École Nationale Supérieure des Travaux Publics (ENSTP)
Concours d’entrée en première année
ANNÉE ACADÉMIQUE 2021-2022 Épreuve de Mathématiques
Durée : 2h 00mn
Exercice 1 ✍
Dans le corps C, ensemble des nombres complexes, soit le polynôme
P(z) = 2z3−(6+i)z2+ (5−i)z−1+2i.
1. Calculer P(1)et P−1
2i.
2. Déterminer le nombre complexe z0tel que
P(z) = (z−z0)(z−1)(2z+i).
3. Résoudre l’équation P(z) = 0.
Exercice 2 ✍
Pest le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé O,−→
u,−→
vde sens direct.
On donne les points M(x;y)et M′(x′;y′)d’affixes respectives zet z′et la similitude directe fde
centre A(−1 ; 1), d’angle θ=π
3et de rapport k=√2telle que f(M)=M′.
1. Écrire la détermination complexe de f.
2. Écrire les coordonnées de M′en fonction des coordonnées de M.
3. En déduire les coordonnées de O′=f(O); O étant l’origine du repère.
Exercice 3 ✍
Soit f, une fonction numérique à variable réelle définie par
f(x) = x−1+ln |x|.
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Calculer f(1),lim
0f;lim
−∞
f;lim
+∞
f.
3. Calculer la fonction dérivée première de f.
4. Étudier le signe de f′et tracer le tableau de variations de f.
5. En vous servant du tableau de variations de f, étudier le signe de cette fonction.
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