Mathématiques Saidi Fares 11/6/2023 2022/2023 Le nombre d’or φ Qu’est ce que le nombre d’or ? ↈ Le nombre d’or est un nombre très fameux en mathématiques , il est noté par φ qui est une notation grecque , C’est un nombre irrationel . C’est un concept mathématique pratiqué en géométrie et en sciences . Ce nombre est un des progrès mathématiques très fameux du mathématicien italien Fibonacci , c’est pourquoi ce nombre est appelé aussi nombre de Fibonacci . Ceci explique la citation de ‘’ Jean Marie Pelt ‘’ qui a dit “Fibonacci fut le plus grand mathématicien du XIIIè siècle. Sa série est célèbre, comme l'est aussi le fameux nombre d'or qui régit les proportions harmonieusement de la nature, mais aussi de l'architecture, soit 1,618.” Personnellement , on dit que ce nombre est un grandiose en mathématiques . Φ = 𝟏+√𝟓 ≈ 𝟏. 𝟔𝟏𝟖 𝟐 La plus fameuse formule au nombre d’or est : φ2= φ+1 , cette formule est la formule qui fait Ce nombre grandiose 𝟏+√𝟓 2 𝟏+𝟐√𝟓+𝟓 ) = 𝟐 𝟒 Φ2 = ( = 𝟔+𝟐√𝟓 𝟒 = 𝟐+𝟐√𝟓 𝟒 𝟒 𝟏+√𝟓 𝟒 𝟐 + = + 𝟏 = φ+1 Cette formule nous pousse à déduire d’autres formules : Φ3= φ . φ2 = φ . ( φ+1 ) = φ2 + φ = φ+1+ φ= 2φ+1 φ3 = 2φ+1 = 𝟐 × 𝟏+√𝟓 𝟐 + 𝟏 = 𝟏 + √𝟓 + 𝟏 = 𝟐 + √𝟓 Φ4= φ3.φ=(2φ+1).φ=2φ2+φ=2(φ+1)+φ=3φ+2 φ4=3φ+2 = 𝟑(𝟏+√𝟓) 𝟐 𝟑+𝟑√𝟓 +𝟐= 𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟕+𝟑√𝟓 𝟐 Φ5= φ4.φ=(3φ+2).φ=3φ2+2φ=3(φ+1)+2φ=3φ+3+2φ=5φ+3 Φ5=5φ+3 = 𝟓(𝟏+√𝟓) 𝟐 +𝟑= 𝟓+𝟓√𝟓 𝟐 + 𝟔 𝟐 = 𝟏𝟏+𝟓√𝟓 𝟐 Φn+φn-1=φn-1+1+ φn-1= φn-1(φ+1)= φn-1× φ2= φn-1+2= φn+1 Φn+ φn-1= φn+1 ↈ Supposant que a=1 ; On peut construire les droites ci-dessous de longueurs aφ , aφ2 , aφ3 , aφ4 et aφ5 a.φ a.φ2 a.φ3 a.φ4 a.φ5 𝝋= 𝝋𝟐 𝝋 = 𝝋+𝟏 𝝋 = 𝝋 𝝋 + 𝟏 𝝋 =𝟏+ 𝟏 𝝋 φ=1+ Cette formule nous permet de déduire que : 𝟏 𝟏+ …= 𝝋 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟏+ 𝝋 𝟏 𝝋 𝟏 𝟏+ = 𝟏+ 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟏+ 𝟏+ 𝟏 𝝋 𝟏 = 𝟏+ = 𝝋 𝝋 = 𝟏+ 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝝋 Φ = √𝝋𝟐 = √𝝋 + 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏+ 𝝋 𝝋 = √𝝋 + 𝟏 Cette formule nous permet de déduire que : √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + ⋯ √𝟏 + 𝝋 = 𝝋 √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + 𝝋 = √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + 𝝋 = 𝟏√𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + 𝝋 = √𝟏 + √𝟏 + √𝟏 + 𝝋 = √𝟏 + √𝟏 + 𝝋 = √𝟏 + 𝝋= φ Sachant que φ = 1.61803398875 : φ=1+ 𝟏 𝟏 𝝋 𝝋 = 𝝋−𝟏 𝟏 𝝋 =0.61803398875 20230611-1228-40.89 10957.mp4 Interprétation : on construit un rectangle de cotés a et b vérifiant 𝒂 𝒃 = 𝝋 dans lequel on trace un grand carré qui aura pour côté la largeur du rectangle. On réitère cette opération dans le rectangle restant, et ainsi de suite jusqu'au point limite. On trace ensuite une spirale logarithmique en dessinant des quarts de cercle dans les carrés. 𝒂 Les rectangles de cotés a et b vérifiant 𝒃 = 𝝋 s’appellent rectangles d’or et la spirale logarithmique est appelée spirale d’or ou spirale de Fibonacci Au 15e siècle, on sait que les "Éléments" d'Euclide sont repris par Luca Pacioli, moine franciscain et professeur de théologie sacrée qui connaît parfaitement à travers Euclide et Pythagore, la division d'un segment de droite en moyenne et extrême raison. Son livre traite de l'architecture, des proportions du corps humain et des lettres de l'alphabet. C'est au temps de Pacioli, c'est-à-dire de la Renaissance, que les grands artistes, comme son ami Léonard de Vinci, adoptent la Divine Proportion comme canon de la Beauté, de l'Harmonie. Nous aborderons ce sujet un peu plus loin. Source ; 7 applications fascianantes du n.d’or 15/7/2022 Un triangle dont le quotient de coté a sur le coté b comme l’indique la figure 𝒂 ci - contre est φ, ( = 𝝋 ) 𝒃 est un triangle d’or Les angles du triangle d’or ̂ = sin-1(𝒇) Sin-1(sin 𝑩𝑨𝑪) 𝒄 𝟏 𝟐 √𝒂𝟐+( )𝟐 Sin-1( ) = 72° 𝒄 et 180°- 72°.2=36° Il s’agit ici d’un triangle d’argent ou gnomon d’or qui est un triangle isocèle ou ses cotés XA et AC 𝑨𝑿 𝑨𝑪+𝑨𝑿 vérifiant = = 𝝋 𝑨𝑪 𝑨𝑿 Supposons que h est l’hauteur de XAC isocéle en X : ̂= XAC = sin-1(sin𝑿𝑨𝑪) 𝒉 Sin-1( ) = 𝟑𝟔° 𝑨𝑿 et l’angle de sommet X=108° On peut tracer la spirale logarithmique dans le triangle d’or 20230611-1447-29.78 81389.mp4 On construit des triangles d’or dans lequel on trace des triangles d’argent on trace notre spirale en dessinant des arcs dont ses centres sont les sommets des triangles d’argent La spirale dessinée est une spirale d’or Le nombre d’or a une utilité a toute chose ( design ; constructions , dessin des corps … ) ça nous permet de dire que ce nombre est vraiment un progrès fascinant et grandiose aux mathématiques Tout ça est grâce à Fibonacci . C’est un progrès majestueux …