RDM-examen-01

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Fichier : Exam_RDM_jan_10.doc examen RDM tronc commun 1ère année
Examen de RDM
Tronc commun / janvier 2010
AUCUN DOCUMENT AUTORISE
Durée : 1h30
Pour chaque exercice :
• vous expliquerez votre démarche.
• Vous donnerez vos résultats sous forme de relations littérales avant de faire les
applications numériques.
• Vous donnerez une conclusion à l’exercice et/ou un commentaire à vos résultats.
• EX1 : sur une copie / EX2, EX3 et EX4 sur une autre copie.
EXERCICE 1 : (4 points) / (temps indicatif à consacrer à l’exercice : 15 mn maxi)
A RENDRE SUR UNE COPIE SEPAREE
barème : Question 1 : 1 point, Question 2 : 1 point, Question 3 : 2 points
On veut poinçonner une tôle en acier d’épaisseur e = 3 mm pour réaliser des
éléments d’assemblage. La contrainte à la rupture de cet acier est τr = 200 MPa.
Le trou à réaliser dans la tôle est décrit ci-dessous avec le paramètre L = 10 mm.
Fig 1 : description du poste de poinçonnage et des formes découpées
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1) Quel effort ││F││ = F (minimal) le poinçon doit-il exercer sur la tôle pour
provoquer le poinçonnage ?
Application numérique : L = 10 mm
2) Pendant le poinçonnage, l’outil travaille en compression.
Soit σpc la contrainte pratique en compression du matériau de l’outil.
La contrainte de compression dans le poinçon est-elle satisfaisante ?
Application numérique : σpc = 250 MPa
3) Donner une expression de « L » pour laquelle le poinçonnage est possible.
Faire l’application numérique.
EXERCICE 2 : (5 points) / (25 mn maxi)
Modélisation d’un support de réservoir du hall « eau & environnement » de l’ENSIL
barème : Question 1 : 1 point, Question 2 : 1 point, Question 3 : 1 point
Question 4 : 1 point, Question 5 : 1 point,
Un support sur roues pour un réservoir de volume V=2000 litres, et de diamètre D = 1m, a
été conçu et fabriqué pour la filière EE en 2008. Ce support est constitué de poutres en I
assemblées par soudage.
On considère que le support est constitué de 3 poutres en I sur 2 appuis (2 autres barres),
les lignes moyennes des 3 poutres sont séparées par une distance e = 400 mm :
Fig 2 : réservoir sur son support Volume d’eau : V = 2000 l.
Diamètre du réservoir : D = 1 m.

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Les actions mécaniques des appuis 2 et 3 sur chacune des 3 poutres 1a, 1b et 1c seront
considérés comme des efforts ponctuels. On peut donc utiliser les modélisations
suivantes :
Fig 3 : modélisation de la poutre 1a (ou 1c)
Fig 4 : modélisation de la poutre 1b
La charge répartie p est due à la répartition du poids du réservoir sur les 3 poutres 1a, 1b
et 1c.
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1) Compléter le paramétrage du schéma ci-dessous, représentant les lignes moyennes
des 3 poutres et le contour du réservoir, en utilisant les paramètres La = Lc, Lb, D, et
e.
Fig. 5 : paramétrage (à compléter)
2) Déterminer l’expression de La (= Lb) en fonction des autres paramètres.
(Expliquer votre démarche)
3) Donner l’expression de Lt, longueur totale sur laquelle le poids du réservoir
s’applique.
4) En déduire l’expression de la charge répartie « p »
Faire l’application numérique (exprimer le résultat en N.mm-1)
5) Déterminer l’expression des réactions des appuis en A et en B pour la poutre 1a.
Vous pouvez utiliser la méthode que vous voulez, en expliquant votre démarche.

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EXERCICE 3 : (5 points) / (20 mn maxi)
barème : partie A : 4 points, Partie B : 1 point,
Dimensionnement d'un pilier cylindrique en béton
Caractéristiques matériau : E = 30000 Mpa / ν = 0,2 / σe = 30 Mpa
Géométrie du pilier : hauteur h0 = 20 m / rayon r
Coefficient de sécurité : s = 6
Effort de compression : | F | = 200.106 N
Fig. 6 : pilier soumis à une charge extérieure
A- Le poids du pilier est négligé
a- déterminer le rayon minimal admissible rmin = r0 .
b- calculer le raccourcissement Δl du pilier de rayon r0 .
c- calculer l'augmentation Δr du rayon.
d- commenter les résultats
B- On étudie maintenant le comportement du pilier soumis à son seul poids
densité du béton : ρ
Exprimer la tension N en chaque point de la ligne neutre
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EXERCICE 4 : (6 points) / (30 mn maxi)
Dimensionnement d’un arbre de transmission
barème : Partie A : 2 points, partie B : 4 points
Un arbre cylindrique plein de diamètre d1 = 32 mm transmet un couple M = 60 N.m.
Caractéristique du matériau de l'arbre : C10 (acier à 0,1% de carbone)
σr = 350 Mpa, σe = 215 Mpa, τe = 108 Mpa, G = 8.104 Mpa
Une rainure de clavette provoque une concentration de contrainte k = 3,5 :
Fig. 7 : concentration de contrainte en fonction de la géométrie de la rainure
A- Vérification du dimensionnement de l’arbre plein
a) Donner l’expression du torseur de cohésion valable pour tout point G de la
ligne moyenne de l’arbre.
b) Déterminer l'angle de déformation unitaire θ en °/m.
c) Déterminer la contrainte maximale |τmax | que subissent les sections droites de
l'arbre.
En déduire le coefficient de sécurité s dont on dispose.
B- Optimisation du poids de l’arbre
Pour diminuer le poids on utilise un arbre creux de diamètre extérieur D = 36 mm
et de diamètre intérieur d. On veut gagner 25% de masse avec le nouvel arbre en
gardant des performances mécaniques de résistance et de déformation au moins
équivalentes.

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a) Déterminer l’expression de :
λ = « masse de l’arbre creux » / « masse de l’arbre plein »
b) Donner l’expression de d, diamètre intérieur de l’arbre, en fonction de D, d1
et λ.
Faire l’application numérique pour λ= 0,75
c) Déterminer l'angle de déformation unitaire θ en °/m de cet arbre creux.
d) Déterminer la contrainte maximale |τmax | que subissent les sections droites de
l'arbre.
En déduire le coefficient de sécurité s dont on dispose.
Commenter les résultats.
e) Choisir une référence de tube, dans l’extrait de catalogue ci-dessous,
permettant de répondre au mieux aux exigences de l’énoncé.
Justifier.
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Fig. 8 : extrait d’un catalogue de tubes aciers

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FORMULAIRE DE RDM – tronc commun 1ère année
Sollicitations simples
Torseur de cohésion
Géométrie des surfaces :
moment statique : Ms(O, x ) = ∫∫s y . dS = S . yG
moment produit :
I(O, x , y ) = I(G, x , y ) + S. xG .yG , Io = IG + d2 . S
Moments quadratiques :
Traction-compression :
contrainte : σx = N / S
loi de Hooke : σx = E . εx et εy = εz = -ν εx
Cisaillement :
τ = G . γ
Flexion simple :
avec
Torsion :
τM = G . γM Mt = G . θ . Io
contraintes tangentielles :
Exemple de diagrammes des efforts tranchants et des
moments fléchissants dans le cas d'une poutre sur 2
appuis :
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