primit

CALCUL DES PRIMITIVES ET
INTÉGRALES
AMbaye
April 22, 2022
Abstract
Ce cours s'adresse aux étudiants de Dut1 et L1 Génies éléctrique
et Biom
Contents
1 DÉFINITION
2
2 CALCUL NUMÉRIQUE
DES INTÉGRALES
2
3 PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE
4
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erreur de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linéarité sur l'intervalle xé . . . . . . . . . .
Proprietés relatives à l'intervalle d'intégration
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aire rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . .
Inégalité de la moyenne . . . . . . . . . . . .
Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de la valeur intermédiaire . . . . .
Relation entre l'intégrale et la primitive . . .
Formule fondamentale du calcul intégral . . .
.
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2
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
4 TABLEAU DES PRIMITIVES
6
5 CONSÉQUENCES
7
1
1
DÉFINITION
On suppose d'abord a < b. On considère la surface limitée par la
courbe représentative de la fonction f , l'axe Ox et les parallèles x = a,
x = b à l'axe Oy .
Dénition 1.1 Si f ≥ 0 l'intégrale de f sur l'intervalle [a, b] est l'aire
de cette surface.
Remarques 1.1 Si f ≤ 0 l'aire est aectée du signe 00 −00 .
Dénition 1.2 L'intégrale de f est l'aire algébrique de la surface.
Notation:
L'intégrale de f sur l'intervalle [a, b] se note
Zb
f (x) dx ,
a
2
ou
Zb
Zb
f (t) dt ,
ou
a
f (u) du.
a
CALCUL NUMÉRIQUE
DES INTÉGRALES
2.1 Méthode des rectangles
On subdivise l'intervalle [a, b] en n intervalles égaux. on approche
Zb
l'intégrale
f (x) dx par la somme Rn des rectangles. Le pas h de la
a
2
méthode est égal à
b−a
.
n
Rn = hf (a + 0 · h) + hf (a + 1 · h) + · · · + hf (a + (n − 1) · h)) =
n−1
X
f (a + kh)
h [f (a) + f (a + h) + · · · + f (a + (n − 1) · h)] = h
k=0
2.2 Erreur de la méthode
On suppose que f est dérivable et que sa dérivée f 0 est majorée par
M 0 . On en déduit la majoration
|I − Rn | ≤ n ·
hM 0
(b − a)2 0
·h≤
M
2
2n
Remarques 2.1
1. Rn est d'autant plus proche de I que n est grand.
2. La suite Rn tend vers l'intégrale I
n−1
b−aX
lim
f
n→∞ n
k=0
b−a
a+k
n
Zb
f (x) dx
=
a
3
3
PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE
f (t) et g(t) continues, a < b < c
3.1 Linéarité sur l'intervalle xé
Zb
f (t) + g(t) dt =
a
Zb
Zb
f (t) dt +
a
Zb
g(t) dt.
a
Zb
k · f (t) dt = k ·
a
f (t) dt
a
pour toute contante k ∈ R
3.2 Proprietés relatives à l'intervalle d'intégration
Pour a < b
Za
Zb
f (t) dt = −
f (t) dt
a
b
Pour tous a, b et c réels
Zc
Zb
f (t) dt =
a
Zc
f (t) dt +
a
f (t) dt
b
C'est l'égalité de Chasles.
3.3 Monotonie
Zb
f ≤g⇒
Zb
f (t) dt ≤
a
g(t) dt
a
3.4 Aire rectangulaire
Zb
cl dt = l · (b − a)
a
4
3.5 Inégalité de la moyenne
1
m ≤ f (x) ≤ M ⇒ m ≤
b−a
Zb
f (x) dx ≤ M
a
1
b−a
Zb
f (x) dx étant compris comme la valeur moyenne de la fonc-
a
tion f sur l'intervalle [a, b].
3.6 Inégalité triangulaire
Zb
Zb
f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
a
3.7 Théorème de la valeur intermédiaire
Pour toutes fonctions f et g continues sur [a, b], avec a < b, g gardant
un signe constant sur [a, b], il existe un réel ξ de ]a, b[ tel que
Zb
Zb
f (x)g(x) dx = f (ξ)
a
g(x) dx
a
3.8 Relation entre l'intégrale et la primitive
Dénition 3.1 Si F est une fonction dérivable telle que
dit que F est une primitive de f .
F0 = f,
Dénition 3.2 Soit f est continue sur un intervalle [a, x].
La fonction F dénie par
Zx
F (x) =
f (t) dt
a
est une primitive de f .
3.9 Formule fondamentale du calcul intégral
Zb
F 0 (t) dt = F (b) − F (a)
a
5
on
4
TABLEAU DES PRIMITIVES
Remarques 4.1 Toute autre primitive est de la forme F +constante.
Fonction f
f (x) = a, constante
Une primitive F
F (x) = ax
1
F (x) =
xn+1
n+1
1
F (x) = −
x
√
F (x) = 2 x
f (x) = xn , n ∈ N
1
x2
1
f (x) = √
x
f (x) =
f (x) = xα , α ∈ R, α 6= −1
F (x) =
1
x
f (x) = ex
f (x) =
f (x) = eax , a constante,a 6= 0
f (x) = cos(x)
f (x) = cos(ax), a 6= 0
f (x) = sin(x)
f (x) = sin(ax), a 6= 0
f (x) = 1 + tan2 x =
1
cos2 x
1
xα+1
α+1
Intervalle I
R
R
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
]0, +∞[
]0, +∞[
F (x) = ln|x|
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
F (x) = ex
1 ax
e
a
F (x) = sin(x)
1
F (x) = sin(ax)
a
F (x) = − cos(x)
1
F (x) = − cos(ax)
a
R
F (x) = tan(x)
R
R
R
R
R
i π πh
− ,
2 2
1
F (x) = arctan x
R
1 + x2
1
f (x) = √
F (x) = arcsin x
]−1, 1[
1 − x2
Si u est une fonction de la variable x, on a les primitives suivantes:
Fonction
Primitive
1
u0 un , n 6= −1
un+1
n+1
u0
1
−
2
u
u
√
u0
√
2 u
u
u0
, n 6= −1
ln|u|
u
u0 eu
eu
u0 cos u
sin u
0
u sin u
− cos u
f (x) =
6
5
CONSÉQUENCES
1) Les fonctions continues par morceaux sont intégrables
2) Si f admet un centre de symétrie en (α, 0) c'est dire
m+α
Z
f (α + x) = −f (α − x) alors
f (x) dx = 0
m−α
Exemples
Exemple 1
Zπ
cos x dx = 0
0
Exemple 2
Zπ
sin N x
dx = π ,
sin x
N impair
0
En eet 1 + 2 cos(2x) + · · · + 2 cos(2N x) =
7
sin(2N + 1)x
sin x