FICHE DE PREPARATION
Domaine : Mécanique
Titre : la cinématique du point
Durée : 1h30min
Niveau : Terminale S
Objectif général : A la fin de la séance, les apprenants doivent être capable de résoudre
une situation-problème relative au mouvement d’un solide.
Prérequis :
Quelques dérivées usuelles et règles des calculs
Quelques primitives usuelles et règles des calculs
Références bibliographies : Cahier de leçon et d’exercice de physique d’un élève en classe
de terminale S
ACTIVITES DE L’ENSEIGNANT
PARTIE ORALE/CONSIGNE
ACTIVITES DE L’APPRENANT
SALUTATION+APPEL
Mise en relation de la séance précédente avec la suite de la leçon.
Pendant la dernière séance, nous avons terminé le
cours concernant les dérivées et les primitives d’une
fonction. Donc d’après vous
Écouter
Test de prérequis (15min)
Dérivée
Q1 : Quelle sont les dérivées des fonction
suivantes?
Règle des calculs
Dérivées usuelles
f(x)
f(x)
U+V
a
(a∈R)
⋋U(⋋∈R∗)
Un
ax (a∈R∗)
n
∗
U×V
ax
(a∈R )
1
1
𝑈
𝑥
Primitives
Q2 : Définir la primitive dʹune fonction f ?
Q3 : Donner quelques propriétés de la primitive
utiliser dans la physique ?
Q4 : Quelle sont les primitives des fonction
suivantes?
Primitives usuelles
Règle des calculs
f(x)
a (a∈R)
xn
1
𝑥𝑛
1
𝑥
f(x)
UʹUn
Uʹ
𝑈𝑛
Uʹ
𝑈
R1 :
Règle des calculs
Dérivées usuelles
fʹ(x)
fʹ(x)
0
a
naxn−1
−1
𝑥2
Uʹ+Vʹ
⋋Uʹ(⋋∈R∗)
nUʹUn−1
Uʹ𝑉 +VʹU
𝑈ʹ
− 2
𝑈
R2 : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = F(x)+ C ⇔ Fʹ(x)=f(x)
R3 : ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
∫⋋ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =⋋∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (⋋∈R)
R4 :
Primitives usuelles
F(x)
ax+ c
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
−1
(𝑛−1)𝑥 𝑛−1
+c
+c
ln|x|+ c
Règle des calculs
F(x)
𝑈 𝑛+1
−1
𝑛+1
(𝑛−1)𝑈 𝑛−1
+c
+c
ln|U|+ c
Objectif
d’apprentissage
Trace écrite
Stratégie
LA CINEMATIQUE DU POINT
L’élève doit
être capable
de (d’) :
La cinématique du point est l’étude du mouvement de ce point, appelé
mobile, indépendamment des causes qui produisent le mouvement c-à-d les
forces.
I. Généralités :
1. Référentiel et repère :
Un référentiel est un solide quelconque que l’on prend
Comme référence.
EX : une table, une boite de craie, un arbre . . . etc.
Un repère est l’ensemble formé par un point O, appelé origine du
repère, et d’un ou de deux ou de trois vecteurs de base.
EX : Sur une droite le repère (O, 𝑖⃗ )
x’ O 𝑖⃗
x
Dans un plan le repère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ )
⃗⃗ )
Dans l’espace à trois dimensions le repère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘
y
z
⃗⃗
𝑘
𝑗⃗
O
x
y
𝑖⃗
O 𝑗⃗
𝑖⃗
x
Définir
l’équation
horaire
Si le point M se
déplace sur une
droite, on choisit un
repère formé par un
seul axe x’ox.
Donc la position de M
du mobile est definie
par le vecteur position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗
2. Trajectoire, mouvement, équation horaire, équation cartésienne :
L’équation horaire permet de déterminer la position d’un mobile en
fonction du temps.
L’équation cartésienne de la trajectoire 𝑦 = 𝑓(𝑥) est obtenue en
éliminant le
paramètre 𝑡 dans les équations horaires.
Trajectoire
Mouvement
Droite
Rectiligne
Courbe
Curviligne
quelconque
Parabole
Cercle
Ex : Équation horaire
𝑥(𝑡) = 3𝑡 2 − 2𝑡 + 1
𝑥(𝑡) = 2𝑡 + 3
{
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 0,71𝑡 − 1
Parabolique
Circulaire
{
𝑥(𝑡) = 4 sin(314𝑡) + 1
𝑦(𝑡) = 4cos(314𝑡) − 3
Ex : Équation
cartésienne
𝑦
= −5𝑥 2 − 6𝑥
−4
𝑦 = 𝐴𝑥 2 +
𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 3)2 = 16
Si le point M se
déplace dans un plan
droite, on choisit un
repère constitué de
deux axes ox et oy .
Donc la position du
point mobile M est
définie par le vecteur
position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗
Si le point M se
déplace dans l’espace
,on choisit un repère
constitué de trois axes
ox,oy et oz .
Donc la position du
point mobile M est
definie par le vecteur
position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑧𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, Vecteur 𝑉
⃗⃗ , vecteur accélération 𝑎
3. Position 𝑂𝑀
⃗:
𝑥(𝑡)
𝑉𝑥 = 𝑥̇
Positionner un
𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
⃗⃗
point dans un ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
→
𝑉
repère
𝑦(𝑡)
𝑉𝑦 = 𝑦̇
𝑎𝑥
Définir le
⃗⃗⃗⃗
𝑎
vecteur vitesse
et le vecteur
accélération
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑎𝑦
𝑉𝑥 = ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑡
⃗⃗
𝑉
𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑎𝑥 = 𝑥̈
𝑎⃗
𝑎𝑦 = 𝑦̈
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑉𝑦 = ∫ 𝑎𝑦 𝑑𝑡
𝑥 = ∫ 𝑉𝑥 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑦 = ∫ 𝑉𝑦 𝑑𝑡
4. Application :
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne, son équation horaire s’écrit :
𝑡3
Établir les
équations
horaires de
quelques
mouvements
particuliers
𝑥(𝑡) = 3 − 2𝑡 2 + 4.
Alors, la vitesse est 𝑉𝑥 = 𝑥̇ = 𝑡 2 – 4𝑡 et l’accélération est 𝑎𝑥 = 2𝑡 − 4.
II. Mouvement rectiligne :
La trajectoire est une droite
Équation horaire 𝑥(𝑡)
Vitesse : 𝑉 = 𝑥̇ et accélération : a = 𝑥̈ .
Condition initiale (à 𝑡 = 0) : 𝑥 = 𝑥0 et 𝑉 = 𝑉0 .
Mouvement rectiligne uniforme
Mouvement rectiligne
(MRU)
uniformément varié
(MRUV)
Définition :
Un mouvement est MRU si la vecteur Un mouvement est MRUV si la
vitesse est un vecteur constant.
vecteur accélération est un
vecteur constant.
Équation horaire :
Repérage en abscisse
Repérage en abscisse
curviligne ∶ 𝑥(𝑡) = 𝑉𝑡 + 𝑥0
curviligne ∶
1 2
et
𝑥(𝑡)
=
𝑎𝑡 + 𝑉0 𝑡 + 𝑥0
Repérage en coordonnée
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 Expression de la vitesse en
⃗⃗ 𝑡 + 𝑂𝑀
cartésienne ∶ 𝑂𝑀
fonction du temps:
𝑥(𝑡)
V(𝑡) = 𝑑𝑡 = 𝑎𝑡+ 𝑉0
et
Repérage en coordonnée
cartésienne∶
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
Expression de la vitesse en
fonction du temps:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
⃗⃗0
V(𝑡) =
= 𝑎⃗𝑡+ 𝑉
𝑑𝑡
Propriété caractéristique :
∆𝑥 = 𝑉. ∆𝑡
∆𝑥 : distance parcourue (m)
∆𝑡: temps de parcours (s)
𝑉: vitesse (m.s-1)
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 et ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖2 = 2.a.∆𝑥
𝑉𝑓 : vitesse finale (m.s-1)
𝑉𝑖 : vitesse initiale (m.s-1)
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖2 = 2.a.∆𝑥
et
APPLICATION
1- Un mobile M est en mouvement dans un plan vertical par rapport à un repère orthonormé
R (O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑). Le vecteur accélération de son mouvement est constant, vertical, orienté vers le bas, de
norme a = 10m.s-2. A l’instant initial il se trouve à l’origine O du repère avec un vecteur vitesse initial
⃗⃗⃗⃑
𝑉0 , horizontal, de même sens que 𝑖⃑ , de norme V0 = 4m.s-1. Par rapport au même repère un autre
mobile M’, dont le mouvement a le même vecteur accélération que celui de M, part initialement de la
position x= 2, y = 0 avec une vitesse nulle.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 où 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃑ (t=0). En déduire l’équation horaire de son
𝑂𝑀(t) = 2 𝑎⃑ t2 + ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 t + 𝑂𝑀
𝑂𝑀(t=0) et ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = 𝑉
mouvement.
2-a-Quelle est la nature de la trajectoire de M ?
b-Établir l’équation horaire du mouvement de M’.
c-Quelle est la nature de sa trajectoire ? Peut-on dire que son mouvement est un MRUV ?
Repérage en coordonnées cartésiennes
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vect Ct
𝜋
-
Direction : verticale
a cos ( 2 )= 0
Sens : sens contraire a 𝑗⃗ ⇒ ⃗⃗⃗𝑎⃗ a cos (𝜋 )= -a = -10
Norme : 10m.s-2
𝑥=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀0
𝑦=6
⃗⃗ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉
𝑉0 -
Direction : horizontale
𝑉0Cos (0) = 𝑉0 = 4
Sens : même sens que 𝑖⃗ ⇒ ⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝜋
-1
Norme : 𝑉0 = 4m.s
𝑉0Cos ( 2 ) = 0
⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝑦=6
𝑀′ (𝑡 = 𝑡0 )
𝑀(𝑡 = 𝑡0 )
𝑎⃗
𝑗⃗
O
𝑖⃗
𝑥=8
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃑ (t=0).
𝑂𝑀(𝑡) = 2 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
𝑂𝑀0 où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀(t=0) et ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = 𝑉
On sait que ;
⃗⃗
𝑑𝑉
𝑑𝑡
⃗⃗ = 𝑎⃗𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑉
⃗⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑑𝑡
= 𝑎⃗(𝑡) ⇔ 𝑑𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (𝑡) = 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 or 𝑉
⃗⃗ (𝑡) = 𝑑𝑂𝑀
On obtient 𝑉
𝑑𝑡
On a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
= 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡
Séparons les variables ⇒ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 On intègre membre à membre ⇒
⇔ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∫ (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 ⇔ ∫ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝐶⃗1 𝑑𝑡 (La linéarité de l’intégrale)
∫ 𝑑𝑂𝑀
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝐶⃗1 𝑡 + 𝐶⃗2
On obtient 𝑂𝑀
2
Détermination de 𝐶⃗1 𝑒𝑡 𝐶⃗2
𝑡=0
à
⇒ ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = ⃗𝑎⃗(0) + ⃗⃗⃗
𝐶1 ⇒ 𝐶⃗1 = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0
⃗𝑉⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝑡=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = 1 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0
⃗⃗(0) + ⃗𝐶⃗1 (0) + ⃗𝐶⃗2 ⇒ 𝐶⃗2 = 𝑂𝑀
⇒ 𝑂𝑀
2
à
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀0
D’où
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
En déduire l’équation horaire de son mouvement.
𝑥(𝑡)
Equation horaire du mouvement de M :{
?
𝑦(𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡) = ?
⇒
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 1 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
𝑥(𝑡)
0
4
0
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
𝑦(𝑡)
-10
0
6
⇒
{
𝑥(𝑡) = 4𝑡
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 6
La nature de sa trajectoire :
𝑥
𝑡=
4
𝑥
5
𝑦 = −5(4)2 + 6 ⇔ 𝑦 = − 16 𝑥 2 + 6
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
La trajectoire est une parabole tournant la concavité vers les 𝑦 < 0
0
Pour 𝑀′
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
-10
𝑥′ = 8
0
′
⃗⃗ ′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝑉0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0𝑀′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ 0
0
L’équation horaire du mouvement de 𝑀′ :{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ (𝑡) = ?
𝑂𝑀
𝑦′ = 6
𝑥(𝑡)′
?
𝑦(𝑡)′
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
′
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ (𝑡) = 2 𝑎⃗ ′ 𝑡 2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ 0
𝑥(𝑡)′
0
0
8
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
′
𝑦(𝑡)
-10
0
6
⇒
⇒
{
𝑥(𝑡)′ = 8
𝑦(𝑡)′ = −5𝑡 2 + 6
Nature de la trajectoire :
La trajectoire de 𝑀′ : la droite d’équation 𝑥 ′ = 8
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur accélération Ct
Conclusion : le mobile 𝑀′ est animé d’un MRUV.
2- Un car effectue le trajet rectiligne d’une station A vers une autre B distantes de 5 km. Le car part de
S1 à l’instant initial, pris comme origine des abscisses d’un MRUA d’accélération ̅̅̅
𝑎1 = 1, 66m.s-2
̅
pendant 10s puis sa vitesse devient constante de valeur 𝑉 pendant 5s et pour s’arrêter en S2 son
mouvement devient un MRUR.
1-Calculer 𝑉̅ et son accélération ̅̅̅
𝑎2 en fin de parcours
2-A quel instant le car arrive en S2 ?
Repérage en abscisse curviligne
5000m
𝒕𝑪 − 𝒕𝑨 = 𝟏𝟎𝒔
A
MRUA
O
C
𝑡=0
𝑡 = 10𝑠
𝑥=0
𝑉 =?
𝑉=0
𝑎1 =1, 66m.s-2
𝑡 = 0: Instants du départ en A
𝑥 = 0 : le point A
𝒕𝑫 − 𝒕𝑪 = 𝟓𝒔
MRU
MRUR
D
𝑉
𝑡 = 15𝑠
𝑥𝐷 = ?
1) La Vitesse 𝑉 dans le MRU et l’accélération 𝑎2 dans le MRUR
B
𝑉=0
𝑥 = 5000𝑚
Calcule de V
𝑡=0
en C
𝑉=?
Expression de v(t) :?
Equation horaire du MRUA :
1
𝑥(𝑡) = 2 𝑎1 𝑡 2 + 𝐶1 𝑡 + 𝐶2
𝑉(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎1 𝑡 + 𝐶1
𝑡=0
en A
⇒ 0 = 𝑎1 (0) + 𝐶1 ⇒ 𝐶1 = 0
𝑉=?
⇒ 𝑉(𝑡) = 𝑎1 𝑡
en C : 𝑉𝐶 = 10(1,66)
𝑉 = 𝑉𝐶 = 16,6m. s-1
Calcul de 𝑎2 :
RIT entre D et B :
𝑉𝐵 2 − 𝑉𝐷 2 = 2𝑎2 (𝑥𝐵 − 𝑥𝐷 )
𝑉 2 −𝑉𝐷 2
𝐵
⇒ 𝑎2 = 2(𝑥
Calcul de 𝑥𝐷
𝑡=0
en D
𝑥 = 𝑥𝐷 =?
𝐵 −𝑥𝐷 )
⇒ Équation horaire du MRU
𝑥(𝑡) = 𝑉𝑡 + 𝐶
en C
𝑡𝐶 = 10𝑠
𝑥𝐶 =? 83𝑚
⇒ 83= 16,6(10) + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 83 − 166 = −83
⇒ 𝐶 = −83
Calculons d’abord 𝑥𝐶 :
⇒ Équation horaire du MRUA
1
𝑥(𝑡) = 𝑎1 𝑡 2 +𝐶1 𝑡 + 𝐶2
2
𝑡=0
en A 𝑥 = 0
1
⇒ 0= 2 𝑎1 𝑡 2 +𝐶1 (0) + 𝐶2 ⇒ 𝐶2 = 0
0=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎1 (0) + 𝐶1 ⇒ 𝐶1 = 0
1
on a : 𝑥(𝑡) = 2 𝑎1 𝑡 2
𝑡𝐶 = 10𝑠
en C
1
⇒ 𝑥𝐶 = 2 𝑎1 𝑡 2
1
⇒ 𝑥𝐶 = 2 (1,66)(10)2 = 83
𝑥𝐶 =? 83𝑚
⇒ 𝑥𝐶 = 83𝑚
MRU : 𝑥(𝑡) = 16,6𝑡 − 83
en D : 𝑥𝐷 = 16,6(15) − 83
𝑥𝐷 = 166𝑚
(0)2 −(16,6)2
𝑎2 = 2(5000−166)
D’où
𝑎2 = −0,03m. s-2
2) La durée du trajet AB : 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 = 𝑡𝐵 =?
𝑡 = 𝑡𝐵 =?
en B
𝑉=0
Expression de 𝑉(𝑡) dans MRUR
Equation horaire dans MRUR
1
𝑥(𝑡) = 2 𝑎2 𝑡 2 +𝐶1 𝑡 + 𝐶2
𝑉(𝑡) = 𝑎2 𝑡 + 𝐶1
𝑡 = 15𝑠
en D
⇒ 16,6 = −0,03(15) + 𝐶1
-1
𝑉 = 16,6m.s
⇒ 𝐶1 = 16,6 − 0,03(15)
⇒ 𝐶1 = 17,05
On a : 𝑉(𝑡) = −0,03𝑡 + 17,05
𝑡𝐵 =?
17,5
en B
0 = −0,03𝑡𝐵 + 17,05 ⇒ 𝑡𝐵 = 0,03
𝑉𝐵 = 0
⇒ 𝑡𝐵 = 568,33
EVALUATION
1-On considère un mobile M, en mouvement dans un plan par rapport à un repère orthonormé
R (O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑ ) .Son vecteur vitesse⃗⃗⃗⃗
𝑉 est constant, de composantes 𝑥̇ =1, 𝑦̇ = 2. A l’instant initial il se
trouve à la position de coordonnées x = 2, y = 2.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 où 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃑ t + 𝑂𝑀
𝑂𝑀(t) = 𝑉
𝑂𝑀(t=0). En déduire l’équation horaire du mouvement de M.
2-Etablir l’équation cartésienne de sa trajectoire. En déduire sa nature. Conclure.
Repérage en coordonnée cartésienne
𝑥̇ = 1
𝑥=2
et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0𝑀
⃗⃗ : vecteur constant ⇒ 𝑉
⃗⃗
⍱t 𝑉
𝑦̇ = 2
𝑦=2
2- Une voiture entre dans un tunnel avec une vitesse V0, d’un mouvement rectiligne
uniformément varié et d’accélération a. elle parcours 30m en 2s et 60m en 3s.
a) Calculer sa vitesse initiale V0 et son accélération a. Son mouvement devient
rectiligne uniforme pendant 38s et pour s’arrêter au bout du tunnel, la voiture
freine et son mouvement devient rectiligne uniformément retardé avec une
accélération opposée à celle de la première phase de son mouvement.
b) Calculer la longueur du tunnel ?