mec chap 1 (1)

CHAPITRE I
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
I-INTRODUCTION :
La cinématique est la branche de la physique consacrée à la description des mouvements.
Elle utilise la notion d’espace et de temps.
1°) Référentiel et repère :
On appelle référentiel l’association d’un ensemble de points rigidement liés les uns aux
autres (distance constante entre ces points), permettant de définir un repérage des espaces
et d’une échelle de temps pour définir un repérage des instants.
On appelle repère R tout système d’axes rigidement liés au référentiel R. Pour un même
référentiel il y a une infinité de repères.
2°) Point matériel :
On appelle ainsi tout élément de matière dont les dimensions sont très petites par rapport à
l’échelle à laquelle on se place. Le mouvement ne peut être qu’un mouvement de translation.
3°) Coordonnées :
a) coordonnées cartésiennes :
Le repère cartésien est formé d’une origine O et de trois axes Ox, Oy et Oz formant un
trièdre trirectangle direct de vecteurs unitaires
i
,
j
,
k
. R (O,
i
,
j
,
k
).
Soit O un point fixe de R ;
OM
=
r
est appelé vecteur position ou rayon vecteur
OM
= x
i
+y
j
+z
k
(x, y, z) sont les coordonnées cartésiennes du point M.
(
i
,
j
,
k
) sont fixes dans R
Déplacement élémentaire :
Pour un déplacement élémentaire du point M à un point M’ très voisin de M, le vecteur
déplacement s’écrit :
'MM
=
dOM
=
dM
= dx
i
+dy
j
+dz
k
x
y
z
M
O
x
y
z
i
j
k

Dans R : d
i
=d
j
=d
k
=
0
(les trois vecteurs sont fixes).
b) coordonnées cylindriques :
Si la trajectoire du point M possède une symétrie axiale de révolution , il est intéressant
d’utiliser les coordonnées cylindriques de ce point (, ,z)
Soit m la projection orthogonale de M sur le plan xOy.
e
vecteur unitaire de
Om
 =
Om
 : angle orienté entre
i
et
e
OM
=
Om
+
mM
= 
e
+ z
k
z : côte de M.
(, , z) constituent les coordonnées cylindriques de M.
Soit
e
un vecteur unitaire directement perpendiculaire à
e
dans le plan xOy dans le sens
des  croissants. (
e
,
e
,
k
) constitue le repère cylindrique.
Les coordonnées cartésiennes se déduisent des coordonnées cylindriques en posant :
x = cos ; y =  sin et z = z
e
= cos
i
+ sin
j
e
= -sin
i
+ cos
j
Déplacement élémentaire :
'MM
=
dOM
=
dM
= d(
e
+ z
k
) = d
e
+d
e
+ dz
k
= d
e
+d
e
+ dz
k
Car d
e
= d(cos
i
+ sin
j
) = -sin d
i
+ cos d
j
= d
e
Coordonnées polaires : Si la trajectoire de M est plane, le point M est repéré par ses
coordonnées polaires  et 
x
y
z
M
O
i
j
k
e
e
m
H
j

Si le mouvement de M se fait uniquement dans le plan xOy ( z = 0 à tout instant) :
mouvement plan.
 =
OM
OM
= 
e
( ) sont les coordonnées polaires.
x = cos et y = sin
Déplacement élémentaire :
'MM
=
dOM
=
dM
= d(
e
) = d
e
+d
e
= d
e
+ d
e
c- Coordonnées sphériques :
Lorsque le problème présente une symétrie sphérique autour d’un point O fixe, on choisit
de travailler avec les coordonnées sphériques.
OM
= r
r
e
r =
OM
e
=
r
e
e
x
y
i
j
M
e
e
O
x
y
z
M
O
x
y
z
i
j
k
er
e
e
m
r

Om = rsin et z = rcos
(
r
e
,
e
,
e
) constitue le repère sphérique.
Les coordonnées cartésiennes se déduisent ainsi :
x = Omcos= rsincos
Y = Omsin= rsinsin
z = rcos
r
,0
et 
2,0
(r, ,) sont les coordonnées sphériques.
r
e
= cos
k
+ sin
e
e
= cos
i
+ sin
j
e
= -sin
k
+ cos
e
e
= -sin
i
+ cos
j
Déplacement élémentaire :
'MM
=
dOM
=
dM
= d(r
r
e
) = dr
r
e
+ rd
r
e
= dr
r
e
+ r d
e
+ rsind
e
On a :
r
e
= cos
k
+ sin
e
et
e
= -sin
k
+ cos
e
Donc d
r
e
= -sin d
k
+ cos d
e
+ sind
e
= d( -sin
k
+ cos
e
) + sind
e
d
r
e
= d
e
+ sind
e
Or
e
= cos
i
+ sin
j
et
e
= -sin
i
+ cos
j
d
e
= -sind
i
+ cosd
j
= d( -sin
i
+ cos
j
) = d
e
Remarque : On dit que le point M est en mouvement / à R si l’une au moins des trois
coordonnées varie au cours du temps.

4°) Trajectoire :
Soit
r
=
OM
=
r
(t)
Le point M est mobile dans R et définie par x(t) , y(t) et z(t). Ces trois fonctions définissent
une courbe (C) appelée trajectoire du mobile M / R.
'MM
: vecteur déplacement.
On peut aussi se donner une origine M0 sur (C) et un sens positif de parcours sur (C).
La position du point M est alors déterminée par son abscisse curviligne S =
0
MM
.
MM0 = S(t) est appelée équation du mouvement ou loi horaire de M sur (C). Elle relie les
coordonnées avec le temps.
L’équation de la trajectoire : c’est une équation qui relie les coordonnées sans qu’intervient
le temps.
II Vitesses :
Soit un mobile parcourant une trajectoire (C)
a) Vitesse moyenne :
V
moy =
tt
MM
−''
=
t
MM '
=
tt OMOM −
−
'
'
b) Vitesse instantanée :
Quand les points M et M’ sont infiniment proches, on définit la vitesse instantanée du point
M comme :
V
(M)R = lim (t’
→
t)
tt
MM
−''
On a
'OM
=
'r
=
r
(t + t)
x
y
z
M(t)
O
i
k
j
r
(C
)
M
(+
)
M’(t’)
(R
O
r
r’
M(t)
M’(t’)
t’ =t + t