Exo7. Sujets de l année Partiel. Enoncés et corrections Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit a R et A la matrice suivante 1 a

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7
Sujets de l’année 2007-2008
1 Partiel
Exercice 1
Soit a∈Ret Ala matrice suivante
A=
1a0
a0 1
0 1 a
.
1. Calculer le déterminant de Aet déterminer pour quelles valeurs de ala matrice est inversible.
2. Calculer A−1lorsque Aest inversible.
Correction H[002603]
Exercice 2
Soit θ∈R, on considère l’endomorphisme fde R3dont la matrice dans la base canonique est la suivante
A=
cosθ−sinθ0
sinθcosθ0
0 0 1
.
1. Quelle est la nature géométrique de cet endomorphisme ?
2. Démontrer que, pour tout θ∈R\πZ, la matrice Aadmet une unique valeur propre réelle. Quel est le
sous-espace propre associé ? Que se passe-t-il si θ∈πZ?
Correction H[002604]
Exercice 3
Soit ul’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est
A=
−4−2−2
202
331
.
1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A.
2. Démontrer que les valeurs propres de Asont 1 et −2. Déterminer les sous-espaces propres associés.
3. Démontrer que Aest diagonalisable et donner une base de R3dans laquelle la matrice de uest diagonale.
4. Trouver une matrice Ptelle que P−1AP soit diagonale.
Correction H[002605]
Exercice 4
Soit ul’endomorphisme de R3, dont la matrice dans la base canonique est
A=
3 2 −2
−1 0 1
110
.
1

1. Calculer les valeurs propres de A. L’endomorphisme uest-il diagonalisable ? (Justifier).
2. Calculer (A−I)2. Démontrer que An=nA + (1−n)I.
Correction H[002606]
2 Examen
Exercice 5
Soit Ala matrice
A=
1 0 0
−121
0 0 2
et fl’endomorphisme de R3associé.
1. Déterminer les valeurs propres de A.
2. Déterminer, sans calculs, des vecteurs ~uet ~vtels que f(~u) = 2~uet f(~v) = 2~v+~u.
3. Soit ~etel que f(~e) =~e. Démontrer que (~e,~u,~v)est une base de R3et écrire la matrice de fdans cette
base.
4. La matrice Aest-elle diagonalisable ? (Justifier.)
Correction H[002607]
Exercice 6
Soit Ala matrice
A=
100
1−1 0
−1 2 −1
et fl’endomorphisme de R3associé.
1. Factoriser le polynôme caractéristique de A.
2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
3. Démontrer qu’il existe une base de R3dans laquelle la matrice de fest
B=
1 0 0
0−1 2
0 0 −1
et trouver une matrice Pinversible telle que AP =PB (ou A=PBP−1).
4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier).
5. Pour t∈R, calculer exptB.
6. Donner les solutions des systèmes différentiels y0=By et x0=Ax, où xet ydésignent des fonctions
réelles à valeurs dans R3.
Correction H[002608]
Exercice 7
Soit a∈Ret Ala matrice
A=
0 1 0
0a0
0a−2 2
.
1. Pour quelles valeurs de ala matrice Aest-elle diagonalisable ?
Lorsque Aest diagonalisable, déterminer une base de vecteurs propres de A.
2

2. Soit El’espace vectoriel des solutions du système x0=Ax, où xest une fonction de la variable réelle tà
valeur dans R3.
(a) Lorsque Aest diagonalisable, donner une base de Een fonction des vecteurs propres et des valeurs
propres de A. Ecrire la solution générale du système.
(b) Lorsque An’est pas diagonalisable, intégrer directement le système x0=Ax.
3. Soit E0l’ensemble des éléments sde Etels que limt→+∞s(t) =~ 0. Démontrer que E0est un sous-espace
vectoriel de E. (hors barème) Déterminer sa dimension en fonction de a.
4. Soit Fl’ensemble des éléments sde Ebornés sur [0,+∞[. Démontrer que Fest un sous-espace vectoriel
de E. (hors barème) Déterminer sa dimension en fonction de a.
Correction H[002609]
3 Rattrapage
Exercice 8
Soit α∈Ret Aα∈M3(R)la matrice suivante
Aα=
−1 0 α+1
1−2 0
−1 1 α
I
1. Factoriser le polynôme caractéristique P
Aα(X)en produit de facteurs du premier degré.
2. Déterminer selon la valeur du paramètre αles valeurs propres distinctes de Aαet leur multiplicité.
3. Déterminer les valeurs de αpour lesquelles la matrice Aαest diagonalisable.
4. Déterminer selon la valeur de αle polynôme minimal de Aα.
II
On suppose, dans cette partie, que α=0, on note A=A0et fl’endomorphisme de R3associé à la matrice A.
1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2. Démontrer que le sous-espace vectoriel ker(A+I)2est un plan stable par f.
3. Démontrer qu’il existe une base de R3dans laquelle la matrice de fest
B=
−1 1 0
0−1 1
0 0 −1
et trouver une matrice Pinversible telle que A=PBP−1(AP =PB).
4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier).
5. Pour t∈R, calculer exptB et exprimer exptA à l’aide de Pet exptB.
6. Donner les solutions des systèmes différentiels Y0=BY et X0=AX.
III
On suppose, dans cette partie, que α=−1, on note A=A−1.
1. Vérifier que la matrice Aest diagonalisable.
2. Diagonaliser la matrice A.
3. Donner les solutions du système différentiel X0=A.X.
IV
On suppose, dans cette partie, que α=1, on note A=A1.
3

1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2. Trigonaliser la matrice A.
Correction H[002610]
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exercices de maths sur
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4

Correction de l’exercice 1 N
Soit a ∈Ret A la matrice suivante
A=
1a0
a0 1
0 1 a
.
1. Calculons le déterminant de A et déterminons pour quelles valeurs de a la matrice est inversible.
On développe le déterminant par rapport à la première colonne, on obtient
detA=
1a0
a0 1
0 1 a
=
0 1
1a−a
a0
1a=−1−a3.
La matrice Aest inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
detA6=0⇐⇒ 1+a36=0⇐⇒ a6=−1.
2. Calculons A−1lorsque A est inversible.
On suppose a6=−1, on a A−1=1
detA
t˜
A, où ˜ Aest la comatrice de Aet t˜ Ala transposée de ˜ A. On a
˜
A=
−1−a2a
−a2a−1
a−1−a2
=t˜
A.
D’où A−1=1
1+a3
1a2−a
a2−a1
−a1a2
.
Correction de l’exercice 2 N
Soit θ∈R, on considère l’endomorphisme f de R3dont la matrice dans la base canonique est la suivante
A=
cosθ−sinθ0
sinθcosθ0
0 0 1
.
1. Déterminons la nature géométrique de cet endomorphisme.
Notons (
~
i,~ j,~ k)la base canonique de R3, la matrice Aest la matrice de la rotation d’axe R
~
kd’angle θ.
On peut ajouter que les vecteurs colinéaires à~ ksont fixes. Un vecteur de coordonnées (x,y,z)est envoyé
sur le vecteur (xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ,z), sa composante dans le plan engendré par~ iet ~ jsubit
la rotation plane d’angle θ.
2. Démontrons que, pour tout θ∈R\πZ, la matrice A admet une unique valeur propre réelle et détermi-
nons son sous-espace propre associé.
Calculons le polynôme caractéristique de la matrice A.
P
A(X) = 
cosθ−X−sinθ0
sinθcosθ−X0
0 0 1 −X
= [(cosθ−X)2+sin2θ](1−X)
= (1−X)(X2−2Xcosθ+1
Cherchons les racines du polynôme X2−2Xcosθ+1, pour cela on calcule son discrimminant réduit
∆0=cos2θ−1=−sin2θ<0,
en effet, si θ∈R\πZ, alors sinθ6=0, donc le polynôme P
An’admet qu’une racine réelle λ=1. Son
sous-espace propre associé est de dimension 1, c’est l’axe R
~
kde la rotation.
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