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G´en´eralit´es sur les m´ethodes de r´e´echantillonnages
Validit´e asymptotique et au second ordre du Bootstrap
Intervalles de confiance Bootstrap
les echecs du Bootstrap et les rem`edes...
Methodes de Bootstrap et applications
actuarielles
Patrice BERTAIL
Laboratoire de Statistique, CREST-INSEE
et Universit´e Paris X, Nanterre
FRANCE
Formation CARITAT, Paris le 12 mars 2007
Patrice Bertail, CREST and University Paris X CARITAT 2007, PARIS

G´en´eralit´es sur les m´ethodes de r´e´echantillonnages
Validit´e asymptotique et au second ordre du Bootstrap
Intervalles de confiance Bootstrap
les echecs du Bootstrap et les rem`edes...
Plan de l’expos´e
1G´en´eralit´es sur les m´ethodes de r´e´echantillonnages
Notations, d´efinitions et principes g´en´eraux
Distribution Bootstrap et calcul de Monte-Carlo
Bootstrap g´en´eralis´e
2Validit´e asymptotique et au second ordre du Bootstrap
Validit´e du Bootstrap : quid?
Validit´e au second ordre du Bootstrap et vitesse de convergence
G´en´eralisation `a des statistiques g´en´erales
Validit´e du bootstrap : les mod`eles ´econom´etriques
3Intervalles de confiance Bootstrap
La m´ethode percentile
La m´ethode t-percentile
Les outsiders percentiles
Choix du nombre de r´e´echantillonnages
4les echecs du Bootstrap et les rem`edes...
Validit´e asymptotique du sous ´echantillonnage
Patrice Bertail, CREST and University Paris X CARITAT 2007, PARIS

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Validit´e asymptotique et au second ordre du Bootstrap
Intervalles de confiance Bootstrap
les echecs du Bootstrap et les rem`edes...
Notations, d´efinitions et principes g´en´eraux
Distribution Bootstrap et calcul de Monte-Carlo
Bootstrap g´en´eralis´e
Contexte et notations
Echantillon de nvariables al´eatoires Xn= (X1, X2, .., Xn)
ind´ependantes identiquement distribu´ees (i.i.d.) de fonction de
r´epartition commune F.
But : ´etudier les caract´eristiques d’une statistique Tn(Xn)
estimant un param´etre θF.
Probl`eme :
Est-il possible sans faire d’hypoth`ese sur la loi F ou des
hypoth`eses minimales sur ses moments) de connaitre les
performances de Tn(Xn) en terme de biais, de variance?
Peut-on donner une approximation de sa distribution?
Patrice Bertail, CREST and University Paris X CARITAT 2007, PARIS

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Validit´e asymptotique et au second ordre du Bootstrap
Intervalles de confiance Bootstrap
les echecs du Bootstrap et les rem`edes...
Notations, d´efinitions et principes g´en´eraux
Distribution Bootstrap et calcul de Monte-Carlo
Bootstrap g´en´eralis´e
Finalit´e (historique) :
Estimer la variance de statistique complexe
Construire des intervalles de confiance pour des param`etres
complexes.
Pas d’hypoth`eses fortes sur les lois sous-jacentes (m´ethode
non-param´etrique) mais un domaine de validit´e bien connu
Patrice Bertail, CREST and University Paris X CARITAT 2007, PARIS

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Validit´e asymptotique et au second ordre du Bootstrap
Intervalles de confiance Bootstrap
les echecs du Bootstrap et les rem`edes...
Notations, d´efinitions et principes g´en´eraux
Distribution Bootstrap et calcul de Monte-Carlo
Bootstrap g´en´eralis´e
Principe de l’approximation
Calcul exact : si Tnsimple et la loi Fsont sp´ecifi´ees (Ex:
moyenne dans le cas gaussien).
Approximations asymptotiques (d´eterministes):
Distribution asymptotique limite de la statistique centr´ee
correctement dilat´ee : pas toujours imm´ediat, ne rend pas
toujours bien compte de la distribution `a distance finie pour les
petits ´echantillons. Par exemple, dans le cas de la moyenne, si
Fdissym´etrique, ne rend pas compte de cette dissym´etrie
(erreur de l’ordre dissym´etrie absolue /√n.
D´eveloppement d’Edgeworth (Feller (1971)) approximations au
second ordre plus satisfaisantes mais sont souvent difficiles `a
mettre en oeuvre.
Approximation stochastique (estimation) de la loi de Tnpar
m´ethodes de r´e´echantillonnage.
Patrice Bertail, CREST and University Paris X CARITAT 2007, PARIS