APPLICATION
1- Un mobile M est en mouvement dans un plan vertical par rapport à un repère orthonormé
R(O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑). Le vecteur accélération de son mouvement est constant, vertical, orienté vers le bas, de
norme a = 10m.s-2. A l’instant initial il se trouve à l’origine O du repère avec un vecteur vitesse initial
⃑⃑⃑⃑
𝑉0 , horizontal , de même sens que 𝑖⃑ , de norme V0 = 4m.s-1. Par rapport au même repère un autre
mobile M’, dont le mouvement a le même vecteur accélération que celui de M, part initialement de la
position x= 2, y = 0 avec une vitesse nulle.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑(t) = 1 𝑎⃑ t2 + ⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑0 où 𝑂𝑀
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑0 = 𝑂𝑀
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑(t=0) et ⃑⃑⃑⃑
⃑⃑ (t=0). En déduire l’équation horaire de son
𝑂𝑀
𝑉0 t + 𝑂𝑀
𝑉0 = 𝑉
2
mouvement.
2-a-Quelle est la nature de la trajectoire de M ?
b-Établir l’équation horaire du mouvement de M’.
c-Quelle est la nature de sa trajectoire ? Peut-on dire que son mouvement est un MRUV ?
Repérage en coordonnées cartésiennes
-
⃑⃑⃑𝑎⃗ : vect Ct
𝜋
Direction : verticale
a cos ( 2 )= 0
Sens : sens contraire a 𝑗⃗ ⇒ ⃑⃑⃑𝑎⃗ a cos (𝜋 )= -a = -10
Norme : 10m.s-2
𝑥=0
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀(𝑡 = 𝑡0 ) = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀0
𝑦=6
⃑𝑉⃗ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃑⃑⃑⃑⃑
𝑉0 -
Direction : horizontale
𝑉0Cos (0) = 𝑉0 = 4
⃑⃑⃑⃑
Sens : même sens que 𝑖⃗ ⇒ 𝑉0
𝜋
Norme : 𝑉0 = 4m.s-1
𝑉0Cos ( 2 ) = 0
⃑⃑⃑⃑
𝑉0
𝑦=6
𝑀′ (𝑡 = 𝑡0 )
𝑀(𝑡 = 𝑡0 )
𝑎⃗
𝑗⃗
O
𝑖⃗
𝑥=8
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗(𝑡) = 1 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗0 où ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑(t=0) et ⃑⃑⃑⃑
⃑⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
⃑⃑ (t=0).
𝑂𝑀
𝑂𝑀0 = 𝑂𝑀
𝑉0 = 𝑉
2
On sait que ;
⃑⃗
𝑑𝑉
𝑑𝑡
⃑⃗ = 𝑎⃗𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑉
⃑⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑑𝑡
= 𝑎⃗(𝑡) ⇔ 𝑑𝑉
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
⃑⃗ (𝑡) = 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 or 𝑉
⃑⃗ (𝑡) = 𝑑𝑂𝑀
On obtient 𝑉
𝑑𝑡
On a
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
= 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡
Séparons les variables ⇒ 𝑑𝑂𝑀
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 On intègre membre à membre ⇒
⇔ 𝑑𝑂𝑀
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗∫ (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 ⇔ ∫ 𝑑𝑂𝑀
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝐶⃗1 𝑑𝑡 (La linéarité de l’intégrale)
∫ 𝑑𝑂𝑀
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗(𝑡) = 1 𝑎⃗𝑡 2 + 𝐶⃗1 𝑡 + 𝐶⃗2
On obtient 𝑂𝑀
2
Détermination de 𝐶⃗1 𝑒𝑡 𝐶⃗2
𝑡=0
⃑⃗(0) + ⃑𝐶⃗1 ⇒ 𝐶⃗1 = ⃑⃑⃑⃑⃑
à
⇒ ⃑⃑⃑⃑
𝑉0 = 𝑎
𝑉0
⃑𝑉⃗ = ⃑⃑⃑⃑⃑
𝑉0
𝑡=0
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑0 = 1 𝑎
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑0
⃑⃗(0) + ⃑𝐶⃗1 (0) + ⃑𝐶⃗2 ⇒ 𝐶⃗2 = 𝑂𝑀
⇒ 𝑂𝑀
2
à
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀 = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑂𝑀0
D’où
1
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
⃑⃗0 𝑡 + ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
𝑂𝑀0
2
En déduire l’équation horaire de son mouvement.
𝑥(𝑡)
Equation horaire du mouvement de M :{
?
𝑦(𝑡)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀 (𝑡) = ?
⇒
⇒
⃑⃑⃑⃑⃗
𝑎 : vecteur Ct
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗(𝑡) = 1 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗0
⃑⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
𝑥(𝑡)
0
4
0
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
𝑦(𝑡)
-10
0
6
{
𝑥(𝑡) = 4𝑡
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 6
La nature de sa trajectoire :
𝑥
𝑡=4
𝑥
5
𝑦 = −5(4)2 + 6 ⇔ 𝑦 = − 16 𝑥 2 + 6
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
La trajectoire est une parabole tournant la concavité vers les 𝑦 < 0
Pour 𝑀′
0
′
⃑⃑⃑⃑⃗
𝑎 : vecteur Ct
-10
𝑥′ = 8
0
⃑⃗ ′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃑⃑⃑⃑⃗
𝑉
𝑉0
′
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
0𝑀
𝑂𝑀′ 0
0
L’équation horaire du mouvement de 𝑀′ :{
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀 ′ (𝑡) = ?
𝑦′ = 6
𝑥(𝑡)′
?
𝑦(𝑡)′
′
⃑⃑⃑⃑⃗
𝑎 : vecteur Ct
′
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗′ (𝑡) = 1 𝑎⃗ ′ 𝑡 2 + ⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀
𝑉0 𝑡 + ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗
𝑂𝑀′ 0
2
𝑥(𝑡)
0
0
8
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
𝑦(𝑡)
-10
0
6
⇒
⇒
{
𝑥(𝑡) = 8
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 6
Nature de la trajectoire :
La trajectoire de 𝑀′ : la droite d’équation 𝑥 ′ = 8
′
⃑⃑⃑⃑⃗
𝑎 : vecteur accélération Ct
Conclusion : le mobile 𝑀′ est animé d’un MRUV.
2- Un car effectue le trajet rectiligne d’une station S1 vers une autre S2 distantes de 500m. Le car part
de S1 à l’instant initial, pris comme origine des abscisses d’un MRUA d’accélération ̅̅̅
𝑎1 = 2m.s-2
pendant 10s puis sa vitesse devient constante de valeur 𝑉̅ pendant 5s et pour s’arrêter en S2 son
mouvement devient un MRUR.
1-Calculer 𝑉̅ et son accélération ̅̅̅
𝑎2 en fin de parcours
2-A quel instant le car arrive en S2 ?