Mathematiques-2006-Corrige

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STI Electronique - Electrotechnique
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Calculatrice autorisée
Exercice 1 : Sur 5 points
1. Résolvons : z
2
– 2z + 4 = 0
Le discriminant est : ∆ = (– 2)
2
– 4 × 4 = – 12 = (2 3 i)
2
Donc les solutions sont z’ = 2 – 2 3i
2 = 1 – i 3 et z’’ = 2 + 2 3i 2 = 1 + i 3
S = { }
1 – i 3 , 1 + i 3
2. z
A
= 1 + i 3 et z
B
= 1 – i 3 .
a) z
A
|z
A
| = 1² + ( 3)
2
= 2 |z
A
| = 2
cos θ
A
= 1
2
sin θ
A
= 3
2
⇒ θ
A
= arg (z
A
) = π
ππ
π
3
et z
B
est le conjugué de z
A
donc |z
B
| = |z
A
| = 2 et arg (z
B
) = – arg (z
A
) = – π
ππ
π
3
b) z
A
= 2 e
iπ
ππ
π/3
.
c) voir dessin
3. R : z' = e
3
2 π
i
z.
a) R est une rotation de centre O et d’angle 2π
ππ
π
3.
b) On nomme C l'image du point A par la transformation R.
z
C
= e
3
2 π
i
z
A
= e
3
2 π
i
× 2 e
3
i
π
= 2 e
2
3 3
i i
π π
+
= 2 e
i
π
z
C
= 2 e
i
π
= 2 (cos π + i sin π) = 2 (– 1) = – 2
z
C
= 2e
i π
ππ
π
= – 2
c) Voir dessin

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d) Cherchons l’image C’ de C par la transformation R.
z
c’
= e
3
2 π
i
× 2e
iπ
= 2 e
23
i i
π
π
+
= 2 × e
5
3
i
π
= 2 e
3
i
π
−
car 5π
3 = – π 3 (modulo 2π)
donc z
C’
= z
B.
L’image du point C par la transformation R est B.
4.
R(A) = C
R(C) = B donc AC = BC et (
→
AC,
→
CB) = 2π
3 [2π] (ou (
→
CA,
→
CB) = π
3 [2π] )
On en déduit que ABC est un triangle isocèle en C avec un angle de π
3 en C,
donc ABC est un triangle équilatéral.
dessin :
A
B
C2 3-1-2-3
2
-1
-2
0 1
1
x
y
A
B
C

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Exercice 2: Sur 4 points
1. Étude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros.
a)
Roue n°1
Roue n°2 10 0 5 0
10 20 10 15 10
0 10 0 5 0
5 15 5 10 5
0 10 0 5 0
b) Tous les quartiers ont la même probabilité de s’arrêter devant le repère,
donc tous les gains du tableau sont équiprobables.
Dans le tableau, apparaissent en gras les gains supérieurs ou égaux à la mise.
Il y a 8 cas possibles sur les 16 existants donc p = 8
16 = 50 %.
c)
G
i
0 5 10 15 20
p
i
4
16 = 1 4 4 16 = 1 4 5 16 2 16 = 1 8 1 16
d) p(G > 10) = p(G = 15) + p(G = 20) = 1
8 + 1 16 = 3 16
e) E = Σ G
i
p
i
= 0 × 1
4 + 5 × 1 4 + 10 × 5 16 + 15 × 1 8 + 20 × 1 16
E = 15
2 = 7,5.
L’espérance du jeu est de 7,5€ < 10€ donc le jeu n’est pas équitable et le
joueur risque de perdre de l’argent (mais l’association va en gagner.)
2. Étude du bénéfice de l'association pour une mise de m euros.
a) La loi de probabilité de B est donnée par :
B
i
m m – 5 m – 10 m – 15 m – 20
p
i
4
16 = 1 4 4 16 = 1 4 5 16 2 16 = 1 8 1 16
E = m × 1
4 + (m – 5) × 1 4 + (m – 10) × 5 16 + (m – 15) × 1 8 + (m – 20) × 1 16
E = m – 15
2.

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b) On veut que E > 5 d’où m – 15
2 > 5
m > 5 + 15
2
m > 12,5.
Pour que l’espérance de bénéfice de l’association soit d’au moins 5 €, il faut
une mise minimum de 12,5 €.
.

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Problème : Sur 11 points
Partie A : Résolution d'une équation différentielle
(E): y' + y = – x – 1 ; où y désigne une fonction de la variable x, définie et dérivable sur
l'ensemble des réels R.
1. a) L’équation différentielle est de la forme y' = – y, par conséquent la solution
générale de cette équation est x
֏
C e
–x
.
b) la fonction h est solution de l’équation différentielle y’ + y = 0, donc h(x) = C e
–x
,
la condition initiale donne h(1) = 1
e , c’est à dire Ce
–1
= 1
e, on en déduit que C = 1.
La solution h telle que :h(x) = e
–x
, vérifie h(1) = e
2. u est solution de (E) donc u’(x) + u(x) = – x – 1.
Or u(x) = e
–x
+ ax d’où u’(x) = – e
–x
+ a donc :
(E) : – e
–x
+ a + e
–x
+ ax = – x – 1
a + ax = – x – 1
a(1 + x) + x + 1 = 0
(x + 1) (a + 1) = 0 pour tout x ∈ IR.
Donc a + 1 =0 soit a = – 1.
u(x) = e
–x
– x
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire
La fonction f est définie sur R par : f(x) = e
–x
– x .
1. lim
x→+ ∞
f(x) = lim
x→+ ∞
e
–x
– x
lim
x→+ ∞
e
–x
= 0
lim
x→+ ∞
– x = – ∞ ⇒ lim
x→+ ∞
f(x) = – ∞
lim
x→ – ∞
f(x) = lim
x→ – ∞
e
–x
– x
lim
x→ – ∞
e
–x
= + ∞
lim
x→ – ∞
– x = + ∞ ⇒ lim
x→ – ∞
f(x) = + ∞