FormalismeMécaniqueQuantique Grain1

Mécanique quantique - Grain 1
Formalisme général
Espace de Hilbert
Tuteur : Nirina Gilbert Rasolofoson Nirina G. Rasolofoson

Objectifs
À l’issu de ce cours, l’apprenant est capable de :
•définir les espaces de Hilbert dans lesquels se
reposent le formalisme général de la mécanique
quantique ;
•faire des calculs géométriques (normes, distances,
projections) dans n’importe quel espace de Hilbert.
02
Nirina G. Rasolofoson

Plan
•Espace vectoriel
•Famille génératrice, Famille libre et base d’un espace
vectoriel
•Norme et produit scalaire
•Forme linéaire et espace dual
•Base orthonormée et base duale
•Distance - Espace métrique - Suite de Cauchy
•Espace Complet - Espace de Banach - Espace de Hilbert 03
Nirina G. Rasolofoson

Espace de Hilbert
Espace vectoriel
Intuitivement, un espace vectoriel est un ensemble possédant une structure permettant de
définir et d’effectuer des combinaisons linéaires. Soit un corps (le plus souvent  
ou). Un espace vectoriel sur (appelé aussi un-espace vectoriel) est un ensemble muni
de deux lois :
•Une loi de composition interne, noté «  » :  , appelée addition ou somme
vectorielle
•Une loi de composition externe  , appelée multiplication par un scalaire
Pour deux vecteurs quelconques et éléments de et pour deux scalaires et
éléments du corps , la combinaison linéaire est encore est élément
de. Dans le cadre de la mécanique quantique, les éléments de sont aussi appelés des kets. 04
Nirina G. Rasolofoson
Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules

Espace de Hilbert
Famille génératrice, Famille libre et base d’un espace vectoriel
Famille génératrice : une famille de vecteurs de est dite génératrice de si tout élément de peut
être décomposé sous forme de combinaisons linéaires des .
Famille libre : les éléments d’une famille de vecteurs de sont dite linéairement indépendants si leurs
combinaisons linéaires sont tous non égal au vecteur nul sauf si les coefficients sont tous nuls
Une famille de vecteurs constituées par des vecteurs linéairement indépendants est appelé une famille libre.
Aucun des vecteurs de la famille ne peut être exprimé en fonction des autres.
Base : Une base de l’espace vectoriel est une famille de vecteurs de qui est à la fois libre et
génératrice. Tous éléments de peut être décomposé d’une manière unique sous forme de combinaisons linéaires
des .
On peut montrer que toutes les bases d’un espace vectoriel possèdent le même nombre d’éléments. Ce nombre
est par définition la dimension de l’espace vectoriel. 05
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Operateur linéaire Postulats Description d’une particule Description de plusieurs particules