Mémoire Master 2G Leblanc

Isogénies entre courbes elliptiques
David Leblanc
2009 - 2010
Sous la direction de Federico Pellarin,
Université Claude Bernard Lyon 1
1
Présentation générale
Ce Mémoire traite essentiellement de morphismes particuliers entre courbes
elliptiques : les isogénies. Dans la première partie, ces morphismes ainsi que
tous les objets spécifiques au mémoire sont présentés. Cette présentation est
close par l’énoncé précis et commenté de l’important théorème d’isogénie de
Masser & Wüstholz.
Les points clefs de la démonstration de ce théorème sont analysés dans les
trois autres parties. La deuxième partie établit plusieurs inégalités techniques.
Dans la troisième et la quatrième partie, le cœur de la démonstration est détaillé :
il s’agit d’une trame classique dans les démonstrations de transcendance. On
commence par construire un polynôme doté de propriétés cruciales. Puis, en
s’appuyant sur ces propriétés, on établit des contradictions qui amènent au
résultat voulu.
C’est en 1990 qu’est paru l’article de Masser et Wüstholz : Estimating isogenies on elliptic curves (Inventiones Mathematicae), améliorant notablement
un résultat obtenu par Mazur. Masser et Wüstholz démontraient un théorème
profond en liant, de manière nouvelle, les propriétés arithmétiques et les propriétés géométriques des courbes elliptiques définies sur les corps de nombres.
Depuis, le résultat a été amélioré dans [5], ce qui a permis de nouvelles applications arithmétiques, comme par exemple [1]. Ce dernier et récent article
précisait qu’une amélioration beaucoup plus faible aurait suffi : ce qui a motivé
la rédaction de ce mémoire, c’est la possibilité d’améliorer le résultat de Masser & Wüstholz par quelques manipulations plus élémentaires que dans [5] : on
obtiendrait un résultat moins fin, mais tout aussi fructueux.
2
1
Cadre mathématique
1.1
1.1.1
Courbes elliptiques
Modèle de Weierstrass
Dans tout l’article, on fixe d ∈ N∗ et on considère k un corps de nombres
de degré au plus d. On considère également une courbe elliptique E donnée par
une équation de Weierstrass (∗) où g2 et g3 appartiennent à k :
E : y 2 = 4x3 − g2 x − g3
(∗)
On dit alors que E est définie sur k. Cette hypothèse est de nature arithmétique. On verra plus loin (1.1.3) un outil qui permet de fixer des conditions
arithmétiques plus précises sur les courbes elliptiques en jeu.
1.1.2
Modèle du tore complexe
On aura aussi besoin de considérer E comme groupe analytique complexe
donné par le quotient C/Ω où Ω est un réseau de base (ω1 , ω2 ) (c’est-à-dire :
Ω = Zω1 + Zω2 ) telle que ω2 /ω1 6∈ R. Définissons le domaine fondamental D
pour l’action de P SL2 (Z) sur H = {τ ∈ C : τ = x + iy, x ∈ R, y ∈ R+∗ }, soit
l’ensemble des points dont l’adhérence euclidienne vérifie :
√
3
1
(1)
|τ | ≥ 1 et pour τ = x + iy : |x| ≤ , |y| ≥
2
2
Rappelons qu’il est toujours possible de choisir une base (ω1 , ω2 ) de Ω tel
que τ ∈ D. Dans un premier temps, prenons une autre base (ω10 , ω20 ) de Ω : il
existe donc des entiers a, b, c et d tels que ω10 = aω1 + bω2 et ω20 = cω1 + dω2 .
Il existe donc une matrice M de GL2 (Z) qui permet de passer d’une base à
l’autre. On dit que les bases sont équivalentes.
Or, quitte à permuter les éléments de la base, on peut considérer τ dans H
le demi-plan supérieur de C. On écrit l’action de P SL2 (Z) sur H :
Mτ =
aω2 + bω1
aτ + b
(=
)
cτ + d
cω2 + dω1
Or P SL2 (Z) est engendré par les matrices T et S suivantes :
T =
1
0
1
0
et S =
1
1
−1
0
Cela permet, par composition d’actions bien choisies, de trouver une matrice
M de P SL2 (Z) qui envoie τ dans D : on en déduit qu’il existe bien une base
(ω1 , ω2 ) de Ω telle que τ = ω2 /ω1 vérifie (1) (pour plus de détails, voir [7]).
Dans tout l’article, les bases et les quotients τ associés seront choisis de cette
manière.
1.1.3
Isomorphisme analytique entre (∗) et C/Ω
Étant donné un réseau Ω de C, pour montrer le lien entre le modèle du tore
complexe et le modèle de Weierstrass, on a besoin de rappeler les définitions de
3
℘ fonction de Weierstrass et des séries d’Eisenstein G2 et G3 associées au réseau
Ω (on note Ω∗ = Ω r {0}) :
℘(z) =
X
1
1
1
+
− 2
2
2
z
z−ω
ω
∗
ω∈Ω
G2k =
X
ω∈Ω∗
1
et : g2 = 60G4 g3 = 140G6
ω 2k
Rappelons aussi l’équation différentielle classique vérifiée par ℘, qui sera très
utile dans ce mémoire :
℘0 (z)2 = 4℘(z)3 − g2 ℘(z) − g3
Elle permet d’établir le morphisme naturel bijectif suivant :

 C/Ω → E : y 2 = (x − ℘(ω1 ))(x − ℘(ω2 ))(x − ℘(ω3 ))
z
7→ (℘(z), ℘0 (z))

0
7→ ∞
ce qui détermine, de manière unique, un isomorphisme analytique entre C/Ω
et E(C) = {z ∈ C solution de (∗)} ∪ {OE neutre}. De cette façon, E(C) se
retrouve muni d’une structure de groupe algébrique commutatif. On rappelle
qu’on peut décrire la loi de groupe sur E, courbe elliptique, avec la méthode de
sécantes et tangentes de Poincaré.
1.2
1.2.1
Isogénies
Morphismes entre courbes elliptiques
On veut maintenant étudier les morphismes entre courbes elliptiques : un
morphisme analytique complexe λ entre deux courbes elliptiques E ∼
= C/Ω et
E∗ ∼
= C/Ω∗ correspond à un endomorphisme de C : z 7→ αz où α est un complexe. En effet, on dispose d’un diagramme commutatif entre les morphismes φ
de C/Ω∗ sur C/Ω, et les morphismes λφ de C sur C. Cela provient du morphisme
précédent qui permet de définir expE de noyau Ker(expE ) = Ω :

→
E(C) ⊂ P2 (C) (via (∗) )
 C
z 6∈ Ω
7→
(1 : ℘(z) : ℘0 (z))

z ∈ Ω 7→
(0 : 0 : 1)
Par conséquent, pour φ morphisme de groupes algébriques C/Ω∗ sur C/Ω,
il existe un unique λ ∈ C∗ tel que φ(expE (z)) = expE ∗ (λz). Résumons ce qu’on
sait sur les morphismes entre courbes elliptiques :
Hom(E ∗ , E) =Hom(C/Ω, C/Ω∗ ) ∼
= {α ∈ C : αΩ∗ ⊆ Ω}
End(E) =Hom(C/Ω, C/Ω) ∼
= {α ∈ C : αΩ ⊆ Ω}
4
1.2.2
Définition des isogénies
Définition : Un élément λ de Hom(E, E ∗ ) est une isogénie quand une des
conditions équivalentes suivantes est vérifiée (pour la preuve, voir [4] ) :
(i) λ 6= 0
(ii) Ker λ est fini.
(iii) λ est surjective.
Nous avons alors le résultat suivant, qui sera utilisé pour exhiber les formes
linéaires de la partie 3. Construction :
Théorème
Soient E ∼
= C/Ω et E ∗ ∼
= C/Ω∗ . On choisit des bases (ω1 , ω2 ) de Ω et (ω1∗ , ω2∗ )
∗
de Ω telles que τ = ω2 /ω1 ∈ H et τ ∗ = ω2∗ /ω1∗ ∈ H. Alors E et E ∗ sont
isomorphes (respectivement isogènes) si et seulement si ∃M ∈ SL2 (Z) (respec∗
tivement ∃M ∈ GL+
2 (Q) ∩ M2 (Z) tel que τ = M τ .
Voici deux autres définitions qui jouent un rôle important dans ce mémoire :
Définition : on dit que l’isogénie de E ∗ sur E est normalisée quand elle correspond à la multiplication par le complexe α = 1 soit : Ω∗ ⊆ Ω.
Définition : on dit que l’isogénie de E ∗ sur E est cyclique quand son noyau
est un groupe cyclique, c’est-à-dire Ω/αΩ∗ est cyclique.
1.2.3
Degré d’une isogénie
Définition : de ce qui précède, on déduit que le noyau d’une isogénie a un
cardinal fini : ce cardinal est appelé degré de l’isogénie.
Grâce au théorème précédent, on peut affirmer que le le degré de l’isogénie
de E ∗ sur E est aussi égal à l’indice [Ω : Ω∗ ] et donc à | det M | où M est la
matrice de passage telle que τ ∗ = M τ . Gardons les notations utilisées jusqu’ici
et récapitulons pour une isogénie λ de E ∗ sur E :
deg(λ) = [Ω : Ω∗ ] =
1.2.4
a
c
b
= Ker(λ)
d
Multiplication complexe
Définition : on dit qu’une courbe elliptique E a des multiplications complexes
si End(E) 6= Z.
Le théorème précédent implique que E a des multiplications complexes (on
notera CM) si et seulement si γτ = τ pour un élément non scalaire γ ∈ GL+ (Q),
ce qui équivaut aussi à Q(τ ) extension quadratique imaginaire de Q.
Exemples : Pour Ω = Z[i] on a End(E) ∼
= Z(i) d’où E est CM. Pour Ω = Z+ρZ
on a End(E) ∼
= Z(ρ) d’où E est CM. Il est plus difficile d’exhiber un exemple
de courbe elliptique sans multiplication complexe : citons le cas de X0 (11). On
remarque que la loi de groupe de E induit une structure de Z-module : on y
explicite facilement les cas sans CM, contrairement à ce qui se passe avec CM.
5
1.3
1.3.1
Hauteurs
Introduction
Soit un nombre algébrique α, on voudrait estimer la complexité arithmétique
de ce nombre : par exemple connaı̂tre le prix en ressources informatiques pour
estimer ce nombre. Dans ce mémoire, on utilisera la hauteur logarithmique absolue dite de Weil. Mais il existe d’autre types de hauteurs, plus simples à
appréhender, qui constituent une bonne introduction à la hauteur logarithmique
absolue de Weil. (ce qui suit est un bref compte-rendu de [9])
Hauteur usuelle : Soit le polynôme f ∈ C[X] :
f (X) = a0 X d + a1 X d−1 + . . . + ad
on définit sa hauteur usuelle par H(f ) = max{|a0 | . . . |ad |}. Pour un nombre
algébrique α de polynôme minimal f , on définit alors la hauteur usuelle de α :
H(α) = H(f ).
Ainsi la hauteur usuelle d’un nombre algébrique est directement liée à la
taille des coefficients de son polynôme minimal. Bien qu’il s’agisse d’un outil
assez simple à se représenter, cette hauteur usuelle est très utilisée dans les approximations diophantiennes.
Mesure de Mahler : Soit le polynôme f ∈ C[X] :
f (X) = a0 X d + a1 X d−1 + . . . + ad = a0
d
Y
(X − αi )
i=1
on définit sa mesure de Mahler par
M (f ) = |a0 |
d
Y
max{1, αi }
i=1
Pour un nombre algébrique α de polynôme minimal f , on définit alors la mesure
de Mahler de α par M (α) = M (f )
Cette définition est plus complexe car elle nécessite de connaı̂tre les racines
du polynôme minimal de α, mais elle permet un lien direct avec la hauteur
logarithmique absolue que l’on va voir dans 1.3.2.
1.3.2
Hauteur logarithmique absolue de Weil
Rappel : sur Q, on définit MQ l’ensemble de toutes les valeurs absolues (usuelles
et p-adiques) deux à deux non équivalentes. On dispose alors, pour une normalisation adéquate, de la formule du produit :
Y
(|x|v ) = 1
v∈MQ
On cherche à conserver cette formule dans une extension de degré fini K
de Q. On définit alors MK l’ensemble des valeurs absolues qui prolongent les
valeurs absolues standards de Q.
6
Rappelons que pour une extension K de degré n sur Q, il y a n plongements
σ de K dans C qui donnent n valeurs absolues archimédiennes :
|x|σ = |σ(x)|∞
.
Pour P idéal premier de K, au dessus de p, avec eP = vP (p) (indice de
ramification de p en P), on définit les valeurs absolues p-adiques de K par :
|x|P = p−vP (x)/eP
.
Pour garder la formule du produit dans K, il faut encore pondérer les valeurs
absolues de MK . On définit nv = [Kv : Qv ], où Kv et Qv sont les complétés des
corps K et Q pour v. On peut maintenant écrire la formule du produit :
Y
(|x|nv v ) = 1
∀x ∈ K ∗
v∈MK
Hauteur relative : pour α élément de K corps de nombres, on définit
Y
HK (α) =
max{1, |α|nv v }
v∈MK
Pour travailler avec des propriétés additives, on définit également la hauteur
logarithmique :
X
hK (α) = log(HK (α)) =
nv log max{1, |α|v }
v∈MK
Ainsi définie, la hauteur d’un nombre algébrique dépend du corps de nombres
dans lequel on travaille. Pour définir une hauteur absolue, on s’appuie sur cette
propriété admise (voir [9] ) où L et K sont des corps de nombres contenant α :
hL (α)
hK (α)
=
[L : Q]
[K : Q]
Hauteur logarithmique absolue : soit K un corps de nombres, pour tout α
de K on note :
X [Kv : Qv ]
1
h(α) =
hK (α) =
log max{1, |α|v }
[K : Q]
[K : Q]
v∈MK
1.3.3
Liens avec les autres hauteurs
Faits (voir [9] ) :
Soit α algébrique de polynôme minimal f de degré d, et M (α) sa mesure de
Mahler, on a :
1
h(α) = M (α)
d
Soit H(α) son hauteur usuelle, on a :
1
1
1
log H(α) − log 2 ≤ h(α) ≤ log H(α) +
log H(d + 1)
d
d
2d
7
1.3.4
Propriétés
Propriétés élémentaires :
h(α1 · · · αr ) ≤ h(α1 ) + · · · + h(αr )
h(α1 + · · · + αr ) ≤ h(α1 ) + · · · + h(αr ) + log r
h(α) = h(−α) = h(α−1 )
Cas particulier : pour le rationnel
p
q
∈ Q, sous forme irréductible, on a :
p
h( ) = log max{|p|, |q|}
q
Il est à noter que, même dans ce cas d’apparence simple, des problèmes
peuvent apparaı̂tre dès que le rationnel n’est pas donné sous forme de fraction
irréductible : obtenir cette fraction peut avoir un coût élevé !
Inégalités de Liouville : Soit α un nombre algébrique, non nul, de degré
inférieur ou égal à d, on a :
log |α|v ≥ −dh(α)
De cette inégalité générale, on déduit que pour un nombre algébrique α, soit
d = [Q(α) : Q], alors il existe cα > 0 tel que :
∀
p
p
∀v α −
q
q
≥
v
cα
max{|p|, q}d
Dans le cas de la valeur absolue archimédienne usuelle de Q, on retrouve
l’inégalité historique de Liouville qui lui a permis de construire un nombre
transcendant : soit un nombre algébrique α de degré d > 1, alors il existe
une constante C telle que :
∀
p
p
C
∀v α −
≥ d
q
q
q
La subtilité de l’inégalité tient dans la différence entre nombre algébrique
irrationnel et nombre rationnel : elle découle du fait que, pour tout rationnel
p
p
d
q , la valeur q f ( q ), où f est le polynôme minimal de α, est un entier non nul,
donc supérieur à 1 en valeur absolue. Entre f (α) et q d f ( pq ), il y a au moins 1,
donc entre α et pq il y a au moins quelque chose . L’inégalité n’est pas très
facile à interpréter en raison de la présence de q d au dénominateur : on dira, en
première approximation, qu’un nombre algébrique non rationnel ne se laisse
pas approcher de trop près par un rationnel .
1.3.5
Hauteur d’une courbe elliptique
Soit h la hauteur logarithmique absolue définie précédemment, on associe au
modèle (∗) d’une courbe elliptique une hauteur naı̈ve définie par :
w(E) = max{1, h(g2 ), h(g3 )}
8
1.4
Plan de l’article
L’objectif de l’article est de démontrer le résultat suivant :
Théorème de Masser-Wüstholz.
Soit d un entier positif, k un corps de nombres de degré inférieur ou égal à d,
E une courbe elliptique définie sur k, isogène à une seconde courbe elliptique
définie sur k, alors il existe une constante c = c(d) et une isogénie entre les
deux courbes elliptiques de degré inférieur ou égal à c(w(E))4 .
Il faut souligner qu’il existe déjà une isogénie entre les deux courbes elliptiques, et que ces deux courbes sont définies sur le même corps k. Dans ce
mémoire, on ne reprend que les points-clefs de cette démonstration. Le point
de départ de l’article est une version adaptée du lemme de Kolchin. Comme il
ne peut être amélioré, on se contente de donner la démonstration d’un lemme
d’isogénie plus simple (voir [5]) mais suffisant pour ce mémoire :
Définition : dans un groupe algébrique E1n1 × E2n2 , on dit qu’un sous-groupe
algébrique connexe H est déployé s’il est de la forme : H = H1 × H2 où H1 est
sous-groupe algébrique de E1n1 et H2 sous-groupe algébrique de E2n2 .
Lemme d’isogénie de l’article
Soient n1 et n2 entiers positifs tels que E1n1 × E2n2 possède un sous-groupe
algébrique connexe, non déployé, de dimension d et de degré ∆, alors il existe
une isogénie entre E1 et E2 de degré inférieur ou égal à 32d ∆2 .
Lemme d’isogénie modifié
Soient E1 et E2 deux courbes elliptiques et soit H une sous-variété abélienne de
E1 × E2 non déployée. Les sous-groupes H1 = H ∩ (E1 × O2 ) et H2 = (O1 × E2 )
sont alors finis ; notons h1 et h2 leurs cardinaux respectifs. Il existe alors une
isogénie ψ : E1 → E2 de degré ≤ h1 h2 .
Démonstration. Notons π1 : E1 × E2 → E1 et π2 : E1 × E2 → E2 les
projections π1 (x1 , x2 ) = x1 et π2 (x1 , x2 ) = x2 . Comme H est non déployée, la
projection π1 induit une isogénie π1 : H → E1 dont le noyau est H2 . De même
la projection π2 induit une isogénie π2 : H → E2 dont le noyau est H1 .
L’isogénie ψ : E1 → E2 définie par ψ = π2 ◦ π
b1 (composée de la duale de π1
avec π2 ) a son degré égal à h1 h2 et le lemme est démontré.
L’article se poursuit par plusieurs inégalités techniques qui seront appliquées
à plusieurs reprises dans la suite. Dans ce mémoire, on étudie ces inégalités dans
la partie 2.
Ensuite l’article établit un résultat très proche du théorème, la propriété de
Masser & Wüstholz, qui est démontrée selon des techniques classiques de
transcendance appliquées aux formes linéaires. Cette propriété n’est valable que
dans le cas restreint des isogénies normalisées, cycliques, et sans multiplication complexe. Cette démonstration en deux temps est reprise en détail dans
le mémoire. Elle consiste à construire une fonction auxiliaire qui n’existe que
grâce à des hypothèses fausses. Dans la partie 4. Déconstruction, on montre
que le lemme des zéros de [6] est incompatible avec les zéros de cette fonction
auxiliaire.
9
On ne reprend pas la fin de l’article, qui généralise la propriété à tout type
d’isogénies avant d’en déduire le théorème final. Une différence importante entre
la propriété qui est développée dans le mémoire et le théorème final de l’article,
est la nature du majorant. En effet, le majorant de la propriété dépend des
hauteurs naı̈ves des deux courbes elliptiques.
10
2
Inégalités
2.1
Cadre de travail
On rappelle que pour tout réseau Ω de C , on choisit une base (ω1 , ω2 ) telle
2
que le quotient τ = ω
ω1 appartienne à D le domaine fondamental. On rappelle
aussi ce qu’on sait de τ :
√
1
3
|τ | ≥ 1 et pour τ = x + iy : |x| ≤ , |y| ≥
2
2
On montre aussi facilement que A le volume de Ω vérifie :
A = y|ω1 |2
En effet, pour ω1 = a + ib et ω2 = c + id, où les coefficients sont entiers,
A = ad − bc, et on conclut grâce à l’égalité suivante :
c + id (a2 + b2 )
a + ib
On définit aussi γ en fonction des invariants g2 et g3 :
y|ω12 | = =
γ = max
2.2
n g
2
4
1
2
,
g3
4
1
3
o
(2)
Fonctions intermédiaires liées à ℘(z)
Sur le réseau Ω, la fonction de Weierstrass ℘(z) peut s’écrire comme le quotient de deux fonctions holomorphes : les fonctions σ de Weierstrass qui sont à
croissance lente (voir par exemple [8]). Chacune peut de plus s’écrire comme un
produit infini de Weierstrass, les facteurs primaires du numérateur sont liés aux
zéros de ℘(z) et ceux du dénominateur sont liés au pôles de ℘(z). Cela permet
de comprendre l’introduction de nouvelles fonctions dans le résultat suivant :
Lemme 3.1.
Il existe une constante absolue c1 et une fonction θ0 (z) telles que : les fonctions θ(z) = γθ0 (z) et θ̃(z) = ℘(z)θ0 (z) soient entières, sans zéros communs, et
vérifient :
∀z ∈ C
2.3
π|z|2
log max |θ(z)|, |θ̃(z)| −
A
≤ c1 y
Une approximation de ℘(z)
A présent, approchons la fonction ℘(z) à l’aide de kzk qui représente la distance entre z et le réseau Ω :
11
Lemme 3.2.
Il existe une constante absolue c2 telle que :
∀z ∈ C r Ω
℘(z) − ℘(
ω2
)
2
≤ c2 kzk−2
Démonstration. Nous allons écrire ℘(z) − ℘( ω22 ) comme un produit infini
puis en étudier les facteurs pour aboutir à la majoration voulue.
3.2.1. Notations
ω2
Ý q = e2iπτ (on rappelle que τ est le quotient ω
)
1
πz
Ý w=
(par hypothèse, z hors du réseau : w n’est jamais multiple entier
ω1
de π)
iπz
Ý Q = eiw = e ω1 (il s’agit d’une fonction de z)
Ý Fν (z) = (1 − q ν Q2 )2 (1 − q ν Q−2 )2 (1 − q ν )−4 (pour un indice ν 6= 0)
3.2.2. Ecriture sous forme de produit
La fonction ℘(z) − ℘( ω22 ) est elliptique, de pôles d’ordre 2 : 0, ω1 et ω2 dans
un parallélogramme fondamental du réseau. Et bien sûr, ω22 est un zéro simple.
Nous allons donc définir un produit infini, égal à cette fonction par comparaison
des pôles et des zéros, méthode classique dans l’étude des fonctions elliptiques
(par exemple, consulter le théorème 8.2 dans [3, p.28]). Voici le produit :
∞ Y
Fn− 21
ω2
−2
−1
−2
℘(z) − ℘( ) = z (w sinw)
2
Fn
n=1
(3)
3.2.3. Majoration du produit infini
Il suffit de travailler dans le parallélogramme P défini par :
z = t1 ω1 + t2 ω2 et |t1 | ≤
1
1
, |t2 | ≤
2
2
Remarquons que |Q| = e−πt2 y et |q| = e−2πy . En combinant ces expressions
avec les deux inégalités triangulaires, on obtient :
1
|q| 2 = e−πy ≤ |Q|±2 ≤ eπy = |q|
−1
2
1
|1 − q ν Q±2 | ≤ 1 + |q|ν− 2
√
Et de la même manière, avec : y ≥
3
2
d’où e−2πy ≤ e−π
|1 − q ν | ≥ 1 − |q ν | avec |q| ≤ e−π
12
√
3
√
3
≤1
Finalement,
∞
Y
|Fn− 12 | ≤
∞
Y
1
(1 + |q|n−1 )4 (1 − |q|n− 2 )−4 est un produit ab-
n=1
n=1
solument convergent, majoré par une constante qui ne dépend que de y donc de
∞
X
τ , grâce à la convergence de
|q|n où |q| = e−2πy .
n=1
On raisonne de la même manière pour montrer que
En conclusion, |
∞ Y
Fn− 1
2
n=1
Fn
∞
Y
|Fn | est minoré.
n=1
| est borné sur C r Ω
3.2.4. Majoration du facteur |z −2 (w−1 sin w)−2 |
On travaille dans le parallélogramme P, ainsi :
|<(w)| = |<
π(t1 ω1 + t2 ω2 )
3π
| = |π(t1 + xt2 )| ≤
ω1
4
Et par définition de kzk, on a : |z|−2 ≤ kzk−2 , il reste donc à majorer
|w sin w|−2 . On distingue deux cas : ou bien =(w) ≤ 3π
4 . La majoration est
claire puisque on applique, sur un compact, une fonction holomorphe (0 est
une fausse singularité). Ou bien t = =(w) > 3π
la majoration
4 , on utilise alors
√
2
précédente de |<(w)| et la définition de |w| , on obtient |w| ≤ t 2 d’où :
−1
| sin w| = |
2.4
eiw − e−iw
|ew | − |e−w |
et − et
|w|
|≥
>
>t> √
2i
2
2
2
Plusieurs inégalités techniques
Terminons en présentant deux derniers lemmes techniques et, rapidement,
les idées de démonstration. Rappelons que la courbe elliptique E est définie sur
le corps k, de degré inférieur ou égal à d, et que sa hauteur naı̈ve est notée w.
Lemme 3.3.
Il existe une constante c3 > 1 qui ne dépend que de d, telle que :
(i) c−w
≤ γ ≤ cw
3
3
(ii)
√
3
2
≤ y ≤ c3 w
(iii) A ≥ c−w
3
(iv) |ωi | ≥ c−w
(i = 1, 2)
3
(v) A−1 |ωi |2 ≤ c3 w (i = 1, 2)
Lemme 3.4.
Soient n un entier positif, ζ un élément de Ω/n r Ω, et ξ = ℘(z), alors il existe
une constante c4 qui ne dépend que de d, et un entier positif b ≤ cω
4 tels que :
(i) ξ est algébrique de degré inférieur ou égal à c4 n2 ,
w 2
tel que h(ξ) ≤ cw
4 et |ξ| ≤ c4 n .
(ii) bn2 ξ est un entier algébrique.
13
Idées de démonstration. Dans le lemme 3.3., (i) (iv) et (v) s’obtiennent de
manières élémentaires. Examinons par exemple l’inégalité (i), qu’on obtient en
appliquant la définition de la hauteur ( la constante c5 ne dépend que de d) :
g2
4
1
2
1
= e 2 log |
g2
4
|
1
≤ e 2 log max(1,|g2 |) ≤ ec5 ω
1
On procède de même avec | g43 | 3 pour obtenir l’inégalité (i).
(ii) utilise une minoration de y en fonction de l’invariant modulaire j démontrée dans [2]. Notons que l’encadrement (ii) joue un rôle important dans ce
mémoire.
(iv) s’obtient grâce à l’identité A−1 |ω2 |2 = y −1 (x2 +y 2 ) où l’on majore x2 y −1
grâce au lemme 3.1. et y grâce à l’inégalité (ii) du lemme 3.3.
14
3
Construction
3.1
Cadre
L’objectif des parties 3 et 4 est de démontrer la propriété suivante :
Proposition de Masser & Wüstholz.
Soient d un entier positif, E et E ∗ courbes elliptiques, définies sur un corps de
nombres k de degré inférieur ou égal à d, telles qu’il existe une isogénie cyclique
normalisée de degré N entre les deux, alors il existe une constante effective c
qui ne dépend que de d, et il existe une isogénie entre E et E ∗ de degré inférieur
ou égal à c{w(E) + w(E ∗ ) + log(N )}4 .
De la même manière que pour E, on définit pour E ∗ : Ω∗ , ω1∗ , ω2∗ , ℘∗ (z) etc.
Par définition de l’isogénie, il existe un complexe α tel que αΩ∗ ⊂ Ω. Rappelons
que si α = 1, on dit que l’isogénie est normalisée : il est en fait toujours possible de normaliser une isogénie entre courbes elliptiques, mais cela modifie les
invariants g2 et g3 (l’article étudie comment normaliser l’isogénie pour pouvoir
appliquer la propriété). Rappelons aussi qu’une isogénie est dite cyclique quand
son noyau Ω/αΩ∗ est un groupe cyclique.
On interprète l’écriture des éléments de la base de E ∗ dans la base de E
comme formes linéaires, ce qui joue un rôle crucial dans notre démonstration :
ω1∗ = m11 ω1 + m12 ω2 ,
ω2∗ = m21 ω1 + m22 ω2
(4)
Pour la démonstration à suivre, on veut appliquer des techniques de transcendance à ces formes linéaires. On commence par majorer les coefficients mij .
Puis on établit l’existence d’un polynôme non nul dont les images, par une
famille de dérivations, vérifie des annulations intéressantes. Dans la partie 4.
Déconstruction, on s’appuie sur ces annulations pour prouver les résultats algébriques clefs qui mènent à la propriété. Par définition du degré de l’isogénie, on
écrit :
m11 m22 − m12 m21 = ±N
(5)
Définissons enfin :
h = w(E) + w(E ∗ ) > 2
Dans cette partie, c1 , c2 , etc. seront sont des constantes positives qui ne
dépendent que de d.
15
3.2
Majoration des coefficients mij
Lemme 4.1.
1
Les coefficients mij vérifient : |mij | ≤ c1 N 2 h (pour i, j = 1, 2).
Démonstration. On cherche d’abord à écrire y ∗ en fonction de y :
τ∗ =
ω2∗
m21 ω1 + m22 ω2
m22 τ + m21
=
=
∗
ω1
m11 ω1 + m12 ω2
m12 τ + m11
m11 m22 − m12 m21
(m22 τ + m21 )(m12 τ + m11 )
=
y
y = Im(τ ) = Im
2
|m12 τ + m11 |
|m12 τ + m11 |2
∗
∗
y et y ∗ , tous deux dans D, sont de même signe, donc (5) devient :
m11 m22 − m12 m21 = +N
Et maintenant, en travaillant avec la partie réelle x :
N
y
= |m12 τ + m11 |2 = (m12 x + m11 )2 + (m12 y)2
y∗
D’où la première inégalité (remarquons que la constante est explicite) :
|m12 | ≤ c2
N
yy ∗
12
Et du calcul précédent on déduit :
|m12 x + m11 | ≤
|m11 | < |m12 x| +
|m11 | < |x|
Ny
yy ∗
y
|m12 y| + N ∗
y
2
|m12 y|2 + N
12
+
21
y
y∗
12
ny
y
+N ∗
2
∗
y y
y
21
Grâce aux inégalités de (1), on conclut (où c3 constante contrôlée) :
y
|m11 | ≤ c3 N ∗
y
12
Enfin le lemme 3.3. (ii) permet de conclure, et même d’obtenir un résultat
plus fort pour cette première forme linéaire (pour i = 1, j = 1, 2, avec c4
constante contrôlée) :
1
1
|mij | ≤ c4 N 2 h 2
La majoration des coefficients de la deuxième forme linéaire utilise les mêmes
techniques, et aboutit assez rapidement à :
16
|m22 | ≤ c5 N
y∗
y
12
1
, |m21 | ≤ c6 (N yy ∗ ) 2
Cette dernière majoration oblige à garder l’exposant 1 dans le lemme. Une
idée serait donc de garder les majorations de la première forme linéaire, qui sont
plus fortes, et adapter la suite de la démonstration pour aboutir à une propriété
plus forte aussi.
3.3
Introduction d’une fonction polynômiale
On aborde maintenant l’une des parties les plus délicates : il s’agit d’exhiber
une fonction polynômiale intéressante pour notre démonstration. Les constantes
D et T que l’on va définir ici, ont été fixées après une première mise en place,
temporaire, du travail qui suit, afin d’être parfaitement adaptées. Dans les
définitions suivantes, on fixe C une constante suffisamment grande pour convenir
à nos calculs.
Ý L = h + log N ≥ 2
Ý D = [C 20 L2 ]
Ý T = [C 39 L4 ]
Lemme 4.2.
Soit, pour ℘(z) et ℘∗ (z), et pour t > 0, le champ d’opérateurs :
D(t) = ∂ = (∂/∂z1 )t1 (∂/∂z2 )t2 t1 , t2 > 0, t1 + t2 < t
alors il existe un polynôme non nul P (X1 , X2 , X1∗ , X2∗ ) de degré inférieur ou
égal à D en chaque variable, de coefficients entiers majorés, en valeur absolue,
par exp(c7 T L), et tel que la fonction :
f (z1 , z2 ) : P (℘(z1 ), ℘(z2 ), ℘∗ (m11 z1 + m12 z2 ), ℘∗ (m21 z1 + m22 z2 )
vérifie pour tout ∂ de D(8T ) :
1
1
∂f ( ω1 , ω2 ) = 0
2
2
Démonstration. Travaillons d’abord avec un monôme M de degré inférieur
ou égal à D en chaque variable, et soit un opérateur ∂ dans D(8T ). On dérive
l’équation classique :
℘0 (z)2 = 4℘(z)3 − g2 ℘(z) − g3
pour obtenir une dépendance linéaire entre ℘00 et ℘2 (les coefficients mij passent
en facteur devant les ℘(mij z1 + mij z2 )).
On peut montrer par récurrence sur T (avec un polynôme de degré D en ℘)
que le polynôme ∂M est de degré total inférieur ou égal à c8 (D + T ), et que
les coefficients sont des entiers rationnels inférieurs ou égaux à T 8T c9D+T . (Ou
bien, en considérant ∂M comme un polynôme en mij , on conclut en appliquant
un lemme de Baker dans On the periods of the Weierstrass function .)
17
La majoration vue dans le lemme 4.1. passe au logarithme pour les coefficients mij non nuls : log |mij | ≤ c10 L. Le même lemme implique que les douze
fonctions obtenues à partir des fonctions de Weierstrass prennent les valeurs
℘(t) ( 12 ωj ) et ℘∗(t) ( 12 ωj∗ ) (pour t = 0, 1, 2 et j = 1, 2). Par définition de L, les
quatre invariants liés aux équations de Weierstrass ont des hauteurs inférieures
ou égales à L : on en déduit que les douze valeurs possibles sont de hauteur
inférieure ou égale à c11 L, d’autre part elles appartiennent à k 0 , extension du
corps k, où : [k 0 : k] ≤ 34 .
Ainsi on peut traduire l’énoncé du lemme en un système de R (R ≤ (8T )2 )
équations linéaires homogènes à S (S = (D+1)4 ) inconnues, dont les coefficients
sont dans le corps k 0 ( [k 0 : Q] ≤ 81d). On peut résoudre ce système grâce au
L(D+T )
lemme de Siegel car S > CR. Les solutions sont majorées par T 8T c12
et
l’on a D ≤ T , ce qui achève la démonstration.
3.4
Etude d’une fonction intermédiaire
De la même manière que dans le lemme 3.1. (sous-section 2.2), on définit
γ , θ∗ (z), θ0∗ (z) et θe∗ (z) associés à ℘∗ . On peut ainsi définir la fonction entière
suivante :
∗
D
Θ(z1 , z2 ) = θ0 (z1 )θ0 (z2 )θ0∗ (m11 z1 + m12 z2 )θ0∗ (m21 z1 + m22 z2 )
On dispose alors du lemme suivant :
Lemme 4.3.
Soit la fonction F (z1 , z2 ) = Θ(z1 , z2 )f (z1 , z2 ), alors F est une fonction entière
telle que, pour tout z ∈ C et tout ∂ ∈ D(4T + 1) :
∂F (ω1 z, ω2 z) ≤ exp c13 L(T + D|z|2 )
Démonstration. Grâce aux définitions et au lemme 3.1. la fonction F (z1 , z2 )
est entière car polynômiale en (i = 1, 2) :
e i ), γ ∗−1 θ∗ (mi1 z1 + mi2 z2 ) et θe∗ (mi1 z1 + mi2 z2 )
γ −1 θ(zi ), θ(z
(6)
Rappelons que A et A∗ sont les déterminants des réseaux Ω et Ω∗ et définissons :
Ý M = max|mij |
Ý ∆ = min(A, A∗ )
1
Ý δ = M −1 ∆ 2
Nous allons maintenant démontrer que, pour tout z de C,
et tout zi du disque D(wi z, δ) :
|F (z1 , z2 )| ≤ exp c14 L(T + D|z|2 )
La majoration zi ≤ δ + |ωi z| associée au lemme 3.1. entraı̂ne :
e i )|
log max |θ(zi )|, |θ(z
18
−π
|zi |2
≤ c15 y
A
(7)
e i )|
log max |θ(zi )|, |θ(z
≤ c15 y + A−1 δ 2 + A−1 |ωi |2 |zi |2
On a : A−1 δ 2 = A−1 M −2 ∆ ≤ M −2 ≤ 1 (car A ∈ N d’où A−1 ≤ 1), et en
appliquant les inégalités (i), (ii) et (v) du lemme 3.3. on peut
majorer, en valeur
absolue, les deux premières expressions de (6) par e = exp c16 L(1 + |z|2 ) .
Pour majorer les deux autres expressions de (6), on part des définitions des
wi∗ et de la localisation des zi dans D pour obtenir |zi∗ − ωi∗ z| ≤ 2M δ, d’où :
log max |θ∗ (zi∗ )|, |θe∗ (zi∗ )|
≤ c15 y ∗ + 4M 2 A∗−1 δ 2 + A∗−1 |ωi∗ |2 |z|2
Suivant le même raisonnement précédent, on a 4M 2 A∗−1 δ 2 ≤ 4 et le lemme
3.3. appliqué à E ∗ entraı̂ne que la valeur e majore, en valeur absolue, toutes les
expressions de (6). L’inégalité (7) s’obtient maintenant grâce au lemme 4.2.
Pour démontrer le lemme, on applique la formule intégrale de Cauchy sur le
cercle frontière de D à (2πi)2 (t1 ! t2 !)−1 ∂F (ω1 z, ω2 z).
3.5
Deux inégalités
Lemme 4.4.
17
17
Soit Q l’unique puissance de 2 telle que C 8 < Q ≤ 2C 8 , q entier impair,
ζ = q/Q et ∂ dans D(4T + 1) tel que ∂f (ω1 ζ, ω2 ζ) 6= 0, alors :
|Θ(ω1 ζ, ω2 ζ)| ≥ exp(−c17 DLQ2 )
|∂f (ω1 ζ, ω2 ζ)| ≥ exp(−c17 T LQ8 )
Démonstration. Pour zi = ωi ζ, par définition des ωi∗ , f est un polynôme
en ℘(ωi ζ) et ℘∗ (ωi∗ ). On applique le lemme 3.4. aux valeurs zi et n = Q ; par
définition de ζ, on a bien ωi ζ dans Ω/n r Ω ; ainsi les nombres ℘(ωi ζ) et ℘∗ (ωi∗ )
sont algébriques de degré inférieur ou égal à c18 Q2 et de hauteur inférieure ou
égale à c18 h. De plus :
hQ2
2
|℘(ωi ζ)| ≤ cω
19 Q ≤ c20
2
hQ
h
Et le lemme 3.3. amenant γ ≤ cω
, on conclut :
3 ≤ c3 ≤ c3
2
max γ, |℘(ωi ζ)| ≤ chQ
(i = 1, 2)
21
2
Le lemme 3.3. nous donne aussi γ −1 ≥ c−ω
≥ c3−hQ et le lemme 3.1. fournit
3
−1
log |θ| ≥ −c1 y. Or par définition, θ0 = γ θ, d’où :
2
−hQ
|θ0 (ωi ζ)| ≥ c22
−y
≥ c−hQ
23
2
(i = 1, 2)
2
On travaille de la même manière pour obtenir |θ0∗ (ωi ζ)| ≥ c−hQ (i = 1, 2)
d’où, finalement, par définition de Θ et de L : L = h + log N , on aboutit à la
première inégalité du lemme.
Pour prouver la deuxième inégalité, on reprend les idées de démonstration
du lemme 4.2. On interprète α = ∂f (ω1 ζ, ω2 ζ) comme un polynôme en mij ,
19
et les douze fonctions obtenues à partir des fonctions de Weierstrass prennent
les valeurs ℘(t) (ωj ζ) et ℘∗(t) (ωj∗ ζ) (pour t = 0, 1, 2 et j = 1, 2). Et comme
précédemment, on utilise le lemme 3.4. pour obtenir α nombre algébrique de
degré inférieur ou égal à c24 Q8 et de hauteur inférieure ou égale à c24 T L. Par
hypothèse, on a α non nul, on peut donc en conclure la deuxième inégalité du
lemme.
3.6
Lemme principal
Nous arrivons enfin au résultat important qui sera exploité dans la section
suivante 4. Déconstruction :
Lemme 4.5.
Soit q entier impair, ∂ dans D(4T + 1), alors :
∂f (qω1 /Q, qω2 /Q) = 0
(8)
Démonstration. On raisonne par l’absurde. Soient q un entier impair, ∂ un
opérateur de D(4T + 1) et ζ = q/Q tels que :
∂f (ω1 ζ, ω2 ζ) 6= 0
Comme f est un polynôme en ℘(zi ) et ℘∗ (zi∗ ), f (ω1 z, ω2 z) est 1-périodique :
on peut restreindre notre étude à 0 < ζ < 1. D’autre part on choisit ∂ d’ordre
minimal m. Ainsi, en appliquant la formule de Leibniz à αF = f G avec Di f = 0
(i ≤ m), où G(z) = ∂F (ω1 ζ, ω2 ζ), on peut supposer que :
αΘ(ω1 ζ, ω2 ζ) = G(ζ)
(9)
Les dérivées G(t) (z) sont des combinaisons linéaires des ∂ 0 f (ω1 z, ω2 z) avec
∂ dans D(t + 1 + 4T ). Ainsi, par définition de G et application du lemme 4.2.,
on obtient, pour s entier et t entier tel que 0 ≤ t < 4T :
0
G(t) (s + 21 ) = 0
(10)
Maintenant, soient S = [C 18 L] et M = sup|z|≤5S |G(z)|, on applique le
lemme de Schwarz à (10) pour 0 ≤ s < S, et par récurrence descendante sur t,
avec la majoration élémentaire du quotient différentiel (où le dénominateur est
(s + 21 ) − s = 2−1 ) on obtient :
|G(ζ)| ≤ 2−4T S M
Or par définition de M et de G, on peut appliquer le lemme 4.3. d’où :
M ≤ exp c25 L(T + DS 2 ) ≤ exp c26 LDS 2
Ainsi l’on a la majoration de |G(ζ)| :
|G(ζ)| ≤ 2−2T S 2−2T S ec26 LDS
−2T S
=2
2
20 2
18
39 4
exp S c26 L[C L ][C L] − 2 log 2[C L ] ≤ 2−2T S
20
car on a pris soin, en 3.3. de définir C assez grande. On peut désormais
majorer |α| grâce au lemme 4.4. appliqué à (9) :
|α| ≤ 2−2T S exp(c17 DLQ2 ) ≤ 2−T S
Le lemme 4.4. menant également à |α| ≥ exp(−c17 T LQ8 ), on obtient une
contradiction, ce qui démontre comme voulu le lemme principal de cette section
3 Construction.
21
4
Déconstruction
4.1
Introduction
Dans cette section, nous allons établir plusieurs résultats de nature algébrique
avant de prouver la propriété de Masser-Wüstholz. Pour ce faire, nous allons appliquer les résultats de la section précédente dans le groupe algébrique
G = E 2 × E ∗2 . Dans toute cette section, nous travaillerons sur des courbes
elliptiques sans multiplication complexe.
On considère l’application exponentielle ε : C4 → G. Les formes linéaires
∗
ω1 et ω2∗ nous incitent à définir Z, le sous-espace vectoriel de C4 d’équations :
∗
z1 = m11 z1 + m12 z2
(11)
z2∗ = m21 z1 + m22 z2
On note O, O∗ et OG les origines respectives de E 2 , E ∗2 et G.
Nous allons démontrer trois lemmes de nature algébrique avant d’atteindre
l’objectif de cette première partie : prouver la propriété de Masser-Wüstholz.
4.2
Etude du groupe J
Lemme 5.1.
Soit J = ε(Z) ∩ O × E ∗2 , alors J est un groupe fini de cardinal supérieur ou
égal à N .
Démonstration. Il est assez facile de montrer que J est fini : par définition de
l’isogénie, N Ω ⊆ Ω∗ . En écrivant (z1 , z2 , z1∗ , z2∗ ) les éléments de Z, on en déduit :
∗
z1
λ1
λ
∗2
≡M
modΩ
avec 1 ∈ Ω2
z2∗
λ2
λ2
Ce qui implique, avec la définition (11) que J est fini. On a en fait N J = OG .
A présent, appelons ϕ l’isogénie entre les deux courbes elliptiques : par hypothèse
elle est cyclique, donc son noyau est cyclique. (une propriété plus générale affirme qu’une isogénie de dergé minimal est de noyau cyclique). Appelons κ un
générateur de Ω sur Ω∗ Et définissons le morphisme ψ de Z2 dans J par :
ψ(a1 , a2 ) = ε a1 κ, a2 κ, (m11 a1 + m12 a2 )κ, (m21 a1 + m22 a2 )κ
On identifie ker(ψ) au réseau
polaire N −1 M où l’on définit dans Z2 : M =
vect (m11 , m12 ) (m11 , m12 ) , ainsi l’on a det M = N . On peut conclure : det ψ =
N 2 N −1 = N d’où :
|J| ≥ ψ(Z 2 ) = N
Remarque : on peut démontrer exactement |J| = ψ(Z 2 ) = N .
22
4.3
Eléments de Σ
Dans G, définissons : Σ = {nσ / n pair et σ = ε(ω1 /Q, ω2 /Q, ω1∗ /Q, ω2∗ /Q}.
Ainsi les éléments de Σ sont de Q-torsion, car ε envoie les éléments des surréseaux dans les éléments de torsion. Le cardinal de Σ est donc 21 Q. Voici une
propriété importante de Σ :
Lemme 5.2.
Soit H un sous-groupe algébrique propre de G, connexe et déployé, alors les
éléments de Σ sont distincts modulo H.
Démonstration. Deux éléments égaux modulo H vérifient nσ − mσ ∈ H
soit : 2(rn − rm )σ = 2rσ ∈ H. Donc pour prouver le lemme, montrons que s’il
existe un entier r tel que 2rσ soit dans H, alors card(Σ) = 12 Q divise r. Pour
cela, utilisons la définition de H déployé : H = K × K ∗ où K et K ∗ sont des
sous-groupes de E et E ∗ tels qu’au moins l’un des deux soit propre
Supposons par exemple que K 6= E : il s’agit d’une droite dans E 2 . Comme
E est supposée sans multiplication complexe, on considère D la droite du plan
tangent correspondante : alors il existe une sous-algèbre A de End(E) telle que
A ⊗ Q stabilise D. Soit K image de D, on a : K = {(a, b) ∈ E 2 / η1 a + η2 b =
0 où η1 , η2 ∈ End(E 2 )}, or End(E 2 ) = vect(π1 , π2 ) où π1 et π2 sont les
projections canoniques de E 2 , et les coefficients dans Q : on peut donc obtenir
deux coefficients entiers k1 et k2 tels que k1 π1 + k2 π2 soit une forme linéaire
identiquement nulle sur K, mais non nul sur E 2 . Et comme K est connexe, on
peut supposer que k1 et k2 sont premiers entre eux.
On en déduit que s’il existe un entier r tel que 2rσ appartienne à H, alors
2r(k1 π1 + k2 π2 )(σ) = 2r(k1 ω1 + k2 ω2 )/Q appartient Ω. Ainsi Q divise 2rk1 et
2rk2 , comme k1 ∧ k2 = 1 on en déduit que Q divise 2r.
Le cas K ∗ 6= E ∗ se traite de manière similaire.
4.4
Le lemme des zéros
On présente ici l’important résultat de [6]. Une manière très simple de se
représenter le théorème suivant est de considérer un polynôme de degré au plus
n : s’il admet au moins n + 1 zéros, alors ce polynôme est nul. Définissons
maintenant les objets utilisés dans le théorème.
On désigne par K le corps C ou, pour l premier, le corps Cl des nombres
l-adiques. Soient p et d des entiers ≥ 1.
On considère des groupes algébriques G1 , · · · , Gp définis sur K et de dimensions respectives n1 , · · · , np . On pose G = G1 × · · · × Gp et n = n1 · · · + np .
On se donne un sous-groupe analytique Φ dans K d à valeurs dans G(K). On
note A =im(Φ) et Σ un sous-ensemble fini de G(K) contenant l’origine de G.
On définit Σ(0) = {0} et
Σ(m) = {x1 + · · · + xm : xi ∈ Σ}
On suppose que pour i = 1, . . . , p le sous-groupe Gi est plongé comme sousvariété quasi projective d’un espace projectif PNi . Le groupe G est alors naturellement plongé dans l’espace produit P = PN1 × · · · × PNp . On introduit :
R = K[X1,0 , . . . , X1,N1 , . . . , Xp,0 , . . . , Xp,Np ]
23
l’anneau des coordonnées de P où K[Xi,0 , . . . , Xi,Ni ] est l’anneau des coordonnées de PNi pour i = 1, . . . , p.
Un polynôme multihomogène, non nul, P de R (i.e. homogène par rapport
aux coordonnées de PNi pour tout i) définit une hypersurface Z de P. On dira
que P est de multidegré (D1 , . . . , Dp ) s’il est de degré Di par rapport aux
coordonnées de PNi pour i = 1, . . . , p.
Si G0 est un sous-groupe algébrique de G, A ∩ G0 est l’image d’un sous0
groupe analytique Φ0 : K d → G(K) de Φ, et on note codimA (A ∩ G0 ) = d − d0
la codimension analytique de A ∩ G0 dans A.
Enfin pour V sous-variété de P on note H(V ; d1 , . . . , dp )/(dimV )! la partie homogène de plus haut degré (= dimV ) du polynôme de Hilbert-Samuel
multihomogène de V .
Si I est un idéal multihomogène de R (i.e. engendré par des polynômes
multihomogènes) on note L(I) l’ensemble des zéros communs aux éléments de I
dans P, c’est un sous-ensemble algébrique de P. On dira qu’une sous-variété V de
G est incomplètement définie dans G par des équations de multidegré inférieur
ou égal à (D1 , . . . , Dp ) si V est une composante irréductible de G ∩ L(I) où
I est un idéal de R engendré par des polynômes de multidegré inférieur ou
égal à (D1 , . . . , Dp ) (i.e. de degrés inférieurs ou égaux à Di par rapport aux
coordonnées de PNi pour i = 1, . . . , p).
Avec ces notations, on peut expliciter des constantes ci ∈ N∗ qui ne dépendent
que du plongement de Gi dans PNi , telles qu’on ait le théorème suivant :
Théorème 2.1.
Soit T ∈ N, on suppose qu’un polynôme P de multidegré (D1 , . . . , Dp ) de R
s’annule à un ordre supérieur ou égal à nT + 1 le long de A en chaque point de
Σ(n). Alors il existe un sous-groupe algébrique connexe G0 de G, incomplètement
défini dans G par des équations multihomogènes de multidegré inférieur ou égal
à (c1 D1 , . . . , cp Dp ), contenu dans un translaté de G ∩ L(P ) et tel que :
T + codimA (A ∩ G0 )
.card((Σ + G0 )/G0 ).H(G0 ; D1 , . . . , Dp )
codimA (A ∩ G0 )
≤ H(G; c1 D1 , . . . , cp Dp ).
4.5
Une inégalité cruciale
Nous allons maintenant obtenir l’outil ad hoc pour prouver la propriété de
Masser-Wüstholz : une inégalité qui permet d’étudier rapidement tous les cas
possibles selon les valeurs de ρ la codimension de Z ∩ W dans Z. Pour ce faire,
nous allons enfin appliquer le lemme principal de la section précédente. Dans ce
qui suit, les constantes ci sont des constantes absolues positives.
Lemme 5.3.
Il existe un sous-groupe algébrique propre et connexe H = ε(W ) de G tel que,
pour r codimension de H dans G, ∆ degré de H, R le nombre d’éléments distincts modulo H de Σ et ρ codimension de l’intersection de Z ∩ W dans Z, on
ait :
T ρ R∆ ≤ c1 Dr
(12)
24
Démonstration. Définissons Σ0 = {nσ / n impair, σ ∈ G}. De (8) du
lemme 4.5. on déduit qu’il existe un polynôme P homogène de degré D, non
identiquement nul sur G et qui s’annule sur Σ0 avec un ordre supérieur ou égal
à 4T + 1. On se retrouve dans des conditions analogues à l’énoncé du théorème
2.1. de [6]. Ce qui permet de conclure.
4.6
Preuve de la propriété
Nous allons étudier tous les cas qui se présentent selon les valeurs possibles
de ρ. Comme il s’agit de la codimension de Z ∩ W dans Z sous-espace de C4 , ρ
ne peut prendre que 0, 1, 2, ou 4 comme valeurs. Et 4 est impossible car W 6= Z
puisque H = ε(W ) 6= G. Voyons les trois cas restants :
ρ = 2 : Le lemme 5.3. affirme T ρ R∆ ≤ c1 Dr d’où : R ≤ c2 C 2 Dr−4 (en
optimisant les constantes qui interviennent dans les démonstrations, comme par
exemple cela a été fait dans la démonstration 4.5. pour C).
On en déduit que, ou bien r = 4, ou bien H = OG . Ainsi R = 21 Q, d’où
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Q ≤ 2cC 2 ce qui contredit la définition de Q : C 8 < Q (par optimisation de C).
ρ = 1 : Dans ce cas, Z ∩ W est de dimension 1, d’où r ≤ 3. Si H est nondéployé, le Théorème de Kolchin énoncé dans l’Introduction de ce mémoire
affirme qu’il existe une isogénie de degré inférieur ou égal à c3 ∆2 . Or (12)
du lemme 5.3. amène ∆ ≤ c4 C 21 L2 d’où l’isogénie voulue. Supposons donc
H = K × K ∗ déployé :
ou bien r = 3 d’où Z ∩ W et W de dimension 1 et ainsi W ⊆ Z. Or, ou bien
K = O ou bien K ∗ = O∗ . La première égalité et l’inclusion impliquent K ∗ = O∗
avec (11) : c’est impossible. Et le déterminant N de (5) étant non nul, K ∗ = O∗
entraı̂ne K = O. Le cas r = 3 est impossible.
ou bien r ≤ 2, le lemme 5.2. donne R = 12 Q et (12) implique R ≤ c5 C ce qui
contredit encore la définition de Q.
ρ = 0 : Dans ce cas, Z ⊆ W , d’où r ≤ 2.
ou bien r = 2, d’où Z = W , et selon le lemme 5.1. l’intersection J =
H ∩O ×E ∗2 étant finie de cardinal supérieur ou égal à N, on obtient : degJ ≥ N .
Or O × E ∗2 est défini par des équations de degré au plus 3, on en déduit grâce
au lemme 2.2. que deg(J) ≤ 9∆. Ainsi N ≤ 9∆. Or à présent, (12) mène à
∆ ≤ c1 D2 . Ainsi N ≤ 9c1 D2 ≤ c6 C 40 L4 et le degré de l’isogénie de départ
satisfait la condition voulue.
ou bien r = 1 d’où, avec (11) et l’inclusion Z ⊆ W , l’équation suivante
définit W (pour : λ1 , λ2 ) ⊆ C2 r (0, 0)) :
λ1 (m11 z1 + m12 z2 − z1∗ ) + λ2 (m21 z1 + m22 z2 − z2∗ ) = 0
pour λ1 et λ2 complexes (non nuls tous les deux). Comme le déterminant (5)
est non nul, il s’ensuit que H = ε(W ) est non déployé. Et ainsi (12) entraı̂ne
∆ ≤ c1 D : le lemme d’isogénie fournit l’isogénie voulue de degré inférieur ou
égal à c3 ∆2 ≤ c7 C 40 L4 . Ce qui termine le dernier cas et donc la démonstration
de la propriété. 25
5
Bibliographie
Références
[1] Y. Bilu, P. Parent Serre’s Uniformity Problem in the Split Cartan Case,
Ann. Math. (2), arXiv : 0807.4954 (2009).
[2] A. Faisant, G. Philibert Quelques résultats de transcendance liés à l’invariant modulaire j, Number Theory 25 184-200 (1987).
[3] S. Lang Elliptic Curves : Diophantine Analysis, Springer (1978).
[4] A. Pantchichkine Formes modulaires et courbes elliptiques, Groupe de lecture ENS Lyon (1985).
[5] F. Pellarin Sur une majoration explicite pour un degré d’isogénie, Acta
arithmetica 100 (2001).
[6] P. Philippon Lemmes de zéros dans les groupes algébriques, Bul. Soc. Math.
Fr. 114, 355-383 (1986).
[7] J.P. Serre Cours d’arithmétique, PUF (1969).
[8] Joseph H. Silverman The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer (1985).
[9] M. Waldschmidt Diophantine approximation on linear algebraic groups,
Springer 65-85(1985).
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Table des matières
Introduction
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1 Cadre mathématique
1.1 Courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Modèle de Weierstrass . . . . . . . . . . .
1.1.2 Modèle du tore complexe . . . . . . . . .
1.1.3 Isomorphisme analytique entre (∗) et C/Ω
1.2 Isogénies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Morphismes entre courbes elliptiques . . .
1.2.2 Définition des isogénies . . . . . . . . . .
1.2.3 Degré d’une isogénie . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Multiplication complexe . . . . . . . . . .
1.3 Hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Hauteur logarithmique absolue de Weil .
1.3.3 Liens avec les autres hauteurs . . . . . . .
1.3.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Hauteur d’une courbe elliptique . . . . . .
1.4 Plan de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Inégalités
2.1 Cadre de travail . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonctions intermédiaires liées à ℘(z)
2.3 Une approximation de ℘(z) . . . . .
2.4 Plusieurs inégalités techniques . . . .
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3 Construction
3.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Majoration des coefficients mij . . . . .
3.3 Introduction d’une fonction polynômiale
3.4 Etude d’une fonction intermédiaire . . .
3.5 Deux inégalités . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Lemme principal . . . . . . . . . . . . .
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4 Déconstruction
4.1 Introduction . . . . . .
4.2 Etude du groupe J . .
4.3 Eléments de Σ . . . .
4.4 Le lemme des zéros . .
4.5 Une inégalité cruciale .
4.6 Preuve de la propriété
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5 Bibliographie
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