Année académique 2022 - 2023
Université Marien NGOUABI - UMNG
Ecole Nationale Supérieure Polytechnique
Département des Licences
TRAVAUX DIRIGÉS N◦1
ECUE : Thermique/Transfert de chaleur
Thème : Unités, Dimensions, Equations aux dimensions, Analyse dimensionnelle
Date : vendredi 14 novembre 2022 à 07h30
Durée : 2 séances Niveau : 2ème année de Licence LMI,LEEP &LET -S3 Crédits : 2
Documents et calculatrice autorisées
« Les Travaux dirigés ou TD sont une forme d’enseignement qui permet d’appliquer les connaissances apprises pendant
les cours théoriques ou d’introduire des notions nouvelles. Les apprenants travaillent individuellement sur des exercices
d’application ou de découverte, en présence du professeur, qui intervient pour aider et pour corriger les exercices. Les
travaux dirigés se font dans un groupe d’effectif réduit, pour que le professeur puisse aider plus facilement les élèves ou
étudiants et adapter ses interventions à leurs difficultés. »
[Wikipedia.org, 18 novembre 2022]
Exercice 1 : Equations aux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 minutes
1. Etablir une équation aux dimensions.
Donner l’équation aux dimensions des grandeurs physiques suivantes :
a) Le flux de chaleur [Φ] et la densité de flux de chaleur [ϕ].
b) Le coefficient d’échange convectif [h]ainsi que la conductivité thermique [λ].
c) La résistance thermique [Rth]ainsi que la résistance thermique de surface Rs.
d) La conductance thermique [Gth].
e) Les capacités thermiques massique [Cm], volumique [Cv], et unitaire [C].
f) La tension électrique [U], la résistance électrique [Rél]et la conductance électrique [Gél].
g) Le coefficient de transmission thermique [U]et la capacité thermique molaire [Cmol].
2. Etablir une relation entre grandeurs à l’aide des équations aux dimensions.
En déduire des résultats précédents, la relation entre :
a) Le coefficient d’échange convectif het la conductivité thermique λ.
b) La résistance thermique Rth et la conductance thermique Gth.
c) La résistance thermqiue Rth et la résistance thermique de surface Rs.
d) Le flux de chaleur Φet la densité de flux de chaleur ϕ.
e) Les capacités thermiques massique Cmet unitaire C.
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Exercice 2 : Dimensions, Homogénéité et Sens physique des expressions . . . . . . . . . 45 minutes
1. Détermination d’une équation aux dimensions
1.1. Etablissement d’une équation aux dimensions d’un produit de deux grandeurs.
- La force d’interaction gravitationnelle Fqui s’exerce entre deux points matériels de masses m1et
m2et distants de ra pour module, d’après la loi de Newton :
F=G·m1·m2
r2
- La force d’interaction électrostatique F∗qui s’exerce entre deux charges ponctuelles q1et q2, distantes
de rdans le vide, a pour module, d’après Coulomb :
F∗=1
4πε0
·q1·q2
r2
En admettant l’égalité F=F∗,déterminer l’équation aux dimensions du produit γ=ε0·G.
1.2. Déterminer la dimension de la permittivité du vide ε0et de la perméabilité du vide µ0, sachant que
ces deux constantes apparaissent dans les équations suivantes :
F=1
4πε0
·Q2
r2et F=µ0
2π·L·I2
r
avec Fune force ; Qune charge électrique ; Let rsont des distances et Il’intensité du courant.
2. Homogénéité des expressions
2.1. Dans un repère cartésien (OXY Z), un point décrit une trajectoire dans le plan OXY . Sachant que
vest une vitesse, et gest l’accélération de la pesanteur terrestre, déterminer si les deux membres de
l’expression suivante sont homogènes :
Y(x) = 1
2·g·x2
v2cos2(β)−x
v·tg (β)
2.2. On donne la relation suivante où qest une charge électrique, `est une longueur, dest une distance,
mest une masse, V0est une vitesse et Uest une tension :
tan (β) = q`2
mV 2
0d·U
Montrer que cette expression est inhomogène.
2.3. La fréquence propre du mode nd’une corde de guitare pincée est donnée par la relation :
f=n
2`·sT
µ
Si `est la longueur de la corde tendue avec la tension Tet de masse linéique µ. Montrer que les deux
membres sont homogènes.
2.4. *Montrer que la hauteur h(x)atteinte par un corps en mouvement dans un champ de pesanteur −→
g
est homogène à l’expression suivante :
h(x) = −gx2
2v2cos2(β)+xtan (β) + h0
, si −→
vest une vitesse et h0=h(0).
3. Sens ou signification des grandeurs physiques.
Si v1et v2sont des vitesses et m1et m2des masses. Déterminer, à partir de son unité, le sens de la grandeur
donnée par l’expression :
µ=1
m1+m2
·qm2
1v2
1+m2
2v2
2
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Exercice 3 : Détermination de la formule de la période d’un pendule simple . . . . . . .10 minutes
Soit un pendule oscillant dans le champ de pesanteur (Figure 1).
Figure 1– Pendule simple oscillant.
Hypothèses :
— On négligera les frottements ; en considérera l’angle θconstant.
— La période d’oscillation d’un pendule simple dépend de quatre paramètres : T=f(m, `, g0, θ).
1. En vous aidant des équations aux dimensions, donner l’expression de la période Tdu pendule.
2. Calculer numériquement Tsi θ= 2π,`= 1,5m et g0= 9,81 m.s2.
Exercice 4 : Formules de l’Energie cinétique et de la masse volumique . . . . . . . . . . . . 15 minutes
1. Détermination de la formule de l’énergie cinétique
Sachant que l’énergie cinétique Ecd’un corps en mouvement de translation est fonction de sa masse met
de sa vitesse linéaire v, soit Ec=1
2f(m, v).
a) En utilisation les équations aux dimensions, établir la formule de l’énergie cinétique Ec.
b) Quantifier Ecsi l’objet de masse 5kg, en mouvement rectiligne se déplace à une vitesse v= 2m/s.
2. Détermination de la formule de masse volumique d’un corps
La masse volumique ρd’un cylindre de masse m, de rayon Ret de longueur `est donnée par la relation
suivante :
ρ=mx
π·`y·R2
a) En utilisant les équations aux dimensions, trouver les deux constantes xet y.
b) En déduire l’expression exacte de la masse volumique ρ.
Exercice 5 : Loi de Newton et formule de Darcy-Weisbach : pertes de charges . . . . 30 minutes
1. Loi de Newton - Résistance à l’écoulement
La force de résistance à l’écoulement Fd’un liquide de viscosité dynamique µ(en Pa.s) traversant une
surface S d’une canalisation est donnée par la loi de Newton écrite sous la forme :
F=−(µ)α.(S)β.dv
dxγ
où les exposants α,β,γet tsont des coefficients constants. Dans cette expression de F, le terme dv
dx est le
gradient de vitesse s’exprimant en s−1.
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a) A partir des équations aux dimensions, déterminer les exposants α,βet γ.
b) En déduire l’expression de la force Fde résistance à l’écoulement.
c) Quelle est en Newton et en daN, la force de résistance à l’écoulement d’un liquide de viscosité
dynamique µ= 1,5×10−2Pa.s, traversant une surface de 3m2avec un gradient de vitesse de
1000 s−1.
2. Loi de Darcy-Weisbach - Calcul des pertes de charge
Soit ∆H, les pertes de charges régulières exprimées en mètres. Darcy et Weisbach ont montré que la
perte de charges ∆Hest fonction des grandeurs caractéristiques de la géométrie de la canalisation et de
l’écoulement, soit ∆H=f(λ, L, D, U, g)et ont proposé la relation de Darcy-Weisbach suivante :
∆H=1
2λ·gαUβL
Dγ
où λest le coefficient de frottement (sans unité) du liquide sur les parois internes du conduit et gest la
constante de pesanteur.
a) En mettant à profit les équations aux dimensions, déterminer les exposants α,βet γ.
b) En déduire l’expression de ∆H, appelée formule de Darcy-Weisbach.
c) Pour λ= 0,025,g= 10 m.s−2,U= 1,2m.s−1,L= 5 m et D= 200 mm, calculer ∆H.
Exercice 6 : Détermination des formules : nombre de Renolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 minutes
1. Le nombre de Reynolds Re est un nombre sans dimension qui représente le rapport entre les forces d’inertie
et les forces visqueuses. Il permet également de classifier le régime d’écoulement d’un fluide. On considère
l’écoulement d’un liquide dans une conduite horizontale représentée sur la Figure 2.
𝑈 𝜇
𝜌 𝐷
𝐿
Figure 2– Ecoulement dans une conduite circulaire.
avec Dle diamètre intérieur du conduit de section droite circulaire et de longueur Ldans lequel circule, à
une vitesse débitante U, un fluide de masse volumique ρet de viscosité dynamique µ.
1.1. Déterminer l’expression du nombre de Reynolds Re s’il dépend de quatre paramètres, c’est-à-dire
Re =f(µ, D, U, ρ)telle que :
Re =ρxDyUz
µt
On posera t= 1 pour résolution du système d’équations linéaires résultant.
1.2. Déterminer l’expression du nombre de Reynolds Re s’il dépend cette fois de trois paramètres, c’est-à-
dire Re =f(ν, D, U)telle que :
Re =DxUy
νz
avec νla viscosité cinématique du liquide. On posera z= 1 pour résolution du système d’équations
linéaires résultant.
1.3. A partir des expressions précédentes, établir une relation entre les viscosités cinématiques νet dynamique
µ.
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Exercice 7 : Vitesse de chute d’une bille sphérique dans un fluide visqueux . . . . . . . .30 minutes
La vitesse limite vd’une bille sphérique de diamètre det de masse volumique ρstombant dans un liquide de
viscosité dynamique ηet de masse volumique ρest donnée par la relation :
v=1
18 ·dygz(∆ρ)t
ηx
v=f(η, d, g, ∆ρ)avec ∆ρ, la différence des masses volumiques de la bille sphérique et du liquide (ρs> ρ) ; g
est l’accélération constante de la pesanteur.
1. Déterminer les exposants x,y,zet tà partir des équations aux dimensions. On fixera xà la valeur unité.
2. En déduire la formule exacte de la vitesse limite ven remplaçant ∆ρ= (ρs−ρ). Exprimer la relation
obtenue en fonction du rayon ade la particule.
3. Montrer qu’il est possible d’écrire la relation précédente sous la forme :
v=1
18 ·dygzρt
eau (dsolide −dliquide)
ηx
où ρeau est la masse volumique de l’eau ; dsolide est la densité relative du solide tombant dans un liquide
de densité relative dliquide.
4. Dégager le rôle des gradeurs suivantes sur la vitesse limite de la bille sphérique :
— de la nature (viscosité, densité relative) du liquide dans lequel la bille est lâchée ;
— de l’accélération de la pesanteur (si le champ est constant) ;
— de la taille de la particule en mouvement.
5. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse limite vd’une bille sphérique en verre de rayon a= 1 mm,de
masse volumique ρs= 2500 S.I, tombant dans l’eau à 4°C de masse volumique ρ= 1000 S.I. et de viscocité
dynamique η= 10−3S.I.. On prendra g= 9,81 S.I.
Exercice 8 : Vitesse de chute d’une bille sphérique dans un fluide visqueux . . . . . . . .10 minutes
La vitesse limite vd’une sphère de rayon aet de masse volumique ρstombant dans un liquide visqueux de
coeficient ηet de masse volumique ρfest donnée par la relation :
v=2
9·aygz(∆ρ)t
ηx
v=f(η, a, g, ∆ρ)avec ∆ρ, la différence des masses volumiques de la bille sphérique et du liquide ; gest
l’accélération de la pesanteur.
1. Déterminer les exposants x,y,zet tà partir des équations aux dimensions.
2. En déduire la formule exacte de la vitesse limite ven remplaçant ∆ρ= (ρs−ρf).
3. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse limite vd’une bille sphérique en verre de rayon a= 5 mm,de masse
volumique ρs= 2530 S.I, tombant dans l’eau à 20°C de masse volumique ρf= 1000 S.I. et de viscocité
dynamique η= 10−3S.I.. On prendra g= 9,81 S.I..
Exercice 9 : Formule de Perte de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 minutes
La perte de charge régulière exprimée en pression dans une conduite cylindrique, en régime laminaire est donnée
par la relation de Hagen-Poiseuille suivante :
∆P=K·µα·Uβ·Dγ·Lt
où K = 32 est une constante numérique adimensionnelle, µest la viscosité dynamique du liquide, Uest sa
vitesse caractéristique de l’écoulement, Det Lsont respectivement le diamètre et la longueur de la tuyauterie.
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