Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar
Un programme pour améliorer l'éducation à Madagascar
Série D - session 2000 : exercice 4 – corrigé
f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par :
x
x
e
1
x
e
−
−
=)x(f
. (C) sa courbe f dans un repère orthonormé
)j,i;O(
,
d’unité 2 cm.
1- a. Etude des variations de h :
h définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : h (x) = (– x + 2) e
x
– 1.
On a h’ (x) = - e
x
+ (-x + 2) e
x
= (1 – x) e
x
. Donc, h’ (x) = 0 si x = 1
h (0) = 1 et la limite de h en + ∞ est égale à - ∞ , avec h (1) = e – 1.
Tableau de variation de h.
b. Montrons que l’équation h (x) = 0 admet une solution unique α
αα
α dans [ 0 ; + ∞
∞∞
∞ [.
h est une fonction continue sur [ 0 ; + ∞ [. Or, pour x ∈ [ 0 ; 1 ] on a h (x) > 0 . De plus, h (1)
= e – 1 et la limite de h (x) = - ∞ en + ∞. Ainsi, il existe un unique α ∈ [ 0 ; + ∞ [ tel que h (α) = 0.
Vérifions que α est compris entre
2
3
et 2.
On a
01)
2
3
(h >−= e
ee
et h (2) = -1 < 0. Donc,
2<α<
2
3
c. Déduction, suivant les valeurs de x, le signe de h (x) :
h (x) > 0 si x ∈ [ 0 ; α [, et h (x) < 0 si x > α
2. a. Détermination de la limite de f en + ∞
∞∞
∞.
1lim)x(flim =
−
−
∞+
=
∞+ x
x
e
1
x
e
Interprétation graphique de ce résultat.
La droite d’équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f au
voisinage de + ∞.
b. Etude de la position relative de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = 1.
x
x
e
1x
x
x
e
1
x
e
−
−
=−
−
−
=− 1y)x(f
. Or,e
x
– x > 0 sur [ 0 ; + ∞ [ . Ainsi, pour x > 1, (C) est au dessus de
(D) et pour x ∈[ 0 ; 1[, (C) est en dessous de (D)
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3. a. Montrer que pour tout x de [0 ; + ∞
∞∞
∞[ ,
2
x)
x
(e
h(x)
−
=)x('f
.
2
x)
x
(e
x
e
2x
e
x
e
2x
e
2
x)
x
(e
x
e
x
e
x
e
−
+−−−
=
−
−−−
=)12(x
2
)1()x(
)x('f
Ainsi, ,
2
x)
x
(e
h(x)
−
=)x('f
b. Montrons que
1α
1
−
=α)(f
f (α) =
α−
α−
α
e
1e
. Or , h (α) = 0, donc, (– α + 2)
α
e
– 1 = 0. Par conséquent,
α
e
=
α
-
2
1
.
Ainsi, f (α) =
α
α-21
1
α21
−
−
−
=
2
1)-(α
1-α
=
1
α
1
−
.
Tableau de variation de f.
c. Traçage de (D) et de (C) dans un même repère.
4- Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ∞
∞∞
∞ [ par : F (x) = ln (
x
e
– x).
a. Calcul de F ’ (x).
F’ (x) =
x
x
e
1
x
e
−
−
= f (x)
b. A(α
αα
α) l’aire du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe (x ’Ox), les droites d’équations
x = 0 et x = α
αα
α.
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Montrons que A(α) = 4 ln
−
−
α2
2
α)(1
cm².
A(α) = [ F (x)]
α
0
. 4 cm² = ln (
α
e
– α). 4 cm².
Or,
α
e
=
α
-
2
1
, ainsi, A(α) = ln (
α
-
2
1
– α). 4 cm²
Donc A(α) = 4 ln (
1
α
1
−
) cm²
1
/
3
100%