mec chap 1 (1)

CHAPITRE I
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
I-INTRODUCTION :
La cinématique est la branche de la physique consacrée à la description des mouvements.
Elle utilise la notion d’espace et de temps.
1°) Référentiel et repère :
On appelle référentiel l’association d’un ensemble de points rigidement liés les uns aux
autres (distance constante entre ces points), permettant de définir un repérage des espaces
et d’une échelle de temps pour définir un repérage des instants.
On appelle repère R tout système d’axes rigidement liés au référentiel R. Pour un même
référentiel il y a une infinité de repères.
2°) Point matériel :
On appelle ainsi tout élément de matière dont les dimensions sont très petites par rapport à
l’échelle à laquelle on se place. Le mouvement ne peut être qu’un mouvement de translation.
3°) Coordonnées :
a) coordonnées cartésiennes :
Le repère cartésien est formé d’une origine O et de trois axes Ox, Oy et Oz formant un
trièdre trirectangle direct de vecteurs unitaires i , j , k . R (O, i , j , k ).
Soit O un point fixe de R ; OM = r est appelé vecteur position ou rayon vecteur
z
z
M
k
O
y
j
i
y
x
x
OM = x i +y j +z k
(x, y, z) sont les coordonnées cartésiennes du point M.
( i , j , k ) sont fixes dans R
Déplacement élémentaire :
Pour un déplacement élémentaire du point M à un point M’ très voisin de M, le vecteur
déplacement s’écrit :
MM ' = dOM = dM = dx i +dy j +dz k
Dans R : d i =d j =d k = 0 (les trois vecteurs sont fixes).
b) coordonnées cylindriques :
Si la trajectoire du point M possède une symétrie axiale de révolution , il est intéressant
d’utiliser les coordonnées cylindriques de ce point (, ,z)
z
H
M
k
O
j
i
y

e
m
j
e
x
Soit m la projection orthogonale de M sur le plan xOy. e vecteur unitaire de Om
 = Om
 : angle orienté entre i et e
OM = Om + mM =  e + z k
z : côte de M.
(, , z) constituent les coordonnées cylindriques de M.
Soit e un vecteur unitaire directement perpendiculaire à e dans le plan xOy dans le sens
des  croissants. ( e , e , k ) constitue le repère cylindrique.
Les coordonnées cartésiennes se déduisent des coordonnées cylindriques en posant :
x = cos ;
y =  sin et z = z
e = cos i + sin j
e = -sin i + cos j
Déplacement élémentaire :
MM ' = dOM = dM = d( e + z k ) = d e +d e + dz k = d e +d e + dz k
Car d e = d(cos i + sin j ) = -sin d i + cos d j = d e
Coordonnées polaires : Si la trajectoire de M est plane, le point M est repéré par ses
coordonnées polaires  et 
y
e
e
M


j
O
x
i
Si le mouvement de M se fait uniquement dans le plan xOy ( z = 0 à tout instant) :
mouvement plan.
 = OM

    
OM =  e
( ) sont les coordonnées polaires.
x = cos et y = sin
Déplacement élémentaire :
MM ' = dOM = dM = d( e ) = d e +d e = d e + d e
c- Coordonnées sphériques :
Lorsque le problème présente une symétrie sphérique autour d’un point O fixe, on choisit
de travailler avec les coordonnées sphériques.
z
z
er
M
e

k
O
r
e
y
j
y
i

x
m
x
OM = r er
r = OM
e = er  e
Om = rsin
et z = rcos
( er , e , e ) constitue le repère sphérique.
Les coordonnées cartésiennes se déduisent ainsi :
x = Omcos= rsincos
Y = Omsin= rsinsin
z = rcos
r      0,   et   0,2 
(r, ,) sont les coordonnées sphériques.
er = cos k + sin e
e = cos i + sin j
e = -sin k + cos e
e = -sin i + cos j
Déplacement élémentaire :
MM ' = dOM = dM = d(r er ) = dr er + rd er = dr er + r d e + rsind e
On a : er = cos k + sin e et e = -sin k + cos e
Donc d er = -sin d k + cos d e + sind e = d( -sin k + cos e ) + sind e
d er = d e + sind e
Or e = cos i + sin j
et
e = -sin i + cos j
d e = -sind i + cosd j = d( -sin i + cos j ) = d e
Remarque : On dit que le point M est en mouvement / à R si l’une au moins des trois
coordonnées varie au cours du temps.
4°) Trajectoire :
z
M’(t’)
M(t)
(+
)
(R
M
r
(C
)
k
O
i
y
j
x
Soit r = OM = r (t)
Le point M est mobile dans R et définie par x(t) , y(t) et z(t). Ces trois fonctions définissent
une courbe (C) appelée trajectoire du mobile M / R.
MM ' : vecteur déplacement.
On peut aussi se donner une origine M0 sur (C) et un sens positif de parcours sur (C).
La position du point M est alors déterminée par son abscisse curviligne S = MM 0 .
MM0 = S(t) est appelée équation du mouvement ou loi horaire de M sur (C). Elle relie les
coordonnées avec le temps.
L’équation de la trajectoire : c’est une équation qui relie les coordonnées sans qu’intervient
le temps.
II Vitesses :
Soit un mobile parcourant une trajectoire (C)
a) Vitesse moyenne :
M(t)
M’(t’)
t’ =t + t
r
r’
O
MM ' MM ' OM ' − OM
=
=
t '−t
t
t '−t
b) Vitesse instantanée :
Quand les points M et M’ sont infiniment proches, on définit la vitesse instantanée du point
M comme :
MM '
V (M)R = lim (t’ → t)
t '−t
V
moy =
On a OM ' = r ' = r (t + t)
OM = r = r (t)
MM ' = OM ' - OM =  r
V (M)R = lim (t → 0)
r
dr
=
t
dt
•
dr
=r
dt
*Direction et norme de V
a-Direction
V (M)R =
M(t)
e
M’(t’)
t’ =t + t
r
r
r’
O
Quand t → 0   r → d r = dr e
e est un vecteur unitaire tangent à (C) en M.
•
d r dr
e = r e
=
dt
dt
V = V e  V est tangent à la courbe en M.
V (M)R =
b-Norme :
M
M(t)
S
r
M’(t’)
t’ =t + t
r
r’
O
M0M = S(t)
M0M’ = S’(t) = S(t + t)
Quand t → 0  S → dS
 r → d r et dr → dS
d r = dS e
V=
dr
dS
e =
=
dt
dt
•
•
S e
V = S e
Remarque : la vitesse est dirigée dans le sens du mouvement. Elle est toujours orientée dans
le sens positif (+) choisi sur la courbe.
4°) Composantes de la vitesse :
• Coordonnées cartésiennes :
A partir du déplacement élémentaire, on a :
dM = dOM = dx i +dy j +dz k
V (M) =
d OM dx
dy
dz
=
i +
k
j +
dt
dt
dt
dt
Les vecteurs ( i , j , k ) sont fixes dans R , donc(
•
V =
x
•
i +y j +
di d j d k
=
=
= 0 dans R).
dt
dt
dt
•
zk
• 2
Elle a pour norme V =
x
• 2
+
y
• 2
+z
• Coordonnées Cylindriques et polaires :
On pose  = Om
 = ( Ox , Om ) dans le repère cartésien on a x = cos ; y = sin et z = z
,  et z sont fonction du temps donc V (M) sera dans R :
d d 
d dz
d
V (M) =
cos - sin
;
sin + cos
;
dt
dt
dt
dt
dt
Comme on peut écrire OM =  e + z k
•
V (M) =

e + 
d e
+
dt
•
zk
On a e = cos i + sin j
d e
= −sin i + cos j
d
e = cos j - sin i =
d e
de
 de même  = − e
d
d
•
d e d e d
=
=  e
d dt
dt
•
d e d e d
=
= − e
d dt
dt
Or
•
V (M) =
•
•
 e +  e + z k
•
 : composante radiale de V
•
  composante orthoradiale
Dans le mouvement plan z = 0 donc V =
•

•
e +  e
On peut trouver les mêmes résultats en utilisant le déplacement élémentaire en coordonnées
cylindriques :
MM ' = dOM = dM = d( e + z k ) = d e +d e + dz k
d OM d
dz
d
=
V (M) =
k =
e +
e +
dt
dt
dt
dt
•
•
* Coordonnées sphériques :
On a : MM ' = dOM = d(r er ) = dr er + r d e + rsind e =
Donc : V (M) =
•
•
•
+ r e + rsin e
re
r
III- Vecteur accélération :
1°) Définition : a moy =
V
t
••
dV
=r
dt
2°) Accélération tangentielle et normale :
a (M)R =
M
e
S
M’


eN

e
’
’
O
dS
V =
e =
dt
•
e
•
e  a =
S
d e
d e dS
=
=
dS dt
dt
=
•
S
••
S e
d e
dS
d e
d e d
=
dS
d dS
1
d
dS = d 
=

dS
d e
1
d e
eN
= eN 
=
dS

d
•
e
=
V

eN  a =
•
aT = V =
••
S
e +
V2

eN
••
S
: accélération tangentielle
•
+
•
 e +  e + z k
•
S e
dr
d
d
e + rsin
er + r
e
dt
dt
dt
• 2
V
aN =
2

S
=
: accélération normale

Remarque : Pour que a(M) soit normale à © il faut que
dV
= 0  V = constante  le
dt
mouvement de M sur © doit être uniforme curviligne.
Pour un mouvement rectiligne  →   a N = 0 et a = a T
Composantes de a :
••
••
•
•
••
•
y = V y; az = z =V z
x = V x ; ay =
Coordonnées Cartésiennes : ax =
Coordonnées Cylindriques et polaires :
•
D’après V (M) =
••
•
On a
a=
•
•
•
e =  e et
••

•
•
zk
••
•
•
•
••
 e +  e +   e +  e +  e + z k
a (M) = V =
•
•
e +  e +
•
•
•
e
•
•
= - e
•
••
•
••
••
••
 e +   e +   e +  e -  2 e + z k
•
••
•
•
a = (  -  2 ) e + ( 2   +  ) e +
zk
Dans le mouvement plan z = 0
•
••
a =
 -  2
•
••
•
a = 2   + 
Coordonnées sphériques
••
•
•
•
•
••
•
•
a (M) = ( r - r 2 − r  2 sin) er + ( 2 r  + r − r 2 sincos) e + (2 r
•
•
 sin + 2r
••
•
 cos +r sin ) e
IV Mouvement rectiligne :
Les vecteurs vitesses et accélérations sont portées par la droite sur laquelle s’effectue le
mouvement.
OM = r = x i
•
V =
xi
xi
••
a =
•
Si la vitesse est constante, le mouvement est dit uniforme. V = cte  a = V = 0
dx
= V  dx = Vdt  x – x0 = V(t – t0)
dt
Mouvement rectiligne uniformément varié :
a = cte
dV
= a = cte  dV = adt
dt
V = V0 + a(t – t0)
1
x = x0 + V0(t – t0) + a (t – t0)2
2
dV
dx
dV
a=
et V =
 dx = Vdt  adx = Vdt
dt
dt
dt
1
 adx =  VdV  a( x – x0) = 2 (V2 – V02)
• Mouvement accéléré :
V et a sont dans le même sens ; V est une fonction croissante du temps
2
dV
2
V
=V 2;
>0 
dt
* Mouvement decéleré :
dV
d 2
V = 2V
= 2V a > 0
dt
dt
V est une fonction décroissante du temps
V et a sont en sens contraire.
V-Mouvement circulaire :
z
y
eN
e

M
e
x
Le point M se déplace sur un cercle d’axe Oz et de rayon R.
 = OM = R = cte
 = ( Ox, Om) = (t)
On utilise ici les coordonnées polaires :
•
•
V =

•
V  = 
=R 
=0
Seule la composante orthoradiale qui n’est pas nulle
•
V = R = R
d onc V = R e
••
a =

•
avec  =
d
 vitesse angulaire
dt
•
-  2
••
•
a = 2   + 
•
 = R  a = -R 2 = −R = −
••
V2
car e = - e N
R
•
a = R = R 
On peut aussi représenter le mouvement en faisant introduire un vecteur rotation  parallèle à
l’axe Oz tel que  =  k
Dans le repère ( e , e , k ) ; OM = R e ,  =  k
  OM =  k  R e = R e = V
Donc V =   OM
•
dOM
d
d
=  V +
 OM +  
 OM
dt
dt
dt
d
d
e
= ( k )  (R e ) + (
) k  R e = - R e + R
dt
dt
V2
d 2
d

aN = R =
, aT = R
=R 2
R
dt
dt
Remarque : Mouvement circulaire uniforme :
 = cte  aT = 0
a =V=
•
Mouvement circulaire uniformément accélérée ,
•
=
 (t − t) + (t - t0) + 0
2

= cte