FICHE DE PREPARATION
Présenté par :
ANDRIANJAFY Diary Alberto
Domaine : Mécanique
Titre : la cinématique du point
Durée : 1h30min
Niveau : Terminale S
Objectif général : A la fin de la séance, les apprenants doivent être capable de résoudre
une situation-problème relative au mouvement d’un solide.
Prérequis :
Quelques dérivées usuelles et règles des calculs
Quelques primitives usuelles et règles des calculs
Références bibliographies : Cahier de leçon et d’exercice de physique d’un élève en classe
de terminale S
ACTIVITES DE L’ENSEIGNANT
PARTIE ORALE/CONSIGNE
ACTIVITES DE L’APPRENANT
SALUTATION+APPEL
Mise en relation de la séance précédente avec la suite de la leçon.
Pendant la dernière séance, nous avons terminé le
cours concernant les dérivées et les primitives d’une
fonction.
Écouter
Test de prérequis (15min)
Donc d’après vous :
Dérivée
Q1 : Quelle sont les dérivées des fonction
suivantes?
Règle des calculs
Dérivées usuelles
f(x)
f(x)
U+V
a
(a∈R)
⋋U(⋋∈R∗)
Un
ax (a∈R∗)
U×V
axn (a∈R∗)
1
1
𝑈
𝑥
Primitives
Q2 : Définir la primitive dʹune fonction f ?
Q3 : Donner quelques propriétés de la primitive
utiliser dans la physique ?
Q4 : Quelle sont les primitives des fonction
suivantes?
Primitives usuelles
Règle des calculs
f(x)
a (a∈R)
xn
1
𝑥𝑛
1
𝑥
f(x)
UʹUn
Uʹ
𝑈𝑛
Uʹ
𝑈
R1 :
Règle des calculs
Dérivées usuelles
fʹ(x)
Uʹ+Vʹ
⋋Uʹ(⋋∈R∗)
nUʹUn−1
Uʹ𝑉 +VʹU
𝑈ʹ
− 2
𝑈
fʹ(x)
0
a
naxn−1
−1
𝑥2
R2 : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = F(x)+ C ⇔ Fʹ(x)=f(x)
R3 : ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
∫⋋ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =⋋∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (⋋∈R)
R4:
Primitives usuelles
F(x)
ax+ c
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
−1
(𝑛−1)𝑥 𝑛−1
+c
+c
ln|x|+ c
Règle des calculs
F(x)
𝑈 𝑛+1
−1
𝑛+1
(𝑛−1)𝑈 𝑛−1
+c
+c
ln|U|+ c
Objectif
d’apprentissage
Trace écrite
Stratégie
LA CINEMATIQUE DU POINT
L’élève doit
être capable
de (d’) :
La cinématique du point est l’étude du mouvement de ce point, appelé
mobile, indépendamment des causes qui produisent le mouvement c-à-d les
forces.
I. Généralités : (20min)
1. Référentiel et repère :
Un référentiel est un solide quelconque que l’on prend
Comme référence.
EX : une table, une boite de craie, un arbre . . . etc.
Un repère est l’ensemble formé par un point O, appelé origine du
repère, et d’un ou de deux ou de trois vecteurs de base.
EX : Sur une droite le repère (O, 𝑖⃗ )
x’ O 𝑖⃗
x
Dans un plan le repère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ )
⃗⃗ )
Dans l’espace à trois dimensions le repère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘
y
z
⃗⃗
𝑘
𝑗⃗
O
x
y
𝑖⃗
O 𝑗⃗
𝑖⃗
x
Définir
l’équation
horaire
2. Trajectoire, mouvement, équation horaire, équation cartésienne :
L’équation horaire permet de déterminer la position d’un mobile en
fonction du temps.
L’équation cartésienne de la trajectoire 𝑦 = 𝑓(𝑥) est obtenue en
éliminant le paramètre 𝑡 dans les équations horaires.
Trajectoire
Mouvement
Droite
Rectiligne
Courbe
Curviligne
quelconque
Parabole
Cercle
Ex : Équation horaire
𝑥(𝑡) = 3𝑡 2 − 2𝑡 + 1
𝑥(𝑡) = 2𝑡 + 3
{
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 0,71𝑡 − 1
Parabolique
Circulaire
{
𝑥(𝑡) = 4 sin(314𝑡) + 1
𝑦(𝑡) = 4cos(314𝑡) − 3
L’équation horaire du
mouvement permet de
déterminer t
connaissant x et y.
Ex : Équation
cartésienne
𝑦
= −5𝑥 2 − 6𝑥
−4
𝑦 = 𝐴𝑥 2 +
𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 3)2 = 16
L’équation cartésienne
permet de déterminer
x connaissant y et
inversement. Et c’est
l’équation cartésienne
qui relie x et y
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, Vecteur 𝑉
⃗⃗ , vecteur accélération 𝑎
3. Position 𝑂𝑀
⃗:
o Repérage en coordonnées cartésienne
Le point mobile M est repéré par rapport à un repère cartésienne R (O,𝑖⃑, 𝑗⃑, 𝑘⃗⃗)
par :
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦(𝑡)
ses coordonnées cartésiennes M 𝑦(𝑡) ou par son vecteur position 𝑂𝑀
𝑧(𝑡)
𝑧(𝑡)
Positionner un
point dans un
par rapport à R.
Z
repère
z
La position du point
M
mobile M est définie par
le vecteur position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑧𝑘
⃗⃗
𝑘
O
𝑗⃗
𝑖⃗
y
Si le point M se
déplace dans
l’espace, on choisit un
repère constitué de
trois axes ox,oy et oz.
Donc la position du
point mobile M est
définie par le vecteur
Y position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑧𝑘
x
X
𝑥(𝑡)
𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
→
𝑉𝑥 = 𝑥̇
⃗⃗
𝑉
𝑦(𝑡)
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗
𝑎
Définir le
vecteur vitesse
et le vecteur
accélération
→
𝑎⃗
𝑉𝑦 = 𝑦̇
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑎𝑦
𝑎𝑥 = 𝑥̈
𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑉𝑥 = ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑡
⃗⃗
𝑉
𝑎𝑦 = 𝑦̈
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑥 = ∫ 𝑉𝑥 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑉𝑦 = ∫ 𝑎𝑦 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑣
D’où ⃗⃗⃗⃗
𝑉 = 𝑑𝑡 et 𝑎⃗ = 𝑑𝑡
Si on enleve l’axe oz,
alors le point M se
déplace dans un plan
formé par l’axe ox et
oy.
Donc la position de M
du mobile est définie
par le vecteur position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑦 = ∫ 𝑉𝑦 𝑑𝑡
ou
𝑎⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑2 𝑂𝑀
𝑑𝑡
o Repérage en abscisse curviligne
Cette méthode de repérage est utilisée dans le cas où la nature de la
trajectoire est connue : sur cette trajectoire on choisit, arbitrairement, un point
origine O, appelé origine des abscisses, et un sens positif (orienter la
trajectoire) : le point mobile M est repéré par rapport au point O par son
abscisse curviligne 𝑥 = 𝑂𝑀.
La position de M
du mobile est
x= OM
définie par le
O
M
vecteur position
X < 0 x= 0
X >0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖
⃗ = 𝑥𝑖⃗
position
𝑂𝑀
Remarque
Si on enleve les axes
ox et oy alors le
point M se déplace
sur une droite, on
choisit un repère
formé par un seul
axe x’ox.
Donc la position de
M du mobile est
définie par le
vecteur position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗
Dans un repérage en abscisse curviligne l’équation horaire du mouvement est :
x= f(t). Par conséquent : l’équation horaire du mouvement dépend : de la
méthode de repérage utilisée dans le problème et de la nature du
mouvement.
On observe que, la
4. Application :
vitesse c’est la dérivée
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne, son équation horaire s’écrit :
𝑡3
de la position 𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡) = 3 − 2𝑡 2 + 4.
par rapport au temps.
Alors, la vitesse est 𝑉𝑥 = 𝑥̇ = 𝑡 2 – 4𝑡 et l’accélération est 𝑎𝑥 = 2𝑡 − 4.
L’accélération est la
II. Mouvement rectiligne : (15min)
dérivée de la vitesse
La trajectoire est une droite
ou la dérivée second
de la position 𝑥(𝑡).
Équation horaire 𝑥(𝑡)
Vitesse : 𝑉 = 𝑥̇ et accélération : a = 𝑥̈ (𝑉 =
Établir les
équations
horaires de
quelques
mouvements
particuliers
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑒𝑡 𝑎 =
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡
)
Condition initiale (à 𝑡 = 0) : 𝑥 = 𝑥0 et 𝑉 = 𝑉0 .
Mouvement rectiligne uniforme
Mouvement rectiligne
(MRU)
uniformément varié (MRUV)
Définition :
Un mouvement est MRU si la vecteur Un mouvement est MRUV si la
vitesse est un vecteur constant.
vecteur accélération est un
vecteur constant.
Équation horaire :
Repérage en abscisse
Repérage en abscisse
curviligne ∶ 𝑥(𝑡) = 𝑉𝑡 + 𝑥0
curviligne ∶
1
𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡 2 + 𝑉0 𝑡 + 𝑥0
2
Expression de la vitesse en
fonction du temps:
𝑥(𝑡)
V(𝑡) = 𝑑𝑡 = 𝑎𝑡+ 𝑉0
Repérage en coordonnée
Repérage en coordonnée
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
cartésienne ∶ 𝑂𝑀(𝑡) = 𝑉 𝑡 + 𝑂𝑀0 cartésienne∶
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
Expression de la vitesse en
fonction du temps:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
⃗⃗0
V(𝑡) =
= 𝑎⃗𝑡+ 𝑉
𝑑𝑡
Propriété caractéristique :
∆𝑥 = 𝑉. ∆𝑡
∆𝑥 : distance parcourue (m)
∆𝑡: temps de parcours (s)
𝑉: vitesse (m.s-1)
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 et ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖2 = 2.a.∆𝑥
(Relation indépendante du temps)
𝑉𝑓 : vitesse finale (m.s-1)
𝑉𝑖 : vitesse initiale (m.s-1)
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖2 = 2.a.∆𝑥
Donc ;
L’équation horaire du
mouvement dépend
de la mode de
repérage utilisé.
L’équation horaire du
mouvement permet de
déterminer t
connaissant x et y.
Mais
L’équation cartésienne
permet de déterminer
x connaissant y et
inversement.
Et c’est l’équation
cartésienne qui relie x
et y
On utilise la RIT dans
un MRUV seulement.
APPLICATION (20min)
1- Un mobile M est en mouvement dans un plan vertical par rapport à un repère orthonormé
R (O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑). Le vecteur accélération de son mouvement est constant, vertical, orienté vers le bas, de
norme a = 10m.s-2. A l’instant initial il se trouve à l’origine O du repère avec un vecteur vitesse initial
⃗⃗⃗⃑
𝑉0 , horizontal, de même sens que 𝑖⃑ , de norme V0 = 4m.s-1. Par rapport au même repère un autre
mobile M’, dont le mouvement a le même vecteur accélération que celui de M, part initialement de la
position x= 2, y = 0 avec une vitesse nulle.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 où 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃑ (t=0). En déduire l’équation horaire de
𝑂𝑀(t) = 𝑎⃑ t2 + ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 t + 𝑂𝑀
𝑂𝑀(t=0) et ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = 𝑉
2
son mouvement.
2-a-Quelle est la nature de la trajectoire de M ?
b-Établir l’équation horaire du mouvement de M’.
c-Quelle est la nature de sa trajectoire ? Peut-on dire que son mouvement est un MRUV ?
Repérage en coordonnées cartésiennes
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vect Ct
𝜋
-
Direction : verticale
a cos ( 2 )= 0
Sens : sens contraire a 𝑗⃗ ⇒ ⃗⃗⃗⃗
𝑎 a cos (𝜋 )= -a = -10
-2
Norme : 10m.s
𝑥=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀0
𝑦=6
⃗𝑉⃗ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0 -
Direction : horizontale
𝑉0Cos (0) = 𝑉0 = 4
⃗⃗⃗⃑
Sens : même sens que 𝑖⃗ ⇒ 𝑉0
𝜋
Norme : 𝑉0 = 4m.s-1
𝑉0Cos ( 2 ) = 0
⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝑦=6
𝑀′ (𝑡 = 𝑡0 )
𝑀(𝑡 = 𝑡0 )
𝑎⃗
Pour résoudre un
problème de
cinématique :
1) Déterminer la
méthode de
repérage
utilisée dans le
problème :
- Si on repère le
mobile par
rapport à un
repère
cartésienne R
(O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑) ; il s’agit
d’un repérage
en coordonnée
cartésienne.
- Si on repère le
mobile par
rapport à un
point origine O
pris sur la
trajectoire ; il
s’agit d’un
repérage en
abscisse
curviligne.
2) Faire la collecte
des données :
- Dans un
repérage
en
cordonnée
cartésienne :
Les données
sont ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t)
⃗⃗ (t)
𝑉
𝑎⃗(t)
-
𝑗⃗
O
𝑖⃗
𝑥=8
Dans un
repérage
en abscisse
curviligne ;
les données
sont 𝑥(𝑡)
𝑉(𝑡)
a(𝑡)
3) Faire le calcul.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃑ (t=0).
𝑂𝑀(𝑡) = 2 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
𝑂𝑀0 où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀(t=0) et ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = 𝑉
On sait que ;
⃗⃗
𝑑𝑉
𝑑𝑡
⃗⃗ = 𝑎⃗𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑉
⃗⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑑𝑡
= 𝑎⃗(𝑡) ⇔ 𝑑𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (𝑡) = 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 or 𝑉
⃗⃗ (𝑡) = 𝑑𝑂𝑀
On obtient 𝑉
𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
On a 𝑑𝑡 = 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡
⇒ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 ⇒
⇔ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 ⇔ ∫ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝐶⃗1 𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑂𝑀
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝐶⃗1 𝑡 + 𝐶⃗2
On obtient 𝑂𝑀
2
Détermination de 𝐶⃗1 𝑒𝑡 𝐶⃗2
𝑡=0
à
⇒ ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = ⃗𝑎⃗(0) + ⃗𝐶⃗1 ⇒ 𝐶⃗1 = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0
⃗𝑉⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0
Séparons les variables
On intègre membre à
membre
(D’après la linéarité de
l’intégrale)
𝑡=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = 1 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0
⃗⃗(0) + ⃗𝐶⃗1 (0) + ⃗𝐶⃗2 ⇒ 𝐶⃗2 = 𝑂𝑀
⇒ 𝑂𝑀
2
à
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀0
D’où
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
En déduire l’équation horaire de son mouvement.
𝑥(𝑡)
Equation horaire du mouvement de M :{
?
𝑦(𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 (𝑡) = ?
⇒
⇒
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 1 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
𝑥(𝑡)
0
4
0
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
𝑦(𝑡)
-10
0
6
{
𝑥(𝑡) = 4𝑡
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 6
Ici l’équation horaire du
mouvement c’est
l’ensemble former par
𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡) dans le
repérage en coordonnée
cartésienne
Pour avoir la nature de
la trajectoire du mobile
La nature de sa trajectoire :
𝑥
𝑡=4
𝑥
M, il faut chercher
d’abord l’équation
horaire du mouvement
du mobile M.
5
𝑦 = −5(4)2 + 6 ⇔ 𝑦 = − 16 𝑥 2 + 6
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
La trajectoire est une parabole tournant la concavité vers les 𝑦 < 0
0
Pour 𝑀′
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
-10
′
⃗⃗ ′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝑉0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0𝑀′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ 0
0
L’équation horaire du mouvement de 𝑀′ :{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ (𝑡) = ?
𝑂𝑀
C’est le même
résonnement pour 𝑀′ .
𝑥′ = 8
0
𝑦′ = 6
𝑥(𝑡)′
?
𝑦(𝑡)′
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ (𝑡) = 1 𝑎⃗ ′ 𝑡 2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑉0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ 0
2
𝑥(𝑡)′
0
0
8
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
′
𝑦(𝑡)
-10
0
6
⇒
⇒
{
𝑥(𝑡)′ = 8
𝑦(𝑡)′ = −5𝑡 2 + 6
Nature de la trajectoire :
La trajectoire de 𝑀′ : la droite d’équation 𝑥 ′ = 8
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur accélération Ct
Conclusion : le mobile 𝑀′ est animé d’un MRUV.
2- Un car effectue le trajet rectiligne d’une station A vers une autre B distantes de 5 km. Le car part de
S1 à l’instant initial, pris comme origine des abscisses d’un MRUA d’accélération 𝑎1 = 1, 66m.s-2
pendant 10s puis sa vitesse devient constante de valeur 𝑉̅ pendant 5s et pour s’arrêter en S2 son
mouvement devient un MRUR.
1-Calculer 𝑉 et son accélération 𝑎2 en fin de parcours
2-A quel instant le car arrive en S2 ?
Premièrement ; il faut
Déterminer d’abord la
méthode de repérage
utilisée dans le
problème.
Repérage en abscisse curviligne
5000m
𝒕𝑪 − 𝒕𝑨 = 𝟏𝟎𝒔
A
O
𝒕𝑫 − 𝒕𝑪 = 𝟓𝒔
MRUA
MRU
C
MRUR
D
B
𝑉=0
𝑡=0
𝑡 = 10𝑠
𝑥=0
𝑉 =?
𝑉=0
𝑎1 =1, 66m.s-2
𝑡 = 0: Instants du départ en A
𝑥 = 0 : le point A
𝑉
𝑡 = 15𝑠
𝑥𝐷 = ?
1) La Vitesse 𝑉 dans le MRU et l’accélération 𝑎2 dans le MRUR
Calcule de V
𝑡=0
en C
𝑉=?
Expression de v(t) :?
Equation horaire du MRUA :
1
𝑥(𝑡) = 2 𝑎1 𝑡 2 + 𝐶1 𝑡 + 𝐶2
𝑉(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑥 = 5000𝑚
On connait t, alors que
on cherche V. Donc on
donne l’expression de v
en fonction du temps.
Mais avant tout, on
commence par donner
l’expression de
l’équation horaire du
mouvement.
= 𝑎1 𝑡 + 𝐶1
𝑡=0
en A
⇒ 0 = 𝑎1 (0) + 𝐶1 ⇒ 𝐶1 = 0
𝑉=?
⇒ 𝑉(𝑡) = 𝑎1 𝑡
en C : 𝑉𝐶 = 10(1,66)
𝑉 = 𝑉𝐶 = 16,6m. s-1
Calcul de 𝑎2 :
RIT entre D et B :
𝑉𝐵 2 − 𝑉𝐷 2 = 2𝑎2 (𝑥𝐵 − 𝑥𝐷 )
𝑉 2 −𝑉𝐷 2
𝐵
⇒ 𝑎2 = 2(𝑥
Calcul de 𝑥𝐷
𝑡=0
en D
𝑥 = 𝑥𝐷 =?
𝐵 −𝑥𝐷 )
⇒ Équation horaire du MRU
𝑥(𝑡) = 𝑉𝑡 + 𝐶
en C
𝑡𝐶 = 10𝑠
⇒ 83= 16,6(10) + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 83 − 166 = −83
𝑥𝐶 =? 83𝑚
⇒ 𝐶 = −83
Calculons d’abord 𝑥𝐶 :
⇒ Équation horaire du MRUA
1
𝑥(𝑡) = 𝑎1 𝑡 2 +𝐶1 𝑡 + 𝐶2
2
On utilise la R.I.T entre
D et B car entre D et B,
le mobile est animé
d’un MRUV et aussi
c’est la RIT qui relie la
vitesse finale, la vitesse
initiale, les abscise et
l’accélération.
Pour avoir l’abscise ;
on utilise l’équation
horaire ; car c’est
l’équation horaire qui
relie l’abscise ou la
position x et le temp t.
𝑡=0
en A 𝑥 = 0
1
⇒ 0= 2 𝑎1 𝑡 2 +𝐶1 (0) + 𝐶2 ⇒ 𝐶2 = 0
0=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎1 (0) + 𝐶1 ⇒ 𝐶1 = 0
1
on a : 𝑥(𝑡) = 2 𝑎1 𝑡 2
𝑡𝐶 = 10𝑠
1
1
⇒ 𝑥𝐶 = 2 𝑎1 𝑡 2
en C
⇒ 𝑥𝐶 = 2 (1,66)(10)2 = 83
⇒ 𝑥𝐶 = 83𝑚
𝑥𝐶 =? 83𝑚
MRU : 𝑥(𝑡) = 16,6𝑡 − 83
en D : 𝑥𝐷 = 16,6(15) − 83
𝑥𝐷 = 166𝑚
(0)2 −(16,6)2
𝑎2 = 2(5000−166)
D’où
𝑎2 = −0,03m. s-2
2) La durée du trajet AB : 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 = 𝑡𝐵 =?
𝑡 = 𝑡𝐵 =?
en B
𝑉=0
Expression de 𝑉(𝑡) dans MRUR
Equation horaire dans MRUR
1
𝑥(𝑡) = 𝑎2 𝑡 2 +𝐶1 𝑡 + 𝐶2
2
𝑉(𝑡) = 𝑎2 𝑡 + 𝐶1
𝑡 = 15𝑠
en D
⇒ 16,6 = −0,03(15) + 𝐶1
𝑉 = 16,6m.s-1
⇒ 𝐶1 = 16,6 − 0,03(15)
⇒ 𝐶1 = 17,05
On a : 𝑉(𝑡) = −0,03𝑡 + 17,05
𝑡𝐵 =?
17,5
en B
0 = −0,03𝑡𝐵 + 17,05 ⇒ 𝑡𝐵 = 0,03
𝑉𝐵 = 0
⇒ 𝑡𝐵 = 568,33
EVALUATION (20min)
1-On considère un mobile M, en mouvement dans un plan par rapport à un repère orthonormé
R (O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑ ) .Son vecteur vitesse⃗⃗⃗⃗
𝑉 est constant, de composantes 𝑥̇ =1, 𝑦̇ = 2. A l’instant initial il se
trouve à la position de coordonnées x = 2, y = 2.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑(t) = 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 où 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑(t=0). En déduire l’équation horaire du mouvement de M.
⃗⃑ t + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2-Etablir l’équation cartésienne de sa trajectoire. En déduire sa nature. Conclure.
Repérage en coordonnée cartésienne
𝑥̇ = 1
⃗
⃗
⃗
⃗
⍱t 𝑉 : vecteur constant ⇒ 𝑉
𝑥=2
et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0𝑀
On cherche t, alors que
on connait V. Donc on
donne l’expression de v
en fonction du temps.
Mais avant tout, on
commence par donner
l’expression de
l’équation horaire du
mouvement.
𝑦̇ = 2
𝑦=2
2- Une voiture entre dans un tunnel avec une vitesse V0, d’un mouvement rectiligne
uniformément varié et d’accélération a. elle parcours 30m en 2s et 60m en 3s.
a) Calculer sa vitesse initiale V0 et son accélération a. Son mouvement devient
rectiligne uniforme pendant 38s et pour s’arrêter au bout du tunnel, la voiture
freine et son mouvement devient rectiligne uniformément retardé avec une
accélération opposée à celle de la première phase de son mouvement.
b) Calculer la longueur du tunnel ?
Repérage en abscisse curviligne