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FICHE DE PREPARATION
STRATEGIE /ORGANISATION
ACTIVITES DE L’ENSEIGNANT
ACTIVITES DE L’APPRENANT
PARTIE ORALE/CONSIGNE
SALUTATION+APPEL
Mise en relation de la séance précédente avec la suite de la leçon.
Pendant la dernière séance, nous avons
déjà commencer le cours concernant
Écouter
Test de prérequis (15min)
Q1 :
R1 : R2
.
Q2 :
Q2 : ?
Q3 : ?
Q4 :
R3 :
R4 :
OBSERVATION
Observation
Trace écrite
Stratégie
LA CINEMATIQUE DU POINT
La cinématique du point est l’étude du mouvement de ce point, appelé mobile,
indépendamment des causes qui produisent le mouvement c-à-d les forces.
I. Généralités :
1. Référentiel et repère :
➢ Un référentiel est un solide quelconque que l’on prend
Comme référence.
EX : une table, une boite de craie, un arbre . . . etc.
➢ Un repère est l’ensemble formé par un point O, appelé origine du repère,
et d’un ou de deux ou de trois vecteurs de base.
EX : Sur une droite le repère (O, 𝑖⃗ )
O
x
𝑖⃗
Dans un plan le repère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ )
⃗⃗ )
Dans l’espace à trois dimensions le repère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘
y
z
⃗⃗
𝑘
𝑗⃗
O
x
y
𝑖⃗
O 𝑗⃗
𝑖⃗
x
2. Trajectoire, mouvement, équation horaire, équation cartésienne :
➢ L’équation horaire permet de déterminer la position d’un mobile en fonction du temps.
➢ L’équation cartésienne de la trajectoire 𝑦 = 𝑓(𝑥) est obtenue en éliminant le
paramètre 𝑡 dans les équations horaires.
Trajectoire
Droite
Courbe
quelconque
Parabole
Cercle
Mouvement
Rectiligne
Curviligne
Ex : Équation horaire
Ex : Équation cartésienne
2
𝑥(𝑡) = 3𝑡 − 2𝑡 + 1
𝑥(𝑡) = 2𝑡 + 3
𝑦 = −5𝑥 2 − 6𝑥 − 4
{
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 0,71𝑡 − 1
Parabolique
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥(𝑡) = 4 sin(314𝑡) + 1
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 16
{
Circulaire
𝑦(𝑡) = 4cos(314𝑡) − 3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, Vecteur 𝑉
⃗⃗ , vecteur accélération 𝑎
3. Position 𝑂𝑀
⃗:
𝑥(𝑡)
𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
→
𝑉𝑥 = 𝑥̇
⃗⃗
𝑉
𝑦(𝑡)
𝑎𝑥
⃗⃗⃗𝑎⃗
𝑎𝑥 = 𝑥̈
𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑎⃗
𝑉𝑦 = 𝑦̇
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑉𝑥 = ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑡
⃗⃗
𝑉
𝑎𝑦
𝑎𝑦 = 𝑦̈
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
→
𝑥 = ∫ 𝑉𝑥 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑉𝑦 = ∫ 𝑎𝑦 𝑑𝑡
𝑦 = ∫ 𝑉𝑦 𝑑𝑡
4. Application :
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne, son équation horaire s’écrit :
𝑡3
𝑥(𝑡) = − 2𝑡 2 + 4.
3
Alors, la vitesse est 𝑉𝑥 = 𝑥̇ = 𝑡 2 – 4𝑡 et l’accélération est 𝑎𝑥 = 2𝑡 − 4.
II. Mouvement rectiligne :
✓
✓
✓
✓
La trajectoire est une droite
Équation horaire 𝑥(𝑡)
Vitesse : 𝑉 = 𝑥̇ et accélération : a = 𝑥̈ .
Condition initiale (à 𝑡 = 0) : 𝑥 = 𝑥0 et 𝑉 = 𝑉0 .
Mouvement rectiligne uniforme Mouvement rectiligne uniformément varié
(MRU)
(MRUV)
Définition :
Un mouvement est MRU si la vecteur
Un mouvement est MRUV si la vecteur
vitesse est un vecteur constant.
accélération est un vecteur constant.
Équation horaire :
1
𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡 2 + 𝑉0 𝑡 + 𝑥0
𝑥(𝑡) = 𝑉𝑡 + 𝑥0
2
Et
Et
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡) = 𝑉 𝑡 + 𝑂𝑀0
𝑂𝑀(𝑡) = 2 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
𝑂𝑀0
Propriété caractéristique :
∆𝑥 = 𝑉. ∆𝑡
∆𝑥 : distance parcourue (m)
∆𝑡: temps de parcours (s)
𝑉: vitesse (m.s-1)
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 et ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖2 = 2.a.∆𝑥
𝑉𝑓 : vitesse finale (m.s-1)
𝑉𝑖 : vitesse initiale (m.s-1)
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
𝑉𝑓2 − 𝑉𝑖2 = 2.a.∆𝑥
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APPLICATION
1- Un mobile M est en mouvement dans un plan vertical par rapport à un repère orthonormé R(O, 𝑖⃑ , 𝑗⃑
). Le vecteur accélération de son mouvement est constant, vertical, orienté vers le bas, de norme
a = 10m.s-2. A l’instant initial il se trouve à l’origine O du repère avec un vecteur vitesse initial ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 ,
-1
horizontal , de même sens que 𝑖⃑ , de norme V0 = 4m.s . Par rapport au même repère un autre mobile
M’, dont le mouvement a le même vecteur accélération que celui de M, part initialement de la position
x= 2, y = 0 avec une vitesse nulle.
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 où 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
⃗⃑ (t=0). En déduire l’équation horaire de son
𝑂𝑀(t) = 𝑎⃑ t2 + ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 t + 𝑂𝑀
𝑂𝑀(t=0) et ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = 𝑉
2
mouvement.
2-a-Quelle est la nature de la trajectoire de M ?
b-Établir l’équation horaire du mouvement de M’.
c-Quelle est la nature de sa trajectoire ? Peut-on dire que son mouvement est un MRUV ?
Repérage en coordonnées cartésiennes
-
⃗⃗⃗𝑎⃗ : vect Ct
𝜋
Direction : verticale
a cos ( 2 )= 0
Sens : sens contraire a 𝑗⃗ ⇒ ⃗⃗⃗𝑎⃗ a cos (𝜋 )= -a = -10
Norme : 10m.s-2
𝑥=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀0
𝑦=6
⃗⃗ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉
𝑉0 -
Direction : horizontale
𝑉0Cos (0) = 𝑉0 = 4
Sens : même sens que 𝑖⃗ ⇒ ⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝜋
Norme : 𝑉0 = 4m.s-1
𝑉0Cos ( 2 ) = 0
⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝑦=6
𝑀′ (𝑡 = 𝑡0 )
𝑀(𝑡 = 𝑡0 )
𝑎⃗
𝑗⃗
O
𝑖⃗
𝑥=8
1-Montrer que le vecteur position du mobile M par rapport à R est donné par :
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃑ (t=0).
𝑂𝑀(𝑡) = 2 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
𝑂𝑀0 où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀(t=0) et ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = 𝑉
On sait que ;
⃗⃗
𝑑𝑉
𝑑𝑡
⃗⃗ = 𝑎⃗𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑉
⃗⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑑𝑡
= 𝑎⃗(𝑡) ⇔ 𝑑𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (𝑡) = 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 or 𝑉
⃗⃗ (𝑡) = 𝑑𝑂𝑀
On obtient 𝑉
𝑑𝑡
On a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
= 𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡
Séparons les variables ⇒ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 on intègre membre à membre ⇒
⇔ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∫ (𝑎⃗𝑡 + 𝐶⃗1 )𝑑𝑡 ⇔ ∫ 𝑑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑎⃗𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝐶⃗1 𝑑𝑡 (la linéarité de l’intégrale)
∫ 𝑑𝑂𝑀
1
On obtient ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝐶⃗1 𝑡 + 𝐶⃗2
2
Détermination de 𝐶⃗1 𝑒𝑡 𝐶⃗2
𝑡=0
à
⇒ ⃗⃗⃗⃑
𝑉0 = ⃗𝑎⃗(0) + ⃗𝐶⃗1 ⇒ 𝐶⃗1 = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0
⃗𝑉⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃑
𝑉0
𝑡=0
à
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑
𝑂𝑀0
D’où
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0 = 1 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑0
⃗⃗(0) + ⃗𝐶⃗1 (0) + ⃗𝐶⃗2 ⇒ 𝐶⃗2 = 𝑂𝑀
⇒ 𝑂𝑀
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝑀
𝑂𝑀
2
En déduire l’équation horaire de son mouvement.
𝑥(𝑡)
Equation horaire du mouvement de M :{
?
𝑦(𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡) = ? ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑎 : vecteur Ct
⇒
⇒
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗0 𝑡 +
𝑂𝑀(𝑡) = 2 𝑎⃗𝑡 2 + 𝑉
𝑥(𝑡)
0
4
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
𝑦(𝑡)
-10
0
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀0
0
6
𝑥(𝑡) = 4𝑡
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 6
La nature de sa trajectoire :
𝑥
𝑡=4
𝑥
5
𝑦 = −5(4)2 + 6 ⇔ 𝑦 = − 16 𝑥 2 + 6
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
La trajectoire est une parabole tournant la concavité vers les 𝑦 < 0
0
Pour 𝑀
′
′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 : vecteur Ct
-10
𝑥′ = 8
0
⃗⃗ ′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝑉0
′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ (𝑡 = 𝑡0 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0𝑀
𝑂𝑀′ 0
0
L’équation horaire du mouvement de 𝑀′ :{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ (𝑡) = ?
⇒
⇒
𝑥(𝑡)′
?
𝑦(𝑡)′
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 ′ : vecteur Ct
′
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ (𝑡) = 2 𝑎⃗ ′ 𝑡 2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ 0
𝑥(𝑡)
0
0
8
1 2
= 2𝑡
+𝑡
+
𝑦(𝑡)
-10
0
6
{
𝑥(𝑡) = 8
𝑦(𝑡) = −5𝑡 2 + 6
Nature de la trajectoire :
La trajectoire de 𝑀′ : la droite d’équation 𝑥 ′ = 8
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 ′ : vecteur accélération Ct
Conclusion : le mobile 𝑀′ est animé d’un MRUV.
𝑦′ = 6