FormalismeMécaniqueQuantique Grain3-1

Mécanique quantique - Grain 3
Formalisme général
Postulats de la mécanique
quantique
Tuteur : Nirina Gilbert Rasolofoson Nirina G. Rasolofoson

Objectifs
À l’issu de ce cours, l’apprenant est capable de définir
les relations qui existent entre les concepts physiques et
les outils mathématiques.
02
Nirina G. Rasolofoson

Plan
•Postulats de la mécanique quantique
•Valeur moyenne d’un observable – Théorème
d’Ehrenfest
•Incertitude et relation d’indétermination
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Nirina G. Rasolofoson

Espace de Hilbert
Postulats de la mécanique quantique
Postulat 1: Description de l’état d’un système
L’état d’un système quantique est décrit avec un vecteur d’état ou ket appartenant à un espace hermitien ou plus
généralement à un espace de Hilbert. Cet espace est appelé espace des états du système.
Exemple : Considérons un négaton qui est particule de spin 1/2. Il y a deux états de base possibles : l’état ↑ qui correspond à
une particule dont la projection du vecteur spin sur un axe donné est égale à  et l’état ↓  qui correspond à une particule
dont la projection du vecteur spin est égal à. Un état de spin quelconque du négaton peut être écrit comme étant
une combinaison linéaire de ↑ et ↓
↑ ↓
 et  étant des nombres complexes. La famille ↑ ↓ est alors une famille génératrice de l’espace des états de spin du
négaton. C’est aussi une famille libre : c’est donc une base de.  est donc un espace vectoriel complexe de dimension
égale à 2.
La base ↑ ↓ est une base orthonormée c’est-à-dire qu’on a les relations
↑ ↑ ↓ ↓
↑ ↓ ↑ ↓
Les composantes  et  du ket ↑ ↓ dans la base orthonormée ↑ ↓ sont données par les produits scalaires
↑ ↓ 04
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Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules

Espace de Hilbert
Postulats de la mécanique quantique
Postulat 2 : Description d’une grandeur physique
À chaque propriété observable d’un système associée à une grandeur physique (position, impulsion, énergie, moment
cinétique orbitale, spin…) correspond un opérateur linéaire hermitien qui agit sur les éléments de l’espace des états du
système. Les opérateurs en question sont appelés des observables.
Exemple : Dans l’étude de l’état de spin d’un négaton, on définit l’observable vecteur spin
Chacun des composantes  et  sont des operateurs linéaires hermitiens qui agissent sur les éléments ↑ ↓
de l’espace des états de spin de négaton. Ces operateurs sont caractérisés par les relations de commutations suivantes
 étant la constante de Planck réduite. Ces opérateurs peuvent être définis par leurs actions sur les états de bases ↑ et ↓ .
On montre que ces actions sont données par
↑ ↓
↓ ↑
↑ ↓
↓ ↑
↑ ↑
↓ ↓
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Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules