new-corriges-electromag (2)

CORRIG´ ES DES EXERCICES
D’ELECTROMAGN´ ETISME
Christian Carimalo

Calculs directs de champs ´electrostatiques cr´e´es par des
distributions continues de charges
I. Distribution lin´eique
1˝) Tout plan contenant Oz est un P`. Donc en tout point en dehors de la spire, Eϕ“0;
de plus, en chacun des points de Oz, intersection d’une infinit´e de P`,Eρ“0. Le plan
xOy est aussi un P`. En chacun de ses points en dehors de la spire, Ez“0. Pour cette
distribution, on a invariance par rotation autour de Oz :Eρ“Eρpρ, zq,Ez“Ezpρ, zq.
2˝)ÝÑ EpMpzqq “ÝÑ ez
λaz
20rz2`a2s3{2.
3˝)ÝÑ E»ÝÑ ez
1
4π0
q
z2pzqo`u pzq “ `1si zą0et pzq “ ´1si ză0;q“2πaλ est la
charge totale de la spire. Comme attendu, `a tr`es grande distance la spire est vue comme une
charge ponctuelle qsitu´ee au point Oet le champ devient celui de cette charge.
=================================================
II. Deux spires circulaires C1et C2...
1˝) Le plan xOz est un P`:Eypx, 0, zq “ 0.
2˝) Le plan zOy est un P`et le plan xOy est un P´:Exp´x, zq“´Expx, zq,Expx, ´zq “
´Expx, zq,Ezp´x, zq “ Ezpx, zq,Ezpx, ´zq “ Ezpx, zq. Par suite, Ezest une fonction paire
de xet une fonction paire de z, tandis que Exest une fonction impaire de xet une fonction
impaire de z. D’o`u Ezpx, zq “ a1`c1z2`c3x2, Expx, zq “ c1
2xz
3˝)BEx
Bz“BEz Bx, d’o`u c1
2“2c3.
4˝)E1zp0, zq “ λR
20
z´a
rR2` pz´aq2s3{2,E2zp0, zq “ ´λR
20
z`a
rR2` pz`aq2s3{2;
Ez“E1z`E2z, d’o`u a1“ ´ λRa
0rR2`a2s3{2. Il faut effectuer soit un d´eveloppement de Ez
au second ordre suivant z{a, soit, plus simplement, une double d´erivation de Ezpar rapport
`a z, pour obtenir c1“3aRλ
40
3R2´2a2
rR2`a2s7{2. On voit qu’au voisinage de O,Ezp0, zqne d´epend
de zqu’au 4`eme ordre suivant z{asi a“Rc3
2.
=================================================
III. Distributions surfaciques
‚Disque - 1˝) Voir I. 1˝).
2˝)ÝÑ E“EpzqÝÑ ezavec Epzq “ σz
20„1 |z|´1
?z2`a2. Lorsque ztend vers z´ero par valeurs
Christian Carimalo 3Calculs directs de champs

positives, Epzqtend vers Ep0`q “ σ
20
. Lorsque ztend vers z´ero par valeurs n´egatives, Epzq
tend vers Ep0´q“´σ
20
. La discontinuit´e du champ en z“0est Ep0`q ´ Ep0´q “ σ
0
.
3˝) Prenant zpositif et z"a, le champ devient Epzq » Q
4π0
1
z2o`u Q“σπa2est la charge
totale du disque. Ici encore, `a tr`es grande distance, la distribution de charge totale non nulle
est vue comme une charge ponctuelle.
4˝) Lorsque atend vers l’infini, le choix de l’origine des coordonn´ees devient arbitraire. En
utilisant l’expression pr´ec´edente de Epzq, on trouve, pour tout point de l’espace : Epzq “ σ
20
si zą0, et Epzq“´σ
20
si ză0.
=================================================
‚Sph`ere - 1˝) Etant donn´e un point Men dehors de la distribution, tout plan conte-
nant OM est un P`. Le champ en Mest donc port´e par l’intersection de tous ces plans,
c’est-`a-dire par ÝÑ OM : il est radial au sens des coordonn´ees sph´eriques d´efinies par rap-
port `a un tri`edre O, x, y, z. Le choix des axes du tri`edre est arbitraire car la distribution
est invariante sous une rotation quelconque autour de O. Il s’ensuit que la composante ra-
diale du champ ne doit d´ependre que de r“OM :ÝÑ E“EprqÝÑ er, avec ÝÑ er“cos θÝÑ ez
`sin θ”cos ϕÝÑ ex`sin ϕÝÑ eyı.
2˝)ÝÑ E“σ
4π0ijsph`ere
ÝÑ
P M
P M3dΣ.
Pour l’int´egration, on peut choisir ÝÑ Oz suivant ÝÑ OM, cela ne fait aucune diff´erence. Posons
h“OM,ÝÑ OP “RÝÑ er; on a alors ÝÑ P M“hÝÑ ez´RÝÑ er,P M2“h2`R2´2Rh cos θ,
dΣ“R2sin θdθdϕ. D’o`u
ÝÑ
E“ÝÑ ez
σ
4π0
R22πż`1
´1
du h´Ru
rR2`h2´2Rhus3{2avec u“cos θ
Or, I“ż`1
´1
du h´Ru
rR2`h2´2Rhus3{2“ ´ B
Bhż`1
´1
du
rR2`h2´2Rhus1{2et
ż`1
´1
du
rR2`h2´2Rhus1{2“ ´ 1
Rh aR2`h2´2Rhuˇˇˇ
`1
´1“1
Rh rR`h´ |R´h|s.
Pour hăR, on a I“ ´ B
Bh
2
R“0, tandis que pour hąR,I“ ´ B Bh
2
h“2 h2. Ainsi,
ÝÑ
E“ÝÑ 0pour tout point int´erieur `a la sph`ere et ÝÑ E“Q
4π0
ÝÑ
OM
OM3pour tout point ext´erieur
`a la sph`ere, o`u Q“4πR2σest la charge totale de la sph`ere. Dans ce dernier cas, la sph`ere
apparaˆıt comme une charge ponctuelle Qen O. Au passage `a travers la sph`ere, le champ
subit une discontinuit´e ´egale `a ÝÑ ErOM ÑR`0s´ÝÑ ErOM ÑR´0s“σ
0
ÝÑ
eravec ÝÑ er“ÝÑ OM {R.
=================================================
Christian Carimalo 4Calculs directs de champs

IV. Champ du plan xOy charg´e en entier avec la densit´e σ:
ÝÑ
E1“ ´ σ
20
ÝÑ
ezpour zą0,“ ´ σ
20
ÝÑ
ezpour ză0
Champ en un point de l’axe z1zd’un disque de centre Oet de rayon Rcharg´e avec la densit´e
´σ:
ÝÑ
E2“σ
20
ÝÑ
ez„z
|z|´z
?z2`R2
On obtient la distribution propos´ee en superposant les deux distributions ci-dessus. On trouve
le champ total en un point de l’axe z1z:
ÝÑ
E“σ
20
z
?z2`R2
ÝÑ
ez
Il ne pr´esente aucune discontinuit´e en z“0.
Christian Carimalo 5Calculs directs de champs