Probabilités II

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees
Bˆat. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Introduction au
Calcul des Probabilit´es
Probabilit´es `a Bac+2 et plus si affinit´es. . .
Charles SUQUET
DEUG MIAS 2 et MASS 2 2002–2003

Table des mati`eres
1 Espaces Probabilis´es 1
1.1 Introduction ............................. 1
1.2 ´ Ev´enements ............................. 2
1.3 La probabilit´e comme fonction d’ensembles ............ 4
1.4 Exemples .............................. 12
1.5 Remarques sur le choix d’un mod`ele ................ 16
1.6 Exercices ............................... 18
2 Conditionnement et ind´ependance 27
2.1 Probabilit´es conditionnelles .................... 27
2.1.1 Introduction ......................... 27
2.1.2 Propri´et´es .......................... 29
2.1.3 Quelques exemples ..................... 32
2.2 Ind´ependance ............................ 34
2.2.1 Ind´ependance de deux ´ev´enements ............ 34
2.2.2 Ind´ependance mutuelle ................... 36
2.2.3 ´ Epreuves r´ep´et´ees ...................... 38
2.3 Exercices ............................... 39
3 Variables al´eatoires discr`etes 47
3.1 Introduction ............................. 47
3.2 G´en´eralit´es ............................. 48
3.2.1 Variable al´eatoire discr`ete ................. 48
3.2.2 Loi d’une variable al´eatoire discr`ete ............ 48
3.2.3 Fonction de r´epartition ................... 50
3.3 Lois discr`etes classiques ...................... 53
3.3.1 Lois de Bernoulli ...................... 53
3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´eels ........ 53
3.3.3 Lois binomiales ....................... 53
3.3.4 Lois hyperg´eom´etriques ................... 54
3.3.5 Lois g´eom´etriques ...................... 56
3.3.6 Lois de Poisson ....................... 57
3.3.7 Sur le caract`ere universel de la loi de Poisson ....... 62
i

3.4 Exercices ............................... 65
4 Vecteurs al´eatoires discrets 75
4.1 Introduction ............................. 75
4.2 Vecteurs al´eatoires ......................... 76
4.3 Variables al´eatoires ind´ependantes ................. 78
4.4 Exercices ............................... 81
5 Moments des v. a. discr`etes 87
5.1 Esp´erance .............................. 87
5.2 Moments d’ordre r......................... 95
5.3 Variance ............................... 97
5.4 Covariance .............................. 103
5.5 Exercices ............................... 107
6 Loi des grands nombres 117
6.1 Deux modes de convergence .................... 117
6.2 Loi faible des grands nombres ................... 119
6.3 Estimation d’une proportion inconnue ............... 120
6.4 Convergence presque sˆure des fr´equences ............. 122
6.5 Discussion .............................. 125
6.6 Exercices ............................... 133
7 Approximation gaussienne 139
7.1 La courbe en cloche ......................... 139
7.2 ´ Etude graphique .......................... 143
7.3 Le th´eor`eme de De Moivre-Laplace ................ 147
7.4 Preuve du th´eor`eme de De Moivre-Laplace ............ 150
7.4.1 ´ Evaluation asymptotique de b(k, n, p)........... 151
7.4.2 Sommes de Riemann .................... 156
7.5 Vitesse de convergence ....................... 158
7.6 Exercices ............................... 162
8 Variables al´eatoires r´eelles 169
8.1 Sortie du cadre discret ....................... 169
8.2 Notion de variable al´eatoire r´eelle ................. 172
8.3 Variables `a densit´e ......................... 175
8.3.1 Densit´e ........................... 175
8.3.2 Moments des variables `a densit´e .............. 179
8.4 Lois `a densit´e classiques ...................... 180
8.4.1 Lois uniformes ........................ 180
8.4.2 Lois exponentielles ..................... 182
8.4.3 Lois gaussiennes ....................... 184
8.5 Exercices ............................... 187
ii

A Ensembles et d´enombrements 191
A.1 G´en´eralit´es ............................. 191
A.2 Ensembles finis ........................... 193
iii