BTS Systèmes électroniques Intégration 02/12/2013
Lycée Saint Joseph Pierre Rouge 2013-2014
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I. Définitions
Définition : On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle lorsque l’on peut la tracer d’un
seul trait sur celui-ci.
Définition : Soit une fonction continue et positive sur ; .
On appelle intégrale de à de () l’aire du domaine et on note :
= ()
.
Exemple de calcul approché d’une intégrale avec le solveur graphique de la calculatrice (TI):
9 ln
7,62
47,2
Théorème : Soit une fonction continue sur l’intervalle [ , ], et une primitive de sur
l’intervalle [ , ] :
()
=[()]
=()().
Exemple de calcul exact d’une intégrale :
1. (2+ 3)
=
3+ 3
=4
34+ 3 × 4 1
31+ 3 × 1=27.
Une intégrale négative signifie que la graphe de la courbe est en
dessous de l’axe des abscisses :
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2
2.
cos(4+ 2)
=1
4sin(4+ 2 )
=1
4sin(4 × + 2)1
4sin(0 × + 2)
=1
4sin 2 1
4sin 2 = 0.
L’aire obtenue est nulle, car on ajoute
successivement une aire positive est une
aire négative.
La périodicité de la fonction intégrée induit que sur tout intervalle d’amplitude
, cette
intégrale sera nulle.
II. Aire d’un domaine entre deux courbes
- =
L’aire du domaine est donné par l’aire du domaine l’aire du domaine . D’où on déduit la
propriété suivante.
Propriété : Soient et deux fonctions positives continue et positive sur l’intervalle [ ; ] tel
que : pour tout réel de l’intervalle [ ; ] ()() . Alors l’aire du domaine délimité par les
courbes représentative de la fonction , celle de la fonction , la droite d’équation = et
= est donnée en unités du repère par :
()()d
= ()d
()d
.
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III. Propriétés
Propriété : Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [ ; ]. Alors :
()
0.
Propriété : (Linéarité de l’intégrale) Soit et deux fonctions continues sur l’intervalle [ ; ]
et un réel :
()+()
= ()
+ ()
.
Propriété : (Relation de Chasles) Soit une fonction continue sur l’intervalle [ ; ], un réel
de l’intervalle [ ; ], et une primitive de sur l’intervalle [ ; ] :
()d
= ()d
+ ()d
.
IV. Valeur moyenne d’une fonction
Définition : Soit une fonction continue sur ; .
On appelle valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [ ; ], le nombre réel :
1
()d
.
Propriété : Soit une fonction continue et périodique sur , et sa période.
Alors quels que soient les réels et
()d
= ()d
.
La valeur moyenne d’une fonction périodique de période sur un intervalle de longueur ;
pour tout dans ,
=1
()d
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V. Intégration par parties
Théorème : Soient et deux fonctions dérivables admettant des dérivées continues sur un
intervalle . Si et sont deux éléments de , alors :
()()d
=[()()]
()()d
Exemple 1 : Calcul de
= sin d
.
On pose ()=
()= sin et ()= 1
()=cos , alors :
=[cos ]
cos d
=
4×2
2+[sin ]
=
4×2
2+2
2=2
21
4.
Exemple 2 : Calcul de :
= e d
.
On pose ()=
()= e et ()= 1
()= e, alors :
=[e]
ed
= e [e]
= e 1 + e = 2e + 1.
BTS Systèmes électroniques Développement limité 06/01/2014
Lycée Saint Joseph Pierre Rouge 2013-2014
I. Approximation locale de la fonction exponentielle
en 0.
Définition : On définit la fonction () de sorte que ()
0.
Définition : On appelle développement limité d’une fonction une fonction polynôme qui
l’approche.
Exemple sur la fonction exponentielle :
Théorème : Le développement limité de la fonction exponentielle est donnée par la formule :
e= 1 + +
2! +
3! ++
!+().
Les suivantes sont le développement limité de la fonction exponentielle pour un ordre donné :
()= 1 + +() à l’ordre 1.
()= 1 + +
+() à l’ordre 2
()= 1 + +
+
+() à l’ordre 3…
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18
19
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/
20
100%