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ENSTP2021-2022

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École Nationale Supérieure des Travaux Publics (ENSTP)
Concours d’entrée en première année
Épreuve de Mathématiques
A NNÉE ACADÉMIQUE 2021-2022
Durée : 2h 00mn
Exercice 1
✍
Dans le corps C, ensemble des nombres complexes, soit le polynôme
P(z) = 2z3 − (6 + i)z2 + (5 − i)z − 1 + 2 i.
1
1. Calculer P(1) et P − i .
2
2. Déterminer le nombre complexe z0 tel que
P(z) = (z − z0 )(z − 1)(2z + i).
3. Résoudre l’équation P(z) = 0.
Exercice 2
✍
−
→ −
→
P est le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé O, u , v de sens direct.
On donne les points M( x ; y) et M′ ( x ′ ; y′ ) d’affixes respectives z et z′ et la similitude directe f de
√
π
centre A(−1 ; 1), d’angle θ = et de rapport k = 2 telle que f (M) = M′ .
3
1. Écrire la détermination complexe de f .
2. Écrire les coordonnées de M′ en fonction des coordonnées de M.
3. En déduire les coordonnées de O′ = f (O) ; O étant l’origine du repère.
Exercice 3
✍
Soit f , une fonction numérique à variable réelle définie par
f ( x ) = x − 1 + ln | x |.
1. Déterminer le domaine de définition de f .
2. Calculer f (1), lim f ; lim f ; lim f .
0
−∞
+∞
3. Calculer la fonction dérivée première de f .
4. Étudier le signe de f ′ et tracer le tableau de variations de f .
5. En vous servant du tableau de variations de f , étudier le signe de cette fonction.
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