null-2-2

Université de Lomé - Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Année Universitaire
2010 −2011
Devoir surveillé de MTH 305 : Modélisation Mathématique
Fait le 09 Mai 2011 - Durée : 2 h
EXERCICE I
Étant donné un réel p > 0, on considère le système dynamique :
(˙x1=−x2(x2
1+x2 2)p
˙x2=x1(x2
1+x2 2)p
1. Déterminer les états d’équilibre de ce système dynamique.
2. Montrer que la fonction V(x1, x2) = x2
1+x2
2est une fonctionnelle de
Lyapounov pour le système dynamique.
3. Montrer que les trajectoires sont circulaires dans le plan (x1, x2).
4. L’origine est-il stable au sens de Lyapounov ? Justifier la réponse.
EXERCICE II
On considère le système dynamique :
(˙x1=−x2+αx1(x2
1+x2
2)
˙x2=x1+αx2(x2
1+x2 2)
1. Déterminer le ou les états d’équilibre.
2. L’origine est-il stable pour le système linéairisé autour de (0,0) ?
3. Sans utiliser la notion de fonctionnelle de Liapounov, discuter de la
stabilité de l’origine pour le système non-linéaire.
4. Reprendre la question précédente en utilisant cette fois-ci la notion de
fonctionnelle de Lyapounov.
EXERCICE III
Soit le système dynamique suivant :
˙x=−x+x3,˙y=−y.
1. Rechercher les équilibres de ce système et déterminer leurs propriétés
de stabilité locale en linéarisant au voisinage des équilibres.
2. Tracer les isoclines zéros et le portrait de phase.
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