Mécanique quantique - Grain 3 Formalisme général Postulats de la mécanique quantique Tuteur : Nirina Gilbert Rasolofoson Nirina G. Rasolofoson Objectifs À l’issu de ce cours, l’apprenant est capable de définir les relations qui existent entre les concepts physiques et les outils mathématiques. Nirina G. Rasolofoson 02 Plan • Postulats de la mécanique quantique • Valeur moyenne d’un observable – Théorème d’Ehrenfest • Incertitude et relation d’indétermination Nirina G. Rasolofoson 03 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 1: Description de l’état d’un système L’état d’un système quantique est décrit avec un vecteur d’état ou ket 𝜓 appartenant à un espace hermitien ou plus généralement à un espace de Hilbert. Cet espace est appelé espace des états du système. Exemple : Considérons un négaton qui est particule de spin 1/2. Il y a deux états de base possibles : l’état ↑ qui correspond à une particule dont la projection du vecteur spin sur un axe donné est égale à ℏ/2 et l’état ↓ qui correspond à une particule dont la projection du vecteur spin est égal à −ℏ/2. Un état de spin quelconque 𝜓 du négaton peut être écrit comme étant une combinaison linéaire de ↑ et ↓ 𝜓 =𝛼 ↑ +𝛽 ↓ 𝛼 et 𝛽 étant des nombres complexes. La famille ↑ , ↓ est alors une famille génératrice de l’espace des états de spin ℰ du négaton. C’est aussi une famille libre : c’est donc une base de ℰ. ℰ est donc un espace vectoriel complexe de dimension égale à 2. La base ↑ , ↓ est une base orthonormée c’est-à-dire qu’on a les relations ↑↑ = ↓↓ =1 ↑↓ = ↑↓ =0 Les composantes 𝛼 et 𝛽 du ket 𝜓 = 𝛼 ↑ + 𝛽 ↓ dans la base orthonormée ↑ , ↓ 𝛼= ↑𝜓 𝛽= ↓𝜓 Nirina G. Rasolofoson sont données par les produits scalaires 04 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 2 : Description d’une grandeur physique À chaque propriété observable d’un système associée à une grandeur physique (position, impulsion, énergie, moment cinétique orbitale, spin…) correspond un opérateur linéaire hermitien qui agit sur les éléments de l’espace des états ℰ du système. Les opérateurs en question sont appelés des observables. Exemple : Dans l’étude de l’état de spin d’un négaton, on définit l’observable vecteur spin 𝑺 = 𝑒𝑥 𝑺𝒙 + 𝑒𝑦 𝑺𝒚 + 𝑒𝑧 𝑺𝒛 Chacun des composantes 𝑺𝒙 , 𝑺𝒚 et 𝑺𝒛 sont des operateurs linéaires hermitiens qui agissent sur les éléments 𝜓 = 𝛼 ↑ + 𝛽 ↓ de l’espace des états de spin de négaton. Ces operateurs sont caractérisés par les relations de commutations suivantes 𝑺𝒙 , 𝑺𝒚 = 𝑺𝒙 𝑺𝒚 − 𝑺𝒚 𝑺𝒙 = 𝒊ℏ𝑺𝒛 𝑺𝒚 , 𝑺𝒛 = 𝑺𝒚 𝑺𝒛 − 𝑺𝒛 𝑺𝒚 = 𝒊ℏ𝑺𝒙 𝑺𝒛 , 𝑺𝒙 = 𝑺𝒛 𝑺𝒙 − 𝑺𝒙 𝑺𝒛 = 𝒊ℏ𝑺𝒚 ⟺ 𝑺 ∧ 𝑺 = 𝒊ℏ𝑺 ℏ étant la constante de Planck réduite. Ces opérateurs peuvent être définis par leurs actions sur les états de bases ↑ et ↓ . On montre que ces actions sont données par ℏ ℏ ℏ 𝑺𝒙 ↑ = ↓ 𝑺𝒚 ↑ = 𝑖 ↓ 𝑺𝒛 ↑ = ↑ 2 2 2 ℏ ℏ ℏ 𝑺𝒙 ↓ = ↑ 𝑺𝒚 ↓ = −𝑖 ↑ 𝑺𝒛 ↓ = − ↓ 2 2 2 05 Nirina G. Rasolofoson Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 2 : Description d’une grandeur physique Ces relations permettent de déduire que les matrices représentatives des opérateurs (ou observables) 𝑺𝒙 , 𝑺𝒚 et 𝑺𝒛 dans la base ↑ , ↓ sont respectivement : 𝑺𝒙 = 𝑺𝒚 = 𝑺𝒛 = Les matrices 𝜎 1 = 0 1 ↑ 𝑺𝒙 ↑ ↓ 𝑺𝒙 ↑ ↑ 𝑺𝒚 ↑ ↓ 𝑺𝒚 ↑ ↑ 𝑺𝒛 ↑ ↓ 𝑺𝒛 ↑ 1 0 , 𝜎2 = 0 𝑖 ℏ ↑↓ ℏ 0 ↑ 𝑺𝒙 ↓ ↑↑ = = ↓ 𝑺𝒙 ↓ ↓↑ 2 ↓↓ 2 1 ↑ 𝑺𝒚 ↓ ℏ 𝑖 ↑ ↓ −𝑖 ↑ ↑ ℏ = = ↓ 𝑺𝒚 ↓ 2 𝑖 ↓ ↓ −𝑖 ↓ ↑ 2 ℏ ↑↑ −↑↓ ℏ 1 ↑ 𝑺𝒛 ↓ = = ↓ 𝑺𝒛 ↓ 2 ↓↑ −↓↓ 2 0 ℏ 1 1 = 𝜎 0 2 ℏ 2 0 −𝑖 = 𝜎 𝑖 0 2 ℏ 3 0 = 𝜎 −1 2 −𝑖 1 0 et 𝜎 3 = sont les matrices de Pauli. 0 0 −1 Nirina G. Rasolofoson 06 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 3 : Valeurs possibles d’une grandeur physique Les valeurs possibles d’une grandeur physique représentée par un operateur linéaire hermitien 𝑨 sont les valeurs propres de 𝑨. Le vecteur d’état du système correspondant est un état propre de l’observable 𝑨. Exemple : Les valeurs possibles de l’observable projection 𝑺𝒛 sur l’axe des 𝑧 de l’operateur vecteur spin 𝑺 d’un ℏ ℏ négaton sont et − . Ce sont les valeurs propres de 𝑺𝒛 . Les états propres correspondant sont respectivement les 2 2 états ↑ et ↓ . On a, en effet, les équations aux valeurs propres ℏ 𝑺𝒛 ↑ = ↑ 2 ℏ 𝑺𝒛 ↓ = − ↓ 2 Ces équations aux valeurs propres correspondent au fait que dans la base ↑ , ↓ formés par ses états propres, ℏ 1 0 l’observable 𝑺𝒛 est représenté par la matrice diagonale 𝑺𝒛 = . Comme 𝑺𝒛 est hermitien, ses valeurs 2 0 −1 propres sont réelles et ses états propres sont orthogonaux. 07 Nirina G. Rasolofoson Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 3 : Valeurs possibles d’une grandeur physique Ensemble Complet d’Observables qui Commutent (ECOC) : Si deux observables 𝑨 et 𝑩 commutent ( 𝑨, 𝑩 = 0) alors ils ont des vecteurs propres communs et sont simultanément diagonalisables. Leurs valeurs peuvent alors être déterminées simultanément. Pour un système donné, l’ensemble de tous les observables qui commutent et dont les vecteurs propres forment une base orthonormée de l’espace des états du système est appelé un ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC). Exemple 1 : Pour l’état de spin d’un négaton, on peut montrer que l’observable 𝑺𝒛 et l’observable carrée de 𝑺𝟐 l’observable vecteur spin = 𝑺𝒙 équations aux valeurs propres : 𝟐 + 𝑺𝒚 𝟐 + 𝑺𝒛 ℏ ↑ 2 3ℏ2 𝟐 𝑺 ↑ = ↑ 4 𝑺𝒛 ↑ = 𝟐 commutent et forment alors un ECOC. On a les ℏ ↓ 2 3ℏ2 𝟐 𝑺 ↓ = ↓ 4 𝑺𝒛 ↓ = − Suivant ces relations, les états propres communs de 𝑺𝟐 et 𝑺𝒛 ne sont autres que les états ↑ et ↓ qui forment une 08 base orthonormée de l’espace des états de spin duNirina négaton. G. Rasolofoson Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 3 : Valeurs possibles d’une grandeur physique Exemple 2 : Pour un électron dans un atome d’hydrogène, on montre qu’un ECOC est formé par le hamiltonien 𝑯, le carré 𝑳𝟐 du moment cinétique orbital 𝑳, la projection 𝑳𝒛 du moment cinétique orbital sur un axe 𝑧, le carré 𝑺𝟐 du vecteur spin et la projection 𝑺𝒛 du vecteur spin sur l’axe 𝑧. Une base orthonormée de l’espace des états de la particule est alors formée par les états propres communs 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 de ces opérateurs. On a les équations aux valeurs propres : 𝑯 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 = 𝐸𝑛 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 𝑳𝟐 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 = 𝑙 𝑙 + 1 ℏ2 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 𝑳𝒛 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 = 𝑚ℏ 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 2 3ℏ 𝑺𝟐 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 = 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 4 𝑺𝒛 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 = 𝑚𝑆 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 avec 𝑠𝑚𝑆 = ±1/2 Le nombre 𝑛 est un entier naturel positif qui caractérise les valeurs propres 𝐸𝑛 du hamiltonien qui sont les valeurs possibles de l’énergie du négaton. Le nombre 𝑙 est un nombre entier qui varie entre 0 et 𝑛 − 1. Le 1 2 1 2 nombre 𝑚 est un entier relatif qui varie entre – 𝑙 et 𝑙. Le nombre 𝑚𝑆 peut être égal à − ou à + . Nirina G. Rasolofoson 09 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 3 : Valeurs possibles d’une grandeur physique Comme le nombre entier 𝑛 possède une infinité de valeurs possibles, il y a une infinité d’état 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 possibles : l’espace des états du négaton dans un atome d’hydrogène est donc un espace de Hilbert de dimension infinie. Les conditions d’orthonormalisation de cette base s’écrit 𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 𝑚′𝑆 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 = 𝑚′ 𝛿 𝑚′𝑆 𝛿𝑛𝑛′ 𝛿𝑙𝑙′ 𝛿𝑚 𝑚𝑆 1 si 𝑛′ = 𝑛 et 𝑙 ′ = 𝑙 et 𝑚′ = 𝑚 et 𝑚′𝑆 = 𝑚𝑆 = 0 si 𝑛′ ≠ 𝑛 ou 𝑙 ′ ≠ 𝑙 ou 𝑚′ ≠ 𝑚 ou 𝑚′𝑆 ≠ 𝑚𝑆 La décomposition d’un élément quelconque ߰ de cet espace des états dans la base orthonormée s’écrit : +∞ 𝑛−1 𝑙 1 2 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 ߰ 𝑛,𝑙,𝑚,𝑚𝑆 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 ߰ = 𝑛=1 𝑙=0 𝑚=−𝑙 𝑚 =−1 𝑆 2 avec ߰ 𝑛,𝑙,𝑚,𝑚𝑆 = 𝑛, 𝑙, 𝑚, 𝑚𝑆 ߰ Nirina G. Rasolofoson 10 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 4 : Interprétation probabiliste 2 Le carrée ߮ ߰ du module ߮ ߰ du produit scalaire ߮ ߰ de deux états ߮ et ߰ est interprété comme étant la probabilité pour que le système soit trouvé dans l’état ߮ sachant qu’il est dans l’état ߰ . Le produit scalaire ߮ ߰ luimême est appelé une amplitude de probabilité. On a en particulier pour tout vecteur d’état ߰ : ߰߰ 2 =1 ⟹ ߰߰ =1 Si on fait la décomposition de l’état ߰ dans une base orthonormée 𝑒𝑖 ߰ 𝑖 𝑒𝑖 = ߰ = 𝑖 2 de l’espace des états 𝑒𝑖 𝑒𝑖 ߰ 𝑖 2 alors ߰ 𝑖 = 𝑒𝑖 ߰ est la probabilité de trouver le système dans l’état de base 𝑒𝑖 sachant qu’il est dans l’état ߰ . On a de plus la relation (dite de normalisation) ߰𝑖 ߰߰ = 2 =1 𝑖 Exemple : Si on considère état de spin quelconque 𝜓 = 𝛼 ↑ + 𝛽 ↓ d’un négaton, alors • ↑߰ 2 • ↓߰ 2 = ߙ 2 est la probabilité de trouver le négaton dans l’état ↑ sachant que son état est 𝜓 = 𝛽 2 est la probabilité de trouver le négaton dans l’état ↓ sachant que son état est 𝜓 et on a ߰ ߰ = ߙ 2 + 𝛽 2 =1 Nirina G. Rasolofoson 11 Espace de Hilbert Operateur linéaire Description d’une particule Postulats Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 4 : Interprétation probabiliste Probabilité d’obtention d’une valeur donnée d’un observable lors d’une mesure : soit ߰ l’état d’un système donné. Soit 𝑢 l’état propre d’un observable 𝑨 associé à une valeur propre 𝑎 : 𝑨𝑢 =𝑎𝑢 La probabilité 𝑃 𝑎 pour obtenir la valeur 𝑎 si on effectue une mesure d’un observable 𝑨 est alors égale à la probabilité de trouver le système dans l’état propre 𝑢 et vaut 𝑃 𝑎 = 𝑢߰ 2 Si la valeur propre 𝑎 est dégénérée 𝑁𝑎 fois i.e. il existe 𝑁𝑎 vecteurs d’états 𝑢𝑖 (𝑖 = 1 à 𝑁𝑎 ) associée à cette valeur propre, la probabilité 𝑃 𝑎 vaut 𝑁𝑎 𝑃 𝑎 = 𝑢𝑖 ߰ 2 𝑖=1 Exemple : considérons un état de spin quelconque 𝜓 = 𝛼 ↑ + 𝛽 ↓ d’un négaton, comme ↑ est un état propre de 𝑺𝒛 avec la ℏ ℏ valeur propre 2 et ↓ un état propre avec la valeur propre − 2: • La probabilité de trouver une valeur ↑߰ • 2 = ߙ ℏ 2 si on fait une mesure de 𝑺𝒛 sachant que l’état de spin du négaton est 𝜓 vaut 2 ℏ La probabilité de trouver une valeur − 2 si on fait une mesure de 𝑺𝒛 sachant que l’état de spin du négaton est 𝜓 vaut ↓߰ 2 = 𝛽 2 Nirina G. Rasolofoson 12 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 5 : État d’un système après la mesure d’une grandeur physique Soit ߰ l’état d’un système donné. Soit 𝑢 l’état propre d’un observable 𝑨 associé à une valeur propre 𝑎 : 𝑨𝑢 =𝑎𝑢 Si une mesure de 𝑨, sur le système dans l’état ߰ , donne la valeur propre 𝑎, alors l’état ߰′ du système immédiatement après la mesure est égale à 𝑢 ߰′ = 𝑢 Si la valeur propre 𝑎 est dégénérée avec une dégénérescence 𝑁𝑎 alors ߰′ est donné par ߰′ = 𝑁𝑎 1 𝑃 𝑎 𝑢𝑖 𝑢𝑖 ߰ 𝑖=1 avec 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1 à 𝑁𝑎 , une base orthonormé du sous espace propre de l’observable 𝑨 correspondant à la valeur propre 𝑎 et 𝑁𝑎 𝑃 𝑎 = 𝑢𝑖 ߰ 2 𝑖=1 est la probabilité pour l’obtention de la valeur 𝑎 lors de la mesure sachant que le système est dans l’état ߰ 13 Nirina G. Rasolofoson (avant la mesure). Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 5 : État d’un système après la mesure d’une grandeur physique Exemple : Si on fait une mesure de l’observable projection de spin 𝑺𝒛 lorsque le spin d’un négaton est dans l’état 𝜓 = 𝛼 ↑ + 𝛽 ↓ alors : ℏ 2 • L’état de spin immédiatement après la mesure est ߰′ = ↑ si on obtient la valeur comme résultat de cette mesure. ℏ 2 • L’état de spin immédiatement après la mesure est ߰′ = ↓ si on obtient la valeur − comme résultat de cette mesure. Le processus de mesure transforme l’état quantique d’un système en des états propres de la grandeur mesurée. Nirina G. Rasolofoson 14 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Postulats de la mécanique quantique Postulat 6 : Evolution dans le temps de l’état d’un système Si l’état du système évolue dans le temps, le vecteur d’état est considéré comme étant un vecteur d’état dépendant du temps ߰ 𝑡 . L’évolution de ߰ 𝑡 est alors décrit par l’équation 𝑑 𝑖ℏ ߰ 𝑡 =𝑯߰ 𝑡 𝑑𝑡 𝑯 étant l’observable hamiltonien du système c’est-à-dire l’opérateur linéaire hermitien associé à l’énergie totale du système. Operateur d’évolution : on appelle operateur d’évolution d’un système l’operateur unitaire noté 𝑼 𝑡, 𝑡𝑂 qui relie l’état ߰ 𝑡 d’un système à un instant 𝑡 avec son état ߰ 𝑡𝑂 à un instant 𝑡𝑂 . ߰ 𝑡 = 𝑼 𝑡, 𝑡𝑂 ߰ 𝑡𝑂 On a alors la relation 𝑑 𝑑 𝑼 𝑡, 𝑡𝑂 𝑖ℏ ߰ 𝑡 = 𝑖ℏ ߰ 𝑡𝑂 𝑑𝑡 𝑑𝑡 On peut en déduire une équation différentielle pour 𝑼 𝑡, 𝑡𝑂 𝑑 𝑼 𝑡, 𝑡𝑂 𝑖ℏ = 𝑯𝑼 𝑡, 𝑡𝑂 𝑑𝑡 Si le hamiltonien 𝑯 du système est indépendant du temps 𝑡 alors on peut avoir l’expression 𝑼 − 𝑖 𝑡−𝑡 Nirina 𝑡, 𝑡 G.=Rasolofoson 𝑒 ℏ 𝑂 𝑂 𝑯 15 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Valeur moyenne d’un observable – Théorème d’Ehrenfest Valeur moyenne d’un observable : la valeur moyenne 𝑨 , d’un observable 𝑨 pour un système dans un état ߰ est définie par 𝑨 = ߰𝑨߰ Si on utilise une base orthonormée 𝑢𝑖 et son dual 𝑢𝑗 , alors on a ∗ ∗ 𝑗 ߰ 𝑗 ߰ 𝑖 𝑢𝑗 𝑨 𝑢𝑖 = 𝑨 = ߰𝑨߰ = 𝑖,𝑗 ߰ 𝑖 ߰ 𝑗 𝐴𝑖 𝑖,𝑗 𝑗 Les 𝐴𝑖 = 𝑢𝑗 𝑨 𝑢𝑖 sont les éléments de matrice de l’opérateur 𝑨. Si la base vecteurs propres de 𝑨 avec des valeurs propres 𝑎𝑖 𝑨 𝑢𝑖 = 𝑎𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑖 est une base formée par des alors nous avons : 𝑗 𝐴𝑖 = 0 si 𝑖 ≠ 𝑗 𝑎𝑖 si 𝑖 = 𝑗 On obtient alors 𝑨 = ߰𝑨߰ = Nirina G. Rasolofoson𝑖 ߰ 𝑖 2 𝑎𝑖 16 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Valeur moyenne d’un observable – Théorème d’Ehrenfest Théorème d’Ehrenfest : si l’état d’un système varie dans le temps, cette variation satisfait au postulat 6 𝑑 𝑖ℏ ߰ 𝑡 𝑑𝑡 =𝑯߰ 𝑡 On montre que la loi d’évolution de la valeur moyenne d’un observable 𝑨 est 𝑑𝑨 𝑖 𝜕𝑨 = ߰ 𝑯, 𝑨 ߰ + 𝑑𝑡 ℏ 𝜕𝑡 cette relation est le théorème d’Ehrenfest Nirina G. Rasolofoson 17 Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules Incertitude et relation d’indétermination Si un système est dans un état ߰ , la variance d’un observable 𝑨 est définit par 𝜎𝑨 L’écart- type 𝜎𝑨 = 2 = 𝑨2 − 𝑨 𝑨− 𝑨 𝟐 2 = 𝑨2 − 𝑨 𝟐 = ߰ 𝑨2 ߰ − ߰𝑨߰ 2 est aussi appelé incertitude dans le cadre de la mécanique quantique. Si 𝑨 et 𝑩 sont deux observables et si on note 𝑪 leur commutateur : 𝑨, 𝑩 = 𝑨𝑩 − 𝑩𝑨 = 𝑪 On montre qu’on a la relation 𝜎𝑨 𝜎𝑩 1 ≥ 𝑨 2 Cette relation est la relation d’indétermination. Il exprime le fait que les valeurs de deux observables qui ne commutent pas ne peuvent pas être déterminées simultanément avec des précisions illimitées. Nirina G. Rasolofoson 18 Fin Grain 3 Nirina G. Rasolofoson 19 Mécanique quantique - Grain 3 Formalisme général Postulats de la mécanique quantique Tuteur : Nirina Gilbert Rasolofoson Nirina G. Rasolofoson