Quiz-Calcul intégral

Calcul intégral
201-NYB-05
Été 2023 Nom d’utilisateur :
Mot de passe :
Nom :
Prénom :
Quiz 1
Consignes :
•Lire SVP attentivement toutes les consignes. La plupart des réponses à vos problèmes techniques lié à ce quiz sont
ci-dessous.
•Pour l’entière fonctionnalité du document, s’assurer de l’ouvrir avec la dernière version Acrobat Reader DC
(téléchargeable gratuitement sur le net). De préférence enregistrer le fichier du devoir sur votre ordinateur et faites
un clic droit, ouvrir avec et sélectionner Acrobat Reader DC. Si vous double-cliquez directement sur le devoir vous
risquez de l’ouvrir par défaut avec le lecteur pdf de votre navigateur qui n’a pas toutes les fonctionnalités pour ouvrir
ce pdf interactif.
•N’attendez pas la dernière minute pour m’aviser que vous avez des problèmes techniques pour ouvrir le fichier
et entrer vos réponses. Vous pouvez amener votre ordinateur portable en classe et je vous montrerai comment
procéder.
•Utiliser le point pour la virgule décimale, l’accent circonflexe pour les exposants, sqrt() pour la racine, e pour
l’exponentiel, ln pour le logarithme naturel en base e, inf ou +inf pour +∞ et -inf pour −∞ et ne pas oublier de
refermer les parenthèses que vous ouvrez dans une expression mathématique. Voir l’annexe en fin de document
pour plus d’information à ce sujet.
•Donner les réponses exactes sans arrondir et utiliser les valeurs exactes dans les calculs intermédiaires dans la
mesure du possible et à moins d’avis contraire dans la question.
•Les réponses arrondies doivent être données au dix-millième près (au centième prés si ce sont des pourcentages)
sauf avis contraire dans la question.
•Écrivez vos réponses dans les encadrés à la fin de chaque question.
•Il est possible d’augmenter le facteur d’agrandissement de l’affichage des pages de ce document pour un meilleur
confort de lecture des questions et d’écriture des réponses.
•Le test débute sur la page suivante. Appuyer sur Début pour activer les champs de saisie et commencer le test et sur
Fin pour afficher votre score.
•Vous pouvez utiliser autant que vous voulez le bouton correction à la fin du devoir pour améliorer votre score et
retravailler vos mauvaises réponses. Lorsque vous appuyez sur le bouton correction après avoir obtenu votre score,
l’encadré d’une mauvaise réponse devient rouge tandis que l’encadré d’une bonne réponse devient vert.
Bon courage!
1

Syntaxe mathématique
1. L’étoile indique la multiplication : Taper ou au choix.
2. Utiliser +inf ou inf pour +∞ et -inf pour −∞.
3. Utiliser pour indiquer les puissances : Par exemple, ou .
4. Il est essentiel de délimiter l’argument d’une fonction par des parenthèses, il faut taper et non
.
5. On peut utiliser la notation pour cos2(x).
6. Les parenthèses indiquent une priorité d’opération tandis que les crochets ou les accolades permettent
de délimiter une expression mathématique.
7. Les fonctions usuelles sont reconnues :
a. Fonctions trigonométriques : sin, cos, tan, cot, sec, csc.
b. Fonctions trigonométriques inverses : arcsin (ou asin), arccos (ou acos), arctan (ou atan).
c. Fonctions logarithmiques : ln pour le logarithme népérien (ou naturel), log pour le logarithme déci-
mal. Par exemple, ln(x) ou log(x). Pour alléger l’écriture, vous n’avez pas besoin dans ce devoir d’écrire
l’argument d’un logarithme dans une valeur absolue.
d. L’exponentielle de x s’écrit ou exp(x).
e. La valeur absolue de x s’écrit abs(x) ou bien .
f. La racine carrée de x s’écrit ou .
g. Pour les intégrales indéfinies, il est possible d’ajouter une constante en utilisant la lettre C.
8. Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses ouvertes.
9. Il faut utiliser les mêmes variables que la question. Si la variable utilisée est x il ne faut pas la changer
pour t.
2

1. (12pts) Limites.
(a) (2pts) lim
x7→0+(cscx)sinx=
(b) (2pts) lim
x7→+∞xarctanµ2
x¶=
(c) (2pts) lim
x7→1+µ1
x−1−2x lnx¶=
(d) (2pts) lim
x7→2+
1
x−2−x
px−2=
(e) (2pts) lim
x7→1+x¡3
x−1¢=
(f) (2pts) lim
x7→0+
sin(2x)
p1−cosx=
2. (17pts) Dérivées.
(a) (3pts)d
d x µx2
p4−x2¶=
(b) (3pts)d
d z ¡1
2tan2(z2)−ln¡sec(z2)¢¢=
(c) (3pts)d
d y µ3y−1 y2+3¶2
=
(d) (3pts) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de la fonction f(x)=2x−3
x+2au point
d’abscisse x=−1.
T :
(e) (5pts) Dans l’équation suivante x4+x2y2=y2,yest une variable dépendante de x. Déterminer et
évaluer sa dérivée au point donné.
(i) (3pts)d y
d x =
(ii) (2pts)d y
d x ¯
¯
¯µ1
p2,1 p2¶=
3. (56pts) Intégrales.
(a) (4pts)Zx
x4+4d x =
(b) (4pts)Z1
3+e−xd x =
(c) (4pts)Z1
p4x−x2d x =
(d) (4pts)Zsin8(x)cos3(x)d x =
(e) (4pts)Zx3+2x+1
x2+1d x =
3
Début

(f) (4pts)Zx2lnx d x =
(g) (4pts)Zπ
0exsinx d x =
(h) (4pts)Zcos3xsin2x d x =
(i) (4pts)Ztan3(x)sec3(x)d x =
(j) (4pts)Z1
px2−9d x =
(k) (a) (2pts) Complétion de carré : 9x2+18x+13 =
(b) (6pts)Zx
p9x2+18x+13 d x =
(l) (8pts)Zx2+4x+1
(x+1)(x2+2x+2) d x =
4. (15pts) Équation différentielle.
À la naissance de votre fille/fils, vous décidez avec votre conjointe/conjoint de lui ouvrir un compte
REER (Régime Enregistré d’Épargne Retraite) et d’y déposer 2000$. Le taux d’intérêt de son REER est de
4% par an composé continuellement et vous décidez également chaque année d’y verser le jour de son
anniversaire 1000$ jusqu’à que votre enfant soit en âge et en mesure d’en faire autant par ses propres
moyens.
(a) (3pts) Si vest la valeur du REER de votre enfant en fonction du nombre td’années, exprimer d v
d t en
fonction de vpour déterminer l’équation différentielle qui modélise cette situation.
d v
d t =
(b) (6pts) Résoudre l’équation précédente et trouver la solution particulière v(t).
v(t)=
(c) (2pts) Combien aura-t-il ou elle accumulé à 60 ans ? (Arrondir au sous près.) $
(d) (4pts) À quel âge (en années) aura-t-il ou elle accumulé plus d’un demi-million ?
ans
4
Fin
Correction