TD Seires-entières

MENAPLN/CPGE/MP2-Bobo Séries entières
Exercice 1
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
a. X
n≥03
pn3+n+ 2 −pn2+ 1znb. X
n≥0
n2+n
2n+n!zn
c. X
n≥2
ln(√n+ 1)
ln(√n−1)znd. X
n≥2
ln n2−1
n2+n+ 2zn
e. X
n≥1√nnznf. X n≥1
(ln n)nzn
g. X
n≥0e√n+1 −e√nznh. X n≥1n+ 2
2n+ 1ln n
zn
i. X
n≥2
(ln n)ln nznj. X
n≥1(n+ 1) 1
n−n1
n+1 zn
k. X
n≥0
(ln(n!))2znl. X
n≥11 + 1
√n−3
√n
zn
m. X
n≥0
e−shnznn. X
n≥2sh √ln n−2
zn
o. X
n≥1 Zn+1
2
n−1
2
dx
√x3+x+ 1!znp. X
n≥1
n
X
k=1
chk
nenzn
Exercice 2
Calculer le rayon de convergence R et la somme S des séries entières suivantes (z:
variable complexe, x: variable réelle) :
a. X
n≥0
n3znb. X
n≥1
(−1)nn2z2n−1
c. X
n≥0
n2−n+ 4
n+ 1 xnd. X
n≥1n+1
nx2n
e. X
n≥1
xn
2n−1f. X
n≥1
x3n+1
3n+ 1
g. X
n≥0
x4n+3
4n+ 3 h. X
n≥2
x2n
n2−1
i. X
n≥1
xn
n(n+ 3) j. X
n≥1
4n+ 1
2n2+n−1xn
Exercice 3
Résoudre l’équation d’inconnue x∈suivante :
+∞
X
n=0
(3n+ 1)2xn= 0.
Exercice 4
Soit f:x7→
+∞
X
n=1
sin 1
√nxn.
1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière définissant f.
2. Étudier la convergence en -R et en R.
3. Déterminer la limite de fen 1−.
4. On considère la série entière g:x7→
+∞
X
n=2 sin 1
√n−sin 1 √n−1xn.
4.1. Démontrer que cette série converge normalement sur [0; 1].
4.2. En déduire que lim
x→1−
(1 −x)f(x)=0.
14 juin 2023 1/1 Dr. Moussa Barro