FormalismeMécaniqueQuantique Grain2-1

Mécanique quantique - Grain 2
Formalisme général
Opérateur linéaire sur un
espace de Hilbert
Tuteur : Nirina Gilbert Rasolofoson Nirina G. Rasolofoson

Objectifs
Àl’issu de ce cours, l’apprenant est capable de :
•Décrire les propriétés des opérateurs linéaires
agissant sur les espaces de Hilbert ;
•de calculer les valeurs et vecteurs propriétés d’une
matrice représentant un opérateur linéaire
•définir le commutateur de deux opérateurs
02
Nirina G. Rasolofoson

Plan
•Définition et représentation matricielle dans une base
•Operateur inverse, operateur adjoint, operateur
hermitien, operateur unitaire
•Vecteurs propres - valeurs propres - diagonalisation
•Commutateurs de deux opérateurs
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Nirina G. Rasolofoson

Espace de Hilbert
❑Définition et représentation matricielle dans une base
Un opérateur linéaire (appelé aussi endomorphisme) sur un espace de Hilbert est une
application linéaire de dans lui-même :    
Considérons une base   de et la base duale .On a dans cette base
On peut définir
On a alors
04
Nirina G. Rasolofoson
Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules

❑Définition et représentation matricielle dans une base
La matrice d’élément 
est par définition la matrice représentative de l’opérateur dans la base  
.
Comme   𝜓on a
𝜓  𝜓
On peut alors identifier une décomposition de l’operateur comme combinaison linéaire des operateurs  
Cette décomposition est appelée décomposition dyadique de l’opérateur . Elle permet aussi de déduire qu’on a
pour les 
On a alors la forme générale de la matrice représentative  
d’un opérateur linéaire dans une base  
d’un espace vectoriel de dimension   
05
Nirina G. Rasolofoson
Espace de Hilbert Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules