Mécanique Quantique: Exercices Équation de Schrödinger

LICENCE FONDAMENTALE DE CHIMIE
Travaux dirigés de mécanique quantique (Equation de Schrödinger) SMC4(M24) : Série N° II
Etude de l’électron libre dans un puits de potentiel
Nous étudions le problème d’un électron libre produit lors de l’ionisation de l’atome d’hydrogène. On
impose à l’électron de masse me et d’énergie E de se déplace le long de l’axe ox, mais dans l’intervalle [0,
L] on lui applique un potentiel V. (voir figure ci-dessous)
Figure : Electron libre dans un puits de potentiel
La distance OL est égale à 258 pm (1 picomètre= 10-12 m)
Soit Ĥ l’opérateur Hamiltonienmonodimensionnel de cet électron et (x,t) sa fonction d’onde non
stationnaire.
Réponse
Q-1. Ecrire l’équation de Schrödinger totale de l’électron dans chaque région de l’espace.
Considérons d’abord le problème à une dimension d’un électron microscopique de masse me= m qui se
déplace librement dans ce puit de potentielcompris entre 0 et L. A l’intérieur du puit, la particule n’est
soumise à aucun potentiel, par contre, la particule ne peut quitter le puit (elle est donc soumise à un
potentiel infini en dehors du domaine [0,L]). Le problème répond aux conditions de potentiel suivantes :
V(x) = 0 0 ≤ x ≤ L
sinon V(x) = 
L’équation de Schrödinger de cet électron prend la forme générale :
),(
),(
),(),(
2
),( 2
2
tx
ttx
i
txtxV
mt tx
i
Cette équation est connue sous le nom d’équation de Schrödinger dépendante du temps.
Q-2. En séparant les variables : espace-temps, donner l’expression analytique de l’équation de
Schrödinger stationnaire de l’électron libre.
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Si l’énergie potentielle ne dépend pas du temps, alors, la solution de l’équation peut se mettre sous
une forme où les variables de temps et d’espace sont séparées.
 (x,t) =  (x).f(t).
On obtient :
)()()()(
2
)( 2
2tfxxVx
mttf
i
En divisant cette équation par  (x).f(t), on obtient l’expression :
)( )()( )( xx ttf tfi
H
dont les deux membres ne dépendent pas des mêmes variables. Ceux-ci doivent donc être égaux à une
seule et même constante, il s’agit bien de l’énergie E de notre électron libre soumise à un potentiel de
référence. Cette méthode est connue par la méthode de séparation des variables.
La seconde équation s’écrit :
)()(,(
2
)( 2
2xExxV
m
x H
Cette équation est connue sous le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps qui
permet de déterminer les fonctions d’onde d’espace des particules quantiques. Elle s’écrit sous
forme d’une équation aux valeurs propres :
Ĥx = E x
dans laquelle Ĥest l’opérateur Hamiltonien et E est l’énergie qui est une grandeur physique
observable. C’est l’équation de Schrödinger d’un état stationnaire
Q-3-a. Montrer que l’énergie de l’électron est quantifiée et établir son diagramme énergétique.
Sachant que les fonctions d’onde monodimensionnelles aux bornes (x=0 et x=L) sont nulles (conditions
aux limites).
L’équation de Schrödinger indépendante du temps dans la région II s’écrit sous forme d’une équation
différentielle :
0)(
2
)(
)()(
2
2
2
2
2
t
mE
t
xEx
m
Si on pose
kx
22mE
2
est positif, alors on obtient l’équation différentielle en x :
0)(
)( 2
2
2
xk
xxx
dont la solution générale s’écrit comme suit :
(x) = A sin(kXx) + B cos(kXx)
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Comme dans tout problème physique, les conditions aux limites permettent de fixer les constantes A et B.
Puisque la particule est astreinte à rester dans ce puit de potentien x appartien à [0, L], la probabilité de
la trouver à l’extérieur est nulle et la solution doit s’annuler en tout point x ≤ 0 et x ≥ L.
(0)=0  A sin(kX0) + B cos(kX0) = A.0 + B.1 = 0 B=0
Et (L)=0  A sin(kXL) = 0  kXL = n (avec nentier positif)
Dès lors 
n(x) = A sin (
L
n
x) avec n =1,2,3,…, 0 n’étant pas acceptable
et
22
22 2
mE
L
n
ou encore
Ennx
2h2
8mL
2
, n=1,2,3,… 
n
E
ɛ n2
La résolution de l’équation nécessite l’introduction d’un nombre entier, appelé nombre quantique. Par
conséquent, l’énergie de ce système n’est plus une valeur réelle quelconque, mais seules des valeurs
discrètes sont acceptables. Ces valeurs discrètes font apparaître un spectre d’énergie, chaque énergie
étant caractéristique d’un état quantique du système précisé par la valeur que prend le nombre
quantique associé.
Q-3-b. Calculer l’énergie de l’électron dans l’état ou n=1 (en J et en KJ/mole).
Pour nx=1, l’expression de l’énergie s’écrit comme suit :
E1 = 
Ap. N. E1 = 
= 9,05 10-19 J
1J= 6,02 1020 KJ/mo
E1 =9,05 10-19 * 6,02 1020 = 545 KJ/mol
Q-3-c. Calculer la vitesse de l’électron libre et conclure.
Si le potentiel est nul, l’énergie totale de l’électron est égale à l’énergie cinétique de l’électron.
E1= Ecinétique= 
 m  et 
Ap.N. 
 = 1,41 106 m s-1
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En comparant cette vitesse à celle de la vitesse de l’électron possédant la même vitesse que la lumière, on
trouve :
 = 0,0047 m/s
On estime la vitesse de l’électron à 0,5%.
Q-3-d. Si l’électron atteint la vitesse de la lumière quelle est la dimension des bornes de ce puits de
potentiel.
Si la vitesse de l’électron atteint la vitesse de la lumière alors la distance OL du puit de potentiel est
égale à :
L= h/2mc = 
 = 
On constate que l’électron sera piégé dans un puits de longueur de l’ordre de 1,2 pm.
Q-4. En se limitant aux trois premières énergies (n=1,2 et 3), déterminer le spectred’énergie ainsi
que la matrice associée à l’énergie de cet électron libre.
L’équation de Schrödinger dstationnaire de ce système est :
Ĥn(x)= Enn(x)
Si n= 1  E1= 54,5 KJ/mol, pour n=2 KJ/mol et pour n=3 E3= 490,5 KJ/mol
Nous utilisons la notation de Dirac Bra-Ket pour déterminer la matrice associée à l’opérateur
Hamiltonien H.
Or Ĥ/n(x)> = En/n(x)> ; multiplions par le Bras <m(x)/, nous obtenons la valeur de la matrice énergie
dans la base des trois vecteurs : { /1(x)>, /2(x)>, /3(x)>,} et on leur y associées les énergies {E1, E2,
E3} qui forme donc le spectre des valeurs propres. Ces fonctions appartiennent à l’espace de Hilbert.
Emn= [<m(x)/Ĥ/n(x)>] / [<m(x)/n(x)>]
Or les fonctions sont orthogonales et orthonormales c'est-à-dire :
Si n= m <Ĥ>n = Enn= <n(x)/Ĥ/n(x)> = Enet si n m  Emn=0
 :
   =   
Q-5-a. Si la fonction d’onde stationnaire est de carrée sommable, déterminer sa constante de
normalisation. Quelles sont les autres propriétés de la fonction d’onde.
n(x) = A sin (
L
n
x) avec n =1,2,3,…, 0 n’étant pas acceptable

<1(x)/1(x)>=
La condition de normalisation permet de fixer la valeur de la constante A. Elle s’écrit :
Nous utilisons les intégrales usuelles :
A2sin2
0
L
(nx
L
x)dx 1
A2L
21
d’où
A2
L
L’expression de la fonction d’onde s’écrit :
n(x) =
L
2
sin (
L
n
x)
La fonctions d’onde de l’espace de Hilbert sont :
 De carrée somable
 finie
 Continue
 uniforme
N.B. Les questions ci-dessous sont traitées en salle de TD.
Q-5-b. Donner l’expression analytique de la densité de probabilité de l’électron dans l’état ou n=1,
2 et 3. Dans quelles régions de l’espace, on a plus de chance de trouver l’électron.
Q-6-a. Déterminer les positions moyennes de l’électron dans les états ou n=1,2 ou 3 et donner
ensuite la matrice moyenne associée à la position de l’électron pour ces trois états.
Q-6-b. Calculer la position quadratique de l’électron libre.