RCB1Cours.pdf745422380

Calculs
barycentriques
TERMINALES C
Prenum-AC
Cameroun
SOH ARNOLD
cedricks[email protected]

OBJECTIFS ET STRUCTURATION
Objectif général
Développer chez l’apprenant des compétences lui permettant de résoudre des
problèmes d’équilibre.
Objectifs spécifiques
A la fin de ce cours, l’apprenant doit être capable de :
Idéterminer le point d’équilibre d’un ensemble de points massifs
Idéterminer les lieux géométriques
Iutiliser le barycentre pour réduire des écritures vectorielles
Iutiliser le barycentre pour établir des alignements de points, le point de
concours de droites
Iutiliser le barycentre pour caractériser un segment de droite, une demi-droite,
une droite, un plan ou un domaine du plan.
Pré-requis
Comme pré-requis, nous avons les notions de : vecteurs du plan, addition
vectorielle, produit d’un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires, produit sca-
laire, relation de Chasles, repère et coordonnées, notion de parallélisme et d’ali-
gnement, point de concours.
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Liens avec les autres parties du programme
•Applications affines (translation, homothétie, etc.)
Toutes les applications affines conservent le barycentre.
1. Expression d’une translation à l’aide du barycentre.
Soient Aet Bdeux points, la transformation qui, au point Massocie le point
M0= bar{(B; 1),(A;−1),(M; 1)}est une translation, qui a pour vecteur −→ AB.
2. Expression d’une homothétie à l’aide du barycentre.
Soient Cun point et kun scalaire non nul. La transformation qui au point M
associe le point M0= bar{(C; 1 −k),(M;k)}est l’homothétie de centre Cet
rapport k.
•Nombres complexes
Affixe du barycentre d’un système de points.
•Calcul vectoriel
Réduction des sommes vectorielles à partir du barycentre.
Place dans le programme
Les calculs barycentriques introduisent la partie géométrique en terminale C car ils sont mis
en oeuvre dans presque tous les chapitres de géométrie.
Introduction
Ce cours est subdivisé en quatre parties dont la première est une leçon sur la notion de
barycentre et ses propriétés, la deuxième une leçon sur la notion de recherche de lieux géomé-
triques, la troisième une leçon sur les applications du barycentre et la dernière est un ensemble
de plusieurs types d’exercices classés par ordre de difficultés..
Tout au long de ce cours Pdésignera le plan, Vl’ensemble des vecteurs du plan, El’espace
et Wl’ensemble des vecteurs de l’espace.
Organisation d’une leçon
Les définitions, propriétés, théorèmes ou méthodes d’une leçon sont introduits par des acti-
vités. La leçon étant renforcée par beaucoup d’exemples et des exercices d’application.
PRENUM-AC 3

Sommaire
Historique 5
1 Barycentre 6
1.1 Définitiondubarycentre ............................. 6
1.2 Caractéristiques du barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Recherche des lieux géométriques 16
2.1 Droite, segment et barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Barycentre, plan et triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Barycentre et lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Autres applications du barycentre 25
3.1 Alignementdespoints .............................. 25
3.2 Concours et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Exercices 29
4.1 Exercicesdesynthèse............................... 29
4.2 Exercicesderecherche .............................. 32
Bibliographie et Webographie 40
ANNEXE 41
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Historique
Notion purement physique à l’origine, le barycentre a évolué progressivement et se
présente de nos jours comme un instrument fondamental en mathématiques. Le barycentre qui
vient du grec barus (lourd, pesant) et de centre, est initialement le centre des poids. Il s’agit
donc à l’origine d’une notion mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que
centre des poids, que l’on appelle aujourd’hui centre de gravité, est le mathématicien-physicien
Archimède (287 −212 avant J.-C.). Il a écrit dans son traité sur le centre de gravité des surfaces
planes : « Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps
peut être considéré comme concentré ». August Ferdinand Möbius(1790-1868) mathématicien-
physicien allemand, généralise les travaux d’Archimède : en 1827, il envisage le barycentre
de plus de deux points et définit le calcul barycentrique. Cependant, on considère Archimède
comme le père du calcul barycentrique. En effet, il a mis au point une machine sur le principe
du levier pour lancer à lui seul un grand vaisseau à la mer.
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