baccD2000 exo4cor

Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar
Série D - session 2000 : exercice 4 – corrigé
f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : f(x) =
ex − 1
. (C) sa courbe f dans un repère orthonormé (O ; i , j ) ,
x
e −x
d’unité 2 cm.
1- a. Etude des variations de h :
h définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : h (x) = (– x + 2) ex – 1.
On a h’ (x) = - ex + (-x + 2) ex = (1 – x) ex. Donc, h’ (x) = 0 si x = 1
h (0) = 1 et la limite de h en + ∞ est égale à - ∞ , avec h (1) = e – 1.
Tableau de variation de h.
b. Montrons que l’équation h (x) = 0 admet une solution unique α dans [ 0 ; + ∞ [.
h est une fonction continue sur [ 0 ; + ∞ [. Or, pour x ∈ [ 0 ; 1 ] on a h (x) > 0 . De plus, h (1)
= e – 1 et la limite de h (x) = - ∞ en + ∞. Ainsi, il existe un unique α ∈ [ 0 ; + ∞ [ tel que h (α) = 0.
Vérifions que α est compris entre
3
et 2.
2
On a h( 3 ) =
2
e e
e
− 1 > 0 et h (2) = -1 < 0. Donc,
3
2
<α<2
c. Déduction, suivant les valeurs de x, le signe de h (x) :
h (x) > 0 si x ∈ [ 0 ; α [, et h (x) < 0 si x > α
2. a. Détermination de la limite de f en + ∞.
ex − 1
lim f(x) = lim
=1
+∞
+ ∞ ex − x
Interprétation graphique de ce résultat.
La droite d’équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f au
voisinage de + ∞.
b. Etude de la position relative de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = 1.
f(x) − y =
ex − 1
x −1
−1 =
x
x
e −x
e −x
. Or,ex – x > 0 sur [ 0 ; + ∞ [ . Ainsi, pour x > 1, (C) est au dessus de
(D) et pour x ∈[ 0 ; 1[, (C) est en dessous de (D)
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3. a. Montrer que pour tout x de [0 ; + ∞[ ,
h(x)
f ' (x) =
(e
e x (e x − x) − (e x − 1)2
f ' (x) =
(e
x
− x)
2
(e
e
α
α
−1
.
e 2x − xe x − (e 2x − 2e x + 1)
(e
x
− x)
x
− x)
2
2
b. Montrons que f(α) =
e
− x)
2
h(x)
Ainsi, , f ' (x) =
f (α) =
=
x
1
α −1
. Or , h (α) = 0, donc, (– α + 2) e
α
– 1 = 0. Par conséquent, e
α
−α
=
1
.
2 -α
1
−1
α -1
1
2 −α
Ainsi, f (α) =
=
=
.
1
2 α −1
−α
(α - 1)
2 -α
Tableau de variation de f.
c. Traçage de (D) et de (C) dans un même repère.
x
4- Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : F (x) = ln ( e – x).
a. Calcul de F ’ (x).
F’ (x) =
x
−1
x
−x
e
e
= f (x)
b. A(α
α) l’aire du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe (x ’Ox), les droites d’équations
x = 0 et x = α.
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2
Montrons que
 (1 − α) 2 
A(α) = 4 ln 
 cm².
 2 − α 
α
α
A(α) = [ F (x)] 0 . 4 cm² = ln ( e – α). 4 cm².
Or, e
α
=
1
, ainsi, A(α) = ln (
2 -α
Donc A(α) = 4 ln (
1
– α). 4 cm²
2 -α
1
α −1
) cm²
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