفيما يلي تمثل تطبيقا ً أم ال؟ فسِّر ذلك.
x 1 2 3
y 3 5 7
قيمة xإذا كان N
f: Nيمثل تطبيقا ً حيث ّ ، f(x) = 4x - 3
وأن .)fof)(x) = 33
13
الدرس
ُ
[]1-3
المتتابعات
The Sequences
فكرةُ الدرس
• التعرف إلى المتتابعة
والمتتابعة الحسابية وخواصها
المفردات
• المتتابعة
• المتتابعة الحسابية
• الحد العام
• المتتابعة الثابتة
• أساس المتتابعة
تعلم
يعمل بشار في المرسم خمسة أيام في
األسبوع وينتج لوحةً فنيةً ك َّل ثالثة أيام .ن ِّ
ظ ْم
جدوالً يربط بين عدد األيام وعدد اللوحات
التي رسمها بشار إذا عمل 4أسابيع في
المرسم .اكتب مجموعة األزواج المرتبة
من الجدول .هل يمثل الجدول نمطاً؟ هل
يمثل متتالية؟
[ ]1-3-1المتتابعة والدالة
The sequence and function
تعرفت سابقا ً إلى الدالة وكيفية تحديد مجالها ومداها واآلن سوف تتعرف إلى المتتابعة كدالة وكيفية التعبيرعنها وكتابة
)Sequence) f:Nهي دالة تمثلها مجموعة األزواج المرتبة
حدودها وكما يأتي :إن المتتابعة R
}… {(1,f(1)) , (2,f(2)) , (3,f(3)) , … ,(n,f(n)),إذ ّ
إن المساقط األولى هي مجموعة األعداد الطبيعية
8
8
(متتابعة غير منتهية infinite sequenceويرمز لها }f(n({ n = 1أو )}un{ n = 1أو مجموعة جزئية منها (متتابعة
منتهية finite sequenceويرمز لها }f(n({mn = 1أو ،)}un{mn = 1ولذا اكتُف َي بكتابة المساقط الثانية (الصور)
{ }))f(1)) , (f(2)) , (f(3)) ,…, (f(n( ,...ويسمى unبالحد العام للمتتابعة وأن (.un = f(n
والمتتالية تكتب { ،}u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,... ,ui ,...أو . u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,... ,ui ,...
مثال ( )1نظّم جدوالً يربط بين عدد األيام وعدد اللوحات .اكتب مجموعة األزواج المرتبة من الجدول.
هل يمثل الجدول نمطاً؟ هل يمثل متتابعة؟
عدد اللوحات 6 5 4 3 2 1
األزواج المرتبة }){(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18
عدد األيام 18 15 12 9 6 3
نعم يمثل نمطا ً والعالقة تمثل “ثالثة أمثال” والعالقة تمثل متتابعة ح ّدها العام هو
{ ، un = 3n , n ∈ {1,2,3,4,5,6وتكتب بالشكل اآلتي}un{ = }3n{ = }3,6,9,12,15, 18{ :
مثال ()2
اكتب األزواج المرتبة الخمسة األولى للمتتابعة { }unومثّلها في المستوي اإلحداثي:
}…ii) { 1n }= { 1, 12 , 13 , 14 , 15 ,
1 1 1
}) ), (4, ), (5,
{(1,1), (2, 1 ), (3,
3 4 5
2
1 Y
u =1
n
n
5 X
4
3
2
1
1
2
i) {n}= {1,
}… 2, 3, 4, 5,
(2,2),
} )(3,3), (4,4), (5,5
Y
4
un = n
3
2
1
1 2 3 4 5 X
14
{(1,1),
[ ]1-3-2المتتابعة الحسابية
Arithmetic sequence
)iالمتتابعة الحسابية :هي المتتابعة التي يكون فيها ناتج طرح كل حد من الحد الذي يليه مباشرةً عدداً ثابتا ً ويسمى أساس
المتتابعة (الفرق المشترك ،)Common Differenceويرمز له . d= un+1 - unويمكن كتابة المتتابعة بمعرفة حدها األول
u1 = aوأساسها .dوقانون الحد العام للمتتابعة الحسابية هو un= a + (n-1) dحيث . n ∈ N
ويمكن تحديد نوع المتتابعة بصورة عامة كما يلي:
)iالمتتابعة المتزايدة وفيها d < 0مثال }… .{1, 3, 5, 7, 9,
)iiiالمتتابعة الثابتة وفيها . d = 0
)iiالمتتابعة المتناقصة :وفيها d < 0مثال }… .{4, 2, 0, -2, -4,
مثال }… .{5, 5, 5, 5, 5,
مثال ()3
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة من المتتابعات الحسابية اآلتية:
)iمتتابعة حسابية الحد األول فيها 3وأساسها . 6
}{3, 9, 15, 21, 27
)iiمتتابعة حسابية الحد األول فيها 1وأساسها . -3
}{1, -2, -5, -8 , -11
)iiiمتتابعة حسابية حدها السابع 36وأساسها . 4
u7 = a + (n-1) d ⇒ u7 = a + 6d ⇒ 36 = a + 6 × 4 ⇒ a = 12
+d
+d
+d
}{ 12, 16, 20, 24, 28
u1 ⇒ u2 ⇒ u3 ⇒ ........ ⇒ un
اكتب حدود للمتتابعات اآلتية:
مثال ()4
)iمتتابعة حسابية حدها الثالث 8و . d = -3جد الحدود بين u7و . u11
{ }
نجد قيمة aومنها نحصل
un = a + (n-1) d ⇒ u3 = a + 2d ⇒ 8 = a - 6 ⇒ a = 8 + 6 = 14
على قيمة الحد 7والحدود
un = a + (n-1) d ⇒ u7 = a + 6d ⇒ u7 = 14 + 6(-3) ⇒ u7 = -4
التي تليه
u8 = 47 + d = - 4 - 3 = -7 , u9 = u8 + d = - 7 - 3 = -10
}u10 = 49 + d = - 10 - 3 = -13 , {-7 , -10, -13
حدود المتتالية
)iiاكتب الحد العشرين من المتتابعة الحسابية }… {6, 1, -4, -9,وحدِّد ما إذا كانت المتتابعة متناقصة أم متزايدة.
d = un+1 - un ⇒ d =1- 6 = -5 , a = 6
un = a + (n-1) d ⇒ u20 = a + 19d ⇒ u20 = 6 + 19 (-5) ⇒ u20 = -89
بما أن dأصغر من صفر ،لذا ّ
ان المتتابعة متناقصة.
مثال ()5
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل من المتتابعات اآلتية:
}, ii) {(-1)n}= {-1, 1, -1, 1, -1
} , iv) { n } = { 1 , 2 , 1, 4 , 5
3 3
3 3
3
}, vi) {n3}= {1, 8, 27, 64, 125
15
}i) {2n -1} = {1, 3, 5, 7, 9
}iii) {7} = {7, 7, 7, 7, 7
}v) {n2} = {1, 4, 9, 16, 25
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
األسئلة ()1 - 5
اكتب األزواج المرتبة األربعة األولى للمتتابعة التي حدها العام معطى:
un = 3n2
3
مشابهة للمثال ()2
un = n - 4
2
un = 3n – 1
5
األسئلة ()6 - 8
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة من المتتابعات اآلتية:
7
6
متتابعة حسابية الحد األول فيها 1وأساسها .5
8
متتابعة حسابية الحد األول فيها 3ـ وأساسها 4ـ .
un= 3n
4 un = 1
2n
1
مشابهة للمثال ()3
متتابعة حسابية الحد األول فيها 5ـ وأساسها .2
اكتب حدود للمتتابعات اآلتية:
9
جد الحدود بين u8و u12لمتتابعة حسابية حدها الثالث 9و . d = -2
10جد الحدود بين u6و u10لمتتابعة حسابية حدها الثاني -11و . d = -3
11اكتب الحد الثالث والعشرين من المتتابعة الحسابية }… .{3, -1, -5, -9,
األسئلة ()9 - 11
مشابهة للمثال ()4
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل من المتتابعات اآلتية:
األسئلة ()12 - 15
………= }13 {2n - 5
………= }12 {4n
………= }15 {9
…14 { 1 } =.....
مشابهة للمثال ()5
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
n+1
اكتب األزواج المرتبة األربعة األولى للمتتابعة التي حدها العام معطى:
1
3n+1
= 17 un
16 un = 10 - 4n
18اكتب الحدود الخمسة األولى للمتتابعة اآلتية:
متتابعة حسابية الحد السابع فيها 1وأساسها . 1
3
24
اكتب حدود للمتتابعات اآلتية:
19جد الحدود بين u10و u13لمتتابعة حسابية حدها السابع 13و . d = 1
2
20جد الحدود بين u20و u23لمتتابعة حسابية حدها الثاني 0و . d = -1
حدِّد نوع المتتابعة (متزايدة ،متناقصة ،ثابتة) لكل مما يأتي:
}22 {un} = {n3 -1
16
}21 {un} = {3 - 2n
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
23رياضة الجري :في إحدى مسابقات الجريُ ،سجِّلت أوقات
الفائز األول وفقا ً للجدول اآلتي:
المسافة بالكيلومتر
1
2
3
5
4
الوقت بالدقيقة والثانية 15.92 12.72 9.52 6.32 3.12
اكتب مجموعة األزواج المرتبة من الجدول .هل يمثل الجدول
نمطاً؟ هل يمثل متتابعة؟ علل إجابتك.
24
رياضة القفز بالزانة :يبيِّن الجدول التالي محاوالت أحد
أبطال العالم في رياضة سباق القفز بالزانة.
المحاولة
1
2
3
4
5
االرتفاع بالمتر 6.10 6.05 6.00 5.95 5.90
اكتب مجموعة األزواج المرتبة من الجدول .هل يمثل الجدول
نمطاً؟ هل يمثل متتابعة؟ علل إجابتك.
25زراعة :اشترى حسّان مزرعة لتربية األبقار وبعد سنة أصبح
فيها 20بقرةً ،وبدأت تزداد ك َّل سنة نتيجة الوالدات بمعدل ثابت
حتى أصبح عددها الضعف بعد مضي ست سنوات .مثِّل المسألة
بجدول واكتب األزواج المرتبة فيه .هل يمثل الجدول نمطاً؟ هل
يمثل متتابعة؟ علِّل إجابتك.
ـر
فَ ِّك ْ
26تح ًّد :جد قيمة xالتي تجعل الحدود الثالثة األولى للمتتابعة الحسابية كما يأتي:
}{2x, x + 1, 3x + 11, .....
صح ُح الخطأ :قالت رابحة ّ
أن المتتابعة التي حدها العام un = 8 - 2nمتتابعة متزايدة ألن . d < 0
27أُ ِّ
اكتشف خطأ رابحة وصحّحه.
28
حس
عددي :ماهو الحد الحادي عشر لمتتابعة حدها الثالث 4وأساسها - 1؟
ٌّ
ٌّ
2
كتب
اُ ْ
الحد الذي ترتيبه 101في المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس - 4وأساسها . 2
17
الدرس
ُ
[]1-4
المتباينات المركبة
Compound Inequalities
فكرةُ الدرس
تعلم
• حل المتباينات التي تحتوي
أدوات الربط (و) ( ،أو) وتمثيل
الحل على مستقيم األعداد.
تقاس درجات حرارة الجو خالل اليوم الواحد
بدرجة الحرارة السيليزية الصغرى والكبرى
لكونها متغيرة من وقت آلخر .فإذا كانت درجة
الحرارة السيليزية الصغرى في مدينة بغداد
في شهر كانون األول 8oCودرجة الحرارة
السيليزية الكبرى .15oCاكتب متباينة تمثل
درجة الحرارة في بغداد وجد حلّها.
المفردات
• المتباينة المركبة
• التقاطع
• االتحاد
• مجموعة الحل
[ ]1-4-1المتباينات المر ّكبة التي تتضمن (و)
”Compound inequalities contain “and
تعرفت سابقا ً إلى المتباينات الجبرية وخواصها وكيفية إيجاد مجموعة الحل لها وتمثيله على مستقيم األعداد ،واآلن سوف
تتعرف إلى المتباينات المركبة التي تحتوي على أداة الربط (و) وكيفية إيجاد مجموعة الحل لها وتمثيله على مستقيم األعداد
الحقيقية .المتباينة المركبة التي تحتوي على أداة الربط (و) مؤلفة من متباينتين فإنها تكون صحيحة فقط إذا كانت المتباينتان
صحيحتين ،وعليه فإن مجموعة الحل لها عبارة عن مجموعة تقاطع حل المتباينتين ،ويمكن إيجاده بطريقتين األولى بيانيا ً
بتمثيل حل المتباينتين على مستقيم األعداد ثم تحديد منطقة التقاطع ،والثانية جبريا ً وذلك بإيجاد مجموعة الحل لكل متباينة ثم
أخذ مجموعة التقاطع لهما ( .)S = S1 S2
∪
مثال ()1
اكتب المتباينة المركبة التي تمثل درجة الحرارة السيليزية الصغرى والكبرى في بغداد وجد حلها.
درجة الحرارة (الصغرى) التقل عن ،)x > 8( 8oدرجة الحرارة (الكبرى) التزيد على ،)x > 15( 15o
التقل درجة الحرارة عن 8oوالتزيد على x > 15( 15oو ،)x > 8ويمكن حلها بإحدى الطريقتين:
الطريقة األولى :بيانيا ً
15
14
13
12
11
9 10
8
7
6
5
وتقرأ xأكبر من أو تساوي 8
15
14
13
12
11
9 10
8
7
6
5
وأقل من أو تساوي 15
15
14
13
12
11
9 10
8
7
6
5
الطريقة الثانية :جبريا ً
x > 15
8 > x > 15
x > 15و 8 > x > 15 ⇒ x > 8
⇒
}⇒ S = S1 S2 = {x: x > 8
∪
∪
}{x: x > 15} = {x: 8 > x > 15
مثال ()2
x>8
حل المتباينة المركبة التي تتضمن (و) -3 > 3x+2 < 9جبريا ً ومثّل الحل على مستقيم األعداد:
-5 > 3x < 7
3
3
3
⇒ -3 > 3x+2 < 9 ⇒ -3 - 2 > 3x+2 - 2 < 9 - 2 ⇒ -5 > 3x < 7
} ⇒ -5 > x < 7 ⇒ S = {x: -5 > x < 7
3
3
3
3
3
7
3
2
0
1
18
-1
-2 -5
3
[ ]1-4-2المتباينات المركبة التي تتضمن (أو)
”Compound inequalities contain “or
بعد أن تعرفت إلى المتباينة المركبة التي تحتوي على أداة الربط (و) سوف تتعرف إلى المتباينة المركبة التي تحتوي على أداة
الربط ( أو) وتكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى المتباينتين المكونتين لها في األقل صحيحة ،وعليه فإن مجموعة الحل لها
عبارة عن مجموعة اتحاد حل المتباينتين ،ويمكن إيجاده بطريقتين األولى بيانيا ً بتمثيل حل المتباينتين على مستقيم األعداد ثم
تحديد منطقة االتحاد ،والثانية جبريا ً وذلك بإيجاد مجموعة الحل لكل متباينة ثم أخذ مجموعة االتحاد لهما ( .)S = S1 ∪ S2
حل المتباينة المركبة x+3 < 2أو x+3 > -2بيانيا ً وجبرياً.
مثال ()3
الطريقة األولى :بيانيا ً x > -1
x > -5
0 1 2 3
x > -1أو x > -5
الطريقة الثانية :جبريا ً
0 1 2 3
0 1 2 3
⇒ S = S 1 ∪ S2
-2 -1
-3
-5 -4
-6
-7
-8
-2 -1
-3
-5 -4
-6
-7
-8
-2 -1
-3
-5 -4
-6
-7
-8
} {
x+3 > -2أو x+3 > 2
x+3 > 2
x+3 > -2
⇒ x+3 > -2أو x+3 > 2
x > -5أو x > -1
}= {x: x > -1} ∪ {x: x > -5
حل المتباينة التي تتضمن (أو) جبريا ً ومثّل الحل على مستقيم األعداد:
مثال ()4
y > 3أو y + 3 > 6 ⇒ y > 2أو i) y-3 > -1
5
4
3
2
3
2
1
1
0
-1
-1
-2
}⇒ S = S1 ∪ S2 = {y: y > 2} ∪ {y: y > 3
v < 0أو 2v3+ 1 < 13 ⇒ v > 2أو ii) 2v3+ 1 > 53
4
0
}⇒ S = S1 ∪ S2 = {v: v > 2} ∪ { v: v < 0
[ ]1-4-3المتباينة المثلثية
Triangular inequality
من المواضيع التي تربط الجبر بالهندسة هي المتباينة المثلثية “في كل مثلث مجموع طول ضلعين من أضالعه يكون أكبر من
طول الضلع الثالث” وتستعمل في اإلنشاءات الهندسية والتصاميم ،إذا كانت أطوال أضالع مثلث ( )A,B,Cفيجب أن تكون
المتباينات الثالث التالية صحيحة. A+ B > C , A + C > B , B + C > A :
مثال ()5
)iهل يمكن للقطع المستقيمة التي طولها 2cm ،10cm ،13cmأن تش ّكل مثلثاً؟
اليمكن أن تشكل مثلثا ً ألنه :خطأ ، 2 + 10 > 13صحيحة ، 10 + 13 > 2صحيحة . 2 + 13 > 10
)iiاكتب متباينة مركبة تبين طول الضلع الثالث في مثلث طول ضلعين فيه .10cm ، 8cm
نفرض طول الضلع الثالث xومنه:
ولذا يجب أن يكون طول الضلع أصغر
من 18وأكبر من 2وبالمتباينة المركبة ⇒
تبيّن طول الضلع الثالث 2 < x < 18
{}
الضلع الثالث أصغر من 8 +10 > x ⇒ 18 > x ⇒ 18
الضلع الثالث أكبر من 8 + x > 10 ⇒ x > 2 ⇒ 2
التعطي أية معلومات مفيدة ⇒ 10 + x > 8 ⇒ x > -2
19
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
األسئلة ()1 - 2
مشابهة للمثال ()1
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (و) بيانياً:
-4 > z + 2 > 8
-4 > y -1 < 3
2
1
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (و) جبريا ً ومثّل مجموعة الحل على مستقيم األعداد:
األسئلة ()3 - 4
مشابهة للمثال ()2
-9 < 2x - 1 > 3
4
x+6 < 15و x+ 6 > 12
3
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (أو) بيانياً:
األسئلة ()5 - 6
مشابهة للمثال ()3
2z > 8أو 2z < 2
3 3
3 9
8y > 32أو 8y > 64
6
5
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (أو) جبريا ً ومثِّل الحل على مستقيم األعداد:
األسئلة ()7 - 8
مشابهة للمثال ()4
x+15 < 22أو x+15 > 30
8
3n -7 > -9أو 3n-7 > -5
7
هل يمكن رسم مثلث أطوال أضالعه كما يأتي:
األسئلة ()9 - 12
10 5cm ,4cm, 9cm
مشابهة للمثال ()5
12 3cm, 4cm, 2 3 cm
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
1cm, 2cm, 3 cm
2 cm, 2 cm
9
11 1cm,
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (و) بيانياً:
14 2 > y + 4 < 6
x > -7و 13 x > -12
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (و) جبريا ً ومثّل مجموعة الحل على مستقيم األعداد:
1 > z+3 > 1
25
5
15
16
3x+7 < 26و 15 14 > 3x+7
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (أو) بيانياً:
x -6 > 4أو 18 x-6 > -1
z -2 > 4أو 17 z -2 < -7
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (أو) جبريا ً ومثّل الحل على مستقيم األعداد:
5x > 4أو 20 5x > -1
y
y
1
أو < 3 1
> 72
2
2
2
19
اكتب المتباينة المركبة التي تبين طول الضلع الثالث في المثلث إذا كان طوال ضلعي المثلث معلومين:
23 1cm, 3cm
22 6cm, 4cm
20
21 3cm , 10cm
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
24صوت :أُذن اإلنسان يمكن أن تسمع األصوات التي اليقل ترددها
عن 20هرتزاً واليزيد على 20000هرتز .اكتب متباينة مركبة
تمثل الترددات التي التسمعها أُذن اإلنسان ،ومثّل مجموعة الحل
على مستقيم األعداد.
25إطار السيارات :ضغط الهواء المثالي الموصى به إلطارات
السيارات الصالون اليقل عن ) 28 Pascal (kg/ ing2واليزيد
على .36 Pascalاكتب متباينة مركبة تمثل الضغط ،ومثّل مجموعة
الحل على مستقيم األعداد.
مالحظة :باسكال ( )pascalوحدة قياس ضغط الهواء مقدرة kg/ ing2
26القطار المغناطيسي :القطار المغناطيسي المعلق وهو قطار يعمل
بقوة الرفع المغناطيسية وباختصار يعرف بالماجليف (.)Maglev
ص ِّممت أنواع مختلفة من هذه القطارات المغناطيسية في مختلف
و ُ
دول العالم إذ ّ
إن سرعتها التقل عن 300 k/hوالتزيد على
. 550 k/hاكتب متباينة تمثّل سرعة القطار ،ومثّل مجموعة الحل
على مستقيم األعداد.
ـر
فَ ِّك ْ
27تح ًّد :اكتب متباينة مركبة تبين مدى طول الضلع الثالث في كلِّ مثلث:
7cm, 12cm, x cm
صح ُح الخطأ :قالت سوسن ّ
إن المتباينة المركبة x+3 > 5و -4 < x+3تمثل مجموعة الحل على
28أُ ِّ
مستقيم األعداد اآلتية:
4 5
3
2
1
0
-8 -7 -6 -5 -4 -2 -1
-9
بيّن خطأ سوسن وصحِّحه.
حس
ضح إجابتك .
29
عددي :اذكر ما إذا كانت األطوال الثالثة هي لمثلث أم ال؟ و ّ
ٌّ
ٌّ
i) 3.2cm, 5.2cm, 6.2cm
ii) 1cm, 1cm, 2 cm
كتب
اُ ْ
متباينة مركبة التي تمثل درجة الحرارة الصغرى 18oودرجة الحرارة العظمى .27o
21
الدرس
ُ
[]1-5
متباينات القيمة المطلقة
Absolute Value Inequalities
فكرةُ الدرس
• حل المتباينات التي تحتوي
على قيمة مطلقة.
المفردات
• القيمة المطلقة
تعلم
فندق بابل من الفنادق السياحية في العاصمة
بغداد ويقع في منطقة الكرادة .درجة
حراراة الماء المثالية في حوض السباحة
25درجة سيليزية تزداد أو تنقص بمقدار
درجة واحدة.
اكتب متباينة قيمة مطلقة تمثل مدى درجة
حرارة الماء في حوض السباحة.
[ ]1-5-1متباينات القيمة المطلقة التي على صورة | g(x) | > a ، | g(x) | < aحيث x ∈ R
Absolute value inequalities with form | g(x) | < a ، | g(x) | > a , a ∈ R
تعرفت سابقا ً إلى المتباينات المركبة التي تحتوي على (و) و (أو) وكيفية حلها بيانيا ً وجبريا ً وكيفية تمثيل مجموعة الحل على
مستقيم األعداد .واآلن سوف تتعرف إلى متباينة القيمة المطلقة التي على صورة a ∈ R ، g(x) | > a ، | g(x) | < a
مثل | x | > 4وتعني :ما قيمة xالتي تبعد عن الصفر بأقل من 4وحدات؟
وهي كل األعداد التي بين العددين - 4و 4وتمثيلها على مستقيم األعداد هو:
4
4
ونالحظ أن حل هذه المتباينة هو x < 4و -4 < x
أي ّ
إن متباينة القيمة المطلقة بعالقة أصغر من (أصغر من أو يساوي) تمثل متباينة مركبة تتضمن (و).
بصورة عامة | x | > a ⇒ -a > x > a , a > 0
5
مثال ()1
4
3
2
0 1
-2 -1
-3
-5 -4
اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل درجة حرارة الماء في الحوض ومثِّله بيانياً.
نفرض درجة حرارة الماء هي xدرجة سيليزية ،لذا المتباينة التي تمثل درجة حرارة الحوض عندما التزيد على
x > 25 + 1 ⇒ x - 25 > 1
260سيليزية:
والمتباينة التي تمثل درجة حرارة الحوض عندما التنقص عن 240درجة سيليزية:
x > 25 -1 ⇒ x - 25 > -1
لذا متباينة القيمة المطلقة هي المتباينة المركبة التي تمثل مدى درجة حرارة الماء في حوض السباحة:
x - 25 > 1 ⇒ -1 > x - 25 > 1 ⇒ | x - 25 | > 1و x - 25 > -1
وتمثيل مجموعة الحل على مستقيم األعداد هو
28
مثال ()2
27
26
25
24
23
22
حل متباينات القيمة المطلقة ،ومثِّل الحل على مستقيم األعداد.
i) | x + 6 | < 3 ⇒ -3 < x + 6 < 3 ⇒ -3-6 < x < 3- 6
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
⇒ -9 < x < -3
ii) | y | - 5 > 1 ⇒ | y | > 1 +5 ⇒ | y| > 6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
⇒ -6 > y > 6
22
[ ]1-5-2متباينات القيمة المطلقة التي على صورة | g(x) | > a ، | g(x) | > aحيث x ∈ R
Absolute value inequalities with form | g(x) | > a ، | g(x) | > a , a ∈ R
بعد أن تعرفت إلى متباينة القيمة المطلقة التي تحتوي على صورة | g(x) | > a ، | g(x) | < aحيث x ∈ Rواآلن سوف
تتعرف إلى متباينة القيمة المطلقة التي على صورة | g(x) | > a ، | g(x) | > aحيث ∈ xمثل | x | < 3وتعني:
المسافة بين xوالصفر أكبر من 3أي ّ
أن x > 3أو x < -3ومجموعة حل المتباينة هو }{x: x < -3} ∪ {x: x > 3
لذا فإن متباينة القيمة المطلقة بعالقة أكبر من (أكبر من أو يساوي)
3
3
هي عالقة مركبة تتضمن (أو).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
بصورة عامة x > -a , a > 0أو | x | > a ⇒ x > a
⇒
مثال ()3
حل متباينة القيمة المطلقة ومثّل الحل على مستقيم األعداد.
x > -2أو x+4 > 2 ⇒ x < -6أو i) | x + 4 | > 2 ⇒ x + 4 < -2
}⇒ S = S1 ∪ S2 = {x: x < -6} ∪ {x: x > -2
0
-1
-2
-5 -4
-3
-6
-8
-7
y > 1أو 5y-1 > 4 ⇒ y > - 35أو ii) | 5y -1| > 4 ⇒ 5y-1 > -4
}⇒ S = S1 ∪ S2 = {y: y > - 3 } ∪ {y: y > 1
5
2
0
1
-1 - 3
5
-2
)iiiفي تحليالت دم اإلنسان البالغ يعد المدى الطبيعي للبوتاسيوم هو .(3.5 - 5.3) mol/Lاكتب متباينة القيمة
المطلقة التي تمثل المدى غير الطبيعي للبوتاسيوم في دم اإلنسان.
المتباينة التي تمثل كمية البوتاسيوم غير الطبيعية واقل من القيمة الدنيا للمعدل هي:
x < 3.5
المتباينة التي تمثل كمية البوتاسيوم غير الطبيعية وأكبر من القيمة العليا للمعدل هيx > 5.3 :
المدى غير الطبيعي للبوتاسيوم هو حل المتباينة المركبة:
x > 5.3أو x < 3.5
نجد متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المدى غير الطبيعي للبوتاسيوم:
0.9
4.4
0.9
نأخذ منتصف المسافة بين نقطتين ونطرح
ونضيف نصف قطر المسافة
x > 4.4 + 0.9أو x > 5.3 ⇒ x < 4.4 - 0.9أو x < 3.5
⇒
5.3
3.5
x- 4.4 > 0.9 ⇒ | x- 4.4 | > 0.9أو ⇒ x- 4.4 < -0.9
⇒
⇒
مثال ()4
جد مجموعة الحل لمتباينات القيمة المطلقة اآلتية:
i) | 2x - 5 | +3 < 11 ⇒ | 2x - 5| < 8 ⇒ -8 < 2x - 5 < 8 ⇒ -3 < 2x < 13
}⇒ - 3 < x < 13 ⇒ {x: x > - 3 } {x: x < 13} ⇒ {x: - 3 < x < 13
2
2
2
2
2
2
}ii) |7 - y | < 8 ⇒ - 8 < 7- y < 8 ⇒ -15 < -y < 1 ⇒ -1 < y <15 ⇒ {y: y > -1} {y: y < 15
)2(t-4
| ⇒ iii) | 2t-8 | > 9
| > 9 ⇒ | t-4 | > 9 ⇒ | t -4 | > 18
4
2
4
} t > 22 ⇒ {t : t > -14} ∪ {t : t > 22أو t - 4 > 18 ⇒ t > -14أو ⇒ t - 4 > -18
-3v > 7أو 5- 3v > 12 ⇒ -3v > -17أو iv) | 5 - 3v | > 6 ⇒ | 5 - 3v| > 12 ⇒ 5- 3v > -12
2
} v > -7 ⇒ {v: v > 17} ∪ {v: v > -7أو ⇒ v > 17
3
3
3
3
∪
∪
23
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
1
اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل التالية:
o
o
تعد درجة الحرارة المثلى داخل الشقق 22سيليزية بزيادة أو نقصان اليتجاوز 2سيليزية .السؤال 1
مشابه لألمثلة ()1,3
حل متباينات القيمة المطلقة ومثّل الحل على مستقيم األعداد.
األسئلة ()2 - 5
| 3z - 7 | > 2
3
|x+1|<5
2
مشابهة للمثال ()2
| 5y | -2 > 8
5
|x|+8<9
4
األسئلة ()6 - 9
| 5z - 9 | > 1
7
|x+4|>6
6
| 4y | -2 > 3
9
| 2x | + 7 > 8
8
مشابهة للمثال ()3
األسئلة ()10 - 13
مشابهة للمثال ()4
11 | 4z - 14 | > 2
10 |5 - x | < 10
| 13
12 | x - 12 | > 9
6 - 2y
|>9
4
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
4
اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل اآلتية:
14يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثالجة 8oسيليزية بزيادة أو نقصان اليتجاوز 0.5oسيليزية .اكتب مدى
درجة الحرارة المثالية في داخل الثالجة.
15درجة غليان الماء 100oسيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما
اليتجاوز 20oسيليزية .اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.
حل متباينات القيمة المطلقة اآلتية:
18 2| x | - 7 > 1
17 | 2z | - 5 < 2
20 | 4 z - 1 | > 4
5
16 | x + 3 | < 6
19 | 11z | -2 > 9
5
اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيالت البيانية اآلتية:
21
22
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
23
24
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
24
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل كل مسألة مما يأتي:
25الغرير :حيوان الغرير هو أحد أنواع الثديات ،ينتمي إلى شعبة
الحبليات ،ويمتلك قوائم قصيرة نوعا ً ما ،ويعيش في الحُفر التي
يحفرها في األرض ،طول جسمه من الرأس الى الذيل يصل من
68cmإلى .76cmاكتب مدى طول الغرير.
26صحة :معدل النبض (عدد دقات القلب) الطبيعي لإلنسان البالغ
يتراوح من 60الى 90نبضةً في الدقيقة .اكتب مدى عدد الدقات
غير الطبيعية لقلب اإلنسان.
27مواصالت :تطير الطائرات المدنية على ارتفاع يتراوح من
8kmإلى 10kmإذ تعد منطقةً جويةً معتدلةً .اكتب مدى منطقة
الطيران المدنية.
ـر
فَ ِّك ْ
28تح ًّد :حل متباينات القيمة المطلقة ومثّل الحل على مستقيم األعداد.
12 - 3 y
| > 15
5
| )ii
)3 (x+ 1
|> 6
2
| )i
صح ُح الخطأ :قالت خلود إن متباينة القيمة المطلقة | 6 - 3y | > 7تمثل متباينة مركبة بعالقة (و) ومجموعة
29أُ ِّ
الحل لها . } y: - 1 > y > 13{ :بيِّن خطأ خلود وصحّحه.
3
2
30
حس
عددي :اكتب مجموعة الحل لمتباينات القيمة المطلقة التالية في مجموعة األعداد الحقيقية:
ٌّ
ٌّ
ii) | x - 1| > 0
كتب
اُ ْ
i) | z | -1 < 0
متباينة قيمة مطلقة تمثّل موقفا ً من واقع الحياة ،ومثّل مجموعة الحل على مستقيم األعداد.
25
اختبار الف�صل
Chapter Test
سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات في األعداد الحقيقية:
ب ِّ
3- 6
8-5
2
=.....
( 3 + 5 ) ( 3 + 5 ) =.....
3
3 2
3
1
استعمل ترتيب العمليات والحاسبة لتكتب ما يلي مقرِّ با ً ألقرب ُعشر:
1
1
1
( 1 ) 3 - (- 1 )0 + (121) 2 × ( 1 ) 2 =.....
125
2
9
4إذا كان R
f: zحيث .f(x) = x2ارسم مخططا ً سهميا ً للتطبيق وبيِّن هل ّ
أن التطبيق متباين ،شامل ،أو متقابل؟
f: Nإذ ّ
إن N , f(x) = 3x + 1
5إذا كان التطبيق N
جد. (gof)(5) , (fog)(5) , (gof)(2) , (fog)(2) :
6إذا كان التطبيق R
g: Nإذ . g(x) = x2
g: Rإذ أن . g(x)= 2x+5
f: Rحيث f(x)= 3x+1والتطبيق R
هل أن ( )gof )(x) = (fog )(x؟ جد قيمة xإذا كانت . )fog)(x) = 28
اكتب حدود للمتتابعات اآلتية:
7جد الحدود بين u3و u8لمتتابعة حسابية حدها الثاني -3و . d = 2
2
5
8جد الحدود بين u4و u9لمتتابعة حسابية حدها الثالث 6و . d = -
2
حدّد نوع المتتابعة (متزايدة ،متناقصة ،ثابتة) لكل مما يأتي:
10 un = n2 - 2
11 un = 1
3n+1
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل من المتتابعات اآلتية:
-n
13 {4 2 }=.....
{ 14
n+5 }=......
ح ّل المتباينات المر ّكبة ومثّل مجموعة الحل على مستقيم األعداد:
x-3 > 5أو 17 x-3 > -5
y
y > 9 1أو 1
<
1
3
3
3
3
20
1 < z+2 > 1
2
16
8
un = 9 – 3n
9
n } =.....
{ n+2
12
16
x+6 < 20و 15 x + 6 > 12
y +7 > 16أو 19 y > 0
7t-5 > -14أو 18 7t-5 > -1
اكتب المتباينة المر ّكبة التي تبيّن مدى طول الضلع الثالث في المثلث إذا كان طوال ضل َعي المثلث معلومين:
23 7cm ,15cm
ح ّل متباينات القيمة المطلقة اآلتية:
26 | x + 1 | > 1
2
29 | 8z | -1 > 7
22 5cm ,12cm
| 3z |- 5 < 4
21 4cm , 9cm
25
24 | x - 6 | > 3
| 3y | - 2 > 9
31 | 6-3y | > 5
9
27 6 | x | - 8 > 3
28
26
30 | 4 - 3y | > 14
الف� ُصل
2
املقادير اجلبرية
Algebraic Expressions
الدرس 2-1ضرب المقادير الجبرية
الدرس 2-2تحليل المقدار الجبري باستعمال العامل المشترك األكبر
الدرس 2-3تحليل المقدار الجبري بالمتطابقات
الدرس 2-4تحليل المقدار الجبري من ثالثة حدود بالتجربة
الدرس 2-5تحليل المقدار الجبري مجموع مكعبين أو الفرق بين مكعبين
الدرس 2-6تبسيط المقادير الجبرية النسبية
ّست في زمن العباسيين في بغداد عام ،1233وكانت مركزاً علميا ً وثقافيا ً
المدرسة المستنصرية مدرسة عريقة أُس ْ
مهماً .تقع في جهة الرصافة من بغداد ،وتتوسط المدرسة ساحة مستطيلة الشكل فيها نافورة كبيرة فيها ساعة
المدرسة المستنصرية ،لو فرضنا أن طول الساحة الداخلية للمدرسة هو ( )x+14متراً وعرضها ( )x+2متر،
فيمكن حساب المساحة بضرب المقدارين الجبريين (. )x+14) (x+2
27
االختبا ُر القبل ّي
Pretest
جد ناتج جمع المقادير الجبرية التالية أو طرحها:
)( 12 zy + 5z - 7y) - ( 1 zy - 3z + 2y
4
2
)(3x2 + 4x - 12) + (2x2 - 6x + 10
1
جد ناتج الضرب للحدود الجبرية اآلتية:
2 yz × 2 yz2
4
)3h ( 16 v - 13 h-2
6
1
7x2 × 14x
3 v2 t × 12 t-1
4
3
5
جد ناتج ضرب مقدارين جبريين:
1
4
)( 2 x2 + 6) ( 3 x2 +12
9
)( 5- 2z) ( 3+ 3z
8
)(x+2) ( x- 2
)(xy+1) (x-1 y - xy-1 -1
12
)(x+3) (x2- 3x + 9
11
10 (2 3 t – 4)2
7
جد ناتج الضرب باستعمال الطريقة العمودية:
)15 (3-z) (3+ 5z – z2
)14 (2x+3) (4x2 - x - 5
)(y-1) ( y+1
13
جد ناتج قسمة المقادير الجبرية اآلتية:
-2
17 -47z
7z2
21 -14a + 7a2
7a
19
3xy2
15x2y
16
8x3 + 4x2 - 2x
2x
18
حلل المقادير الجبرية باستعمال العامل المشترك األكبر:
1 zx2 - 2z2 x + 4zx
2
21
28
20 3y3 + 6y2 - 9y
الدرس
ُ
[]2-1
ضرب المقادير الجبرية
Multiplying Algebraic Expressions
فكرةُ الدرس
• ضرب مقدار جبري في
مقدار جبري يمثل حاالت
خاصة.
المفردات
• مربع مجموع
• مربع فرق
• مكعب مجموع
• مكعب فرق
تعلم
ح ّوطت حديقة منزلية مربّعة الشكل
طول ضلعها hمتر بممر عرضه 1
متر.
ما مساحة الممر بداللة h؟
[ ]2-1-1ضرب مقدارين جبريين كل منهما من حدين
Multiplying two algebraic expressions each of one contains two terms
تعلمت سابقا ً كيفية ضرب حد جبري في حد جبري وكذلك ضرب مقدار جبري في مقدار جبري ،اآلن سوف تتعلم
كيفية ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما من حدين ويمثالن مربع مجموع أو مربع فرق أو مجموع في
فرق وذلك باستعمال الخواص التي درستها سابقا ً من توزيع وابدال وترتيب.
جد مساحة الممر المحيط بالحديقة المربعة الشكل؟
مثال ()1
مساحة الممر هي الفرق بين مساحتي المربع الكبير (الحديقة مع الممر) والمربع الصغير(الحديقة)
(h+2)2 = (h+2) (h+2) = h2 + 2h + 2h +4 = h2 + 4h + 4
مساحة الحديقة مع الممر
h × h = h2
مساحة الحديقة
(h2 + 4h +4) - h2 = h2 + 4h + 4 - h2 = 4h + 4
مساحة الممر
مثال ()2
جد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما من حدين:
i) ( x + y)2 = (x+ y) (x+ y) = x2 + x y + y x + y2 = x2 +2xy + y2
مربع مجموع حدين
ii) (x - y)2 = (x- y) (x- y) = x2 - x y - y x + y2 = x2 - 2xy + y2
مربع الفرق بين حدين
iii) (x + y) (x-y) = x2 - x y + y x - y2 = x2 - y2
مجموع حدين × فرق بينهما
iv) (x + 3) (x + 5) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15
مجموع حدين × مجموع حدين
v) (x + 2) (x - 6) = x2 - 6x + 2x - 12 = x2 - 4x - 12
مجموع حدين × فرق بين حدين
vi) (x -1) ( x - 4) = x2 - 4x - x + 4 = x2 - 5x + 4
فرق بين حدين × فرق بين حدين
مثال ()3
جد ناتج ضرب المقادير الجبرية اآلتية:
i) ( z + 3)2 = z2 + 6z + 9
iii) (2x - 7) (2x + 7) = 4x2 - 49
v) (v + 2 ) (v - 2 ) = v2 - 2
ii) (h - 5)2 = h2 -10h + 25
iv) (3y + 1) (y + 2) = 3y2 +7y + 2
vi) (n - 3 ) (5n - 3 ) = 5n2 - 6 3 n + 3
29
[ ]2-1-2ضرب مقدار جبري من حدين في آخر من ثالثة حدود
Multiplying algebraic expression from two terms by another from three terms
تعلمت سابقا ً ضرب المقادير الجبرية من عدة حدود واآلن سوف تتعلم حاالت خاصة من ضرب مقدار جبري من حدين
في مقدار جبري من ثالثة حدود وذلك باستعمال الخواص التي درستها في التوزيع واإلبدال والترتيب.
مثال ()4
جد ناتج ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود:
ناتج الضرب مجموع مكعبين
i) (x+2) (x2- 2x + 4) = x3- 2x2 + 4x + 2x2 - 4x+8= x3 +8= x3 +23
ناتج الضرب الفرق بين مكعبين ii) (y-3)(y2 + 3y + 9)= y3 + 3y2 +9y- 3y2 -9y -27 = y3 - 27= y3 - 33
)iii) (y+2)3 = (y+2) (y+2)2 = (y + 2)(y2 + 4y + 4
مكعب مجموع حدين
= y3 + 4y2 + 4y + 2y2 + 8y + 8 = y3 + 6y2 + 12y + 8
مكعب الفرق بين حدين
)iv) (z - 3)3 = (z-3) (z-3)2 = (z - 3) ( z2 - 6z + 9
= z3 - 6z2 + 9z - 3z2 + 18z - 27 = z3 - 9z2 + 27z - 27
مثال ()5
جد ناتج ضرب المقادير الجبرية اآلتية:
i) (2v + 5) (4v2 -10v + 25) = 8v3 - 20v2 + 50v + 20v2 - 50v + 125 = 8v3 +125 = (2v)3 + 53
1 + 1 z + 1 z2 - 1 z - 1 z2 - z3 = 1 - z3 = ( 1 )3 - z3
ii) ( 13 - z) ( 19 + 13 z + z2) = 27
9
3
9
3
27
3
3
3
3
3
3
3
3
3
iii) (x - 2 ) (x2+ 2 x + 4 ) = x3 + 2 x2 + 4 x - 2 x2 - 4 x - 8
3
3
3
3
= x3 + 2 x2 - 2 x2 + 4 x - 4 x - 2 = x3 - 2
iv) (x+ 12 )3 = (x+ 12 )(x+ 12 )2 = (x+ 12 )( x2 + x + 14 ) = x3 + x2 + 14 x + 12 x2 + 12 x + 18
= x3 + x2 + 1 x2 + 1 x + 1 x + 1 = x3 + 3 x2 + 3 x + 1
2
4
2
8
2
4
8
)v) (y - 5)3 = (y - 5) (y - 5)2 = (y - 5) (y2 - 10y + 25
= y3 - 10y2 + 25y - 5y2 + 50y - 125
= y3 - 15y2 + 75y - 125
30
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما من حدين:
األسئلة ()1 - 7
مشابهة للمثالين ()2,3
( 7 - h)2
2
)(x + 3) (x - 3
1
)(v + 5) (v + 1
4
) (z + 5 ) (z - 5
3
)(3x - 4) (x + 5
6
)(x - 3) (x - 2
5
)( 13 y + 3) ( 1 y + 2
3
7
جد ناتج ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود:
األسئلة ()8 - 13
)(2z + 4) (4z2 - 8z + 16
)(y+2) (y2 - 2y+4
9
مشابهة للمثالين ()4,5
)2 + m) ( 3 4 - 3 2 m + m2
7
49
7
13 (y - 4)3
3
3
3
) 3 ) (v2 + 3 v + 9
( 11
3
8
10 (v -
12 (x + 5)3
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما من حدين:
) 6 ) (y - 6
16 (y +
14 (n - 6)2
)17 (4 - y) (5 - y
)15 (2x - 3) (x + 9
جد ناتج ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود:
)18 (x+6) (x2 - 6x+36
19 (z - 3)3
3
3
) 4 ) (x2 + 4 x + 16
)1 - 3 1 n + n2
25
5
31
3
3
20 (x -
( )21 ( 3 1 + n
5
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
22مسبح :يعد فندق بغداد أحد الفنادق السياحية المهمة في العاصمة
العراقية بغداد ،يبلغ طول المسبح فيه ( )x + 9أمتار وعرضه
) (x + 1متر ،ومحاط بممرعرضه 1متر .اكتب مساحة المسبح
مع الممر بأبسط صورة بداللة . x
23تأريخ :تقع مدينة بابل شمال مدينة الحلة في العراق حيث عاش
البابليون فيها منذ 3000سنة قبل الميالد تقريباً .وقد بنوا سنة 575م
بوابة عشتار التي تعد البوابة الثامنة في سور مدينة بابل .رسم وائل
لوحة فنية تمثل بوابة عشتار باألبعاد ( )y - 4) ، (y + 7سنتمترات.
اكتب مساحة اللوحة التي رسمها وائل بأبسط صورة بداللة . y
24أسماك زينة :حوض سمك زينة مكعب الشكل طول حرفه )(v + 3
سنتمتر .اكتب حجم حوض الزينة بأبسط صورة بداللة .v
ـر
فَ ِّك ْ
25تح ًّد :جد ناتج ما يأتي بأبسط صورة:
(x + 1)2 - (x - 2)2
صح ُح الخطأ :كتبت نسرين ناتج ضرب المقدارين الجبريين كاآلتي:
26أُ ِّ
( 5 h - 4) (h - 6) = 5 h2 + 10 h - 24
ح ّدد خطأ نسرين وصحّحه.
27
عددي :أ ّ
ي العددين أكبر؟ العدد ( 3 - 2 )2أم العدد .( 3 + 2 )2وضّح إجابتك.
حس
ٌّ
ٌّ
كتب
اُ ْ
) (2z + 1 ) (2z - 1
2
2
ناتج ضرب المقدارين الجبريين:
32
الدرس
ُ
[]2-2
تحليل المقدار الجبري باستعمال العامل المشترك األكبر
Factoring the Algebraic Expression by using a Greater Common Factor
فكرةُ الدرس
• تحليل المقدار الجبري
باستعمال العامل المشترك
األكبر.
المفردات
• تحليل المقدار الجبري
• العامل المشترك األكبر
• ثنائية الحد
• المعكوس
• التحقق من صحة الحل
تعلم
يعد نصب ساحة كهرمانة وسط بغداد من
المعالم الحضارية المتميزة في العراق.
يتوسط تمثا ُل كهرمانة الساحة التي تقع
في منطقة الكرادة ويبلغ نصف قطر قاعدة
التمثال rمتر ويحيط به حوض على شكل
ممر دائري ،إذا كان نصف قطر التمثال مع
الحوض r + 2متر ،فجد مساحة الحوض.
[ ]2-2-1تحليل مقدار جبري باستعمال العامل المشترك األكبر
Factoring the algebraic expression by using a greater common factor
تعلمت سابقا ً كيفية إيجاد العامل المشترك األكبر لألعداد وكذلك تعلمت كيفية تحليل المقدار الجبري باستعمال العامل
المشترك األكبر ( ،)GCFواآلن سوف تزيد مهارتك في تعلم كيفية تحليل مقادير جبرية مك ّونة من حدين أو ثالثة
حدود باستعمال العامل المشترك األكبر والتحقق من صحة الحل.
مثال ( )1نصف قطر قاعدة تمثال كهرمانة rمتر ،ونصف قطر قاعدة التمثال مع الحوض r + 2متر ،جد
مساحة الحوض .
2
مساحة التمثال
A1 = r π
مساحة التمثال مع الحوض
A2 = (r + 2)2 π = (r2 + 4r +4) π = r2 π + 4r π + 4 π
A = A2 - A1= r2 π + 4r π + 4 π - r2 π
مساحة الحوض
)= 4r π + 4 π = 4 π (r +1
( )4العامل المشترك األكبر
مساحة الحوض المحيط بالتمثال ) 4 π (r + 1متر مربع
مثال ()2
حلل كل مقدار باستعمال العامل المشترك األكبر ( )GCFوتحقق من صحة الحل:
)i) 6x3 + 9x2 -18x = 3x (2x2 + 3x - 6
العامل المشترك األكبرهو 3x
التحقق:
للتحقق استعمل عملية ضرب المقادير الجبرية
)3x (2x2 + 3x - 6) = 3x (2x2) + 3x (3x) - 6(3x
= 6x3 + 9x2 -18x
فتح القوس مع تبسيط الجذور العددية
)12 y2z + 2 ( 6 yz2 - 24 yz
العامل المشترك األكبرهو 2 3 yz
= 2 3 y2z + 2 3 yz2 - 4 3 yz
)= 2 3 yz (y + z - 2
التحقق:
للتحقق استعمل عملية ضرب المقادير الجبرية
2 3 yz (y+z-2)= 2 3 y2 z + 2 3 yz2 - 4 3 yz
نالحظ المتغيرات متساوية في الحدود مع المقدار األصلي وكذلك المعامالت العددية ألن:
2 3 = 12 , 2 3 = 2 6 , 4 3 = 2 24
33
)ii
مثال ()3
حلِّل كل مقدار باستعمال ثنائية الحد كعامل مشترك أكبر:
العامل المشترك األكبرهو ()x+3
العامل المشترك األكبرهو ()y-1
العامل المشترك األكبرهو ()z+2
)i) 5x (x +3) - 7(x+3) = (x+3) (5x -7
) ii) 12 (y -1) + 13 y2 ( y-1) = (y-1) ( 12 + 13 y2
)iii) 3 v2 (z +2) - 5 v (z +2) = (z +2) ( 3 v2 - 5 v
) = v (z + 2) ( 3 v - 5
[ ]2-2-2تحليل مقدار جبري باستعمال التجميع
Factoring algebraic expression by grouping
تعلمت في الفقرة السابقة كيفية تحليل المقدار الجبري المكون من حدين أو ثالثة حدود باستعمال العامل المشترك
األكبر ،واآلن سوف تتعلم كيفية تحليل مقدار جبري مكون من أربعة حدود أو أكثر باستعمال تجميع الحدود بحيث
يوجد للحدود التي يمكن تجميعها عوامل مشتركة.
مثال ()4
حلل كل مقدار باستعمال خاصية التجميع وتحقق من صحة الحل:
تجميع الحدود التي لها عوامل مشتركة
)i) 4x3 - 8x2 + 5x - 10 = (4x3 - 8x2) + (5x - 10
)= 4x2 (x - 2) + 5(x - 2
تحليل الحدود المجمعة
)= (x-2) (4x2 + 5
العامل المشترك األكبرهو ()x-2
التحقق:
)(x-2) (4x2 +5) = x(4x2 +5) - 2(4x2 + 5
استعمال خاصية التوزيع
= 4x3 + 5x - 8x2 - 10 = 4x3 - 8x2 + 5x - 10
استعمال الضرب والترتيب
تجميع الحدود )ii) 2 h2 t+ 3 t2v - 8 h2v - 12 v2t = ( 2 h2t - 8 h2v) + ( 3 t2v - 12 v2t
)= 2 h2(t-2v) + 3 tv (t-2v
تحليل الحدود المجمعة
العامل المشترك األكبرهو ()t-2v
)= (t-2v) ( 2 h2 + 3 tv
التحقق:
استعمال خاصية التوزيع
استعمال الضرب والترتيب
مثال ()5
)(t-2v) ( 2 h2 + 3 tv) = t ( 2 h2 + 3 tv) - 2v ( 2 h2 + 3 tv
= 2 h2 t + 3 t2 v - 8 h2 v - 12 v2 t
حلل المقدار باستعمال خاصية التجميع مع المعكوس:
تجميع الحدود
)14x3 - 7x2 + 3 - 6x = (14x3 - 7x2) + (3 - 6x
تحليل الحدود المجمعة
)= 7x2 (2x -1) + 3(1- 2x
استعمال المعكوس
)= 7x2 (2x -1) + 3(-1) (2x -1
)= 7x2 (2x -1) - 3(2x -1
كتابة ) +3 (-1على شكل -3
)= (2x -1) (7x2 -3
العامل المشترك األكبرهو ()2x-1
34
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حلل كل مقدار باستعمال العامل المشترك األكبر( )GCFوتحقق من صحة الحل:
األسئلة ()1 - 4
مشابهة للمثال ()2
10 - 15y + 5y2
)8 t2r + 2 (tr2 - 3 tr
حلل كل مقدار باستعمال ثنائية الحد كعامل مشترك أكبر:
)1 (t +5) + 1 t2 (t + 5
األسئلة ()5 - 8
4
3
مشابهة للمثال ()3
)2x (x2-3) + 7(x2 -3
2
9x2 - 21x
1
4
14z4 - 21z2 - 7z3
3
6
8
)3y (y - 4) – 5( y - 4
)2 n (x +1) - 3 m (x +1
5
7
حلل كل مقدار باستعمال خاصية التجميع وتحقق من صحة الحل:
األسئلة ()9 - 12
10 21 - 3x + 35x2 - 5x3
مشابهة للمثال ()4
18 z2 + z - 2
12 3z3-
3y3 - 6y2 + 7y - 14
11 2r2 k+ 3k2 v - 4r2 v - 6v2 k
حلل المقدار باستعمال خاصية التجميع مع المعكوس:
14 1 x4 - 1 x3 + 5 - 10x
األسئلة ()13 - 16
2
4
مشابهة للمثال ()5
9
13 21y3 - 7y2 + 3 - 9y
15 6z3 - 9z2 + 12 - 8z
16 5t3 - 15t2 - 2t + 6
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
حلل كل مقدار باستعمال العامل المشترك األكبر( )GCFوتحقق من صحة الحل:
17 12y3 - 21y2
18 6v2 (3v - 6) + 18v
حلل المقدار التالي باستعمال ثنائية الحد كعامل مشترك أكبر:
)1 (y +1) + 1 y2 (y + 1
7
3
19
حلل كل مقدار باستعمال خاصية التجميع وتحقق من صحة الحل:
20 5x3 - 10x2 + 10x - 20
21 3t3 k+ 9k2 s - 6t3 s - 18s2 k
حلل المقدار التالي باستعمال خاصية التجميع مع المعكوس:
22 12x3 - 4x2 + 3 - 9x
35
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
23الطاقة الشمسية :األلواح الشمسية هي المكون الرئيس في أنظمة
الطاقة الشمسية التي تقوم بتوليد الكهرباء ،وتصنع الخاليا من مواد
شبه موصلة مثل السيليكون تمتص الضوء من الشمس .ما أبعاد اللوح
الشمسي بداللة ،xإذا كانت المساحة )3x(x - 4) - 22(x - 4
أمتار مربعة؟
24طائر الفالمنكو :طائر الفالمنكو ،من جنس النحاميات وهو من
الطيور المهاجرة التي تمتاز بشكلها الجميل ولونها الوردي ،وتقطع
مسافات بعيدة في أثناء موسم الهجرة السنوي مروراً بمنطقة األهوار
جنوبي العراق لتحصل على الغذاء من المسطحات المائية .إذا كانت
مساحة المسطح المائي الذي غطّته طيور الفالمنكو في أحد األهوار
) 4y2 + 14y + 7(2y + 7أمتار مربعة .فما شكل المسطح وما
أبعاده بداللة y؟
25ساعة بغداد :ساعة بغداد هي مبنى مرتفع تعلوه ساعة
معلقة على برج لها أربعة أوجه ،يقع المبنى ضمن
منطقة ساحة االحتفاالت في بغداد وأُنشئت في سنة 1994م.
ما نصف قطر الدائرة الداخلية للساعة بداللة zإذا علمت ّ
ان مساحتها
) z2 π - 3z π - π (3z - 9؟
ـر
فَ ِّك ْ
26تح ًّد :حلّل المقدار التالي إلى أبسط صورة:
5x5 y + 7y3 z -10x5 z - 14z2 y2
صح ُح الخطأ :كتبت ابتسام ناتج تحليل المقدار التالي كما يأتي:
27أُ ِّ
اكتشف خطأ ابتسام وصحّحه.
)2 t4 - 24 t3 + t2 - 12 t = (t + 2 3 ) ( 2 t2 - t
28
عددي :ما العدد المجهول في المقدار
حس
ٌّ
ٌّ
كتب
اُ ْ
)
x2 + 3x + 5x +15 = (x + 3) (x +
ناتج طرح المقدار ( )x + y) (x - yمن المقدار ( )x + y) (x + yبأبسط صورة.
36
الدرس
ُ
[]2-3
تحليل المقدار الجبري بالمتطابقات
Factoring the Algebraic Expression by using Special Identities
فكرةُ الدرس
• تحليل المقدار الجبري
كفرق بين مربعين
ومربع الكامل.
المفردات
• فرق بين مربعين
• مربع كامل
• الحد العام
• إكمال المربع
• الحد المفقود
تعلم
يعد ملعب الشعب الدولي في العاصمة
العراقية بغداد من المالعب المهمة في
العراق إذ أُنش َئ عام .1966
إذا كانت مساحة الساحة المخصّصة لكرة
القدم التي تتوسط أرضيته يمثّلها المقدار
x2 - 400متر مربع ،فما أبعاد الساحة؟
[ ]2-3-1تحليل المقدار الجبري بالفرق بين مربعين
Factoring the algebraic expression by difference of two squares
تعرفت سابقا ً الى كيفية إيجاد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري آخر األول يمثل مجموع حدين واآلخر يمثل
الفرق بينهما والناتج يمثل الفرق بين مربعيهما ،واآلن سوف تتعلم العملية العكسية لعملية الضرب وهي تحليل المقدار
الجبري الذي على صورة فرق بين مربعين (.)x2 - y2) = (x + y) (x - y
المقدار x2 + y2اليتحلل في هذه المرحلة.
مثال ()1
جد أبعاد ساحة كرة القدم التي مساحتها x2 - 400متر مربع.
x2 - 400 = (x)2 - (20)2
اكتب كل حد على هيئة مربع كامل
اكتب التحليل
)= (x + 20) (x - 20
القوس األول :الجذر التربيعي للحد األول +الجذر التربيعي للحد الثاني
القوس الثاني :الجذر التربيعي للحد األول -الجذر التربيعي للحد الثاني
لذا طول ساحة كرة القدم x + 20متراً وعرضها x - 20متراً
مثال ()2
حلّل كل مقدار من المقادير التالية كفرق بين مربعين:
)i) x2 - 9 = (x + 3) (x - 3
)iii) 49 - v2 = (7 + v) (7 - v
)v) 5h2 -7v2 = ( 5 h + 7 v)( 5 h - 7 v
)vii) 8x3 y - 2xy3 = 2xy (4x2 - y2
)ii) 36y2 - z2 = (6y + z)(6y - z
)iv) 2x2 - z2 = ( 2 x + z) ( 2 x - z
)vi) 12 - t2 = (2 3 + t) (2 3 - t
التحليل باستعمال العامل المشترك
)= 2xy (2x + y) (2x - y
التحليل باستعمال الفرق بين المربعين
) viii) 1 z4 - 1 = ( 1 z2 + 19 ) ( 14 z2 - 19 ) = ( 14 z2 + 19 ) ( 12 z + 13 ) ( 12 z - 13
16
81
4
37
[ ]2-3-2تحليل المقدار الجبري بالمربع الكامل
Factoring the algebraic expression by perfect square
تعلمت سابقا ً كيفية إيجاد ناتج ضرب مربع مجموع حدين ومربع الفرق بين حدين وكان الناتج مؤلفا ً من ثالثة حدود ،واآلن
سوف تتعلم العملية العكسية للضرب وهي تحليل مقدار مؤلف من ثالثة حدود على صورة مربع كامل
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 , x2 - 2xy + y2 = (x - y)2
ax2 +مربعا ً كامالً ،إذا كان_ 2 (ax2) (c) :
يكون المقدار الجبري _ bx + c
bx = +حيث a = 0
مثال ()3
حلل كل مقدار من المقادير التالية التي على صورة مربع كامل:
i) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2(x × 3) + (3)2
اكتب الحد األول والحد األخير على هيئة مربع كامل
اكتب الحد األوسط على هيئة ضعف جذر الحد األول في جذر الحد األخير
)= (x + 3)(x + 3
اكتب تحليل المقدار
= (x + 3)2
التحليل النهائي على هيئة (2جذر الحد األخير +جذر الحد األول)
ii) y2- 4y + 4 = (y)2 - 2(y × 2) + (2)2
= (y - 2)2
الحظ اإلشارة بين العددين هي إشارة الحد األوسط
iii) 16z2 - 8z +1 = (4z)2 - 2(4z × 1) + (1)2 = (4z -1)2
مثال ()4
ي مقدارمن المقادير التالية يمثل مربعا ً كامالً وحلّله:
حدد أ ّ
i) x2 + 10x + 25
ii) y2 + 14y + 36
(6)2
ليست مربعا ً كامالً
(y)2
(5)2
2 (y) (6) = 12y = 14y
(x)2
2 (x) (5) = 10x
مربع كامل
x2 + 10x + 25 = (x+5)2
iv) 9h2 - 6h + 3
( 3 )2
(3h)2
iii) 4 - 37v + 9v2
(3v)2
-2(3h) ( 3 ) = - 6 3 h = - 6h
(2)2
-2(2) (3v) = -12v = - 37v
ليست مربعا ً كامالً
ليست مربعا ً كامالً
مثال ( )5اكتب الحد المفقود في المقدار الجبري ax2 + bx + cليصبح مربعا ً كامالً وحلّله:
لتصبح مربعا ً كامالً نطبق قانون الحد األوسط )_ 2 (ax2) (c
i) 25x2 - …….. + 49
bx = +
⇒ bx = 70x
)⇒ bx = 2 (25x2) (49
)bx = 2 (ax2) (c
⇒ 25x2 - 70x + 49 = (5x - 7)2
ii) ….. + 8x + 16
⇒ 64x2 = 4 × 16 × ax2 ⇒ ax2 = x2
)⇒ 8x = 2 (ax2) (16
)bx = 2 (ax2) (c
⇒ x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
iii) y2 + 14y + …….
by = 2 (ay2) (c) ⇒ 14y = 2 (y2) (c) ⇒ 196y2 = 4 × y2 × c ⇒ c = 49
⇒ y2 + 14y + 49 = ( y + 7)2
38
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حلل كل مقدار من المقادير التالية كفرق بين مربعين:
األسئلة ()1 - 6
مشابهة للمثال ()2
h 2 - v2
3
36 - 4x2
2
x2 - 16
1
1 y2 - 1
4
16
6
27x3 z - 3xz3
5
9m2 - 4n2
4
حلل كل مقدار من المقادير التالية كمربع كامل:
8
y2 - 8y + 16
7
10 4h2 - 20h + 25
v2 + 2 3 v + 3
9
9z2 - 6z +1
األسئلة ()7 - 10
مشابهة للمثال ()3
حدد أي مقدار من المقادير التالية يمثل مربعا ً كامالً وحلله:
12 16 - 14v + v2
11 x2 + 18x + 81
14 3 - 4 3 t + 4t2
13 64h2 - 48h - 9
األسئلة ()11 - 14
مشابهة للمثال ()4
اكتب الحد المفقود في المقدار الجبري ax2 + bx + cليصبح مربعا ً كامالً وحلّله:
األسئلة ()15 - 18
مشابهة للمثال ()5
16 z2 + 4z + …….
15 …. + 14y + 49
… 18 4x2 + 2 5 x +
17 3 - ….. + 9x2
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
حلِّل كل مقدار من المقادير التالية إلى أبسط صورة:
20 y2 - 121
19 25 - 4x2
22 8y3 x - 2x3 y
21 12 - 3t2
24 4x2 + 20x + 25
26 4t3 - 12t2 + 9t
1 z5 - 1 z
3
12
23
25 16n2 + 8 3 n + 3
حدِّد أي مقدار من المقادير التالية يمثل مربعا ً كامالً وحلله:
28 y2 + 10y + 25
27 4x2 + 18x + 16
30 4v2 + 4v + 4
29 2h2 - 12h - 18
اكتب الحد المفقود في المقدار الجبري ax2 + bx + cليصبح مربعا ً كامالً وحلله:
32 25 - 20x + ....
31 y2 + …. + 36
34 81 + 18z + ….
33 5 - ….. + 16x2
39
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
35المئذنة الملوية :تقع منارة المئذنة الملوية في مدينة سامراء
العراقية ،وتعد إحدى معالم العراق المميزة بسبب شكلها الفريد ،فهي
إحدى آثار العراق القديمة المشهورة التي تعود لعصر حكم الدولة
العباسية ،وترتكز على قاعدة مربعة مساحتها x2 -8x+16متراً
مربعاً .ما طول ضلع القاعدة التي تستند عليها الملوية بداللة x؟
36مزرعة أبقار :لدى سعد مزرعة أبقار مربعة الشكل طول ضلعها
xمتر،و َّس َعها لتصب َح مستطيلةَ الشكل فأصبحت مساحةُ المزرعة
x2 - 81متراً مربعاً ،ما طول المزرعة وعرضها بعد التوسعة
بداللة x؟
37لوحة فنية :رس َم بشار لوحة فنية تمثل منطقة األهوار في جنوب
العراق ،فكان المقدار 4x2 - 8x + 9سنتمترات مربعة يمثل مساحة
اللوحة الفنية .أَيمثّ ُل مقدا ُر مساح ِة اللوحة الفنية مربعا ً كامالً أم ال ؟
ـر
فَ ِّك ْ
38تح ًّد :هل المقدار التالي يمثِّ ُل مربعا ً كامالً أم ال؟ معلّالً إجابتك.
1 x2 - 1 x + 1
9
6
16
صح ُح الخطأ :قالت منتهى ّ
إن المقدار ) (2x+1) (2x-1هو تحليل للمربع الكامل . 4x2 - 4x + 1
39أُ ِّ
ح ّدد خطأ منتهى وصحِّحهُ.
40
عددي :أيمثِّ ُل المقدا ُر 9x2 + 12x - 4مربعا ً كامالً أم ال ؟ وضّح إجابتك.
حس
ٌّ
ٌّ
كتب
اُ ْ
تحليل للمقدار
. 4x2 - 8x + 4
40
الدرس
ُ
[]2-4
تحليل المقدار الجبري من ثالثة حدود بالتجربة
Factoring the Algebraic Expression of three terms by Probe and Error
فكرةُ الدرس
• تحليل المقدار الجبري من
ثالثة حدود باستعمال التجربة
المفردات
• الوسطان
• الطرفان
• الحد األوسط
تعلم
الثور المجنّح اآلشوري (شيدو الماسو) هكذا
يرد اسمه في الكتابات اآلشورية ،وأص ُل كلمة
الماسو هو من الموو Lammuالسومرية
ويوجد تمثال له في متحف مدينة الموصل.
ما أبعاد اللوحة الفنية للثور المجنّح التي
مساحتها x2 + 10x + 21سنتمتراً مربعا ً ؟
[ ]2-4-1تحليل المقدار الجبري x2+bx+c
Factoring the algebraic expression x2+bx+c
تعرفت سابقا ً الى كيفية إيجاد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري آخر كل منهما مك ّون من حدين:
i) (x+2) (x+3) = x2 +5x+6 , ii) (x+3) (x-5) = x2 -2x-15 , iii) (x-1) (x-4) = x2 -5x+4
واآلن سوف تتعلم العملية العكسية لعملية الضرب وهي تحليل المقدار الجبري من ثالثة حدود x2+bx+cباستعمال التجربة.
ولتحليل المقدار الجبري ،نجد عددين حقيقيين n , mبحيث nm = c ، n + m = bونكتب
)x2 + bx + c = (x + n) (x + m
مثال ()1
ما أبعاد اللوحة الفنية للثور المجنّح التي مساحتها x2 + 10x + 21سنتمتراً مربعا ً ؟
لتحليل المقدار الجبري نتّبع الخطوات اآلتية:
عوامل العدد 21
مجموع العاملين
)(1) (21
1 + 21 = 22
)(3) (7
3 + 7 = 10
)(-3) (-7
(-3)+(-7) = -10
حاصل ضرب الطرفين
+ 7x
حاصل ضرب الوسطين
+ 3x
+ 10x
الحد األوسط
بالجمع
الطرفين
عرض اللوحة الفنية هو x+3سنتمتر
)x2 +10x+ 21 = (x + 3) (x + 7
طول اللوحة الفنية هو x+7سنتمتر
الوسطين
مالحظة :أُهملت عوامل العدد (ّ 21=)-3( )-7
ألن إشارة الحد الوسط موجبة.
مثال ()2
حلل المقدار الجبري:
y2 + y - 12
عوامل العدد -12
مجموع العاملين
حاصل ضرب الطرفين
+ 4y
)(1) (-12
1 - 12 = -11
حاصل ضرب الوسطين
- 3x
)(12) (-1
12 - 1 = 11
)(2) (-6
2 - 6 = -4
الحد األوسط
)(6) (-2
6-2=4
)(3) (-4
3 - 4 = -1
)(4) (-3
4-3=1
+y
بالجمع
)y + y - 12 = (y - 3) (y + 4
2
41
مثال ()3
حلل المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
)i) z2 - z - 6 = (z - 3) (z + 2
)ii) x2 - 9x + 18 = (x -3) (x - 6
)iii) y2 + 6y - 27 = (y + 9) (y - 3
)iv) x2 - xy - 20y2 = (x - 5y) (x + 4y
)v) 15 - 8z + z2 = (5 - z) (3 - z
الحد األوسط 2z - 3z = - z
الحد األوسط - 6x - 3x = - 9x
الحد األوسط - 3y + 9y = + 6y
الحد األوسط + 4 xy - 5xy = - xy
الحد األوسط - 5 z - 3z = - 8z
[ ]2-4-2تحليل المقدار الجبري ax2+bx+cوإن a = 0
Factoring the algebraic expression ax2+bx+c and a = 0
ّ
وإن a = 0
اآلن سوف تتعرف إلى كيفية تحليل مقدار جبري من ثالثة حدود على الصورة ax2+bx+c
مثال ()4
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
i) 6x2 + 17x + 7
نجد عوامل العددين 6 ، 7وكما يأتي:
حاصل ضرب الطرفين
+ 14y
حاصل ضرب الوسطين
+ 3x
+ 17x
الحد األوسط
نجد عوامل العددين 8 ، 7وكما يأتي:
حاصل ضرب الطرفين
- 28y
حاصل ضرب الوسطين
+ 2y
الحد األوسط
مثال ()5
الحد األوسط
الحد األوسط
الحد األوسط
الحد األوسط
الحد األوسط
- 26y
} {
=6
)(1)(6
), 7 = (1)(7
)(2)(3
)(1) (6
(1) (7) ⇒ (1) (1) + (6) (7) = 43
(1) (7) + (6) (1) = 13
)(2) (3
(1) (7) ⇒ (2) (1) + (3) (7) = 23
(2) (7) + (3) (1) = 17
) 6x2 + 17x + 7 = (2x +1 ) (3x + 7
ii) 7y2 - 26y - 8
)8 = (1) (8
), 7 = (1) (7
)(2) (4
(1) (1) - (8) (7) = - 55
(1) (7) - (8) (1) = - 1
(2) (1) - (4) (7) = - 26
(2) (7) - (4) (1) = 10
)7y2 - 26y - 8 = (7y + 2) (y - 4
} {
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
- 15z - 2z = - 17z
)i) 3z2 - 17z +10 = (3z -2) (z -5
- 4v + 3v = - v
)ii) 4v2 - v - 3 = (4v + 3) (v - 1
+ 5h + 6h = 11h
)iii) 15 + 11h + 2h2 = (5 + 2h) (3 + h
iv) 6x2 - 51x+ 63 = 3(2x2 - 17x + 21) = 3(x - 7) (2x - 3) - 3x - 14x = -17x
- 9xy - xy = -10xy
)v) 3x2 - 10xy + 3y2 = (3x - y) (x - 3y
42
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
األسئلة ()1 - 6
مشابهة لألمثلة ()1,3
x2 - 13x + 12
3
1 - 2z + z2
2
x2 + 6x + 8
1
15 - 8z + z2
6
x2 - 2x - 3
5
3 + 2z - z2
4
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
3x2 - 10x + 8
األسئلة ()7 - 14
9
3y2 - 14y + 8
12 6 +29z - 5z2
مشابهة للمثالين ()4,5
8
2x2 + 5x + 3
7
11 5y2 - y - 6
10 8 - 25z + 3z2
14 3y2 - 19yx - 14x2
13 x2 - 9xy + 20y2
ضع اإلشارات بين الحدود في األقواس ليكون تحليل المقدار الجبري صحيحاً:
األسئلة ()15 - 18
مشابهة لألمثلة ()1,5
)16 y2 - 12y +20 = (y…2) (y…10
)15 x2 + 9x + 20 = (x…4) (x…5
)17 6x2 -7x + 2 = (2x…1) (3x…2) 18 20 - 7y - 3y2 = (5...3y) (4...y
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
20 y2 - 5y + 6
19 x2 + 9x + 14
22 x2 - 2x - 3
21 3 + 2z - z2
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
25 10 + 9z - 9z2
24 4y2 - 6y + 2
14ـ 23 2x2 + 12x
28 30x2 - xy - y2
27 13y2 - 11y - 2
26 2x2 + 3x + 1
ضع اإلشارات بين الحدود في األقواس ليكون تحليل المقدار الجبري صحيحاً:
)29 x2 + x - 20 = (x…4) (x…5
)30 35 + 3y - 2y2 = (5…y) (7…2y
43
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
31قلعة األخيضر :هي قلعة أثرية تقع في محافظة كربالء وسط
العراق وال تزال أطالل القلعة قائمةً إلى يومنا هذا ،األخيضر من
الحصون الدفاعية الفريدة من نوعها ويحيط به سورعظيم مستطيل
الشكل .ما أبعاد السور الخارجية بداللة ،xإذا كانت مساحة
القلعة مع السور يمثّلها المقدار 6x2 - 39x + 60متراً مربعاً؟
32ألعاب ترفيهية :تعد أرجوحة ديسكفري من األلعاب الخطرة في
مدينة األلعاب ،ويمثل المقدار 5t2 + 5t - 30مسار أرجوحة
ديسكفري في مدينة األلعاب ،إذ tيمثل زمنَ الحركة .وتحليل
المقدار يساعد على معرفة الوقت الذي تستغرقه أرجحتُها في المرة
األولى .حلّل المقدار.
33مترو األنفاق :يعد مترو األنفاق نظا َم سكك حديد تحت األرض
تسير عليه القطارات ،وهو أحد وسائل النقل السريعة في المدن
الكبيرة وذات الكثافة السكانية العالية ،ويتألف كل قطار من عدة
عربات ،فإذا كان المقدار 14y2 - 23y + 3يمثل مساحة أرضية
العربة بالمتر المربع ،فما أبعادها بداللة y؟
ـر
فَ ِّك ْ
34تح ًّد :حلّل المقدار الجبري التالي إلى أبسط صورة:
4x3 + 4x2 - 9x - 9
صح ُح الخطأ :حلّ َل سعد المقدا َر 6z2 -16z - 6كما يأتي:
35أُ ِّ
)6z2 -16z - 6 = (3z - 1) (2z + 6
اكتشف خطأ سعد وصحّحه.
36
عددي :أَيُمكن تحدي ُد ما أذا كانت إشارات القوسين في تحليل المقدار x2 - 12x + 35مختلفة أم
حس
ٌّ
ٌّ
متشابهة ومن دون تحليل المقدار؟ وضّح إجابتَك.
كتب
اُ ْ
اإلشارات بين الحدود في األقواس ليكون تحلي ُل المقدار الجبري صحيحاً:
)6z2 + 5z - 56 = (3z … 8) (2z … 7
44
الدرس
ُ
[]2-5
تحليل المقدار الجبري مجموع مكعبين أو الفرق بين مكعبين
Factoring the Algebraic Expression sum of two cubes or difference
between two cubes
فكرةُ الدرس
• تحليل المقدار الجبري
من حدين الذي على صورة
مجموع (فرق بين) مكعبين.
المفردات
• مجموع مكعبين
• فرق بين مكعبين
تعلم
مكعب روبيك هو لغز ميكانيكي ثالثي األبعاد
اخترعه النحّات وأستاذ العمارة ال َم َجري إرنو
روبيك عام .1974ما مجموع حج َمي مك ّعبَي
روبك األول طول حرفه 3dcmوالثاني طول
حرفه 4dcm؟
[ ]2-5-1تحليل المقدار الجبري مجموع مكعبين
Factoring the algebraic expression sum of two cubes
تعلّمتَ في الدرس األول من هذا الفصل ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود وناتج ضربهما مقدار
على صورة مجموع مكعبين مثل ،( (x + 2) (x2 - 2x + 4) = x3 + 8 = x3 + 23 ) :واآلن سوف تتعلم العملية العكسية
وهي تحليل المقدار الجبري المؤلف من حدين والذي على صورة مجموع مكعبين:
) x3 + y3 = (x + y) (x2 - x y + y2حيث x = 3 x 3 , y = 3 y 3
مثال ()1
من تعلّم ،ما مجموع حج َمي مك ّعبَي روبك األول طول حرفه 3 dcmوالثاني طول حرفه 4 dcm؟
حجم المكعب = الطول×العرض×االرتفاع = (طول الحرف)
3
v1+ v2 = 33 + 43
)= (3 + 4) (32 - 3 × 4 + 42
قانون تحليل مجموع مكعبين
= 7 (9 - 12 + 16) = 7 × 13 = 91dcm3
مثال ()2
حلّل ك َّل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
)i) x3 + 53 = (x + 5) (x2 - 5x + 52) = (x + 5) (x2 - 5x + 25
)ii) y3 + 8 = y3 + 23 = (y + 2) (y2 - 2y + 4
)iii) 8z3 + 27 = 23z3 + 33 = (2z)3 + 33 = (2z + 3) (4z2 - 6z + 9
) iv) 13 + 1 = 13 + 13 = ( 1 + 1 ) ( 12 - 1 + 1
a
4
64 a
a 4 a 4a 16
3
3
) v) 273 + 8 = 33 + 23 = ( 3x )3 + ( 2 )3 = ( 3x + 2 ) ( 92 - 6 + 4
x
5
125 x
5
5 x 5x 25
)vi) 12 t3 + 4 = 1 (t3 + 8) = 12 (t3 + 23) = 12 (t +2) (t2 - 2t + 4
2
)vii) 0.008 + v3 = (0.2)3 + v3 = (0.2 + v) (0.04 - 0.2v + v2
45
[ ]2-5-2تحليل المقدار الجبري فرق بين مكعبين
Factoring the algebraic expression difference between two cubes
تعلمت في الدرس األول من هذا الفصل ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود وناتج ضربهما
مقدار على صورة فرق بين مكعبين مثل ،(x - 3)(x2 + 3x + 9) = x3 - 27 = x3 - 33 :واآلن سوف تتعلم العملية
العكسية وهي تحليل المقدار الجبري المؤلف من حدين والذي على صورة فرق بين مكعبين:
) x3 - y3 = (x - y) (x2 + x y + yحيث
مثال ()3
x = 3 x3 , y = 3 y3
ُ
فر َغ الما ُء منه
حوض مكعب الشكل طول حرفه 1mمملوء بالماء ،أ ِ
في حوض آخر أكبر منه مكعب الشكل طول حرفه . 1.1m
1m
ما كمية الماء اإلضافية التي نحتاج إليها ليمتلئ الحوضُ الكبير؟
كمية الماء اإلضافية اللاّ زمة = حجم المكعب الكبير -حجم المكعب الصغير
1m
1m
v2 - v1 = (1.1)3 - 13
قانون تحليل الفرق بين مكعبين ) = (1.1 - 1) ( (1.1)2 + 1.1 × 1 + 12
= 0.1 (1.21 + 1.1 + 1) = 0.1 × 3.31= 0.331 m3
مثال ()4
حلّل ك َّل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
)i) x3 - 33 = (x - 3) (x2 + 3x + 32) = (x - 3) (x2 + 3x + 9
)ii) y3 - 64 = y3 - 43 = (y - 4) (y2 + 4y + 16
)iii) 27z3 - 8 = 33z3 - 23 = (3z)3 - 23 = (3z - 2) (9z2 + 6z + 4
) iv) 13 - 1 = 13 - 13 = ( 1 - 1 )( 12 + 1 + 1
25
5b
b
5
b
b
5
125
b
)v) 1 t3 - 9 = 1 (t3 - 27) = 1 (t3 - 33) = 1 (t -3) (t2 + 3t + 9
3
3
3
3
)vi) 0.216 - n3 = (0.6)3 - n3 = (0.6 - n) (0.36 + 0.6n + n2
)vii) 1 - 0.125 z3 = 1 - (0.5)3 z3 = (1 - 0.5z) (1 + 0.5z + 0.25z2
)viii) 32 - 1 m3 = 1 (64 - m3) = 1 (43 - m3) = 1 (4 - m) (16 + 4m + m2
2
2
46
2
2
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
x3 + z3
األسئلة ()1 - 8
مشابهة للمثالين ()1,2
2
1 x3 + 1
27
8
1
3
t +9
6
3
8 1 + 0.008z3
4
y3 + 216
1
125 + 8z3
5 13 + 1
a
64
7 0.125 + v3
3
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
a3 - 83
10 8y3 - 64
األسئلة ()9 - 16
مشابهة للمثالين ()3,4
1 v3 - 4
2
14 25 - 1 n3
5
12
16 0.216v3 - 0.008t3
9
1 -1
c3 8
13 0.125 - m3
11
15 3b3 - 81
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
21 0.125x3 + 0.008y3
1 + 8 y3
64 125
19
17 63 + x3
1 v3 + 25
5
20
18 125y3 + 1
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
22 y3 - 64
26 0.001x3 - 0.008y3
1 - 27
x3 8
23
24 9 - 1 n3
3
25 25c3 - 1
5
47
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
27مكتبة :مكتبة مدينة شتوتغارت هي واحدة من أجمل المكتبات في
العالم وأفخمها وتقع في ألمانيا ،كما أنها من أكثر المكتبات تماشيا ً مع
متطلبات التعليم الحديثة .بناية المكتبة على شكل مكعب طول حرفه
1 y3 -13 1متر .حلّل المقدار الذي يمثل طول حرفه.
2
2
ض َع
28حوض سمك :حوض سمك الزينة حجمه 25x3متراً مكعباًُ ،و ِ
في داخله حجر مكعب الشكل حجمه 1متر مكعبُ ،ملِ َئ بالماء
5
ِّ
كامالً .اكتب المقدار الذي يمثّل حج َم الماء ثم حلله ؟
ت المناز ُل تأخذ أشكاالً مختلفةً في التصميم مع تطور
29سكن :بدأ ِ
ص ِّم َم ْ
ت هذه المنازل على شكل مكعبات .فإذا كان
هندسة العمارة ف ُ
حجم المنزل األول 83متر مكعب ،وحجم المنزل الثاني 273متر
b
a
ّ
ً
مكعب .اكتب حجم المنزلين معا ثم حلل المقدار.
ـر
فَ ِّك ْ
30تح ًّد :حلل المقدار الجبري التالي إلى أبسط صورة:
0.002z3 - 0.016y3
صح ُح الخطأ :حلّلت بشرى المقدار 8v3 - 0.001كما يأتي:
31أُ ِّ
اكتشف خطأ َ بشرى وصحِّحهُ.
)8v3 - 0.001 = (2v + 0.1) (4v2 - 0.4v + 0.01
حس
عددي :هل يمكن جمع العددين 8 ، 27بطريقة تحليل مجموع مكعبين؟ وضّح إجابتك.
ٌّ
ٌّ
32
كتب
اُ ْ
اإلشارات بين الحدود في األقواس ليكون تحلي ُل المقدار الجبري صحيحاً:
)125 - x3 = (5… x) (25 … 5x …. x2
48
الدرس
ُ
[]2-6
تبسيط المقادير الجبرية النسبية
Simplifying Rational Algebraic Expressions
تعلم
فكرةُ الدرس
• ضرب المقادير الجبرية
النسبية وقسمتها وكتابتها
بأبسط صورة.
• جمع المقادير الجبرية
النسبية وطرحها وكتابتها
بأبسط صورة.
المفردات
اشترى حسن مجموعةً من باقات الزهور
بمبلغ x2 - x - 6دينار ،فكانت كلفةُ باقة
الزهور الواحدة عليه 2x - 6دينار.
اكتب نسبة ثمن الباقة الواحدة إلى الثمن
الكلّي لباقات الزهور وبأبسط صورة.
• النسبة ،الكسر
[ ]2-6-1تبسيط ضرب المقادير الجبرية النسبية وقسمتها
Simplifying multiplying and dividing rational algebraic expressions
تعرّفتَ سابقا ً إلى خواص األعداد النسبية والحقيقية وتعلمت كيفيةَ تبسيط ال ُج َمل العددية باستعمال المضاعف المشترك
األصغر وترتيب العمليات ،واآلن سوف تتعلم كيفية تبسيط المقادير الجبرية النسبية (الكسرية) وذلك بقسمة كل من
البسط والمقام على عامل مشترك ،وتكرار األمر بحيث اليبقى مجال لذلك ،وعندئ ٍذ نقول ّ
إن المقدار على أبسط صورة
(.)simplest form
مثال ()1
اُكتب نسبةَ ثمن باقة الزهور الواحدة إلى الثمن الكلّي للباقات بأبسط صورة.
ثمن باقة الزهور
)2(x - 3
2x - 6
= 2
=
) x - x - 6 (x - 3) (x + 2ثمن الباقات الكلية للزهور
حلّل البسط والمقام
)2(x - 3
2
=
(x - 3) (x + 2) x + 2
بقسمة كل من البسط والمقام على العامل المشترك
مثال ()2
=
اُكتب ك َّل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
(x + 2) (x - 2) (x + 2) (x - 2) x + 2
x2 - 4
= )i) (x2 - 4x + 4
=
=
(x - 2) (x - 2) x - 2
(x - 2)2
3
)5(z + 2) (z - 3) (z2 + 3z + 9) 5(z2 + 3z + 9
5z + 10
27
z
)ii
× 2
×
=
=
z+4
z-3
z-3
)(z + 2) (z + 4
)(z + 6z + 8
2
)(3x2 + 2x - 5) (4 + x) (4 - x) (3x + 5) (x - 1
16
x
)iii
× 2
×
=4-x
=
)(x + 4) (x - 1
3x + 5
)(x + 3x - 4
)(3x + 5
اِضرب األول في مقلوب الثاني
حلّل البسطَ والمقا َم وقسّم على العامل
المشترك
3
(2 + t)3
t2 + 9t + 14
8 + t3
8
+
t
)iv
÷
×
=
(2 + t)3
4 - 2t + t2 t2 + 9t + 14 4 - 2t + t2
(2 + t) (4 - 2t + t2) (t + 2) (t + 7) t + 7 t + 7
=
×
=
=
2+t t+2
)(4 - 2t + t2
(2 + t)3
49
[ ]2-6-2تبسيط جمع المقادير الجبرية النسبية وطرحها
Simplifying adding and subtracting rational algebraic expressions
تعلمت سابقا ً كيفية تحليل المقادير الجبرية وكذلك كيفية إيجاد مضاعف مشترك أصغر ( :LCMيمثل حاصل ضرب
العوامل المشتركة بأكبر أس وغير المشتركة) عند تبسيط جمل عددية كسرية ،واآلن سوف تتعلم كيفية تبسيط جمع
المقادير الجبرية النسبية (الكسرية) وطرحها وذلك بتحليل كل من بسط ومقام الكسر إلى أبسط صورة ثم إجراء عملية
جمع وطرح المقادير الكسرية باستعمال المضاعف المشترك وتبسيط المقدار على أبسط صورة ).(simplest form
مثال ()3
بأبسط صور ٍة:
ي النسب َّي
اُكتب المقدا َر الجبر َّ
ِ
y2
4
)(y + 2) (y + 2
المضاعف المشترك األصغر ()y + 2
y2 - 4
)(y + 2
=
)(y + 2) (y - 2
=y-2
)(y + 2
=
تحليل البسط على صورة فرق بين مربعين
بقسمة كل من البسط والمقام على y + 2
مثال ()4
بأبسط صور ٍة:
اُكتب ك َّل مقدا ٍر من المقادي ِر التالي ِة
ِ
)7(x - 2
7x - 14
5
5
+
+
=
2
x -4
(x + 2) (x + 2) (x - 2) x + 2
بتحليل البسط والمقام
المضاعف المشترك األصغر ()x + 2
7
5
+
x+2 x+2
=
7+5
12
=
x+2 x+2
=
z
z
2z - 5
) = 4z × ( zz ++ 33(×
)
2z - 5
z + 3 2z - 5
z+3
المضاعف المشترك األصغر
()2z - 5) (z + 3
2
)4z(z + 3) - z(2z - 5
z(2z
+
)17
2z + 17z
=
=
=
)(2z - 5) (z + 3
)(2z - 5) (z + 3) (2z - 5) (z + 3
12 = 1 + 4 = 5
)3(t - 2) (t - 2) (t - 2) (t - 2
+
t2 + 2t + 4
)(t - 2) (t2 + 2t + 4
-
ii) 4z
2z - 5
2
12
iii) t +3 2t + 4 +
=
3t - 6
t -8
8(v - 4) + 2(v + 4) - 1
8
2
1
8
1
=
+
- 2
=
+ 2)v + 4 v - 4 v - 16 v + 4 v - 4 (v + 4) (v - 4
)(v + 4) (v - 4
)5(2v - 5
10v - 25
= = 8v - 32 + 2v + 8 - 1
=
)(v + 4) (v - 4) (v + 4) (v - 4
)(v + 4) (v - 4
50
)i
)iv
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
اُكتب ك َّل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
y3 + 27
y3 - 3y2 + 9y
األسئلة ()1 - 6
z2 - 4
z2 + 7z - 8
× 2
z-1
z + 6z - 16
2y2 - 2y y2 + y - 2
÷ 2
y2 - 9
y + 2y - 3
مشابهة للمثالين ()1,2
اُكتب ك َّل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
y-1
2y3 - 128
- y
3
2
y + 4y + 16y
األسئلة ()7 - 12
مشابهة للمثالين ()3,4
2
4
6
8
x2 - 1
-1
x2 - 2x + 1
10
3y + 1
y - 3 5y -15
+
y - 1 (y - 3)2 y2 - 4y + 3
12
2z2 - 4z + 2
z2 - 7z + 6
5x + 3 x2 + 5x + 6
×
x+3
25x2 - 9
x2 - 9
x2 - 4
×
x2 - 4x + 4 x2 - x - 6
1
3
5
2
3
+ 2
x - 9 x - 4x + 3
z+3
z2 + z + 1
9
2
z + 2z - 3
z4 - z
2
3
2
8
+
+ 2
z - 1 z + 3 z + 2z - 3
7
11
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
اُكتب ك َّل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
x + 5 6x - 30
× 2
12x
x - 25
13
3 - x x2 + x - 6
14
×
4 - 2x
9 - x2
y2 - 7y
y2 - 49
15
÷
y3 - 27 y2 + 3y + 9
اُكتب ك َّل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
5
2
- 2
x - 36 x - 12x + 36
16
3
2
4 + 2x + x2
+
x-2 x-2
x3 - 8
17
2
51
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
18مكتبة :إذا كان المقدار الجبري x2 - 4يمثل عدد الكتب العلمية
في المكتبة ،والمقدار الجبري x2 + x - 6يمثل عدد الكتب األدبية
فيها .اكتب نسبةَ الكتب العلمية إلى الكتب األدبية بأبسط صورة.
19هندسة :مستطيل أبعاده 5 ، 3أمتار ُو ِّس َع إلى مستطيل أكبر وذلك
5m
5m
بإحاطته بممر عرضه xمتر .اكتب المقدارالجبري الذي يمثل
مجموع نسبتي طول المستطيل قبل التوسيع إلى طوله بعد التوسيع
ونسبة عرض المستطيل قبل التوسيع إلى عرضه بعد التوسيع بأبسط
3m
3m
x
صورة.
20ألعاب نارية :المقدار الجبري 20 + 15t - 5t2يمثل االرتفاع
باألمتار لقذيفة ألعاب نارية أُطلِقت من سطح بناية ارتفاعها 20
متراً ،إذ tتمثل زمن وصول القذيفة بالثواني إلى الهدف .والمقدار
الجبري 4 +19t - 5t2يمثل ارتفاع قذيفة أخرى أُطلِقت من سطح
بناية ارتفاعها 4أمتار .اكتب نسبة ارتفاع القذيفة األولى إلى ارتفاع
القذيفة الثانية بأبسط صورة.
ـر
فَ ِّك ْ
21تح ًّد :بسِّط المقدار الجبري التالي إلى أبسط صورة:
y- 5
y2 - 5
÷ 2
3
2y - 16 2y + 4y + 8
صح ُح الخطأ :ب َّسطَ ْ
ت سماح المقدار الجبري وكتبته بأبسط صورة كما يأتي:
22أُ ِّ
z2 - z - 30 2z + 12
=1
× 2
z - 36
5+z
اكتشف خطأ َ سماح وصحّحه.
23
عددي :ما ناتج جمع المقدارين الجبريين بدون استعمال الورقة والقلم؟ وضِّ ح إجابتك.
حس
ٌّ
ٌّ
5
-4
+
)x - 49 (x - 7) (x + 7
2
كتب
اُ ْ
z2 + z - 6
z2 - 16
÷
2z2 + 2z - 12
2z + 8
قيمة المقدار الجبري بأبسط صورة
52
اختبار الف�صل
Chapter Test
جد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما من حدين:
)(2y - 3) (y + 9
)(2 - x) (5 - x
4
) (v - 2 ) (v + 2
3
2
(x + 5)2
1
جد ناتج ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود:
)1 1 y + y2
)5 (x + 11) (x2 - 11x + 121
6 ( 1 - y) ( +
9 3
3
1
3
3
)7 (y - 1
) 8 (z +
4
حلل المقدار باستعمال العامل المشترك األكبر ( )GCFوتحقق من صحة الحل:
)18 z3r + 2 (zr2 - zr
8x2 - 12x
10 7y3 + 14y2 - 21y
11
حلل المقدار باستعمال ثنائية الحد كعامل مشترك أكبر:
)5 z(z2 - 1) - 2 z2 (z2 - 1
حلل المقدار باستعمال خاصية التجميع:
56 - 8y + 14y2 - 2y3
2 (y+5) + 1 y(y + 5) 13
3
3
15
6x4 - 18 x3 + 10x - 30
9
12
14
حلل المقدار بالتجميع مع المعكوس:
)11 z3- 44 z2+ 5(2 - z
9x3 - 6x2 + 8 - 12x
17
16
حلل كل مقدار جبري من المقادير اآلتية:
1 v - 1 v4
16
2
2
23 7z - 36z + 5
حدد أي من المقادير الجبرية التالية يمثل مربعا ً كامالً وحلله:
20
26 4v2 + 4 5 v + 5
1 z2 - 1
3
27
22 81 - 18y + y2
19
25 49 - 14y + y2
18 16 - x2
8x3 - 1
125
21
25x2 + 30x + 9
24
اكتب الحد المفقود في المقدار الجبري ax2 + bx + cليصبح مربعا ً كامالً وحلله:
29 7 - …. + 4z2
28 36 - 12y +….
27 x2 + …. + 81
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية اآلتية:
x2 - 5 3 x +18 32 2v2 + 9v + 7
35 12 - 7 2 v + 2v2
31
x2 + 7x + 10
30
34
32 - 16x + 2x2
33
1 y2 - 2y + 3
4
37 125y3 - 1
1 - 8
v3 27
41 3 - 1 v3
39 1 + 0.125y3
40 z3 - 0.027
9
اكتب كل مقدار من المقادير التالية على أبسط صورة:
3
2
7
6
43
42 27 - 8z ÷ 9 + 6z + 4z
- 2
2
2
x - 25 x + 10x + 25
9 + 6z
4z - 9
2
1+y
1
44 y - 1 +
45 z + 3 - z - 5 +
3
2
2
z + 5 z - 3 z +2z -15
1 - y 1 + 2y + y
38
53
8 + 27x3
36
الف� ُصل
3
املعادالت
Equations
الدرس 3-1حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين
الدرس 3-2حل المعادالت التربيعية بمتغير واحد
الدرس 3-3حل المعادالت التربيعية بالتجربة
الدرس 3-4حل المعادالت التربيعية بالمربع الكامل
الدرس 3-5حل المعادالت بالقانون العام
الدرس 3-6حل المعادالت الكسرية
الدرس 3-7خطة حل المسألة (كتابة معادلة)
سافر باسل وسعد في رحالت سياحية عن طريق مطار بغداد الدولي فكانت مجموعة باسل تقل بـ 22شخصا ً عن
مجموعة سعد ،فإذا كان مجموع األشخاص المسافرين 122شخصاً ،فيمكن حساب عدد األشخاص لكل مجموعة
وذلك بحل المعادلتين الخطيتين من الدرجة األولى x - y = 22 ، x + y = 122إذ المتغير xيمثل عدد
األشخاص في مجموعة سعد والمتغير yيمثل عدد األشخاص في مجموعة باسل.
54
االختبا ُر القبل ّي
Pretest
جد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما من حدين:
) (x - 5 ) (x + 5
3
)(z + 2) (z - 2
2
(y - 5)2
1
)(3z - 2) (z + 8
5
)(4 - y) (6 - y
4
جد ناتج ضرب مقدار جبري من حدين في مقدار جبري من ثالثة حدود:
)( 1 - y) ( 1 + 1 y + y2
4 2
2
7
)(x + 3) (x2 - 3x + 9
6
حلل المقدار باستعمال العامل المشترك األكبر( )GCFوتحقق من صحة الحل:
12 z2 + 3 z
9y3 + 6y2 - 3y
10
9
5x2 - 10x
8
حلل المقدار باستعمال ثنائية الحد كعامل مشترك أكبر:
)3 z (z - 1) - 2 (z - 1
)1 (y + 1) + 1 y (y + 1
2
2
13
12
)11 x(5 - x) - 3(5 - x
حلل المقدار باستعمال التجميع:
2 z4 - 6 z3 + z - 3
16
15 9 - 18y + 7y2 - 14y3
14 6x3 - 12x2 + 5x - 10
حلل المقدار بالتجميع مع المعكوس:
)4 z3 - 25 z2 + 3(5 - 2z
19
3 y3 - 1 y2 + 4 - 12y
4
4
18
17 4x3 - 2x2 + 3 - 6x
حلل كل مقدار جبري من المقادير اآلتية:
1 z2 - 1
8
2
22 36 - 12x + x2
21
20 y2 - 25
23 y2 - 2y - 15
حدد أي من المقادير الجبرية التالية يمثل مربعا ً كامالً وحلله:
26 z2 - 6z - 9
25 64 - 16y + y2
24 16x2 + 40x + 25
اكتب الحد المفقود في المقدار الجبري ax2 + bx + cليصبح مربعا ً كامالً وحلله:
29 5 - …. + 4z2
28 9 - 24y +….
27 x2 + …. + 64
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية اآلتية:
32 4 - 21x + 5x2
31 z2 - 2 3 z + 3
30 18 - 3y - y2
35 y3 - 1
34 y3 - 125
33 1 + 27z3
8
37 1- 0.125z3
55
1 - 1
x3 64
36
الدرس
ُ
[]3-1
حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين
Solving the system of two Linear Equations with two variables
فكرةُ الدرس
• حل نظام من معادلتين
خطيتين بيانيا ً وبالتعويض
وبالحذف .
المفردات
• معادلة خطية
• نظام المعادالت الخطية
• حل النظام
تعلم
لدى أحمد معمل تعليب التمور ،بلغت تكاليف
العلب وهي فارغة 100000دينار ،وملء
العلبة الواحدة بالتمر يكلف 500دينار ،وتباع
بـ 1000دينار .ويرغب أحمد في معرفة عدد
العلب التي عليه بيعها ليحقق ربحاً.
[ ]3-1-1حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا ً
Solving the system of two linear equations by graphic method
لتكن L2 : a2x + b2y = c2 ، L1 : a1x + b1y = c1معادلتين من الدرجة األولى (خطيتين) بمتغيرين ، x , yلحل هذا
النظام بيانيا ً نتبع ما يأتي )1 :تمثيل كل من المستقيمين في المستوي اإلحداثي )2 .إليجاد إحداثي نقطة تقاطع المستقيمين يُرسم
عمودان من النقطة على المحورين الصادي والسيني فتكون نقطة التقاطع تمثل مجموعة الحل.
مثال (ِ )1من تعلّم ،جد عدد العلب التي يبيعها أحمد ليحقق ربحاً.
نفرض تكاليف اإلنتاج بالمتغير ، yوعدد العلب المبيعة بالمتغير ، xوعليه:
معادلة تمثل تكاليف اإلنتاج الكلية )y = 500 x + 100000 ….. (1
y = 1000 x ……....
معادلة تمثل القيمة الكلية للمبيعات )(2
تدريج المحور yبأُلوف الدنانير
نمثل المعادلتين بيانيا ً وتحديد نقطة تقاطع المستقيمين ()200،200
التي تمثل بيع 200علبة ،وتحقيق الربح يبدأ عندما يبيع أكثرمن
200علبة.
الزوج المرتب ( )200،200الذي هو حل للمعادلتين يسمى حالً للنظام.
مثال ()2
Y
X
50 100 150 200 250
جد مجموعة الحل للنظام بيانيا ً x - y = 1 . … (1) .
)x + y = 3 .… (2
1
=
-y
x
=
y
+
3
56
x
نمثل المعادلتين بيانيا ً ونحدد نقطة تقاطع المستقيمين ()2,1
لتمثيل المعادالت بيانيا ً نأخذ نقاط التقاطع مع المحاور
المعادلة(x y = 3 - x )2
المعادلة(x y = x -1 )1
,
0 3
0 -1
3 0
1 0
X
النقاط ()3 ، 0( ، )0 ، 3
النقاط ()1 ، 0( ، )0 ، -1
1 2 3 4 5
مجموعة الحل للنظام هي })S = {(2,1
للتحقق من صحة الحل نعوض عن قيمة المتغيرين x , yفي كال المعادلتين
للحصول على عبارتين صائبتين.
2-1=1
1=1
التعويض بالمعادلة )1(....
x - y =1
2+1=3
3=3
التعويض بالمعادلة )2(....
x+y=3
5
Y
4
3
2
1
300
250
200
150
100
50
[ ]3-1-2حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
Solving the system of two linear equations by substitution method
تتلخص هذه الطريقة لحل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين x , yنقوم بتحويل إحدى المعادلتين إلى معادلة بمتغير واحد
فقط وذلك بإيجاد عالقة بين x , yمن إحدى المعادلتين وتعويضها في المعادلة األخرى.
مثال ()3
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال التعويض:
i) y = 4x
} {
)……. (1
)y = x + 6 …… (2
نعوض عن قيمة yمن المعادلة ( )1في المعادلة ()2
⇒ 4x = x + 6
نحل المعادلة ونجد قيمة المتغير x
⇒ 4x - x = 6 ⇒ x = 2
y=x+6 ⇒ y=2+6 ⇒ y=8
نعوض عن قيمة xبالمعادلة ( )2إليجاد قيمة المتغير y
لذا مجموعة الحل للنظام هي {(})2 , 8
⇒ x = 2 + 4y
)ii) x + 8y = 10 …. (1
نجد قيمة xمن المعادلة ()2
)x - 4y = 2 …… (2
ونعوضها في المعادلة ()1
2 + 4y + 8y = 10 ⇒ 12y = 8 ⇒ y = 2
نعوض عن قيمة yبالمعادلة )1(...
3
2
x + 8y = 10 ⇒ x + 8 × = 10 ⇒ x = 10 - 16 ⇒ x = 14
3
3
3
لذا مجموعة الحل للنظام هي {( })14 , 2
3 3
} {
[ ]3-1-3حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف
Solving the system of two linear equations by elimination method
تتلخص هذه الطريقة لحل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين x , yوذلك بحذف أحد المتغيرين وبجعل معامل أحدهما متساويا ً
بالقيمة ومختلفا ً باإلشارة في كال المعادلتين.
مثال ()4
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال الحذف:
)i) x + 2y = 5 …….(1
نضرب طرفي المعادلة )2(....في العدد 2
ثم نجمعها مع المعادلة )1(...
} {
لذا مجموعة الحل للنظام هي {(})1 , 2
نضرب المعادلة )1(....في العدد 2
والمعادلة )2(...في العدد 3ثم نطرح المعادلتين
)ii) 3x + 4y = 10 ……. (1
)3x - y = 1 …… (2
⇒
)x + 2y = 5 ………(1
بالجمع )6x - 2y = 2 ……….(2
7x = 7 ⇒ x = 1
نعوض عن قيمة xفي إحدى المعادلتين (بأبسط معادلة)
x + 2y = 5 ⇒ 1 + 2y = 5 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
نعوض في المعادلة )1(.......
} {
} {
)2x +3 y = 7 …… (2
⇒
)6x + 9y = 21 . . ..….(2
)∓ 6x ∓ 8y = ∓ 20 ..…(1
y=1
} {
بالطرح
نعوض عن قيمة yفي إحدى المعادلتين (قبل تغيير اإلشارة)
نعوض في المعادلة )2(.......
2x + (3 × 1) = 7 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
لذا مجموعة الحل للنظام هي {(})2 , 1
57
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد مجموعة الحل للنظام بيانياً:
} {
مشابهة للمثالين ()1,2
y=3-x
} {
} {
األسئلة ()1 - 3
y=x-2
3
y-x=3
2
3x - y = 6
1
x-y=3
y+x=0
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال طريقة التعويض لكل مما يأتي:
مشابهة للمثال ()3
y - 3x = 8
} {
} {
األسئلة ()4 - 6
} {
y - 5x = 10
6
x - 2y = 11
5
2x + 3y = 1
4
3x - 2y = 0
2x - 3y = 18
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال طريقة الحذف لكل مما يأتي:
2x - 4y = 24
} {
مشابهة للمثال ()4
y + 3x + 5 = 0
} {
} {
األسئلة ()7 - 9
3y - 2x - 7 = 0
9
x - 3y = 6
8
3x - 4y = 12
7
5x + 2y = -6
جد مجموعة الحل للنظام وتحقق من صحة الحل:
0.1x - 7y = -2
} {
12
} {
1 x+ 2 y=2 3
2
3
4
1 x- 2 y=6 1
4
3
4
11 0.2x - 6y = 4
10 2x - y = 1
2
y- x =4
3
3
} {
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد مجموعة حل للنظام بيانياً:
} {
} {
14 y = x - 4
13 x - y = -4
x=2-y
y+x=6
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال طريقة التعويض لكل مما يأتي:
} {
3x - y = 3
} {
16 2x - y = -4
15 3x + 2y = 2
x-y=8
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال طريقة الحذف لكل مما يأتي:
2x + 5y = -10
58
} {
} {
18 5x - 3y = 6
17 3x = 22 - 4y
4y = 3x - 14
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
19طقس :تقل عدد األيام ( )xالتي تنخفض فيها درجة الحرارة في
مدينة بغداد لشهر كانون الثاني عن 10درجات سيليزية بمقدار 9
أيام على عدد األيام ( )yالتي تزداد فيها درجة الحرارة على 10
درجات سيليزية .اكتب معادلتين تمثل هذا الموقف ،ثم جد حلّهما
بطريقة الحذف إليجاد عدد األيام في كل حالة.
20تجارة :باع متجر 25ثالجة وغسالة ،بسعر مليون دينار للثالجة
ونصف مليون دينار للغسالة .إذا كان ثمن هذه األجهزة 20مليون
دينار فكم جهازاً باع من كل نوع؟ اكتب معادلتين تمثالن المسألة ثم
حلّهما بطريقة التعويض.
21حفلةُ تخ ّرج :عمل سجاد وأنور حفلة بمناسبة تخرجهما من الكلية
فكان عدد األصدقاء الذين دعاهم سجاد أكثر بثالثة من عدد األصدقاء
الذين دعاهم أنور .وكان عدد المدعوين 23شخصاً ،فكم شخصا ً دعا
كل منهما؟ اكتب معادلتين تمثالن المسألة ثم حلّهما إليجاد المطلوب.
ـر
فَ ِّك ْ
22تح ًّد :جد مجموعة الحل للنظام:
2 x- 1 y=1
6
3
1 x+ 1 y=3
2
2
} {
كتب
اُ ْ
مجموعة حل للنظام:
} {
هي المجموعة {( }) 5 , 5
16 9
اكتشف خطأ َ احمد وصحِّحه.
} {
صح ُح الخطأ :قال أحمد إن مجموعة حل للنظام:
23أُ ِّ
2x + 3y = 6
3x + 2y = 1
5x - 6y = 0
x + 2y = 4
59
الدرس
ُ
[]3-2
حل المعادالت التربيعية بمتغير واحد
Solving Quadratic Equations with one variable
فكرةُ الدرس
• حل المعادلة المؤلفة من
حدين بتحليل الفرق بين
مربعين.
المفردات
• معادلة
• درجة ثانية
• متغير واحد
• فرق بين مربعين
تعلم
تعد الزقورة من المعالم الحضارية في العراق
إذ انها تقع في جنوب العراق.
ر َس َم باسل لوحةً جداريةً للزقورة مربعةَ
الشكل مساحتها 9m2على جدار إسمنتي .جد
طول ضلع اللوحة .
[ ]3-2-1حل المعادالت بالتحليل فرق بين مربعين
Using difference between two squares to solve equations
ّ
وإن . a,b,c ∈ R
المعادلة العامة من الدرجة الثانية بمتغير واحد ax2 + bx + c = 0حيث ( ) a = 0
وحلّها يعني إيجاد مجموعة قيم المتغير ( )xالتي تحقق المعادلة أي تجعلها عبارة صحيحة.
وسوف ندرس في هذا البند حل المعادالت المؤلفة من حدين باستعمال العامل المشترك األكبر والفرق بين مربعين وخاصية
الضرب الصفري.
مثال ()1
اكتب معادلة تمثل مساحة اللوحة ،ثم حلها إليجاد طول ضلع اللوحة.
افرض طول ضلع اللوحة هو المتغير xوالمعادلة التي تمثل مساحة اللوحة هي:
التحليل باستعمال الفرق بين مربعين
x2 - 9 = 0 ⇒ (x + 3) (x - 3) = 0
⇒ x + 3 = 0 or x - 3 = 0
خاصية الضرب الصفري
) or x = 3يهمل ⇒ (x = - 3
طول اللوحة الجدارية هو 3m
x2 = 9
مثال ()2
حل المعادلة التالية باستعمال الفرق بين مربعين وتحقق من صحة الحل:
التحليل باستعمال الفرق بين مربعين
16 - y2 = 0 ⇒ (4 + y) (4 - y) = 0
مجموعة الحل
}4 + y = 0 or 4 - y = 0 ⇒ y = - 4 or y = 4 ⇒ S = {- 4 , 4
التحقق :كل قيمة في مجموعة الحل للمتغير yيجب أن تحقق المعادلة
بالتعويض عن y = - 4
L.S = 16 - y2 = 16 - (-4)2 = 16 - 16 = 0 = R.S
بالتعويض عن y = 4
L.S = 16 - y2 = 16 - 42 = 16 - 16 = 0 = R.S
مثال ()3
حل المعادالت التالية باستعمال الفرق بين مربعين:
i) 4x2 - 25 = 0 ⇒ (2x + 5) (2x - 5) = 0 ⇒ 2x + 5 = 0 or 2x - 5 = 0
} ⇒ x = -5 or x = 5 ⇒ S = { -5 , 5
2
2
2 2
2
2
⇒
ii) 3z - 12 = 0 ⇒ 3(z - 4) = 0
(z + 2) ( z - 2) = 0
بقسمة الطرفين على 3ثم التحليل
} ⇒ z + 2 = 0 or z - 2 = 0 ⇒ S = { - 2 , 2
} iii) 2y2 -6= 0 ⇒ y2 - 3= 0 ⇒ (y + 3 ) (y - 3 ) ⇒ y = - 3 or y = 3 ⇒ S = {- 3 , 3
} iv) x2 - 5 = 0 ⇒ (x + 5 ) (x - 5 ) = 0 ⇒ x = - 5 or x = 5 ⇒ S = {- 5 , 5
}v) (z + 1)2 - 36 = 0 ⇒ ( z + 1 + 6 )( z + 1 - 6) = 0 ⇒ (z + 7)( z - 5) = 0 ⇒ S = {-7 , 5
60
[ ]3-2-2حل المعادالت بخاصية الجذر التربيعي
Using square root property to solve the equations
تعلمت في البند السابق كيفية حل المعادلة من الدرجة الثانية بمتغير واحد بطريقة التحليل باستعمال الفرق بين مربعين،
واآلن سوف نجد مجموعة الحل للمعادلة من الدرجة الثانية بمتغير واحد بطريقة خاصية الجذر التربيعي:
x2 = | x | > 0
25 = 52 ⇒ 25 = (52) = | 5 | = 5
25 = (-5)2 ⇒ 25 = (-5)2 = | -5 | = 5
فإن_ a :
وبصورة عامة إذا كان aعدد حقيقي موجب ّ
x2 = a ⇒ x = +
مثال ()4
حل المعادلة التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي وتحقق من صحة الحل:
_ 9 ⇒ x=+
_3
x2 = 9 ⇒ x = +
باستعمال قاعدة الجذر التربيعي
مجموعة الحل للمعادلة
}⇒ S = {3 , -3
التحقق :كل قيمة في مجموعة الحل للمتغير xيجب أن تحقق المعادلة
بالتعويض عن x = 3
L.S = x2 = 32 = 9 = R.S
بالتعويض عن x = -3
L.S = x2 = (-3)2 = -3 × -3 = 9 = R.S
مثال ()5
حل المعادلة التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي:
}i) y2 = 36 ⇒ y = +_ 36 ⇒ y = +_ 6 ⇒ S = {6 , -6
9 ⇒ z=+
_ 9 ⇒ z=+
} _ 3 ⇒ S = {3 , - 3
ii) z2 = 25
25
5
5
5
اليوجد لها حل في األعداد الحقيقية (اليوجد عدد حقيقي مربعه سالب( iii) x2 + 81 = 0 ⇒ x2 = - 81
7
}
3
} 5 ,- 5
2
2
7
3
⇒ S={ 7 ,3
5 ⇒ y=+
{=_ 5 ⇒ S
4
2
_
⇒ y=+
7
3
_iv) 3y2 = 7 ⇒ y2 = 7 ⇒ y = +
3
_v) 4x2 - 5 = 0 ⇒ 4x2 = 5 ⇒ x2 = 54 ⇒ x = +
مالحظة :إذا ربّعتَ طرفَي معادلة صحيحة ّ
فإن المعادلة الناتجة تبقى صحيحة ( ،)y = x ⇒ y2 = x2مثالً:
x = 5 ⇒ ( x )2 = 52 ⇒ x = 25
والعكس ليس صحيح أي ّ
x2 = y2 ⇒ x = y
أن:
مثال ()6
حل المعادالت التالية:
بتربيع طرفي المعادلة
}x = 6 ⇒ ( x )2 = 62 ⇒ x = 36 ⇒ S ={36
⇒ i) 3 x = 18
}ii) y + 8 = 3 ⇒ ( y + 8 )2 = 32 ⇒ y + 8 = 9 ⇒ y = 9 - 8 ⇒ y = 1 ⇒ S ={1
} ⇒ S = {49
iii) 5z = 7 ⇒ ( 5z )2 = 72 ⇒ 5z = 49 ⇒ z = 49
5
5
}x = 1 ⇒ ( x )2 = 12 ⇒ x = 1 ⇒ x = 13 ⇒ S = {13
iv) 13
13
13
61
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
األسئلة ()1 - 3
مشابهة للمثال ()2
حل المعادالت التالية باستعمال الفرق بين مربعين وتحقق من صحة الحل:
2z2 - 8 = 0
81 - y2 = 0
3
2
x2 - 16 = 0
1
حل المعادالت التالية باستعمال الفرق بين مربعين:
األسئلة ()4 - 9
مشابهة للمثال ()3
5y2 - 20 = 0
5
4x2 - 9 = 0
4
(3 - z)2 - 1= 0
7
(y + 2)2 - 49 = 0
6
9
x2 - 3 = 0
8
y2 - 1 = 0
9
حل المعادالت التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي:
األسئلة ()10 - 15
مشابهة للمثال ()4
11 z2 = 7
10 x2 = 64
13 6z2 - 5 = 0
12 2y2 = 49
15 z2 + 2 = 5
14 4(x2 -12) = 33
8
3
6
حل المعادالت التالية:
األسئلة ()16 - 18
مشابهة للمثال ()5
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
2z = 6
y-5 =2
18
17
16 3 x = 15
حل المعادالت التالية وتحقق من صحة الحل:
20 5y2 - 10 = 0
19 x2 = 49
حل المعادالت التالية باستعمال الفرق بين مربعين:
22 9(x2 - 1) - 7 = 0
21 9x2 - 36 = 0
23 y2 - 1 = 0
36
حل المعادالت التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي:
25 50 - 2y2 = 0
24 x2 = 121
27 7(x2 - 2) = 50
26 x2 = 1
64
حل المعادالت التالية:
4z = 8
62
29
28 6 x = 30
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
30موكيت سجاد :قطعة موكيت سجاد مستطيلة طولها 12mوعرضها
، 3mقُ ِّ
ط َعت إلى أجزاء لتغطية أرضية غرفة مربعة الشكل .اُكتب
معادلة تمثّل المسألة ثم جد طول ضلع الغرفة.
31هندسة :قطعة كارتون مربعة الشكل طول ضلعها ،x cmقطعت
ضلع قطعة الكارتون األصلية.
x cm
x cm
الى أربعة مربعات متساوية من زواياها طول ضلع كل مربع
،2cmوثُنِ ْ
يت لتكون صندوقا ً دون غطاء على شكل متوازي سطوح
مستطيلة حجمه . 32 cm3اُكتب معادلة تمثّل المسألة ثم جد طول
22cm
cm
2cm
2 cm
ص ِّم َم حوض سباحة مربع الشكل طول ضلعه 3mفي
32نافورةُ :
منتصف حديقة مربعة الشكل ،فكانت المساحة المتبقية من الحديقة
والمحيطة بالحوض ،40m2اُكتب معادلة تمثّل المسألة ثم جد طول
ضلع الحديقة.
ـر
فَ ِّك ْ
33تح ًّد :حل المعادالت التالية:
ii) 4x2 - 3 = 0
34هل المجموعة المعطاة تمثل مجموعة الحل للمعادلة أم ال؟
} , { 3 ,- 3
} ii) 3x2 - 7 = 0 , { 7 , - 7
2
2
3
3
i) 9(x2 + 1) = 34
i) (2y + 1)2 = 16
صح ُح الخطأ :قال صالح ّ
إن المجموعة { } 4 , - 4تمثل مجموعة الحل للمعادلة 5x2 = 4
35أُ ِّ
5
5
اكتشف خطأ صالح وصحِّحهُ.
36
ص من مربعه واحد لكان الناتج عدد من مضاعفات
حس
ٌّ
ٌّ
عددي :عدد صحيح موجب من رقم واحد لو أُنقِ َ
العشرة .ما العدد؟
كتب
اُ ْ
مجموعة الحل للمعادلة:
(8 - 3y)2 - 1 = 0
63
الدرس
ُ
[]3-3
حل المعادالت التربيعية بالتجربة
Solve the Quadratic Equations by factoring.
فكرةُ الدرس
• حل المعادالت من
الدرجة الثانية المؤلفة
من ثالثة حدود بالتحليل
بالتجربة.
المفردات
تعلم
إذا كان طول ملعب كرة السلة
يزيد بمقدار 2mعلى ضعف
عرضه ،ومساحته . 480m2
فما بُعدَي الملعب؟
• المعادلة التربيعية
• التجربة
[ ]3-3-1حل المعادلة x2 + bx + c = 0
Solving the equation x2 + bx + c = 0
تعرفت سابقا ً الى كيفية إيجاد تحليل مقدار جبري مؤلف من ثالثة حدود بواسطة التجربة ،واآلن سوف تستعمل التحليل في حل
المعادالت من الدرجة الثانية والمؤلفة من ثالثة حدود x2 + bx + c = 0إذ b,cأعداد حقيقية( .تحليل المقدار إلى قوسين
بإشارتين مختلفتين أو بإشارتين متشابهتين بحسب إشارة الحد المطلق والحد األوسط).
مثال ()1
إيجاد بُعدَي ملعب كرة السلة.
نفرض أن عرض الملعب بالمتغير ،xولذا ّ
فإن طول الملعب يكون 2x + 2
مساحة الملعب = الطول × العرض
x (2x + 2) = 480 ⇒ 2x + 2x - 480 = 0 ⇒ x + x - 240 = 0
2
2
} {
⇒ (x + 16) (x - 15) = 0
الحد األوسط -15x + 16x = x
x = -16
يهمل ألنه اليوجد طول بالسالب
⇒ x + 16 = 0
⇒
or x -15 = 0 ⇒ x = 15
لذا عرض الملعب 15mوطوله 2 × 15 + 2 = 32m
مثال ()2
حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
}i) x2 - 7 x +12 = 0 ⇒ (x - 3) (x - 4) = 0 ⇒ x = 3 or x = 4 ⇒ S = {3 , 4
}ii) y2 + 8y + 15 = 0 ⇒ (y +3) (y + 5) = 0 ⇒ y = -3 or y = -5 ⇒ S = {-3 , -5
}iii) z2 + z - 30 = 0 ⇒ (z + 6) (z - 5) = 0 ⇒ z = -6 or z = 5 ⇒ S = {-6 , 5
}iv) x2 - 2x - 63 = 0 ⇒ (x - 9) (x + 7) = 0 ⇒ x = 9 or x = -7 ⇒ S = {9 , -7
)vما العدد الذي مربعه يزيد عليه بمقدار 12؟
نفرض العدد ، xفيكون مربع العدد ،x2والجملة العددية التي تمثل المسألة هي:
x2 - x = 12 ⇒ x2 - x - 12 = 0 ⇒ (x - 4) (x + 3) = 0 ⇒ x = 4 or x = -3
لذا العدد إما 4أو -3
64
[ ]3-3-2حل المعادلة ax2 + bx + c = 0وانّ a = 0
Solving the equation ax2 + bx + c = 0 , a = 0
تعلمت سابقا ً حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة التجربة وأن المتغير x2من دون معامل ،أما اآلن فستتعلم كيفية حل
المعادلة نفسها ولكن مع وجود معامل للمتغير .x2
مثال ()3
مسبح يقل طوله عن ثالثة أمثال عرضه بمقدار .1m
فإذا كانت مساحة المسبح ،140 m2جد أبعاده.
نفرض عرض المسبح بالمتغير x
لذا طول المسبح 3x - 1
المعادلة التي تمثل المسألة هي ،x (3x -1) = 140نحل المعادلة:
الحد األوسط -21x + 20x = -x
x (3x -1) = 140 ⇒ 3x2 - x - 140 = 0
⇒ (3x + 20) (x - 7) = 0
يهمل ألنه اليوجد طول بالسالب
3x + 20 = 0 ⇒ x = - 20
3
or x - 7 = 0 ⇒ x = 7
} {
⇒
لذا عرض المسبح 7mوطوله 20m
مثال ()4
حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
الحد األوسط -12y - 2y = -14y
i) 4y2 - 14y + 6 = 0 ⇒ (4y - 2) (y - 3) = 0
4y -2 = 0 ⇒ y = 1
2
}or y - 3 = 0 ⇒ y = 3 ⇒ S = { 1 , 3
2
2
ii) 3x + 18x - 21 = 0 ⇒ (3x - 3) (x + 7) = 0
الحد األوسط 21x - 3x = 18x
} {
} {
3x -3 = 0 ⇒ x = 1
⇒
⇒
}or x + 7 = 0 ⇒ x = -7 ⇒ S = {1 , -7
الحد األوسط 8z + 5z = 13z
iii) 20 + 13z + 2z2 = 0 ⇒ (4 + z) (5 + 2z) = 0
} {
4+z=0 ⇒ z=-4
⇒
} 0r 5 + 2z = 0 ⇒ z = - 52 ⇒ S= {-4 , - 5
2
2
2
2
iv) 9x - 69x - 24 = 0 ⇒ 3(3x - 23x - 8) = 0 ⇒ 3x - 23x - 8 = 0
الحد األوسط -24x - x = -23x
⇒ (3x + 1) (x – 8) = 0
3x + 1 = 0 ⇒ x = - 1
3
}or x - 8 = 0 ⇒ x = 8 ⇒ S = {- 1 , 8
3
} {
65
⇒
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
األسئلة ()1 - 6
مشابهة للمثال ()2
x2 - 4x - 32 = 0
2
x2 - 9x +18 = 0
1
y2 + 9y - 36 = 0
4
y2 + 48y - 49 = 0
3
y - 8y - 33 = 0
6
x - 3x + 2 = 0
5
2
2
7ما العدد الذي مربعه يزيد على ضعفه بمقدار 35؟
8ما العدد الذي لو أُضيف 4أمثاله إلى مربعه لكان الناتج 45؟
األسئلة ()7 - 9
مشابهة للمثال ()1
9سجادة طولها يزيد على عرضها بمقدار 2mومساحتها . 48m2ما أبعاد السجادة؟
حل المعادالت اآلتية:
األسئلة ()10 - 14
مشابهة للمثال ()4
11 6 + 7x - 5x2 = 0
10 15x2 - 11x - 14 = 0
13 36 - 75x + 6x2 = 0
12 42 + 64y + 24y2 = 0
14 70 - 33y + 2y = 0
2
15أرض مستطيلة الشكل يزيد طولها بمقدار 4mعلى عرضها .ما بُعدا األرض إذا
كانت مساحتها 60m2؟
السؤال ()15
مشابه للمثال ()3
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
17 y2 + 16y + 63 = 0
16 x2 - 15 x + 56 = 0
19 y2 - y - 42 = 0
18 x2 + 15x - 16 = 0
20قطعة معدن مستطيلة الشكل ينقص عرضها بمقدار 2mعن طولها .ما بُعدا القطعة المعدنية إذا كانت
مساحتها 24m2؟
21صالة طعام ينقص طولها عن ِمثلَي عرضها بمقدار 3mومساحتها .54m2ما أبعاد الصالة؟
جد مجموعة الحل للمعادالت التالية وتحقق من صحة الحل:
23 y2 - 9y - 36 = 0
22 x2 - 4x + 3 = 0
24 4 - 26x + 12x2 = 0
66
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
25رياضة :إذا كان طول صورة إعالنية لملعب كرة القدم يزيد
بمقدار 4mعلى ضعف عرضها ،فما بعدا الصورة إذا كانت
مساحتها 160 m2؟
26حقل نعام :إذا كان طول حقل لتربية طيور النعام يقل بمقدار 4m
عن ضعف عرضه ،فإذا كانت مساحة الحقل ، 96m2فهل يكفي
سياج طوله 44mلتحويط الحقل؟
27إطار صورة :اشترى سامر إطار لصورة ،طوله ضعف عرضه.
يحتاج سامر إلى تصغير اإلطار بمقدار 2cmمن طوله وعرضه
ليصبح مناسبا ً للصورة ،فما أبعاد اإلطار الذي اشتراه سامر ،إذا
كانت مساحة الصورة 40cm2؟
ـر
فَ ِّك ْ
28تح ًّد :حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
ii) 3y2 - 11y + 10 = 80
i) (x - 3) (x + 2) = 14
29
وضح :هل أن المجموعة المعطاة تمثل مجموعة حل للمعادلة أم ال؟
ِّ
} ii) 42 - 33y + 6y2 = 0 , {2 , 7
2
}i) 4x2 + 2x = 30 , { -2 , 3
5
صح ُح الخطأ :قالت رنا إن مجموعة الحل للمعادلة 2x2 - 34x + 60 = 0هي {.}3,15
30أُ ِّ
أُحدِّد خطأ رنا وأصحِّحه.
كتب
اُ ْ
معادلة تمثل المسألة التالية ثم جد حلها:
ما العدد الذي ينقص ضعفه عن مربعه بمقدار 35؟
67
الدرس
ُ
[]3-4
حل المعادالت التربيعية بالمربع الكامل
Solving the Quadratic Equations by the Perfect Square
تعلم
فكرةُ الدرس
• حل المعادالت التربيعية
بطريقة إكمال المربع.
المفردات
• الحد األول
• الحد األخير
• مربع كامل
• إكمال المربع
الجاك َور ( )Panthera oncaهو
أحد السنَّوريات الكبرى المنتمية
لجنس النمور ،جد قيمة xمن المعادلة
x2- 20x + 100 = 0والتي تمثّل
طول ضلع المنطقة المربعة المحددة
له بالمتر المربع في حديقة الحيوانات.
[ ]3-4-1حل المعادالت التربيعية بالمربع الكامل
Solving the quadratic equations by the perfect square
تعرفت سابقا ً الى كيفية تحليل مقدار جبري على هيئة مربع كامل ،واآلن سوف نستعمل هذا التحليل في حل معادالت
بالتحليل بالمربع الكامل إليجاد مجموعة الحل للمعادلة.
مثال ()1
ما المقدار الذي يمثله طول ضلع المنطقة المربعة؟
لتحليل الطرف األيسر من المعادلة نتأكد من أن المقدار يمثل مربعا ً كامالً
x2 - 20x + 100 = 0
مربع كامل ّ
ألن :الحد األوسط = (×2جذر الحد األول×جذر الحد األخير)
)2 (x ×10
تحليل المقدار
x2 - 20x + 100 = 0 ⇒ (x - 10)2 = 0 ⇒ (x - 10) (x - 10) = 0
} {
x - 10 = 0 ⇒ x = 10
⇒
or x - 10 = 0 ⇒ x = 10
لذا طول ضلع المنطقة المربعة المخصصة للنمر هو 10m
مثال ()2
حل المعادالت التالية بالمربع الكامل:
i) 4x2 + 20 x + 25 = 0
الحد األوسط 2 × (2x × 5) = 20x
نأخذ أحد العوامل المتكررة ⇒ (2x + 5)2 = 0 ⇒ 2x + 5 = 0 ⇒ 2x = - 5 ⇒ x = - 5
2
الحد األوسط 2 × (y × 1 ) = y
ii) y2 - y + 1 = 0
2
4
نأخذ أحد العوامل المتكررة
⇒ (y - 1 )2 = 0 ⇒ y - 1 = 0 ⇒ y = 1
2
2
2
الحد األوسط 2 × ( 3 × 3z) = 3 3 z
نأخذ أحد العوامل المتكررة
iii) 3 - 6 3 z + 9z2 = 0
3 - 3z = 0 ⇒ z = 1
3
68
⇒ ⇒ ( 3 - 3z)2 = 0
[ ]3-4-2حل المعادالت التربيعية بإكمال المربع
Solving quadratic equations by completing the square
اآلن سوف تتعرف إلى كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة إكمال المربع:
)1نضع المعادلة التربيعية بالصورة ، ax2 + bx = - cحيث . a = 0
)2إذا كان a = 1فتقسم المعادلة على . a
)3نضيف إلى طرفي المعادلة المقدار (مربع نصف معامل .)x
)4نحلل الطرف األيسر الذي أصبح مربعا ً كامالً بعد الخطوة ، 3ونبسّط الطرف األيمن.
)5نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ونجد قيم . x
مثال ()3
حل المعادالت التالية بطريقة إكمال المربع:
i) x2 - 4x - 12 = 0 ⇒ x2 - 4x = 12
نكتب المعادلة كما في الخطوة األولى
⇒ x2 - 4x + 4 = 12 + 4
إضافة المقدار ) 1 × -4(2 = 4إلى طرفي المعادلة
2
⇒ x2 - 4x + 4 = 16 ⇒ (x - 2)2 = 16
نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة
⇒ _4
⇒ x-2=+
x-2=4 ⇒ x=6
} {
}or x - 2 = - 4 ⇒ x = -2 ⇒ S = {6 , -2
ii) 2y2 - 3 = 3y ⇒ 2y2 - 3y = 3
نكتب المعادلة كما في الخطوة األولى
⇒ y2 - 3 y = 3
بقسمة طرفَي المعادلة على 2
2
2
إضافة المقدار 9
⇒ y2 - 3 y + 9 = 3 + 9
) 12 × - 32 (2 = 16إلى طرفي المعادلة
2
16
2 16
⇒ (y - 3 )2 = 33
بتحليل الطرف األيسر ونبسّط الطرف األيمن للمعادلة
4
16
_ 33
⇒ y - 34 = +
نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة
4
33
⇒
⇒ y = 3 + 33
= y- 3
4
4
4
33
⇒ y = 3 - 33 ⇒ S = 3 - 33 , 3 + 33
= or y - 34
4
4
4
4
} {
مثال ()4
} {
} {
مستطيل يزيد طوله على عرضه بمقدار ، 2cmق ّدر طول المستطيل وعرضه بالتقريب ألقرب عدد
صحيح إذا كانت مساحته . 36cm2
نفرض عرض المستطيل بالمتغير xفيكون طول المستطيل هو x + 2
والمعادلة التي تمثل المسألة:
x (x + 2) = 36
نحل المعادلة بطريقة إكمال المربع
⇒ x2 + 2x + 1 = 36 + 1
نضيف ) 1 × 2(2 = 1إلى طرفي المعادلة
2
_ 37 ⇒ x + 1 ≈ +
_6
⇒ (x + 1)2 = 37 ⇒ x + 1 = +
37 ≈ 36
⇒
x+1≈ 6 ⇒ x≈5
⇒ x2 + 2x = 36
} {
يهمل or x + 1 ≈ -6 ⇒ x ≈ -7
لذا عرض المستطيل التقريبي 5cmوطوله 7cm
69
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حل المعادالت التالية بالمربع الكامل:
األسئلة ()1 - 6
مشابهة للمثال ()2
y2 - 10y + 25 = 0
2
x2 + 12x + 36 = 0
1
y2 + 2 7 y + 7 = 0
4
4x2 - 4x + 1 = 0
3
1 - 1 x + x2 = 0
16 2
6
x2 + 16x = - 64
5
حل المعادالت التالية بإكمال المربع:
8
x2 - 10x - 24 = 0
7
10 3y + 2y = 1
4x - 3x - 16 = 0
9
y2 - 3 = 2y
األسئلة ()7 - 12
2
مشابهة للمثال ()3
12 5y2 + 15 y - 30 = 0
2
11 x2 - 6 x = 1
5
5
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
حل المعادالت التالية بالمربع الكامل:
13 x2 + 24x + 144 = 0
14 y2+ 4 2 y + 8 = 0
15 3y2 + 36 -12 3 y = 0
حل المعادالت التالية بإكمال المربع:
16 y2 + 2 3 y = 3
17 x2 - 2x = 0
2 x=4
3
18 x2 -
حل المعادالت التالية بإكمال المربع ،وجد الناتج بالتقريب ألقرب عدد صحيح:
20 y (2y + 28) = 28
70
19 x2 - 6x = 15
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
21مدينة بابل:مدينة بابل باللاّ تينية Babylonهي مدينة عراقية
كانت تقع على نهر الفرات ،وكانت عاصمة البابليين أيام حكم
حمورابي سنة ( )1750 - 1792قبل الميالد .جد قيمة xمن المعادلة
x2 - 28x + 196 = 0والتي تمثل طول ضلع إحدى القاعات
المربعة الشكل.
22دب الباندا :المساحة المخصصة لدب الباندا في حديقة الحيوانات
مستطيلة الشكل 126متراً مربعاً ،وعرضها يقل بمقدار 8متر
عن طولها.جد أبعاد المنطقة المخصصة للدب بالتقريب ألقرب عدد
صحيح.
23حيتان :تجنح بعض المجموعات من الحيتان إلى الشاطئ واليوجد
تفسير علمي لهذه الظاهرة ،ويحاول حماة البيئة إرجاعها إلى البحر.
حل المعادلة x2 + 20x = 525بطريقة إكمال المربع إليجاد قيمة
xالتي تمثل عدد الحيتان التي جنحت إلى أحد شواطئ استراليا.
ـر
فَ ِّك ْ
24تح ًّد :حل المعادالت التالية في Rبإكمال المربع ،وجد الناتج بالتقريب ألقرب عدد صحيح:
ii) 6y2 - 48y = 6
i) 4x (x - 6) = 27
صح ُح الخطأ :حلّت سوسن المعادلة 4x2 - 4 3 x + 3 = 0بطريقة إكمال المربع وكتبَ ْ
ت مجموعةَ
25أُ ِّ
الحل للمعادلة بالشكل اآلتي . S = } 3 , - 3 { :اكتشف خطأ َ سوسن وصحِّ حه.
4
4
26
عددي :هل ّ
حس
ان مجموعة حل للمعادلة y2 - 4y + 4 = 0تحتوي على قيمتين متساويتين بالمقدار
ٌّ
ٌّ
أحدهما سالبة واألخرى موجبة؟ وضّح إجابتك.
كتب
اُ ْ
1 - 2 z + z2 = 0
81 9
مجموعة الحل للمعادلة:
71
الدرس
ُ
[]3-5
حل المعادالت بالقانون العام
Using General Law to solve the Equations
• حل المعادالت من الدرجة
الثانية بالقانون العام.
المفردات
• معامل
• الحد المطلق
• القانون العام
تعلم
ﺣﺩدﻳﯾﻘﺔ ﺍاﻟﻣﻧﺯزﻝل
ُ
منزل
أري َد
رصف ممرٍّ على جانبَي حديقة
7
7
بالسيراميك طول الحديقة 7mوعرضها
x
، 5mومساحة الرصف . 45m2جد عرض
5 X x
الممرالمطلوب رصفه بالسيراميك.
5
X
فكرةُ الدرس
_
x = -b +وأن a = 0
[ ]3-5-1حل المعادالت باستعمال القانون b2 - 4ac
2a
2
_
Solving the equations by using the law x = -b + b - 4ac and a 0
=
2a
تعلمت في الدروس السابقة كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية بطرائق عدة ،ولكن هنالك معادالت اليمكن حلها بالطرائق
السابقة ،فسوف نحلها بطريقة القانون العام (الدستور) وذلك إليجاد الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية وكما يأتي:
)1نضع المعادلة التربيعية بالصورة العامة (القياسية) . ax2 + bx + c = 0
)2نكتب قيم المعامالت a :معامل b ، x2معامل xمع إشارته c ،الحد المطلق مع إشارته.
)3نعوض بالقانون العام إليجاد قيمتي المتغير.
مثال ()1
من فقرة تعلّم ،ما عرض الممر المطلوب رصفه على جانبَي الحديقة؟
على فرض أن عرض الممر هو ّ ، x
فإن مساحة الجزء األيمن من الممر = ، 7x
ومساحة الجزء الممر األمامي = ، 5xومساحة زاوية الممر = x2ومجموع مساحتَي الرصف . 45m2
x2 + 7x + 5x = 45 ⇒ x2 + 12x = 45
المعادلة التي تمثل المسألة
x2 + 12x - 45 = 0
وضع المعادلة بالصورة العامة
a = 1 , b = 12 , c = - 45
تعين المعامالت والتعويض بالقانون العام
)_ 144 - 4×1×(-45
_ b2 - 4ac
_ 144 + 180
-12 +
-b +
=⇒ x
⇒ x = -12 +
2a
2×1
2
_ 324
_
⇒ x = -12 +
⇒ x = -12 + 18 ⇒ x = -12 + 18 ⇒ x = 3
عرض الممر 3m
2
2
2
⇒ -12 - 18
= or x
يهمل غير ممكن x = - 15
2
=x
} {
مثال ()2
جد مجموعة الحل للمعادالت التالية باستعمال القانون العام:
} {
3 + 29
2
_ 29
_ b2 - 4ac
_ 9 + 20
29
29 3 - 29
3+
-b +
⇒ x= 3 +
⇒ or x= 3⇒ S={ 3 +
=x
}
=x
,
⇒
2
2
2a
2
2
2
x2 - 3x - 5 = 0 , a = 1 , b = -3 , c = -5
=x
72
[ ]3-5-2المقدار المميز ( ) ∆ = b2 - 4ac
) The discriminate ( ∆ = b2 - 4ac
تعلمت في الجزء األول من هذا الدرس كيفية حل المعادلة بالقانون العام إليجاد الجذور الحقيقية للمعادلة .واآلن سوف نتطرق
إلى مميز المعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0وهو ّ ،∆ = b2 - 4ac
وإن نوع جذري المعادلة يتعين كما يأتي:
نوع الجذرين
∆ = b2 - 4ac
جذران حقيقيان نسبيان (.........المعامالت أعداد نسبية) ..........موجب ومربع كامل )1
جذران حقيقيان غير نسبيين ....................................موجب وليس مربعا ً كامالً )2
-b
جذران حقيقيان متساويان ( ........................................................ ) 2aصفر )3
جذران غير حقيقيين (مجموعة الحل في .................................. )∅ = Rسالب )4
مثال ()3
حدِّد جذري المعادلة أوالً ،ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:
i) 2x2 + 3x - 2= 0 , a = 2 , b = 3 , c = -2
المقدار المميز مربع كامل أي للمعادلة جذران نسبيان
∆ = b2 - 4ac ⇒ ∆ = 9 - 4 × 2 × (-2) = 25
_ b2 - 4ac
_ 9 + 16
_ 25
-b +
⇒ x= -3 +
⇒ x= -3 +
⇒ x= -3 + 5 = 12 or x= -3 - 5 =-2
=x
2a
4
4
4
4
ii) y2 - 4y - 9 = 0 , a = 1 , b = - 4 , c = -9
المقدار المميز ليس مربعا ً كامالً لذا للمعادلة جذران غير نسبيين∆ = b2 - 4ac ⇒ ∆ = 16 - 4 × 1× (-9) = 52
_ 16 + 36
_ 52
_ b2 - 4ac
4+
4+
-b +
=⇒ x
=⇒ x
⇒ x= 2 + 13 or x= 2 - 13
=y
2
2
2a
iii) z2 + 8z = -16 ⇒ z2 + 8z +16 = 0 , a = 1 , b = 8 , c = 16
قيمة المقدار المميز صفر أي المعادلة لها جذران حقيقيان متساويان ∆ = b2 - 4ac ⇒ ∆ = 64 - 4 × 1 × 16 = 0
_ b2 - 4ac
_ 64 - 64
-b +
ممكن تطبيق القانون ( ) -bمباشرةً
⇒ x = -8 +
=x
= -4
2a
2a
2
2
iv) x - 2x + 10 = 0 , a = 1 , b = -2 , c = 10
قيمة المقدار المميز سالب ولذلك المعادلة ليس لها حل في ∆ = b2 - 4ac ⇒ ∆ = 4 - 4 × 1 × 10 = -36 R
مثال ()4
ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذري المعادلة x2 - (k +1)x + 4 = 0متساويين؟ تحقّق من اإلجابة.
يكون جذرا المعادلة متساويين عندما قيمة المقدار المميز ∆ يساوي صفر.
a= 1 , b = - (k +1) , c = 4
نحدد قيم المعامالت
∆ = b2 - 4ac ⇒ ∆ = (k+1)2 - 4 × 1 × 4 ⇒ ∆ = (k+1)2 - 16
∆ = 0 ⇒ (k+1)2 - 16 = 0
نعوض عن قيمة المميز بصفر وذلك لتساوي جذري المعادلة
⇒ (k+1)2 - 16 = 0 ⇒ (k+1)2 = 16
بجذر طرفي المعادلة
⇒ _4
⇒ k+1=+
k+1=+4 ⇒ k=3
or k + 1 = - 4 ⇒ k = -5
} {
التحقق :نعوض بقيمة k = 3بالمعادلة األصلية ونجد جذور المعادلة:
x2 - (k + 1)x + 4 = 0 ⇒ x2 - 4x + 4 = 0 ⇒ ( x - 2)2 = 0 ⇒ x = 2
نعوض بقيمة k = -5بالمعادلة األصلية ونجد جذور المعادلة:
x2 - (k + 1)x + 4 = 0 ⇒ x2 + 4x + 4 = 0 ⇒ ( x + 2)2 = 0 ⇒ x = -2
73
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد مجموعة الحل للمعادالت التالية باستعمال القانون العام:
األسئلة ()1 - 6
مشابهة للمثالين ()1،2
y2 + 5y - 1 = 0
2
x2 - 4x - 5 = 0
1
4y2 + 8y = 6
4
3x2 - 9x = - 2
3
2y2 -3 = -5y
6
4x2 - 12x + 9 = 0
5
حدِّد جذور المعادلة أوالً ،ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:
األسئلة ()7 - 10
مشابهة للمثال ()3
3x2 - 7x + 6 = 0
8
2x2 + 3x = 5
7
10 y2 + 12 = - 9y
y2 - 2y +1 = 0
9
11ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذري المعادلة x2 - (k + 2)x + 36 = 0متساويين؟ تحقق من اإلجابة.
12ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذري المعادلة 4y2 + 25 = (k - 5)yمتساويين ؟ تحقق من اإلجابة.
13ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذري المعادلة z2 + 16 = (k + 4)zمتساويين؟ تحقق من اإلجابة.
14بيِّن ّ
أن المعادلة z2 - 6z + 28 = 0ليس لها حل في مجموعة األعداد الحقيقية.
األسئلة ()11 - 14
مشابهة للمثالين ()3,4
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد مجموعة الحل للمعادالت التالية باستعمال القانون العام:
15 x2 - 7x - 14= 0
16 y2 + 3y - 9 = 0
17 2x2 - 8 (3x + 2) = 0
18 2y2 - 2 = -10y
حدِّد جذور المعادلة أوالً ،ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:
19 y2 - 2y - 10 = 0
20 y2 - 14y + 49 = 0
21ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذري المعادلة x2 - (k + 6)x + 49 = 0متساويين؟ تحقق من اإلجابة.
22بيِّن ّ
أن المعادلة 2z2 - 3z + 10 = 0ليس لها حل في مجموعة األعداد الحقيقية.
74
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
23
ألعاب نارية :في إحدى المناسبات أُطلقت مجموعة من
ٌ
األلعاب النارية عموديا ً في الهواء وصلت إلى ارتفاع .140m
احسب الزمن ( tثانية) الذي وصلت به إلى هذا االرتفاع من
المعادلة اآلتية5t2 + 60t = 140 :
24تجارةٌ :يحسب سامر سع َر الكلفة للبدلة الرجالية الواحدة ثم
يضيف عليها مبل َغ للربح ويبيعها للزبائن بمبلغ 120ألف
دينار ،إذا كانت pفي المعادلة p2 - 30p +225 = 0تمثّل
مبل َغ ربح سامر في البدلة الواحدة بأُلوف الدنانير ،فما سع ُر
كلفة البدلة الواحدة؟
ـر
فَ ِّك ْ
25تح ًّد :حدِّد جذور المعادلة أوالً ،ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:
i) x2 + 8x = 10
ii) 3y2 - 6y - 42 = 0
صح ُح الخطأ :قال سعد إن المعادلة 2x2 - 3x - 9 = 0ليس لها حل في مجموعة األعداد الحقيقية.
26أُ ِّ
اكتشف خطأ َ سعد وصحِّحه.
27
حس
عددي :استعملت مروةُ المقدا َر المميّ َز لكتابة جذ َري المعادلة z2 - 8z + 16 = 0دون تحليلها.
ٌّ
ٌّ
فسِّر كيف استطاعت مروة كتابة جذ َري المعادلة.
كتب
اُ ْ
نوع جذري المعادلة x2 + 100 = 20xباستعمال المقدار المميز من دون حلها.
75
الدرس
ُ
[]3-6
حل المعادالت الكسرية
Solving the Fractional Equations
فكرةُ الدرس
• حل المعادالت الكسرية
من الدرجة الثانية.
المفردات
• بسط الكسر
• مقام الكسر
• معادلة كسرية
تعلم
إذا كان ثمن شراء التحفية الواحدة بداللة
المتغير xهو 2x + 3ألف دينار وثمن شراء
ست تحفيات أيضا ً بداللة xهو x2 + 3x - 1
ألف دينار ،فإذا كانت نسبة ثمن تحفية واحدة
إلى ثمن ثالث تحفيات ، 1فما ثمن شراء تحفية
3
واحدة؟
تعرفت سابقا ً إلى كيفية تبسيط المقادير الجبرية النسبية (الكسرية) وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على عامل
مشترك ،واآلن سوف نستعمل تحليل المقادير الجبرية لحل المعادالت الكسرية التي في مقامها متغير وذلك بالتخلص
من الكسور ثم حلها بإحدى الطرائق التي تعلمتها سابقاً.
مثال ()1
اكتب ثمن شراء التحفية الواحدة.
تبسيط الكسر بضرب الطرفين في الوسطين
تبسيط االمعادلة لتحليلها
2x + 3
=1
3
)(x + 3x - 1
⇒ x2 + 3x - 1 = 6x + 9 ⇒ x2 - 3x - 10 = 0
2
} {
x-5=0 ⇒ x=5
يهمل اليوجد سعر بالسالب
⇒
ثمن تحفية واحدة
=1
ثمن ثالث تحفيات
3
⇒ ⇒ (x - 5) (x + 2) = 0
or x + 2 = 0 ⇒ x = -2
إذن ثمن شراء تحفية واحدة هو ( )2x + 3 = 13ثالثة عشر ألف دينار
مثال ()2
جد مجموعة الحل للمعادلة التالية ،ثم تحقق من صحة الحل:
-2= 2
نضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك األصغر ( )LCMللتخلص من الكسور
5x + x3x
3
- 2) = 3x ( 2 ) ⇒ 15x2 + x - 2 = 2x ⇒ 15x2 - x - 2 = 0
3x (5x) + 3x ( x3x
تبسيط المعادلة
3
تحليل بالتجربة
⇒ (3x + 1) (5x - 2) = 0
3x + 1 = 0 ⇒ x = -1
3
or 5x - 2 = 0 ⇒ x = 2
5
} {
⇒
} ⇒ S = { -1 , 2
مجموعة الحل
3 5
التحقق :نعوض بالمعادلة األصلية عندما : x = -1
-1 - 2
3
3
-1
-5 -1
-5 1
-5 + 1 + 6 2
L.S = 5( 3 ) +
= 3 = R.S
== + +2= 3 + 3 +2
3
3× -1 3 3
3
كذلك من السهل التحقق عندما ( x = 25تُترك للطالب )
76
تعلمت سابقا ً كيفية تبسيط جمع المقادير الجبرية النسبية (الكسرية) وطرحها وذلك بتحليل كل من بسط ومقام الكسر إلى
أبسط صورة ثم إجراء عملية جمع وطرح المقادير الكسرية باستعمال المضاعف المشترك األصغر وتبسيط المقدار
الى أبسط صورة ( ،)simplest formواآلن سوف تستعمل ذلك في حل المعادالت الكسرية إليجاد مجموعة حلول
المعادلة الكسرية .
مثال ()3
جد مجموعة الحل للمعادلة:
x + 4x = 18
x - 3 x + 3 x2 - 9
18
= ⇒ x + 4x
x
+
3
)(x - 3) (x + 3
x-3
نحلل المقامات إلى أبسط صورة ممكنة
بضرب طرفي المعادلة في )x-3) (x+3) LCM
⇒ x (x + 3) + 4x (x - 3) = 18
تبسيط المعادلة وحلها إليجاد قيم المتغير ⇒ x2 + 3x + 4x2 - 12x - 18 = 0 ⇒ 5x2 - 9x - 18 = 0
⇒ (5x + 6) (x - 3) = 0 ⇒ x = - 6 or x = 3
5
مالحظة :يجب استبعاد القيم التي تجعل مقام أ ّ
ي حد كسري من حدود المعادلة األصلية صفراً ألنه يؤدي إلى
القسمة على صفر وهذا غير جائز.
ولذا نستبعد x = 3من الحل ألن ( ،) x = 3ويكون الحل فقط هو x = - 6
x-3 0
5
التحقق :نعوض بالمعادلة األصلية x = - 6ونرى إن كان طرفا المعادلة متساويين أم ال؟
5
4×- 6
-6
5 = 6 - 8 = - 50
L.S = x + 4x = 5 +
x - 3 x + 3 - 6 - 3 - 6 + 3 21 3
21
5
5
18
18
= R.S = 218
=
= - 450 = - 50
x - 9 (- 6 )2 - 9 36 - 9
189
21
5
25
L.S = R.S
لذا قيمة x = - 6تحقق المعادلة
5
مثال ()4
جد مجموعة الحل للمعادلة:
قبل ضرب طرفي المعادلة في LCMللمقامات نحاول
تحليل مقام الكسر للطرف األيمن وتغير )2 - x = -(x - 2
2 - x = x +4
x + 2 2 - x x2 - 4
2
x
x2 + 4
⇒
+
=
)x + 2 x - 2 (x + 2) (x - 2
2
باستعمال المعلومة )a - b = - (b - a
بضرب طرفي المعادلة في )x + 2) (x - 2) LCM
⇒ 2(x - 2) + x(x + 2) = x2 + 4
⇒ 2x - 4 + x2 + 2x - x2 - 4 = 0 ⇒ 4x - 8 = 0 ⇒ x = 2
عند التعويض عن x = 2بالمعادلة األصلية نحصل على عملية قسمة على صفر وهذا غير جائز ( ) x = 2
2-x 0
لذلك المعادلة ليس لها حل في مجموعة األعداد الحقيقية ( ،)Rأي مجموعة الحل في Rهي مجموعة خالية (∅).
77
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت التالية وتحقق من صحة الحل:
األسئلة ()1 - 6
مشابهة للمثالين ()1,2
y 7
- = 3
2 5 10y
2
1 +1 = 6
x 2 4x2
1
y+1 3
=
y2
4
4
x + 4 = -3
2x
2
3
1 = 2
y2 - 6 y + 3
6
9x - 14 = x2
x-5
x-5
5
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت اآلتية:
9
- 5 =1
x2 - x - 6 x - 3
8
y-4
- 2 = 17
y + 2 y - 2 y2 - 4
7
مشابهة للمثالين (2x + 3x = 8 + 7x + 3x2 )3,4
x+1 x-1
x2 - 1
10
12 + 6 = 2
2
y - 16 y + 4
9
األسئلة ()7 - 10
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت التالية وتحقق من صحة الحل:
3y 6
+ 1 =0
4 12y 4
12
9 = 3y
(y + 2)2 y + 2
14
4 +1 =1
6x2 3 x
11
13 9x +2 22 = 1
x
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت اآلتية:
y - 5 y + 5 4y2 - 24
=
y + 5 y - 5 y2 - 25
16
3 - 2 =1
x-4 x-3
15
4 + 8y
+ 6 =3
y-3
y2 - 9
18
6-x
- 2 =1
x + x - 12 x + 4
17
78
2
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
19رياضة :إذا أراد راكبُ دراج ٍة قط َع مساف ِة 60 kmبين مدينتين
A,Bبسرعة معينة ،ولو زادت سرعته بمقدار 10 km/hلَتم َّكنَ
من قطع هذه المسافة بزمن يقل ساعة واحدة عن الزمن األول.
جد سرعته أوالً.
20نقل مسافرين :تقط ُع طائرةُ الخطوط الجوية العراقية المسافةَ
350 kmبين مدينة بغداد وأربيل بسرعة معينة ،ولو زادت سرعة
الطائرة بمقدار 100 km/hلَتم َّكنَت الطائرةُ من قطع المسافة بزمن
يقل 12دقيقة عن الزمن األول .جد سرعة الطائرة التقريبية أوالً.
ك نوفل في سباق ثالثي ،وتضمن السباق السباحة وركوب الدراجة والجري ،واستغرق
21سباق :شار َ
ساعتين إلنهاء السباق كما موضح في الجدول المجاورعلى اعتبار xتعبر عن معدل سرعته في
السباحة .جد معدل سرعته التقريبية في سباق السباحة.
السباحة
ركوب الدراجة
الجري
المسافة km
السرعة km/h
الزمن
ds = 1
x
ts
db = 20
5x
dr = 4
x+4
tb
tr
مالحظة :استعمل معادلة الزمن اإلجمالي الذي استغرقه نوفل في السباق بداللة سرعته في السباحة هو:
T(x) = ts + tb + tr
ـر
فَ ِّك ْ
22تح ًّد :جد مجموعة الحل للمعادلة اآلتية:
3 + 4 = x2 - 15x + 14
x+5 5-x
x2 - 25
صح ُح الخطأ :استعم َل نمي ُر المقدا َر المميز لبيان جذور المعادلة:
23أُ ِّ
فقال نمير ّ
ان للمعادلة جذران نسبيان حقيقيان .اكتشف خطأ َ نمير وصحِّ حه.
كتب
اُ ْ
مجموعة الحل في مجموعة األعداد الحقيقية :
79
2
1
×
=1
x-7 x-1
1
5
=2
x+6 x-6
الدرس
ُ
[]3-7
خطة حل المسألة (كتابة معادلة)
)Problem Solving Plan (Writing Equation
فكـرةُ الدرس
• استعمال استراتيجية
كتابة معادلة
لحل
المسألة.
تعلم
تقطع باخرة شحن مسافة 240 kmبين
الميناء Aوالميناء Bبسرعة معينة،
ولو زادت سرعتها 10 km/hلتمكنت
من قطع المسافة بزمن يقل ساعتين عن
الزمن األول .جد سرعة الباخرة أوالً.
اِفهم
ما المعطيات في المسألة؟ باخرة شحن تقطع المسافة 240kmبين المدينة Aوالمدينة Bبسرعة معينة،
وتقطعها بزمن يقل ساعتين عن الزمن األول في حالة زادت سرعتها بمقدار . 10 km/h
ما المطلوب من المسألة؟ إيجاد سرعة الباخرة أوالً.
خطّط
كيف تح ّل المسألة؟ أكتب معادلة تمثل المسألة ثم أحلها إليجاد سرعة الباخرة أوالً.
نفرض أن سرعة الباخرة األولى = ، vالزمن األول = 240
ح ّل
v
لذا سرعتها الثانية = ، v + 10الزمن الثاني = 240
v + 10
240 - 240 = 2
الزمن األول -الزمن الثاني يساوي 2
v
v + 10
)240 v + 2400 - 240 v = 2v(v + 10
بضرب طرفي المعادلة في v(v + 10) LCM
2400 = 2v2 + 20v
v2 + 10v - 1200 = 0 ⇒ (v + 40) (v - 30) = 0
يهمل
سرعة الباخرة أوالً
تحقّق
} {
v + 40 = 0 ⇒ v = - 40
⇒
or v - 30 = 0 ⇒ v = 30 km/h
زمن الباخرة األولى
240 = 240 = 8 h
v
30
240 = 240 = 6 h
زمن الباخرة الثانية
v + 10
40
زمن الباخرة الثانية أقل من زمن الباخرة األولى بمقدار ساعتين ) ، (8 - 6 = 2hلذا الحل صحيح.
80
Problems
م�ســائل
حل المسائل التالية باستراتيجية (كتابة معادلة)
1
نافورةُ :ز ِرعَت منطقةٌ مربعة الشكل طول ضلعها 4m
بالورد وسط حديقة فندق مربعة الشكل ،فكانت مساحة
المنطقة المتبقية من الحديقة المحيطة بها . 84 m2ما طول
ضلع الحديقة؟
2
أسد بابل :وهو تمثال ألسد ُعثِ َر عليه في مدينة بابل األثرية
في العراق في سنة ،1776وهو مصنوع من حجر البازلت
األسود الصلب ،وموضوع على منصة منتصف منطقة
مستطيلة الشكل طولها يزيد على عرضها بمقدار 2m
ومساحتها .15 m2فما أبعادها؟
3
األسد :وهو من أقوى الحيوانات الموجودة على وجه األرض
ويُلقّب األس ُد بملِك الغابة نسبةً إلى ق ّوته بين الحيوانات في
الغابة ،إذا كانت المعادلة x2 - 30xتمثل المساحة التي
يبسط األس ُد سيطرتَه عليها بالكيلومتر .ما طول ضلع المنطقة
التي يمثلها المتغير xإذا كانت المساحة 175كيلومتر مربع؟
4
ألعاب نارية :في إحدى المناسبات أُطلِقت مجموعةٌ من
األلعاب النارية عموديا ً في الهواء وصلت إلى ارتفاع
.200mاحسب الزمن الذي وصلت به إلى هذا االرتفاع،
إذا كانت المعادلة التالية 2t2 + 30t = hتمثِّل العالقة
بين االرتفاع باألمتار ( )hالذي تصل إليه األلعاب النارية
بعد tثانية.
81
اختبار الف�صل
Chapter Test
جد مجموعة حل للمعادلتين بيانياً:
{ y + }x -1 = 0
y-x-5=0
{ y - x}= 0
y +x=0
3
2
جد مجموعة الحل للمعادلتين باستعمال التعويض أو الحذف لكل مما يأتي:
x + y =1
5
6
4x - 2y = -4
3 2
x+y=6
x+y=2
} {
} {
{ y = }2 - x
y = 1+ x
{ x - }y = 8
2x + y = 1
1
4
حل المعادالت التالية باستعمال العامل المشترك األكبر والفرق بين مربعين:
(7 - z)2 -1= 0
3y2 - 12= 0
9
حل المعادالت التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي:
12 z2 = 36
9
حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
8
9x2 - 25 = 0
11 81 - y2 = 0
7
10 x2 = 49
14 z2 - 2z - 48 = 0
13 x2 + 9 x +18 = 0
16 7z2 - 18z - 9 = 0
15 3x2 - x - 10 = 0
17ما العدد الذي مربعه ينقص عن أربعة أمثاله بمقدار 3؟
18حوض سباحة يزيد طوله على مثلَّي عرضه بمقدار 4mومساحته . 48 m2ما أبعاد المسبح؟
حل المعادالت التالية بالمربع الكامل:
1 - 1 z + 1 z2 = 0
20
9 3
4
حل المعادالت التالية بإكمال المربع:
22 4y2 + 20y - 11 = 0
23 z2 - 2 z = 1
3
جد مجموعة الحل للمعادالت التالية باستعمال القانون العام:
26 5z2 + 6z = 9
25 3y2 - 12y = - 3
19 x2 - 16x + 64 = 0
21 x2 - 14x = 32
24 x2 - 3x - 7 = 0
حدد جذور المعادلة أوالً ،ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:
29 4z2 - 3z + 7 = 0
28 y2 - 6y - 9 = 0
27 2x2 + 8x + 8 = 0
30ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذ َري المعادلة x2 - (k + 6) x + 9 = 0متساويين؟ تحقّق من اإلجابة.
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت التالية وتحقق من صحة الحل:
32 1 2 + 1 = 1
33 z +2 4 = 1
y
6y
2
2
z
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت اآلتية:
2y
y
35
+
= 27
y+2 2-y y -4
82
31 6x = 5
6x
5
4 - 3 =1
x-5 x-2
34
الفصلُ
4
الهندسة االحداثية
Geometrical Coordinates
الدرس 4-1
الدرس 4-2ميل المستقيم.
الدرس 4-3معادلة المستقيم.
الدرس 4-4المستقيمات المتوازية والمتعامدة.
الدرس 4-5المسافة بين نقطتين.
الدرس 4-6النسب المثلثية.
التمثيل البياني للمعادالت في المستوي االحداثي.
تعد رياضة التزلج من الرياضات الممتعة في الكثير من مناطق العالم ،اذ توفر المنحدرات الجبلية مثاالً جيداً عن الميل.
فكلما زاد ميل المنحدر تطلب مهارة اكبر من المتزلجين.
83
االختبا ُر القبل ّي
Pretest
عين النقاط على المستوي االحداثي وحدِّد موقعها في األرباع أو المحاور لكل مما يأتي :
)C (0, 2
3
)6 F (3, - 2
)B (-3, - 5
2
)A (3, 6
1
)E (-4, 2
5
)D (-3, 0
4
عين النقاط على المستوي االحداثي ،ثم تعرف الى الشكل الناتج لكل مما يأتي:
A (0, 3), B (3, 0) C (-3, 0) .
7
A (1, 4), B (2, 4) C (4, 4), D (6, 4) .
8
A (-2, 4), B (-2, - 3) C (1, 4), D (1, - 3) .
9
A (0, 3), B (3, 0) C (0, - 3), D (-3, 0) .
y
11اكتب أحداثيات النقاط المؤشرة في المستوي االحداثي المجاور:
10
x
o
مثّل الجداول التالية بالمستوي االحداثي:
x
y
2
-5
3
13
5
-2
0
x
y
3
4
7
12
1
2
5
جد قيمة yفي كل مما يأتي:
y = -x + 7 , x = - 1
15
y = 2x - 5 , x = 0
14
3y - x 2 = 9, x = -2
17
y = x2 + x + 2 , x = 1
16
y2 - y1
اذا كانت ) A (x 1, y 1), B (x 2, y 2جد القيمة العددية للمقدار x 2 - x 1لكل مما يأتي:
)A (-1, 5), B (4, 5
19
84
)A (3, - 5), B (-2, 1
18
الدرس
ُ
[]4-1
التمثيل البياني للمعادالت في المستوي االحداثي
Graphical Representation of the Equations in the Coordinate Plane
تعلم
فكرةُ الدرس
• تمثيل المعادلة الخطية في
المستوي االحداثي.
• تمثيل المعادلة التربيعية
في المستوي االحداثي.
المفردات
في دراسة لتحديد كمية الحليب التي تحتاج
اليها جراء آكل النمل حديثو الوالدة باللترات
على مدى بضعة أيام ،توصل الباحث الى
المعادلة:
2y - x = 0حيث xعدد االيام y ،كمية
الحليب باللترات.
كيف يمكنني تمثيل العالقة بالمستوي
االحداثي؟
• الزوج المرتب.
• المستوي االحداثي.
• المعادلة الخطية.
• المعادلة الربيعية.
[ ]4-1-1التمثيل البياني للمعادلة الخطية في المستوي االحداثي
Graphical Representation of the linear Equation in the Coordinate plane
المعادلة الخطية :الصيغة العامة للمعادلة الخطية هي ax + by + c = 0, a, b, c ! R :حيث a,bالتساوي صفراً معا ً
والمتغيرات فيها التكون مرفوعة لقوة اكبر من 1وان ،تمثيلها بالمستوي االحداثي يمثل مستقيماً.
مثال ()1
لتمثيل المعادلة 2y - x = 0في المستوي االحداثي نتبع مايأتي:
الخطوة ( :)1نجعل المعادلة بشكل )( y = f (xأي yبداللة )x
1
2y - x = 0 & 2y = x & y = 2 x
الخطوة ( :)2اختار في االقل قيمتين للمتغير xولتكن x=2, x=4نعوضهما في المعادلة للحصول على أزواج مرتبة.
1
)x = 2 & y = 2 (2) & y = 1 & P1 (2, 1
1
)x = 4 & y = 2 (4) & y = 2 & P2 (4, 2
الخطوة ( :)3نعمل جدول بالقيم الناتجة ونمثل االزواج المرتبة في المستوي االحداثي ونصل بين النقطتين ،الشكل
الناتج يمثل مستقيماً.
P2
x
y
)(x,y
P1
)P1(2,1
)P2(4,2
مالحظة :معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة االصل ،خالية من الحد المطلق.
85
y
1
2
x
2
4
مثال ()2
مثِّل المعادالت التالية في المستوي االحداثي ،ماذا تالحظ؟
ii) y = 4
iii) x = -3
)(x,y
)P1(0,-5
)P2(3,4
i) y - 3x + 5 = 0
y=3x-5
i) y - 3x + 5 = 0 & y = 3x - 5
x
0
3
3(0)-5=-5
3(3)-5=4
y
x
المستقيم يقطع محور السينات والصادات
واليمر بنقطة االصل
y
)(x,y
x
y
)P1(0,4
y=4
4
x
)P2(3,4
4
3
ii) y = 4
0
المستقيم يوازي محور السينات وعمودي على محور الصادات عند
النقطة )(0, 4
iii) x = -3
x
المستقيم x=-3يوازي محور الصادات وعمودي على محور السينات
عند النقطة )(-3, 0
يمكن وضع ما تقدم في الجدول اآلتي:
المعادلة
العالقة مع المحورين
المستقيم يقطع المحورين واليمر بنقطة االصل
ax+by+c=0
المستقيم يقطع المحورين في نقطة االصل
ax+by=0
y = k, k d Rالمستقيم يوازي محور السينات وعمودي على محور الصادات ويمر بالنقطة )(0, k
x = h, h d Rالمستقيم يوازي محور الصادات وعمودي على محور السينات ويمر بالنقطة )(h, 0
[ ]4-1-2التمثيل البياني للمعادلة التربيعية في المستوي االحداثي
The Graphical Representation of the Quadratic Equation in the Coordinate Plane
الصيغة العامة للمعادلة التربيعية هي y = ax 2 + bx + c :حيث a ! 0, a, b, c ! R
سوف نتطرق في هذا البند الى المعادلة التربيعية بالصيغة y = ax 2 + cحيث a ! 0, a, c ! R
وطريقة تمثيلها.
2
لتمثيل المعادلة y = ax + cنعمل الجدول المجاور
ويكون التمثيل البياني للمعادلة هو jاو k
)(x,y
االزواج
المرتبة
86
y
الناتج
y = ax2 + c
x
-2
-1
تعويض قيم x
قيم افتراضية
0
1
2
مثال ()3
مثل المعادلة y = -x 2
)(x,y
مثال ()4
)(-2,-4
-4
y = -x2
-(-2)2
x
y
)(-1,-1
-1
-(-1)2
-1
)(0,0
0
-(0)2
0
)(1,-1
-1
-(1)2
1
)(2,-4
-4
-(2)2
2
y
-2
x
مثل المعادلة y = 2x 2 - 5
)(x,y
y
)(-2,3
3
y = 2x2-5
x
2(-2) -5
-2
2
)(-1,-3
-3
2(-1)2-5
-1
)(0,-5
-5
2(0)2-5
0
)(1,-3
-3
2(1)2-5
1
)(2,3
3
2(2)2-5
2
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
y
x
مثل المعادالت الخطية التالية في المستوي االحداثي وبين عالقتها بالمحورين:
y + 3x - 2 = 0
االسئلة ( )1-6مشابه
للمثالين (:)1,2
x-5 = 0
3
2
y = -4x
y+5 = 0 6
5
y = 3x + 1
y = 1 - 3x
1
4
مثل المعادالت التربيعية التالية في المستوي االحداثي .
االسئلة ( )7-9مشابه
للمثالين (:)3,4
y = 1 - 3x 2
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
9
8
y = x2
y = x2 + 4
7
مثِّل المعادالت الخطية التالية في المستوي االحداثي وبيِّن عالقتها بالمحورين:
y=x
11
y = -x + 4
10
y=0
13
5
x=-2
12
مثِّل المعادالت التربيعية التالية في المستوي االحداثي .
y = 2x 2
17
y = -3x 2
16
87
y = 2x 2 + 3
15
y = x2 - 1
14
4y = x 2
18
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
9
19درجات حرارة :المعادلة Fc = 5 Cc + 32تبين العالقة بين درجات
الحرارة السيليزية ودرجات الحرارة الفهرنهايتية لها ،مثِّل المعادلة بيانياً.
20هندسة :مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ،طول ضلعه القائم xوحدة،
( f(xتمثل مساحته )i .اكتب العالقة ( f(xبداللة .x
)iiمثِّل العالقة ( f(xفي المستوي االحداثي.
x
21فيزياء :يمثل القانون F = 9.8mالقوة الناجمة على تأثير جاذبية االرض
x
على جسم ،حيث Fالقوة بالنيوتن m ،كتلة الجسم بالكيلوغرام ،مثل القانون
بالمستوي االحداثي.
22اعمال :تتقاضى شركة معدات بناء 10االف دينار كتأمين ،يضاف اليها
5االف دينار عن كل ساعة ،اكتب المعادلة التي تعبر عن المسألة ،ثم مثِّلها
بيانيا ً في المستوي االحداثي.
ـر
فَ ِّك ْ
y
23اكتشف الخطأ :مثِّل محمد المعادلة الخطية التالية y=-3x+9بالشكل البياني
المجاور .اكتشف خطأ محمد وصححه.
x
o
24مسألة مفتوحة :أعط مثاالً لمعادلة خطية على صورة ax+by+c=0لكل حالة:
i) a = 0
ii) b = 0
iii) c = 0
25تح ٍد :شكلت االزواج المرتبة التالية ( )-1,2(,)1,6(,)0,4مستقيماً ،ما نقطة تقاطع هذا المستقيم مع محور
السينات؟
26تبرير :بيِّن اذا كانت االزواج المرتبة اآلتية" (2, 4), (1, 1), (0, 0), (-1, 1), (-2, 4) , :
تمثل دالة خطية ام تربيعية.
2
27حس عددي y = x + 1, y = x + 1 :ايهما تمثل دالة تربيعية؟ وضح ذلك.
كتب
اُ ْ
خطوات تبين ان y=4x+3معادلة خطية؟
88
الدرس
ُ
[]4-2
Slope of the Line
ميل المستقيم
تعلم
فكرةُ الدرس
• ايجاد ميل المستقيم
• ايجاد المقطع الصادي
• ايجاد المقطع السيني
المنحدرات الجبلية تُع ّد مثالً جيداً
على الميل ،فكلما زاد ارتفاع الجبل
زاد الميل.
كيف يمكننا تحديد ميل المنحدرات؟
المفردات
• التغير العمودي
• التغير االفقي
• المقطع السيني
• المقطع الصادي
• الميل
[ ]4-2-1ايجاد ميل المستقيم
Finding the Slope of the line
الميل :يُعرف ميل المستقيم غير الرأسي بانه النسبة بين التغير العمودي والتغير االفقي.
y
التغير العمودي :هو التغير الصادي ويساوي y2-y1
) (x , y
التغير االفقي :هو التغير السيني ويساوي x2-x1
y -y
x
التغير الصادي
الميل =
التغير السيني
) (x , y
x2 - x1 Y
اي m = y 2 - y 1 :حيث = 0
x -x
x -x
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
:mهو ميل المستقيم المار بالنقطتين )(x 1, y 1), (x 2, y 2
يمكن ان يكون ميل المستقيم موجبا ً او سالبا ً اذا لم يكن افقيا ً او رأسيا ً وقد يكون صفراً (افقياً) او غير
محدد (رأسيا ً).
مثال ( )1جد ميل المستقيم المار بنقطتين في كل مما يأتي:
A
y
ميل المستقيم المار بنقطتين
نعوض بالنقطتين
x
بالتبسيط
B
)i) A (5, 7) , B (-2, 1
y2 - y1
m = x2 - x1
1-7
m = -2 - 5
-6
m = -7
6
m= 7
لذا ميل ABهو ( 6موجب)
7
الميل موجب (المستقيم نحو االعلى)
عند التحرك من اليسار الى اليمين
قيم yتتزايد.
89
y
ميل المستقيم المار بنقطتين
x
نعوض بالنقطتين
لذا ميل ABهو ( -53سالب)
y
x
y
x
)ii) A (-1, 5) , B (4, 2
y2 - y1
m = x2 - x1
2-5
)= 4 - (-1
-3
= 5
الميل سالب (المستقيم نحو االسفل) عند التحرك من اليسار الى
اليمين ،قيم yتتناقص.
)iii) A (1, - 2) , B (4, - 2
y2 - y1
ميل المستقيم المار بنقطتين
m = x2 - x1
)-2 - (-2
نعوض بالنقطتين
= 4 -1
لذا ميل ABهو 0
0
= 3 =0
الميل صفر (المستقيم افقي) يوازي محور السينات ،قيم y
)iv) A (-2, 3) , B (-2, - 3
ثابتة.
y2 - y1
m = x2 - x1
ميل المستقيم المار بنقطتين
-3 - 3
)= (-2) - (-2
نعوض بالنقطتين
-6
اليجوز القسمة على 0لذا ميل ABغير محدد = 0
الميل غير محدد (المستقيم شاقولي) يوازي محور الصادات ،قيم xثابتة
مثال ()2
يُمثِّل الجدول المجاور تغير درجات الحرارة بالزمن (بالساعات) ،جد ميل المستقيم واشرح مايعنيه.
اختار اي نقطتين من الجدول ولتكن
)(x 1, y 1) = (1, - 2
)(x 2, y 2) = (3, 4
y2 - y1
ميل المستقيم المار بنقطتين
m = x2 - x1
4+2 6
التعويض والتبسيط
= 3-1 = 2 =3
بما ان ميل المستقيم 3فان درجات الحرارة تزداد 3درجات سيليزية كل ساعة.
درجات الحرارة
-2
1
4
10
الزمن (الساعات)
1
2
3
5
[ ]4-2-2تقاطع المستقيم مع المحورين في المستوي االحداثي
Intersection of the Line with axes in Coordinate plane
يمكنك ان تمثل بسهولة معادلة المستقيم من خالل ايجاد نقطتي تقاطع المستقيم مع المحورين.
المقطع السيني :هو قيمة xمن تقاطع المستقيم مع محور السينات ،اي بالتعويض من .y = 0ونقطة التقاطع
()x,0
المقطع الصادي :هو قيمة yمن تقاطع المستقيم مع محور الصادات ،اي بالتعويض من .x = 0ونقطة التقاطع
)(0, y
90
مثال ()3
جد المقطع السيني والصادي للمستقيم .3x + 5y =15
المقطع الصادي
المعادلة
نعوض من x = 0
تبسيط
بقسمة طرفي المعادلة على 5
لذا المقطع الصادي هو .3
المقطع السيني
3x + 5y = 15
المعادلة
3x + 5 (0) = 15
نعوض من y = 0
3x = 15
تبسيط
15
بقسمة طرفي المعادلة على 3
x= 3
x=5
لذا المقطع السيني هو .5
ونقطة التقاطع مع محور السينات هي(5, 0) :
3x + 5y = 15
3 (0) + 5y = 15
5y = 15
15
y= 5
y=3
y
ونقطة التقاطع مع محور الصادات هي(0, 3) :
"
x
المقطع الصادي
"
المقطع السيني
مثال ()4
جد المقطع السيني والصادي ان وجد لكل مما يأتي:
ii) y = 4
y=4تمثل المقطع الصادي ونقطة التقاطع ()0,4
المستقيم //محور السينات
i) x = -2
x=-2يمثل المقطع السيني ونقطة التقاطع ()-2,0
المستقيم //محور الصادات
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد ميل المستقيم المار بالنقطتين ،أموجب الميل أم سالب أم صفر أم غير محدد ،ثم حدِّد اتجاه حركته لكل مما يأتي:
االسئلة ( )1-6مشابهة
للمثالين(:)1,2
)(-4, 4), (2, - 5
3
)(0, 0), (3, 2
2
)(-2, - 2), (-4, 1
1
)(-6, - 1), (-2, - 1
6
)(4, 3), (4, - 3
5
)(5, 0), (0, 2
4
جد المقطع السيني والمقطع الصادي لكل مما يأتي:
االسئلة ( )7-18مشابهة
للمثالين (:)3,4
y + 2 = 5x - 4
8
3
y = -4x-5
12
5x = y - 8
11
10 y = -x + 8
y = -5x
15
y + 4 = 2x - 4
14
2x + 6y = 12
13
1
y = -2x+4
18
3y = -6
17
x=4
16
y = -4x
9
91
3x + 6y = 18
7
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد ميل المستقيم المار بالنقطتين ،أموجب الميل أم سالب أم صفر أم غير محدِّد ثم حدد اتجاه حركته لكل مما يأتي:
)(-2, - 3), (2, 4
20
)(6, 2), (0, 2
19
3 1 3 3
) ( 2 , 4 ), ( 2 , 4
22
)(3, - 5), (0, 0
21
جد المقطع السيني والمقطع الصادي لكل مما ياتي:
3
y=-2x
24
0 = y+3
26
3y - 7x = 9
23
25
x = -4
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
كمية السائل المتسرب
ْ
حجم السائل m
الزمن (ثوان)
27فيزياء :يمثل الجدول المجاور كمية السائل المتدفق من حوض خالل
40
10
52
13
فترة زمنية ،جد ميل المستقيم الذي يمثله الجدول .وفسِّر مايعنيه.
64
16
76
19
28نبات :اذا كان طول نبتة ،30cmفي غضون كل شهرين تنمو
3
بمقدار ثابت 4cmاخرى.
)iاكمل الجدول.
)iiما ميل المستقيم الذي تمثله العالقة بين طول النبتة والزمن؟
)iiiاكتب الدالة الخطية التي يمثلها الجدول.
)ivمثِّل الدالة في المستوي االحداثي.
الزمن
0
2
4
طول النبتة
ـر
فَ ِّك ْ
29تح ٍد :جد قيمة aالتي تجعل ميل المستقيم المار بنقطتين ) (1, 6), (-5, aيساوي . 1
2
30تفكير ناقد :هل يمكنك تحديد ميل مستقيم يمر بالنقطتين ) (7, - 3), (7, 3؟
31اكتشف الخطأ :ميل المستقيم الذي يمر في النقطتين )(0, 3), (3, - 1
الخطأ وصححه.
3-0
هو 3
3 - (-1) = 4
1
32مسألة مفتوحة :اذكر نقطتين على مستقيم يكون ميله = - 3
33
تفكير ناقد :من الشكل البياني المجاور حدِّد اتجاه المستقيم.
كتب
اُ ْ
باسلوبك ماذا يعني الميل يساوي صفراً ،والميل غير محدد.
92
اكتشف
الدرس
ُ
][4-3
The Equation of the Line
معادله المستقيم
فكرةُ الدرس
ايجاد معادلة مستقيم علم منه:
•نقطتان
•ميل -نقطة
•ميل -مقطع
المفردات
تعلم
يقطع راكب دراجة هوائية 20كيلو متراً
في ساعتين و يقطع 50كيلو متراً في
خمس ساعات ،ما المعادلة الخطية التي
تربط بين المسافة و الزمن؟
•الميل
•المقطع
[ ]4-3-1كتابة معادلة مستقيم بمعرفة نقطتين منه
Writing Equation of Line with two Points of it
معادله مستقيم يمر بالنقطتين )B (x 2, y 2), A (x 1, y 1
y2 - y1
تعلمت سابقا ً ايجاد ميل مستقيم يمر بالنقطتين A,Bحيث m = x 2 - x 1
y - y1
على فرض ان النقطة ) C (x, yتقع علي المستقيم فيكون ميل المستقيم المار بالنقطتين A,Cهو m = x - x 1
من المعلوم ان ميل المستقيم ثابت في جميع نقاطه لذلك فإن:
y - y1 y2 - y1
x - x1 = x2 - x1
هذه المعادلة تمثل معادلة المستقيم .AB
مثال ()1
نجد المعادلة الخطية في فقرة (تعلم):
نفرض ان
)A (2, 20
0
x 1 = 2, y 1 = 20
كتابة معادلة المستقيم المار بنقطتين
التعويض من )(x 2, y 2), (x 1, y 1
بالتبسيط
الضرب التبادلي
اذن معادلة المستقيم هي y - 10x = 0
C (x, y) d AB , B (5, 50) ,
0
x 2 = 5, y 2 = 50
y - y1 y2 - y1
x - x1 = x2 - x1
y - 20 50 - 20
x-2 = 5-2
y - 20 30
x-2 = 3
y - 20 = 10x - 20
y = 10 x
[ ]4-3-2كتابة معادلة المستقيم بمعرفة ميله ونقط منه
Writing Equation of Line with the Slop and one Point of it
معادلة مستقيم ميله mويمر بالنقطة ): (x 1, y 1
تعلمت سابقا ً معادلة مستقيم يمر بنقطتين و التي هي
وتعلمت ان ميل مستقيم مار بالنقطتين ) (x 2, y 2), (x 1, y 1هو
لذلك يمكن كتابة المعادلة في أعاله بشكل
وبالضرب التبادلي نحصل على المعادلة المطلوبة )y - y 1 = m (x - x 1
93
y - y1 y2 - y1
x - x1 = x2 - x1
y2 - y1
m = x2 - x1
y - y1
x - x1 = m
مثال ( )2استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها:
2
)i) y - 3 = - 5 (x - 2
ii) y + 7 = 5 x
2
)y - 3 = - 5 (x - 2
)y - (-7) = 5 (x - 0
0
0
0
0 0
0
)y - y 1 = m (x - x 1
معادلة الميل -النقطة
معادلة الميل -النقطة )y - y 1 = m (x - x 1
2
)m = -5, (x 1, y 1) = (2, 3
بالمقارنة
بالمقارنة )m = 5 , (x 1, y 1) = (0, - 7
مثال ( )3جد معادلة المستقيم الذي ميله 1ومقطعه السيني يساوي . -1
2
معادلة الميل -النقطة
)y 1 = 0 & p (-1, 0
الميل ،النقطة
)y - y 1 = m (x - x 1
1
m= 2,
x 1 = -1,
1
))y - 0 = 2 (x - (-1
1
)y = 2 (x + 1
2y = x + 1
بالتعويض من الميل والنقطة
بالتبسيط
ضرب طرفي المعادلة في 2
معادلة المستقيم المطلوب
2y - x = 1
[ ]4-3-3كتابة معادلة المستقيم بمعرفه ميله ومقطعه مع أحد المحورين
Writing Equation of the Line with the Slope of it and one intercept with axes
معادلة المستقيم بداللة ميله mومقطعه الصادي kهيy = mx + k :
مثال ()4
استعمل معادلة الميل و المقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه:
v) y = 0 vi) y + x = 5
iv) y = 1
iii) y = x
ii) 5x = 7y + 8
(ii
i) 2x + 3y = 6
(i
,
2x + 3y = 6 & 3y = -2x + 6
بقسمة المعادلة 5x = 7y + 8 & 7y = 5x - 8بقسمة طرفي المعادلة
على 7
y = 5 x - 8على 3
-2
y = 3 x+2
المقارنة مع معادلة الميل -مقطع 7 07
المقارنة مع معادلة الميل -مقطع
0
0
0
y = mx + k
y = mx + k
5
-8
-2
`m = 7, k = 7
`m= 3 , k=2
,
,
y = 0x + 1
المقارنة مع معادلة الميل -مقطع 0
0
y = mx + k
iii( y = x & y = 1x + 0
(iv
المقارنة مع معادلة الميل -مقطع
` m = 0, k = 1
,
(vi
y = -1x + 5
المقارنة مع معادلة الميل -مقطع 0
0
y = mx + k
` m = -1, k = 5
المقارنة مع معادلة الميل -مقطع
94
,
y = 1x + 0
0
0
y = mx + k
` m = 1, k = 0
,
(v
y = 0x + 0
0
0
y = mx + k
` m = 0, k = 0
مثال ( )5مستقيم يمر في النقطة ) (5, - 1وميله . -52جد مقطعه ومعادلته.
الطريقة االولى
الطريقة الثانية
معادلة الميل -المقطع
)y - y 1 = m (x - x 1
معادلة الميل -النقطة
-2
) m = 5 , p (5, - 1معطى
معطى
بالتعويض من النقطة والميل ) y - (-1) = -2 (x - 5بالتعويض من الميل
5
بضرب المعادلة في 5
5y + 5 = -2x + 10بالتعويض بالنقطة
بقسمة المعادلة على 5بعد التبسيط 5y = -2x + 5
بالتبسيط
-2
معادلة المستقيم
معادلة المستقيم y = 5 x + 1
y = mx + k
-2
m= 5
-2
y = 5 x+k
-2
-1 = 5 (5) + k
-1 = -2 + k
-2
k=1
y = 5 x+1
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد معادلة المستقيمات التي يمر كل منها بنقطتين فيما يأتي:
االسئلة ()1-2
مشابه للمثال 1
)2 (0, 2), (2, - 4
استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها:
االسئلة ()3-4
4 y + 1 = -x + 4
مشابه للمثال 2
جد معادلة المستقيم لكل مما يلي ثم جد مقطعه:
االسئلة ()5-6
6 (-1, - 3), 1
3
مشابه للمثالين 3،5
استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه:
االسئلة ()7-8
8 -y = 7x
مشابه للمثال 4
)(-3, 1), (2, - 1
)y - 1 = 2 (x - 3
-2
(4, 6), 5
1
3
5
7 5y = -2x - 1
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد معادلة المستقيمات التي يمر كل منها بنقطتين فيما يأتي:
)10 (0, 7), (-5, 0
)9 (0, 0), (-3, 7
استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها:
y-x = 8
12
جد معادلة المستقيم لكل مما يلي ثم جد مقطعه:
-1
الميل = 14 (1, - 4) , 2
3
)2 = -5 (x - 8
11 y +
الميل = 13 (-3, 7) , -3
استعمل معادلة الميل والمقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه:
1
3 y = -5x - 1
16
95
15 y + 7 = 3x + 5
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
17أحياء :ينمو ناب الفيل طول حياته بمعدل 1cmلكل شهر .افرض أنك بدأت
بمراقبه فيل عندما كان طول نابه .100cmاكتب على صورة الميل -النقطة
معادلة تمثل نمو ناب الفيل بعد nشهر من المراقبة.
18فيزياء :التمثيل البياني المجاور يمثل كمية المياه المتسربة من خزان خالل مدة
زمنية محددة .اكتب على صورة نقطتين ،معادلة تمثل تسرب المياه بعد nثانية.
19نقود :يريد شخص تسديد مبلغ قدره 30مليون دينار ،بدفعات شهرية متساوية
مقدارها 1.5مليون دينار .المعادلة الخطية اآلتية y = -1.5x + 30حيث y
القيمة الباقية من المبلغ x،عدد االشهر ،استعمل معادلة الميل -المقطع لتحديد
ميله ومقطعه.
5 10 15 20
40
30
20
10
20صحة :في دراسة حديثة توصلت الى ان الشخص يفقد 2ساعة من عمره عند
استهالكه علبة سكائر واحدة .اكتب المعادلة التي تمثل ذلك ،ومثِّلها بيانيا ً
21هندسة :استعمل المعلومات في الشكل المجاور وجد معادلة المستقيم في
الحاالت اآلتية:
)iiiميل -مقطعه الصادي
)iiميل -نقطة
)iنقطتان
ـر
فَ ِّك ْ
22
تفكير ناقد :هل يوجد مستقيم ميله 4ويمر بالنقطتين ) (5, 7), (8, - 2؟ إن وجدت مستقيما ً كهذا فاكتب
معادلته وإال فعلل جوابك.
23
تح ٍّد :مستقيم تقاطعه األفقي النظير الجمعي لتقاطعه العمودي ،ويمر في النقطة ).(2, 3اكتب معادلة الميل
-النقطة لهذا المستقيم.
24ايهما صحيح :معادلة مستقيم ميله 35ويمر بالنقطة ). (-1, 7
5
كتب احمد المعادلة بشكل )y - 7 = 3 (x + 1
وكتب محمد المعادلة بشكل ) y - 7 = 35 (x + 1أيهما اجابته صحيحة؟
كتب
اُ ْ
مسألة من واقع الحياة يمكن تمثيلها بمعادلة الخط المستقيم.
96
الدرس
ُ
][4-4
Parallel and Perpendicular Lines
المستقيمات المتوازية والمتعامدة
فكرةُ الدرس
• التمييز بين المستقيمات
المتوازية.
• التمييز بين المستقيمات
المتعامدة.
المفردات
• المستقيمات المتوازية.
• المستقيمات المتعامدة.
تعلم
يظهر في الشكل المجاور عدة مستقيمات
منها ما هي متوازية وومنها ماهي متعامدة.
كيف نميز بين توازي هذه المستقيمات او
تعامدها؟
[ ]4-4-1المستقيمات المتوازية
Parallel Lines
تعرفت سابقا ً الى توازي المستقيمات والشروط الالزمة لذلك:
فالمستقيمان المتوازيان :يقعان في مستوى واحد وليس بينهما نقطة مشتركة.
في هذا الدرس سوف نميز المستقيمان المتوازيان من خالل ميلهما:
يكون اي مستقيمين متوازيين عندما يتساوى ميلهما بشرط انهما غير عاموديين:
الصيغة الرياضية:
L1 ' L2 + m1 = m2
مثال ( )1بيِّن ان النقط ) A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2رؤوس متوازي االضالع ABCD
باستعمال الميول.
y
y2 - y1
y2 - y1
قانون الميل بين نقطتين
m = x2 - x1
m = x2 - x1
4-3
)-2 - (-1
)mAB = -1 - (-2
= m CDبالتعويض
1-2
1
1
mAB = 1
m CD = -1بالتبسيط
x
mCD = 1
mAB = 1
m AB = m CD a
و بالطريقة نفسها
-5
mBC = 3
` AB ' CD
-5
mAD = 3
` AD ' BC
` الشكل ABCDمتوازي اضالع (تعريف متوازي االضالع)
مثال ( )2اثبت ان النقط A (-2, - 1), B (-1, 0), C (2, 3) :تقع على استقامة واحدة( .تقع على مستقيم واحد).
y
y -y
y2 - y1
m = 2 1قانون الميل بين نقطتين
m = x2 - x1
x2 - x1
)0 - (-1
3-0
x
)mBC = 2 - (-1
)mAB = -1 - (-2
بالتعويض
3
1
mBC = 3 = 1
mAB = 1 = 1
بالتبسيط
` m AB = m BC aالنقط A,B,Cتقع على استقامة واحدة( .اي تمثل خط مستقيم)
97
مثال ()3
جد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( C(5,3والموازي للمستقيم المار بالنقطتين ). A (4, 5), B (2, - 3
نجد ميل المستقيم المار بالنقطتين A,B
y2 - y1
ميل المستقيم المار بنقطتين
m = x2 - x1
-3 - 5 -8
m L 1 = 2 - 4 = -2 = 4
aالمستقيمان متوازيان ` .ميل المستقيم المطلوب ( mL 2 = 4الميل نفسه).
نجد معادلة المستقيم المطلوب.
معادلة مستقيم ميل -نقطة
بالتعويض
بالتبسيط
)y - y 1 = m (x - x 1
)y - 3 = 4 (x - 5
y = 4x - 17
معادلة المستقيم المطلوب.
مثال ( )4ليكن L 1: y = -5 x + 4, L 2: y = 5 x + 4, L 3: y = -5 x - 4 :أي المستقيمات متوازية .ولماذا؟
3
3
3
ميله ومقطعه الصادي
k1 = 4
,
ميله ومقطعه الصادي
k2 = 4
,
ميله ومقطعه الصادي
k 3 = -4
,
[ ]4-4-2المستقيمات المتعامدة
-5
-5
L 1: y = 3 x + 4 & m 1 = 3
5
5
L 2: y = 3 x + 4 & m 2 = 3
-5
-5
L 3: y = 3 x - 4 & m 3 = 3
m1 = m3 & L1 ' L3 , k1 Y
= k3
Perpendicular Lines
تعرفت سابقا ً الى ان المستقيمين المتعامدين يلتقيان في نقطة واحدة ويصنعان اربعة زوايا قائمة ويقعان في مستو واحد.
في هذا الدرس سوف نميز المستقيمات المتعامدة من خالل ميلهما بشرط أال يوازي اي منهما المحوريين االحداثيين.
يكون المستقيمان متعامدين عندما يكون ميل احدهما مقلوب ميل االخر بعكس االشارة(.حاصل ضربهما يساوي = )-1
الصيغة الرياضية:
-1
L 1 = L 2 + m 1 = mأو انm 1 # m 2 = -1 :
2
مثال ( )5بيِّن ان النقط A (2, 4), B (-4, 2), C (-2, - 4) :رؤوس لمثلث قائم الزاوية .حدِّد الزاوية القائمة فيه.
y2 - y1
m = x2 - x1
ميل المستقيم المار بنقطتين
-4 - 2
2-4
-4 - 4
m AB = -4 - 2
بالتعويض )m AC = -2 - 2 m BC = -2 - (-4
-2
-6
-8
= -6
= 2
= -4
1
-3
2
= 3
= 1
= 1
1 -3
& 3 # 1 = -1 & m AB # m BC
& AB = BC & m+B = 90c
98
مثال ( )6جد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( C(3,-4والعمودي على المستقيم المار )A (0, 3), B (2, - 2
بالنقطتين
y2 - y1
m = x2 - x1
بالتعويض في الميل والمستقيم -2 - 3 -5
mL 1 = 2 - 0 = 2
المار بنقطتين
aالمستقيمان متعامدان ` ( m L 2 = 25مقلوب ميل L 1بعكس االشارة)
)y - y 1 = m (x - x 1
معادلة مستقيم ميل -نقطة
2
بالتعويض
)y + 4 = 5 (x - 3
2
26
بالتبسيط
y = 5 x - 5معادلة المستقيم المطلوب.
1
مثال ( )7جد قيمة aالتي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين) (a, - 4), (3, 1عمودي على المستقيم الذي ميله . - 5
بما ان المستقيمين متعامدان ،اذن ميل المستقيم المطلوب هو ( 5مقلوبه بعكس االشارة)
ميل المستقيم المار بنقطتين وبالتعويض
5 -4 - 1
1 = a-3
5a - 15 = -5
5a = 10
a=2
الضرب التبادلي
بقسمة طرفي المعادل على 5
&
y2 - y1
m = x2 - x1
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
1المستقيم ABيمر بالنقطتين )، A (-2, 4), B (a, 6عمودي على المستقيم CDالذي يمر بالنقطتين
) ، C (6, - 6), D (2, - 7جد قيمة .a
2جد قيمة aالتي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين ) (3, 2), (6, aيساوي . -1
السؤال 3مشابه
4
3برهن ان الشكل ABCDمتوازي اضالع حيث . A (3, 0), B (0, 4), C (-3, 0), D (0, - 4) :للمثال 1
االسئلة ()1-2
مشابهة للمثال 7
السؤال 4مشابه
4برهن ان ABC 3حيث A (-5, - 7), B (-8, - 2), C (-4, - 3) :قائم الزاوية ،ثم حدِّد الزاوية القائمة .للمثال 5
السؤال 5مشابه
5أثبت ان النقط A (0, - 1), B (4, 2), C (8, 5) :تقع على استقامة واحدة.
للمثال 2
(3,السؤال 6مشابه
6جد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( )-4,0والعمودي على المستقيم المار بالنقطتين ). - 2), (6, 0
للمثالين 3,6
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
7المستقيم ABحيث ) A (0, 2), B (3, 0المستقيم CDحيث ) C (6, - 2), D (9, - 4والمستقيم EFحيث
) E (0, - 5), F (2, - 2ماعالقة ABبالمستقيمين EF,CD؟ بيِّن ذلك.
8هل النقط )B (1, - 1), C (2, 3
A (0, - 7),تقع على مستقيم واحد؟ بيِّن ذلك.
9برهن ان الشكل ABCDمستطيل حيث. A (1, 4), B (2, 6), C (8, 3), D (7, 1) :
10جد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) (1, - 1والموازي للمستقيم المار بالنقطتين )0
. (3, - 2), (6,
99
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
المياه المتدفقة
11فيزياء :يمثل الجدول المجاور كمية المياه المتدفقة من احد السدود
حجم الماء m
الزمن (ثوان)
خالل فترة معينة من الزمن .هل بيانات الجدول تمثل خط مستقيم؟
75000
5
بيِّن ذلك.
150000
10
225000
15
3
12هندسة :برهن ان الشكل ABCDشبه منحرف .حيث ان احداثيات القاعدة العليا )(4, 5), (6, 2
والقاعدة السفلى ) . (-2, 5), (2, - 1هل هو قائم الزاوية؟ بيِّن ذلك.
ال
طري
)iالطريق االول يوازي الطريق الثاني.
ق ا لث
ا لث
13خريطة :استعمل الخريطة المجاورة لتبين أن:
)iiالطريق الثاني عمودي على الطريق الثالث.
)iiiهل الطريق االول عمودي على الطريق الثالث؟
الطر
يق ا
الول
ا
بين ذلك.
لطري
ق ال
ثاني
ـر
فَ ِّك ْ
14
15
تح ٍّد :هل النقاط اآلتية), (-1, 0), (4, 5), (2, 3) :
(-2, - 1تقع على استقامة واحدة؟ بيِّن ذلك.
صحح الخطأ :قال احمد ان المستقيم المار بالنقطتين ) (-3, 0), (0, 4عمودي على المستقيم المار
أُ ِّ
بالنقطتين ) (1, 34 ), (0, 0اكتشف خطأ احمد وصحِّحه.
16مسألة مفتوحة ٍ:المعادلتان اآلتيتان 3y - 5x = 20, 3y - 5x = 15 :تمثالن مستقيمين متوازيين .ما التشابه
واالختالف بينهما؟ وضح ذلك
17تبرير ٍ:لماذا النقاط التالية تقع على مستقيم يوازي محور السينات (-1, 4), (0, 4), (2, 4) :؟
18أيهما اصح ٍ:قالت سارة ان ميل المستقيم 5y+2x=10هو 25ومقطعه هو ،2وقال مهند ان ميله -2ومقطعه
5
،2بيِّن اجابة أي منهما الصحيحة ؟
19مسألة مفتوحة ABCD ٍ:معين رؤوسه A ^ 0, 3 h, B ^ 3, 4 h, C ^ 2, 1 h, D ^ -1, 0 hبرهن ان قطريه متعامدان.
20مسألة مفتوحة :ما وجه التشابه واالختالف بين المستقيمين المتوازيين؟
كتب
اُ ْ
ما اذا كان المستقيمان متوازيين او متعامدين باستعمال ميلهما؟
100
الدرس
ُ
][4-5
المسافه بين نقطتين
Distance Between Two Points
فكرةُ الدرس
تعلم
• تعرف الى قانون المسافة بين
نقطتين.
• تطبيق قانون المسافة بين
نقطتين.
• تعرف الى قانون نقطة
المنتصف.
• تطبيق قانون نقطة المنتصف.
ثالثة اصدقاء خرجوا في رحلة
استكشافية ،محددة مواقعهم كما في
الشكل المجاور.
محمد يبعد من أحمد 3kmومهند يبعد
من احمد .4km
محمد
كيف تجد المسافه بين محمد و مهند؟ x
المفردات
مهند
أحمد
• قانون المسافة بين نقطتين.
• نقطة المنتصف.
• قانون نقطة المنتصف.
[ ]4-5-1قانون المسافه بين نقطتين
Distance between two Points Formula
تعلمت سابقاً :ان المسافة بين نقطتين على محور السينات هي x 2 - x 1
y
)B(x2,y2
وإن المسافة بين نقطتين على محور الصادات هي y 2 - y 1
y2 - y1
في هذا الدرس سوف نتعرف الى قانون المسافة في المستوي االحداثي
قانون المسافة بين نقطتين A,Bيعتمد على مبرهنة فيثاغورس
بالتعويض
بالتبسيط و جذر الطرفين
مثال ()1
d
C
المثلث ACBقائم الزاوية في C
مبرهنة فيثاغورس
d
,y )1
A(x 1
x2 - x1
2
2
2
)(AB) = (AC) + (BC
d2 = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2
d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
x
من فقرة تعلم :نجد ان موقع محمد هو النقطة ) A (3, 0وان موقع مهند هو النقطة )B (0, 4
قانون المسافة بين نقطتين
بالتعويض بالنقطتين
بالتبسيط
` المسافة بين محمد و مهند 5km
d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
AB = (0 - 3) 2 + (4 - 0) 2
AB = 9 + 16 = 25 = 5
,
مثال ( )2باستعمال قانون المسافة ،أثبت أن النقط ) A (-3, - 2), B (0, 1), C (3, 4تقع على استقامة واحدة.
قانون المسافة بين نقطتين
بالتعويض من النقاط A,B,C
y
C
d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
AB = (0 + 3) 2 + (1 + 2) 2
BC = (3 - 0) 2 + (4 - 1) 2
AC = (3 + 3) 2 + (4 + 2) 2
B
x
A
101
بالتبسيط
,
AB = 9 + 9 , BC = 9 + 9 , AC = 36 + 36
, AC = 72
, BC = 18
,
,
=6 2
=3 2
AB = 18
=3 2
الكل يساوي مجموع االجزاء 6 2 = 3 2 + 3 2
اي:
AC = AB + BC
اذن النقط A,B,Cتقع على استقامة واحدة.
مثال ( )3بيِّن نوع المثلث الذي رؤوسه ) A (3, - 4), B (5, - 2), C (5, - 6من حيث االضالع .وهل المثلث قائم
الزاوية؟
قانون المسافة بين نقطتين
d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
,
,
بالتعويض من A,B,C
بالتبسيط
AB = (5 - 3) 2 + (-2 + 4) 2
BC = (5 - 5) 2 + (-6 + 2) 2
AC = (5 - 3) 2 + (-6 + 4) 2
AB = 4 + 4 , BC = 0 + 16 , AC = 4 + 4
, BC = 4
, AC = 8
AB = 8
,
=4
=2 2 ,
=2 2
` ،AB=AC aالمثلث متساوي الساقين
(4) 2 = ( 8) 2 + ( 8) 2
(4) 2 = 8 + 8
عكس مبرهنة فيثاغورس ` ،المثلث قائم الزاوية في .A
مثال ( )4بين باستعمال قانون المسافة ان النقط ) A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2رؤوس متوازي
اضالع.
x
2
2
قانون المسافه بين نقطتين )d = (x 2 - x 1) + (y 2 - y 1
AB = (-1 + 2) 2 + (4 - 3) 2 DC = (1 - 2) 2 + (-2 + 1) 2
= 1+1
= 1+1
y
بنفس الطريقة
= 2
` AB = DC
BC = (2 + 1) 2 + (-1 - 4) 2
= 9 + 25
= 34
= 2
AD = (1 + 2) 2 + (-2 - 3) 2
= 9 + 25
= 34
` AD = BC
لذا الشكل ABCDمتوازي اضالع (خواص متوازي االضالع كل ضلعين متقابلين متساويين)
102
[ ]4-5-2قانون نقطة المنتصف
The Midpoint Formula
نقطة المنتصف :هي النقطة الواقعة على بعدين متتساويين عن طرفي قطعة مستقيم و تنتمي له.
احداثيات نقطة المنتصف
x1 + x2 y1 + y2
) 2 , 2
(=M
)M (x, y
)B (x 2, y 2
)A ( x 1, y 1
مثال ( )5جد إحداثي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الواصلة بين )A (3, - 8), B (3, 6
x + x y1 + y2
قانون نقطة المنتصف
) M = ( 1 2 2, 2
3 + 3 -8 + 6
) =( 2 , 2
بالتعويض بالنقطتين
بالتبسيط
6 -2
)= ( 2 , 2 ) = (3, - 1
` ) (3, - 1نقطة منتصف AB
مثال ( )6اذا كانت ) M (1, - 3منتصف ABوكانت ) A (-1, - 2جد احداثي النقطة .B
x + x y1 + y2
قانون نقطة المنتصف
) M = ( 1 2 2, 2
-1 + x -2 + y 2
) (1, - 3) = ( 2 2 , 2
نفرض ) B (x 2, y 2وبالتعويض بالنقاط
-1 + x
1 = 2 2 & - 1 + x2 = 2 & x2 = 3
الضرب التبادلي والتبسيط
-2 + y 2
-3 = 2 & - 2 + y 2 = -6 & y 2 = -4
احداثيات BهيB (3, - 4) :
,
مثال ( )7بيِّن باستعمال قانون المنتصف ان النقط ) A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2رؤوس متوازي
اضالع.
x1 + x2 y1 + y2
x
قانون نقطة المنتصف
) M=( 2 , 2
منتصف القطر AC
منتصف القطر BD
)-1 + 1 4 + (-2
)-2 + 2 3 + (-1
M
=
(
2
M
=
(
,
)
1
) 2 , 2
y
2
2
0 2
) M 2 = ( 02 , 22بالتعويض
) M1 = ( 2 , 2
) M 2 = (0, 1بالتبسيط
)M 1 = (0, 1
` M 1 = M 2 aالشكل ABCDمتوازي اضالع (خواص متوازي االضالع قطراه احدهما ينصف اآلخر)
مثال ( A (3, 1), B (5, 3), C (5, - 1) )8رؤوس مثلث حيث AB=ACالنقطة Mمنتصف BCجد طول . AM
x + x y1 + y2
)5 + 5 3 + (-1
قانون نقطة المنتصف ،التبسيط
)M = ( 1 2 2 , 2 ) = ( 2 , 2 ) = (5, 1
قانون المسافة بين نقطتين
d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
بالتعويض
بالتبسيط
= (5 - 3) 2 + (1 - 1) 2
= 4=2
103
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
1أوجد المسافة بين ك ِّل نقطتين فيما يأتي:
)ii) (-3, - 1), (1, - 4
)iii) (-1, - 2) (3, - 4
السؤال 1مشابه
للمثال 1
)i) (0, 0), (3, 8
السؤال 2مشابه
للمثال 4
2أوجد نقطة المنتصف لالفرع ( )i),(ii),(iiiفي سؤال .1
3
4
5
6
باستعمال قانون المسافة بين نقطتين ،أثبت ان النقط )A (-2, - 1), B (-1, 0), C (4, 5
على استقامة واحدة.
بيِّن نوع المثلث الذي رؤوسه ) A (2, 4), B (-4, 2), C (-1, - 2من حيث االضالع.
وهل المثلث قائم الزاوية؟
بيِّن ان النقط اآلتية A (4, 0), B (6, - 6), C (-8, 0), D (-10, 6) :رؤوس متوازي االضالع.
)iiباستعمال قانون نقطة المنتصف.
)iباستعمال قانون المسافة بين نقطتين.
اذا كانت ) M (-2, 0منتصف ABوكانت ) A (4, 0فجد أحداثيي النقطة .B
السؤال 3مشابه
للمثال 2
السؤال 4مشابه
للمثال 3
السؤال 5مشابه
للمثالين 4,6
السؤال 6مشابه
للمثال 7
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
7أوجد المسافة بين ك ِّل نقطتين فيما يأتي:
)ii) (6, - 9), (0, 2
)iii) (-2, 4) (-6, - 2
8أوجد نقطة المنتصف لالفرع ( )i),(ii),(iiiفي السؤال .7
)i) (8, 1), (-4, 3
9باستعمال قانون المسافة بين نقطتين ،أثبت ان النقط ) A (1, - 3), B (3, - 4), C (-1, - 2على استقامة واحدة.
10بيِّن نوع المثلث الذي رؤوسه ) A (2, - 1), B (2, 1), C (-1, - 1من حيث االضالع .وهل المثلث قائم الزاوية؟
11بيِّن ان النقط اآلتية A (-3, 5), B (2, 7), C (1, 9), D (-4, 7) :رؤوس متوازي االضالع.
)iiباستعمال قانون نقطة المنتصف.
)iباستعمال قانون المسافة بين نقطتين.
12اذا كانت ) M (4, - 2منتصف ABوكانت ) B (5, 1فجد احداثيي النقطة .A
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
13هندسة ABC :مثلث رؤوسه) ، A (6, 4), B (-2, 6), C (0, - 4تحقق من ان طول القطعة المستقيمة الواصلة
بين منتصفي ضلعين فيه يساوي نصف طول الضلع الثالث.
14تحديد موقع :موقع بيت محمود عند النقطة ) (-4, 0وموقع مدرسته عند النقطة ) (0, - 3ما المسافة التي يقطعها
محمود عند ذهابه الى المدرسة ،علما ً ان طول ضلع كلِّ مربع في المستوي االحداثي يمثل كيلومتراً واحداً؟
ـر
فَ ِّك ْ
15
تح ًّد :دائرة طرفا احد اقطارها النقطتان ) A (-1, 1), B (5, 1جد )i :احداثيات مركزها )iiمساحتها.
16
اكتشف الخطأ :وجدت شهد إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي طرفيها ) (6, 1), (8, 3فكتبتها
) ( 8 2- 6 , 3 2- 1 ) = (1, 1اكتشف خطأ شهد وصحِّحه.
كتب
اُ ْ
عالقة قانون نقطة المنتصف بإيجاد الوسط الحسابي.
104
الدرس
ُ
][4-6
Trigonometric Ratios
النسب المثلثية
فكرةُ الدرس
• تعرف الى النسب المثلثية االساسية.
• النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة.
• إيجاد قيم عبارات تتضمن زوايا الخاصة.
المفردات
• النسب المثلثية
sin,cos,tan,sec,csc,cot
• الزوايا الخاصة
60c, 45c, 30c, 90c, 0c
تعلم
وقف مساح على بعد dمتر من
بناية ،ومن خالل جهازه نظر
اعلى البناية بزاوية معينة.
كيف تساعده النسب المثلثية فيايجاد ارتفاع البناية؟
[ ]4-6-1النسب المثلثية )(sini, cosi, tani
)Trigonometric Ratios (sini, cosi, tani
تعرفت سابقا ً الى عناصر المثلث حيث يتكون من ثالث زوايا وثالثه اضالع .ويسمى المثلث بزواياه (حاد الزوايا،
منفرج الزاوية ،قائم الزاوية) او بأضالعه (متساوي االضالع ،متساوي الساقين ،مختلف االضالع).
حساب المثلثات :هي دراسة العالقة بين زوايا المثلث واضالعه
النسبة المثلثية :هي النسبة التي تقارن بين طولي ضلعين من اضالع المثلث القائم الزاوية.
النسبة االساسية هي :الجيب ،sinالجيب تمام ،cosالظل .tan
المقابل = sini
الوتر
جيب الزاوية ( iيرمز له :) sin iهي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية iو الوتر:
المجاور = cosi
الوتر
جيب تمام الزاوية ( iيرمز له :)cos iهي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية iوالوتر:
المقابل
ظل الزاوية ( iيرمز له :)tan iهي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية iوالضلع المجاور لها :المجاور = tani
إليجاد النسب المثلثية ( )sin,cos,tanنتبع ما يأتي:
)1رسم تخطيطي لمثلث قائم الزاوية ،وتثبت عليه المعطيات.
)2نستعمل مبرهنة فيثاغورس اليجاد الضلع المجهول.
)3نستعمل النسب المثلثية اليجاد المطلوب.
مثال ()1
وتر
ال
i
مقابل i
مجاورi
من الشكل المجاور ،جد قيم النسب المثلثية الثالث للزاوية . i
A
أستعمل مبرهنة فيثاغورس ألجد طول الضلع ( ABالمقابل)
(AC) = (AB) + (BC) 2
مبرهنة فيثاغورس
m
2
2
2
)(5) = (AB) + (4
بالتعويض والتبسيط
2
i C (AB) = 25 - 16 = 9
B
بجذر الطرفين (اشارة موجبة ألنه طول)
4cm
AB = 3
3مقابل
استعمال النسب المثلثية ثم 3مقابل الزاوية
الزاوية sini = i
=
الزاويةtani = i
=
الوتر
5
4مجاور
i
التعويض
الزاوية
مجاور
4
i
= cosi
=
5
2
2
5c
الوتر
105
مثال ()2
tan A = 15جدi) sin A ii) cos A :
المثلث ABCالقائم الزاوية في Bاذا كانت 8
_15k b
C
tan A = 8k bbb
بضرب البسط والمقام في الثابت kحيث kاكبر من 0
`
BC bbb
قانون الظل
tan A = BA b
15k
a
` BC = 15k, AB = 8k
بالمقارنة
مبرهنة فيثاغورس
(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2
B
A
8k
بالتعويض
= (8k) 2 + (15k) 2
بالتبسيط
= 64k 2 + 255k 2
نجذر الطرفين
(AC) 2 = 289k 2 & ` AC = 17k
BC
15k 15
AB
8k
8
i) sin A = AC = 17k = 17 ii) cos A = AC = 17k = 17
[ ]4-6-2النسب المثلثية للزوايا الخاصة
The Trigonometric Ratios for Spicial Angles
الجدول المجاور يبيِّن قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة:
3
2
1
2
1
1
0c
90c
45c
60c
0
1
1
0
0
غير
معرف
30cالنسبة المثلثية
1
2
3
2
1
2
الجيب
1
2
1
2
1
3
3
2
1
3
الجيب تمام
sin
cos
الظل
tan
مثال ( )3أثبت انsin 60c cos 30c + cos 60c sin 30c = sin 90c :
3
3
1
1
sin 60c = 2 , cos 30c = 2 , cos 60c = 2 , sin 30c = 2 , sin 90c = 1
من الجدول نجد:
3
3
1 1
بالتعويض في الطرف االيمن R.H.S
R.H.S: sin 90c = 1
) L.H.S: ( 2 ) ( 2 ) + ( 2 ) ( 2
والطرف االيسر L.H.S
3 1
+
=
1
4 4
` L.H.S = R.H.S
مثال ()4
وقف رجل امام بناية وعلى بعد 12mمن قاعدتها ونظر الى قمة البناية بزاوية مقدارها .30cجد ارتفاع
البناية.
A
النسبة المثلثية التي تربط بين ارتفاع البناية hوبعد الرجل عن قاعدتها
هي نسبة الظل.
h
tan 30c = 12
قانون الظل
1
h
= 12
التعويض
3
3 h = 12
الضرب التبادلي
12
=h
= 4 3m
التبسيط
3
ارتفاع البناية هو4 3 m :
106
h
C
30c
12m
B
[ ]4-6-3عالقات النسب المثلثية
Relations of Trigonometric Ratios
سنقتصر في هذا البند على مقلوب النسب المثلثية sin,cos,tanو كما مالحظ في الجدول اآلتي:
cosi
tani
النسبة المثلثية
sini
1
tan i
1
= cot i
cos i
ظل تمام
مثال ()5
= sec i
قاطع
قاطع تمام
3
مثلث قائم الزاوية في ،Bاذا كانت
11
C
k
1
sin i
= csc i
= cosAفجدiii) cot A :
ii) csc A
i) sec A
3k
AB
= AC & AB = 3 k, AC = 11 k
11 k
= cosA
مبرهنة فيثاغورس
بالتعويض
بالتبسيط
11
نجذر الطرفين
B
11
8
3k
A
8
1
= & csc A = sin A
11
مقلوب النسب المثلثية االساسية
مقلوبها
(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2
( 11 k) 2 = ( 3 k) 2 + (BC) 2
11k 2 = 3k 2 + (BC) 2
(BC) 2 = 8k 2
` BC = 8 k
3
11
1
= ii) sin A
= & sec A = cos A
11
3
8
3
1
= iii) tan A
= & cot A = tan A
3
8
= i) cos A
(sin 45c) (sec 45c) - (tan 60c) (cot 30c) + 2 csc 90c
مثال ( )6جد القيمة العددية للمقدار اآلتي:
_b
1
1
1
, sec 45c = cos 45c = 1 = 2 bb
= sin 45c
bb
2
bb
من الجداول نجد قيم النسب المثلثية الخاصة
2
bb
b
1
1
ومقلوبات النسب المثلثية االساسية
tan 60c = 3 , cot 30c = tan 30c = 1 = 3 `b
bb
bb
3
bb
bb
1
1
csc 90c = sin 90c = 1 = 1
b
a
(sin 45c) (sec 45c) - (tan 60c) (cot 30c) + 2 csc 90c
المقدار المعطى
بالتعويض والتبسيط
1
( ) ( 2) - ( 3) ( 3) + 2 (1) & 1 - 3 + 2 = 0
2
` الناتج العددي للمقداريساوي 0
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
A
1من الشكل المجاور ،جد النسب المثلثية اآلتية:
ii) cos C iii) cot C iv) sec A
السؤال ( )1مشابه
لالمثلة (:)1,2,5
107
4cm
i) sin A
C
3cm
B
2في المثلث ABCالقائم الزاوية في ،Bاذا كانت cot A = 3جد:
السؤال ( )2مشابه للمثالين 2,5
ii) sin A iii) csc A iv) sec A v) cos A
3أثبت ما يأتي:
السؤال ( )3مشابه
للمثالين 6,3
4
i) tan A
5
i) (cos30c - csc45c) (sin60c + sec45c) = - 4 , ii) 2sin30csec30c = csc60c
1 - cos60c
= sin30c
2
)iii) (cos45c - csc45c) (tan45c) (csc90c) = -cos45c, iv
السؤال ( )4مشابه
للمثال 4
طائرة ورقية ارتفاعها 3 3 mعن سطح االرض ،اذا كان الخيط المتصل بها يصنع
زاوية مقدارها 60cمع االرض .جد طول الخيط.
A
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
5من الشكل المجاور ،جد النسب المثلثية اآلتية:
ii) cot C iii) sec C iv) csc A
13cm
i) cot A
6في المثلث ABCالقائم الزاوية في ،Bاذا كانت sec A = 2جد:
i) sin A ii) cot C iii) csc A iv) cos C
C
B
12cm
7أثبت ما يأتي:
ii) sin45csec45c + csc45csin45c = 2,
4
3
= )i) cos60ccsc60c + sin60csec60c
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
8رياضة :عمل جهاز رياضي مائل لتمرين السير بزاوية قدرها ، 30cفإذا كان طرف الجهاز يرتفع 1.5mعن
سطح االرض .فما طول حزام الجهاز؟
9تزلج على الجليد :في موقع للتزلج على احد التالل ،كان ارتفاع التلة الرئيسية 500mوزاوية ميلها عن مستوى
االرض . 60cماطول سطح التزلج؟
10سلم اطفاء الحرائق :سلم اطفاء حريق طوله 20mيرتكز احد طرفيه على بناية والطرف اآلخر على ارض افقية
بزاوية ، 45cجد ارتفاع نقطة ارتكاز طرف السلم على البناية.
11حديقة :وقفت بنان على بعد 25mمن قاعدة شجرة ارتفاعها .25mفما قياس الزاوية التي تشكلها مع قمة الشجرة؟
ـر
فَ ِّك ْ
12
تحد :في الشكل المجاور ،جد القيم المؤشرة (؟) باستعمال النسب المثلثية.
3
13مسألة مفتوحة ABC :مثلث قائم الزاوية في sinA = 2 ،Bكيف تجد قيمة
الزاوية C؟
14
4cm
60c
تبرير :اذا كان جيب زاوية وجيب تمامها متساويين في مثلث قائم الزاوية .ما
نوع المثلث من حيث اطوال اضالعه؟.
كتب
اُ ْ
مسألة تستعمل فيها نسبة الجيب اليجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية .ثم حلها.
108
؟
؟
؟
اختبار الف�صل
Chapter Test
1مثِّل المعادالت التالية في المستوي االحداثي
iv) y = x 2 - 1
2جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين:
iii) x = 2
ii) y = 2
i) 2x - 4y = 8
)A (-2, - 3), B (2, 3
3جد المقطع السيني والصادي للمعادلة اآلتيةy - x = 4 :
4جد معادلة المستقيم لكل مما يأتي:
)iيمر بالنقطتين )(3, - 2), (1, 5
)iiميله 32ومقطعه الصادي يساوي .-5
1
)iiiميله - 5ومقطعه السيني يساوي .3
5
استعمل معادلة الميل والنقطة لتحديد ميل المستقيم واحدى نقاطه
2y - 3x = 8
6باستعمال الميل بين ما يأتي:
)iالنقاط A (3, 2), B (0, - 1), D (1, 0) :على استقامة واحدة.
)iiالنقاط التالية رؤوس لمتوازي االضالع
)A (4, - 1), B (2, 2), C (-2, 4), D (0, 1
)iiiالمستقيم المار بالنقطتين ) A (3, 1), B (4, - 1عمودي على المستقيم المار بالنقطتين)C (4, - 1), D (0, - 3
7
جد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( )0,3والموازي للمستقيم الذي ميله . -2
3
8
باستعمال قانون المسافة بين نقطتين ،اثبت ) (i), (iiفي السؤال .6
9
باستعمال قانون نقطة المنتصف ،اثبت الفرع ) (iiفي السؤال .6
1
10في المثلث ABCالقائم الزاوية في ،Bاذا كانت sinA = 2جد:
i)cosA ii)tanA iii)cotC
iv) secA
109
109
الفصلُ
5
الهندسة والقياس
Geometric and Measurement
الدرس 5-1
الدرس 5-2المثلثات
الدرس 5-3التناسب والقياس في المثلثات
الدرس 5-4الدائرة
الدرس 5-5المثلث والدائرة ،القطع المستقيمة والدائرة
الدرس 5-6الزوايا والدائرة
المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط)
االشكال المثلثة تعطي البناء قوة ومتانة حيث تميزت الكثير من اعمال الراحلة المهندسة العراقية زها حديد باستعمالها
االشكال الهندسية المثلثة ،ومنها جسر في ابو ظبي بلغ ارتفاع راس المثلث 60mفوق مستوى سطح البحر.
110
االختبا ُر القبل ّي
Pretest
حدد ما اذا كان الشكل مضلعا ً واذا كان كذلك فهل هو مضلع منتظم او مضلع غيرمنتظم .
3
2
1
6
5
4
جد مساحة كل دائرة ومحيطها مما يأتي:
3cm
.
14.cm
9
.
7cm
8
7
جد المساحة السطحية والحجم لك ّل مما يأتي:
9.5cm
9m
21cm
12
11
5cm
3cm
10cm
3.5cm
15
7cm
10
3cm
14
3cm
3m
13
3cm
جد قيمة xفي كل مما يأتي :
3
x
18 16 = 4
7 1
x = 2
7 x-3
6 = 2
17
16
جد قياس الزاوية المركزية ومجموع قياس الزوايا الداخلية والخارجية لكل مما يأتي:
19خماسي منتظم
20ثماني منتظم
21سداسي منتظم
3
22شركة تجارية تضم 20موظفاً ،وكانت نسبة الذكور الى االناث ، 2كم عدد الموظفين من االناث؟ وكم عددهم
من الذكور؟
23مثلث متساوي االضالع طول كل ضلع فيه يساوي (2x - 1) cmومحيط المثلث يساوي ،57cmجد قيمة xو
جد طول كل ضلع فيه.
111
الدرس
ُ
[]5-1
المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط)
فكرةُ الدرس
• اجد محيط ومساحة المضلعات
المنتظمة .
• اجد الحجم والمساحة الكلية لكل
من الهرم والمخروط.
المفردات
• العامد
• االرتفاع الجانبي
• المخروط
• الهرم
)Polygons and Polyhedrons (Pyramid and Cone
تعلم
تعرفت سابقا ً الى المضلعات المنتظمة وغير
المنتظمة وكيفية ايجاد الزوايا الداخلية
والخارجية للمضلع المنتظم وكذلك تعرفت
على كيفية ايجاد الزاوية المركزية للمضلع.
واستطعت التمييز بين المضلع المقعر
والمضلع المحدب وسوف تتمكن في هذا
الدرس من ايجاد مساحة ومحيط المضلعات
المنتظمة .
[ ]5-1-1المضلعات المنتظمة
Regular Polygons
محيط المضلع المنتظم = عدد االضالع مضروبا ً في طول الضلع.
P = n#L
H
1
مساحة المضلع المنتظم = مساحة المثلث الذي رأسه مركز A = 2 L # H # n
المضلع وقاعدته ضلع المضلع #عدد اضالعه.
L
اذا عرفت ان طول الضلع Lو العامد ( Hهو العمود النازل من مركز المضلع على احد اضالع المضلع).
1
يمكن حساب مساحة المثلث كما يأتي :مساحة المثلث = 1القاعدة #االرتفاع (العامد)A = 2 L # H ،
2
مثال ( )1جد محيط ومساحة الشكل السداسي المنتظم ،طول ضلعه 4mوطول العامد .2 3 m
بالتعويض والتبسيط
مثال ()2
3m
2
4m
باستعمال قانون محيط المضلع
محيط المضلع
باستعمال قانون مساحة المضلع
P = n#L
P = 6 # 4 = 24m
1
A = 2L#H#n
1
= 2 # 4 # 2 3 # 6 = 24 3 m 2
جد مساحة المربع الذي طول العامد فيه .4cm
112
4cm
1
A = 2L#H#n
طريقة (: )1باستعمال قانون مساحة المضلع المنتظم
طول ضلع المربع يساوي ضعف طول العامد
L = 4 # 2 = 8cm
1
A = 2 # 8 # 4 # 4 = 64cm 2
طريقة ( :)2باستعمال قانون مساحة المربع
A = L#L
(طول الضلع #نفسه)
A = 8 # 8 = 64cm 2
[ ]5-1-2الهرم والمخروط
Pyramid and Cone
الهرم :هو مجسّم له في االقل ثالثة اوجه مثلثة الشكل
المخروط :هو مجسّم له قاعدة واحدة فقط عبارة عن
وله قاعدة واحدة تعبر عن شكل مضلع (شكل القاعدة
دائرة وله رأس واحد.
يحدد اسم الهرم).
= hاالرتفاع
= ,االرتفاع الجانبي (مولد المخروط)
h
,
= Hالعامد
= ,االرتفاع الجانبي
H
,2 = h2 + H2
= hاالرتفاع
,
= rنصف القطر
O
,2 = h2 + r2
قانون الحجم في الهرم والمخروط
المساحة الجانبية
1
LA = 2 p # ,
LA = r r # ,
المساحة الكلية
1
TA = 2 p # , + b
TA = r r # , + r r 2
pمحيط القاعدة
bمساحة القاعدة
حجم الهرم
1
V = 3b#h
حجم المخروط
V = 31 r r 2 # h
جد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لهرم منتظم ارتفاعه الجانبي 8cmوقاعدته مربعة طول ضلعها . 3cm
محيط القاعدة = محيط المربع = 4×3
المساحة الكلية
مساحة القاعدة = مساحة المربع = 3×3
المساحة الكلية
LA = 48cm 2
1
TA = 2 p # , + b
TA = 48 + 9 = 57cm 2
8cm
1
LA = 2 p # ,
1
LA = 2 # 12 # 8
المساحة الجانبية
3cm
TA = 57cm 2
استخدم الشكل المجاور إليجاد )i :المساحة الجانبية )iiالمساحة الكلية )iiiالحجم.
المساحة الجانبية للمخروط
بالتعويض والتبسيط
المساحة الكلية للمخروط
بالتعويض والتبسيط
1
3cm
iii)V = 3 r r # h
= 13 # r # 9 # 4 = 12 r cm 3
2
حجم المخروط
بالتعويض والتبسيط
5cm
i) LA = r r # ,
= r # 3 # 5 = 15 r cm 2
ii)TA = r r # , + r r 2
= 15 r + 9 r = 24 rcm 2
4cm
مثال ()4
r
المساحة الكلية = المساحة الجانبية +مساحة القاعدة.
قانون المساحة للهرم المنتظم والمخروط الدائري القائم
المخروط القائم
الهرم المنتظم
مثال ()3
h
مساحة شبه المنحرف
b
e
f
113
18m
6m
حجم الهرم
1
1
b = 2 (gf + bd) # fe = 2 (9 + 18) # 6 = 81m 2
1
1
V = 3 b # h = 3 # 81 # 20 = 540m 3
20m
مثال ( )5جد حجم الهرم المجاور.
9m
g
d
مثال ( )6جد حجم المجسّم المر ّكب المجاور.
اليجاد حجم المجسم المركب نجد اوال حجم االسطوانة وحجم المخروط
وبعد ذلك نجمع الحجوم لنجد حجم المجسم المركب.
2
قانون حجم االسطوانة
V1 = r r h & V1 = 36 r # 20
3
V1 = 720r cm
بالتعويض والتبسيط
قانون حجم المخروط
V2 = 13 r 2 r # h
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
االسئلة 1-2مشابهة
للمثال 1
6cm
جد محيط ومساحة ك ّل مضلّع منتظم:
3cm
2
2.9
cm
2 3 cm
حجم المجسم المركب
V2 = 13 # 36r # 30 = 360r cm 3
V = V1 + V2
V = 720r + 360r = 1080r cm 3
20cm
1
2cm
بالتعويض والتبسيط
50cm
3جد الحجم والمساحة الجانبية والكلية لك ّل مما يأتي:
)iمخروط دائري قائم :مساحة قاعدته ، 225rcm 2محيط قاعدته، 30rcmارتفاعه، 20cmارتفاعه الجانبي 25cm
)iiهرم :مساحة قاعدته ،54 3 cm 2محيط قاعدته ،36cmارتفاعه ، 3 6 cmارتفاعه الجانبي .9cm
االسئلة ( )4-3مشابهة
للمثالين 3,4
4جد الحجم والمساحة الجانبية والكلُية لك ّل مما يأتي:
)iهرم قاعدته مثلث متساوي االضالع طول ضلعه 6cmوارتفاعه 33 cmوارتفاعه الجانبي .6cm
)iiهرم قاعدته مربعة طول ضلعها 12cmوارتفاعه 8cmوارتفاعه الجانبي .10cm
3cm
3cm
3cm
6جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية للشكل ادناه:
RS
SS
SS
SS
5cm
SS
SS
S
T
8cm
قاعدته مربعة
114
13c
m
3
,
)i
12cm
h
4cm
5جد الحجم والمساحة الجانبية والكلُية مستعمالً االشكال ادناه.
)ii
)iii
5cm
السؤال 6مشابه
للمثال 5
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
7
جد المساحة الجانبية للهرم الذي قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها 8cmوارتفاعه الجانبي . 7.2cm
8جد المساحة الجانبية للهرم الذي قاعدته المضلع الثماني المنتظم الذي قياس طول ضلعه 1.16cmوارتفاعه
الجانبي .2cm
9جد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لمخروط دائري قائم قطر قاعدته 35mوارتفاعه الجانبي 20mواكتب
الجواب بداللة . π
2m
11جد حجم الشكل المركب المجاور.
6m
18m
9m
10جد حجم هرم قاعدته مثلث منتظم وطول ضلعه 6mوارتفاعه .13m
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
12علوم :نموذج بركاني على شكل مخروط دائري قائم طول نصف قطر قاعدته
،3cmاذا كان حجم النموذج 203cm3تقريباً ،ما ارتفاعه؟
3cm
13بناء :يبلغ ارتفاع برج العرب 321mويمثل هرما ً مقوسا ً ,احسب المساحة
التقريبية لقاعدته اذا كان حجم الهرم الذي يمثله . 1904000m3
14هندسة :جد المساحة الجانبية للهرم الذي قاعدته مربعة الشكل والمبين بالشكل
المجاور.
8cm
4cm
4cm
ـر
فَ ِّك ْ
15تحدً :مخروط واسطوانة لهما نفس القاعدة والحجم ،قطر االسطوانة 40cmوارتفاعها ،7cmما المساحة
الجانبية للمخروط؟
كتب
اُ ْ
m
الحل االول:
1 #b#h
3
1 # 36r # 10 = 120rm 3
3
الحل الثاني:
V = 1 #b#h
=V
3
= V = 1 # 6 # 6 # r # 8 = 96rm 3 V
3
10
16اكتشف الخطأ :اي الحلين خطأ ؟ وضح اجابتك .
8m
6m
مسألة عن مضلع منتظم تسمح المعطيات فيه بأيجاد محيط المضلع ومساحته.
115
الدرس
ُ
[]5-2
المثلثات
Triangles
تعلم
التعرف الى منصفات الزواياوالقطع المتوسطة للمثلث وكيفية
تشابه مثلثين واستعمال التشابه في
حل المسائل.
تعرفت سابقا الى خواص المثلث وسنتعرف في هذا
الدرس الى القطعة المتوسطة في مثلث :هي قطعة
مستقيمة طرفاها احد رؤوس المثلث ونقطة منتصف
الضلع المقابل لذلك الرأس ،ولكل مثلث ثالث قطع
متوسطة تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة تالقي
القطع المتوسطة للمثلث (مركز المثلث).
المفردات
• المثلثان المتشابهان.
• نسبة التشابه
ارتفاع المثلث :هو العمود النازل من احد رؤوس
المثلث على المستقيم الذي يحوي الضلع المقابل
لذلك الرأس ،ولكل مثلث ثالثة ارتفاعات تتقاطع
في نقطة واحدة تسمى(ملتقى االرتفاعات).
[ ]5-2-1االضالع والزوايا في المثلث
ضلع
ف ال
تص
من
فكرةُ الدرس
مركز المثلث
ارتفاع المثلث
ارتفاع المثلث
ارتفاع المثلث
Sides and Angles in the Triangle
C
(مبرهنات من دون برهان) في كل مثلث:
مبرهنة :اذا تباين ضلعا مثلث تباينت الزاويتان المقابلتان لهما ،فاكبرهما
تقابل الضلع االكبر وبالعكسBC 2 AC + m+A 2 m+B .
A
B
مثال ()1
-iفي المثلث ادناه رتب الزوايا من االصغر - iiفي المثلث ادناه رتب االضالع من االقصر الى
الى االكبر.
االطول واحسب قياس . +C
مجموع زوايا المثلث m+A + m+B + m+C = 180c
m+C = 180c - (73c + 45c) = 62c
` m+B 1 m+C 1 m+A
AC, BA, BC
الترتيب هو:
الضلع االقصر ABاذن الزاوية الصغرى +C
الضلع االطول ACاذن الزاوية الكبرى +B
الترتيب هو m+C, m+A, m+B
B
6
C
A
73c
4
8
A
C
45c
(مبرهنات من دون برهان) في كل مثلث:
مبرهنة :منصفات زوايا المثلث تتالقى بنقطة واحدة تكون متساوية االبعاد
عن اضالعه( .والعكس صحيح).
اذا كان OA, OB, OCمنصفات الزوايا A,B,Cعلى الترتيب ،تلتقي
B
في نقطة ،OفأنOD=OE=OF :
مثال ()2
B
A
E
F
O
C
D
C
في المثلث المجاور جد قيمة .x
60c
BOتنصف CO , +Bتنصف O `, +Cنقطة التقاء منصفات زوايا المثلث ABC
) AOتنصف x = 12 m+A (+Aمبرهنة
مجموع زوايا المثلث m+A + m+B + m+C = 180c
B
m+A = 180c - (70c + 60c) = 50c & ` x = 25c
116
O
70c
x
A
(مبرهنات من دون برهان) في ك ّل مثلث:
مبرهنة :القطع المستقيمة المتوسطة للمثلث تتالقى في نقطة واحدة تسمى مركز
ثقل المثلث ،تقسم كل منها بنسبة 2من جهة الرأس الى منتصف الضلع المقابل.
3
2
2
2
AO = 3 AD, BO = 3 BF, CO = 3 CE
1
1
1
OD = 3 AD, OF = 3 BF, OE = 3 CE
B
A
E
F
O
D
C
مثال ( )3المثلث ABCفيه AD, CEقطعتان متوسطتان تلتقيان في نقطة CE = 9cm, AD = 6cm ،O
جد طول . AO, OE
C
1
CEقطعة متوسطة
OE = 3 CE
كذلك ADقطعة متوسطة
1
` OE = 3 # 9 = 3cm
2
a OA = 3 AD
2
` OA = 3 # 6 = 4cm
D
O
A
E
B
[ ]5-2-2تشابه المثلثات
Similarity of Triangles
المثلثان المتشابهان :هما مثلثان تتناسب اضالعهما وتتطابق
زواياهما ويرمز للتشابه بالرمز) . (+المبرهنات من دون برهان
مبرهنة :اذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر
فان المثلثين يتشابهان.
E
m+A = m+D, m+C = m+F, & 3ABC + 3DEF
D
A
C
BF
مبرهنة :اذا تناسب ثالثة اضالع من مثلث مع ثالثة اضالع من مثلث آخر فان المثلثين يتشابهان.
مثال ( )4بيِّن ما اذا كان المثلثين في الشكل المجاور متشابهان ،واكتب نسبة التشابه.
)ii
BC
3
AB 6 2
= 10
EF
DE = 9 = 3
10
F
E
AB 4 2
AC 4 2
= 6 = 3
A
DF = 6 = 3
EF
6
6
6
4 BC
4
BC 4 2
AB
D
!
E FD = 6 = 3
DF
3
B
C EF
اذن المثلثان متشابهان
اذن المثلثان غير متشابهان
6
B
F
4
6
A
C
9
)i
4
D
مبرهنة :اذا تناسب ضلعان في مثلث مع نظائرهما في مثلث آخر ،وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما مع نظيرتها
فان المثلثين يتشابهان.
E
x-1
2
CD
، m+C = m+FDB, ECجد قيمة .x
مثال ( )5في الشكل المجاور :اذا كان FD = DB
بما ان المثلثين BFD,DECمتشابهان ،اذن اضالعهما المتناظرة متناسبة.
x-1 9
التناسب
2 = 3
F
الضرب التبادلي
3x - 3 = 18
A
التبسيط
3x = 21 & x = 7
117
D 3 B
9
C
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
رتب االضالع من االقصر الى االطول
B
2
رتب الزوايا من االصغر الى االكبر.
االسئلة 1-4مشابهة
للمثال 1
C
45c
38c
A
B
68c
A
C
A
A
4
3
30
B
45
25
15
1
72
C
C
B
20
5في المثلث المجاور اذا كان AO, BO, CO :منصفات الزوايا A,B,C
جد . m+x
A
x
O
السؤال 5مشابه
للمثال 2
0c
45
8
C
B c
ABC 6مثلث O ،نقطة تقاطع مستقيماته المتوسطة ،اذا كان BO=12cm :جد طول القطعة المستقيمة التي احد
طرفيها النقطة .B
7في المثلث O, ABCنقطة التقاء القطع المتوسطة ،جد طول ADاذا علمت ان :االسئلة 7-6
مشابهة للمثال 3
.m+COB = 90c, AO k BC = " D ,, BC = 6cm
مالحظة :طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس الزاوية القائمة
الى منتصف الوتر يساوي نصف طول الوتر.
m
8في الشكل المجاور:
)iبيِّن ان المثلثين ABC,BDEمتشابهان.
)iiجد نسبة التشابه.
)iiiجد قيمة .x
9c
x-1
السؤال 8مشابه
للمثالين 4,5
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
8cm
x
رتب االضالع من االقصر الى االطول.
A
10
B
9
80c
70c
C
رتب الزوايا من االصغر الى االكبر.
A
m
C
12
cm
45
50cm
B
118
11
A
4.8cm
30c
A
C
60c
B
B
m
8c
7.5cm
C
A
8cm
8cm
8cm
6cm
B
6c m
13بيِّن ان المثلثين ABC, DENفي الشكل المجاور متشابهان
واكتب نسبة التشابه ثم س ّم ازواج الزوايا المتطابقة .
D
E
C
N
6cm
D
4c
m
4cm
A
m
6c
14بيِّن ان المثلثين ABC, ADEفي الشكل المجاور متشابهان واكتب
.
نسبة التشابه.
C
E
8cm
B
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
A
B
x+9
15هندسة :اذا علمت ان 3ABF + 3DEFوان AB ' EDاستعمل
المعلومات في الشكل المجاور لتجد قيمة .x
15
2x-2
F
20
D
16بناية :بناية ارتفاعها يمثل بضلع مثلث قائم الزاوية كما في الشكل المجاور .و BE
هو ارتفاع للمثلث ABDبرهن ان:
E
i. +EBA , +D
ii. 3 ABE + 3DBE
17في الشكل المجاور المثلثان KAB ,KMHمتشابهان ،جد احداثيي .M
ونسبة التشابه.
y
)H(0,6
)B(0,4
x
)A(2,0
?M
ـر
فَ ِّك ْ
A
أكتب
60
F
x
A
D
E
4
x+5
19تح ِد )10 ,5 ,2( :و ( )x ,15 ,6هي اطوال اضالع متناظرة
في مثلثين متشابهين ،ما قيمة x؟
20حس عددي :جد قيمة xفي الشكل المجاور .اذا كان المثلثان ABD,EBC
متشابهين .وانEC ' AD :
21مسألة مفتوحة :اشرح لماذا تحتاج قياسات الزوايا للتأكد من تشابه المثلثات،
اعط مثالً على ذلك.
C
D
مسألة عن مثلثين متساويي الساقين تتطابق فيهما زاويتا الرأس وجد نسبة التشابه.
119
E
60
18اكتشف :ما طول ABفي الرسم المجاور؟ علما ً ان . 3ECD + 3ABF
K
40 B 20
B 3
C
الدرس
ُ
[]5-3
التناسب والقياس في المثلثات
Proportion and Measure in Triangles
تعلم
فكرةُ الدرس
استعمل االجزاء المتناسبة فيالمثلثات لنبرهن توازي مستقيمين او
اكثر.
استعمل التناسب الجد قياساتمجهولة.
استعمل التناسب الهندسي فيالمستوي االحداثي.
متوازية واخرى متعامدة ،فالمخطط
الجانبي يمثل جزءاً من مدينة بغداد
المفردات
ونالحظ فيه الشوارع متوازية
تتضمن مخططات المدن
والشوارع في تطبيق الخرائط
في االجهزة االلكترونية خطوطا ً
التناسب الهندسي
ومتعامدة.
[ ]5-3-1التناسب في المثلثات
Proportions in Triangles
تعلمت سابقا ً المثلثات المتشابهة وبعض مبرهنات التشابه للمثلثات ،وسوف تتعلم في هذا البند التناسب في المثلثات
مستعينا ً بالمبرهنات السابقة.
مبرهنة التناسب المثلثي
المعطى
المبرهنة
اذا وازى مستقيم ضلعا من
اضالع مثلث وقطع الضلعين
اآلخرين في نقطتين مختلفتين
فإنه يقسم الضلعين الى قطع
متناسبة االطوال (من دون
برهان)
C
F
النتيجة
AB ' EF
CE
CF
EA = FB
E
F
A
B
مثال ( )1جد طول قطعة المستقيم AEعلما ً انEF :
CF
مبرهنة التناسب المثلثي
FB
التعويض
12
4 # 9 36
EA
cm
&
=
=
=
3
4
12
12
والتبسيط
' ABفي الشكل المجاور.
CE
= EA
12
cm
9
= EA
C
عكس مبرهنة التناسب المثلثي
المعطى
C
CE
CF
=
EB FA
المبرهنة
اذا قسم مستقيم ضلعين في
مثلث الى قطع متناسبة فإنه
يكون موازيا للضلع الثالث
F
E
(من دون برهان)
A
B
120
9cm
F
E
4cm
?
النتيجة
EF ' AB
B
A
مثال ( )2في الشكل المجاور برهن ان . MK ' NJ
HJ 35 7 HN
42 7
نجد نسبة االجزاء المتناسبة
JK = 15 = 3 , NM = 18 = 3
HJ
HN
7
a JK = NM = 3
` MK ' NJ
عكس مبرهنة التناسب المثلثي
N
42
H
18
M
35
J
15
K
المبرهنة
اذا قطعت ثالثة مستقيمات
مبرهنة طالس
المعطى
متوازية او اكثر بمستقيمين فإن
القطع المحددة بالمستقيمات
المتوازية تكون متناسبة.
E
F
D
A
النتيجة
AB DF
BC = FE
B
C
AD ' BF ' CE
مثال ( )3استعمل مهندس الرسم المنظوري (هو رسم االجسام البعيدة بحيث تبدو اصغر واالجسام القريبة حيث
تبدو اكبر ،مع الحفاظ على هيئتها وتناسب مقاييسها لتبدو ثالثية االبعاد) ليرسم خطوطا ً اولية تساعده على
رسم اعمدة اتصاالت متوازية ،تحقق من رسمه بقياس المسافات بين االعمدة ،كم طول FH؟
AE ' BF ' CJ ' DH
AB EF
A
مبرهنة طالس
E
BD = FH
4.2 6.3
B
F
BD = BC + CD = 2.2 + 1.4 = 3.6m
J
C 2.2
4.2 6.3
6.3 # 3.6
1.4
بالتعويض والتبسيط
= = FH & FH
= 5.4m
3.6
4.2
D
H
[ ]5-3-2التناسب والقياس
Proportion and Measure
اليجاد نسبة المحيطين ونسبة المساحتين لمثلثان متشابهان ،يمكنني استعمال المبرهنة التالية (من دون برهان) .
مبرهنة :اذا تشابه مثلثان بنسبة تشابه aفإن نسبة المحيطين للمثلثين تساوي aونسبة المساحتين للمثلثين a
b
b
b2
2
اذا كان المثلثان متشابهين ،فإن النسبة بين محيطيهما تساوي النسبة بين اطوال االضالع المتناظرة.
ليكن 3WVT + 3ABCجد محيط . 3ABC
m
8c
نفرض P1محيط المثلث WVT
P1 = 8 + 5 + 4 = 17cm
استعمل التناسب الجد محيط المثلث ABC
P2
P2
P2
AB
5
نفرض P2محيط المثلث ABC
P1 = WV & 17 = 8
اذن محيط المثلث ABCيساوي
` P2 = 10.625cm
A
W
4cm
5cm
5cm
مثال ()4
V
T
C
B
تعلمت سابقا ً ثالثة تحويالت هندسية :االنسحاب ،االنعكاس ،والدوران ،وهذه التحويالت تحافظ على الهيئة والقياسات.
سوف تتعلم في هذا الدرس تحويالً جديداً يحافظ على الهيئة من دون حفظ القياسات ،انه التناسب الهندسي .Dilation
121
[ ]5-3-3التناسب الهندسي احداثيا ً
Dilation in the Coordianate Plane
التناسب الهندسي :هو تحويل يغير مقاييس االشكال الهندسية من دون تغيير هيئتها فالشكل وصورته بالتناسب
الهندسي يكونان دائما ً متشابهين ،مركز التناسب هو نقطة االصل.
سنقتصر دراسة التناسب الهندسي في هذا الدرس على المستوي االحداثي ،اذا تعاملت مع تناسب هندسي معامله
الهندسي Mفسوف يكون بامكانك ان تجد صورة النقطة بضرب احداثياتها في (x, y) " (Mx, My) .M
مثال ( )5يبين الرسم المجاور موقع صورة على شبكة االنترنيت ،ارسم
حدود الصورة بعد تحويلها بتناسب هندسي نسبته . 5
3
الخطوة ( :)1اضرب معامل التناسب الهندسي في احداثيات الرؤوس.
5
5
)A (3, 4) " ( 3 # 3, 3 # 4) $ A} (5, 6.667
5
5
)B (0, 4) " ( 3 # 0, 3 # 4) $ B} (0, 6.667
5
5
)C (0, 0) " ( 3 # 0, 3 # 0) $ C} (0, 0
5
5
)D (3, 0) " ( 3 # 3, 3 # 0) $ D} (5, 0
الخطوة ( :)2اضع النقاط } A} , B} , C} , Dعلى المستوي االحداثي ثم اصل
بينهم الحصل على المستطيل } } } }
. ABCD
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
االسئلة 1-2مشابهة
لالمثلة 1-3
االسئلة 3-4مشابهة
للمثال 2
3
L
30
)D (3, 0
)C (0, 0
)} (5, 6.667
A
)} (0, 6.667
B
)} (5, 0
D
)} (0, 0
C
جد طول القطعة المستقيمة المجهولة في االشكال االتية:
T
2
R
42
)A (3, 4
)B (0, 4
1
?
70
L
W
T
16
?
S
S
9
12 W
R
في المثلث MQ = 12.5, MR = 4.5, MP = 25, MN = 9 ،MQPهل RN ' QPاو ال؟ بّرر اجابتك.
حيث N ! MP , R ! MQ
4في الرسم المجاور جد طول KN, MN
M
A
x
2
N
x-4
K
B
C
5المثلثان ABC,HKMمتشابهان ،مساحة 3ABC
ضعف مساحة ،3HKMما طول AB؟
x+4
السؤال 4مشابه
للمثال 3
x
A
H
8cm
السؤالين 5,6مشابهان
للمثالين 4,5
M
122
K
C
B
6المثلثان ABC ,KMHمتشابهان ،جد مساحة ومحيط
المثلث ABCعلما ً ان محيط المثلث KMHيساوي 18cm
ومساحته . 15cm2السؤال 6مشابه للمثال 4
C
M
H B
8
6
ABC 7مثلث حيث ) ، A (6, 0), B (-3, 3 ), C (3, - 6جد صورته بعد
2
تصغيره بمعامل ، 13علما ً ان مركز التناسب هو نقطة االصل.
K
A
السؤال 7مشابه للمثال 5
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
8في المثلث BE ' CD ،ACDجد قيمة xو EDاذا كان.ED = 3x - 3, BC = 8, AE = 3, AB = 2 :
M
9حدِّد ما اذا كان AB ' MKفي الشكل المجاور.
6
B
18
4.5
10نسبة مساحة المثلث ABCالى نسبة مساحة المثلث KMHتساوي 16ما نسبة
25
تشابه المثلثين وما النسبة التشابه بين محيطيهما ؟
11جد صورة المثلث ABCحيث A (-1, - 1), B (1, - 2), C (1, 2) :تحت تأثير تناسب معامله .2
الطريق
االول
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
C
1.5
A
K
?
54m
شارع 62
شارع 52
شارع 42
12طرق :تمثل الخريطة المجاورة بعض الشوارع المتوازية وطريقين
عبرها ،ما طول الطريق االول بين الشارع 62والشارع 52؟
استدارة
81m
الطريق
الثاني
27m
13هندسة :جد صورة الشكل الرباعي حيثA (2, 6), B (-4, 0), C (-4, - 8), D (-2, - 12) :
تحت تأثير تناسب معامله 1
4
ـر
فَ ِّك ْ
اذا علمت ان طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر تساوي نصف
طول الوتر اجب عن السؤال .14
H
14تحدّ :في الرسم المجاور Mمنتصف ABو Kمنتصف ، HBالزوايا:
2
2
2
+Z, +ABH, +Cقائمة ،برهن ان . a KZ k = (BZ) 2 + (ZH) 2
CM
)(BC) + (CA
A
K
M
Z
أكتب
B
ما تستطيع من تناسبات اذا علمت ان MK ' ABفي الشكل المجاور.
H
B
K
123
C
A
M
الدرس
ُ
[]5-4
الدائرة
The Circle
فكرةُ الدرس
• اجد قياس االقواس والزوايا
المركزية للدوائر.
• أتعرف الى المماس والمماس
المشترك.
المفردات
• القوس ،الوتر.
• المماس ،المماس المشترك.
• الزوايا المركزية.
تعلم
A
كل زاوية بين عقربي ساعة هي زاوية
مركزية والزاوية المركزية هي الزاوية التي
تقطع الدائرة في نقطتين ورأسها هو مركز
الدائرة وكل زاوية مركزية في دائرة يقابلها
قوس على الدائرة يسمى قوس الزاوية ،ما
%
قياس ABالمقابل +AOB؟ وهل هناك
عدة انواع من االقواس؟
B
[ ]5-4-1القوس والوتر
Arc and Chord
ر ال
دائ
رة
ةا
لمر
ك
زية
mACB = m+AOB 1 180
ق
B
وس
C
B
'
قطر
A
O
B
القوس االكبر(اكبر من ) 180قياس نصف الدائرة (يساوي ) 180
AB
O
مركز الدائرة
نصف قطر
ال
زاوي
%
مثال ( )1كيف اجد قياس القوس ABبداللة الزاوية المركزية المقابلة له؟
%
قياس الزاوية المركزية يكافئ قياس القوس المقابل لها ويرمز للقوس .AB
m+AOB = 90c
الزاوية AOBقائمة
%
اذن قياس القوس المقابل للزاوية AOBيساوي AB = 90
هناك ثالثة انواع من االقواس في الدائرة وهي:
القوس االصغر(اصغر من ) 180
C #
A
وت
تعرفت سابقا ً الى مفهوم الدائرة :وهي مجموعة من النقاط المتصلة في المستوي التي
لها البعد نفسه عن نقطة ثابتة تسمى مركز الدائرة ،ونصف قطر الدائرة : rهو قطعة
مستقيمة تصل بين مركز الدائرة ونقطة على الدائرة ،وتر الدائرة :هو قطعة مستقيمة
طرفاها على الدائرة ،قطر الدائرة :هو وتر يمر بمركز الدائرة.
وسوف تزيد معلوماتك عن الدائرة في هذا الدرس لتتعرف الى القوس وقياسه بداللة
الزاوية المركزية المقابلة له.
&
ACB
A
$
'
#
#
AB
mACB = 360 - mAB 2 180
مثال ( )2جد قياس الزوايا واالقواس المجهولة في الشكل المجاور:
%
%
i) BC: m+BOC = 30c & mBC = 30
C
%
%
ii) DC: m+COD = 90c & mDC = 90
)
B iii) BCD: m+BOC + m+COD = 30c + 90c = 120c
)
mBCD = 120
(
(
iv) BEA: m+BOA = 180c & mBEA = 180
&
&
iv) AD: m+AOD = 180c - 120c = 60c & m AD = 60
124
A
AB
%
mAB = 180
B
D
30c
E
O
A
) %
مثال ( )3الدائرة المقابلة مقسمة على ثالثة اجزاء متطابقة ،جد قياس االقواس اآلتية. ABC، AB :
هناك ثالث زوايا مركزية متطابقة مجموعها 360c
A
%
%
i) AB: m+ AOB = 360c = 120c ( AB = 120
3
O
)
)
ii) ABC: m+ ABC = 120c + 120c = 240c & ABC = 240
او بطريقة اخرى:
B
)
)
ABC = 360c - 120c = 240c & ABC = 240
%%
الحظ المثلثين والزاويتين المركزيتين 1,2والقوسين AB, CAوالوترين AB, CAاذا
تطابقت الزاويتان تطابق القوسان وتطابق المثلثان فيتطابق الوتران AB, CAويمكنك ان
تستعمل مثل هذه الطريقة للتوصل الى المبرهنة التالية (من دون برهان):
C
A
2
O 1
C
B
مبرهنة االقواس واالوتار والزاوية المركزية ،في كل دائرة او في دائرتين متطابقتين
• اذا تطابقت زاويتان مركزيتان تطابق وتراها وبالعكس.
+ 1 , +2 + AB , AC
% %
• اذا تطابقت زاويتان مركزيتان تطابق قوساهما وبالعكس.
+ 1 b +2 + AB b AC
% %
• اذا تطابق قوسان تطابق وتراهما وبالعكس.
AB b AC + AB b AC
مثال ( )4استعمل مبرهنة االقواس واالوتار لتبرهن ان المثلث ABCمتسا ٍو
ً % % %
االضالع في الدائرة المقابلة علما ان . , AC , CB
AB
% % %
معطى في السؤال
a AB , AC , CB
مبرهنة االقواس واالوتار
` AB , AC , CB
لذا فان المثلث ABCمتساوي االضالع.
A
C
مبرهنة القطر العمودي ،في كل دائرة
مبرهنة :القطر العمودي على وتر في دائرة ينصف الوتر وينصف
كال قوسيه.
& %% %
CD = AB & AO = BO, AD , DB, BC , AC
B
B
C
D
O
A
2cm
مثال ( )5استعمل مبرهنة القطر العمودي ،وجد طول الوتر ABاذا علمت ان نصف القطر ODيساوي .5cm
وان DE=2cm
D
الخطوة (:)1ارسم نصف القطر OC
OC = OD = 5cm, DE = 2cm
معطى
E
A
B
OE = 5 - 2 = 3cm
الخطوة ( :)2مبرهنة فيثاغورس
^ EB h2 + ^ EO h2 = ^ OB h2
O
بالتعويض
25 - 9 = ^ EB h2
بالتبسيط
^ EB h2 = 16 & EB = 4cm
Eمنتصف ABمبرهنة القطر العمودي ` AB = 2 # EB = 2 # 4 = 8cm
C
القطر DCعمودي على الوتر ABوينصفه
3cm
5cm
125
[ ]5-4-2المماس
Trangent
مماس الدائرة :هو المستقيم الذي يالقي الدائرة في نقطة المماس المشترك لدائرتين :هو مستقيم مماس لكل من
واحدة تعرف بنقطة التماس ويكون عموديا ً على نصف الدائرتين.
A
القطر في نقطة التماس.
C
نقطة التماس
O
مبرهنة المماس
B
مماس مشترك داخلي مماس مشترك خارجي
مماس مشترك
مبرهنة المماسين
مبرهنة :القطعتان المماستان المرسومتان لدائرة من نقطة خارجة عنها متطابقتان.
CB, CAمماسان للدائرة من نقطة .C
A
O
C
` CB , CA
B
مثال ( )6دائرة مركزها Oفي الشكل المجاور AB ،هو مماس للدائرة في Aوقياس الزاوية ABOيساوي35c
جد قياس الزاوية ،AOBثم جد طول القطعة المستقيمة .BC
A
BAمماس الدائرة في النقطة A
12c
AB = AO, m +OAB = 90c
m
مبرهنة المماس
B
O
35c
a m+OBA = 35c
معطى
مجموع زوايا المثلث ` m+AOB = 180c - (90c + 35c) = 55c 180c
C
مبرهنة المماسين
BC=12cm
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
في الدائرة ادناه ،جد قياس الزوايا واالقواس فيما يأتي:
B
االسئلة 1-4مشابهة
لالمثلة 1,2
+COB
C
D
43c
)
DAB
O
+AOD
2
(
4
1
3 DBE
E
A
دائرة مقسمة على 6اجزاء متطابقة جد قياس كل قوس مما يأتي:
F
)
االسئلة 5-7مشابهة
7 ABD
E
A
%
AB
)
6 ABC
للمثال 3
5
O
A
D
B
D
C
السؤال
للمثال 4
O
8الدائرة المجاورة مقسمة على 4اجزاء متطابقة ،برهن ان
الشكل ABCDمربع.
B
C
9في الشكل المجاور استعمل مبرهنة القطر العمودي وجد طول القطعة المستقيمة
ABفي الدائرة المجاورة مقربا ً الناتج الى اقرب ُعشر.
السؤال
للمثال 5
9
8
مشابه
O
2.3cm
B
1.7cm
D
10استعمل مبرهنة المماس لتجد طول القطع المستقيمة
AB,ADفي الشكل المجاور.
cm
O 6
cm
C4
A
126
مشابه
B
A
C
السؤال 10مشابه
للمثال 6
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
C
A
40c B
74c
جد قياس الزوايا واالقواس فيما يأتي:
(
12 DBE
)
D
O
11 +COA
)
14 DCA
13 BAC
E
الدائرة مقسمة على 8اجزاء متطابقة جد قياس كل قوس مما يأتي:
H
)
G
A
17 GDB
B
)
16 ABC
F
O
C
%
15 AB
A
E
D
B
18الدائرة المجاورة مقسمة على 6اجزاء متطابقة ،برهن ان الشكل ABCDEF
سداسي منتظم.
F
O
C
E
D
19استعمل مبرهنة المماس لتجد طول القطع المستقيمة AB,ACفي الدائرة
المجاورة.
C
O
13m
5m
A
B
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
20جغرافية (براكين) :ترتفع فوهة بركان (هواالالي) عن مستوى سطح البحر
،2.52kmاحسب المسافة بين قمة البركان ومستوى االفق اذا علمت ان
نصف قطر االرض 6437kmتقريبا ً مقربا ً الناتج القرب كيلومتر.
21محطة فضائية :تبعد محطة مير الروسية عن مستوى سطح البحر مسافة
390kmتقريباً ،ما المسافة بين هذه المحطة واالفق ،مقربا ً الناتج الى اقرب
كيلومتر.علما ً ان نصف قطر االرض 6437kmتقريباً.
ـر
فَ ِّك ْ
A
22تح ِد :استعمل مبرهنة المماسين وجد طول ABفي الدائرة المجاورة.
1
4x -
O
B
C
6y
23حس عددي :اذا كانت الزاويتان COB,AOBمتطابقين ،جد طول
CBفي الدائرة المجاورة.
11
2x +
B
8
8y -
C
O
A
أكتب
الخطوات الالزمة لتجد قياس زاوية ABCفي الرسم
المجاور اذا علمت ان BOينصف الزاوية AOCوالتي
قياسها يساوي. 140c
A
O
140c
C
127
?
B
الدرس
ُ
[]5-5
المثلث والدائرة ،القطع المستقيمة والدائرة
Triangle and Circle and Line Segments and Circle
فكرةُ الدرس
تعلم
• استعم ُل خصائص المحاور ومنصفات
C
في 3ABCالمجاور يتقاطع محور BCومحور
الزوايا الرسم الدائرة المحيطة والدائرة ABفي .O
المحاطة في مثلث.
OB = OCالن Oتقع على محور BC
• اجد اطوال القطع المستقيمة يحددها قاطعان
` OA = OC
وبالتالي Oتقع على محور ACاي ان محور
على دائرة.
ACيمر في O
المفردات
a OA = OB = OC
• الدائرة المحيطة.
نستطيع ان نرسم دائرة مركزها Oوتمر في
• الدائرة المحاطة.
رؤوس المثلث .ABC
[ ]5-5-1المثلث والدائرة
O
B
A
Triangle and Circle
تعرفنا سابقا ً في الدرس ( )2الى مبرهنة (القطعة المستقيمة المتوسطة للمثلث):
[تتقاطع محاور االضالع الثالثة للمثلث في نقطة واحدة] .ومنها نستطيع ان نرسم الدائرة
المحيطة بالمثلث .الدائرة المحيطة (الدائرة الخارجية للمثلث) :لكل مثلث دائرة واحدة تحيط
به مركزها نقطة تقاطع المحاور الثالثة.
المحاور :هي االعمدة المقامة على اضالع مثلث من منتصفاتها تلتقي بنقطة واحدة ()O
تكون متساوية البعد عن رؤوسه وهذه النقطة هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث.
مثال ( )1جد نقطة تقاطع محاور المثلث ABCكما في الشكل المجاور وارسم الدائرة المحيطة به.
محور ABيمر في منتصف ABويوازي BC
محور BCيمر في منتصف BCويوازي AB
A
` المحاور الثالثة تلتقي في منتصف ACوالتي تمثل مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.
C
O
B
باالمكان االستفادة من مبرهنة منصفات زوايا المثلث لرسم الدائرة المحاطة بمثلث (الدائرة الداخلية للمثلث)
تتقاطع منصفات زوايا المثلث في نقطة واحدة. نقطة تقاطع منصفات الزوايا تقع على المسافة نفسها من االضالع الثالثة.في كل مثلث توجد دائرة داخل المثلث مماسة الضالعه الثالثة وتسمى الدائرة المحاطة.
OL = OK = OM
مثال ()2
L
O
C
M
A
K
الدائرة التي مركزها Oمحاطة بالمثلث ABCبرهن ان BOمنصف
+LOKوالمحور . KL
BK=BL
مبرهنة المماسين
OK=OL
نصفا قطري الدائرة
aالمثلثان BOK,BOLمتطابقان (مبرهنة التطابق ض.ض.ض)
m+1 = m+2
من التطابق
BOينصف الزاوية LOK
B
C
K
O
المثلثان KDB,LDBمتطابقان (ض.ز.ض).
D
KL = BO
BOمحور ` KL
128
1
2
L
B
A
[ ]5-5-2القطع المستقيمة والدائرة
Line Segments and Circle
تعلمت في الدرس ( )5-4كيف اجد اطوال اجزاء وتر يتقاطع مع قطر عمودي عليه ،ولكن كيف اجد اطوال اوتار متقاطعة اخرى؟
مبرهنة القاطعين للدائرة
المبرهنة
M
B
اذا قطع مستقيمان متقاطعان دائرة
تشكل على كل منهما قطعتان مستقيمتان،
ناتجا ضرب طوليهما متساويان.
K
A
H
K
A
HB # HA = HM # HK
مثال ( )3جد قيمة xوطول كل وتر.
بالتعويض
طول الوتر AB
طول الوتر MK
H
M
HM # HK = HB # HA
مبرهنة القاطعين في الدائرة
B
K
HM # HK = HB # HA
8#x = 3#2
6 3
x= 8 = 4
AB = AH + HB = 2 + 3 = 5
3
3
MK = MH + HK = 8 + 4 = 8 4
مثال ( )4جد قيمة xوطول كل من . AM, BM
MD # MB = MC # MA
مبرهنة القاطعين في الدائرة
)2 # 9 = 3 # (3 + x
بالتعويض
18 = 9 + 3x
3x = 18 - 9 = 9
طول 6 = AM
،
9
x = 3 =3
،
طول 9 = BM
A
x
H 2
B
3
8
M
A
x
C
3
M
2
D
7
B
يمكن استعمال حاصل ضرب جزئي القاطع مع مبرهنة القاطع والمماس وفي هذه الحالة يكون المماس هو الجزء
الخارجي والكلي للقطعة نفسها.
مبرهنة المماس والقاطع في الدائرة
المبرهنة
من نقطة خارج الدائرة اذا رسم مماسا ً ومستقيما ً قاطعا ً
B
A
لها .فأن ناتج ضرب طولي قطعتي القاطع ،يساوي مربع
C
طول قطعة المماس.
AC # AM = (AB) 2
مثال ()5
M
جد طول قطعة المماس . AB
مبرهنة المماس والقاطع في الدائرة
بالتعويض
طول قطعة المماس AB
B
A
AC # AM = (AB) 2
4 # 8 = 32
` AB = 4 2
129
4
C
4
M
A
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
1المثلث ABCمتساوي الساقين N ، AB = ACمنتصف KA , KC, BCبرهن
K
ان Kهي نقطة تقاطع محاور المثلث . ABCثم ارسم الدائرة المحيطة به.
C
االسئلة 1-2مشابهة
للمثال 1
ABC 2مثلث منتظم ،طول ضلعه 12cmحدِّد نقطة تقاطع محاوره ثم ارسم الدائرة
المحيطة به وجد طول قطرها.
االسئلة 3-5مشابهة
للمثالين 3,4
جد قيمة xوطول كل قطعة مجهولة لكل مما يأتي:
x
5
12
جد قيمة xوطول . AB
7
6
B
B
A
A
x
x+1
2
4x
4
4
9
x B
4
A
x
B
5
5
N
B
x
A
3
8
االسئلة 6,7مشابهة
للمثال 5
B
6
12
A
4
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
متساو الساقين وطول كل من ساقيه ، 6cmارسم الدائرة التي يحيط بها المثلث ABCوجد
ABC 8مثلث قائم
ِ
مساحة الدائرة.
متساو الساقين وتره BCحدِّد نقطة تقاطع محاور هذا المثلث وارسم الدائرة المحيطة به.
ABC 9مثلث قائم
ِ
جد قيمة xوطول القطع المستقيمة المجهولة لكل مما يأتي:
A
2
B
A
3
x
3
C
D
B
x
6
5
x+3
C
3
11
4
A
B
13
6
C
D
9
x
B
C
130
10
3
A
12
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
A
C
14بناء :يرتكز جسر على قوس دائرة كما مبين في الشكل المقابل،
D
B
DCما قطر الدائرة؟
DC=150m , AB
ABAمحورAB=60m DC
8200km
15فضاء :قمر صناعي يدور حول االرض على ارتفاع 8200kmاذا كان قطر االرض
12800kmتقريباً ،ما المسافة التي تفصل القمر الصناعي عن النقطة Bفي الشكل
12800km
B
المجاور.
A3
cm
16هندسة :في الشكل المجاور ،جد محيط المثلث .ABC
5cm
C
B
7cm
ـر
فَ ِّك ْ
4
x
17اكتشف الخطأ :فيما يلي حالن اليجاد قيمة xفي الشكل المقابل ،ايهما الحل الخطأ؟
برر اجابتك.
مبرهنة المماس والقاطع
i) 4 # 6 = x 2
24 = x 2 & x = 2 6
ii) x 2 = 40 & x = 2 10
18تح ٍد :في الشكل المقابل AB = 10وهو مماس للدائرة ،جد قيمة .x
2
C
19مسألة مفتوحة :في الشكل المجاور دائرة مركزها AC, BC, BD O
مماسات للدائرة ،جد طول القطعة .BC
أكتب
10
15
D
13
O
E
مسألة تستعمل فيها المحاور ومنصفات الزوايا لمثلث في رسم دائرة محيطة به.
131
A
A
10
B
B
x
6
C
الدرس
ُ
[]5-6
الزوايا والدائرة
فكرةُ الدرس
• اجد قياس الزوايا المحيطية
والمماسية.
• ايجاد قياسات زوايا تتقاطع
اضالعها مع دائرة.
المفردات
Angles and Circle
يستعمل المفك كأداة لتثبيت البراغي او فتحها
والفجوة في هذه االداة تأخذ شكالً سداسيا ً داخل
اسطوانة معدنية.
تكون زاوية
وكل زاوية في الشكل السداسي ِّ
محيطية داخل الدائرة.
• الزاوية المحيطية.
• الزاوية المماسية.
[ ]5-6-1الزاوية المحيطية
Inscribed Angle
درست سابقا ً تعريف القوس بداللة الزاوية المركزية وكيفية قياس القوس وفي هذا الدرس سنتعرف الى:
الزاوية المحيطية :وهي الزاوية التي رأسها نقطة من نقاط الدائرة وضلعاها وتران في الدائرة .
وكذلك سنتعرف الى كيفية قياسها باستعمال القوس المواجه لها بواسطة المبرهنات التالية وهي من دون برهان.
مبرهنة الزوايا المحيطية
قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المواجه لها.
1 %
m+B = 2 m AC
B
A
C
B
مثال ( )1جد قياس الزوايا المحيطية التالية في الشكل المجاور.
i) +D
ii) +BAD
%
( 1
مبرهنة الزوايا المحيطية m+D = 2 m ECA m+BAD = 1 m BD
2
%
140
= 2 = 70 m+BED = 1 m BD
2
m+D = 70c
بالتعويض
` m+BED = m+BAD = 30c
مبرهنة الزوايا المحيطية المواجهة للقوس نفسه
كل الزوايا المحيطية التي تواجه قوسا ً مشتركا ً على الدائرة
تتطابق.
$
m+A , m+B , m+C , m+D = m EF
هناك حالة خاصة للزاوية المحيطية عندما تكون زاوية قائمة:
•كل زاوية محيطية تواجه نصف دائرة تكون قائمة.
•كل زاوية محيطية تواجه قطراً تكون قائمة.
•كل زاوية محيطية قائمة تواجه قطراً.
%
m+A = 90c & m BC = 90
132
D
c
30
A
.
C
E
F
E
140
A
B
C
D
A
C
B
مثال ( )2دائرة قطرها KHتقطع HLفي Nوتقطع KLفي ،Mكما في الشكل
المجاور ،برهن ان KNو HMارتفاعات في المثلث .HKL
a m+HNK
زاوية محيطية تواجه القطر KH
` m+HNK = 90c
قائمة
KNارتفاع في المثلث HKL
زاوية محيطية تواجه القطر KH
قائمة
HMارتفاع في المثلث HKL
H
N
L
K
M
a m+HMK
` m+HMK = 90c
[ ]5-6-2الزاوية المماسية
Tangential Angle
الزاوية المماسية :هي الزواية التي يشكلها مماس الدائرة مع مستقيم اخر يمر في نقطة التماس (وتر للدائرة).
مبرهنة الزوايا المماسية
اذا تقاطع مماس الدائرة مع مستقيم يمر في نقطة التماس يكون قياس
الزاوية بينهما نصف قياس القوس المقتطع.
) 1
m+A = 2 m ADC
C
A
D.
.D
B
B
مثال ( )3باستعمال مبرهنة الزوايا المماسية والشكل المجاور جد قياس كل مما يأتي:
%
i) +BAC
ii) NC
1 %
1 %
B
مبرهنة الزوايا المماسية m+BAC = 2 m CA m+CNM = 2 m CN
1 %
144
82
c
=
بالتعويض
= 2 = 72
2 m CN
%
` m CN = 164
` m+BAC = 72c
[ ]5-6-3الزوايا الداخلية والخارجية في الدائرة
C
A
C
14
4
82c
A
N
M
Internal and External Angels in the Circle
مبرهنة الزاوية الخارجية في دائرة
اذا تقاطع مستقيمان خارج دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف
الفرق بين قياس القوسين المقتطعين.
%
&
1
)m+D = 2 (m AB - m KN
A
B
K
N
D
مثال ( )4جد قياس الزاوية الخارجية xفي كل مما ياتي:
باستعمال مبرهنة الزاوية الخارجية في الدائرة وبالتعويض ) iiباستعمال مبرهنة الزاوية الخارجية في الدائرة وبالتعويض )i
)
عن قيمة االقواس في الرسم نجد قياس زاوية .x
عن قيمة KANبـ 360cنجد قياس زاوية .x
)
m
KAN = 360 - 130 = 230
%
&
1
A
)
&
m
x
=
(m
AB
m
)KN
+
K
1
A
2
K
)m+x = 2 (m KAN - m KN
x
172c
90c
1
130c
x
)= 2 (172 - 90
1
N
)= 2 (230 - 130
B
82c
N
` m+x = 2 = 41c
100c
` m+x = 2 = 50c
133
مبرهنة الزاوية الداخلية في دائرة
اذا تقاطع مستقيمان داخل دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف
مجموع قياس القوسين المقتطعين.
%
%
1
)m+CMK = 2 (m CK + m AB
A
C
M
K
B
A
مثال ( )5جد قياس +ADBمستعمالً مبرهنة الزاوية الداخلية في الدائرة.
&
%
1
مبرهنة الزاوية الداخلية في دائرة
)m+ADB = 2 (m KN + m AB
1
)= 2 (102 + 44
بالتعويض
146c
` m+ADB = 2 = 73c
B
44c
D
K
N
102c
يمكن ايجاد دائرة تمر في الرؤوس االربعة لرباعي ويسمى هذا الرباعي بالرباعي الدائري.
مبرهنة الرباعي الدائري
في كل رباعي دائري مجموع قياس كل زاويتين متقابلتين يساوي 180c
B
m+A + m+C = 180c
m+B + m+D = 180c
a a + 81c = 180c
` a = 180c - 81c = 99c
a x + 2x = 180c & 3x = 180c
` x = 60c
جد قياس ك ّل م ّما يأتي:
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
B
25c
االسئلة 1-5مشابهة
للمثال 1
A
40c
N
االسئلة 10,7,6
مشابهة للمثال 2
B
25
6c
52c
M
m+ABC
2
m+ACB
%
m BN
4
5
m+MNB
7
%
m BN
9
81c
2x
a
x
A
%
m BE
E
B
1
3
m+CAB
80c
60c
D
C
C
B
m +CKA
55c
االسئلة 8,9مشابهة
للمثال 3
C
D
C
مثال ( )6جد قيمة x, aفي الشكل المجاور:
مبرهنة الرباعي الدائري
مبرهنة الرباعي الدائري
A
K
6
m+CBA
8
A
N
10اذا علمت ان Mمركز الدائرة 1و MKهو قطر الدائرة ،2برهن ان KBو KA
مماسان للدائرة .1
A
M
K
2
134
B
1
جد قياس كل مما يأتي:
"
االسئلة 11,12
مشابهة لالمثلة 4,5,6
على الترتيب
11 m+KNA
12 m X
K
25c
B
20c
X
C
204
c
30
N
A
ت
ْ
جد قياس كل مما يأتي:
تدرب وح ّل التمرينا ِ
14 m+x
15 m+x, m+y
13 m+HBC
140
x
K
x
116c
y
B
H
180
92c
35
A
C
102
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
A
B
16زجاج :رسم احد الفنانين الرسم المجاور على زجاج ،جد قياس +ADEاذا علمت
%
ان +BCE = 30cوقياس . AB = 42
C
E
G
F
A
17فضاء :قمر صناعي يدور حول االرض عندما يصل النقطة Mيكون على ارتفاع
14000kmفوق االرض ،ما قياس القوس الذي يمكن رؤيته من كاميرا القمر
D
M
Xc
32c
الصناعي على االرض؟
D
B
ـر
فَ ِّك ْ
A
x
E
0
13
؟
+2
)0
أكتب
B
O
(2x
18أكتشف الخطأ :كتب سعيد
m +CAB
160c
2 = 80c
B
بين الخطأ وجد الجواب
الصحيح
19حس عددي :جد قيمة الزوايا المجهولة:
C
C
؟
A
D
مبرهنات الزوايا الداخلية والخارجية لتقارن بين الزاويتين. x ,y
y A
135
B
E
x
D
C
اختبار الف�صل
Chapter Test
3c
m
1جد مساحة ومحيط مضلع منتظم اذا اعطيت المعلومات في الشكل المجاور.
cm
.11
5
2جد المساحة السطحية والحجم للمخروط اذا علمت ان مساحة قاعدته 9rcm 2وارتفاعه
الجانبي .5cm
.
A
10m
K
.
C
3المثلثان ABC,KLMمتشابهان ،مساحة المثلث ABCتساوي 24m2
ما مساحة المثلث KLM؟
B
15m
M
4بيِّن ان المثلثين ABC, FBDفي الشكل المجاور متشابهان ،حيث ان:
L
A
، AC ' FDوجد قيمة .x
E
F
4
x-2
B
5جد قياس الزوايا المجهولة في االشكال اآلتية:
2c
d
3d
c
D
6
12
)ii
)i
101c
96c
c
d
6جد قيمة xفي كل مما يأتي:
73
)ii
x
)i
35c
40
152
x
)iv
8
10
160
108
x
x
A
جد قياس الزوايا واالقواس المجهولة في الشكل المجاور.
%
i) m+AOC
ii) m DC
%
iii) m DB
iv) m+DOA
O
35c
D
136
20c
c
C
20c
35
7
C
B
E
)iii
الفصلُ
6
االحصاء واالحتماالت
Statistics and Probabilities
الدرس 6-1
ضللة
الدرس 6-2البيانات واالحصاءات الم ّ
الدرس 6-3التباديل و التوافيق
الدرس 6-4االحتمال التجريبي واالحتمال النظري
الدرس 6-5االحداث المركبة
تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها
تتحقق مصانع السيارات عادة قبل طرح انتاجها في االسواق من عدة أمور لضمان الجودة ،منها متانة محرك السيارة،
جودة كهربائيات السيارة ،االلوان واالمور التصميمية كمصابيح السيارة وغير ذلك.
137
االختبا ُر القبل ّي
Pretest
جد الوسط الحسابي و الوسيط و المنوال والمدى لكل مما يأتي :
9,6,8,5,5,8,7,6,9,7
1
20,17,42,26,27,12,13
2
8,7,5,8,2,8,9,1,4,3,3,5
3
4مثّل البيانات التالية بالنقاط ثم جد الوسط الحسابي والوسيط و المنوال والمدى:
0,2,5,3,1,4,5,3,4,3
اكتب كل كسر كنسبة مئوية:
3
27
25
100
9
8
13
7
20
6
1
4
صندوق فيه 5كرات حمر 3 ،كرات بيض ،جد احتمال سحب.
)iكرة حمراء واحدة.
)iiكرة بيضاء بعد اعادة الكرة الحمراء الى الصندوق.
)iiiكرة بيضاء في حالة عدم اعادة الكرة الحمراء الى الصندوق.
a, b 10حدثان متتامان ،جد:
2
P (a) )iاذا كان P (b) = 7
P (a), P (b) )iiاذا كان ) P (aثالثة امثال ). P (b
حدّد ان كان الحدثان مستقلين او مترابطين .
11ظهور كتابة بعد رمي قطعة نقود و ظهور الصورة بعد الرمية الثانية.
12سحب كرة صفراء ،ثم كرة الحمراء من دون اعادة ،من كيس فيه 3كرات صفر 5 ،كرات حمر.
13ظهور العدد 5بعد رمي حجر النرد وظهور العدد 6بعد رمية النرد الثانية.
14سحب بطاقة عليها اسم جمانة من كيس من دون اعادتها ،ثم سحب بطاقة عليها اسم سالي من الكيس نفسه.
15وقوف مؤشر القرص على العدد ،3وظهور العدد 3عند رمي حجر النرد مرة واحدة.
16ثالث بطاقات تحمل االحرف A B Cبكم طريقة يمكن ترتيب البطاقات على خط مستقيم.
138
5
الدرس
ُ
[]6-1
تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها
Design a Survey Study and Analysis its Results
فكرةُ الدرس
• تصميم دراسة مسحية
• تحليل النتائج
المفردات
• دراسة مسحية
• المجتمع
• العينة
تعلم
يعد معمل النجف لصناعة البدالت الرجالية
من الصروح المهمة في الصناعة الوطنية
حيث يحرص المعنيون على تحقيق امور
لضمان جودة المنتج .وذلك من خالل فحص
نوع القماش ،وااللوان والتصاميم الحديثة و
غيرها .ان فحص كل المنتج ستكون عملية
غير منطقية لذا يفحص عدد محدود من تلك
البدالت بدالً من ذلك .ليستنتج ان المنتج قد
يحتاج الى تطوير.
[ ]6-1-1تصميم دراسة مسحية
Design a Survey Study
العينة :هي مجموعة جزئية من المجتمع .ومن خالل تحليل نتائج العينة يمكن التوصل الى استنتاجات حول المجتمع
كامالً .تكون االستنتاجات اكثر تمثيال للمجتمع في اي من الحالتين:
•
حجم العينة اكبر.
•
استعمال عينات اكثر.
ولنوع العينة تاثير في االستنتاجات التي يتوصل اليها وهي على نوعين:
العينة المتحيزة :اذا كان لكل فرد منها االحتمال نفسه في االختيار.
العينة غير المتحيزة :اذا كان الفرادها احتماالت مختلفة في االختيار.
مثال ()1
وزع مدير مدرسة 100ورقة استبانة على طالب مدرسته للتعرف الى جودة المواد الغذائية في
حانوت المدرسة.
(iحدِّد العينة والمجتمع الذي اختير منه.
(iiصف اسلوب جمع البيانات الذي استعمله المدير.
(iiiحدِّد ما اذا كانت العينة متحيزة ام غير متحيزة.
(iالعينة :الطالب الذين تسلموا االستبيانات وعددهم 100طالب
المجتمع :جميع طالب المدرسة
(iiاسلوب جمع البيانات هو دراسة مسحية ،اذ تؤخذ البيانات من اجابات افراد العينة نحو االستبانة
(iiiالعينة غير متحيزة :الن هذه العينة تتكون من طالب اختيروا عشوائيا ً
139
مثال ()2
يريد صاحب متجر ان يقدم هدية لكل زبون يتسوق من متجره .فوقف عند باب المتجر وسأل 20
متسوقا ً عن نوع الهدية التي يود ان تُقدم له.
)iحدِّد العينة و المجتمع الذي اختاره صاحب المتجر .
)iiصف اسلوب جمع البيانات الذي استعمله صاحب المتجر.
)iiiحدِّد ما اذا كانت العينة متحيزة ام غير متحيزة.
)iالعينة :المتسوقون الذين سألوا وعددهم 20متسوقاً.
المجتمع :المتسوقون الذين دخلوا المتجر.
)iiاسلوب جمع البيانات هو دراسة مسحية ،اذ تؤخذ االجابات من افراد العينة المختارة .
)iiiالعينة غير متحيزة ،الن االشخاص الذين دخلوا المتجر اختيروا عشوائياً.
مثال ()3
سئل 10اشخاص دخلوا مطعم كباب عن االكالت التي يفضلونها.
ُ
)iحدِّد العينة والمجتمع الذي اختاره صاحب المطعم.
)iiصف اسلوب جمع البيانات الذي استعمله صاحب المطعم.
)iiiحدِّد اذا كانت العينة متحيزة ام غير متحيزة.
)iالعينة :االشخاص العشرة الذين دخلوا المطعم.
المجتمع :جميع االشخاص الذين دخلوا المطعم.
)iiاسلوب جمع البيانات هو دراسة مسحية اذ تؤخذ االجابات من افراد العينة المختارة.
)iiiالعينة متحيزة ،الن االكلة المفضلة لالشخاص الموجودين في مطعم الكباب هي الكباب.
[ ]6-1-2تحليل النتائج
Analysis of the Results
بعد جمع البيانات من خالل الدراسة المسحية تلخص البيانات كي تكون ذات معنى وذلك عن طريق استعمال مقاييس
النزعة المركزية (الوسط الحسابي ،الوسيط ،المنوال) والتي ُدرست سابقاً ،بطرائق مختلفة واختيار المقياس األنسب
لتمثيل البيانات.
النوع
الوسط الحسابي
الوسيط
متى يفضل استعماله
عندما التوجد قيم متطرفة في مجموعة البيانات.
عندما توجد قيم متطرفة في مجموعة البيانات ،ولكن التوجد فجوات كبيرة
المنوال
في وسط البيانات.
عندما يوجد اعداد متكررة في مجموعة البيانات.
140
مثال ( )4اي مقاييس النزعة المركزية (ان وجدت) هو األنسب لوصف البيانات في كل مما يأتي:
)iالبيانات المجاورة تبين اوزان 10صناديق بالكيلو غرام 3, 2,3,6,5,5,21,4,3,5 :
الوسط الحسابي :غير مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة كبيرة متطرفة هي 21 :تؤثر في قيمة الوسط الحسابي.
المنوال :غير مناسب لتمثيل البيانات لوجود اكثر من منوال هما 3,5 :
الوسيط :هو المقياس األنسب لتمثيل هذه البيانات لعدم وجود فجوة كبيرة في وسط البيانات 2,3,3,3,4,5,5,5,6,21
)iiحصل محمد على الدرجات التالية في خمسة اختيارات في مادة الرياضيات 90,93,85,86,91 :
445
90+93+85+86+91
= 89
=
الوسط الحسابي
5
5
الوسط الحسابي 89 :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لعدم وجود قيمة متطرفة.
الوسيط 90 :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات النه يتوسط البيانات وال يوجد فجوة كبيرة في وسط البيانات
لذا كالهما مقياس مناسب لتمثيل البيانات.
المنوال :ال يوجد لعدم وجود تكرار في البيانات.
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
حدِّد العينة و المجتمع ثم صف اسلوب جمع البيانات وميِّز العينة المتحيزة عن
سر اجابتك:
العينة غير متحيزة في كل مما يلي ،ف ِّ
1دخل 30شخص مكتبة عامة وسئل كل سادس شخص يدخل المكتبة عن هوايته المفضلة.
2وزعت 100استبانة على مجموعة من عمال احد المصانع تتضمن سؤاالً حول ظروف العمل في المعمل.
3وزعت الحيوانات في احدى حدائق الحيوانات ،ثم اختير حيوان من كل مجموعة بصورة عشوائية الجراء
فحوصات علية.
سر اجابتك .
اي مقاييس النزعة المركزية (ان وجدت ) هو األنسب لوصف البيانات التالية ؟ ف ِّ
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
8 , 10 , 14 , 8 , 13 ,6
4
8 , 10 , 8, 9, 11, 4, 6, 54
5
8, 9, 8, 6, 10, 9 ,11, 13, 14, 8, 6, 7, 19
6
حدِّد العينة والمجتمع ثم صف اسلوب جمع البيانات وميِّز العينة المتحيزة من
سر اجابتك.
العينة غير متحيزة في كل مما يلي ،ف ِّ
7يريد صاحب معمل التحقق من ان العمال يعملون بشكل جيد ،فراقب احد العمال مدة ساعتين.
8يقف عدد من الطالبات عند مدخل المدرسة ويسألن كل عاشر طالبة تدخل المدرسة عن هوايتها المفضلة.
سر اجابتك.
اي مقياس النزعة المركزية (ان وجدت ) هو األنسب لتمثيل البيانات التالية ؟ ف ِّ
34,47,41,49,39,26,40
9
6,2,4,4,3,2,6,2,4,4,20
10
5,3,5,8,5,3,6,7,4,5
11
141
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
مستشفى :يعد مستشفى مدينة الطب مجمعا ً طبيا ً متكامالً ،يقدم خدمات للمواطنين
في بغداد و المحافظات ،في ندوة تعريفية يتم اختيار طبيب من كل قسم عشوائيا ً
ليقدم نبذة عن خدمات قسمه في المستشفى.
12صف العينة و المجتمع.
13هل العينة متحيزة ام ال ؟ فسِّر ذلك.
14تسوق :يبيّن الجدول ادناه عدد الزبائن الذين يرتادون محل لبيع االجهزة الكهربائية في كل ساعة في احد االيام .
أي مقاييس النزعة المركزية هو األنسب لوصف البيانات.
عدد الزبائن
86
86
70
86
71
32
69
81
86
79
82
86
79
88
71
85
15تغذية :يبيّن الجدول ادناه السعرات الحرارية لبعض الخضروات في طبق لكل نوع ،اي مقاييس النزعة
المركزية هو األنسب لوصف البيانات.
الخضروات
بصل
فلفل
ملفوف
جزر
السعرات
16
20
17
28
الخضروات
خيار
ذره
سبانخ
كوسا
السعرات
13
66
9
17
ـر
فَ ِّك ْ
16تح ًّد :اوجد مجموعة من االعداد يكون وسيطها اصغر من وسطها الحسابي.
17أُصحِّ ُح الخطأ :تقول سناريا ان الوسط الحسابي هو انسب مقاييس النزعة المركزية لتمثيل البيانات
20,8,4,5,3حدد خطأ سناريا وصححه .
18
حس عددي :في دراسة مسحية حول الدوام في مدرسة ثانوية ،وزعت استبانة على 50طالباً ،فكانت
نسبة 74٪من الطالب يفضلون الدوام الصباحي .هل هذه الدراسة موثوق بها؟ بيِّن ذلك.
كتب
اُ ْ
سؤاالً عن معنى تريد اجابته من خالل دراسة مسحية.
142
الدرس
ُ
[]6-2
ضللة
البيانات واإلحصاءات الم ّ
Data and Misleading Statistic
تعلم
فكرةُ الدرس
• تميز البيانات المضّللة
• تميز اإلحصاءات المضّللة
المفردات
غالبا ً ما نالحظ على واجهات المحال
التجارية اعالنات تنزيالت نهاية
الموسم لسلع معينة تُرغب الناظر من
دخول المحل والتبضع منه.
• البيانات المضّللة
• اإلحصاءات المضّللة
[ ]6-2-1تمييز البيانات المضلّلة
Discrimination Misleading Data
البيانات المضّللة :هي البيانات التي تبرز صفة معينة لسلعة على نحو مبالغ فيه وعرض الحقائق بشكل
يولد لدى الناظر انطباعا ً يروق لصاحب االعالن وتضلل المستهلك.
مثال ()1
يفكر صاحب مصنع تطبيق نظام جديد
في العمل ،فوزع استبانة على العمال يسألهم عن رأيهم
في النظام الجديد.
هل التمثيل باالعمدة المجاور يعطي الصورة الصحيحة
حول نتائج االستبانة؟
يبدو للوهلة االولى ان معظم العمال موافقون على
تطبيق النظام الجديد ،مع العلم ان اطوال المدة الزمنية
للتدريج غير ثابتة.
الحظ ان 450 :عامل غير موافقين او غير موافقين جداً على هذا النظام الجديد ،في حين ان عدد الموافقين
يزيد قليالً على 300عامل فقط ،وعليه فأن التمثيل البياني المعروض مضلّل ،واالستنتاج غير صادق.
مالحظة( :الرسم البياني قد يكون مضلّالً ،بإطالة او تقصير الفترات بين قيم البيانات ،وذلك العطاء
انطباع معين).
143
الرسم البياني المجاور يوضح العالقة بين طولي القرش البيضاء الكبيرة وطول سمكة القرش ماكو.
مثال ()2
بيِّن هل الرسم البياني مضلّل؟ وضح ذلك.
من الشكل المجاور ،نالحظ ان طول العمود العلوي ضعف طول
ولكن القيمة المناظرة لطول العمود العلوي هي 4.9والقيمة
المناظرة لطول العمود السفلي هي 4وبالتأكيد قيمة 4.9ليست
نوع االسماك
العمود السفلي.
ضعف ،4وعليه الرسم البياني المجاور مضلّل.
مالحظة( :عندما يبدأ الرسم البياني من الصفر ،يصبح الرسم غير مضلّل).
[ ]6-2-2تمييز اإلحصاءات المضلّلة
Discrimination Misleading Statistics
اإلحصاءات المضلّلة :باالضافة الى الرسوم المضلّلة تستعمل اإلحصاءات المضلّلة بهدف الترويج لشركة او
بضاعة معينة ،بانعام النظر جيداً في معطيات االعالن يمكن تمييز اإلحصاءات المضلّلة.
مثال ()3
وضع صاحب محل للمالبس الرجالية االعالن اآلتي:
(بدالت رجالية جديدة متوسط السعر 45الف دينار)
في المحل 5نماذج من البدالت اسعارها باالالف:
54, 50, 20, 48, 53
54 + 50 + 20 + 48 + 53
= 45
5
الحظ ان متوسط اسعار البدالت الخمس 45الف دينار ،اال ان بدلة واحدة فقط سعرها 20الف دينار.
حيث يقل سعرها عن هذا المتوسط .وهذا يجعل الزبون يدفع اكثر من هذا السعر ثمنا ً للبدلة.
مثال ()4
في استطالع على 800طالب اعدادية ،افاد 70منهم انهم
يرغبون دخول كلية الهندسة فيما قال 50منهم ،بانهم يرغبون في دخول كلية
الطب ،جاء في نتائج االستطالع ان الطالب يفضلون الهندسة على الطب.
ان مجموع الطالب الذين شملهم االستطالع فعالً هو )50+70(=120طالبا ً
من اصل 800طالب ،اي ان العينة العشوائية كانت صغيرة جداً
120
النسبة المئوية للطالب الذين شملهم االستطالع تساوي
800 # 100
وتساوي .15٪
144
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
وضح كيف يمكن ان يُولّد كل من الرسمين البيانيين التاليين انطباعا ً مضلّالً :
2
1
سر لماذا اإلحصاءات التالية مضلّلة:
ف ِّ
ك صرح صاحب المقال:
ُ 3عرض مقال على 20شخصا ً لتقويمه ،أبدى 13منهم اعجابهم بالمقال ،بنا ًء على ذل َ
بأن المقال صالح للنشر الن نسبة الذين فضلوه كانت 13الى .7
باع مخزن مالبس رياضية لمدة زمنية معينة 320بدلة رياضية ،في حين باع مخزن لبيع االلعاب والمالبس
4
الرياضية وللمدة نفسها 90بدلة رياضية.
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
وضح كيف يمكن ان يولد كل من الرسمين البيانيين التاليين انطباعا ً مضلّالً.
= 100
6
5
= 50
= 20
7في استطالع شمل 6اشخاص حول مطالعة جريدة يومية ،افاد 4منهم انهم يفضلون الجريدة ( ) Xفي نهاية
االستطالع وردت الجملة اآلتية:
يفضل 2من كل 3اشخاص مطالعة الجريدة ( ) Xلماذا يُعد هذا االعالن مضلّالً؟
8سئل 100طالب عن الطريقة التي يفضلونها في القدوم الى المدرسة ،فكانت إجابات 60طالبا ً منهم على النحو
اآلتي 32 :منهم يفضلون القدوم بواسطة سيارة االجرة و 18يفضلون المشي و 10طالب يفضلون القدوم
بسياراتهم الخاصة .أستنتج ان نصف الطالب يفضلون سيارة األجرة .فسِّر لماذا اإلحصاءات مضّللة؟
145
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
9
االحياء :الرسم البياني المجاور يمثل القدرة على كتم النفس لفرس
النهر وثعلب المياه.
لماذا البيانات في الرسم مضلّلة؟ وضح ذلك.
10مطالعة :الرسم المجاور يمثل اشخاص يفضلون مطالعة الكتب
االدبية ،العلمية ،الفنية.
فسِّر لماذا البيانات في الرسم مضّللة؟
عدد االشخاص
12
8
6
0
11مواصالت :بلغت ارباح شركة الطيران Aفي شهري تموز وآب
5500مليون دينار ،في حين كانت ارباح شركة الطيران Bفي
شهري نيسان ومايس 7500مليون دينار.
فسِّر لماذا اإلحصاءات مضلّلة؟
12تغذية :تحتوي قصبة البروكلي على 477mgمن البوتاسيوم والجزرة
الكبيرة 230mgمن البوتاسيوم في حين يحتوي رأس القرنبيط على
803mgمن البوتاسيوم .فسِّر لماذا اإلحصاءات هذه مضلّلة؟
ـر
فَ ِّك ْ
13اكتشف الخطأ :يقول محمد ان الرسم يكون غير مضلّل اذا بدأ رسم االعمدة من الصفر بصرف النظر عن
ثبوت طول الفترات .اكتشف خطأ محمد.
14
15
حس عددي :حصل احد الباعة على العموالت التالية باالالف الدنانير:
شباط ،965اذار ،170نيسان ،120تموز ،125مايس .100
اخبر اصدقاؤه ان متوسط عمولته الشهرية 265الف دينار .فسِّر لماذا هذا االحصاء مضلّل؟
ما الذي يجب ان تتأكد منه لتقرر ما اذا كان الرسم البياني مضلّالً ام ال؟
كتب
اُ ْ
سؤال من الحياة اليومية تحتاج اليه لعمل رسوم مضلّلة.
146
الدرس
ُ
][6-3
Permutations and Combinations
التباديل والتوافيق
فكرةُ الدرس
• تعرف مضروب العدد
الصحيح غير السالب.
• تعرف مفهوم التباديل.
• تعرف مفهوم التوافيق.
المفردات
• مضروب العدد.
• التباديل.
• التوافيق.
• فضاء العينة .
تعلم
دخل 4اشخاص الى غرفة تحتوي على
4كراسي في صف واحد وطلب منهم
الجلوس على تلك الكراسي.
فكم طريقة يمكن ان يجلسون؟
[ ]6-3-1المضروب
Factorial
اذا كان nعدداً صحيحا ً غير سالب فأن :مضروب العدد nيرمز له ! nويعرف بالعالقة اآلتية:
n! = n(n-1)(n-2)... (3)(2)(1), n ! Z+
وان1! = 1, 0! = 1 :
مثال ()1
دخل 4اشخاص الى غرفة تحتوي صفا ً من 4كراسي وطلب اليهم الجلوس على تلك الكراسي .كم
طريقة يمكن ان يجلسون؟
* الشخص االول الذي دخل الى الغرفة يمكن ان يجلس على اي كرسي ،اي له 4 :اختيارات.
* الشخص الثاني يحق له ان يجلس على اي كرسي من الثالثة الباقية ،اي له 3 :اختيارات.
* الشخص الثالث يحق له ان يجلس على اي كرسي من الكرسيين الباقيين ،اي له 2 :اختيار.
* اما الشخص الرابع فانه حتما ً سيجلس على الكرسي االخير ،اي له 1 :اختيار.
اذن عدد طرق الجلوس الممكنة تساوي4 # 3 # 2 # 1 = 24 :
الحظ انك حصلت على النتيجة السابقة بضرب اعداد متتالية تبدأ من العدد ( )4وتتناقص حتى تصل الى العدد (.)1
تسمى مثل هذه الصورة مضروب العدد ( )4ويرمز لها بالرمز !4
مثال ()2
جد قيمة كل مما يأتي:
!i) 5
!ii) 4! - 2! iii) 7
!iv) 3! # 2
! v) ^ 6 - 2 h
!vi) 6
!5
3#6
!0
)i) 5! = (5)(4)(3)(2)(1
)ii) 4! - 2! = (4)(3)(2)(1) - (2)(1
= 120
= 24 - 2 = 22
)7! (7) (6) (5) (4) (3) (2) (1
)iii) iv
))3! # 2! = ((3) (2) (1)) ((2) (1
= !5
)(5) (4) (3) (2) (1
= (6) (2) = 12
= (7) (6) = 42
!^ 6 - 2 h
^ 4! h ^ 4 h^ 3 h^ 2 h^ 1 h
)(6) (5) (4) (3) (2) (1
= !vi) 6
= 40
=
=
=
24
3#6
3#6
1
!0
!0
147
)v
[ ]6-3-2التباديل
Permutations
كم زوج مرتب يمكن تكوينه من االحرف a, b, c؟ باستعمال قاعدة الشجرة
a
a
a
b
c
)(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b
c
b
هناك ستة ازواج مرتبة وهذا يعطي فكرة مبسطة عن التباديل التي سندرسها الحقاً.
n
عدد التباديل لعناصر عددها nمأخوذة rفي كل مرة هو ناتج قسمة ! nعلى !( ،)n-rيرمز للتباديل بالرمز P rاو
P ^ n, r hحيث
!n
; ! )P rn = (n - r
0#r#n
الحظ ان !P 0n = 1, P 1n = n, P nn = n
b
c
&
مثال ()3
جد قيمة كل مما يأتي:
iv) P 010
او بطريقة ابسط بجعل )!7! = (7) (6) (5
ii) P 33
i) P 27
!7
)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1
= != 7
= 42
!(7- 2)! 5
)(5)(4)(3)(2)(1
= i) P72
)!(7) (6) (5
= (7) (6) = 42
!5
الفرع iv,iii,iiمن تطبيق المالحظة مباشرة iv) P100 = 1
مثال ()4
iii) P19 = 9
=
iii) P 19
!7
!7
=
!)(7- 2
!5
= P72
ii) P33 = 3! = (3)(2)(1) = 6
لوحة ارقام :لعمل لوحات ارقام مكونة من خمسة ارقام من بين االرقام 1الى .9ماعدد الترتيبات
المختلفة الممكنة؟
بما ان ترتيب االرقام مهم فهذه الحالة تمثل تباديل.
كتابة قانون التباديل
بالتعويض من
!n
! )P = (n - r
!9
! )P 59 = (9 - 5
!9
!P 59 = 4
)!(9) (8) (7) (6) (5) (4
=
!4
= 15120
n
r
r = 5, n = 9
نبسط
قسمة العوامل المشتركة
اذن هناك 15120ترتيبا ً
بسط
[ ]6-3-3التوافيق
Combinations
كم مجموعة يمكن تكوينها من االحرف a, b, c؟
بما ان المجموعات غير خاضعة للترتيب اذن هناك ثالث مجموعات هي:
" a, b ,, " b, c ,, " a, c ,
وهذا يعطي فكرة مبسطة على التوافيق والتي سندرسها الحقاً.
عدد التوافيق لعناصر عددها nمأخوذة rفي كل مرة يساوي ناتج قسمة ! nعلى ! ، (n-r)!rيرمز للتوافيق بالرمز
n
n
.
او
C
(
)
!n
n
n
r
r
= ( r )= C r
o#r#n
,
!(n-r)!r
مالحظة :الحظ انC n0 = 1 , C n1 = n , C nn = 1 :
في التوافيق اليهم الترتيب
148
مثال ()5
iv) C 500
جد قيمة كل مما يأتي:
كتابة قانون التوافيق
بالتعويض من r = 2 , n =8
فك المضروب والتبسيط
بحسب المالحظة:
مثال ()6
iv) C 500 = 1
C 91 = 9
iii) C 91
i) C 82
ii) C 1212
!n
!i) C nr = (n - r) !r
!8
!8
!C 82 = (8 - 2) ! 2! = 6! 2
)!(8) (7) (6
= 6!(2) (1) = 28
ii) C 1717 = 1
)iii
وظائف :أعلنت شركة عن 4وظائف شاغرة ،فتقدم 10اشخاص ،بكم طريقة يمكن شغل الوظائف األربع؟
بما ان ترتيب الوظائف غير مهم فهذه الحالة تمثل توافيق.
!n
!C nr = (n - r) ! r
!10
!C 104 = (10 - 4) !4
!10
!C 104 = 6! 4
)!(10) (9) (8) (7) (6
)= (6!) (4) (3) (2) (1
= 210
كتابة قانون التوافيق
بالتعويض من r = 4 , n =10
فك المضروب والتبسيط
اذن هناك 210طريقة لشغل الوظائف األربع.
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
جد قيمة كل مما يأتي:
! )(7 - 5
C 83
4
8
!9
!6
3
!^ 3 + 2 h
2
!4! # 2
1
P 410
7
P 88
6
!3! + 2
5
a9k
0
9
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
جد قيمة كل مما يأتي:
!0! # 1
12
!11 4! # 3
!10 2! # 6
C 95
15
14 a 10 k
13 P 010
18 C 100
100
17 P 115
16
149
1
P 37
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
19لجان :بكم طريقة يمكن اختيار لجنة ثالثية من بين هيئة مكونة من 5شخصاً؟
20لجان :بكم طريقة يمكن اختيار لجنة ثالثية مكونة من رئيس ونائب الرئيس
وامين الصندوق من بين هيئة مكونة من 5شخصاً؟
21لوحات :رسم فنان 7لوحات فنية ،فبكم طريقة يمكنه اختيار 5لوحات منها
لعرضها في معرض فني؟
22اختبار :ورقة اسئلة تحتوي على 12سؤاالً والمطلوب االجابة عن 10اسئلة.
بكم طريقة يمكن اختيار االسئلة؟
ـر
فَ ِّك ْ
23
تحد :جد قيمة:
!5
!6
!3! # 1! # 5! # 4
)ii
!15! 9
!14! 10
)i
24أيهما صحيح؟ :اختيار لجنة من 4طالب من مجموعة 7طالب ،فان عدد االختيارات اما P 47ام C 74فسِّر اجابتك.
25
تبرير :متى تكون العبارة C nr = P rm؟
26
تفكير ناقد :ما العالقة بين تراتيب 3من اصل ،5وتوافيق 3من اصل 5؟ اكتب هذه العالقة.
من خالل حسابك لكل منهما.
!n
مسألة عددية :جد قيمة nالتي تجعل
(n - 1) ! = 9
27
كتب
اُ ْ
مسألة الختيار 2من بين 5اشياء على ان يكون الترتيب فيها مهماً.
150
الدرس
ُ
][6-4
االحتمال التجريبي واالحتمال النظري
Experimental Probability and Theoretical Probability
فكرةُ الدرس
• حساب االحتمال
التجريبي.
• حساب االحتمال النظري.
المفردات
• االحتمال التجريبي.
• االحتمال النظري.
• فضاء العينة .
تعلم
التكرار
7
3
1
2
رمى مهند قطعتي نقود 13مرة وسجل النتائج كما مبين
في الجدول المجاور:
.1اوجد النسبة
.2اوجد النسبة
عدد ظهور ()H,T
عدد عناصر فضاء العينة
عدد ظهور ()H,T
النتائج
H,H
H,T
T,H
T,T
عدد مرات التجربة
هل النسبة في السؤال االول تساوي النسبة في السؤال الثاني ؟ وضح ذلك.
[ ]6-4-1االحتمال التجريبي واالحتمال النظري
Experimental Probability and Theoretical Probability
سبق ان درست حساب االحتمال التجريبي والنظري حيث تحديد االحتمال في الفقرة (تعلم) عن طريق اجراء التجربة والنواتج
بهذه الطريقة تسمى االحتماالت التجريبية .
اما االحتماالت المبنية على حقائق وخصائص معروفة فتسمى االحتماالت النظرية
مثال ()1
فضاء العينة لتجربة رمي قطعتي نقود هي :
النسبة في السؤال االول:
{( XR={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T
اذن عدد عناصر فضاء العينة يساوي 4
من الجدول عدد مرات ظهور الحدث H,Tيساوي 3
عدد ظهور ()H,T
3
& ` P (H, T) = 4
االحتمال نظري
= )P (H, T
عدد عناصر فضاء العينة
النسبة في السؤال الثاني:
من الجدول عدد مرات ظهور الحدث H,Tيساوي 3
عدد ظهور ()H,T
عدد مرات التجربة يساوي 13
& ` P (H, T) = 3
= )P (H, T
13
عدد مرات التجربة
االحتمال تجريبي
االحتماالت النظرية تزودنا بنتائج التجربة من دون الحاجة الى إجرائها (تعتمد على فضاء العينة للتجربة).
االحتماالت التجريبية تزودنا بنتائج التجربة بتكرارها عدة مرات (تعتمد على تكرار التجربة).
3
مثال ()2
وجد باحث في مصنع بطاريات السيارات ان احتمال كون البطارية غير صالحة هو 20أنظري هذا
االحتمال ام تجريبي؟ واذا اراد المصنع الحصول على 240بطارية غير صالحة .فكم بطارية كان على المصنع انتاجه ؟
هذا االحتمال تجريبي ،النه يعتمد على ما حدث فعالً .استعمل التناسب لحل الجزء الثاني من المثال
كل 3بطاريات من اصل 20غير صالحة
اكتب التناسب
اذن 240بطارية غير صالحة من اصل Xبطارية ينتجها المصنع.
الضرب التبادلي
اقسم المعادلة على 3
` يجب ان ينتج المصنع 1600بطارية
151
3
240
20 = X
3X = 4800
4800
X= 3
X = 1600
مثال ( )3عند رمي حجري النرد مرة واحدة جد احتمال :
)iالحدث :الحصول على المجموع 5على وجهي الحجرين.
)iiالحدث :الرقم على وجه الحجر االول ضعف الرقم على وجه الحجر الثاني.
هذا االحتمال نظري :الن الحجرين رميا مرة واحدة.
عدد ارقام الحجر االول = ، 6عدد ارقام الحجر الثاني = 6
اذن بحسب قانون العد االساسي :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 6 # 6وتساوي 36
Z] (1, 1) ....... (1, 6) _b
bb
]= X
]]
] (2, 1) ....... (2, 6) bb n = 36
][
`b
]] .
b
]] (6, 1) ....... (6, 6) bbb
\
a
i) E 1 = " (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) ,, m = 4, n = 36
الحدث :مجموع 5على وجهي الحجرين
m
قانون االحتمال
P (E 1) = n
4
1
P (E 1) = 36 = 9
بالتعويض وبالتبسيط
ii) E 2 = " (2, 1), (4, 2), (6, 3) , , m = 3, n = 36
الحدث :رقم الحجر االول ضعف رقم الحجر الثاني
3
1
بالتعويض وبالتبسيط
` P (E 2) = 36 = 12
[ ]6-4-2االحداث المتنافية
Disjoint Events
الحدثان المتنافيان :هما حدثان اليمكن ان يتحققا معا ً في تجربة واحدة.
مثالً :عند رمي حجر النرد مرة واحدة ،فان الحصول على عدد فردي و عدد زوجي معا ً مستحيل
اذن هما حدثان متنافيان.
حساب احتمال الحدثين المتنافيين:
اذا كان E1 , E2حدثين متنافيين فان احتمال وقوع E1او وقوع E2يساوي مجموع احتمالي الحدثين
اي :
(P (E1 or E2) = P (E1) +P (E2
مثال ()4
عند رمي حجر النرد مرة واحدة ،جد احتمال الحصول على العدد 3او على عدد زوجي.
بما انه اليمكن ان يظهر على وجه الحجر العدد 3في الوقت نفسه مع عدد زوجي فان هذين الحدثين متنافيان
فضاء العينة
احتمال الحصول على العدد 3هو
{X=}1,2,3,4,5,6
m
P (E 1) = n , m = 1, n = 6 & P (E 1) = 1
6
احتمال الحصول على العدد زوجي
m
P (E 2) = n , m = 3, n = 6 & P (E 2) = 3
6
)P(E1 or E2) = P(E1) + P(E2
احتمال الحوادث المتنافية
بالتعويض وبالتبسيط
اذن احتمال ظهور العدد 3او عدد زوجي في رمي حجر النرد يساوي 2
3
152
1 3 4 2
P (E 1 or E 2) = 6 + 6 = 6 = 3
مثال ( )5عند رمي حجري النرد مرة واحدة ،جد احتمال الحصول على عددين متساويين او مجموع
عدد عناصر فضاء العينة عند رمي حجري النرد يساوي 36
عددين يساوي .3
{( E1 = {(1,1), (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6
E1 , E2حدثان متنافيان التوجد عناصر مشتركة بينهما.
احتمال االحداث المتنافية
6
36
=
2
36
=
2
بالتعويض وبالتبسيط
عدد عناصر E1
فضاء العينة
= (P(E1
{( E2 = {(1,2), (2,1
8
عدد عناصر E2
فضاء العينة
= (P(E2
(P(E1 or E2) = P(E1)+P(E2
2
6
= 36 + 36 = 36 = 9
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
في تجربة رمي حجري النرد مرة واحدة ،جد احتمال حدوث االحداث االتية :
1العددان على وجهي الحجرين متساويان.
2العدد على وجه الحجر االول نصف العدد على وجه الحجر الثاني.
3مجموع العددين على وجهي الحجرين يساوي .10
4مجموع العددين على وجهي الحجرين اقل من .5
5أتجريبية االحتماالت السابقة ام نظرية؟
6كيس فيه 4كرات حمر ،كرة خضراء ،كم كرة زرقاء يجب ان تضاف الى الكيس كي يكون احتمال سحب كرة
2
؟ أنظري االحتمال ام تجريبي ؟
حمراء
3
7وقف شخص في احدى تقاطعات مدينة بغداد فأحصى 25سيارة شاهدها ،منها 13سيارة صفر اللون7 ،
سيارات بيض اللون 5 ،سيارات رصاصية اللون .قدِّر احتمال ان تكون السيارة الثالثة التي تجتاز التقاطع
صفراء اللون .وما نوع االحتمال أنظري ام تجريبي ؟ اكتب النسبة بشكل كسر عشري ونسبة مئوية .
8عند رمي حجري نرد ،جد احتمال حصول على عددين مجموعهما 5او مجموعهما .11هل الحدثان متنافيان
بيِّن ذلك.
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
في تجربة رمي حجري النرد مرة واحدة ،جد احتمال حدوث االحداث االتية :
9مجموع العددين على وجهي الحجرين اكبر من .8
10مجموع العددين على وجهي الحجرين يساوي .12
153
11اجريت دراسة على 100شخص ،فاجاب 15منهم انهم يستعملون اليد اليسرى فاذا اجريت الدراسة على 400
شخص ،فكم تتوقع عدد االشخاص الذين يستعملون اليد اليسرى ؟
12جد احتمال سحب بطاقة تحمل عدداً فرديا ً او تحمل عدداً من مضاعفات العدد 2من بطاقات مرقمة من 1الى 9
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
13تسلية :بأي لون يجب تلوين الفراغ بحيث يكون احتمال ان يأتي المؤشر عند هذا اللون 1؟
4
14طوابع :يهوى مهند جمع الطوابع البريدية ،فمن بين 60طابعا ً جمع 25طابعا ً للدول العربية 15 ،طابعا ً لدول
افريقية و 20طابعا ً لدول اوربية .قدِّر احتمال ان يكون الطابع الذي سيجمعه أوربياً.
15رياضية :في التدريب على كرة السلة ،اصاب العب السلة 15كرة من 25رمية ،ما االحتمال التجريبي الن
يصيب العب السلة في الرمية التالية ؟ اكتب الجواب على صورة كسر و عدد عشري و نسبة مئوية .
16دراسة :احصى رجل في عائلته 3افراد عيونهم زرق من كل 22فرداً ،اذا رزق الرجل بمولود جديد ،ما احتمال
ان تكون عيناه ليست زرقاء ؟
ـر
فَ ِّك ْ
17تح ًّد :قرص ذو مؤشر ،مقسم على ثالثة اجزاء في الشكل المجاور :نصف القرص
اخضر ثلثه احمر و سدسه ازرق .ما احتمال ان يدل مؤشر القرص على األخضر او
األحمر بعد اطالقه؟
18أكتشف الخطأ :يريد كل من سارة و مهند تحديد احتمال اختيار كرة زرقاء او حمراء
عشوائيا ً من كيس يحتوي على 5كرات زرق 4 ،كرات حمر 6 ،كرات صفر ايهما
كانت اجابته صحيحة ؟ فسِّر اجابتك.
سارة
4
5
9
3
= (P(R or B) = P(R)+P(B
+
=
=
15 15 15 5
مهند
4
5
4
15 # 15 = 45
= (P(R or B) = P(R) # P(B
كتب
اُ ْ
2
توضيحا ً لما يمثله كل عدد في الكسر
9
الذي يمثل احتمال وقوع حدث نظري او تجريبي.
154
الدرس
ُ
][6-5
Compound Events
االحداث المركبة
فكرةُ الدرس
• حساب احتمال االحداث
المستقلة.
• حساب احتمال االحداث
المترابطة.
المفردات
• االحداث المستقلة.
• االحداث المترابطة.
تعلم
تشير تقارير شركة الخطوط الجوية العراقية
الى وصول طائراتها في موعدها المحدد بنسبة
، 19كما تشيرالنسبة 2٪الى فقدان االمتعة من
20
الحاالت.
فما احتمال وصول طائرة من موعدها وبدون
فقدان امتعة؟
[ ]6-5-1االحداث المستقلة
Independent Events
سبق وان تعلمت مفهوم االحداث المستقلة (نتيجة احدهما ال تؤثر في نتيجة اآلخر) في هذا الدرس سوف نتعلم حساب
احتمال الحوادث المستقلة ،اذا كان E2,E1 :حدثين مستقلين فان احتمال وقوعهما معا ً يساوي حاصل ضرب احتمال
E1في احتمال الحدث ، E2
اي:
)P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2
مثال ()1
في فقرة تعلم:
19
P (E 1) = 20
1
P (E 2) = 50
ان احتمال وصول الطائرة في موعدها هو
ان احتمال فقدان االمتعة هو
ان وصول الطائرة في موعدها اليؤثر في فقدان االمتعة ،هذا يعني ان الحدثين مستقالن.
احتمال االحداث المستقلة
)P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2
بالتعويض
19
1
= 20 # 50
19
= 1000 = 0.019 = 1.9%
مثال ( )2كيس يحتوي على 3كرات حمر 4 ،كرات خضر 5 ،كرات زرق ،سحبت منه كرة عشوائيا ً ثم اعيدت
وسحبت كرة ثانية .جد احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة خضراء.
عدد الكرات الحمراء
3
1
سحب الكرة الحمراء
= )P (R
= 12 = 4
العدد الكلي للكرات
سحب الكرة الخضراء
عدد الكرات الخضراء
4
1
= )P (G
= 12 = 3
العدد الكلي للكرات
الحدثان مستقالن.
)P (R and G) = P (R) # P (G
احتمال االحداث المستقلة (الن الكرة االولى اعيدت الى الكيس)
1 1
1
= 4 # 3 = 12
بالتعويض
1
اذن احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة خضراء مع اعادة الكرة الحمراء يساوي 12
155
مثال ( )3اذا اختيرت احدى البطاقات المرقمة وتدوير مؤشر القرص الدواركما مبين في الشكل المجاور.
ما احتمال ان يكون الناتج عدداً زوجيا ً واللون ازرق؟
نفرض ان ) P (E 1احتمال العدد الزوجي.
2 1
P (E 1) = 4 = 2
نفرض ان ) P (E 2احتمال وقوف المؤشر على اللون االزرق.
1
P (E 2) = 4
احتمال الحوادث المستقلة
بالتعويض والتبسيط
)P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2
1 1 1
=2#4 = 8
1
اذن احتمال (عدد زوجي ولون ازرق) هو 8 = 12.5%
[ ]6-5-2االحداث المترابطة
Dependent Events
االحداث المترابطة (نتيجة احدهما تؤثر في نتيجة اآلخر)
اذا كان E1و E2حدثين مترابطين فان احتمال وقوعهما معا ً هو حاصل ضرب احتمال الحدث االول E1في ضرب
(احتمال الحدث E2بعد حصول الحدث ، )E1اي:
)P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2 after E 1
مثال ()4
في مثال ( ،)2لو لم نعيد الكرة الحمراء الى الكيس .ما احتمال سحب كرة حمراء ثم كرة خضراء؟
عدد الكرات الحمراء
3
1
= 12 = 4
العدد الكلي للكرات
سحب الكرة الحمراء
= )P (R
عدم اعادة الكرة الحمراء للكيس يعني ان عدد الكرات الحمر اصبح 2كرة ،والعدد الكلي لكرات في هذه الحالة
هو 11كرة بدل .12
عدد الكرات الخضراء
4
=
11العدد الكلي الجديد للكرات
سحب الكرة الخضراء
= )P (G after R
الحدثان مترابطان
احتمال الحوادث المترابطة
)P (R and G) = P (R) # P (G after R
1
4
1
= 4 # 11 = 11
بالتعويض وبالتبسيط
1
اذن احتمال سحب كرة حمراء ثم خضراء دون اعادة الكرة الحمراء يساوي 11
156
مثال ( )5صندوق فيه 5كرات حمر 3 ،زرق 8 ،صفر ،سحبت كرة من الصندوق من دون اعادتها ثم سحبت
ثانيةً ،جد (صفراء ثم حمراء)P
8
1
افرض ) P (Yسحب صفراءP (Y) = 16 = 2 ،
عدم اعادة الكرة الصفراء ،اصبح في الصندوق 5كرات حمراء 3 ،زرقاء 7 ،صفراء،اي مجموعهما 15كرة.
سحبت كرة حمراء من الصندوق.
5
1
P (R after Y) = 15 = 3
الحدثان مترابطان
احتمال الحوادث المترابطة
)P (Y and R) = P (Y) # P (R after Y
1 1 1
=2#3 = 6
بالتعويض والتبسيط
اذن احتمال سحب كرة صفراء ثم كرة حمراء من دون اعادة الكرة الصفراء هو 1
6
الخالصة:
.1نجد )P (E 2), P (E 1
.2اذا كان E2 ، E1مستقلين فان:
)P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2
.3اذا E2 ، E1مترابطين فانP (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2 after E 1) :
تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك
1صندوق فيه 3كرات حمراء 3 ،كرات خضر ،ما احتمال سحب كرتين
خضر من دون اعادة الكرة االولى؟
2اطلق مؤشر في القرصين المقابلين مرة واحدة ،ما احتمال ان يأتي
مؤشر االول على اللون األحمر ومؤشر الثاني على العدد 5؟
3رمي قطعتي نقود مرة واحدة ،ما احتمال ظهور صورة على القطعة االولى ،وكتابة على القطعة الثانية.
ت
ْ
تدرب وح ّل التمرينا ِ
4صندوق فيه 5بطاقات حمر 4 ،بطاقات سود 6 ،بطاقات خضر.
سحبت بطاقة من دون اعادتها للصندوق وسحبت بطاقة ثانية ،ما احتمال ان تكون البطاقة االولى حمراء
والثانية سوداء؟
157
5اطلق مؤشر في القرصين المجاورين مرة واحدة ،ما احتمال ان يأتي
مؤشر االول على اللون األخضر ومؤشر الثاني على العدد 3؟
6رمي حجري النرد مرة واحدة ،ما احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على 3على الحجر االول ،وعدد يقبل القسمة
على 5على الحجر الثاني؟
تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً
ْ
7حلوى :تحتوي علبة على 10قطع حلوى بطعم الفراولة 15 ،قطعة بطعم الشكوالته 5 ،قطع بطعم الليمون .ما
احتمال اختيار قطعتين عشوائيا ً الواحدة تلو االخرى من دون ارجاع على ان تكون االولى بطعم الشوكالته
والثانية بطعم الليمون؟
8كتب :اختارت سها كتابا ً من رف في غرفتها واعادته ثم اختارت كتابا ً آخر ،ما احتمال ان يكون اختيار الكتاب
من كتب الرياضيات؟ علما ً ان الرف يحتوي على 5كتب رياضيات 2 ،كتاب لغة انكليزية 3 ،كتب علوم.
ـر
فَ ِّك ْ
9
أكتشف الخطأ :تُريد كل من جمانة واختها سالي تحديد احتمال اختيار كرة حمراء واخرى صفراء عشوائيا ً من
كيس يحتوي 4كرات حمراء 5 ،كرات صفراء من دون ارجاع الكرة بعد السحب.
سالي
جمانة
) حمراء وصفراء ( P
) حمراء وصفراء ( P
) صفراء ( ) # Pحمراء ( P
) صفراء ( ) # Pحمراء ( P
4 5
9#8
4 5
9#9
ايهما كان حلها صحيحاً؟
10تح ًّد :عند رمي حجر النرد وقطعة نقود ،ما احتمال ظهور رقم اكبر من 2واصغر من 6على حجر النرد
والكتابة على قطعة النقود؟
مسألة مفتوحة
10 11بطاقات بثالثة اشكال مختلفة ،اكتب مسألة تتعلق بسحب بطاقتين عشوائيا ً من دون ارجاعهما على ان يكون
1
االحتمال 15
كتب
اُ ْ
مثاالً على حدثين مستقلين ومثاالً آخر على حدثين مترابطين.
158
اختبار الف�صل
Chapter Test
1وزع استبيان على 30طالب من بين 100طالب ،اجب عما يأتي:
)iحدِّد العينة والمجتمع الذي اختير منه.
)iiصف اسلوب توزيع االستبيان.
)iiiحدِّد ما اذا كانت العينة متحيزة ام ال.
2كيف تميز بين الرسوم البيانية المضللة والرسوم البيانية غير المضللة؟
3جد ناتج ما يأتي:
ii) P 05
v) C 75
iii) C 1010
vii) P 57
i) C 50
iv) P 1010
4بكم طريقة يمكن اختبار لجنة مكونة من 3طالب من بين 8طالب؟
5رمي حجر النرد 25مرة وكانت النتائج كما موضح في الجدول اآلتي:
النتيجة
عدد المرات
1
2
3
3
2
6
4
5
5
2
6
7
)iما نوع االحتمال؟
)iiجد احتمال ظهور العدد .4
6
في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة ،جد:
)iنوع االحتمال أنظري ام تجريبي.
)iiاحتمال الحصول على عدد يقبل القسمة على .4
7
وقف مهند في احدى تقاطعات مدينة بغداد ،واحصى انواع السيارات عند التقاطع ،من بين 20سيارة شاهدها،
احصى 10سيارات صالون 7 ،سيارات نقل صغيرة لنقل الركاب 3 ،سيارات حمل.
قدر احتمال ان تكون السيارة التالية التي تجتاز التقاطع سيارة صالون.
159
159
مترينات الف�صول
االختيار من متعدد
ال
ف
ص
ل
األ
و
ل
ال
ف
ص
ل
ال
ف
ص
الث
ا
ن
ي
ل
ا
املقادير الجربية
ث
ا
ا
العالقات واملتباينات يف األعداد الحقيقية
Relations and Inequalities in Real Numbers
املعادالت
ا
لثال
لف
ص
ل
ا
لف
ص
لا
Multiple choice
ل
رابع
خلا
لف
ص
ل
ال
مس
سا
دس
الهندسة االحداثية
Algebraic Expressions
Equations
Coordinate Geometry
الهندسة والقياس
Geometric and Measurement
االحصاء واالحتامالت
Statistics and Probabilities
160
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]1-1ترتيب العمليات في األعداد الحقيقية
Ordering Operations in Real Numbers
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات في األعداد الحقيقية:
ب ّ
d) 2+9 14
2
)d5
2
)d5
c) 9+2 14
b) 2+9 2
( 2 + 7 )( 2 + 7 ) = …. a) 2+9 7
1
2
5
)c
b) -2
2
6 50 ÷ 2 14 = ….
3
7
3 -8
2
2
5
)c
b) 5
2
1
(-27)3 ( 1
6
3
a) -5
2
32 ) = …. a) -5
2
2 -1
4
سط الجملة العددية التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات في األعداد الحقيقية:
ب ّ
d) 2 6 + 5
c) 2 6 - 5
b) 5 - 6 2
a) 5 + 6 2
…=
)( 2 - 3
)( 2 + 3
4
استعمل ترتيب العمليات واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين مستعمالً الحاسبة:
d) -11.18
c) 11.18
b) 18.11
a) -18.11
ا
161
3
…≈ ( 1 )2 - 3-2 - (5) 2
3
5
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]1-2التطبيقات
Mappings
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1إذا كانت R
f: Zإذ . f(x) = 3x -2فإن العدد 10هو صورة للعدد:
d) 2
2
ليكن B
c) 3
a) 5
b) 4
f:Aإذ } . B = {4 , 6 , 8} ، A= {2 , 3 , 4 , 5وإن })f = {(2 , 4), (3 , 6), (4 , 8), (5 , 8
فإن fيمثل تطبيقا ً شامالً ألن:
3إذا كانت Z
المدى = المجال المقابل )d
المدى هو مجموعة c) A
g:Zإذ . g(x) = x + 1فإن التطبيق ( )gof)(xهو:
f: Zإذ f(x) = 2x - 3و Z
d) 2x + 4
4ليكن N
fتطبيق غير متباين )b
المدى = المجال المقابل )a
c) 2x + 2
} f:{2 , 3 , 5إذ f(x)= 3x-1وإن N
5إذا كان التطبيق Q
b) 2x - 4
g:Nإذ g(x)= x+1فإن مدى gofهو المجموعة:
}b) {5 , 6 , 9
}a) {5 , 8 , 14
}d) {6 , 9 , 15
}c) {6 , 12 , 15
f: Qإذ f(x) = 4x + 1والتطبيق Q
جد قيمة xإذا كانت . )fog) (x) = 45فإن قيمة xهي:
_8
d) +
a) 2x - 2
_7
c) +
162
g: Qإذ . g(x) = 1 x2 - 1
3
_6
b) +
_5
a) +
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]1-3المتتابعات
The Sequences
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة من المتتابعات اآلتية:
}b) {3, 8, 13, 18, 23
}a) {2, 6, 12, 16, 20
}d) {5, 10, 16, 20, 24
}c) {4, 8, 12, 18, 22
} b) { 3 , 5 , 7 , 9
2 2 2 2
}d) {2 , 5 , 3 7 , 4
2
2
} a) { 1 , 3 , 5 , 7 , 9
2 2 2 2 2
} c) { 3 , 2 , 5 , 3 , 7
2
2
2
… = }1 {5n - 2
2 { n + 1} = …..
2
اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة من المتتابعات الحسابية اآلتية:
3متتابعة حسابية الحد الثاني فيها 3وأساسها . 3
}d){1,4,7,10,13
}c){3,6,9, 12,15
}b){2,5,8, 11,14
}a){0,3,6,9,12
4جد الحد التاسع والحد الخامس عشر للمتتابعة الحسابية التي حدها الثاني 2وأساسها . 2
b) u9= 14 , u15= 24
a) u9= 12 , u15= 20
d) u9= 18 , u15= 32
c) u9= 16 , u15= 28
5جد الحدود بين u2و u6لمتتابعة حسابية حدها الثاني 9وأساسها . 2
5
} b){ 19 , 29 , 39
} c){ 9 , 19 , 29
}d){ 19 , 29 , 39
2 2 2
5 5 5
5 5 5
} a){ 9 , 19 , 29
2 2 2
163
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]1-4المتباينات المركبة
Compound Inequalities
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حل المتباينات المركبة التي تتضمن (و) جبرياً:
}b){x: -10 < x}∩{x: x ≤ -2
}a) {x: -10 ≤ x}∩{x: x ≤ -2
}d){x: -10 < x} {x: x ≤ -2
}c) {x: -10 ≤ x} {x: x ≤ -2
x ≤ -2و -10 < x
1
∩
∩
}b) {z: 73 < z ≤ 7
}a) {z: 37 ≤ z < 7
}c) {z: 3 < z < 7
}d) {z: 7 < z < 7
7
3
حل المتباينة المركبة التي تتضمن (أو) جبرياً:
}b) {y: y > -4} {y: y < 2
}a) {y: y < 4}∩{y: y > 2
}d) {y: y < -4} {y: y > 2
}c) {y: y < -4}∩{y: y > -2
3z + 9 < 30و 16 < 3z + 9
2
y+5 7
y+5 1
أو < 3
>3
3
3
3
∩
∩
اكتب المتباينة المركبة التي تبيّن مدى طول الضلع الثالث في المثلث إذا كان طوال الضلعين اآلخرين للمثلث معلومين:
d) 6 < x ≤ 10
c) 6 < x < 10
b) 6 ≤ x ≤ 10
a) 6 ≤ x < 10
8cm , 2cm
4
اكتب المتباينة التي مجموعة الحل لها على مستقيم األعداد هي:
4 5 6 7
y > 5أو d) y < - 3
y ≥ 5أو c) y < - 4
-3 -2 -1 0 1 2 3
y ≥ 5أو b) y ≤ - 3
164
-7 -6 -5 -4
y > 5أو a) y ≤ -3
5
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]1-5متباينات القيمة المطلقة
Absolute Value Inequalities
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حل متباينات القيمة المطلقة اآلتية:
d) -5 < y ≤ 21
d) - 8 < x < 8
3
3
c) -5 < y < 21
c) - 8 ≤ x ≤ 8
3
3
b) -5 ≤ y ≤ 21
b) - 8 < x ≤ 8
3
3
a) 5 < y < -21
| y - 8| < 13
1
a) - 8 ≤ x < 8
3
3
|3 x| - 7 <1
2
|6 - 3y| ≥ 9
3
y > 5أو b) y < -1
y ≥ -5أو a) y ≤ 1
y ≥ 5أو d) y ≤ -1
y < 5أو c) y > -1
y ≥ 8أو b) y < -1
y ≥ 8أو a) y ≤ -1
y > 8أو d) y < -1
y > 8أو c) y < -1
165
7 - 2y
|≥3
3
|
4
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
Multiplying Algebraic Expressions
] ضرب المقادير الجبرية2-1[ الدرس
:اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي
:جد ناتج ضرب مقدار جبري في مقدار جبري آخر
1 ( x + 5)2
2 (z -
7 )2
a) x2 - 10x + 25
a) z2 - 7z + 49
b) x2 +10x + 25
c) x2 + 5x + 25
b) z2 + 7y + 49
c) z2 - 7 z + 7
d) x2 - 5x + 25
d) z2 - 2 7 z +7
3
(x + 8) (x - 8)
a) x2 - 64
b) x2 + 64
c) x2 + 16
d) x2 - 16
4
(y + 6 )(y - 6 )
a) y2 - 12
b) y2 - 6
c) y2 + 12
d) y2 + 6
5
(y - 2) (y2 + 2y + 4)
6
(y + 1 )3
5
a) y3 + 8
b) y3 - 8
c) y3 - 4
d) y3 - 16
a) y3 - 3 y2 + 3 y - 1
3
25
125
b) y3 + 3 y2 - 3 y + 1
25
125
5
c) y3 + 3 y2 + 3 y + 1
25
125
5
d) y3 - 3 y2 - 3 y - 1
5
25
125
166
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]2-2تحليل المقدار الجبري بالعامل المشترك األكبر
Factoring the Algerbraic Expression by using Greater Common Factor
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حلل مقدار باستعمال العامل المشترك األكبر ( :)GCF
)b) 6y(3y2 + 4y -6
)a) 6y(3y2 + 4y +6
)d) 6y(3y2 - 4y +6
)c) 6y(3y2 - 4y -6
1 6y2(3y - 4) + 36y
حلل كل مقدار باستعمال ثنائية الحد كعامل مشترك أكبر:
)b) (x - 9)( 1 - 1 x2
4 2
1
)d) (x + 9)( - 1 x2
2 4
)a) (x + 9)( 1 - 1 x2
4 2
)c) (x + 9)( 1 + 1 x2
4 2
)b) (x - 1)( 2 v - 3 t
)a) (x + 1)( 2 v - 3 t
)d) (x + 1)( 2 v + 3 t
)c) (x - 1)( 2 v + 3 t
)1 (x + 9) - 1 x2 ( x + 9
4
2
2
)2 v(x -1) - 3 t(x -1
3
حلل كل مقدار باستعمال خاصية التجميع وتحقق من صحة الحل:
)b) (y + 3)(3y2 - 5
)a) (y + 3)(3y2 + 5
)d) (y - 3)(3y2 - 5
)c) (y - 3)(3y2 + 5
4 3y3- 9y2+ 5y - 15
حلل المقدار باستعمال خاصية التجميع مع المعكوس:
)b) (5y - 1)(4y2 + 3
)a) (5y + 1)(4y2 - 3
)d) (5y+ 1)(4y2 + 3
)c) (5y - 1)(4y2 - 3
167
5 20y3 - 4y2 + 3 - 15y
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]2-3تحليل المقدار الجبري بالمتطابقات
Factoring the Algerbraic Expression by using Special Identities
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حلل كل مقدار جبري من المقادير الجبرية اآلتية:
)b) 3z(2y - z)(2y + z
)a) 3y(2y - z)(y + 2z
)d) 3yz(y - 2z)(y + 2z
)c) 3yz(2y - z)(2y + z
) b) x (x + 1 ) (x - 1
6
4
4
) d) x ( 1 x + 1 ) ( 1 x - 1
6 4
4 4
4
d) 4(x + 3)2
c) 4(x - 3)2
12y3z - 3yz3
1
) a) x (x + 1 ) (x - 1
6
2
2
) c) x ( 1 x + 1 ) ( 1 x - 1
3 2
2 2
2
1 x3 - x 1
6
24
2
a) (x + 6)2
4x2 + 24x + 36
3
b) (x - 6)2
حدد أي من المقادير الجبرية التالية يمثل مربعا ً كامالً:
مربع كامل ألن b) 2(8)(4y) = 48y
ليس مربعا ً كامالً ألن a) 2(4)(3y) = - 48y
ليس مربعا ً كامالً ألن d) -4(4)(3y) = 48y
64 - 48y + 9y2
4
مربع كامل ألن c) -2(8)(3y) = -48y
اكتب الحد المفقود في المقدار الجبري ax2 + bx + cليصبح مربعا ً كامالً:
d) -7z
c) 7z
b) -10z
a) 14z
z2 + …. + 49
5
d) - 4x2
c) 4x2
b) -2x2
a) 2x2
36 - 24x+ ….
6
168
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]2-4تحليل المقدار الجبري من ثالثة حدود بالتجربة
Multiple Choice
Multiple Choice
Factoring the Algebraic Expression of three terms by Probe and Error
)(Experiment
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة:
)b) (x + 3)(x + 4
)a) (x - 3)(x + 4
)d) (x - 3)(x - 4
)c) (x - 1)(x + 7
)b) (x + 12)(x - 3
)a) (x - 6)(x + 6
)d) (x + 9)(x - 4
)c) (x - 9)(x + 4
)b) (y + 7)(y - 3
)a) (y - 7)(y + 3
)d) (y + 7)(y + 3
)c) (y – 7)(y - 3
x2 + 7x + 12
x2 - 5x - 36
y2 + 4y - 21
1
2
3
ضع اإلشارات بين الحدود في األقواس ليكون تحليل المقدار الجبري صحيحاً:
)b) (2y + 3)(2y + 4
)a) (2y - 3)(2y + 4
) d) (2y + 3)(2y - 4
)c) (2y - 3)(2y - 4
)b) (6 + 3z)(8 + z
)a) (6 - 3z)(8 - z
)b) (6 + 3z)(8 - z
)a) (6 - 3z)(8 + z
169
)4y2 -2y -12 = (2y…3)(2y…4
)48 - 30z + 3z2 = (6…3z)(8… z
4
5
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
] تحليل المقدار الجبري مجموع مكعبين أو فرق بين مكعبين2-5[ الدرس
Factoring the Algebraic Expressions sum of two cubes ordifference
between two cubes
:اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي
:حلل كل مقدار من المقادير الجبرية التالية إلى أبسط صورة
1
8 + x3
a) (2 - x)(4 + 2x + x2)
b) (2 + x)(4 - 2x +x2)
c) (2 - x)(4 - 2x + x2)
d) (2 + x)(4 + 2x + x2)
2
1 + 1
z3 64
a) ( 1z + 1 )( 12 + 1 + 1 )
4 z 4z 16
1
1
1
1
1
2
c) ( z - 4 )( z + 4z + 16)
b) ( 1z - 1 )( 12 - 1 + 1 )
4 z 4z 16
1
1 1 12 1
d) ( z + 4 )( z - 4z + 16)
3
27 + 8
125 x3
a) ( 3 - 2x )( 9 + 6 +
5
25 5x
c) ( 3 + 2x )( 9 - 6 +
5
25 5x
b) ( 3 - 2x )( 9 - 6 +
5
25 5x
d) ( 3 + 2x )( 9 - 6 5
25 5x
4
9 - 1 z3
3
a) 1 (3 - z)(9 + 3z - z2)
3
c) 13 (3 + z)(9 + 3z + z2)
5
0.008x3 -1
4)
x2
4 )
x2
4)
x2
4)
x2
b) 1 (3 - z)(9 + 3z + z2)
3
d) 13 (3 - z)(9 - 3z + z2)
a) (0.02x -1)(0.04x2 + 0.002x + 1)
b) (0.02x - 1)(0.04x2 + 0.02x + 1)
c) (0.2x + 1)(0.4x2 - 0.2x + 1)
d) (0.2x - 1)(0.04x2 + 0.2x + 1)
170
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]2-6تبسيط المقادير الجبرية النسبية
Simplifying Rational Algebraic Expressions
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
اكتب كل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
d) 1x
3
d) z + 5
3
)b) 5 (z + 5
5
a) z + 5
z2 - 2z - 15
5
× 2
z - 25
9 + 3z
2
1 - z3 ÷ (1 - z)2
1 + z + z2
1 - z2
3
c) 14
5
)c) 3 (z + 5
dc) 1 - z + z2
x
b) 4
a) 3x
x + 3 × 4x - 12
x2 - 9
4x
1
c) 1 + z + z2
a) 1 - z
b) 1 + z
اكتب كل مقدار من المقادير التالية بأبسط صورة:
y
y-1
)d
c) 1
y-1
3
)b) (y + 4) (3y - 1
-5
)d) (y + 4) (3y - 1
1
y+1
)b
y
y+1
5
)a) (y + 4) (3y - 1
-3
)c) (y + 4) (3y - 1
171
2y2 + 1
y
- 2
3
y -1 y +y+1
4
3y + 1 y - 4
10 + 8y2
y + 4 3y - 1 3y2 + 11y - 4
5
)a
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]3-1حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين
Solving the system of two Linear Equations with two variables
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
جد مجموعة حل للنظام بيانياً:
})a) {(-2 , -2
} {
})d) {(2 , 2
})c) {(2 , -2
})b) {(-2 , 2
y = 4x - 6
1
y=x
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال التعويض لكل مما يأتي:
})b) {(-2 , -5
})a) {( 2 , 5
})b) {( -12, -10
})a) {(12 , -10
} {
})d) {(-2 , 5
})c) {(2 , -5
3x + 4y = 26
2
5x - 2y = 0
} {
})d) {(-12 , 10
})c) {(12 , 10
3x - y = 4
4 2
y x
- =2
2 4
3
جد مجموعة الحل للنظام باستعمال الحذف لكل مما يأتي:
})d) {(-8 ,-4
})b) {( 8, 4
})a){(8 , -4
} {
}) d){( 8 , - 15
5
}) b){(- 8 , - 1 )} c){( 8 , 1
5
5
5 5
}) a){(- 8 , 1
5 5
7x - 4y = 12
4
3x - y = 5
} {
})c) {(-8 , 4
6y - 2x - 8 = 0
y + x - 12 = 0
172
5
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]3-2حل المعادالت التربيعية بمتغير واحد
Solving Quadratic Equations with one variable
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حل المعادالت التالية باستعمال العامل المشترك األكبر والفرق بين مربعين:
} d) s ={ 3 , - 3
} d) s ={ 1 , 1
2 2
}d) s ={-2 , 16
1
1
} c) s ={ 3 , - 3
} c) s ={ 3 , 3
2 2
}c) s ={2 , -16
}b) s ={3 , -3
} b) s ={ 1 , - 1
2
2
}b) s ={16 , -16
7z2 - 21 = 0
1
}a) s ={7 , -7
} a) s ={ 3 , - 3
2
2
4(x2 - 1) - 5 = 0
2
}a) s ={2 , -2
(y + 7)2 - 81 = 0
3
حل المعادالت التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي:
} d) s ={ 7 ,- 7
4 4
}d) s ={1 ,- 1
} c) s ={ 2 ,- 2
7 7
}c) s ={2 ,- 2
} b) s ={ 7 , 7
2 2
} a) s ={ 7 ,- 7
2 2
4(y2 - 1) = 45
4
{= b) s
} a) s ={ 3 ,- 3
4 4
x2 - 13 = 3
16 16
5
3
3
,}
4
4
173
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]3-3حل المعادالت التربيعية بطريقة التجربة
Solving the quadratic equations by the experiment
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حل المعادالت التالية بالتحليل بالتجربة:
}d) s ={3,7
}c) s ={-3,-7
}b) s ={-3,7
}a) s ={3,-7
y2 + 10y + 21 = 0
1
}d) s ={-4,-9
}c) s ={4,-9
}b) s ={-4,9
}a) s ={7, -8
x2 - 5x - 36 = 0
2
-8
b) s ={ -4
}3 , 4
a) s ={ 43 , 8
}3
32 + 12x - 9x2 = 0
3
-4 8
c) s ={ 43 , -8
} 3 } d) s ={ 3 , 3
4ما العدد الذي مربعه يزيد عليه بمقدار 42؟
}d) s ={-7, - 6
}c) s ={-7, 6
}b) s ={7, - 6
}a) s ={7, 6
5عددان حاصل ضربهما ، 54أحدهما يزيد عن اآلخر بمقدار . 3فما العددان؟
}d) s ={-6 , - 9
}c) s ={-6 , 9
174
}b) s ={6 , -9
}a) s ={6 , 9
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]3-4حل المعادالت التربيعية بإكمال المربع
Solving the Quadratic Equations by perfect square
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
حل المعادالت التالية بالمربع الكامل:
d) x = 3
c) x = 4
b) x = -3
a) x = 6
x2 + 6x + 9 = 0
1
d) z = 2
5
c) z = 5
2
b) z = -2
5
a) z = -5
2
4z2 - 20z + 25 = 0
2
d) y = -1
2
c) y = 1
2
b) y = -1
4
a) y = 1
4
1 - 1 x + x2 = 0
16 2
3
حل المعادالت التالية بإكمال المربع:
}d) s ={-13,- 1
}c) s ={-13 ,1
}b) s ={13, -1
} b) { -3 , 1
2 3
} d) { -2 , 1
3 3
,
,
}a) s ={13, 1
x2 - 12x = 13
4
} a) { 3 , 1
2 3
} c) { 2 , -1
3 3
y2 - 1 y = 2
3
9
5
} b) s = { 5 - 3 , 3 - 5
} a) s ={3 + 5 , 3 - 5
} d) s = { 5 + 3 , 5 - 3
} c) s ={3 - 5 , -3 - 5
175
z2 + 2 5 z = 4
6
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]3-5حل المعادالت بالقانون العام
Using General Law to solve the equations
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
مجموعة الحل للمعادالت التالية باستعمال القانون العام:
} b) s = { 5 + 3 5 , 3 - 5 5
4
4
} d) s = { 5 + 3 3 , 3 - 3 3
2
2
10
b) s = { 2 + 10 , 4 +
}
2
2
5 2- 5
d) s = { 2 +
,
}
2
2
}5 , 3 - 5 5
2
} 5 ,5-3 5
2
} 10 , 4 - 10
2
5 4- 5
,
}
4
a) s ={ 3 + 5
2
c) s ={ 5 + 3
2
a) s = { 4 +
2
c) s = { 4 +
4
} b) s = {2 + 2 , 2 - 2
} a) s ={2 + 3 , 2 - 3
} d) s = {6 + 6 , 6 - 6
} c) s ={2 + 6 , 2 - 6
y2 - 5y - 5 = 0
1
2x2 - 8x = - 3
2
3x2 - 6(2x+1) = 0
3
حدِّد جذر المعادلة باستعمال المميز:
x2 - 6x - 7 = 0
)aجذران حقيقيان نسبيان
)bجذران حقيقيان غير نسبيين
)cجذران حقيقيان متساويان () -b
2a
)dجذران غير حقيقيين (مجموعة الحل في )∅ = R
4
5ما قيمة الثابت kالتي تجعل جذري المعادلة y2 - (k + 10)y + 16 = 0متساويين؟
d) k = -6 , -18
c) k = 6 , 18
176
b) k = -2 , -18
a) k = 2 , -18
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]3-6حل المعادالت الكسرية
Multiple Choice
Multiple Choice
Solving the Fractional Equations
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت اآلتية:
}d) s ={-2, -1
2
} c) s ={2, -1
2
} b) s ={-2, 1
2
} a) s ={2, 1
2
2 -1 = 1
12x2 6 4x
1
}d) s ={ 8 , -8
5 5
}c) s = { 5 , -5
8 8
} b) s = { 5 , 8
8 5
}a) s ={ 5 , -8
8 5
8x = 5
5 8x
2
d) x = 6
c) x = -6
b) x = 8
a) x = -8
16x - 64
=1
x2
3
جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادالت اآلتية:
} b) s = {1 + 3 , 1 - 3
} a) s ={2 + 7 , 2 - 7
} d) s = {2 + 3 , 2 - 3
} c) s ={1 + 7 , 1 - 7
}a) s ={4,-2} b) s ={-4,-2} c) s ={-4,2} d) s ={4,2
177
3
2
x-2 - x-1 =1
3y
y
5y2 - 4y + 8
+
= 2
y-4 y-2
y - 6y + 8
4
5
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]4-1التمثيل البياني للمعادالت في المستوي االحداثي
Graphical Representation of the Equation in the Coordinate Plane
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1المستقيم الذي معادلته . y = 32
يوازي محور السينات )c
اليقطع اي من المحورين )d
يوازي محور الصادات )b
يقطع المحورين )a
2أي المعادالت التالية تعبر عن المعادلة المتمثلة بيانيا ً جانبا ً ؟
b) y = 2x 2 + 4
d) y = 3x 2 - 4
a) y = -3x 2
c) y = x 2 - 4
3أي المعادالت التالية تعبر عن المعادلة المتمثلة بيانيا ً جانبا ً ؟
b) y = 4x + 3
d) y = 3x - 4
a) y = 3x + 4
c) y = -3 + 4
4أي المعادالت التالية تعبر عن معادلة خطية ؟
d) y = x + 1
c) y 2 = x 2 + 1
b) y 2 = x + 1
5أي التمثيالت البيانية تعبر عن المعادلة y = -x 2 + 4 :؟
)c
)d
)b
a) y = x 2 + 1
)a
6لتمثيل المعادلة غير الخطية نحتاج الى :
ثالث نقاط على االقل )d
نقطتان فقط )c
نقطتان على االكثر )b
نقطة واحدة على االقل )a
7ما احداثيا رأس المنحني الممثل جانبا ً ؟
)d) (0,2
)b) (1,2
)c) (2,-2
178
)a) (2,-1
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]4-2ميل المستقيم
Slop of the Line
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1
أي ميل يعبر عن ميل المستقيم المار بالنقطتين(-1, 3), (5, - 2) :
c) -5
6
d) 6
5
2
المستقيم الموازي لمحور الصادات يكون ميله:
موجب )d
3
سالب
5
)(6,0
3y - 2x = 0
)c
b) 3y + 2x = 0
)c
a) 2x - 3y = 0
سالب
غير معرف )b
)c
صفراً )a
ما ميل المستقيم 3x - 2y = -6؟
d) 3
2
8
)b) (-6,0
)a) (0,6
المستقيم الموازي لمحور السينات يكون ميله:
موجب )d
7
)c
اي المستقيمات التالية تعبر عن المستقيم الممثل جانباً؟
d) 2x + 3y = 0
6
b) 3
a) -5
نقطة تقاطع المستقيم الذي معادلته x+y = 6مع محور السينات هي:
)d) (0,0
5
)c
غير معرف )b
صفراً )a
المقطع الصادي للمستقيم الذي معادلته 3x-5y =15هو:
d) -3
4
b) - 6
5
a) 5
6
b) - 2
3
c) 3
a) - 3
2
ميل المستقيم المار بالنقطتين ) (8, - 3), (5, - 3؟
غير معرف )d
سالب )b
صفر )c
179
موجب )a
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]4-3معادلة المستقيم
The Equation of the Line
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) (-2, - 3), (-1, - 7هي:
d) y + 4x = - 11
b) y - 4x = 11
c) 4y + x = - 11
a) y - 4x = - 11
2المستقيم الذي معادلته ، y + x = 0ميله واحدى نقاطه هما:
)d) m = 1, (-4,-4
)b) m = 1, (4,4
)c) m = -1, (4,-4
)a) m = -1, (4,4
3استعمل معادلة المستقيم y = mx + kوجد قيمة k, mللمستقيم :7y -3x = 21
d) m = 3
7,k = 3
7
b) m = 3 , k = 3
c) m = 37 , k = -3
a) m = 37 , k = -3
4اي النقط التالية تقع على المستقيم الذي معادلتهy + 4x = 0 :
)d) (1,-4
)b) (4,-1
)c) (4,1
)a) (1,4
5معادلة المستقيم الذي ميله ( )-1ومقطعه الصادي يساوي ( )-2هو:
d) y - x - 2 = 0
b) y + x + 2 = 0
c) y + x - 2 = 0
a) y + x - 2 = 0
6ما هي على صورة الميل -التقاطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين )(-1, - 2), (1, 6
d) y = 2 x + 4
b) y = 4 x - 2
c) y = 4 x + 2
a) y = -3 x + 6
7ثمن وجبة طعام في احد المطاعم 25الف دينار ،مضافا ً اليها 3االف دينار لكل نوع اضافي من المقبالت ،اي
المعادالت تمثل ثمن وجبة طعام مع ( )xمن المقبالت؟
d) y = 3 x - 25
b) y = 25 x - 3
c) y = 3 x + 25
180
a) y = 25 x + 3
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]4-4المستقيمات المتوازية والمتعامدة
Parallel and Perpendicular Lines
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1
المستقيم المار بالنقطتين ) (1, 9), (7, 1يوازي المستقيم الذي ميله:
d) 4
3
2
c) -4
b) 3 y + 4 x = -12
c) 4 y - 3x = 12
a) 3 y + 4 x = 12
b) L 1 ' L 2
L 2, L 1متقاطعان )c
a) L 1 = L 2
اي المستقيمات اآلتية توازي المستقيم الذي معادلته 6y-5x = 30
d) 6y + 5x = 25
7
b) -2
a) 4
اذا كان m1 = m2يمثالن ميلي المستقيمين L1, L2فأن:
ليس بينهما اي عالقة )d
6
c) m 1 # m 2 = - 1
معادلة المستقيم المار بالنقطة ( )0,3والعمودي على المستقيم الذي ميله 4هي:
3
d) 4 y + 3x = 12
5
m
b) m 12 = - 1
a) m1 + m2 = -1
قيمة aالتي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين ) (-1, 4), (a, - 1تساوي -5هي:
3
d) 2
4
c) 3
4
اذا كان m2, m1يمثالن ميلي مستقيمين متعامدين فأن:
d) m 1 - m 2 = - 1
3
b) -4
3
a) -3
4
b) 5y - 6x = 30
c) 6y - 5x = 25
a) 6y + 5x = 30
اي المستقيمات اآلتية عمودية على المستقيم الذي معادلته 3y+2x = 6
d) 2y - 3x = 6
b) 3y - 2x = -6
c) 2y + 3x = 6
181
a) 3y + 2x = -6
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]4-5المسافة بين نقطتين
Distance between two Points
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1المسافة بين نقطتين (0, 3), (2, - 5) :تساوي:
d) 2 17
c) 17 2
10
a) -2 17
)b
2نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين ): (3, - 1), (7, - 3
)d) (-5, - 2
)c) (5, - 2
)a) (5, 2
)b) (-2, 5
3اذا كانت نقطة منتصف قطعة مستقيم ABهي ) (2, 1حيث ) A (a, b), B (3, 2فأن قيمة b,aهي:
d) a = 1, b = 0
c) a = -1, b = 0
a) a = 1, b = 1
b) a = 1, b = -1
4قانون المسافة بين النقطتين ) (x 2, y 2), (x 1, y 1هو:
)b
a) (x 2 - x 1) 2 + (y 2 + y 1) 2
d) (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
c) (x 2 + x 1) 2 + (y 2 + y 1) 2
(x 2 - x 1) 2 - (y 2 - y 1) 2
5قانون نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين ) (x 2, y 2), (x 1, x 2هو:
x2 - x1 y2 - y1
) 2 , 2
y1 + y2
b) ( x 1 + x 2 ,
3
) 3
y1 + y2 x1 + x2
) 2 , 2
( )a
y1 + y2
c) ( x 1 + x 2 ,
2
) 2
( )d
6النقطة ) (2, - 2هي منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين:
)b) (8, 1), (1, - 3
)a) (-8, - 1), (4, - 3
)d) (8, - 1), (-4, - 3
)c) (8, 1), (4, - 3
7باستعمال قانون المسافة :المثلث الذي رؤوسه ): A (3, - 1), B (-3, 3), C (-3, - 1
متساوي االضالع )b
متساوي الساقين )a
مختلف االضالع قائم الزاوية )d
مختلف االضالع حاد الزوايا )c
182
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]4-6النسب المثلثية
Trigonometric ratios
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1
من الشكل المجاور النسبة المثلثية siniتكتب:
d) AB
AC
2
i
c) BC
AC
b) BC
AB
3
ABCمثلث قائم الزاوية في ،Bاذا كانت cos A = 5فأن tanCيساوي:
d) 3
4
1
اذا كانت tan i = 3فأن قيمة الزاوية iيساوي:
c) 4
3
3
d) 30c
4
)d
b) 60c
3
4
3
2
)c
1
3
)b
c) csc i
a) sin i
b) sec i
c) 2
b) 0
ABCمثلث قائم الزاوية في Bكما في الشكل المجاور:
a) -1
2
القيمة العددية للمقدار (sin i) 2 + (cos i) 2يساوي:
d) 1
8
)a
القيمة العددية للمقدار (sec 60c) 2 - (tan 60c) 2تساوي:
d) 1
7
a) 45c
مقلوب النسبة cos iهي:
d) cot i
6
c) 90c
b) 54
a) 4
5
القيمة العددية للمقدار sin 30c cos 30c :تساوي:
2
3
5
a) AB
AC
c) 2
i
b) 0
3
a) -1
اذا كانت csc i = 2فأن قيمة الزاوية iهي:
d) 30c
b) 60c
c) 90c
183
a) 45c
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]5-1المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط)
)Polygons and Polyhedrons (Pyramid and Cone
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
7cm
1محيط الثماني المنتظم المجاور؟
d) 56 cm
.
c) 38.3 cm
a) 45.5 cm
b) 48 cm
2محيط مربع مساحته 225m2هو:
c) 15 m
d) 60 m
a) 25m
b) 20 m
3محيط خماسي منتظم طول عامده 3mونصف قطر دائرته 5mهو:
c) 16 m
d) 10.49 m
a) 16.2 m
b) 40 m
4مساحة سباعي منتظم طول عامده 6cmوطول ضلعه 7.5cmهو:
d) 9975 m2
b) 28.5 cm2
c) 28 m2
d) 1640r cm2
9cm
5المساحة الجانبية للمخروط في الشكل المجاور هو:
a) 157.5 cm2
b) 450r cm2
c) 369r cm2
25cm
a) 360r cm2
6حجم هرم قاعدته مربعة طول كل ضلع 18cmوارتفاعه . 20cm
d) 134 cm3
b) 120 cm3
c) 260 cm3
2160cm3
7المساحة الكلية لمخروط مساحة قاعدته 25rcm2وارتفاعه 12cmهو:
d) 85r cm2
b) 27r cm2
c) 208r cm2
21r m3
)d
48r m3
)c
6
a) 108r cm2
8الفرق بين حجم المخروطين هو:
b) 75r m3
)a
a) 27r m3
15m
8m
6m
184
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]5-2المثلثات
Triangles
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1
B
رتب الزوايا من االصغر الى االكبر في المثلث المجاور:
6
C
C
رتب االضالع من االطوال من االطول الى االقصر في المثلث المجاور:
a. BC, AC, AB
b. AB, BC, AC
c. AC, BC, AB
d. AB, AC, BC
3
A
5.5
a m+C, m+A, m+B
b. m+A, m+B, m+C
c. m+B, m+C, m+A
d. m+C, m+B, m+A
2
4
B
اذا كانت Oهي نقطة التقاء منصفات زوايا المثلث ABCفي الشكل
المجاور فان قيمة xهي:
d) 50c
c) 30c
b) 40c
40c
B
60c
20c
a) 20c
O
x
A
A
80c
C
4
AD, CE
AD,قطعتان متوسطتان تلتقيان في نقطة O،
المثلث ABCفيه CE
،AD=36cm, CE=24cmفان قيمة ، OEعلما ً ان رأس المثلث هو
النقطة Bهي:
b) 24 cm
c) 16 cm
d) 12 cm
a) 8 cm
5
في السؤال ( )4قيمة AOهي:
c) 24 cm
d) 14 cm
a) 6 cm
6
نسبة التشابه بين المثلثين ADB,ACBهي:
B
8
a. 7
c. 7
C
4.8
12
d) 6
185
D
A
C
c) 10
A
9
اذا كانت المثلثان DEB,ABCمتشابهان وكانت الزاويتان.
m+ABC , m+DEB
فأن قيمة xهي:
D
4.2
7
4.9
5.6
7
b. 8
d. 8
b) 12 cm
b) 12
x+2
B
x-1
E
a) 8
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]5-3التناسب والقياس في المثلثات
Proportion and Measure in Triangles
C
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
10
1اذا كان AB ' EFفأن طول القطعة المستقيمة AEهو:
8
E
F
5
?
B
d) 10
2
)c
A
a) 4
b) 5
C
2اذا كان ، 3TWN + 3ACBاذا علمت ان ارتفاع المثلث TWN
هو ( ،)3فأن مساحة المثلث ABCهي:
W
6
B
d) 10.8 cm2
)c
40.2 cm
5
N A
b) 43.2 cm2
T
a) 42.3 cm2
تم رسم الصورة بعد تحويلها بتناسب هندسي نسبته 43فتكون كما في الرسم المجاور:
اختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)4-7
)B(4,4
A
)(0,4
3احداثيات النقطة Aقبل التحويل هي:
)D(4,0
C
)d) (0,0
)(3,3
)b) (3,0
)c
)a) (0,3
4احداثيات النقطة Bقبل التحويل هي:
)d) (0,0
)(3,3
)b) (3,0
)c
)a) (0,3
5احداثيات النقطة Cقبل التحويل هي:
)d) (0,0
)(3,3
)b) (3,0
)c
)a) (0,3
6احداثيات النقطة Dقبل التحويل هي:
)d) (0,0
)(3,3
)b) (3,0
)c
186
)a) (0,3
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]5-4الدائرة
The Circle
B
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)1-4
n
C
O
c
45
A
1قياس الزاوية +AOBهو:
D
d) 45c
%
2قياس القوس ABهو:
d) 45
)
3قياس القوس ABCهو:
d) 135
%
4قياس القوس BCهو:
d) 135
c) 90c
b) 135c
a) 180c
c) 135
b) 90
a) 180
c) 225
b) 90
a) 180
c) 45
b) 42
a) 90
D
B
5طول الوتر ABفي الشكل المجاور هو:
d) 8
E
5
c) 6
3
O
C
b) 10
a) 12
A
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)6-7
6قياس +AOBهو:
A
5
13
O
25c
B
C
d) 90c
b) 120c
c) 65c
a) 115c
7طول القطعة المستقيمة BCهو:
d) 5
b) 14
c) 12
187
a) 10
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]5-5المثلث والدائرة ،القطع المستقيمة والدائرة
Triangle and Circle Line Segments and Circle
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)1-2
B
6
x
K
3
A
2x
1قيمة xهي:
d) 3
c) 9
M
b) 6
a) 2
2طول الوتر MKهو:
d) 4
c) 5
b) 9
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)3-5
a) 12
C
x+2
M
3
D
3قيمة xهي:
d) 4
c) 1
A
x
1
B
a) 2
b) 3
4طول BMهو:
d) 2
c) 5
a) 4
b) 6
5طول AMهو:
d) 3
c) 6
a) 4
b) 2
C
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)6-8
B
6قيمة xهي:
d) 0
x+1
3
)c
2
)b
x
2
A
a) 1
7طول المماس هو:
d) 5 + 1
c) 4
3+1
)b
a) 2 + 1
8طول ABهو:
d) 3 + 4
c) 3 + 5
3+2
188
)b
a) 3 + 6
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]5-6الزوايا والدائرة
Angles and Circle
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)1-3
B
32c
n
w
O t
C
1قياس الزاوية Wهو:
d) 32c
c) 90c
2قياس الزاوية tهو:
d) 48c
c) 32c
3قياس الزاوية nهو:
d) 58c
c) 32c
a) 45c
b) 30c
a) 45c
b) 64c
a) 45c
b) 64c
80
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة لالسئلة (:)4-6
B
h
0
d) 80c
b) 72c
c) 90c
14
4قياس الزاوية hهو:
C
i
70c
A
K
D
a) 70c
5قياس الزاوية iهو:
d) 45c
b) 70c
c) 40c
a) 39c
6قياس الزاوية kهو:
d) 78c
b) 30c
c) 40c
a) 70c
انظر الشكل المجاور واختر اإلجابة الصحيحة للسؤال (:)7
%
7قياس القوس ABهو:
c
200
d) 82
b) 28
c) 65
189
a) 56
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]6-1تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها
Design a Survey Study and Analysis its Results
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1أي المقاييس هو االنسب للبيانات التالية:
8, 8, 12, 11, 15, 15, 16, 21, 23, 27, 31, 70.
الوسيط )c
الوسط الحسابي )d
المدى )a
المنوال )b
2أي المقاييس هو االنسب للبيانات التالية:
2, 3, 4, 5,6, 7.
الوسيط )c
الوسط الحسابي )d
المدى )a
المنوال )b
3أي المقاييس هو االنسب للبيانات التالية:
18, 1, 3, 16, 23, 3, 2.
الوسط الحسابي )d
المنوال )b
الوسيط )c
المدى )a
4المدى للبيانات اآلتية 24 ,18 ,32 ,24 ,22 ,18 :هو:
c) 14
d) 50
b) 32
a) 18
5اي المقياس ليس من مقاييس النزعة المركزية؟
الوسط الحسابي )d
المنوال )b
الوسيط )c
المدى )a
6القيمة المتطرفة لهذه البيانات4, 30, 3, 5, 5, 6, 5, 3 :
d) 30
c) 5
b) 5
a) 3
7يكون الوسيط هو انسب مقاييس النزعة المركزية للبيانات التي:
توجد قيم متطرفة )a
التوجد قيم متطرفة )b
توجد قيم متطرفة )c
التوجد قيم متطرفة )d
توجد فجوات كبيرة وسطها التوجد فجوات كبيرة وسطها التوجد فجوات كبيرة وسطها توجد فجوات كبيرة وسطها
190
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
ضللة
الدرس [ ]6-2البيانات واالحصاءات الم ّ
Graphs and Misleading Statics
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1اي رسم بياني هو االفضل في تمثيل بيانات معينة:
)b
)a
)d
)c
2الرسم البياني يكون مضّلل:
يبدأ من الصفر
والفترات متساوية
)d
اليبدأ من الصفر
والفترات متساوية
)c
يبدأ من الصفر )a
والفترات غير متساوية
اليبدأ من الصفر )b
والفترات غير متساوية
3في استطالع شمل 6مدرسين حول الدوام ،افاد 4منهم انهم يفضلون الدوام الصباحي .كتب المستطلع ان( :يفضل
2مدرس من كل 3مدرسين الدوام الصباحي) لماذا يعد هذا االعالن مضّلالً؟
يجب ان تكون الجملة (يفضل به )d
مدرس من كل مدرسين)
العينة صغيرة جداً ) cيجب ان تشمل العينة )b
عمال بناء
العينة كبيرة جداً )a
4في محل تجاري عرض نوع من االجبان على 12شخص لتقويمه قبل عرضه ،ابدى 6منهم اعجابهم بالمنتج ،بنا ًء
على ذلك صرح المنتج «ان المنتج جيد الن نسبة الذين فضلوه كانت 6الى .»3
البيانات مضلّلة الن )d
العينة التي اختيرت
متوسطة الحجم
البيانات مضلّلة )c
رغم ان عدد الذين
اعجبوا بالجبنة
ضعف عدد الباقين
191
البيانات غير
مضلّلة الن نسبة
الذين اعجبوا
بالجبنة ضعف عدد
الباقين
)b
البيانات غير
مضلّلة الن نسبة 6
الى 3نسبة كبيرة
)a
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]6-3التباديل والتوافيق
Permutation and Compilation
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1القيمة العددية للمقدار )! (5! - 3!) (0تساوي:
ليس ايا ً منها )d
c) 114
b) 0
a) 2
2قيمة C 511تساوي:
ليس ايا ً منها )d
c) 50
b) 51
a) 1
3قيمة P 0100تساوي:
c) 0
d) 1
!b) 100
a) 100
4عدد طرق تشكيل لجنة رباعية من 5اشخاص لكل منهم وظيفة خاصة:
!c) 4
d) C 54
!b) 5
a) P 45
!n
5قيمة المقدار ! ) (n - 2تساوي:
!)c) n (n-1
)d) n(n-1
!)b) (n-2
!a) n
6عدد طرق اختيار 5اسئلة من ورقة امتحان تحتوي على 7اسئلة هو:
d) 21
! )(8 - 3
7القيمة العددية للمقدار
! )(3 + 2
!d) 1
!c) 2
b) 5
a) 7
هي:
!c) 2
!b) 3
!a) 4
8قيمة المقدار C n0 + P 0nتساوي:
d) 0
c) 0
192
b) 2
a) 1
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]6-4االحتمال والتجريبي واالحتمال والنظري
Experimental Probability and Theoretical Probability
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
1اذا كان E1,E2حدثين متنافيين فان ) P (E 1 orE 2تساوي:
)d) P (E 1
)P (E 2
)c) P (E 1) + P (E 2
)b) P (E 1) # P (E 2
)a) P (E 1) - P (E 2
2سجل احمد 20اصابة للهدف من 25محاولة ،أي نسبة مئوية لالحتمال التجريبي ان يسجل احمد الهدف في المحاولة
التالية؟
d) 80%
c) 70%
b) 60%
a) 50%
3اطلقت تمارة مؤشر القرص المقابل مرة واحدة ،أي نسبة مئوية لالحتمال النظري ان
يدل المؤشر على اللون االبيض.
d) 20%
c) 12.5%
b) 30%
a) 35%
4عند رمي حجري النرد مرة واحدة ،احتمال الحصول على عددين مجموعهما 3او حاصل ضربهما 3هو:
d) 1
c) 2
3
b) 1
9
a) 1
3
2
E1, E2 5حدثان متنافيان ،اذا كان P (E 1 orE 2) = 5وان P (E 2) = 3فان ) P (E 1يساوي:
6
d) 1
5
c) 1
4
b) 1
6
a) 1
3
6عند رمي حجري النرد ،احتمال الحصول على عددين مجموعهما 13هو:
d) 0
c) 1
193
b) 2
a) 3
Multiple Choice
Multiple Choice
االختيا ُر من متعدد
االختيا ُر من متعدد
الدرس [ ]6-5االحداث المركبة
Compound Events
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
E1, E2 1حدثان مستقالن ،حيث P (E 1) = 0.3وان P (E 2) = 0.9فان احتمال حدوث E1,E2معا ً هو:
c) 0.27
d) 0.3
a) 1.2
b) 0.6
2رمى مصطفى حجر نرد وقطعة نقود ،احتمال ظهور رقم اكبر من 5على حجر النرد والكتابة على قطعة النقود هو:
c) 1
12
d) 3
a) 2
3
b) 1
3
3صندوق فيه 5كرات حمر 4 ،كرات خضر.
:E1سحب كرة حمراء :E2 ،سحب كرة خضراء من دون اعادة الحمراء .فان احتمال حدوثهما معا ً هو:
d) 1
18
b) 5
18
c) 19
18
a) 10
9
E1, E2 4حدثان مترابطان فان احتمال وقوعهما معا ً هو:
)b) P (E 1 and E 2) = P (E 1) + P (E 2 before E 1
)a) P (E 1 and E 2) = P (E 1) + P (E 2 after E 1
)d) P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 1 after E 2
)c) P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2 after E 1
5العالقة ) P (E 1 and E 2) = P (E 1) # P (E 2بين الحدثان E1,E2حيث هما:
غير ذلك )d
مستقالن )b
مترابطان )c
التوجد عالقة بينهما )a
E1,E2 6حدثان متنافيان حيث ، P (E 2) = 0.45 , P (E 1) = 0.15 :فأن احتمال حدوث E1او E2هو:
d) 0.3
b) 3
c) 0.6
194
a) 0.0675
احملتوى
الفصل األول :العالقات واملتباينات يف األعداد الحقيقية
االختبار القبلي 5 ..................................................................................
الدرس األول :ترتيب العمليات في األعداد الحقيقية 6 .....................................
الدرس الثاني :التطبيقات 10 .....................................................................
الدرس الثالث :المتتابعات 14 ....................................................................
الدرس الرابع :المتبايانات المركبة 18 .........................................................
الدرس الخامس :متباينات القيمة المطلقة 22 ................................................
اختبار الفصل 26 ...................................................................................
الفصل الثاين :املقادير الجربية
االختبار القبلي 28 ..................................................................................
الدرس األول :ضرب المقادير الجبرية 29 .....................................................
الدرس الثاني :تحليل المقدار الجبري باستعمال العامل المشترك األكبر 33 .............
الدرس الثالث :تحليل المقدار الجبري بالمتطابقات 37 .....................................
الدرس الرابع :تحليل المقدار الجبري من ثالثة حدود بالتجربة 41 .......................
الدرس الخامس :تحليل المقادير الجبرية مجموع مكعبين أو الفرق بين مكعبين 45 ...
الدرس السادس :تبسيط المقادير الجبرية النسبية 49 .......................................
اختبار الفصل 53 ....................................................................................
الفصل الثالث :املعادالت
االختبار القبلي 55 ..................................................................................
الدرس األول :حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين 56 ......................................
الدرس الثاني :حل المعادالت التربيعية بمتغير واحد 60 ..........................................
الدرس الثالث :حل المعادالت التربيعية بالتجربة 64 ...............................................
الدرس الرابع :حل المعادالت التربيعية بالمربع الكامل 68 ........................................
الدرس الخامس :حل المعادالت بالقانون العام 72 ..................................................
الدرس السادس :حل المعادالت الكسرية 76 .........................................................
الدرس السابع :خطة حل المسألة (كتابة معادلة) 80 ..............................................
اختبار الفصل 82 ...................................................................................
195
الفصل الرابع :الهندسة االحداثية
االختبار القبلي 84 ..................................................................................
الدرس األول :التمثيل البياني للمعادالت في المستوي االحداثي 85 ......................
الدرس الثاني :ميل المستقيم 89 .................................................................
الدرس الثالث :معادلة المستقيم 93 .............................................................
الدرس الرابع :المستقيمات المتوازية والمتعامدة 97 ........................................
الدرس الخامس :المسافة بين نقطتين 101 .....................................................
الدرس السادس :النسب المثلثية 105 ............................................................
اختبار الفصل 109 ...................................................................................
الفصل الخامس :الهندسة والقياس
االختبار القبلي 111 ..................................................................................
الدرس األول :المضلعات والمجسمات (الهرم والمخروط) 112 .............................
الدرس الثاني :المثلثات 116 .......................................................................
الدرس الثالث :التناسب والقياس في المثلثات 120 ............................................
الدرس الرابع :الدائرة 124 .........................................................................
الدرس الخامس :المثلث والدائرة ،القطع المستقيمة والدائرة 128 .........................
الدرس السادس :الزوايا والدائرة 132 ...........................................................
اختبار الفصل 136 ...................................................................................
الفصل السادس :االحصاء واالحتامالت
االختبار القبلي 138 ..................................................................................
الدرس األول :تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائجها 139 .........................................
ضللة 143 ..................................................
الدرس الثاني :البيانات واالحصاءات الم ّ
الدرس الثالث :التباديل و التوافيق 147 .................................................................
الدرس الرابع :االحتمال التجريبي واالحتمال النظري 151 ..........................................
الدرس الخامس :االحداث المركبة 155 .................................................................
اختبار الفصل 159 ....................................................................................
تمرينات الفصول -االختيار من متعدد 160 ......................................................
196