Exercice 1 : a. Oui, la fonte de la glace s’accompagne d’une variation du niveau h de l’eau. En effet, la partie fondue de la glace vient s’ajouter de celle de l’eau. b. Oui, ce mouvement s’accompagne d’une variation du niveau h de l’eau dans le verre, car l’eau monte d’un volume égale à celle de la pièce métallique. Exercice 2 : a- Calculons la résultante et le moment en O des forces de pression 𝑙 = 0,5𝑚 𝐿 = 1,3𝑚 𝑔 = 10 𝑚⁄𝑠 2 𝑚 = 50𝐾𝑔 𝑅⃗𝑝 = ∫ 𝑃. 𝑑𝑆. 𝑛⃗ 1,3 𝑅⃗𝑝 = ∫ 0,25 ∫ 0 𝑃(𝑍, 𝑌). 𝑑𝑍. 𝑑𝑌. 𝑛⃗ −0,25 La pression dépendant de Z, alors on a 𝐿 𝑅⃗𝑝 = 𝑙 ∫ 𝑃(𝑍). 𝑑𝑆. 𝑛⃗ 0 𝑂𝑟 𝑃(𝑧) − 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑃(0) = 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝑧) = 𝜌𝑔𝑧 𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑍 = 𝑧 → 𝑧 = 𝑍 cos 𝛼 cos 𝛼 𝑒𝑡 cos 𝛼 = ℎ 1 = 𝐿 𝐿 𝐿 1 𝑍2 𝐿 𝑅𝑝 = 𝑙 ∫ 𝜌𝑔𝑍. cos 𝛼 . 𝑑𝑍 = 𝑙𝜌𝑔 [ ] 𝐿 2 0 0 𝑅𝑝 = 𝑙𝜌𝑔 𝐴𝑁: 𝑅𝑝 = 1 𝐿2 𝑙𝜌𝑔𝐿 = 𝐿2 2 1,3 × 1000 × 10 × 0,5 2 𝑅𝑝 = 3250𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ0 le moment en O des forces de pression est dirigé suivant ⃗⃗⃗Y car les forces de pression étant Dirigées suivant ⃗⃗⃗X la composante suivant ce même axe de ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ0 est nulle, de même du fait de la position médiane du point O la composante suivant ⃗⃗Z de ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ0 est nulle ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ0 = ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 ∧ 𝑃. 𝑑𝑆. 𝑛⃗ 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑂𝑀 = 𝑍. 𝑍 + 𝑌. 𝑌 𝑂𝑟 𝑒𝑡 𝑛⃗ = 𝑋 0 0 𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑃. 𝑛⃗ = |𝑦 ∧ | 0 = | 𝑍𝑃 𝑂𝑀 −𝑦𝑃 𝑍 0 𝐿 ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ𝑂 = [∫ ∫ 0 𝐿 ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ𝑂 = [∫ ∫ 0 𝑙⁄ 2 𝑙⁄ 2 𝐿 ⃗ + [∫ ∫ 𝑍𝑃(𝑍) . 𝑑𝑍. 𝑑𝑦] 𝑌 −𝑙⁄ 2 0 𝐿 0 𝑙⁄ 2 −𝑌. 𝜌𝑔𝑍 cos 𝛼 . 𝑑𝑍. 𝑑𝑦] 𝑍 −𝑙⁄ 2 𝑙⁄ 2 𝐿 𝑍 𝑦 𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Ϻ𝑂 = (𝑙𝜌𝑔 cos 𝛼 [ ] ) 𝑌 + (𝜌𝑔 cos 𝛼 [− ] × [ ] )𝑍 3 2 −𝑙 2 ⁄2 0 0 3 𝐿 −𝑌𝑃(𝑍) . 𝑑𝑍. 𝑑𝑦] 𝑍 −𝑙⁄ 2 ⃗ + [∫ ∫ 𝑍. 𝜌𝑔𝑍 cos 𝛼 . 𝑑𝑍. 𝑑𝑦] 𝑌 −𝑙⁄ 2 𝑙⁄ 2 2 𝑙⁄ 𝐿 2 1 𝑍3 𝐿 𝑦2 𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Ϻ𝑂 = (𝑙𝜌𝑔 [ ] ) 𝑌 + (𝜌𝑔 cos 𝛼 [− ] × [ ] )𝑍 𝐿 3 0 2 −𝑙 2 ⁄2 0 𝑙2 𝑙2 𝑙𝜌𝑔 𝐿 𝐿2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (𝜌𝑔 cos 𝛼 ⌊− 4 − (− 4 )⌋ × ) 𝑍 Ϻ𝑂 = ( )𝑌 𝐿 3 2 2 2 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ𝑂 = (𝑙𝑔𝜌 𝐿2 ⃗ )𝑌 3 b- La position du centre de poussée ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑅⃗𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗ Ϻ𝑂 = 𝑂𝑀 Ϻ𝑜 = 𝑂𝑀 ∧ 𝑅𝑝 𝐿2 𝑙𝜌𝑔 3 𝑍𝑀 = = 𝐿 𝑙𝑔𝜌 2 𝑍𝑀 = 𝐿2 3 𝐿 2 2 𝐿 3 c- La force verticale F=Fz pour assurer l’ouverture En isolant la vanne on peut écrire la relation suivante sur les moments ⃗⃗ 𝑂 = ⃗0 ∑𝑀 ⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐹 + 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑚. 𝑔 = ⃗0 𝑂𝐼 𝑅𝑝 + 𝑂𝐺 𝐹. 𝑥 = 2 𝑙𝑔𝐿𝜌 𝑥 𝐿. + 𝑚𝑔. 3 2 2 𝐹= 𝑙𝑔𝐿2 𝜌 𝑚𝑔 + 3𝑥 2 𝑂𝑟 𝐿2 = 𝑥 2 + ℎ2 ⇒ 𝑥 = √𝐿2 − ℎ2 𝐹= 𝐹= 𝑙𝑔𝜌𝐿2 3√𝐿2 − ℎ2 + 𝑚𝑔 2 0,5 × 1000 × 10 × 1,32 3√1,32 − 12 + 50 × 10 2 𝐅 = 𝟑𝟔𝟒𝟎, 𝟖𝟔𝟖𝐍 Exercice 3 : Nous étudions la un corps flottant, alors le théorème d’Archimède serait bien à propos. Soit 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 le poids du corps en question et 𝑃⃗𝑙𝑖𝑞 le poids du liquide déplacé. 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝑃⃗𝑙𝑖𝑞 ⟹ 𝑃⃗𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑙𝑖𝑞 × 𝑔 × 𝑉𝑙𝑖𝑞 × 𝑧 (Ici 𝑧 est supposé descendant pour que les 2 grandeurs puissent être de même signe) 1𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠: 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑒𝑎𝑢 × 𝑔 × 𝑉𝑒𝑎𝑢 Dans ce 1𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠 le volume d’eau déplacé est : 𝑉𝑒𝑎𝑢 = 4 × 𝜋 × 𝑎3 = 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 ⟹ 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑒𝑎𝑢 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 3 2è𝑚𝑒 cas ∶ 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 × 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑠 Dans ce 2è𝑚𝑒 cas le volume du dissolvant déplacé est : 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 + 𝜋 × 𝑟 2 × 80∆𝑥 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔(𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 + 𝜋 × 𝑟 2 × 80∆𝑥) (2) (1) 3è𝑚𝑒 cas: 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 𝑔 × 𝑉𝑏𝑒𝑛𝑧 Dans ce 3è𝑚𝑒 cas le volume du dissolvant déplacé est : 𝑉𝑏𝑒𝑛𝑧 = 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 + 𝜋 × 𝑟 2 × 28∆𝑥 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔(𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 + 𝜋 × 𝑟 2 × 28∆𝑥) (3) (2) et (3) donnent : ∆𝑥 = 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 − 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 × 𝜋 × 𝑟 2 × 80 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 𝑔 × 𝜋 × 𝑟 2 × 28 Partant du 1𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠 où nous avons : 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑒𝑎𝑢 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 Alors ∆𝑥 = 𝜌𝑒𝑎𝑢 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 𝜌𝑒𝑎𝑢 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 − 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 × 𝜋 × 𝑟 2 × 80 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 𝑔 × 𝜋 × 𝑟 2 × 28 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 × 𝑔(𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 × 𝑔(𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 ) = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 × 𝜋 × 𝑟 2 × 80 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 𝑔 × 𝜋 × 𝑟 2 × 28 (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 ) = 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 80 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 × 28 28 × 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) = 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 ) 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 = 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 = 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝜌𝑒𝑎𝑢 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝜌𝑒𝑎𝑢 = 28 × (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) + 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 28 × 𝜌𝑒𝑎𝑢 − 28𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 + 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝜌𝑒𝑎𝑢 80 × 0.72 × 1 𝐴𝑁: 𝜌𝑏𝑒𝑛𝑧 = = 0,88 𝑔/𝑐𝑚3 28 × 𝜌𝑒𝑎𝑢 + 52 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 28 × 1 + 52 × 0.72 D’où la densité du benzène est : 𝑑𝑏𝑒𝑛𝑧 = 0,88 L’écart entre deux graduations : ∆𝑥 = 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) 𝜋 × 𝑟 2 × 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 AN : 4 𝑔 × 3 𝜋𝑎3 (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) 4 3 3 𝑎 (𝜌𝑒𝑎𝑢 − 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 ) ∆𝑥 = = 𝜋 × 𝑟 2 × 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 × 𝑔 𝑟 2 × 80 × 𝜌𝑑𝑖𝑠𝑠 4 × 123 (1 − 0,72) 3 ∆𝑥 = = 2,8 𝑚𝑚 22 × 80 × 0,72 La loi d(x) et la sensibilité : 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌 × 𝑔(𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 + 𝜋 × 𝑟 2 × 𝑥) 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 = 𝜌𝑒𝑎𝑢 × 𝑔 × 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 𝑑(𝑥) = 𝜌 𝜌𝑒𝑎𝑢 4 3 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 4𝑎3 3 𝜋𝑎 = = = 𝑉𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 + 𝜋 × 𝑟 2 × 𝑥 4 𝜋𝑎3 + 𝜋 × 𝑟 2 × 𝑥 4𝑎3 + 3𝑟 2 × 𝑥 3 De ce fait : 4𝑎3 + 3𝑟 2 × 𝑥 × 𝑑 = 4𝑎3 4𝑎3 − 4𝑎3 × 𝑑) 𝑥= 3𝑟 2 × 𝑑 𝑥= 4𝑎3 (1 − 𝑑) 3𝑟 2 × 𝑑 ′ ∆𝑥 4𝑎3 (1 − 𝑑) 4𝑎3 −1 =( ) ⟹ ∆𝑥 = ∆𝑑 [ 2 ( 2 )] ∆𝑑 3𝑟 2 × 𝑑 3𝑟 𝑑 ∆𝑥 = − ∆𝑑 × 4𝑎3 3𝑟 2 × 𝑑2 ∆𝑥 4𝑎3 𝜎=| |= 2 ∆𝑑 3𝑟 × 𝑑 2 Conclusion : La sensibilité 𝜎 augmente lorsque la densité 𝑑 diminue. La sensibilité minimale correspond à la densité maximale qui est de 1 (densimètre destiné à mesurer les densités inférieures à celle de l’eau comprises entre 0,6 et 1. 𝜎𝑚𝑖𝑛 4𝑎3 4𝑎3 = = 3𝑑𝑚𝑎𝑥 2 × 𝑟 2 3𝑟 2 Et la sensibilité maximale correspond à la densité minimale mesurée (𝑑𝑚𝑖𝑛 =0,6) 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 4𝑎3 3𝑑𝑚𝑖𝑛 2 × 𝑟 2 = 4𝑎3 4𝑎3 = 3 × 0,6𝑟 2 1,8𝑟 2