Chap2Aut

4
.1. Expression de la fonction de transfert
Pour un système linéaire continu et invariant, nous avons vu que la relation entre la sortie s(t)
et l’entrée e(t) est donnée par une équation différentielle linéaire à coefficients constants de la
forme :
m
)m(
m
n
)n(
ndt )t(ed
b
dt )t(de
b)t(eb
dt )t(sd
a
dt )t(ds
a)t(sa   101
0
En prenant la transformée de Laplace de cette équation, on obtient :
a0S(p) + a1[PS(p)-s(0)]+ ...... + an [pnS(p)-pn-1s(0)-..... –sn-1(0)] = b0E(p) +
b1[PE(p)-e(0)]+ ...... + bn [pnE(p)-pn-1e(0)-..... –en-1(0)]
D’où
n
n
n
n
m
m
pa....paa )p(CI
)p(E.
pa....paa
pb....pbb
)p(S 
1010
10
Où CI(p) est un polynôme qui dépend des conditions initiales. Sil les conditions initiales sont
nulles alors, CI(p)=0 et nous pouvons exprimer le rapport :
n
n
m
m
pa....paa
pb....pbb
)p(E )p(S
)p(H 
10
10
n étant l’ordre du système
Ce rapport correspond à la fonction de transfert ou la transmittance opérationnelle du
système. En effet, la transmittance opérationnelle d’un système est le rapport )p(E )p(S lorsque
les conditions initiales sont nulles.
Remarque : On retrouve la même expression que le gain complexe défini pour une entrée
sinusoïdale, en remplaçant p par j
.
Le schéma fonctionnel du système de la fonction de transfert H(p) est le suivant :
H(p) s(t)e(t)
Figure 4.1 : Schéma fonctionnel d’un système linéaire
Chapitre 2– Fonction de transfert

Exemple
Reprenons l’exemple du système du
premier ordre constitué par le circuit RC
comme l’indique le figure ci-contre. Nous
considérons que c’est un système ayant
une entre e(t) et une sortie s(t) et nous
supposons qu’il n’y a pas d’impédance qui
charge la capacité. En appliquant la
deuxième loi de Kirchhoff ainsi que la loi
de Faraday, on obtient :
s(t)
C
R
e(t)
i(t)
Figure 4.2 : Circuit RC
dt
tds
Ctiavec
t
s
t
i
R
t
e
)(
)(
)
(
)
(
)
(
D’où l’équation différentielle du système :
)()(
)( tets
dt
tds
CR 
Calculons la transformée de Laplace de cette équation différentielle.
Soit RC.pS(p) + S(p) = E(p). D’où
RCp)p(E )p(S
)p(H   11
Le schéma fonctionnel de ce système se réduit à :
RCp11s(t)e(t)
Figure 4.3 : Schéma fonctionnel d’un système du 1er ordre
Remarque : Utilisation de la fonction de transfert
Si on connaît la fonction de transfert H(p), il est possible de calculer la réponse du système à
n’importe quelle entrée selon le schéma de principe suivant :
e(t)
E(p)
s(t)
S(p)=H(p).E(p)
H
L
L
-
1
Figure 4.4 : Flot d’utilisation de la transformée de Laplace

Si e(t) = (t) alors S(p)=H(p). La fonction de transfert est dans ce cas égale à la transformée
de la Laplace de la réponse pulsionnelle.
4
.2. Pôles et zéros d’une fonction de transfert
4.2.1. Forme générale
La fonction de transfert se présente sous la forme d’une fraction de deux polynômes en p, le
numérateur N(p) et le dénominateur D(p) qui possèdent des racines. Les racines zi du
numérateur représentent les zéros alors que les racines pi du dénominateur, ils constituent les
pôles de la fonction de transfert H(p). La fonction de transfert se met sous la forme ci-
dessous :
)pp)...(pp)(pp( )zp)...(zp)(zp(
.C
)pp(
)zp(
.C
)p(D )p(N
)p(H m
n
m
jj
n
ii
21
21
Cette expression peut se décomposer en éléments simples pour donner 
ii
ippa
)p(H
Sachant que )t(uea]
ppa
[L tp
i
i
ii
1, le sous-système associé au pôle pi est stable lorsque
Re(pi)<0. Par conséquent, un système est stable lorsque les pôles de sa fonction de transfert
sont à parties réelles strictement négatives.
4.2.2. Régime transitoire et mode d’une fonction de transfert
On considère une fonction de transfert )pp)(p( )p(
.)p(H 2565 2 14 2
un zéro (-2).
En opérant une implantation des pôles et des zéros dans le plan complexe on obtient :
Cette fonction admet :
un pôle réel (-5) et deux pôles complexes(-34j),

Im(p)
Réel(p)
Z1
P1
P2
P3
0
Figure 4.5 : Implantation des pôles et des zéros dans le plan complexe
Cherchons la réponse indicielle d’un tel système :
p
E
)p(E 0
, soit 
En décomposant cette expression en éléments simples, on a :
2565 232
1
0
 pp pAA
p
A
p
A
)p(S
L-1
etransitoirRégime
reoscillatoi
t
onentielexpEn
t
établiRégime
)tcos(AeeAA)t(s   4
35
10
Le régime oscillatoire dépend des modes suivants :
La nature des modes est liée uniquement aux pôles de H(p) dont l’implantation sur le plan
complexe donne une représentation concrète de H(p). En particulier :
Si un pôle apparaît à l’axe des réels négatifs, le système est dit stable.
Si un pôle appartient à l’axe des réels positifs, le système est instable.
Deux pôles complexes conjugués conduisent à un mode oscillatoire.
Le régime transitoire est d’autant plus long que les pôles sont plus proches de l’axe
imaginaire.
Un pôle beaucoup plus proche de l’axe imaginaire que les autres introduit un mode
dit dominant. En effet, on appelle le ou les modes dominants, le ou les
comportements associés aux pôles les plus proches de l’axe imaginaire. Ce qui
revient à considérer en première approximation des fonctions de transfert d’ordre
1, 2 et éventuellement 3 dont une intégration.
Le diagramme des pôles et des zéros offre aussi la possibilité pour déterminer
graphiquement les résidus A0, A1, A2, A3, … etc. de calculer aussi la réponse s(t).
2
14 5 6 25
S(p) . 2 
(p)
(p )(p p )
.E(p)

Reprenons notre exemple tel que )pp)(p( )p(
.)p(S 2565 2 14 2
jp A jp A p
A
p
A
)p(S 43435 3
21
0
 Calculons graphiquement le terme A2.
En se référant à la figure 4.6, on peut déterminer A2, en considérant tous les vecteurs qui
aboutissent à l’image du pôle correspondant au résidu qu’on calculera.
Im(p)
Réel(p)
Z1
P1
P2
P3
1 2
0
1
Figure 4.6 : Détermination graphique de A2
Soit :
23212
21
214 PP.PP.OP
PZ
A, Ce qui donnée :
23212
21
2PP.PP.OP PZ
A
)()A(Arg 21012
4.3. Fonction de transfert d’un système asserv
i
4.3.1. Système asservi
Un système asservi est constitué d’une chaîne d’action et d’une chaîne de réaction. A chacune
de ces deux chaînes, on associe un bloc fonctionnel.
H
1(p)
H
2(p)
E(p)
S(p)
X(p)
(p)
-
+
Figure 4.7 : Représentation d’un système asservi
X : représente le signal de retour.
: constitue l’erreur d’asservissement.