devoir de maison

Yousfi wadjih abed raouf
Groupe 2
Petrochémie 3éme année licence raffinage
-La solution:
A) Systèmes du premier ordre simple
1)La fonction de transfert H(s) du système peut être calculée en prenant la transformée
de Laplace des deux côtés de l'équation différentielle (1) en supposant que les
conditions initiales sont nulles. La transformée de Laplace de l'équation différentielle est
donnée par :
TH(s) + H(s) = KU(s),
En réarrangeant l'équation, on obtient :
H(s) = K / (Ts + 1)
2)Le système est stable si toutes les racines du dénominateur de la fonction de transfert
H(s) ont une partie réelle strictement négative. Dans ce cas, le dénominateur est Ts + 1,
qui a une seule racine à s = -1/T. Pour assurer la stabilité, la condition nécessaire est que
-1/T < 0, c'est-à-dire que T > 0.
3)En utilisant le théorème de la valeur finale:
lim [h(t)] = lim [sH(s)] = lim [s(K / (Ts + 1))] lorsque s tend vers 0.
En substituant s = 0 dans l'expression, nous obtenons :
lim [h(t)] = K / (0 + 1) = K.
Donc, lim [h(t)] = K.
4)on utilise théoréme de transforme de laplace. Dans ce cas, la transformée inverse de
Laplace est donnée par :
h(t) = K * e^(-t/T).

En prenant la limite lorsque t tend vers l'infini, nous obtenons :
lim [h(t)] = lim [K * e^(-t/T)] lorsque t tend vers l'infini.
Cette limite est égale à K.
5)En utilisant le théorème de la valeur finale, la limite de la réponse indicielle y(t)
lorsque t tend vers l'infini est donnée par :
lim [y(t)] = lim [sH(s) / s] = lim [H(s)] lorsque s tend vers 0.
En substituant s = 0 dans l'expression de la fonction de transfert H(s), nous obtenons :
lim [y(t)] = lim [K / (T(0) + 1)] = K.
Donc, lim [y(t)] = K.
6)Pour calculer la réponse indicielle y(t), nous devons prendre la transformée inverse de
Laplace de la fonction de transfert H(s) / s. Dans ce cas, la transformée inverse de
Laplace est donnée par :
y(t) = K * (1 - e^(-t/T)).
En prenant la limite lorsque t tend vers l'infini, nous obtenons :
lim [y(t)] = lim [K * (1 - e^(-t/T))] lorsque t tend vers l'infini.
Cette limite est égale à K.